Dies ist der Winkel, den zwei bilden Akkorde von einem Punkt auf dem Kreis ausgehen. Ein eingeschriebener Winkel soll sein beruht auf einem zwischen seinen Seiten eingeschlossenen Bogen.

Eingeschriebener Winkel gleich der Hälfte des Bogens, auf dem sie ruht.

Mit anderen Worten, eingeschriebener Winkel enthält so viele Grad, Minuten und Sekunden wie Bogen Grad, Minuten und Sekunden sind in der Hälfte des Bogens eingeschlossen, auf den sie sich stützt. Zur Begründung analysieren wir drei Fälle:

Erster Fall:

Das Zentrum O befindet sich an der Seite eingeschriebener Winkel ABS. Zeichnen wir den Radius AO, erhalten wir ΔABO, wobei OA = OB (als Radien) und dementsprechend ∠ABO = ∠BAO. In Bezug darauf Dreieck, der Winkel AOC ist extern. Er ist also gleich der Summe der Winkel ABO und BAO oder gleich dem doppelten Winkel ABO. Also ist ∠ABO die Hälfte zentrale Ecke AOC. Aber dieser Winkel wird durch Bogen AC gemessen. Das heißt, der einbeschriebene Winkel ABC wird durch den halben Bogen AC gemessen.

Zweiter Fall:

Das Zentrum O befindet sich zwischen den Seiten eingeschriebener Winkel ABC Nachdem wir den Durchmesser BD gezeichnet haben, teilen wir den Winkel ABC in zwei Winkel, von denen nach den im ersten Fall festgestellten einer zur Hälfte gemessen wird Bögen AD und die andere Hälfte des Bogens CD. Und dementsprechend wird der Winkel ABC durch (AD + DC) / 2 gemessen, d.h. 1/2 AC.

Dritter Fall:

Zentrum O befindet sich außerhalb eingeschriebener Winkel ABS. Nachdem wir den Durchmesser BD gezeichnet haben, haben wir: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Aber die Winkel ABD und CBD werden gemessen, basierend auf den zuvor begründeten Hälften Bögen AD und CD. Und da ∠ABС durch (AD-CD)/2 gemessen wird, also die Hälfte des AC-Bogens.

Folge 1. Alle , die auf demselben Bogen basieren, sind gleich, das heißt, sie sind einander gleich. Da jeder von ihnen an der Hälfte des Gleichen gemessen wird Bögen .

Folge 2. Eingeschriebener Winkel, bezogen auf den Durchmesser - rechter Winkel. Da jeder dieser Winkel durch einen halben Halbkreis gemessen wird und dementsprechend 90 ° enthält.

Eingeschriebener Winkel, Problemtheorie. Freunde! In diesem Artikel werden wir über Aufgaben sprechen, für deren Lösung es notwendig ist, die Eigenschaften eines eingeschriebenen Winkels zu kennen. Dies ist eine ganze Gruppe von Aufgaben, die in der Prüfung enthalten sind. Die meisten von ihnen werden sehr einfach in einem Schritt gelöst.

Es gibt schwierigere Aufgaben, die Ihnen jedoch keine großen Schwierigkeiten bereiten. Sie müssen die Eigenschaften des eingeschriebenen Winkels kennen. Nach und nach werden wir alle Prototypen von Aufgaben analysieren, ich lade Sie zum Blog ein!

Nun die notwendige Theorie. Erinnern Sie sich, was für ein zentraler und eingeschriebener Winkel, Sehne, Bogen, auf dem diese Winkel beruhen:

Der Mittelpunktswinkel in einem Kreis wird als flacher Winkel mit bezeichnetSpitze in seiner Mitte.

Der Teil eines Kreises, der sich innerhalb einer flachen Ecke befindetKreisbogen genannt.

Das Gradmaß eines Kreisbogens ist das Gradmaßentsprechenden Mittelwinkel.

Ein Winkel heißt in einen Kreis einbeschrieben, wenn der Scheitelpunkt des Winkels liegtauf einem Kreis, und die Seiten des Winkels schneiden diesen Kreis.

Eine Strecke, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, wird aufgerufenAkkord. Die längste Sehne geht durch die Mitte des Kreises und wird aufgerufenDurchmesser.

Um Aufgaben für in einen Kreis einbeschriebene Winkel zu lösen,Sie müssen die folgenden Eigenschaften kennen:

1. Der einbeschriebene Winkel ist gleich dem halben Zentriwinkel, bezogen auf denselben Bogen.

2. Alle einbeschriebenen Winkel, die auf demselben Bogen basieren, sind gleich.

3. Alle einbeschriebenen Winkel, die derselben Sehne zugrunde liegen und deren Scheitelpunkte auf derselben Seite dieser Sehne liegen, sind gleich.

