Bernoulli-Testschema. Bernoulli-Formel

Machen wir ein paar Tests. Darüber hinaus hängt die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ in jedem Versuch nicht von den Ergebnissen anderer Versuche ab. Solche Versuche werden in Bezug auf Ereignis A unabhängig genannt. In verschiedenen unabhängigen Versuchen kann Ereignis A entweder unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben oder ein und dasselbe. Wir betrachten nur solche unabhängigen Versuche, bei denen das Ereignis $A$ die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

Unter einem komplexen Ereignis verstehen wir eine Kombination einfacher Ereignisse. Lassen Sie n Versuche durchführen. In jedem Versuch kann das Ereignis $A$ eintreten oder nicht. Wir nehmen an, dass in jedem Versuch die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ gleich ist und gleich $p$ ist. Dann ist die Wahrscheinlichkeit $\overline A $ (oder Nichtvorkommen von A ) gleich $P(( \overline A ))=q=1-p$.

Lassen Sie es erforderlich sein, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass in n-Testereignis $A$ wird eintreten k- mal und $n-k$ mal - wird nicht kommen. Diese Wahrscheinlichkeit wird mit $P_n (k)$ bezeichnet. Außerdem ist die Reihenfolge des Auftretens des Ereignisses $A$ nicht wichtig. Beispiel: $(( AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA ))$

$P_5 (3)-$ in fünf Versuchen erschien das Ereignis $A$ 3 Mal und 2 Mal nicht. Diese Wahrscheinlichkeit kann mit der Bernoulli-Formel ermittelt werden.

Herleitung der Bernoulli-Formel

Nach dem Theorem der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis $A$ $k$ mal eintritt und $n-k$ mal nicht eintritt, gleich $p^k\cdot q^ ( n-k ) $. Und es kann so viele komplexe Ereignisse geben, wie es $C_n^k $ sein kann. Da komplexe Ereignisse inkompatibel sind, müssen wir gemäß dem Satz über die Summe der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten aller komplexen Ereignisse addieren, und es gibt genau $ C_n^k $ davon. Dann ist die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ genau k einmal n Tests gibt es $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ Formel von Bernoulli.

Beispiel. Ein Würfel wird 4 mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man in der Hälfte der Zeit erscheint.

Entscheidung. $A=$ (Erscheinen von Eins)

$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=0,115 $

Bei großen Werten sieht man das leicht n es ist ziemlich schwierig, die Wahrscheinlichkeit wegen der großen Zahlen zu berechnen. Es stellt sich heraus, dass diese Wahrscheinlichkeit nicht nur mit der Bernoulli-Formel berechnet werden kann.

Wenn mehrere Versuche durchgeführt werden und die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A in jedem Versuch nicht von den Ergebnissen anderer Versuche abhängt, werden solche Versuche aufgerufen unabhängig in Bezug auf das Ereignis A .

In verschiedenen unabhängigen Versuchen kann Ereignis A entweder unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten oder dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Wir betrachten weiterhin nur solche unabhängigen Versuche, bei denen das Ereignis A die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

Im Folgenden verwenden wir das Konzept Komplex Ereignisse, Verständnis dadurch Kombination mehrerer separater Ereignisse, die aufgerufen werden einfach .

Lass es produzieren n unabhängige Versuche, bei denen jeweils A eintreten kann oder nicht. Vereinbaren wir die Annahme, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A in jedem Versuch gleich ist, nämlich gleich R . Daher ist die Wahrscheinlichkeit des Nichteintretens von Ereignis A in jedem Versuch ebenfalls konstant und gleich q = 1 - s .

Stellen wir uns die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen n Tests, Ereignis A wird genau eintreten k Zeiten und werden daher nicht realisiert n-k einmal. Es ist wichtig zu betonen, dass es nicht erforderlich ist, dass sich das Ereignis A genau wiederholt k Mal in einer bestimmten Reihenfolge.

Zum Beispiel, wenn wir über das Eintreten eines Ereignisses sprechen SONDERN dreimal in vier Versuchen sind folgende komplexe Ereignisse möglich: AAA, AAA, AAA, AAA. Aufzeichnung AAA bedeutet, dass im ersten, zweiten und dritten Versuch das Ereignis SONDERN kam, aber im vierten Test erschien es nicht, d.h. das Gegenteil geschah SONDERN; andere Einträge haben eine entsprechende Bedeutung.

