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Handbücher und Simulatoren im Online-Shop "Integral" für Klasse 10 ab 1C
Algebraische Probleme mit Parametern, Klasse 9–11
Softwareumgebung "1C: Mathematical constructor 6.1"

Was werden wir studieren:
1. Zahlenkreis im Leben.
2. Definition eines Zahlenkreises.
3. Gesamtansicht und Länge des Zahlenkreises.
4. Lage der Hauptpunkte des Kreises.

Zahlenkreis und Leben

Im wirklichen Leben sind kreisförmige Bewegungen üblich. Zum Beispiel Radrennen, bei denen eine bestimmte Runde gegen die Uhr gefahren wird, oder Rennwagen-Wettbewerbe, bei denen die meisten Runden in der vorgegebenen Zeit gefahren werden müssen.

Betrachten Sie ein konkretes Beispiel…

Ein Läufer läuft in einem Kreis von 400 Metern Länge. Der Athlet startet bei Punkt A (Abb. 1) und bewegt sich gegen den Uhrzeigersinn. Wo wird er in 200 m, 800 m, 1500 m sein? Und wo zieht man die Ziellinie, wenn der Läufer 4195 m laufen muss?

Entscheidung:
Nach 200 m ist der Läufer am Punkt C. Da läuft er genau die halbe Strecke.

Nach 800 m läuft der Läufer genau zwei Runden und landet am Punkt A.

1500 m sind 3 Runden von 400 m (1200 m) und weitere 300 m, d. h. $\frac(3)(4)$ von der Strecke entfernt, wobei diese Distanz bei Punkt D endet.

Wo wird unser Läufer stehen, nachdem er 4195 m gelaufen ist? 10 Runden sind 4000m, 195m sind noch zu laufen, das sind 5m weniger als die Hälfte der Strecke. Die Ziellinie befindet sich also am Punkt K, der sich in der Nähe des Punktes C befindet.

Definition eines Zahlenkreises

Erinnern!
ist ein Einheitskreis, dessen Punkte bestimmten reellen Zahlen entsprechen. Einheitskreis heißt Kreis mit Radius 1.

Gesamtansicht des Zahlenkreises

1) Radius Als Maßeinheit wird der Kreis genommen.
2) Horizontal der Durchmesser wird mit AC bezeichnet, wobei A der Punkt ganz rechts ist.
Vertikal der Durchmesser ist mit BD bezeichnet, wobei B der höchste Punkt ist.

Die Durchmesser AC und BD teilen den Kreis in vier Viertel:
Erstes Viertel ist der Bogen AB.
zweites Viertel- Bogen BC.
drittes Quartal– Arc-CD.
viertes Viertel– Bogen DA.

3) Startpunkt Zahlenkreis - Punkt A.
Das Zählen von Punkt A gegen den Uhrzeigersinn wird als positive Richtung bezeichnet. Das Zählen von Punkt A im Uhrzeigersinn wird als negative Richtung bezeichnet.

Länge des Zahlenkreises

Die Länge des Zahlenkreises wird nach folgender Formel berechnet:
$L = 2π * R = 2π * 1 = 2π$.
Da dies der Einheitskreis ist, ist $R = 1$.
Wenn wir $π ≈ 3,14$ nehmen, dann lässt sich der Umfang L als Zahl ausdrücken:
$2 π ≈ 2 * 3,14 = $6,28.
Die Länge jedes Viertels ist: $\frac(1)(4)*2π=\frac(π)(2)$.

Lage der Hauptpunkte des Kreises

Die Hauptpunkte auf dem Kreis und ihre Namen sind in der Abbildung dargestellt:

Jedes der vier Viertel des Zahlenkreises ist in drei gleiche Teile geteilt. Neben jedem der zwölf erhaltenen Punkte steht eine Zahl, der er entspricht.

Für einen Zahlenkreis gilt folgende Aussage:

Wenn ein Punkt $M$ eines Zahlenkreises einer Zahl $t$ entspricht, dann entspricht er auch einer Zahl der Form $t+2π *k$, wobei $k$ eine ganze Zahl ist. $M(t) = M(t+2π*k)$.

Betrachten Sie ein Beispiel.
Im Einheitskreis wird der Bogen AB durch den Punkt M in zwei gleiche Teile und durch die Punkte K und P in drei gleiche Teile geteilt. Wie lang ist der Bogen: AM, MB, AK, KR, RB, AR, KM?

Bogenlänge $AB =\frac(π)(2)$. Wenn wir es durch den Punkt M in zwei gleiche Teile teilen, erhalten wir zwei Bögen, jeder mit der Länge $\frac(π)(4)$. Also $AM =MV=\frac(π)(4)$.

Der Bogen AB wird durch die Punkte K und P in drei gleiche Teile geteilt. Die Länge jedes resultierenden Teils ist gleich $\frac(1)(3)* \frac(π)(2)$, also $\frac(π )(6) $. Also $AK = CR = RV =\frac(π)(6)$.