4. Jedes Winkelpaar, das auf derselben Sehne basiert und dessen Scheitelpunkte auf gegenüberliegenden Seiten der Sehne liegen, ergibt zusammen 180°.

Folgerung: Gegenüberliegende Winkel eines einem Kreis einbeschriebenen Vierecks ergeben zusammen 180 Grad.

5. Alle einbeschriebenen Winkel, bezogen auf den Durchmesser, sind gerade.

Im Allgemeinen ist diese Eigenschaft eine Folge von Eigenschaft (1), dies ist ihr Spezialfall. Schauen Sie - der Mittelpunktswinkel ist gleich 180 Grad (und dieser entwickelte Winkel ist nichts anderes als ein Durchmesser), was bedeutet, dass der einbeschriebene Winkel C gemäß der ersten Eigenschaft gleich seiner Hälfte ist, dh 90 Grad.

Die Kenntnis dieser Eigenschaft hilft bei der Lösung vieler Probleme und ermöglicht es Ihnen oft, unnötige Berechnungen zu vermeiden. Wenn Sie es gut beherrschen, werden Sie mehr als die Hälfte dieser Art von Problemen mündlich lösen können. Zwei Konsequenzen, die gemacht werden können:

Korollar 1: Wenn einem Kreis ein Dreieck einbeschrieben ist und eine seiner Seiten mit dem Durchmesser dieses Kreises zusammenfällt, dann ist das Dreieck rechtwinklig (die Spitze des rechten Winkels liegt auf dem Kreis).

Korollar 2: Der Mittelpunkt des um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises fällt mit dem Mittelpunkt seiner Hypotenuse zusammen.

Viele Prototypen stereometrischer Probleme werden ebenfalls unter Verwendung dieser Eigenschaft und dieser Folgerungen gelöst. Denken Sie an die Tatsache selbst: Wenn der Durchmesser eines Kreises eine Seite eines einbeschriebenen Dreiecks ist, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig (der Winkel gegenüber dem Durchmesser beträgt 90 Grad). Alle anderen Schlussfolgerungen und Konsequenzen können Sie selbst ziehen, Sie müssen sie nicht lehren.

In der Regel wird die Hälfte der Aufgaben für einen einbeschriebenen Winkel mit einer Skizze, aber ohne Notation angegeben. Um den Denkprozess beim Lösen von Problemen (unten im Artikel) zu verstehen, werden die Bezeichnungen von Scheitelpunkten (Ecken) eingeführt. Auf der Prüfung können Sie dies nicht tun.Betrachten Sie die Aufgaben:

Was ist ein spitzer einbeschriebener Winkel, der eine Sehne schneidet, die gleich dem Radius des Kreises ist? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Lassen Sie uns einen zentralen Winkel für einen gegebenen einbeschriebenen Winkel bauen und die Eckpunkte bezeichnen:

Nach der Eigenschaft eines in einen Kreis eingeschriebenen Winkels:

Der Winkel AOB ist gleich 60 0 , da das Dreieck AOB gleichseitig ist und in einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel gleich 60 0 sind. Die Seiten des Dreiecks sind gleich, da die Bedingung besagt, dass die Sehne gleich dem Radius ist.

Somit beträgt der einbeschriebene Winkel DIA 30 0 .

Antwort: 30

Finden Sie die Sehne, auf der der Winkel 30 0 ruht, eingeschrieben in einen Kreis mit Radius 3.

Dies ist im Wesentlichen das umgekehrte Problem (des vorherigen). Lassen Sie uns eine zentrale Ecke bauen.

Er ist doppelt so groß wie der eingeschriebene, dh der Winkel AOB beträgt 60 0 . Daraus können wir schließen, dass das Dreieck AOB gleichseitig ist. Somit ist die Sehne gleich dem Radius, also drei.

Antwort: 3

Der Radius des Kreises ist 1. Finden Sie den Wert eines stumpfen einbeschriebenen Winkels basierend auf einer Sehne gleich der Wurzel von zwei. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Bauen wir den Mittelwinkel:

Wenn wir den Radius und die Sehne kennen, können wir den Mittelpunktswinkel DIA finden. Dies kann mit dem Kosinussatz erfolgen. Wenn wir den Mittelpunktswinkel kennen, können wir leicht den einbeschriebenen Winkel ACB finden.

Kosinussatz: Das Quadrat jeder Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten, ohne das Produkt dieser Seiten mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu verdoppeln.

Daher beträgt der zweite Mittelpunktswinkel 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Gemäß der Eigenschaft eines eingeschriebenen Winkels ist der Winkel DIA gleich seiner Hälfte, dh 135 Grad.

