Definition 1. Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch sich selbst und 1 teilbar ist.

Mit anderen Worten, eine Zahl ist eine Primzahl, wenn sie nur zwei verschiedene natürliche Teiler hat.

Definition 2. Jede natürliche Zahl, die außer sich selbst noch andere Teiler hat und Eins heißt zusammengesetzte Zahl.

Mit anderen Worten, natürliche Zahlen, die keine Primzahlen sind, werden zusammengesetzte Zahlen genannt. Definition 1 impliziert, dass eine zusammengesetzte Zahl mehr als zwei natürliche Teiler hat. Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt. hat nur einen Teiler 1 und außerdem gelten viele Sätze über Primzahlen nicht für Eins.

Aus den Definitionen 1 und 2 folgt, dass jede positive ganze Zahl größer als 1 entweder eine Primzahl oder eine zusammengesetzte Zahl ist.

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Primzahltabelle

Erklärung 1. Wenn ein p ist eine Primzahl und a jede ganze Zahl, dann entweder a geteilt durch p, oder p und a relativ Primzahlen.

Wirklich. Wenn ein p Primzahl, dann ist sie nur durch sich selbst und 1 teilbar, wenn a nicht teilbar durch p, dann der größte gemeinsame Teiler a und p gleich 1. Dann p und a relativ Primzahlen.

Erklärung 2. Ist das Produkt mehrerer Zahlen a 1 , a 2 , a 3 , ... ist durch eine Primzahl teilbar p, dann mindestens eine der Zahlen a 1 , a 2 , a 3 , ... ist teilbar durch p.

Wirklich. Wenn keine der Zahlen durch teilbar ist p, dann die Zahlen a 1 , a 2 , a 3 , ... wären relativ Primzahlen bzgl p. Aber aus Korollar 3 () folgt, dass ihr Produkt a 1 , a 2 , a 3 , ... ist ebenfalls teilerfremd bezüglich p, was der Bedingung der Behauptung widerspricht. Daher ist mindestens eine der Zahlen durch teilbar p.

Satz 1. Jede zusammengesetzte Zahl lässt sich immer und noch dazu eindeutig als Produkt einer endlichen Anzahl von Primzahlen darstellen.

Nachweisen. Lassen k zusammengesetzte Zahl, und lassen a 1 ist einer seiner Teiler, der sich von 1 und sich selbst unterscheidet. Wenn ein a 1 zusammengesetzt ist, dann hat es zusätzlich zu 1 und a 1 und ein weiterer Teiler a 2. Wenn ein a 2 ist eine zusammengesetzte Zahl, dann hat sie zusätzlich zu 1 und a 2 und ein weiterer Teiler a 3 . Auf diese Weise argumentieren und die Zahlen berücksichtigen a 1 , a 2 , a 3 , ... abnehmen und diese Reihe endlich viele Terme enthält, werden wir eine Primzahl erreichen p ein . Dann k darstellen kann als

Angenommen, es gibt zwei Erweiterungen einer Zahl k:

Als k=p 1 p 2 p 3 ... ist durch eine Primzahl teilbar q 1 , dann beispielsweise mindestens einer der Faktoren p 1 ist teilbar durch q ein . Aber p 1 ist eine Primzahl und nur durch 1 und sich selbst teilbar. Somit p 1 =q 1 (weil q 1 ≠1)

Dann können wir aus (2) ausschließen p 1 und q 1:

Wir stellen also sicher, dass jede Primzahl, die ein- oder mehrmals als Faktor in die erste Entwicklung eintritt, mindestens genauso oft in die zweite Entwicklung eintritt und umgekehrt, jede Primzahl, die in die zweite Entwicklung als Faktor ein- oder mehrmals eintritt Mal kommt auch die erste Erweiterung mindestens genauso oft vor. Daher geht jede Primzahl als Faktor in beide Entwicklungen gleich oft ein und somit sind diese beiden Entwicklungen gleich

Zerlegung einer zusammengesetzten Zahl k kann in folgender Form geschrieben werden

(3)

wo p 1 , p 2 , ... verschiedene Primzahlen, α, β, γ ... ganzzahlige positive Zahlen.

Zerlegung (3) wird aufgerufen Kanonische Zerlegung Zahlen.

Primzahlen in der Reihe der natürlichen Zahlen kommen ungleichmäßig vor. In einigen Teilen der Serie gibt es mehr davon, in anderen weniger. Je weiter wir uns entlang der Zahlenreihe bewegen, desto seltener werden die Primzahlen. Die Frage ist, gibt es eine größte Primzahl? Der antike griechische Mathematiker Euklid bewies, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Diesen Beweis stellen wir im Folgenden vor.

Satz 2. Die Anzahl der Primzahlen ist unendlich.

Nachweisen. Angenommen, es gibt eine endliche Anzahl von Primzahlen, und die größte Primzahl sei p. Betrachten wir alle Zahlen p. Nach Annahme der Aussage müssen diese Zahlen zusammengesetzt und durch mindestens eine der Primzahlen teilbar sein. Wählen wir eine Zahl, die das Produkt all dieser Primzahlen plus 1 ist:

Anzahl z mehr p als 2p schon mehr p. p ist durch keine dieser Primzahlen teilbar, da wenn es durch jeden von ihnen dividiert wird, ergibt es einen Rest von 1. Damit kommen wir zu einem Widerspruch. Daher gibt es unendlich viele Primzahlen.

Dieser Satz ist ein Spezialfall eines allgemeineren Satzes:

Satz 3. Gegeben sei eine arithmetische Progression

Dann irgendeine Primzahl rein n, sollte ebenfalls enthalten sein m, also rein n kann keine anderen Primfaktoren enthalten, die nicht in enthalten sind m und darüber hinaus diese Primfaktoren in n erscheinen nicht öfter als in m.

Das Gegenteil ist auch wahr. Wenn jeder Primfaktor einer Zahl n kommt mindestens genauso oft vor m, dann m geteilt durch n.

Erklärung 3. Lassen a 1 ,a 2 ,a 3 ,... verschiedene Primzahlen, die in vorkommen m so

wo ich=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . beachte das ein ich akzeptiert α +1 Werte, β j akzeptiert β +1 Werte, γ k nimmt γ +1 Werte, ... .

Die Einteilung der natürlichen Zahlen in Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen wird dem altgriechischen Mathematiker Pythagoras zugeschrieben. Und wenn Sie Pythagoras folgen, kann die Menge der natürlichen Zahlen in drei Klassen unterteilt werden: (1) - eine Menge, die aus einer Zahl besteht - eins; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) ist die Menge der Primzahlen; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) ist die Menge der zusammengesetzten Zahlen.

Viele verschiedene Geheimnisse verbergen das zweite Set. Aber zuerst wollen wir herausfinden, was eine Primzahl ist. Wir öffnen das „Mathematical Encyclopedic Dictionary“ (Yu. V. Prokhorov, Verlag „Soviet Encyclopedia“, 1988) und lesen:

„Eine Primzahl ist eine positive ganze Zahl größer als eins, die außer sich selbst und eins keine anderen Teiler hat: 2,3,5,7,11,13,

Das Konzept einer Primzahl ist grundlegend für das Studium der Teilbarkeit natürlicher Zahlen; Der Hauptsatz der Arithmetik besagt nämlich, dass jede positive ganze Zahl außer 1 eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegt werden kann (die Reihenfolge der Faktoren wird nicht berücksichtigt). Es gibt unendlich viele Primzahlen (dieser Satz, Satz von Euklid genannt, war bereits den antiken griechischen Mathematikern bekannt, sein Beweis findet sich in Buch 9 von Euklids Elementen). P. Dirichlet (1837) stellte fest, dass in einer arithmetischen Folge a+bx bei x=1. ,2,с mit teilerfremden ganzen Zahlen a und b enthält auch unendlich viele Primzahlen.