Der Bogen АР besteht aus zwei Bögen AK und КР der Länge - $\frac(π)(6)$. Also $AP = 2 *\frac(π)(6) =\frac(π)(3)$.

Es bleibt die Länge des KM-Bogens zu berechnen. Dieser Bogen wird aus dem Bogen AM durch Eliminieren des Bogens AK erhalten. Somit ist $KM = AM – AK =\frac(π)(4) - \frac(π)(6) = \frac(π)(12)$.

Aufgabe:

Finden Sie einen Punkt auf dem Zahlenkreis, der einer bestimmten Zahl entspricht:
$2π$, $\frac(7π)(2)$, $\frac(π)(4)$, $-\frac(3π)(2)$.

Entscheidung:

Der Punkt A entspricht der Zahl $2π$, weil entlang des Kreises einen Weg der Länge $2π$ führen, d.h. genau einen Kreis, kommen wir wieder zu Punkt A.

Die Zahl $\frac(7π)(2)$ entspricht dem Punkt D, weil $\frac(7π)(2)=2π+\frac(3π)(2)$, also Wenn Sie sich in die positive Richtung bewegen, müssen Sie einen ganzen Kreis und zusätzlich einen Pfad der Länge $\frac(3π)(2)$ durchlaufen, der am Punkt D endet.

Der Punkt M entspricht der Zahl $\frac(π)(4)$, denn Wenn Sie sich in positiver Richtung bewegen, müssen Sie einen Weg von der Hälfte des Bogens AB mit der Länge $\frac(π)(2)$ durchlaufen, der am Punkt M endet.

Die Zahl $-\frac(3π)(2)$ entspricht dem Punkt B, weil Wenn Sie sich von Punkt A in eine negative Richtung bewegen, müssen Sie einen Pfad der Länge $\frac(3π)(2)$ durchlaufen, der an Punkt B endet.

Beispiel.

Finden Sie Punkte auf dem Zahlenkreis:
a) $21\frac(π)(4)$;
b) $-37\frac(π)(6)$.

Entscheidung:
Verwenden wir die Formel: $M(t) = M(t+2π*k)$ (8 Folie) erhalten wir:

a) $\frac(21π)(4) = (4+\frac(5)(4))*π = 4π +\frac(5π)(4) = 2*2π +\frac(5π)(4) $, dann entspricht die Zahl $\frac(21π)(4)$ der gleichen Zahl wie die Zahl $\frac(5)(4π)$ - Mitte des dritten Viertels.

b) $-\frac(37π)(6)=-(6+\frac(1)(6))*π =-(6π +\frac(π)(6)) = -3*2π - \frac (π)(6)$. Die Zahl $-\frac(37π)(6)$ entspricht also der gleichen Zahl wie die Zahl $-\frac(1)(6π)$. Dasselbe wie $\frac(11π)(6)$.

Beispiel.

Finden Sie alle Zahlen t, die Punkten auf dem Zahlenkreis entsprechen, die zu einem bestimmten Bogen gehören:
a) VA;
b) MK.

Entscheidung:

a) Bogen BA ist ein Bogen, der bei Punkt B beginnt und bei Punkt A endet und sich gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis bewegt. Punkt B ist jeweils gleich $\frac(π)(2)$ und Punkt A ist gleich $2π$. Für Punkte t gilt also: $\frac(π)(2) ≤ t ≤ 2π$. Aber gemäß der Formel auf Folie 8 entsprechen die Zahlen $\frac(π)(2)$ und $2π$ Zahlen der Form $\frac(π)(2)+2π*k$ und $2π+2π *k$ bzw.

$\frac(π)(2) +2π*k ≤ t ≤ 2π +2π*k$, wobei $k$ eine ganze Zahl ist.

b) Der Bogen MK ist ein Bogen mit dem Anfang im Punkt M und dem Ende im Punkt K. Der Punkt M ist jeweils gleich $-\frac(3π)(4)$, und der Punkt K ist gleich zu $\frac(π)(4)$.
Für Punkte t haben wir also:
$\frac(-3π)(4) ≤ t ≤\frac(π)(4)$.
Gemäß der Formel auf Folie 8 entsprechen die Zahlen $-\frac(3π)(4)$ und $\frac(π)(4)$ Zahlen der Form: $-\frac(3π)(4)+ 2π*k$ bzw. $\ frac(π)(4)+2π*k$.
Dann nimmt unsere Zahl t die Werte an:
$-\frac(3π)(4)+2π*k ≤ t ≤ \frac(π)(4) +2π*k$, wobei $k$ eine ganze Zahl ist.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung

1) Auf dem Einheitskreis wird der Bogen BC durch den Punkt T in zwei gleiche Teile und durch die Punkte K und P in drei gleiche Teile geteilt. Wie lang ist der Bogen: BT, TS, VC, CR, RS, BP, CT?