Antwort: 135

Finden Sie die Sehne, auf der der Winkel von 120 Grad, die Wurzel von drei, in einem Radiuskreis eingeschrieben ist.

Verbinde die Punkte A und B mit dem Mittelpunkt des Kreises. Nennen wir es O:

Wir kennen den Radius und den einbeschriebenen Winkel DIA. Wir können den Mittelpunktswinkel AOB (größer als 180 Grad) finden und dann den Winkel AOB im Dreieck AOB finden. Berechnen Sie dann mit dem Kosinussatz AB.

Aufgrund der Eigenschaft eines einbeschriebenen Winkels ist der zentrale Winkel AOB (der größer als 180 Grad ist) gleich dem zweifachen einbeschriebenen Winkel, dh 240 Grad. Das bedeutet, dass der Winkel AOB im Dreieck AOB 360 0 - 240 0 = 120 0 beträgt.

Nach dem Kosinussatz gilt:

Antwort:3

Finden Sie den einbeschriebenen Winkel basierend auf dem Bogen, der 20 % des Kreises ausmacht. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Aufgrund der Eigenschaft eines einbeschriebenen Winkels ist er halb so groß wie der Mittelpunktswinkel, der auf demselben Bogen basiert, in diesem Fall sprechen wir vom Bogen AB.

Man sagt, dass der Bogen AB 20 Prozent des Umfangs ausmacht. Das bedeutet, dass der Zentriwinkel AOB ebenfalls 20 Prozent von 360 0 beträgt.* Ein Kreis ist ein Winkel von 360 Grad. Meint,

Somit beträgt der einbeschriebene Winkel ACB 36 Grad.

Antwort: 36

Bogen eines Kreises AC, enthält keine Punkte B, beträgt 200 Grad. Und der Bogen des Kreises BC, der keine Punkte enthält EIN, beträgt 80 Grad. Finden Sie den eingeschriebenen Winkel ACB. Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Lassen Sie uns der Klarheit halber die Bögen bezeichnen, deren Winkelmaße angegeben sind. Der Bogen, der 200 Grad entspricht, ist blau, der Bogen, der 80 Grad entspricht, ist rot, der Rest des Kreises ist gelb.

Somit ist das Gradmaß des Bogens AB (gelb) und damit der Mittelpunktswinkel AOB: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

Der einbeschriebene Winkel DAB ist der halbe Zentriwinkel AOB, also gleich 40 Grad.

Antwort: 40

Wie groß ist der einbeschriebene Winkel bezogen auf den Durchmesser des Kreises? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Heute betrachten wir eine andere Art von Problemen 6 – diesmal mit einem Kreis. Viele Schüler mögen sie nicht und finden sie schwierig. Und es ist völlig vergebens, da solche Aufgaben gelöst werden elementar wenn Sie einige Theoreme kennen. Oder sie trauen sich gar nicht, wenn sie nicht bekannt sind.

Bevor ich über die Haupteigenschaften spreche, möchte ich Sie an die Definition erinnern:

Ein einbeschriebener Winkel ist einer, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis selbst liegt und dessen Seiten eine Sehne auf diesem Kreis schneiden.

Ein Zentriwinkel ist ein beliebiger Winkel mit einem Scheitelpunkt im Mittelpunkt des Kreises. Seine Seiten schneiden auch diesen Kreis und schnitzen eine Sehne darauf.

Die Konzepte eines eingeschriebenen und zentralen Winkels sind also untrennbar mit einem Kreis und darin enthaltenen Akkorden verbunden. Nun zur Hauptaussage:

Satz. Der Zentriwinkel ist immer das Doppelte des einbeschriebenen Winkels bezogen auf denselben Kreisbogen.

Trotz der Einfachheit der Aussage gibt es eine ganze Klasse von Problemen 6, die mit ihrer Hilfe gelöst werden - und sonst nichts.

Aufgabe. Finden Sie einen spitzen einbeschriebenen Winkel basierend auf einer Sehne, die gleich dem Radius des Kreises ist.

Sei AB der betrachtete Akkord, O der Mittelpunkt des Kreises. Zusätzliche Konstruktion: OA und OB sind Kreisradien. Wir bekommen:

Betrachten Sie das Dreieck ABO. Darin AB = OA = OB - alle Seiten sind gleich dem Radius des Kreises. Daher ist das Dreieck ABO gleichseitig, und alle Winkel darin betragen 60°.