Um Primzahlen von 1 bis x zu finden, wird die bekannte aus dem 3. Jahrhundert verwendet. BC e. Sieb des Eratosthenes. Betrachtet man die Folge (*) der Primzahlen von 1 bis x, so zeigt sich, dass x im Durchschnitt seltener wird, je größer es wird. Es gibt beliebig lange Abschnitte einer Reihe natürlicher Zahlen, unter denen es keine einzige Primzahl gibt (Satz 4). Gleichzeitig gibt es solche Primzahlen, deren Differenz gleich 2 ist (die sogenannten Zwillinge). Bis heute (1987) ist nicht bekannt, ob die Menge solcher Zwillinge endlich oder unendlich ist. Primzahltabellen innerhalb der ersten 11 Millionen natürlichen Zahlen zeigen sehr große Zwillinge (z. B. 10.006.427 und 10.006.429).

Die Aufklärung der Verteilung der Primzahlen in den natürlichen Zahlenreihen ist ein sehr schwieriges Problem der Zahlentheorie. Es wird als Untersuchung des asymptotischen Verhaltens einer Funktion dargestellt, die die Anzahl der Primzahlen angibt, die eine positive Zahl x nicht überschreitet. Aus dem Satz von Euklid geht hervor, dass at. L. Euler führte 1737 die Zeta-Funktion ein.

Das hat er auch bewiesen

Dabei wird über alle natürlichen Zahlen summiert und das Produkt über alle Primzahlen gebildet. Diese Identität und ihre Verallgemeinerungen spielen eine grundlegende Rolle in der Theorie der Verteilung von Primzahlen. Davon ausgehend bewies L. Euler, dass die Reihe und das Produkt in Primzahlen p divergieren. Außerdem stellte L. Euler fest, dass es „viele“ Primzahlen gibt, weil

Und gleichzeitig sind fast alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt, da at.

und für alle (d. h. was als Funktion wächst). Chronologisch gesehen ist das nächste signifikante Ergebnis, das Chebyshevs Theorem verfeinert, das sogenannte. das asymptotische Gesetz der Verteilung von Primzahlen (J. Hadamard, 1896, Ch. La Vallee Poussin, 1896), das darin bestand, dass die Grenze des Verhältnisses zu gleich 1 ist. Anschließend wurden erhebliche Anstrengungen der Mathematiker darauf gerichtet Klärung des asymptotischen Verteilungsgesetzes der Primzahlen. Fragen der Verteilung von Primzahlen werden sowohl mit elementaren Methoden als auch mit Methoden der mathematischen Analyse untersucht.

Hier ist es sinnvoll, einige der im Artikel angegebenen Theoreme zu beweisen.

Lemma 1. Wenn ggT(a, b)=1, dann gibt es ganze Zahlen x, y so dass.

Nachweisen. Seien a und b relative Primzahlen. Betrachten Sie die Menge J aller natürlichen Zahlen z, darstellbar in der Form, und wählen Sie die kleinste Zahl d darin.

Wir wollen beweisen, dass a durch d teilbar ist. Teilen Sie a durch d mit Rest: und lassen Sie. Da es also die Form hat,

Wir sehen das.

Da wir angenommen haben, dass d die kleinste Zahl in J ist, haben wir einen Widerspruch. Also ist a durch d teilbar.

Ebenso beweisen wir, dass b durch d teilbar ist. Also d=1. Das Lemma ist bewiesen.

Satz 1. Wenn die Zahlen a und b teilerfremd sind und das Produkt bx durch a teilbar ist, dann ist x durch a teilbar.

Beweis 1. Wir müssen beweisen, dass ax durch b teilbar ist und ggT(a,b)=1, dann ist x durch b teilbar.

Nach Lemma 1 gibt es x, y so dass. Dann ist offensichtlich durch b teilbar.

Beweis 2. Betrachte die Menge J aller natürlichen Zahlen z derart, dass zc durch b teilbar ist. Sei d die kleinste Zahl in J. Das sieht man leicht. Analog zum Beweis von Lemma 1 beweisen wir, dass a durch d teilbar ist und b durch d teilbar ist

Lemma 2. Wenn die Zahlen q,p1,p2,pn Primzahlen sind und das Produkt durch q teilbar ist, dann ist eine der Zahlen pi gleich q.

Nachweisen. Beachte zunächst, dass wenn eine Primzahl p durch q teilbar ist, dann p=q ist. Daraus folgt sofort die Behauptung des Lemmas für n=1. Für n=2 folgt direkt aus Satz 1: Wenn p1p2 durch eine Primzahl q u teilbar ist, dann ist p2 durch q (ie) teilbar.

Wir beweisen das Lemma für n=3 wie folgt. Sei p1 p2 p3 durch q teilbar. Wenn p3 = q, dann ist alles bewiesen. Wenn also nach Satz 1 p1 p2 durch q teilbar ist. Damit haben wir den Fall n=3 auf den bereits betrachteten Fall n=2 reduziert.

In ähnlicher Weise können wir von n=3 zu n=4 gehen, dann zu n=5, und im Allgemeinen, unter der Annahme, dass n=k die Behauptung des Lemmas bewiesen ist, können wir sie leicht für n=k+1 beweisen. Dies überzeugt uns, dass das Lemma für alle n gilt.

Fundamentalsatz der Arithmetik. Jede natürliche Zahl lässt sich auf einzigartige Weise in Primfaktoren zerlegen.

Nachweisen. Angenommen, es gibt zwei Zerlegungen der Zahl a in Primfaktoren:

Da die rechte Seite durch q1 teilbar ist, muss die linke Seite der Gleichheit auch durch q1 teilbar sein. Nach Lemma 2 ist eine der Zahlen gleich q1. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichheit durch q1 kürzen.

Lassen Sie uns dieselbe Argumentation für q2, dann für q3 und für qi durchführen. Am Ende werden alle Faktoren auf der rechten Seite reduziert und es bleibt 1. Auf der linken Seite bleibt natürlich nichts außer einem. Daraus schließen wir, dass sich die beiden Erweiterungen und nur in der Reihenfolge der Faktoren unterscheiden können. Der Satz ist bewiesen.

Satz von Euklid. Die Anzahl der Primzahlen ist unendlich.

Nachweisen. Nehmen Sie an, dass die Reihe der Primzahlen endlich ist, und bezeichnen Sie die letzte Primzahl mit dem Buchstaben N. Bilden Sie das Produkt

Addieren wir dazu 1. Wir erhalten:

Diese Zahl muss als ganze Zahl mindestens einen Primfaktor enthalten, also durch mindestens eine Primzahl teilbar sein. Aber alle Primzahlen überschreiten nach Annahme N nicht, während die Zahl M + 1 nicht ohne Rest durch eine der Primzahlen kleiner oder gleich N teilbar ist - jedes Mal, wenn der Rest 1 ist. Der Satz ist bewiesen.

Satz 4. Abschnitte zusammengesetzter Zahlen zwischen Primzahlen können beliebig lang sein. Wir werden nun beweisen, dass die Reihe aus n aufeinanderfolgenden zusammengesetzten Zahlen besteht.

Diese Zahlen gehen in der natürlichen Reihe direkt hintereinander, da jede nächste um 1 größer ist als die vorherige. Es bleibt zu beweisen, dass sie alle zusammengesetzt sind.

Erste Nummer

Gerade, da beide Terme einen Faktor von 2 enthalten. Und jede gerade Zahl größer als 2 ist zusammengesetzt.

Die zweite Zahl besteht aus zwei Termen, die jeweils ein Vielfaches von 3 sind. Daher ist diese Zahl zusammengesetzt.

In ähnlicher Weise stellen wir fest, dass die nächste Zahl ein Vielfaches von 4 ist usw. Mit anderen Worten, jede Zahl in unserer Reihe enthält einen Faktor, der sich von eins und sich selbst unterscheidet; es ist daher zusammengesetzt. Der Satz ist bewiesen.

Nachdem wir die Beweise der Theoreme studiert haben, setzen wir die Betrachtung des Artikels fort. In ihrem Text wurde das Sieb des Eratosthenes als Möglichkeit erwähnt, Primzahlen zu finden. Lesen wir über diese Methode aus demselben Wörterbuch:

„Das Sieb des Eratosthenes ist eine von Eratosthenes entwickelte Methode, mit der man zusammengesetzte Zahlen aus der natürlichen Reihe heraussieben kann. Die Essenz des Siebes von Eratosthenes ist wie folgt. Die Einheit ist durchgestrichen. Die Nummer zwei ist einfach. Alle natürlichen Zahlen, die durch 2 teilbar sind, sind durchgestrichen Zahl 3 - die erste nicht durchgestrichene Zahl ist eine Primzahl. Außerdem werden alle natürlichen Zahlen, die durch 3 teilbar sind, durchgestrichen, die Zahl 5 – die nächste nicht durchgestrichene Zahl – wird zur Primzahl. Wenn man ähnliche Berechnungen fortsetzt, kann man ein beliebig langes Segment einer Folge von Primzahlen finden. Das Sieb des Eratosthenes als theoretische Methode zum Studium der Zahlentheorie wurde von W. Brun (1919) entwickelt.

Hier ist die größte Zahl, die derzeit als Primzahl bekannt ist:

Diese Zahl hat ungefähr siebenhundert Dezimalstellen. Die Berechnungen, durch die festgestellt wurde, dass diese Zahl eine Primzahl ist, wurden auf modernen Computern durchgeführt.

„Die Riemannsche Zeta-Funktion, -Funktion, ist eine analytische Funktion einer komplexen Variablen, für σ>1, bestimmt durch eine absolut gleichmäßig konvergente Dirichlet-Reihe:

Für σ>1 gilt die Darstellung in Form des Euler-Produkts:

(2) wobei p alle Primzahlen durchläuft.

Die Identität von Reihe (1) und Produkt (2) ist eine der Haupteigenschaften der Zeta-Funktion. Sie erlaubt es, verschiedene Beziehungen zu erhalten, die die Zeta-Funktion mit den wichtigsten zahlentheoretischen Funktionen verbinden. Daher spielt die Zeta-Funktion in der Zahlentheorie eine große Rolle.

Die Zeta-Funktion wurde als Funktion einer reellen Variablen von L. Euler (1737, Publ. 1744) eingeführt, der ihre Position im Produkt (2) angab. Dann wurde die Zeta-Funktion von P. Dirichlet und besonders erfolgreich von P. L. Chebyshev im Zusammenhang mit der Untersuchung des Verteilungsgesetzes von Primzahlen betrachtet. Die tiefgreifendsten Eigenschaften der Zeta-Funktion wurden jedoch nach den Arbeiten von B. Riemann entdeckt, der 1859 erstmals die Zeta-Funktion als Funktion einer komplexen Variablen betrachtete, er führte auch den Namen „Zeta-Funktion“ ein und die Bezeichnung """.

Aber es stellt sich die Frage: Welche praktische Anwendung gibt es für all diese Arbeit an Primzahlen? In der Tat gibt es für sie fast keine Verwendung, aber es gibt einen Bereich, in dem Primzahlen und ihre Eigenschaften bis heute angewendet werden. Das ist Kryptografie. Dabei werden Primzahlen in Verschlüsselungssystemen ohne Schlüsselübergabe verwendet.

Leider ist dies alles, was man über Primzahlen weiß. Es gibt noch viele Geheimnisse. Beispielsweise ist nicht bekannt, ob die Menge der Primzahlen, die als zwei Quadrate darstellbar sind, unendlich ist.

"NICHT EINFACHE PRIMZAHLEN".

Ich beschloss, ein wenig zu recherchieren, um Antworten auf einige Fragen zu Primzahlen zu finden. Zunächst habe ich ein Programm kompiliert, das alle aufeinanderfolgenden Primzahlen kleiner als 1.000.000.000 ausgibt, außerdem habe ich ein Programm kompiliert, das ermittelt, ob die eingegebene Zahl eine Primzahl ist. Um die Probleme der Primzahlen zu untersuchen, habe ich einen Graphen gebaut, der die Abhängigkeit des Wertes einer Primzahl von der Ordnungszahl markiert. Als weiteren Forschungsplan habe ich mich entschieden, den Artikel von I. S. Zeltser und B. A. Kordemsky „Amüsante Herden von Primzahlen." Die Autoren identifizierten folgende Forschungspfade:

1. 168 Stellen der ersten tausend natürlichen Zahlen sind mit Primzahlen besetzt. Davon sind 16 Zahlen palindromisch - jede ist gleich der Umkehrung: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Es gibt nur 1061 vierstellige Primzahlen, und keine davon ist palindromisch.

Es gibt viele fünfstellige einfache palindromische Zahlen. Dazu gehören solche Schönheiten: 13331, 15551, 16661, 19991. Zweifellos gibt es Herden dieser Art: ,. Aber wie viele Kopien gibt es in jeder solchen Herde?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Es ist ersichtlich, dass die Quersumme der Zahlen und durch 3 teilbar ist, also sind diese Zahlen selbst auch durch 3 teilbar.

Was die Zahlen des Formulars betrifft, so sind darunter die Zahlen 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 Primzahlen.

2. In den ersten tausend Zahlen gibt es fünf "Quartette", bestehend aus aufeinanderfolgenden Primzahlen, deren letzte Ziffern die Folge 1, 3, 7, 9 bilden: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Wie viele solcher Quartette gibt es unter den n-stelligen Primzahlen für n>3?

Mit dem von mir geschriebenen Programm fand ich das von den Autoren übersehene Quartett: (479, 467, 463, 461) und Quartette für n = 4, 5, 6. Für n = 4 gibt es 11 Quartette

3. Ein Schwarm von neun Primzahlen: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 – ist nicht nur attraktiv, weil es eine arithmetische Folge mit einer Differenz von 210 ist, sondern auch, weil sie in neun passt Zellen so, dass ein magisches Quadrat mit einer Konstante gleich der Differenz zweier Primzahlen gebildet wird: 3119 - 2:

Das nächste, zehnte Glied der betrachteten Progression, 2089, ist ebenfalls eine Primzahl. Wenn Sie die Zahl 199 aus der Herde entfernen, aber 2089 hinzufügen, kann die Herde in dieser Komposition ein magisches Quadrat bilden - ein Suchthema.

Es sollte beachtet werden, dass es andere magische Quadrate gibt, die aus Primzahlen bestehen:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Der vorgeschlagene Platz ist neugierig, weil

1. Es ist ein 7x7 magisches Quadrat;

2. Es enthält ein magisches 5x5-Quadrat;

3. Ein magisches 5x5-Quadrat enthält ein magisches 3x3-Quadrat;

4. Alle diese Quadrate haben eine gemeinsame zentrale Zahl - 3407;

5. Alle 49 Zahlen des 7x7-Quadrats enden in der Zahl 7;

6. Alle 49 Zahlen im 7x7-Quadrat sind Primzahlen;

7. Jede der 49 Zahlen in einem 7x7-Quadrat kann als 30n + 17 dargestellt werden.

Die verwendeten Programme wurden von mir in der Programmiersprache Dev-C++ geschrieben und ich stelle deren Texte im Anhang zur Verfügung (siehe Dateien mit der Endung .cpp). Zusätzlich zu all dem habe ich ein Programm geschrieben, das aufeinanderfolgende natürliche Zahlen in Primfaktoren zerlegt (siehe Teiler 1. cpp) und ein Programm, das nur die eingegebene Zahl in Primfaktoren zerlegt (siehe Teiler 2. cpp). Da diese Programme in kompilierter Form zu viel Platz einnehmen, werden nur ihre Texte angegeben. Jeder kann sie jedoch kompilieren, wenn er das richtige Programm hat.