Geben Sie die gewünschte Wahrscheinlichkeit an R p (k) . Zum Beispiel das Symbol R5 (3) bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis in fünf Versuchen genau 3 Mal eintritt und daher 2 Mal nicht eintritt.

Das Problem lässt sich mit der sogenannten Bernoulli-Formel lösen.

Herleitung der Bernoulli-Formel. Die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses besteht darin, dass in P Testveranstaltung SONDERN wird kommen k einmal und wird nicht kommen n-k Zeiten, nach dem Theorem der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ist gleich p k q n - k . Es kann so viele solcher komplexen Ereignisse geben, wie es Kombinationen davon gibt P Elemente von k Elemente, d.h. C n k .

Da diese komplexen Ereignisse unvereinbar, dann nach dem Additionssatz der Wahrscheinlichkeiten unvereinbarer Ereignisse die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen komplexen Ereignisse. Da die Wahrscheinlichkeiten all dieser komplexen Ereignisse gleich sind, ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit (des Eintretens k Veranstaltungszeiten SONDERN in P Tests) ist gleich der Wahrscheinlichkeit eines komplexen Ereignisses, multipliziert mit ihrer Anzahl:

Die resultierende Formel wird aufgerufen Bernoulli-Formel .

Beispiel 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Stromverbrauch an einem Tag die festgelegte Norm nicht überschreitet, ist gleich p = 0,75 . Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten 6 Tagen der Stromverbrauch für 4 Tage die Norm nicht überschreitet.

Entscheidung. Die Wahrscheinlichkeit des normalen Stromverbrauchs an jedem der 6 Tage ist konstant und gleich p = 0,75 . Daher ist die Wahrscheinlichkeit eines Mehrverbrauchs an Strom jeden Tag ebenfalls konstant und gleich q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit nach der Bernoulli-Formel ist gleich:

Kurze Theorie

Die Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit Experimenten, die (zumindest theoretisch) unbegrenzt oft wiederholt werden können. Lassen Sie ein Experiment einmal wiederholen, und die Ergebnisse jeder Wiederholung hängen nicht von den Ergebnissen früherer Wiederholungen ab. Solche Serien von Wiederholungen nennt man unabhängige Versuche. Ein Sonderfall solcher Tests sind Unabhängige Bernoulli-Studien, die durch zwei Bedingungen gekennzeichnet sind:

1) Das Ergebnis jedes Tests ist eines von zwei möglichen Ergebnissen, die jeweils als "Erfolg" oder "Fehler" bezeichnet werden.

2) die „Erfolgswahrscheinlichkeit“ bei jedem nachfolgenden Test hängt nicht von den Ergebnissen vorheriger Tests ab und bleibt konstant.

Satz von Bernoulli

Wenn eine Reihe unabhängiger Bernoulli-Versuche durchgeführt werden, bei denen jeweils „Erfolg“ mit Wahrscheinlichkeit eintritt, dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass „Erfolg“ in den Versuchen genau einmal eintritt, durch die Formel ausgedrückt:

wo ist die Ausfallwahrscheinlichkeit.

- die Anzahl der Kombinationen von Elementen durch (siehe die Grundformeln der Kombinatorik)

Diese Formel heißt Bernoulli-Formel.

Mit der Bernoulli-Formel können Sie eine große Anzahl von Berechnungen - Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten - mit einer ausreichend großen Anzahl von Tests loswerden.

Das Bernoulli-Testschema wird auch als Binomialschema bezeichnet, und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten werden als Binomial bezeichnet, was mit der Verwendung von Binomialkoeffizienten verbunden ist.

Die Verteilung nach dem Bernoulli-Schema erlaubt es insbesondere, die wahrscheinlichste Anzahl des Auftretens eines Ereignisses zu finden.

Wenn die Anzahl der Versuche n Super, dann viel Spaß:

Beispiel Problemlösung

Die Aufgabe

Die Keimung der Samen einer bestimmten Pflanze beträgt 70%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 gesäten Samen: 8, mindestens 8; mindestens 8?