Sei M der Scheitelpunkt des einbeschriebenen Winkels. Da die Winkel O und M auf dem gleichen Bogen AB basieren, ist der einbeschriebene Winkel M 2-mal kleiner als der Mittelpunktswinkel O. Wir haben:

M=O:2=60:2=30

Aufgabe. Der Zentriwinkel ist um 36° größer als der einbeschriebene Winkel bezogen auf denselben Kreisbogen. Finden Sie den eingeschriebenen Winkel.

Wir führen die Notation ein:

1. AB ist die Sehne des Kreises;
2. Der Punkt O ist der Mittelpunkt des Kreises, also ist der Winkel AOB zentral;
3. Punkt C ist der Scheitelpunkt des einbeschriebenen Winkels ACB.

Da wir den einbeschriebenen Winkel ACB suchen, bezeichnen wir ihn mit ACB = x . Dann ist der Zentriwinkel AOB gleich x + 36. Andererseits ist der Zentriwinkel doppelt so groß wie der einbeschriebene Winkel. Wir haben:

AOB = 2 ACB ;
x + 36 = 2 x;
x=36.

Wir haben also den eingeschriebenen Winkel AOB gefunden - er ist gleich 36 °.

Ein Kreis ist ein Winkel von 360°

Nach dem Lesen des Untertitels werden sachkundige Leser jetzt wahrscheinlich sagen: „Fu!“ Tatsächlich ist es nicht ganz richtig, einen Kreis mit einem Winkel zu vergleichen. Um zu verstehen, wovon wir sprechen, werfen Sie einen Blick auf den klassischen trigonometrischen Kreis:

Warum dieses Bild? Und auf die Tatsache, dass eine volle Drehung ein Winkel von 360 Grad ist. Und wenn Sie es in beispielsweise 20 gleiche Teile teilen, beträgt die Größe jedes Teils 360: 20 = 18 Grad. Genau das ist erforderlich, um Problem B8 zu lösen.

Die Punkte A, B und C liegen auf einem Kreis und teilen ihn in drei Bögen, deren Gradmaße im Verhältnis 1: 3: 5 stehen. Finden Sie den größten Winkel des Dreiecks ABC.

Lassen Sie uns zuerst das Gradmaß jedes Bogens finden. Der kleinere von ihnen sei gleich x . Dieser Bogen ist in der Figur mit AB bezeichnet. Dann können die verbleibenden Bögen – BC und AC – durch AB ausgedrückt werden: der Bogen BC = 3x; AC=5x. Diese Bögen ergeben zusammen 360 Grad:

AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x=360;
x=40.

Betrachten Sie nun einen großen Bogen AC, der den Punkt B nicht enthält. Dieser Bogen, wie auch der entsprechende Zentriwinkel AOC, beträgt 5x = 5 40 = 200 Grad.

Der Winkel ABC ist der größte aller Winkel in einem Dreieck. Es ist ein einbeschriebener Winkel, der auf demselben Bogen wie der Zentriwinkel AOC basiert. Der Winkel ABC ist also zweimal kleiner als AOC. Wir haben:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

Dies ist das Gradmaß des größten Winkels im Dreieck ABC.

Kreis um ein rechtwinkliges Dreieck

Viele Leute vergessen diesen Satz. Aber vergebens, denn manche B8-Aufgaben sind ohne sie gar nicht zu lösen. Genauer gesagt, sie sind gelöst, aber mit einem solchen Rechenaufwand, dass Sie lieber einschlafen, als zur Antwort zu gelangen.

Satz. Der Mittelpunkt eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises liegt im Mittelpunkt der Hypotenuse.

Was folgt aus diesem Satz?

1. Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt. Dies ist eine direkte Folge des Satzes;
2. Die zur Hypotenuse gezogene Mittellinie teilt das ursprüngliche Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke. Genau das ist erforderlich, um Problem B8 zu lösen.

Die Median-CD ist im Dreieck ABC eingezeichnet. Winkel C ist 90° und Winkel B ist 60°. Winkel ACD finden.

Da der Winkel C 90° beträgt, ist das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck. Es stellt sich heraus, dass CD der Median ist, der zur Hypotenuse gezogen wird. Die Dreiecke ADC und BDC sind also gleichschenklig.

Betrachten Sie insbesondere das Dreieck ADC . Darin AD = CD . Aber in einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich - siehe "Aufgabe B8: Segmente und Winkel in Dreiecken". Daher ist der gewünschte Winkel ACD = A.

Es bleibt also herauszufinden, wie groß der Winkel A ist. Dazu wenden wir uns wieder dem ursprünglichen Dreieck ABC zu. Bezeichne den Winkel A = x . Da die Winkelsumme in jedem Dreieck 180° beträgt, gilt:

A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x=30.