Biografien von Wissenschaftlern, die sich mit dem Problem der Primzahlen befassen

EUKLIDE

(ca. 330 v. Chr. - ca. 272 ​​v. Chr.)

Über das Leben des berühmtesten Mathematikers der Antike sind nur sehr wenige verlässliche Informationen erhalten. Es wird angenommen, dass er in Athen studierte, was seine brillante Beherrschung der von der Schule Platons entwickelten Geometrie erklärt. Offenbar war er jedoch mit den Schriften von Aristoteles nicht vertraut. Er lehrte in Alexandria, wo er für seine Lehrtätigkeit während der Regierungszeit von Ptolemaios I. Soter hoch gelobt wurde. Es gibt eine Legende, dass dieser König verlangte, ihm einen Weg zu offenbaren, um in der Mathematik schnelle Erfolge zu erzielen, worauf Euklid antwortete, dass es keine königlichen Wege in der Geometrie gebe (eine ähnliche Geschichte wird jedoch auch von Menchem erzählt, der angeblich gefragt wurde ungefähr gleich von Alexander dem Großen). Die Tradition hat die Erinnerung an Euklid als wohlwollende und bescheidene Person bewahrt. Euklid ist Autor von Abhandlungen zu verschiedenen Themen, aber sein Name ist hauptsächlich mit einer der Abhandlungen namens "Anfänge" verbunden. Es handelt sich um eine Sammlung von Arbeiten von Mathematikern, die vor ihm gearbeitet haben (der berühmteste unter ihnen war Hippokrates von Kos), deren Ergebnisse er dank seiner Verallgemeinerungsfähigkeit und seines Fleißes zur Vollendung brachte.

EULER (EULER) LEONARD

(Basel, Schweiz 1707 - St. Petersburg, 1783)

Mathematiker, Mechaniker und Physiker. Geboren in der Familie eines armen Pastors Paul Euler. Seine Ausbildung erhielt er zunächst von seinem Vater und 1720–24 an der Universität Basel, wo er mathematische Vorlesungen von I. Bernoulli besuchte.

Ende 1726 wurde Euler in die St. Petersburger Akademie der Wissenschaften eingeladen und kam im Mai 1727 in St. Petersburg an. In der neu organisierten Akademie fand Euler günstige Bedingungen für eine wissenschaftliche Tätigkeit vor, die es ihm ermöglichten, sofort mit dem Studium der Mathematik und Mechanik zu beginnen. In den 14 Jahren seiner ersten Lebensphase in St. Petersburg bereitete Euler etwa 80 Werke zur Veröffentlichung vor und veröffentlichte mehr als 50. In St. Petersburg studierte er Russisch.

Euler nahm an vielen Aktivitäten der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften teil. Er hielt Vorlesungen vor Studenten der akademischen Universität, nahm an verschiedenen technischen Prüfungen teil, arbeitete an der Zusammenstellung von Karten von Russland und verfasste den öffentlich zugänglichen „Guide to Arithmetic“ (1738–40). Auf besondere Anweisung der Akademie bereitete Euler zur Veröffentlichung Naval Science (1749) vor, ein grundlegendes Werk zur Theorie des Schiffbaus und der Navigation.

1741 nahm Euler das Angebot des preußischen Königs Friedrich II. an, nach Berlin zu ziehen, wo die Neuordnung der Akademie der Wissenschaften stattfinden sollte. An der Berliner Akademie der Wissenschaften übernahm Euler den Posten des Direktors der Mathematikklasse und eines Vorstandsmitglieds, und nach dem Tod ihres ersten Präsidenten, P. Maupertuis, leitete er die Akademie für einige Jahre (seit 1759) tatsächlich. In den 25 Jahren seines Lebens in Berlin hat er etwa 300 Werke verfasst, darunter mehrere große Monographien.

Während seines Aufenthalts in Berlin hörte Euler nicht auf, intensiv für die St. Petersburger Akademie der Wissenschaften zu arbeiten und behielt den Titel ihres Ehrenmitglieds. Er führte eine umfangreiche wissenschaftliche und wissenschaftlich-organisatorische Korrespondenz, insbesondere korrespondierte er mit M. Lomonosov, den er sehr schätzte. Euler redigierte die mathematische Abteilung der Russischen Akademischen Wissenschaftlichen Körperschaft, wo er in dieser Zeit fast so viele Artikel veröffentlichte wie in den „Memoiren“ der Berliner Akademie der Wissenschaften. Er beteiligte sich aktiv an der Ausbildung russischer Mathematiker; Die zukünftigen Akademiker S. Kotelnikov, S. Rumovsky und M. Sofronov wurden nach Berlin geschickt, um unter seiner Leitung zu studieren. Euler leistete der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften große Unterstützung, indem er wissenschaftliche Literatur und Ausrüstung dafür beschaffte, mit Kandidaten für Positionen an der Akademie verhandelte usw.

Am 17. (28.) Juli 1766 kehrten Euler und seine Familie nach St. Petersburg zurück. Trotz seines fortgeschrittenen Alters und der fast vollständigen Erblindung, die ihn befiel, arbeitete er bis an sein Lebensende produktiv. In den 17 Jahren seines zweiten Aufenthalts in St. Petersburg bereitete er etwa 400 Werke vor, darunter mehrere große Bücher. Euler beteiligte sich weiterhin an der organisatorischen Arbeit der Akademie. 1776 war er einer der Experten für das von I. Kulibin vorgeschlagene Projekt einer Einbogenbrücke über die Newa, und von der gesamten Kommission gab er allein dem Projekt breite Unterstützung.

Eulers Verdienste als herausragender Wissenschaftler und Organisator wissenschaftlicher Forschung wurden zu seinen Lebzeiten hoch geschätzt. Neben den Akademien von St. Petersburg und Berlin war er Mitglied der größten wissenschaftlichen Institutionen: der Pariser Akademie der Wissenschaften, der Royal Society of London und anderen.

Eines der Kennzeichen von Eulers Arbeit ist seine außergewöhnliche Produktivität. Allein zu seinen Lebzeiten wurden etwa 550 seiner Bücher und Artikel veröffentlicht (das Werkverzeichnis Eulers umfasst etwa 850 Titel). 1909 begann die Schweizerische Naturwissenschaftliche Gesellschaft mit der Veröffentlichung von Eulers Gesamtwerk, die 1975 abgeschlossen wurde; es besteht aus 72 Bänden. Von großem Interesse ist Eulers kolossale wissenschaftliche Korrespondenz (etwa 3.000 Briefe), die bisher nur teilweise veröffentlicht wurde.

Eulers Studienkreis war ungewöhnlich breit und umfasste alle Abteilungen der zeitgenössischen Mathematik und Mechanik, der Elastizitätstheorie, der mathematischen Physik, der Optik, der Musiktheorie, der Maschinentheorie, der Ballistik, der Meereswissenschaften, des Versicherungswesens usw. Etwa 3/5 von Eulers Werken gehören der Mathematik an, die restlichen 2/5 hauptsächlich ihren Anwendungen. Der Wissenschaftler systematisierte seine Ergebnisse und die Ergebnisse anderer in einer Reihe klassischer Monographien, die mit erstaunlicher Klarheit geschrieben und mit wertvollen Beispielen versehen waren. Dies sind zum Beispiel „Mechanik oder Bewegungslehre, analytisch dargestellt“ (1736), „Einführung in die Analysis“ (1748), „Differentialrechnung“ (1755), „Theorie der Bewegung eines starren Körpers“ ( 1765), „Universal Arithmetic“ (1768-69), das etwa 30 Ausgaben in 6 Sprachen durchlief, „Integralrechnung“ (1768-94) usw. Im 18. Jahrhundert. und teilweise im 19. Jahrhundert. Die öffentlich zugänglichen Briefe über verschiedene physikalische und philosophische Angelegenheiten, die an eine bestimmte deutsche Prinzessin geschrieben wurden, erlangten immense Popularität. (1768–74), das über 40 Ausgaben in 10 Sprachen durchlief. Der größte Teil des Inhalts von Eulers Monographien wurde später in die Lehrbücher für höhere und teilweise weiterführende Schulen aufgenommen. Es ist unmöglich, alle bisher verwendeten Theoreme, Methoden und Formeln von Euler aufzulisten, von denen nur wenige in der Literatur unter seinem Namen erscheinen [z. Euler-Funktion, Euler-Zahlen, Euler-Formel - Maclaurin, Euler-Fourier-Formeln, Euler-Charakteristik, Euler-Integrale, Euler-Winkel].