2) Finden Sie einen Punkt auf dem Zahlenkreis, der einer bestimmten Zahl entspricht:
$π$, $\frac(11π)(2)$, $\frac(21π)(4)$, $-\frac(7π)(2)$, $\frac(17π)(6)$.

3) Finden Sie alle Zahlen t, die auf dem Zahlenkreis den Punkten entsprechen, die zu dem gegebenen Bogen gehören:
a) AB;
b) Wechselstrom;
c) PM, wobei P der Mittelpunkt des Bogens AB und Punkt M der Mittelpunkt von DA ist.

Kapitel 2
3) Nummer

Lassen Sie uns den Punkt abgleichen.

Der Einheitskreis mit der hergestellten Korrespondenz wird aufgerufen

Zahlenkreis.

Dies ist das zweite geometrische Modell für die Menge der Reellen

Zahlen. Das erste Modell – der Zahlenstrahl – kennen die Schüler bereits. Es gibt

Analogie: für den Zahlenstrahl die Korrespondenzregel (von Zahl zu Punkt)

fast wörtlich gleich. Aber es gibt auch einen grundlegenden Unterschied - die Quelle

Hauptschwierigkeiten bei der Arbeit mit einem Zahlenkreis: jeweils auf einer geraden Linie

Punkt entspricht das einzige Nummer, auf einem Kreis ist es nicht. Wenn ein

Kreis entspricht einer Zahl, dann entspricht er allen

Zahlen des Formulars

Wo ist die Länge des Einheitskreises und ist eine ganze Zahl

Reis. ein

eine Zahl, die die Anzahl der vollständigen Runden des Kreises in die eine oder andere Richtung angibt

Seite.

Dieser Moment ist für Studenten schwierig. Sie sollten angeboten werden

Verständnis der Essenz der eigentlichen Aufgabe:

Die Stadionlaufbahn ist 400m lang, der Läufer ist 100m entfernt

vom Startpunkt. Welchen Weg hat er eingeschlagen? Wenn er gerade angefangen hat zu laufen, dann

100 m gelaufen; Wenn du es geschafft hast, eine Runde zu laufen, dann - (

Zwei Kreise - () ; wenn du laufen kannst

Kreise, dann ist der Pfad (

) . Jetzt können Sie vergleichen

das mit dem Ausdruck erhaltene Ergebnis

Beispiel 1 Welchen Zahlen entspricht der Punkt?

Zahlenkreis

Entscheidung. Da die Länge des ganzen Kreises

Das ist die Länge ihres Viertels

Daher für alle Nummern des Formulars

Ebenso wird festgelegt, welche Zahlen den Punkten entsprechen

heißt jeweils der erste, zweite, dritte,

vierte Viertel des Zahlenkreises.

Alle Schultrigonometrie basiert auf einem numerischen Modell

Kreise. Die Erfahrung zeigt, dass die Mängel bei diesem Modell auch so sind

die voreilige Einführung trigonometrischer Funktionen lässt nicht zu, zu schaffen

eine solide Grundlage für die erfolgreiche Assimilation des Materials. Daher nicht

Sie müssen sich beeilen und sich etwas Zeit nehmen, um Folgendes zu bedenken

fünf verschiedene Arten von Problemen mit einem Zahlenkreis.

Die erste Art von Aufgaben. Punkte auf dem Zahlenkreis finden,

entsprechend gegebenen Zahlen, ausgedrückt in Bruchteilen einer Zahl

Beispiel 2

Zahlen

Entscheidung. Lassen Sie uns den Bogen teilen

halbiert mit einem Punkt in drei gleiche Teile -

Punkte

(Abb. 2). Dann

Also die Nummer

Entsprechender Punkt

Anzahl
Beispiel

3.
auf der

numerisch

Kreise

Punkte,

entsprechende Nummern:

Entscheidung. Wir werden bauen

a) Verschieben des Lichtbogens

(seine Länge

) Fünf Mal

von diesem Punkt

in die negative Richtung

einen Punkt kriegen

b) Verschieben des Lichtbogens

(seine Länge

) siebenmal ab

in positiver Richtung erhalten wir eine Punkttrennung

dritter Teil des Bogens

Es wird der Nummer entsprechen

c) Verschieben des Lichtbogens

(seine Länge

) fünfmal vom Punkt

positiv

Richtung, bekommen wir einen Punkt

Trennen des dritten Teils des Bogens. Sie und

wird mit der Nummer übereinstimmen

(Die Erfahrung zeigt, dass es besser ist, nicht zu verschieben

fünf mal vorbei

Und 10 mal

Nach diesem Beispiel ist es angebracht, zwei Hauptlayouts der Numerik anzugeben

Kreise: Auf dem ersten von ihnen (Abb. 3) sind alle Viertel in zwei Hälften geteilt, auf

die zweite (Abb. 4) - in drei gleiche Teile. Diese Layouts sind nützlich im Büro

Mathematik.