Das letzte Problem lässt sich natürlich auch anders lösen. Zum Beispiel ist es einfach zu beweisen, dass das Dreieck BCD nicht nur gleichschenklig, sondern gleichseitig ist. Der BCD-Winkel beträgt also 60 Grad. Daher ist der Winkel ACD 90 − 60 = 30 Grad. Wie Sie sehen können, können Sie verschiedene gleichschenklige Dreiecke verwenden, aber die Antwort wird immer dieselbe sein.

Mittelstufe

Kreis und einbeschriebener Winkel. Visueller Leitfaden (2019)

Grundbegriffe.

Wie gut können Sie sich an alle Namen erinnern, die mit dem Kreis verbunden sind? Für alle Fälle erinnern wir uns - schauen Sie sich die Bilder an - frischen Sie Ihr Wissen auf.

Zuerst - Der Mittelpunkt eines Kreises ist ein Punkt, von dem alle Punkte auf dem Kreis den gleichen Abstand haben.

Zweitens - Radius - ein Liniensegment, das den Mittelpunkt und einen Punkt auf dem Kreis verbindet.

Es gibt viele Radien (so viele wie es Punkte auf einem Kreis gibt), aber alle Radien haben die gleiche Länge.

Manchmal kurz Radius Sie nennen es Segmentlänge"Der Mittelpunkt ist ein Punkt auf dem Kreis", und nicht das Segment selbst.

Und hier ist, was passiert wenn Sie zwei Punkte auf einem Kreis verbinden? Auch ein Schnitt?

Dieses Segment wird also aufgerufen "Akkord".

Genau wie der Radius wird der Durchmesser oft als Länge einer Strecke bezeichnet, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft. Übrigens, wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? Schau genau. Natürlich, der Radius ist der halbe Durchmesser.

Neben Akkorden gibt es auch Sekante.

Erinnerst du dich an das Einfachste?

Der Zentriwinkel ist der Winkel zwischen zwei Radien.

Und jetzt der eingeschriebene Winkel

Ein einbeschriebener Winkel ist der Winkel zwischen zwei Sehnen, die sich in einem Punkt auf einem Kreis schneiden.

In diesem Fall sagen sie, dass der eingeschriebene Winkel auf einem Bogen (oder auf einer Sehne) beruht.

Sehen Sie das Bild an:

Bögen und Winkel messen.

Umfang. Bögen und Winkel werden in Grad und Bogenmaß gemessen. Zunächst zu den Abschlüssen. Es gibt keine Probleme mit Winkeln - Sie müssen lernen, wie man den Bogen in Grad misst.

Gradmaß (Bogenwert) ist der Wert (in Grad) des entsprechenden Zentriwinkels

Was bedeutet hier das Wort „entsprechend“? Schauen wir genau hin:

Sehen Sie die zwei Bögen und die zwei zentralen Winkel? Nun, ein größerer Bogen entspricht einem größeren Winkel (und es ist in Ordnung, dass er größer ist), und ein kleinerer Bogen entspricht einem kleineren Winkel.

Wir waren uns also einig: Der Bogen enthält die gleiche Gradzahl wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.

Und jetzt über das Schreckliche - über Radianten!

Was für ein Tier ist dieses "Radiant"?

Stell dir vor: Bogenmaß ist eine Möglichkeit, einen Winkel zu messen ... in Radien!

Ein Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist.

Dann stellt sich die Frage: Wie viele Bogenmaß hat ein gerader Winkel?

Mit anderen Worten: Wie viele Radien „passen“ in einen Halbkreis? Oder anders: Wie oft ist die Länge eines Halbkreises größer als der Radius?

Diese Frage wurde von Wissenschaftlern im antiken Griechenland gestellt.

Und so fanden sie nach langem Suchen heraus, dass das Verhältnis von Umfang zu Radius nicht in „menschlichen“ Zahlen ausgedrückt werden will, wie etc.

Und es ist nicht einmal möglich, diese Haltung durch die Wurzeln auszudrücken. Das heißt, es stellt sich heraus, dass man nicht sagen kann, dass die Hälfte des Kreises doppelt oder mal so groß ist wie der Radius! Können Sie sich vorstellen, wie toll es war, Menschen zum ersten Mal zu entdecken?! Für das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zum Radius reichten „normale“ Zahlen. Ich musste einen Buchstaben eingeben.

Also ist eine Zahl, die das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zum Radius ausdrückt.

Jetzt können wir die Frage beantworten: Wie viele Bogenmaß hat ein gerader Winkel? Es hat ein Radiant. Eben weil die Hälfte des Kreises den doppelten Radius hat.

