Mit den Additionsformeln können Sie sin(2*a), cos(2*a) und tg(a) als trigonometrische Funktionen des Winkels a ausdrücken.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Setzen wir in diesen Formeln a = b. Als Ergebnis erhalten wir die folgenden Identitäten:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Diese Identitäten werden Doppelwinkelformeln genannt. Betrachten Sie einige Beispiele für die Anwendung der Doppelwinkelformeln.

Beispiel 1 Finden Sie den Wert von sin(2*a) mit dem Wissen, dass cos(a) = -0,8 und a der Winkel des 3. Viertels ist. Entscheidung:

Zuerst berechnen wir sin(a). Da der Winkel a das dritte Viertel ist, wird der Sinus im dritten Viertel negativ:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

Nach der Formel für den Sinus eines Doppelwinkels gilt:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96 .

Antwort: sin(2*a) = 0,96.

Beispiel 2 Vereinfachen Sie den Ausdruck sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). Entscheidung:

Nehmen wir sin(a)*cos(a) aus Klammern. Wir bekommen:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Nun verwenden wir die Doppelwinkelformeln:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*sünde(4*a).

Antwort: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Unter Verwendung der Doppelwinkelformeln können Sie die folgenden Ausdrücke erhalten

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

Manchmal ist es beim Lösen von Beispielen sehr praktisch, diese Formeln zu verwenden. Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Beispiel 3 Vereinfachen Sie den Ausdruck (1-cos(a))/(1+cos(a)). Entscheidung:

Wenden wir die oben geschriebenen Formeln auf die Ausdrücke (1-cos(a)) und (1+cos(a)) an. Dazu stellen wir zunächst den Winkel a in Form des folgenden Produkts 2*(a/2) dar.

Als Ergebnis der Transformationen erhalten wir:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Mit der Definition der Tangente haben wir:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Antwort: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

Die am häufigsten gestellten Fragen

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Doppelwinkelformeln ermöglichen es, die trigonometrischen Funktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens) des Winkels „2\alpha“ durch eben diese Funktionen des Winkels „\alpha“ auszudrücken.

Die folgende Liste enthält die grundlegenden Doppelwinkelformeln, die am häufigsten in der Trigonometrie verwendet werden. Es gibt drei davon für den Kosinus, sie sind alle gleichwertig und gleich wichtig.

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)`

Die folgenden Identitäten drücken alle trigonometrischen Funktionen des Winkels „2\alpha“ durch die Tangens- und Kotangensfunktionen des Winkels „\alpha“ aus.

`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha)(ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Die Formeln für Kosinus und Sinus eines Doppelwinkels gelten für jeden beliebigen Winkel `\alpha`. Die Formeln für den Tangens eines Doppelwinkels gelten für diejenigen `\alpha`, für die `tg \ 2\alpha` definiert ist, also für ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \ n \in Z`. Ebenso gelten sie für den Kotangens für diejenigen `\alpha`, für die `ctg \ 2\alpha` definiert ist, also für ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \ n \in Z`.

Beweis von Doppelwinkelformeln

Alle Doppelwinkelformeln leiten sich aus den Formeln für Summe und Differenz der Winkel trigonometrischer Funktionen ab.

Nehmen wir zwei Formeln für die Summe der Winkel von Sinus und Cosinus:

`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` und `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Nimm `\beta=\alpha`, dann `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`, ähnlich wie `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, was und die Doppelwinkelformeln für Sinus und Cosinus beweist.

Die beiden anderen Gleichungen für den Kosinus ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha` und `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` führen auf das bereits bewiesene if zurück wir ersetzen 1 in ihnen durch `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Also `1-2 \ sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \ sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` und ` 2 \ cos^2 \alpha-1=` `2 \ cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.

Um die Formeln für den Tangens eines Doppelwinkels und den Kotangens zu beweisen, verwenden wir die Definition dieser Funktionen. Schreiben Sie `tg \ 2\alpha` und `ctg \ 2\alpha` als `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` und `ctg \ 2\alpha= \ frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. Wendet man die bereits bewährten Doppelwinkelformeln für Sinus und Cosinus an, erhält man `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` und `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2\sin\\alpha\cos\ \alpha)`.

Beim Tangens dividieren wir Zähler und Nenner des Endbruchs durch `cos^2 \alpha`, beim Kotangens wiederum durch `sin^2 \alpha`.

`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` `\frac (\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alpha)(1-tg^2\alpha)`.

`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha ))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg\ \alpha)`.

Wir empfehlen auch, sich das Video anzuschauen, um den theoretischen Stoff besser zu festigen:

Beispiele für die Verwendung von Formeln bei der Lösung von Problemen

Doppelwinkelformeln werden in den meisten Fällen verwendet, um trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Betrachten wir einige der Fälle, wie Sie sie in der Praxis anwenden können, wenn Sie bestimmte Probleme lösen.