Reis. 2

Reis. 3 Reis. 4

Diskutieren Sie mit den Schülern unbedingt die Frage: Was passiert, wenn

jedes der Layouts bewegt sich nicht im Positiven, sondern im Negativen

Richtung? Auf dem ersten Layout müssen die ausgewählten Punkte zugewiesen werden

andere "Namen": bzw

usw.; auf dem zweiten Layout:

Die zweite Art von Aufgaben. Punkte auf dem Zahlenkreis finden,

entsprechend gegebenen Zahlen, nicht ausgedrückt in Bruchteilen einer Zahl

Beispiel 4 Finden Sie die entsprechenden Punkte auf dem Zahlenkreis

Zahlen 1; 2; 3; -5.

Entscheidung.

Hier müssen wir uns darauf verlassen, dass

Daher Punkt 1

befindet sich auf dem Bogen

näher am Punkt

Die Punkte 2 und 3 sind auf dem Bogen, der erste ist

Der zweite liegt näher (Abb. 5).

Lasst uns genauer hinschauen

beim Finden des Punktes, der der Zahl - 5 entspricht.

Bewegen Sie sich von einem Punkt aus

in die negative Richtung, d.h. im Uhrzeigersinn

Reis. 5

Pfeil. Gehen wir in diese Richtung zur Sache

Werden

Dies bedeutet, dass der Punkt, der der Zahl - 5 entspricht, lokalisiert ist

etwas rechts vom Punkt

(siehe Abb.5).

Die dritte Art von Aufgaben. Erstellung von analytischen Aufzeichnungen (doppelt

Ungleichungen) für Bögen eines numerischen Kreises.

Tatsächlich handeln wir weiter

derselbe Plan, der in 5-8 verwendet wurde

Klassen zum Studium des Zahlenstrahls:

Suchen Sie zuerst einen Punkt nach Nummer, dann nach

Punkt - Zahl, dann doppelt verwenden

Ungleichungen für das Schreiben von Lücken

Zahlenreihe.

Betrachten wir zum Beispiel eine Eröffnung

Wo ist die Mitte des ersten

Viertel eines Zahlenkreises und

- seine Mitte

zweites Quartal (Abb. 6).

Die den Bogen charakterisierenden Ungleichungen, d.h. vertreten

Es wird vorgeschlagen, ein analytisches Modell des Lichtbogens in zwei Stufen zu erstellen. Am ersten

Bühne bilden den Kern analytische Aufzeichnung(Dies ist die Hauptsache zu folgen

Studenten unterrichten) für einen gegebenen Bogen

Auf dem zweiten

Bühne bilden einen allgemeinen Rekord:

Wenn wir über Bogen sprechen

Dann müssen Sie dies beim Schreiben des Kernels berücksichtigen

() liegt innerhalb des Bogens, und deshalb müssen Sie zum Anfang des Bogens gehen

in die negative Richtung. Daher der Kern der analytischen Notation des Bogens

hat die Form

Reis. 6

Die Begriffe „Kern des Analytischen

Bogenaufzeichnungen", "Analyseaufzeichnung

Bögen" werden nicht allgemein akzeptiert,

Überlegungen.

Vierte

Aufgaben.

Finden

Kartesisch

Koordinaten

Zahlenkreis Punkte, Mitte

die mit dem Beginn des Systems kombiniert wird

Koordinaten.

Betrachten wir zunächst einen eher subtilen Punkt, bis jetzt

in aktuellen Schulbüchern praktisch nicht erwähnt.

Beginnen Sie mit dem Studium des Modells "Zahlenkreis auf einer Koordinate

Flugzeug", sollten sich die Lehrer klar darüber im Klaren sein, welche Schwierigkeiten auf sie warten

Studenten hier. Diese Schwierigkeiten hängen mit der Tatsache zusammen, dass bei der Untersuchung dieser

Vorbilder von Schülern müssen ein ausreichend hohes Niveau aufweisen

mathematische Kultur, weil sie gleichzeitig darin arbeiten müssen

zwei Koordinatensysteme - in der "krummlinigen", wenn Informationen über

Die Position des Punktes wird entlang des Kreises genommen (Nummer

entspricht

Kreispunkt

(); ist die „krummlinige Koordinate“ des Punktes) und in

Kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem (am Punkt

Wie jeder Punkt

Koordinatenebene, es gibt eine Abszisse und eine Ordinate). Die Aufgabe des Lehrers ist es, zu helfen

Schulkinder bei der Überwindung dieser natürlichen Schwierigkeiten. Leider,

In Schulbüchern wird dies normalerweise nicht beachtet und von vornherein

erste Lektionen verwenden Notizen

Nicht in Anbetracht dessen, dass der Brief eingeht

im Kopf eines Schulkindes ist eindeutig mit der Abszisse im kartesischen verbunden

rechtwinkliges Koordinatensystem, und nicht mit der zurückgelegten Länge entlang der numerischen

Pfadkreise. Daher sollte man bei der Arbeit mit einem Zahlenkreis darauf verzichten

Symbole verwenden

Reis. 7

Kehren wir zum vierten Aufgabentyp zurück. Es geht darum, vom Schreiben wegzukommen

Aufzeichnungen

(), d.h. von krummlinigen zu kartesischen Koordinaten.

Kombinieren wir den Zahlenkreis mit dem kartesischen Rechtecksystem

Koordinaten wie in Abb. 7. Dann Punkte

werde haben

folgende Koordinaten:

() () () (). Sehr wichtig

lehren Sie die Schüler, die Koordinaten all dieser Punkte zu bestimmen, die

auf zwei Hauptlayouts markiert (siehe Abb.3,4). Für Punkt

Es kommt alles darauf an

Betrachten Sie ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse

Seine Beine sind gleich

Also die Koordinaten

). Gleiches gilt für Punkte.

Aber der einzige Unterschied ist, dass Sie berücksichtigen müssen

Abszissen- und Ordinatenzeichen. Speziell:

Was sollten sich die Schüler merken? Nur dass die Module der Abszisse u

die Ordinaten an den Mittelpunkten aller Viertel sind gleich

Und sie müssen die Zeichen kennen

für jeden Punkt direkt aus der Zeichnung ermitteln.

Für Punkt

Es läuft alles darauf hinaus, ein Rechteck in Betracht zu ziehen

Dreieck mit Hypotenuse 1 und Winkel

(Abb. 9). Dann der Kathet

gegenüberliegende Ecke

Wird gleich sein

benachbart

√

Meint,

Punktkoordinaten

Dasselbe gilt für den Punkt

nur die Beine "tauschen" und damit

Reis. acht

Reis. neun

wir bekommen

). Es sind die Bedeutungen

(bis Zeichen) und wird sein

„bedienen“ alle Punkte des zweiten Layouts (siehe Abb. 4), mit Ausnahme von Punkten

als Abszisse und Ordinate. Vorgeschlagene Erinnerungsform: „Wo ist kürzer,

; wo es länger ist

Beispiel 5 Finden Sie die Koordinaten eines Punktes

(siehe Abb.4).

Entscheidung. Punkt

Näher an der vertikalen Achse als an

horizontal, d. h. der Modul seiner Abszisse ist kleiner als der Modul seiner Ordinate.

Also ist der Modul der Abszisse

Der Modul der Ordinate ist

Zeichen in beiden

Fälle sind negativ (drittes Quartal). Fazit: Punkt

Hat Koordinaten

Bei der vierten Art von Problemen handelt es sich um die kartesischen Koordinaten aller

Punkte, die auf den ersten und zweiten erwähnten Layouts präsentiert werden

Tatsächlich bereiten wir die Schüler im Laufe dieser Art von Aufgaben darauf vor

Berechnung von Werten trigonometrischer Funktionen. Wenn alles dabei ist

klappte recht zuverlässig, dann der Übergang auf eine neue Abstraktionsebene

(Ordinate - Sinus, Abszisse - Cosinus) wird weniger schmerzhaft sein als

Der vierte Typ umfasst Aufgaben dieses Typs: für einen Punkt

Finden Sie Zeichen von kartesischen Koordinaten

Die Entscheidung dürfte Studierenden keine Schwierigkeiten bereiten: die Zahl

Matchball

Viertes Viertel bedeutet .

Fünfte Art von Aufgaben. Finden von Punkten auf dem numerischen Kreis durch

angegebenen Koordinaten.

Beispiel 6 Finden Sie Punkte mit Ordinate auf einem Zahlenkreis

Schreibe auf, welchen Zahlen sie entsprechen.

Entscheidung. Gerade

Überquert den Zahlenkreis an Punkten
(Abb. 11). Mit Hilfe des zweiten Layouts (siehe Abb. 4) setzen wir das auf den Punkt

entspricht der Zahl

Also sie

stimmt mit allen Nummern des Formulars überein
entspricht der Zahl

Und das heißt

alle Nummern des Formulars

Antworten:

Beispiel 7 Finden Sie auf numerisch

Kreispunkt mit Abszisse

Schreibe auf, welchen Zahlen sie entsprechen.

Entscheidung. Gerade
√

schneidet den Zahlenkreis an Punkten

- in der Mitte des zweiten und dritten Viertels (Abb. 10). Mit Hilfe des Ersten

Layout hat diesen Punkt gesetzt

entspricht der Zahl

Und damit sind alle gemeint

Zahlen des Formulars

entspricht der Zahl

Und damit sind alle gemeint

Zahlen des Formulars

Antworten:

Sie müssen die zweite Option anzeigen.