Alte (und nicht so) Menschen im Laufe der Jahrhunderte (!) versucht, diese mysteriöse Zahl genauer zu berechnen, um sie (zumindest annähernd) besser durch "gewöhnliche" Zahlen auszudrücken. Und jetzt sind wir unglaublich faul – zwei Zeichen nach besetzt reichen uns, wir sind es gewohnt

Denken Sie darüber nach, das bedeutet zum Beispiel, dass y eines Kreises mit einem Radius von eins ungefähr gleich lang ist und es einfach unmöglich ist, diese Länge mit einer „menschlichen“ Zahl aufzuschreiben - Sie brauchen einen Buchstaben. Und dann wird dieser Umfang gleich sein. Und natürlich ist der Umfang des Radius gleich.

Kommen wir zurück zum Bogenmaß.

Wir haben bereits herausgefunden, dass ein gerader Winkel ein Bogenmaß enthält.

Was wir haben:

So froh, das ist froh. Auf die gleiche Weise wird eine Platte mit den beliebtesten Winkeln erhalten.

Das Verhältnis zwischen den Werten der eingeschriebenen und zentralen Winkel.

Es gibt eine erstaunliche Tatsache:

Der Wert des einbeschriebenen Winkels ist halb so groß wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.

Sehen Sie, wie diese Aussage auf dem Bild aussieht. Ein "entsprechender" zentraler Winkel ist einer, bei dem die Enden mit den Enden des einbeschriebenen Winkels zusammenfallen und der Scheitelpunkt in der Mitte liegt. Und gleichzeitig muss der „entsprechende“ zentrale Winkel auf dieselbe Sehne () „schauen“ wie der eingeschriebene Winkel.

Warum so? Betrachten wir zunächst einen einfachen Fall. Lassen Sie einen der Akkorde durch die Mitte gehen. Schließlich passiert das manchmal, oder?

was geschieht hier? Prüfen. Es ist gleichschenklig - immerhin und sind Radien. Also (bezeichnete sie).

Nun schauen wir uns an. Das ist die Außenecke! Wir erinnern uns, dass ein Außenwinkel gleich der Summe von zwei Innenwinkeln ist, die nicht an ihn angrenzen, und schreiben:

Also! Ein unerwarteter Effekt. Aber es gibt auch einen zentralen Winkel für das Eingeschriebene.

Für diesen Fall haben wir also bewiesen, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der eingeschriebene Winkel. Aber es ist ein schmerzhafter Sonderfall: Stimmt es, dass der Akkord nicht immer direkt durch die Mitte geht? Aber nichts, jetzt hilft uns dieser Sonderfall sehr. Siehe: zweiter Fall: Mitte innen liegen lassen.

Gehen wir so vor: Zeichnen Sie einen Durchmesser. Und dann ... sehen wir zwei Bilder, die bereits im ersten Fall analysiert wurden. Daher haben wir bereits

Also (auf der Zeichnung, a)

Nun, der letzte Fall bleibt: Der Mittelpunkt steht außerhalb der Ecke.

Wir machen dasselbe: Zeichnen Sie einen Durchmesser durch einen Punkt. Alles ist gleich, aber statt der Summe - der Unterschied.

Das ist alles!

Lassen Sie uns nun zwei wesentliche und sehr wichtige Konsequenzen aus der Aussage ziehen, dass der einbeschriebene Winkel die Hälfte des zentralen Winkels ist.

Folge 1

Alle einbeschriebenen Winkel, die denselben Bogen schneiden, sind gleich.

Wir veranschaulichen:

Es gibt unzählige eingeschriebene Winkel, die auf demselben Bogen basieren (wir haben diesen Bogen), sie können völlig unterschiedlich aussehen, aber sie haben alle denselben Mittelpunktswinkel (), was bedeutet, dass alle diese eingeschriebenen Winkel untereinander gleich sind.

Folge 2

Der Winkel bezogen auf den Durchmesser ist ein rechter Winkel.

Schauen Sie: Welche Ecke ist zentral?

Sicherlich, . Aber er ist gleich! Nun, das ist der Grund (sowie viele eingeschriebene Winkel basierend auf) und ist gleich.

Winkel zwischen zwei Akkorden und Sekanten

Aber was ist, wenn der Winkel, der uns interessiert, NICHT eingeschrieben und NICHT zentral ist, sondern zum Beispiel so:

oder so?

Ist es möglich, es irgendwie durch einige zentrale Winkel auszudrücken? Es stellt sich heraus, dass Sie es können. Schauen Sie, wir sind interessiert.

a) (als Außenecke für). Aber - beschriftet, basierend auf dem Bogen - . - beschriftet, basierend auf dem Bogen - .

Für die Schönheit sagt man:

Der Winkel zwischen Sehnen ist gleich der Hälfte der Summe der Winkelwerte der in diesem Winkel enthaltenen Bögen.