Die Lösung des Problems

Nehmen wir die Bernoulli-Formel:

In unserem Fall

Lasst das Event – ​​aus 10 Samen keimen 8:

Lassen Sie das Ereignis - mindestens 8 steigen (also 8, 9 oder 10)

Lassen Sie das Ereignis mindestens um 8 steigen (das heißt 8,9 oder 10)

Antworten

Mittel Die Kosten für die Lösung der Kontrollarbeiten betragen 700 - 1200 Rubel (aber nicht weniger als 300 Rubel für die gesamte Bestellung). Der Preis wird stark von der Dringlichkeit der Entscheidung (von Tagen bis zu mehreren Stunden) beeinflusst. Die Kosten für die Online-Hilfe bei der Prüfung / dem Test - ab 1000 Rubel. für die Ticketlösung.

Die Bewerbung kann direkt im Chat hinterlassen werden, nachdem zuvor der Zustand der Aufgaben abgeworfen und Sie über die Fristen für die Lösung informiert wurden. Die Reaktionszeit beträgt mehrere Minuten.

In dieser Lektion finden wir die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in unabhängigen Versuchen auftritt, wenn die Versuche wiederholt werden. . Studien werden als unabhängig bezeichnet, wenn die Wahrscheinlichkeit des einen oder anderen Ergebnisses jeder Studie nicht davon abhängt, welche Ergebnisse andere Studien hatten. . Unabhängige Tests können sowohl unter gleichen Bedingungen als auch unter unterschiedlichen Bedingungen durchgeführt werden. Im ersten Fall ist die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Ereignisses in allen Versuchen gleich, im zweiten Fall variiert sie von Versuch zu Versuch.

Beispiele für unabhängige Wiederholungstests :

• einer der Geräteknoten oder zwei oder drei Knoten wird ausfallen, und der Ausfall jedes Knotens hängt nicht von dem anderen Knoten ab, und die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Knotens ist bei allen Tests konstant;
• ein Teil, das unter bestimmten konstanten technologischen Bedingungen hergestellt wird, oder drei, vier, fünf Teile, sich als nicht standardmäßig herausstellen wird, und ein Teil sich als nicht standardmäßig erweisen kann, unabhängig von einem anderen Teil, und der Wahrscheinlichkeit, dass das Teil dies wird sich als nicht standardmäßig herausstellen, ist in allen Tests konstant;
• von mehreren Schüssen auf die Scheibe treffen ein, drei oder vier Schüsse die Scheibe, unabhängig vom Ergebnis anderer Schüsse, und die Wahrscheinlichkeit, die Scheibe zu treffen, ist bei allen Versuchen konstant;
• wenn die Münze eingeworfen wird, wird die Maschine ein-, zwei- oder eine andere Anzahl von Malen richtig arbeiten, unabhängig davon, was die anderen Münzeinwürfe gehabt haben, und die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine richtig funktioniert, ist bei allen Versuchen konstant.

Diese Ereignisse können durch ein Schema beschrieben werden. Jedes Ereignis tritt in jeder Studie mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf, die sich nicht ändert, wenn die Ergebnisse früherer Studien bekannt werden. Solche Tests werden als unabhängig bezeichnet, und das Schema wird aufgerufen Bernoulli-Schema . Es wird davon ausgegangen, dass solche Tests beliebig oft wiederholt werden können.

Wenn die Wahrscheinlichkeit p Veranstaltung EIN in jedem Versuch konstant ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass in n unabhängige Testveranstaltung EIN wird kommen m Zeiten, befindet sich auf Bernoulli-Formel :

(wo q= 1 – p- die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt)

Lassen Sie uns die Aufgabe stellen - die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass ein Ereignis dieser Art eintritt n Unabhängige Prozesse werden kommen m einmal.

Bernoulli-Formel: Beispiele zur Problemlösung

Beispiel 1 Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von fünf zufällig ausgewählten Teilen zwei Standardteile sind, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Teil Standard ist, 0,9 beträgt.