Notieren Sie die Antwort zum Beispiel 7. Immerhin der Punkt

entspricht der Zahl

Jene. alle Nummern des Formulars

wir bekommen:

Reis. zehn

Abb.11

Betonen Sie die unbestreitbare Bedeutung

die fünfte Art von Aufgaben. Tatsächlich unterrichten wir

Schulkinder

Entscheidung

Protozoen

trigonometrische Gleichungen: in Beispiel 6

es geht um die gleichung

Und im Beispiel

- über die Gleichung

Es ist wichtig, das Verständnis der Essenz der Materie zu lehren

Schüler lösen Gleichungen der Typen

entlang des Zahlenkreises

stürzen Sie sich nicht in Formeln

Die Erfahrung zeigt, dass wenn die erste Stufe (Arbeit an

Zahlenkreis) nicht zuverlässig genug herausgearbeitet, dann die zweite Stufe

(Arbeit an Formeln) wird von Schülern förmlich wahrgenommen, dass

Natürlich muss es überwunden werden.

Ähnlich wie bei den Beispielen 6 und 7 sollte auf dem Zahlenkreis zu finden sein

Punkte mit allen "großen" Ordinaten und Abszissen

Als besondere Fächer sind besonders hervorzuheben:

Bemerkung 1. In propädeutischer Hinsicht vorbereitend

Bearbeitung des Themas "Länge eines Kreises" im Kurs Geometrie der 9. Klasse. Wichtig

Rat: Das Übungssystem sollte Aufgaben der vorgeschlagenen Art enthalten

unter. Der Einheitskreis wird durch Punkte in vier gleiche Teile geteilt

der Bogen wird durch einen Punkt halbiert und der Bogen wird durch Punkte halbiert

in drei gleiche Teile (Abb. 12). Wie lang sind die Bögen

(es wird angenommen, dass die Umrundung des Kreises positiv erfolgt

Richtung)?

Reis. 12

Die fünfte Art von Aufgaben umfasst das Arbeiten mit Bedingungen wie

meint
zu

Entscheidung

Protozoen

trigonometrischen Ungleichungen „fitten“ wir auch nach und nach.

fünf Lektionen und erst in der sechsten Lektion sollten die Definitionen von Sinus und

Kosinus als Koordinaten eines Punktes auf einem numerischen Kreis. Dabei

Es ist ratsam, alle Arten von Problemen mit Schulkindern wieder zu lösen, aber mit

unter Verwendung der eingeführten Notation und dem Angebot, eine solche auszuführen

B. Aufgaben: berechnen

löse die Gleichung

Ungleichheit

usw. Das betonen wir in den ersten Lektionen

Trigonometrie einfache trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen

sind nicht Tor Ausbildung, aber verwendet als Einrichtungen zum

Hauptsache beherrschen - die Definitionen von Sinus und Cosinus als Koordinaten von Punkten

Zahlenkreis.

Lassen Sie die Nummer

Matchball

Zahlenkreis. Dann seine Abszisse

namens Kosinus einer Zahl

und bezeichnet

Und seine Ordinate heißt der Sinus einer Zahl

und ist markiert. (Abb. 13).

Aus dieser Definition kann man sofort

Stellen Sie die Vorzeichen von Sinus und Cosinus entsprechend ein

Viertel: für Sinus

Für Kosinus

Widme dem eine ganze Lektion (wie es ist

akzeptiert) ist kaum angemessen. TU es nicht

Schulkinder zwingen, sich diese Zeichen zu merken: alle mechanischen

Auswendiglernen, Auswendiglernen ist eine gewalttätige Technik, mit der Schüler,

In diesem Artikel werden wir die Definition eines numerischen Kreises ausführlich analysieren, seine Haupteigenschaft herausfinden und die Zahlen 1,2,3 usw. anordnen. Informationen zum Markieren anderer Zahlen auf dem Kreis (z. B. \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) versteht .

Zahlenkreis Nennen Sie einen Kreis mit Einheitsradius, dessen Punkte entsprechen nach folgenden Regeln angeordnet:

1) Der Ursprung liegt am äußersten rechten Punkt des Kreises;

2) Gegen den Uhrzeigersinn – positive Richtung; im Uhrzeigersinn - negativ;

3) Wenn wir den Abstand \(t\) auf dem Kreis in positiver Richtung eintragen, dann kommen wir zum Punkt mit dem Wert \(t\);

4) Wenn wir den Abstand \(t\) auf dem Kreis in negativer Richtung eintragen, dann kommen wir zum Punkt mit dem Wert \(–t\).