Beispiel 1. Überprüfen Sie die Gültigkeit der Doppelwinkelidentitäten für `\alpha=30^\circ`.

Entscheidung. Unsere Formeln verwenden zwei Winkel `\alpha` und `2\alpha`. Der Wert des ersten Winkels ist in der Bedingung angegeben, der zweite ist entsprechend `2\alpha=60^\circ`. Wir kennen auch die Zahlenwerte für alle trigonometrischen Funktionen dieser Winkel. Schreiben wir sie auf:

`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` und

`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.

Dann haben wir

`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,

`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,

`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3)=\frac (\sqrt 3)3`.

Was die Gültigkeit der Gleichungen für den in der Bedingung angegebenen Winkel beweist.

Beispiel 2. Drücken Sie „sin \frac (2\alpha)3“ durch die trigonometrischen Funktionen des Winkels „\frac (\alpha)6“ aus.

Entscheidung. Wir schreiben den Sinuswinkel wie folgt ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. Dann können wir unser Problem lösen, indem wir die Doppelwinkelformel zweimal anwenden.

Zuerst verwenden wir die Doppelwinkelsinusgleichung: ` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 `, jetzt wenden wir unsere Formeln für an wieder Sinus und Cosinus. Als Ergebnis erhalten wir:

` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.

Antworten. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac(\alpha)6`.

Dreifachwinkelformeln

Diese Formeln ermöglichen es, ähnlich wie die vorigen, die Funktionen des Winkels „3\alpha“ durch genau diese Funktionen des Winkels „\alpha“ auszudrücken.

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Sie können sie mit den Gleichungen von Summe und Differenz der Winkel sowie den bekannten Doppelwinkelformeln beweisen.

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.

Ersetzen Sie in der resultierenden Formel `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` durch `1-sin^2\alpha` und erhalten Sie `sin \ 3 \alpha=3\sin\ \alpha-4sin^3 \alpha`.

Auch für den Kosinus des Tripelwinkels:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.

Wenn wir in der letzten Gleichung `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` durch `1-cos^2\alpha` ersetzen, erhalten wir `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos\\alpha`.

Mit den bewiesenen Identitäten für Sinus und Cosinus kann man für Tangens und Kotangens beweisen:

`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \ alpha)(1-3tg^2 \alpha)`;

`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha )(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.

Um die Formeln für den Winkel ` 4\alpha` zu beweisen, kannst du ihn als ` 2 \cdot 2\alpha` darstellen und die Doppelwinkelformeln zweimal ausprobieren.

Um ähnliche Gleichheiten für den Winkel „5\alpha“ abzuleiten, können Sie ihn als „3\alpha + 2\alpha“ schreiben und die Identitäten der Summe und Differenz der Winkel und des Doppel- und Dreifachwinkels anwenden.

In ähnlicher Weise werden alle Formeln für andere Mehrfachwinkel abgeleitet, sodass sie in der Praxis selten benötigt werden.

In der Trigonometrie sind viele Formeln leichter abzuleiten als auswendig zu lernen. Der Kosinus eines Doppelwinkels ist eine wunderbare Formel! Es ermöglicht Ihnen, die Reduktionsformeln und Halbwinkelformeln zu erhalten.

Wir brauchen also den Kosinus des Doppelwinkels und die trigonometrische Einheit:

Sie sind sogar ähnlich: in der Formel des Kosinus eines Doppelwinkels - der Differenz zwischen den Quadraten des Kosinus und des Sinus und in der trigonometrischen Einheit - ihrer Summe. Wenn wir den Kosinus aus der trigonometrischen Einheit ausdrücken:

und in den Kosinus des Doppelwinkels einsetzen, erhalten wir:

Dies ist eine andere Formel für den Kosinus eines Doppelwinkels:

Diese Formel ist der Schlüssel zum Erhalten der Reduktionsformel:

Die Formel zum Absenken des Sinusgrades lautet also:

Wenn darin der Winkel Alpha durch einen halben Winkel Alpha ersetzt wird und der doppelte Winkel Alpha durch den Winkel Alpha ersetzt wird, dann erhalten wir die Formel für den halben Winkel für den Sinus:

Nun drücken wir aus der trigonometrischen Einheit den Sinus aus:

Setzen Sie diesen Ausdruck in die Formel für den Kosinus eines Doppelwinkels ein:

Wir haben eine andere Formel für den Kosinus eines Doppelwinkels:

Diese Formel ist der Schlüssel zum Finden der Cosinusreduktion und der Halbwinkelformel für Cosinus.