In „Mechanik“ erläuterte Euler erstmals die Dynamik eines Punktes mit Hilfe mathematischer Analysen: die freie Bewegung eines Punktes unter Einwirkung verschiedener Kräfte sowohl im Vakuum als auch in einem Medium mit Widerstand; Bewegung eines Punktes entlang einer gegebenen Linie oder entlang einer gegebenen Fläche; Bewegung unter dem Einfluss zentraler Kräfte. 1744 formulierte er erstmals das mechanische Prinzip der kleinsten Wirkung korrekt und zeigte seine ersten Anwendungen. In Die Bewegungstheorie eines starren Körpers entwickelte Euler die Kinematik und Dynamik eines starren Körpers und gab Gleichungen für seine Drehung um einen festen Punkt an, wodurch der Grundstein für die Theorie der Kreisel gelegt wurde. Euler hat mit seiner Schiffstheorie einen wertvollen Beitrag zur Stabilitätstheorie geleistet. Bedeutend sind Eulers Entdeckungen in der Himmelsmechanik (zum Beispiel in der Theorie der Mondbewegung) und der Kontinuumsmechanik (die grundlegenden Bewegungsgleichungen eines idealen Fluids in Form von Euler und in den sogenannten Lagrange-Variablen, Gas Schwingungen in Rohren usw.). In der Optik gab Euler (1747) die Formel für eine bikonvexe Linse an und schlug eine Methode zur Berechnung des Brechungsindex eines Mediums vor. Euler hielt an der Wellentheorie des Lichts fest. Er glaubte, dass verschiedene Farben verschiedenen Wellenlängen des Lichts entsprechen. Euler schlug Möglichkeiten vor, chromatische Aberrationen von Linsen zu eliminieren, und gab Methoden zur Berechnung der optischen Komponenten eines Mikroskops an. Euler widmete eine umfangreiche Reihe von Arbeiten, die 1748 begannen, der mathematischen Physik: Probleme der Schwingung einer Saite, Platte, Membran usw. Alle diese Studien regten die Entwicklung der Theorie der Differentialgleichungen, näherungsweiser Analysemethoden und spezieller an . Funktionen, Differentialgeometrie usw. Viele von Eulers mathematischen Entdeckungen sind genau in diesen Werken enthalten.

Eulers Hauptwerk als Mathematiker war die Entwicklung der mathematischen Analyse. Er legte die Grundlagen für mehrere mathematische Disziplinen, die in der Infinitesimalrechnung von I. Newton, G. Leibniz und den Bernoulli-Brüdern noch in den Kinderschuhen steckten oder völlig fehlten. Somit war Euler der Erste, der Funktionen eines komplexen Arguments einführte und die Eigenschaften der grundlegenden elementaren Funktionen einer komplexen Variablen (exponentielle, logarithmische und trigonometrische Funktionen) untersuchte; insbesondere leitete er Formeln ab, die trigonometrische Funktionen mit Exponentialfunktionen in Beziehung setzen. Eulers Arbeiten in dieser Richtung markierten den Beginn der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen.

Euler war der Schöpfer der Variationsrechnung, beschrieben in der Arbeit „Methode zum Finden gekrümmter Linien mit maximalen oder minimalen Eigenschaften. » (1744). Die Methode, mit der Euler 1744 die notwendige Bedingung für das Extremum eines Funktionals herleitete, die Euler-Gleichung, war ein Prototyp der direkten Methoden der Variationsrechnung des 20. Jahrhunderts. Euler schuf die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen als eigenständige Disziplin und legte die Grundlagen für die Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Hier besitzt er eine Vielzahl von Entdeckungen: die klassische Methode zur Lösung linearer Gleichungen mit konstanten Koeffizienten, die Methode der Variation beliebiger Konstanten, die Aufklärung der Grundeigenschaften der Riccati-Gleichung, die Integration linearer Gleichungen mit variablen Koeffizienten unter Verwendung unendlicher Reihen, Kriterien für spezielle Lösungen, die Lehre vom integrierenden Faktor, verschiedene Näherungsverfahren und eine Reihe von Techniken zur Lösung partieller Differentialgleichungen. Einen wesentlichen Teil dieser Ergebnisse hat Euler in seinem „Integralkalkül“ zusammengestellt.

Euler bereicherte auch die Differential- und Integralrechnung im engeren Sinne (z. B. die Theorie der Veränderung von Variablen, der Satz über homogene Funktionen, das Konzept des Doppelintegrals und die Berechnung vieler spezieller Integrale). In der "Differentialrechnung" drückte Euler seine Überzeugung von der Zweckmäßigkeit der Verwendung divergenter Reihen aus und untermauerte sie mit Beispielen und schlug Methoden zur verallgemeinerten Summierung von Reihen vor, die die Ideen der modernen strengen Theorie der divergenten Reihen vorwegnahmen, die um die Wende des 20. Jahrhunderts geschaffen wurden 19. und 20. Jahrhundert. Darüber hinaus erzielte Euler viele konkrete Ergebnisse in der Theorie der Reihen. Er öffnete die sog. die Summationsformel von Euler-Maclaurin, schlug die Transformation von Reihen vor, die seinen Namen tragen, bestimmte die Summen einer großen Anzahl von Reihen und führte neue wichtige Arten von Reihen in die Mathematik ein (z. B. trigonometrische Reihen). Hier schließen sich Eulers Studien zur Theorie der Kettenbrüche und anderer unendlicher Prozesse an.

Euler ist der Begründer der Theorie der speziellen Funktionen. Er begann zunächst, Sinus und Cosinus als Funktionen zu betrachten und nicht als Segmente in einem Kreis. Er erhielt fast alle klassischen Erweiterungen elementarer Funktionen in unendliche Reihen und Produkte. In seinen Arbeiten wurde die Theorie der γ-Funktion geschaffen. Er untersuchte die Eigenschaften elliptischer Integrale, hyperbolischer und zylindrischer Funktionen, der ζ-Funktion, einiger θ-Funktionen, des Integrallogarithmus und wichtiger Klassen spezieller Polynome.

Laut P. Chebyshev legte Euler den Grundstein für alle Forschungen, die den allgemeinen Teil der Zahlentheorie ausmachen. So bewies Euler eine Reihe von Aussagen von P. Fermat (z. B. den kleinen Satz von Fermat), entwickelte die Grundlagen der Theorie der Potenzreste und der Theorie der quadratischen Formen, entdeckte (aber nicht bewies) das quadratische Reziprozitätsgesetz, und untersuchte eine Reihe von Problemen der diophantischen Analyse. In Arbeiten zur Gliederung der Zahlen und zur Theorie der Primzahlen verwendete Euler als erster analytische Methoden und war damit der Begründer der analytischen Zahlentheorie. Insbesondere führte er die ζ-Funktion ein und bewies die sogenannte. Eulers Identität bezieht sich auf Primzahlen auf alle natürlichen Zahlen.

Eulers Verdienste sind auch in anderen Bereichen der Mathematik groß. In der Algebra besitzt er Arbeiten zur Lösung von Gleichungen höheren Grades in Radikalen und zu Gleichungen in zwei Unbekannten sowie die sog. Eulers Vier-Quadrat-Identität. Euler machte bedeutende Fortschritte in der analytischen Geometrie, insbesondere in der Theorie der Flächen zweiter Ordnung. In der Differentialgeometrie untersuchte er detailliert die Eigenschaften geodätischer Linien, wandte erstmals die natürlichen Kurvengleichungen an und legte vor allem die Grundlagen der Oberflächentheorie. Er führte das Konzept der Hauptrichtungen an einem Punkt auf einer Fläche ein, bewies ihre Orthogonalität, leitete eine Formel für die Krümmung jedes normalen Abschnitts ab, begann mit dem Studium abwickelbarer Flächen usw.; in einer posthum veröffentlichten Arbeit (1862) nahm er teilweise die Forschung von K. Gauss über die intrinsische Geometrie von Oberflächen vorweg. Euler befasste sich auch mit einzelnen Fragen der Topologie und bewies beispielsweise einen wichtigen Satz über konvexe Polyeder. Der Mathematiker Euler wird oft als brillanter „Rechner“ bezeichnet. Tatsächlich war er ein unübertroffener Meister formaler Berechnungen und Transformationen, in seinen Werken erhielten viele mathematische Formeln und Symbole ein modernes Aussehen (so besitzt er beispielsweise die Bezeichnungen für e und π). Allerdings hat Euler auch eine Reihe tiefgreifender Ideen in die Wissenschaft eingebracht, die heute streng belegt sind und als Modell für die Tiefe des Eindringens in den Forschungsgegenstand dienen.

Laut P. Laplace war Euler in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts Lehrer von Mathematikern.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, jetzt Deutschland, 1805 - Göttingen, ebd., 1859)

Er studierte in Paris, unterhielt freundschaftliche Beziehungen zu hervorragenden Mathematikern, insbesondere zu Fourier. Nach seinem Abschluss war er Professor an den Universitäten Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) und Göttingen, wo er nach dem Tod des Naturwissenschaftlers Carl Friedrich Gauß Leiter der mathematischen Fakultät wurde. Sein herausragendster Beitrag zur Wissenschaft betrifft die Zahlentheorie, hauptsächlich das Studium von Reihen. Dies erlaubte ihm, die von Fourier vorgeschlagene Reihentheorie zu entwickeln. Er erstellte seine eigene Version des Beweises des Satzes von Fermat, verwendete analytische Funktionen zur Lösung arithmetischer Probleme und führte Konvergenzkriterien für Reihen ein. Auf dem Gebiet der mathematischen Analyse verbesserte er die Definition und das Konzept einer Funktion, auf dem Gebiet der theoretischen Mechanik konzentrierte er sich auf die Untersuchung der Stabilität von Systemen und auf das Newtonsche Potentialkonzept.

CHEBYSHEV PAFNUTIY LVOVYCH

Russischer Mathematiker, Gründer der St. Petersburger Wissenschaftsschule, Akademiker der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften (1856). Chebyshevs Arbeiten legten den Grundstein für die Entwicklung vieler neuer Zweige der Mathematik.

Chebyshevs zahlreichste Arbeiten liegen im Bereich der mathematischen Analyse. Er war insbesondere Gegenstand einer Dissertation für das Vortragsrecht, in der Chebyshev die Integrierbarkeit bestimmter irrationaler Ausdrücke in algebraischen Funktionen und Logarithmen untersuchte. Chebyshev widmete auch eine Reihe anderer Arbeiten der Integration algebraischer Funktionen. In einem von ihnen (1853) wurde ein bekannter Satz über Integrierbarkeitsbedingungen in elementaren Funktionen eines differentiellen Binoms erhalten. Ein wichtiges Forschungsgebiet in der mathematischen Analysis sind seine Arbeiten zur Konstruktion einer allgemeinen Theorie orthogonaler Polynome. Der Grund für seine Erstellung war die parabolische Interpolation nach der Methode der kleinsten Quadrate. Tschebyscheffs Untersuchungen zum Momentenproblem und zu Quadraturformeln reihen sich in denselben Ideenkreis ein. Im Hinblick auf die Reduzierung von Berechnungen schlug Chebyshev (1873) vor, Quadraturformeln mit gleichen Koeffizienten (näherungsweise Integration) zu betrachten. Die Erforschung der Quadraturformeln und der Interpolationstheorie war eng mit den Aufgaben verbunden, die Chebyshev in der Artillerieabteilung des Militärwissenschaftlichen Komitees gestellt wurden.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird Chebyshev die systematische Einführung in die Berücksichtigung von Zufallsvariablen und die Schaffung einer neuen Technik zum Beweis der Grenzwertsätze der Wahrscheinlichkeitstheorie - der sogenannten - zugeschrieben. Momentenmethode (1845, 1846, 1867, 1887). Er bewies das Gesetz der großen Zahlen in sehr allgemeiner Form; Gleichzeitig besticht sein Beweis durch seine Einfachheit und Elementarität. Chebyshev hat die Untersuchung der Bedingungen für die Konvergenz von Verteilungsfunktionen von Summen unabhängiger Zufallsvariablen zum Normalgesetz nicht abgeschlossen. A. A. Markov gelang dies jedoch mit einer Ergänzung von Chebyshevs Methoden. Ohne strenge Ableitungen skizzierte Chebyshev auch die Möglichkeit von Verfeinerungen dieses Grenzwertsatzes in Form von asymptotischen Erweiterungen der Verteilungsfunktion der Summe unabhängiger Terme in Potenzen von n21/2, wobei n die Anzahl der Terme ist. Chebyshevs Arbeit zur Wahrscheinlichkeitstheorie bildet eine wichtige Etappe in ihrer Entwicklung; außerdem waren sie die Grundlage, auf der die russische Schule der Wahrscheinlichkeitstheorie gewachsen ist, die zunächst aus direkten Schülern von Chebyshev bestand.

Riemann Georg Friedrich Bernhard

(Breselenz, Niedersachsen, 1826 - Selaska, bei Intra, Italien 66)

Deutscher Mathematiker. 1846 trat er in die Universität Göttingen ein: er hörte die Vorlesungen von K. Gauß, viele seiner Ideen wurden später von ihm entwickelt. 1847–49 besuchte er Vorlesungen an der Universität Berlin; 1849 kehrte er nach Göttingen zurück, wo er enge Freundschaften mit Gauß' Mitarbeiter, dem Physiker W. Weber, schloss, der in ihm ein tiefes Interesse für mathematisch-naturwissenschaftliche Fragen weckte.

1851 verteidigte er seine Doktorarbeit „Grundlagen der allgemeinen Funktionentheorie einer komplexen Variablen“. Ab 1854 Privatdozent, ab 1857 Professor an der Universität Göttingen.

Riemanns Werk hatte großen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts. und im 20. Jahrhundert. Riemann legte in seiner Doktorarbeit den Grundstein für die geometrische Ausrichtung der Theorie der analytischen Funktionen; er führte die sogenannten Riemann-Flächen ein, die für das Studium mehrwertiger Funktionen wichtig sind, entwickelte die Theorie der konformen Abbildungen und gab im Zusammenhang damit die Grundideen der Topologie, untersuchte die Bedingungen für die Existenz analytischer Funktionen innerhalb von Regionen verschiedener Art (das sogenannte Dirichlet-Prinzip) usw. Von Riemann entwickelte Methoden wurden in seinen weiteren Arbeiten zur Theorie der algebraischen Funktionen und Integrale, zur analytischen Theorie der Differentialgleichungen (insbesondere Gleichungen zur Definition hypergeometrischer Funktionen) häufig verwendet. , zur analytischen Zahlentheorie (zum Beispiel wies Riemann auf den Zusammenhang zwischen der Verteilung von Primzahlen und den Eigenschaften der ζ-Funktion hin, insbesondere mit der Verteilung ihrer Nullstellen im komplexen Bereich - die sogenannte Riemann-Hypothese, die deren Gültigkeit noch nicht bewiesen ist) usw.