Warum heißt ein Kreis Zahl?
Weil Nummern darauf stehen. Dabei ähnelt der Kreis der Zahlenachse - sowohl auf dem Kreis als auch auf der Achse gibt es für jede Zahl einen bestimmten Punkt.

Warum wissen, was ein Zahlenkreis ist?
Mit Hilfe eines Zahlenkreises wird der Wert von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens bestimmt. Um Trigonometrie zu beherrschen und die Prüfung mit 60+ Punkten zu bestehen, ist es daher unerlässlich zu verstehen, was ein Zahlenkreis ist und wie man Punkte darauf platziert.

Was bedeuten die Wörter "... mit Einheitsradius ..." in der Definition?
Das bedeutet, dass der Radius dieses Kreises \(1\) ist. Und wenn wir einen solchen Kreis konstruieren, der im Ursprung zentriert ist, dann wird er die Achsen an den Punkten \(1\) und \(-1\) schneiden.

Es ist nicht notwendig, es klein zu zeichnen, Sie können die „Größe“ der Unterteilungen entlang der Achsen ändern, dann wird das Bild größer (siehe unten).

Warum ist der Radius genau eins? Es ist bequemer, denn in diesem Fall erhalten wir bei der Berechnung des Umfangs mit der Formel \(l=2πR\):

Die Länge des Zahlenkreises ist \(2π\) oder ungefähr \(6,28\).

Und was bedeutet "... deren Punkte reellen Zahlen entsprechen"?
Wie oben erwähnt, wird es auf dem Zahlenkreis für jede reelle Zahl definitiv ihren „Platz“ geben - einen Punkt, der dieser Zahl entspricht.

Warum Ursprung und Richtung auf dem Zahlenkreis bestimmen?
Der Hauptzweck des Zahlenkreises besteht darin, seinen Punkt für jede Zahl eindeutig zu bestimmen. Aber wie können Sie bestimmen, wo Sie ein Ende setzen sollen, wenn Sie nicht wissen, von wo aus Sie zählen und wohin Sie sich bewegen sollen?

Hier ist es wichtig, den Ursprung auf der Koordinatenlinie und auf dem Zahlenkreis nicht zu verwechseln – das sind zwei unterschiedliche Bezugssysteme! Verwechseln Sie auch nicht \(1\) auf der \(x\)-Achse und \(0\) auf dem Kreis - das sind Punkte auf verschiedenen Objekten.

Welche Punkte entsprechen den Zahlen \(1\), \(2\) usw.?

Denken Sie daran, dass wir angenommen haben, dass der Radius eines Zahlenkreises \(1\) ist? Dies wird unser einziges Segment (analog zur Zahlenachse), das wir auf den Kreis legen.

Um einen Punkt auf dem Zahlenkreis zu markieren, der der Zahl 1 entspricht, müssen Sie von 0 aus eine Strecke zurücklegen, die dem Radius in positiver Richtung entspricht.

Um einen Punkt auf dem Kreis zu markieren, der der Zahl \(2\) entspricht, müssen Sie eine Entfernung zurücklegen, die zwei Radien vom Ursprung entspricht, sodass \(3\) eine Entfernung gleich drei Radien ist usw.

Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, haben Sie vielleicht 2 Fragen:
1. Was passiert, wenn der Kreis "endet" (d. h. wir einen vollen Kreis machen)?
Antwort: Auf geht's in die zweite Runde! Und wenn der zweite vorbei ist, gehen wir zum dritten und so weiter. Daher können unendlich viele Zahlen auf einen Kreis angewendet werden.

2. Wo werden die negativen Zahlen sein?
Antwort: genau dort! Sie können auch so angeordnet werden, dass die erforderliche Anzahl von Radien von Null an gezählt wird, jedoch jetzt in negativer Richtung.

Leider ist es schwierig, ganze Zahlen auf dem Zahlenkreis zu bezeichnen. Dies liegt daran, dass die Länge des numerischen Kreises keine ganze Zahl ist: \ (2π \). Und an den bequemsten Stellen (an den Schnittpunkten mit den Achsen) gibt es auch keine ganzen Zahlen, sondern Brüche

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Wir präsentieren Ihnen eine Videolektion zum Thema "Numerischer Kreis". Es wird definiert, was Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens und Funktionen sind j= Sünde x, j= cos x, j= tg x, j= ctg x für jedes numerische Argument. Wir betrachten Standardaufgaben für die Korrespondenz zwischen Zahlen und Punkten in einem Einheitszahlenkreis, um für jede Zahl einen einzigen Punkt zu finden und umgekehrt für jeden Punkt eine Menge von Zahlen, die ihm entsprechen.

Thema: Elemente der Theorie trigonometrischer Funktionen

Lektion: Zahlenkreis

Unser unmittelbares Ziel ist es, trigonometrische Funktionen zu definieren: Sinus, Kosinus, Tangente, Kotangens-

Ein numerisches Argument kann auf einer Koordinatenlinie oder auf einem Kreis gezeichnet werden.

Ein solcher Kreis wird Zahlen- oder Einheitskreis genannt, weil. Nehmen Sie der Einfachheit halber einen Kreis mit

Markieren Sie beispielsweise einen gegebenen Punkt auf der Koordinatenlinie

und weiter Zahlenkreis.

Bei der Arbeit mit einem Zahlenkreis wurde vereinbart, dass eine Bewegung gegen den Uhrzeigersinn eine positive Richtung ist, eine Bewegung im Uhrzeigersinn eine negative.

Typische Aufgaben - Sie müssen die Koordinaten eines bestimmten Punktes bestimmen oder umgekehrt einen Punkt anhand seiner Koordinaten finden.

Die Koordinatenlinie stellt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Punkten und Zahlen her. Beispielsweise entspricht eine Zahl dem Punkt A mit Koordinate

Jeder Punkt B mit einer Koordinate ist durch nur eine Zahl gekennzeichnet - die Entfernung von 0 bis mit einem Plus- oder Minuszeichen.

Auf dem Zahlenkreis funktioniert die Eins-zu-Eins-Korrespondenz nur in eine Richtung.

Zum Beispiel gibt es einen Punkt B auf dem Koordinatenkreis (Abb. 2), die Bogenlänge ist 1, d.h. Dieser Punkt entspricht 1.

Gegeben sei ein Kreis, der Umfang eines Kreises, wenn dann die Länge des Einheitskreises ist.

Wenn wir addieren, erhalten wir den gleichen Punkt B, mehr - wir kommen auch zu Punkt B, subtrahieren - auch Punkt B.

Betrachten Sie Punkt B: Bogenlänge = 1, dann charakterisieren die Zahlen Punkt B auf dem Zahlenkreis.

Somit entspricht die Zahl 1 dem einzigen Punkt des numerischen Kreises - Punkt B, und der Punkt B entspricht einer unzählbaren Menge von Punkten der Form .

Für einen Zahlenkreis gilt:

Wenn T. M Zahlenkreis entspricht einer Zahl, dann entspricht er auch einer Zahl der Form

Sie können beliebig viele volle Umdrehungen um den Zahlenkreis in positiver oder negativer Richtung machen - der Punkt ist derselbe. Daher haben trigonometrische Gleichungen unendlich viele Lösungen.

Zum Beispiel gegebener Punkt D. Welchen Zahlen entspricht er?

Wir messen den Lichtbogen.

die Menge aller Zahlen, die dem Punkt D entsprechen.

Betrachten Sie die wichtigsten Punkte auf dem Zahlenkreis.

Die Länge des ganzen Kreises.

Jene. die Aufzeichnung des Koordinatensatzes kann unterschiedlich sein .

Betrachten Sie typische Aufgaben auf dem Zahlenkreis.

1. Gegeben: . Finden: ein Punkt auf einem Zahlenkreis.

Wir wählen den ganzen Teil aus:

Es ist notwendig, m. auf dem Zahlenkreis zu finden. , dann .

Dieses Set enthält auch den Punkt .

2. Gegeben: . Finden: ein Punkt auf einem Zahlenkreis.

Müssen t finden.

m. gehört ebenfalls zu diesem Satz.

Beim Lösen von Standardproblemen zur Entsprechung zwischen Zahlen und Punkten auf einem Zahlenkreis haben wir herausgefunden, dass es möglich ist, für jede Zahl einen einzigen Punkt zu finden, und dass es möglich ist, für jeden Punkt eine Reihe von Zahlen zu finden, die durch eine bestimmte Eigenschaft gekennzeichnet sind Punkt.

Teilen wir den Bogen in drei gleiche Teile und markieren die Punkte M und N.

Finden wir alle Koordinaten dieser Punkte.

Unser Ziel ist es also, trigonometrische Funktionen zu definieren. Dazu müssen wir lernen, wie man ein Funktionsargument setzt. Wir haben die Punkte des Einheitskreises betrachtet und zwei typische Probleme gelöst - einen Punkt auf dem Zahlenkreis zu finden und alle Koordinaten des Punktes des Einheitskreises aufzuschreiben.

1. Mordkovich A.G. und andere Algebra 9. Klasse: Proc. Für die Allgemeinbildung Institutionen - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: mit Abb.

2. Mordkovich A.G. et al. Algebra Klasse 9: Aufgabenbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. Aufl. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: mit Abb.

3. Yu N. Makarychev, Algebra. Klasse 9: Lehrbuch für allgemeinbildende Schüler. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. Aufl., Rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

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6. Algebra. Klasse 9 Bei 2 Stunden Teil 2. Aufgabenbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. Aufl., Rev. — M.: 2010.-223 S.: mit Abb.

Mordkovich A.G. et al. Algebra Klasse 9: Aufgabenbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb.

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