Dies ist der Kürze halber geschrieben, aber wenn Sie diese Formel verwenden, müssen Sie natürlich die zentralen Winkel im Auge behalten

b) Und jetzt - "draußen"! Wie sein? Ja, fast gleich! Erst jetzt (wieder die Eigenschaft der äußeren Ecke anwenden). Das ist jetzt.

Und das heißt . Lassen Sie uns Schönheit und Kürze in die Aufzeichnungen und Formulierungen bringen:

Der Winkel zwischen den Sekanten ist gleich der Hälfte der Differenz der Winkelwerte der in diesem Winkel eingeschlossenen Bögen.

Nun, jetzt sind Sie mit all dem Grundwissen über die mit einem Kreis verbundenen Winkel ausgestattet. Vorwärts zum Angriff der Aufgaben!

KREIS UND EINGESCHLOSSENER WINKEL. MITTELSTUFE

Was ein Kreis ist, weiß schon ein fünfjähriges Kind, oder? Mathematiker haben wie immer eine abstruse Definition zu diesem Thema, aber wir werden sie nicht geben (siehe), sondern uns daran erinnern, wie die mit einem Kreis verbundenen Punkte, Linien und Winkel genannt werden.

Wichtige Begriffe

Zuerst:

Kreismittelpunkt- ein Punkt, von dem aus die Abstände zu allen Punkten des Kreises gleich sind.

Zweitens:

Hier gibt es einen anderen anerkannten Ausdruck: "Der Akkord zieht den Bogen zusammen." Hier, hier in der Figur zieht sich zum Beispiel eine Sehne einen Bogen zusammen. Und wenn der Akkord plötzlich durch die Mitte geht, dann hat er einen besonderen Namen: "Durchmesser".

Übrigens, wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? Schau genau. Natürlich,

Und jetzt - die Namen für die Ecken.

Natürlich, nicht wahr? Die Seiten der Ecke kommen aus der Mitte heraus, was bedeutet, dass die Ecke zentral ist.

Hier treten manchmal Schwierigkeiten auf. Passt auf - KEIN Winkel innerhalb eines Kreises ist eingeschrieben, aber nur einer, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis selbst "sitzt".

Sehen wir uns den Unterschied auf den Bildern an:

Sie sagen auch anders:

Hier gibt es einen kniffligen Punkt. Was ist ein „entsprechender“ oder „eigener“ Zentriwinkel? Nur ein Winkel mit Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises und Enden an den Enden des Bogens? So sicher nicht. Sehen Sie das Bild an.

Einer von ihnen sieht jedoch nicht einmal aus wie eine Ecke - er ist größer. Aber in einem Dreieck kann es nicht mehr Winkel geben, aber in einem Kreis – schon! Also: Ein kleinerer Bogen AB entspricht einem kleineren Winkel (orange), ein größerer einem größeren. Genau wie, nicht wahr?

Beziehung zwischen eingeschriebenen und zentralen Winkeln

Denken Sie an eine sehr wichtige Aussage:

In Lehrbüchern schreiben sie die gleiche Tatsache gerne so:

Richtig, mit einem zentralen Winkel ist die Formulierung einfacher?

Lassen Sie uns dennoch eine Entsprechung zwischen den beiden Formulierungen finden und gleichzeitig lernen, in den Figuren den "entsprechenden" Mittelpunktswinkel und den Bogen zu finden, auf dem sich der einbeschriebene Winkel "lehnt".

Sehen Sie, hier ist ein Kreis und ein eingeschriebener Winkel:

Wo ist sein "entsprechender" Mittelwinkel?

Schauen wir noch einmal:

Was ist die Regel?

Aber! In diesem Fall ist es wichtig, dass der einbeschriebene und der mittlere Winkel auf der gleichen Seite des Bogens "schauen". Zum Beispiel:

Seltsamerweise blau! Denn der Bogen ist lang, länger als der halbe Kreis! Also lass dich nie verwirren!

Welche Konsequenz lässt sich aus der „Halbheit“ des einbeschriebenen Winkels ableiten?

Und hier zum Beispiel:

Winkel basierend auf Durchmesser

Ist Ihnen schon aufgefallen, dass Mathematiker sehr gerne mit anderen Worten über dasselbe reden? Warum ist es für sie? Sie sehen, obwohl die Sprache der Mathematik formal ist, ist sie lebendig, und daher möchten Sie sie wie in der gewöhnlichen Sprache jedes Mal auf eine bequemere Weise sagen. Nun, wir haben bereits gesehen, was „der Winkel ruht auf dem Bogen“ ist. Und stellen Sie sich vor, dasselbe Bild heißt "der Winkel ruht auf dem Akkord". Auf was? Ja, natürlich auf den, der diesen Bogen zieht!