Riemann hat in einer Reihe von Arbeiten die Entwicklung von Funktionen zu trigonometrischen Reihen untersucht und im Zusammenhang damit die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Integrierbarkeit im Sinne von Riemann ermittelt, die für die Theorie der Mengen und Funktionen einer reellen Variablen wichtig war . Riemann schlug auch Methoden zur Integration partieller Differentialgleichungen vor (z. B. unter Verwendung der sogenannten Riemann-Invarianten und der Riemann-Funktion).

In seinem berühmten Vortrag von 1854 „Über die Hypothesen der Geometrie“ (1867) gab Riemann die allgemeine Vorstellung eines mathematischen Raums (in seinen Worten „Mannigfaltigkeiten“), einschließlich funktionaler und topologischer Räume. Hier betrachtete er Geometrie im weitesten Sinne als die Lehre von kontinuierlichen n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, d. h. Sammlungen beliebiger homogener Objekte, und verallgemeinerte die Ergebnisse von Gauß über die intrinsische Geometrie einer Oberfläche und gab den allgemeinen Begriff eines linearen Elements an (das Differential des Abstands zwischen Punkten einer Mannigfaltigkeit), wodurch definiert wird, was als Finsler-Räume bezeichnet wird. Ausführlicher betrachtete Riemann die sogenannten Riemannschen Räume, verallgemeinerte die Räume der Geometrien von Euklid, Lobatschewski und Riemanns elliptischer Geometrie, die durch einen speziellen Typ linearer Elemente gekennzeichnet sind, und entwickelte die Theorie ihrer Krümmung. Als er die Anwendung seiner Ideen auf den physikalischen Raum diskutierte, stellte Riemann die Frage nach den "Ursachen der metrischen Eigenschaften" desselben, als ob er vorwegnehmen würde, was in der allgemeinen Relativitätstheorie getan worden war.

Die von Riemann vorgeschlagenen Ideen und Methoden eröffneten neue Wege in der Entwicklung der Mathematik und fanden Anwendung in der Mechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie. Der Wissenschaftler starb 1866 an Tuberkulose.

Zahlen sind verschieden: natürlich, natürlich, rational, ganzzahlig und gebrochen, positiv und negativ, komplex und prim, ungerade und gerade, reell usw. In diesem Artikel erfährst du, was Primzahlen sind.

Welche Zahlen nennt man das englische Wort „simple“?

Sehr oft wissen Schulkinder nicht, wie sie eine der scheinbar einfachsten Fragen der Mathematik beantworten sollen, was eine Primzahl ist. Sie verwechseln oft Primzahlen mit natürlichen Zahlen (dh den Zahlen, die Menschen beim Zählen von Objekten verwenden, während sie in einigen Quellen bei Null und in anderen bei Eins beginnen). Aber das sind zwei völlig unterschiedliche Konzepte. Primzahlen sind natürliche Zahlen, also ganze und positive Zahlen, die größer als eins sind und nur 2 natürliche Teiler haben. In diesem Fall ist einer dieser Teiler eine bestimmte Zahl und der zweite eine Einheit. Zum Beispiel ist drei eine Primzahl, weil sie durch keine andere Zahl als sich selbst und eins teilbar ist.

Zusammengesetzte Zahlen

Das Gegenteil von Primzahlen sind zusammengesetzte Zahlen. Sie sind auch natürlich, auch größer als eins, haben aber nicht zwei, sondern mehr Teiler. So sind zum Beispiel die Zahlen 4, 6, 8, 9 usw. natürliche, zusammengesetzte, aber keine Primzahlen. Wie Sie sehen können, sind dies meistens gerade Zahlen, aber nicht alle. Aber die „Zwei“ ist eine gerade Zahl und die „erste Zahl“ in einer Reihe von Primzahlen.

Folge

Um eine Reihe von Primzahlen zu bilden, müssen Sie unter Berücksichtigung ihrer Definition eine Auswahl aus allen natürlichen Zahlen treffen, dh Sie müssen durch Widerspruch handeln. Es ist notwendig, bei jeder der natürlichen positiven Zahlen darauf zu achten, ob sie mehr als zwei Teiler hat. Versuchen wir, eine Reihe (Folge) zu bilden, die aus Primzahlen besteht. Die Liste beginnt mit zwei, dann kommt drei, da sie nur durch sich selbst und eins teilbar ist. Betrachten Sie die Nummer vier. Hat es andere Teiler als vier und eins? Ja, diese Zahl ist 2. Vier ist also keine Primzahl. Fünf ist auch eine Primzahl (außer 1 und 5 ist sie durch keine andere Zahl teilbar), aber sechs ist teilbar. Und im Allgemeinen, wenn Sie alle geraden Zahlen verfolgen, werden Sie feststellen, dass außer „zwei“ keine von ihnen eine Primzahl ist. Daraus schließen wir, dass gerade Zahlen, außer zwei, keine Primzahlen sind. Eine weitere Entdeckung: Alle Zahlen, die durch drei teilbar sind, außer dem Tripel selbst, ob gerade oder ungerade, sind auch keine Primzahlen (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 usw.). Dasselbe gilt für Zahlen, die durch fünf und sieben teilbar sind. Ihr ganzes Set ist auch nicht einfach. Fassen wir zusammen. Alle ungeraden Zahlen außer Eins und Neun gehören also zu einfachen einstelligen Zahlen und nur „Zwei“ zu geraden. Die Zehner selbst (10, 20, ... 40 usw.) sind keine Primzahlen. Zweistellige, dreistellige usw. Primzahlen können nach den oben genannten Prinzipien definiert werden: wenn sie außer sich selbst und Eins keine anderen Teiler haben.

Theorien über die Eigenschaften von Primzahlen

Es gibt eine Wissenschaft, die die Eigenschaften von ganzen Zahlen, einschließlich Primzahlen, untersucht. Dies ist ein Zweig der Mathematik, der als höher bezeichnet wird. Neben den Eigenschaften ganzer Zahlen beschäftigt sie sich auch mit algebraischen, transzendenten Zahlen, sowie mit der Arithmetik dieser Zahlen zusammenhängenden Funktionen unterschiedlicher Herkunft. In diesen Studien werden neben elementaren und algebraischen Methoden auch analytische und geometrische verwendet. Insbesondere befasst sich das Studium der Primzahlen mit "Zahlentheorie".

Primzahlen sind die „Bausteine“ der natürlichen Zahlen

In der Arithmetik gibt es einen Satz, der Hauptsatz genannt wird. Demnach kann jede natürliche Zahl außer Eins als Produkt dargestellt werden, dessen Faktoren Primzahlen sind und die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist, was bedeutet, dass die Darstellungsmethode eindeutig ist. Man nennt es die Zerlegung einer natürlichen Zahl in Primfaktoren. Es gibt einen anderen Namen für diesen Prozess - Faktorisierung von Zahlen. Davon ausgehend kann man Primzahlen „Baustoff“, „Klötzchen“ zum Bau natürlicher Zahlen nennen.

Suche nach Primzahlen. Einfachheitstests

Viele Wissenschaftler verschiedener Zeiten versuchten, einige Prinzipien (Systeme) zum Auffinden einer Liste von Primzahlen zu finden. Die Wissenschaft kennt Systeme, die Atkin-Sieb, Sundartam-Sieb, Eratosthenes-Sieb genannt werden. Sie liefern jedoch keine signifikanten Ergebnisse, und es wird ein einfacher Test verwendet, um Primzahlen zu finden. Algorithmen wurden auch von Mathematikern entwickelt. Sie werden Primzahltests genannt. Beispielsweise gibt es einen von Rabin und Miller entwickelten Test. Es wird von Kryptographen verwendet. Es gibt auch einen Kayala-Agrawala-Saskena-Test. Sie ist jedoch trotz ausreichender Genauigkeit sehr schwer zu berechnen, was ihren praktischen Wert mindert.

Hat die Menge der Primzahlen eine Grenze?