Entscheidung. Ereigniswahrscheinlichkeit SONDERN, die darin besteht, dass ein nach dem Zufallsprinzip entnommener Teil Standard ist p=0,9 , und die Wahrscheinlichkeit, dass es sich nicht um einen Standard handelt, ist q=1–p=0,1 . Das im Zustand des Problems angegebene Ereignis (wir bezeichnen es mit BEIM) tritt auf, wenn beispielsweise die ersten beiden Teile Standard sind und die nächsten drei nicht Standard sind. Aber die Veranstaltung BEIM tritt auch ein, wenn der erste und dritte Teil Standard sind und der Rest nicht Standard ist, oder wenn der zweite und fünfte Teil Standard sind und der Rest nicht Standard ist. Es gibt andere Möglichkeiten für das Eintreten des Ereignisses. BEIM. Jeder von ihnen zeichnet sich dadurch aus, dass von fünf genommenen Teilen zwei, die beliebige Plätze von fünf einnehmen, sich als Standard herausstellen werden. Also die Gesamtzahl der verschiedenen Möglichkeiten für das Eintreten eines Ereignisses BEIM ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, zwei Normteile an fünf Stellen zu platzieren, d.h. ist gleich der Anzahl der Kombinationen von fünf Elementen mal zwei, und .

Die Wahrscheinlichkeit jeder Möglichkeit ist gemäß dem Wahrscgleich dem Produkt von fünf Faktoren, von denen zwei, die dem Auftreten von Standardteilen entsprechen, gleich 0,9 sind und die verbleibenden drei dem Auftreten von Nicht entsprechen -Normteile, sind gleich 0,1, d.h. diese Wahrscheinlichkeit ist . Da diese zehn Möglichkeiten inkompatible Ereignisse sind, ist nach dem Additionstheorem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses BEIM, die wir bezeichnen

Beispiel 2 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine innerhalb einer Stunde die Aufmerksamkeit eines Arbeiters erfordert, beträgt 0,6. Unter der Annahme, dass die Ausfälle an den Maschinen unabhängig sind, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass während einer Stunde die Aufmerksamkeit des Arbeiters von einer der vier von ihm gewarteten Maschinen benötigt wird.

Entscheidung. Verwenden Formel von Bernoulli beim n=4 , m=1 , p=0,6 und q=1–p=0,4 erhalten wir

Beispiel 3 Für den normalen Betrieb des Autodepots müssen mindestens acht Autos auf der Strecke sein, und es gibt zehn davon. Die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Auto die Linie nicht verlässt, ist gleich 0,1. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit für einen normalen Betrieb des Depots am nächsten Tag.

Entscheidung. Autobase wird gut funktionieren (event F), wenn entweder oder acht die Linie betreten (das Ereignis SONDERN) oder neun (event BEIM) oder alle zehn Autos (event C). Nach dem Wahrscheinlichkeitsadditionssatz gilt

Wir finden jeden Begriff nach der Bernoulli-Formel. Hier n=10 , m=8; 10 und p\u003d 1-0,1 \u003d 0,9, seit p sollte die Wahrscheinlichkeit bedeuten, dass ein Auto in die Linie einfährt; dann q=0,1 . Als Ergebnis erhalten wir

Beispiel 4 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde einen Herrenschuh der Größe 41 benötigt, sei 0,25. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von sechs Käufern mindestens zwei Schuhe in Größe 41 benötigen.

Es sollen n Versuche bezüglich des Ereignisses A durchgeführt werden. Führen wir die folgenden Ereignisse ein: Àk -- Ereignis À wurde während des k-ten Tests realisiert, $ k=1,2,\dots , n$. Dann ist $\bar(A)_(k) $ das entgegengesetzte Ereignis (Ereignis A ist beim k-ten Test nicht aufgetreten, $k=1,2,\dots , n$).

Was sind Peer- und Independent-Studien?

Definition

Gleichartige Tests bezüglich Ereignis A werden aufgerufen, wenn die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A1, A2, \dots , An$ gleich sind: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (d.h. die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A in einem Versuch ist in allen Versuchen konstant).

Offensichtlich stimmen auch in diesem Fall die Wahrscheinlichkeiten gegensätzlicher Ereignisse überein: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.

Definition

Versuche heißen unabhängig von Ereignis A, wenn die Ereignisse $A1, A2, \dots , An$ unabhängig sind.