Wann ist es bequemer, sich auf einen Akkord als auf einen Bogen zu verlassen?

Nun, insbesondere, wenn diese Sehne ein Durchmesser ist.

Für eine solche Situation gibt es eine verblüffend einfache, schöne und nützliche Aussage!

Schauen Sie: Hier ist ein Kreis, ein Durchmesser und ein Winkel, der darauf ruht.

KREIS UND EINGESCHLOSSENER WINKEL. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

1. Grundlegende Konzepte.

3. Messungen von Bögen und Winkeln.

Ein Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist.

Dies ist eine Zahl, die das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zum Radius ausdrückt.

Der Umfang des Radius ist gleich.

4. Das Verhältnis zwischen den Werten der eingeschriebenen und zentralen Winkel.

Winkel ABC ist ein einbeschriebener Winkel. Es ruht auf dem Bogen AC, eingeschlossen zwischen seinen Seiten (Abb. 330).

Satz. Ein einbeschriebener Winkel wird durch die Hälfte des Bogens gemessen, den er schneidet.

Dies ist wie folgt zu verstehen: Ein einbeschriebener Winkel enthält so viele Winkelgrade, Minuten und Sekunden, wie Bogengrade, Minuten und Sekunden in der Hälfte des Bogens enthalten sind, auf dem er ruht.

Beim Beweis dieses Satzes müssen wir drei Fälle betrachten.

Erster Fall. Der Kreismittelpunkt liegt auf der Seite des einbeschriebenen Winkels (Abb. 331).

Sei ∠ABC ein einbeschriebener Winkel und der Mittelpunkt des Kreises O liegt auf der Seite BC. Es muss nachgewiesen werden, dass es mit dem halben Lichtbogen AC gemessen wird.

Verbinde Punkt A mit dem Mittelpunkt des Kreises. Wir erhalten die gleichschenkligen \(\Delta\)AOB, in denen AO = OB, als Radien desselben Kreises. Daher ist ∠A = ∠B.

∠AOC ist außerhalb des Dreiecks AOB, also ∠AOC = ∠A + ∠B, und da die Winkel A und B gleich sind, ist ∠B 1/2 ∠AOC.

Aber ∠AOC wird durch Lichtbogen AC gemessen, daher wird ∠B durch die Hälfte von Lichtbogen AC gemessen.

Wenn beispielsweise \(\breve(AC)\) 60°18' enthält, dann enthält ∠B 30°9'.

Zweiter Fall. Der Mittelpunkt des Kreises liegt zwischen den Seiten des einbeschriebenen Winkels (Abb. 332).

Sei ∠ABD ein einbeschriebener Winkel. Der Mittelpunkt des Kreises O liegt zwischen seinen Seiten. Es muss nachgewiesen werden, dass ∠ABD durch die Hälfte des Bogens AD gemessen wird.

Um dies zu beweisen, zeichnen wir den Durchmesser BC. Winkel ABD in zwei Winkel aufgeteilt: ∠1 und ∠2.

∠1 wird durch die Hälfte des Bogens AC gemessen, und ∠2 wird durch die Hälfte des Bogens CD gemessen, daher wird das gesamte ∠ABD durch 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), also die Hälfte des Bogens AD.

Wenn beispielsweise \(\breve(AD)\) 124° enthält, dann enthält ∠B 62°.

Dritter Fall. Der Kreismittelpunkt liegt außerhalb des einbeschriebenen Winkels (Abb. 333).

Sei ∠MAD ein einbeschriebener Winkel. Der Mittelpunkt des Kreises O liegt außerhalb der Ecke. Es muss nachgewiesen werden, dass ∠MAD durch die Hälfte des Bogens MD gemessen wird.

Zeichnen wir zum Beweis den Durchmesser AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Aber ∠MAB misst 1/2 \(\breve(MB)\) und ∠DAB misst 1/2 \(\breve(DB)\).

Daher misst ∠MAD 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), also 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Wenn beispielsweise \(\breve(MD)\) 48° 38" enthält, dann enthält ∠MAD 24° 19' 8".

Konsequenzen
1. Alle einbeschriebenen Winkel, die auf demselben Bogen basieren, sind einander gleich, da sie von der Hälfte desselben Bogens gemessen werden (Abb. 334, a).

2. Ein auf einen Durchmesser bezogener einbeschriebener Winkel ist ein rechter Winkel, da er auf einem Halbkreis basiert. Die Hälfte des Kreises enthält 180 Bogengrade, was bedeutet, dass der Winkel bezogen auf den Durchmesser 90 Winkelgrade enthält (Abb. 334, b).