Die Tatsache, dass die Menge der Primzahlen unendlich ist, wurde in dem Buch „Anfänge“ des antiken griechischen Wissenschaftlers Euklid geschrieben. Er sagte Folgendes: „Stellen wir uns für einen Moment vor, dass Primzahlen einen Grenzwert haben. Dann multiplizieren wir sie miteinander und addieren eins zum Produkt. Die als Ergebnis dieser einfachen Operationen erhaltene Zahl kann durch keine der Reihen von Primzahlen teilbar sein, da der Rest immer eins sein wird. Und das bedeutet, dass es noch eine andere Zahl gibt, die noch nicht in der Liste der Primzahlen enthalten ist. Daher ist unsere Annahme nicht wahr, und diese Menge kann keine Grenze haben. Zusätzlich zu Euklids Beweis gibt es eine modernere Formel des Schweizer Mathematikers Leonhard Euler aus dem 18. Jahrhundert. Nach ihm wächst die Summe, der Kehrwert der Summe der ersten n Zahlen, mit dem Wachstum der Zahl n ins Unendliche. Und hier ist die Formel des Satzes zur Verteilung der Primzahlen: (n) wächst wie n / ln (n).

Was ist die größte Primzahl?

Immerhin gelang es Leonard Euler, die größte Primzahl seiner Zeit zu finden. Dies ist 2 31 - 1 = 2147483647. Bis 2013 wurde jedoch eine weitere genaueste größte in der Liste der Primzahlen berechnet - 2 57885161 - 1. Sie wird Mersenne-Zahl genannt. Es enthält etwa 17 Millionen Dezimalstellen. Wie Sie sehen können, ist die Zahl, die ein Wissenschaftler aus dem 18. Jahrhundert gefunden hat, um ein Vielfaches kleiner. Es hätte so sein müssen, denn Euler hat diese Berechnung manuell durchgeführt, aber unserem Zeitgenossen wurde wahrscheinlich von einem Computer geholfen. Außerdem wurde diese Nummer an der Fakultät für Mathematik in einer der amerikanischen Fakultäten erhalten. Zahlen, die nach diesem Wissenschaftler benannt sind, bestehen den Luc-Lehmer-Primzahltest. Dabei will die Wissenschaft aber nicht stehen bleiben. Die Electronic Frontier Foundation, die 1990 in den Vereinigten Staaten von Amerika (EFF) gegründet wurde, hat eine finanzielle Belohnung für das Auffinden großer Primzahlen ausgesetzt. Und wenn der Preis bis 2013 jenen Wissenschaftlern verliehen wurde, die sie zwischen 1 und 10 Millionen Dezimalzahlen finden, hat diese Zahl heute 100 Millionen bis 1 Milliarde erreicht. Die Preise reichen von 150 bis 250.000 US-Dollar.

Namen spezieller Primzahlen

Diese Zahlen, die dank Algorithmen bestimmter Wissenschaftler gefunden wurden und den Einfachheitstest bestanden haben, werden als speziell bezeichnet. Hier sind einige davon:

1. Mersin.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Die Einfachheit dieser nach den oben genannten Wissenschaftlern benannten Zahlen wird mit folgenden Tests festgestellt:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart – Lehmer – Selfridge und andere.

Die moderne Wissenschaft hört hier nicht auf, und wahrscheinlich wird die Welt in naher Zukunft die Namen derjenigen kennen, die einen Preis von 250.000 Dollar gewinnen konnten, indem sie die größte Primzahl fanden.

Liste der Teiler. Per Definition die Zahl n ist nur dann eine Primzahl, wenn sie nicht durch 2 und andere ganze Zahlen außer 1 und sich selbst teilbar ist. Die obige Formel entfernt unnötige Schritte und spart Zeit: Nachdem Sie beispielsweise überprüft haben, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist, müssen Sie nicht prüfen, ob sie durch 9 teilbar ist.

• Die Funktion floor(x) rundet x auf die nächste Ganzzahl kleiner oder gleich x.

Erfahren Sie mehr über modulare Arithmetik. Die Operation „x mod y“ (mod ist die Abkürzung für das lateinische Wort „modulo“, was „Modul“ bedeutet) bedeutet „dividiere x durch y und finde den Rest“. Mit anderen Worten, in der modularen Arithmetik wird beim Erreichen eines bestimmten Werts aufgerufen Modul, "drehen" sich die Zahlen zurück auf Null. Zum Beispiel misst eine Uhr die Zeit in Modulus 12: Sie zeigt 10, 11 und 12 Uhr an und kehrt dann zu 1 zurück.

• Viele Taschenrechner haben eine Mod-Taste. Am Ende dieses Abschnitts wird gezeigt, wie diese Funktion für große Zahlen manuell berechnet wird.

Erfahren Sie mehr über die Fallstricke des kleinen Satzes von Fermat. Alle Zahlen, für die die Testbedingungen nicht erfüllt sind, sind zusammengesetzt, die restlichen Zahlen jedoch nur wahrscheinlich gelten als einfach. Wenn Sie falsche Ergebnisse vermeiden möchten, suchen Sie nach n in der Liste der "Carmichael-Zahlen" (zusammengesetzte Zahlen, die diesen Test erfüllen) und "Pseudo-Prime-Fermat-Zahlen" (diese Zahlen erfüllen die Bedingungen des Tests nur für einige Werte a).

Verwenden Sie gegebenenfalls den Miller-Rabin-Test. Obwohl diese Methode für manuelle Berechnungen eher umständlich ist, wird sie häufig in Computerprogrammen verwendet. Es bietet eine akzeptable Geschwindigkeit und gibt weniger Fehler als das Verfahren von Fermat. Eine zusammengesetzte Zahl wird nicht als Primzahl angenommen, wenn Berechnungen für mehr als ¼-Werte durchgeführt werden a. Wenn Sie zufällig verschiedene Werte auswählen a und bei allen wird der Test positiv ausfallen, davon können wir mit ziemlicher Sicherheit ausgehen n ist eine Primzahl.

Verwenden Sie für große Zahlen modulare Arithmetik. Wenn Sie keinen Mod-Rechner zur Hand haben oder Ihr Rechner nicht für die Verarbeitung so großer Zahlen ausgelegt ist, verwenden Sie die Potenzeigenschaften und die modulare Arithmetik, um Ihre Berechnungen zu vereinfachen. Unten ist ein Beispiel für 3 50 (\displaystyle 3^(50)) Mod 50:

• Schreiben Sie den Ausdruck in eine bequemere Form um: mod 50. Bei der manuellen Berechnung können weitere Vereinfachungen erforderlich sein.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Hier haben wir die Eigenschaft der modularen Multiplikation berücksichtigt.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25)) Mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) Mod 50) Mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) Mod 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) Mod 50.
• = 49 (\displaystyle=49).

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die nur durch sich selbst und eins teilbar ist.

Die restlichen Zahlen werden zusammengesetzt genannt.

Einfache natürliche Zahlen

Aber nicht alle natürlichen Zahlen sind Primzahlen.

Einfache natürliche Zahlen sind nur solche, die nur durch sich selbst und durch Eins teilbar sind.

Beispiele für Primzahlen:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Einfache ganze Zahlen

Daraus folgt, dass nur natürliche Zahlen Primzahlen sind.

Das bedeutet, dass Primzahlen notwendigerweise natürlich sind.

Aber alle natürlichen Zahlen sind auch ganze Zahlen.

Somit sind alle Primzahlen ganze Zahlen.

Beispiele für Primzahlen:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Sogar Primzahlen

Es gibt nur eine gerade Primzahl, und das ist zwei.

Alle anderen Primzahlen sind ungerade.

Warum kann eine gerade Zahl größer als zwei keine Primzahl sein?

Da aber jede gerade Zahl größer als zwei durch sich selbst teilbar ist, nicht durch eins, sondern durch zwei, hat eine solche Zahl immer drei Teiler und möglicherweise mehr.