In diesem Fall

In diesem Fall bleibt die Gleichheit erhalten, wenn ein beliebiges Ereignis Ak durch $\bar(A)_(k) $ ersetzt wird.

Lassen Sie eine Reihe von n ähnlichen unabhängigen Versuchen in Bezug auf Ereignis A durchführen. Wir tragen die Notation: p - die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A in einem Test; q ist die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses. Also P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ für beliebiges k und p+q=1.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Reihe von n Versuchen das Ereignis A genau k mal eintritt (0 ≤ k ≤ n), wird nach folgender Formel berechnet:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Gleichheit (1) wird die Bernoulli-Formel genannt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Reihe von n unabhängigen Versuchen desselben Typs Ereignis A mindestens k1-mal und höchstens k2-mal auftritt, wird nach folgender Formel berechnet:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Die Anwendung der Bernoulli-Formel für große Werte von n führt zu umständlichen Berechnungen, daher ist es in diesen Fällen besser, andere Formeln zu verwenden - asymptotische.

Verallgemeinerung des Bernoulli-Schemas

Betrachten Sie eine Verallgemeinerung des Bernoulli-Schemas. Wenn in einer Reihe von n unabhängigen Versuchen, von denen jeder m paarweise inkompatible und mögliche Ergebnisse Ak hat, mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten Ðk= ðk(Àk). Dann gilt die Polynomverteilungsformel:

Beispiel 1

Die Wahrscheinlichkeit, während einer Epidemie an Grippe zu erkranken, liegt bei 0,4. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 6 Mitarbeitern des Unternehmens krank werden

1. genau 4 Mitarbeiter;
2. nicht mehr als 4 Mitarbeiter.

Entscheidung. 1) Offensichtlich ist zur Lösung dieses Problems die Bernoulli-Formel anwendbar, wobei n = 6; k=4; p = 0,4; q = 1 – p = 0,6. Wenden wir Formel (1) an, erhalten wir: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \approx 0,138$.

Um dieses Problem zu lösen, ist Formel (2) anwendbar, wobei k1 = 0 und k2 = 4. Wir haben:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0)\cdot 0{,}4^(0)\cdot 0{,}6^(6)+C_(6)^(1)\cdot 0{,}4^(1)\cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ ungefähr 0,959.) \end(array)\]

Es ist zu beachten, dass diese Aufgabe mit dem entgegengesetzten Ereignis leichter zu lösen ist - mehr als 4 Mitarbeiter sind krank geworden. Dann erhalten wir unter Berücksichtigung der Formel (7) über die Wahrscheinlichkeiten entgegengesetzter Ereignisse:

Antwort: $\ $0,959.

Beispiel 2

Eine Urne enthält 20 weiße und 10 schwarze Kugeln. 4 Kugeln werden herausgenommen, und jede herausgenommene Kugel wird in die Urne zurückgelegt, bevor die nächste gezogen und die Kugeln in der Urne gemischt werden. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von den vier gezogenen Kugeln 2 weiße Kugeln in Abbildung 1 sind.

Bild 1.

Entscheidung. Das Ereignis A sei das – eine weiße Kugel wird gezogen. Dann sind die Wahrscheinlichkeiten $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Gemäß der Bernoulli-Formel ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

Antwort: $\frac(8)(27) $.

Beispiel 3

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mit 5 Kindern nicht mehr als 3 Mädchen hat. Die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen und ein Mädchen zu bekommen, wird als gleich angenommen.

Entscheidung. Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen zu bekommen $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-Wahrscheinlichkeit, einen Jungen zu bekommen. Es gibt nicht mehr als drei Mädchen in einer Familie, was bedeutet, dass entweder ein oder zwei oder drei Mädchen geboren wurden oder alle Jungen in der Familie.

Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass es keine Mädchen in der Familie gibt, ein, zwei oder drei Mädchen geboren wurden: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Daher ist die erforderliche Wahrscheinlichkeit $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Antwort: $\frac(13)(16)$.

Beispiel 4

Der erste Schütze mit einem Schuss kann die Top Ten mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 treffen, die Neun mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 und die Acht mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mit 10 Schüssen sechsmal zehn, dreimal neun und achtmal acht trifft?