Somit lautet die Formel zum Absenken des Cosinusgrades:

Ersetzen wir darin α durch α/2 und 2α durch α, so erhalten wir die Formel für das halbe Argument für den Kosinus:

Da Tangens das Verhältnis von Sinus zu Cosinus ist, lautet die Formel für Tangens:

Der Kotangens ist das Verhältnis von Kosinus zu Sinus. Die Formel für den Kotangens lautet also:

Natürlich macht es bei der Vereinfachung trigonometrischer Ausdrücke keinen Sinn, Halbwinkelformeln abzuleiten oder jedes Mal den Grad zu verringern. Es ist viel einfacher, ein Blatt mit Formeln vor sich zu legen. Und die Vereinfachung wird schneller voranschreiten, und das visuelle Gedächtnis wird zum Auswendiglernen aktiviert.

Aber es lohnt sich trotzdem, diese Formeln mehrmals herzuleiten. Dann sind Sie absolut sicher, dass Sie während der Prüfung, wenn es keine Möglichkeit gibt, einen Spickzettel zu verwenden, diesen bei Bedarf problemlos erhalten können.

Doppelwinkelformeln werden verwendet, um die Sinus-, Cosinus-, Tangens- und Kotangenswinkel eines Winkels mit einem Wert von 2 α unter Verwendung der trigonometrischen Funktionen des Winkels α auszudrücken. Dieser Artikel stellt alle Doppelwinkelformeln mit Beweisen vor. Beispiele für die Anwendung von Formeln werden betrachtet. Im letzten Teil werden die Formeln für die dreifachen, vierfachen Winkel gezeigt.

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Liste der Doppelwinkelformeln

Denken Sie bei der Umrechnung von Doppelwinkelformeln daran, dass Winkel in der Trigonometrie die Form n α haben, wobei n eine natürliche Zahl ist und der Wert des Ausdrucks ohne Klammern geschrieben wird. Somit wird angenommen, dass sin n α die gleiche Bedeutung wie sin (n α) hat. Mit der Notation sin n α haben wir eine ähnliche Notation (sin α) n . Die Verwendung der Notation gilt für alle trigonometrischen Funktionen mit Potenzen von n.

Das Folgende sind die Doppelwinkelformeln:

sin 2 α = 2 sin α cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 t g α 1 - t g 2 α c t g 2 α - c t g 2 α - 1 2 c t g α

Beachten Sie, dass diese sin- und cos-Formeln auf jeden Wert des Winkels α anwendbar sind. Die Formel für den Tangens eines Doppelwinkels gilt für jeden Wert von α, wobei t g 2 α sinnvoll ist, dh α ≠ π 4 + π 2 · z, z ist eine beliebige ganze Zahl. Der Kotangens eines Doppelwinkels existiert für jedes α , wobei c t g 2 α auf α ≠ π 2 · z definiert ist.

Der Kosinus eines Doppelwinkels hat eine dreifache Notation eines Doppelwinkels. Alle von ihnen sind anwendbar.

Beweis von Doppelwinkelformeln

Der Beweis der Formeln stammt aus den Additionsformeln. Wir wenden die Formeln für den Sinus der Summe an:

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β und der Kosinus der Summe cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β. Angenommen, β = α , dann bekommen wir das

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α cos α und cos (α + α) = cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α - sin2α

Somit sind die Formeln für den Sinus und Kosinus des Doppelwinkels sin 2 α \u003d 2 sin α cos α und cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α bewiesen.

Die verbleibenden Formeln cos 2 α \u003d 1 - 2 sin 2 α und cos 2 α \u003d 2 cos 2 α - 1 führen beim Ersetzen zur Form cos 2 α \u003d cos 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 1 mit der Quadratsumme durch die Grundidentität sin 2 α + cos 2 α = 1 . Wir erhalten, dass sin 2 α + cos 2 α = 1. Also 1 - 2 sin 2 α \u003d sin 2 α + cos 2 α - 2 sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α und 2 cos 2 α - 1 \u003d 2 cos 2 α - (sin 2 α + cos 2 α) \u003d cos 2 α - sin 2 α.

Um die Formeln für den Doppelwinkel von Tangens und Kotangens zu beweisen, wenden wir die Gleichungen t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α und c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α an. Nach der Transformation erhalten wir das t g 2 α \u003d sin 2 α cos 2 α \u003d 2 sin α cos α cos 2 α - sin 2 α und c t g 2 α \u003d cos 2 α sin 2 α \u003d cos 2 α - sin 2 α 2 · sin α · cos α . Teilen Sie den Ausdruck durch cos 2 α, wobei cos 2 α ≠ 0 mit einem beliebigen Wert von α ist, wenn t g α definiert ist. Teilen Sie einen anderen Ausdruck durch sin 2 α , wobei sin 2 α ≠ 0 mit beliebigen Werten von α , wenn c t g 2 α sinnvoll ist. Um die Doppelwinkelformel für Tangens und Kotangens zu beweisen, setzen wir ein und erhalten: