Funktionsforschung.

1) D(y) - Definitionsbereich: die Menge all dieser Werte der Variablen x. unter denen die algebraischen Ausdrücke f(x) und g(x) sinnvoll sind.

Ist die Funktion durch eine Formel gegeben, dann besteht der Definitionsbereich aus allen Werten der unabhängigen Variablen, für die die Formel sinnvoll ist.

2) Funktionseigenschaften: gerade/ungerade, Periodizität:

seltsam und sogar werden Funktionen genannt, deren Graphen bezüglich des Vorzeichenwechsels des Arguments symmetrisch sind.

komische Funktion- eine Funktion, die den Wert in das Gegenteil ändert, wenn sich das Vorzeichen der unabhängigen Variablen ändert (symmetrisch um den Koordinatenmittelpunkt).

Gleiche Funktion- eine Funktion, die ihren Wert nicht ändert, wenn sich das Vorzeichen der unabhängigen Variablen ändert (symmetrisch um die y-Achse).

Weder gerade noch ungerade Funktion (allgemeine Funktion) ist eine Funktion, die keine Symmetrie hat. Diese Kategorie umfasst Funktionen, die nicht unter die beiden vorherigen Kategorien fallen.

Es werden Funktionen aufgerufen, die keiner der oben genannten Kategorien angehören weder gerade noch ungerade(oder generische Funktionen).

Ungerade Funktionen

Eine ungerade Potenz, wobei eine beliebige ganze Zahl ist.

Sogar funktioniert

Eine gerade Potenz, wobei eine beliebige ganze Zahl ist.

Periodische Funktion ist eine Funktion, die ihre Werte in regelmäßigen Intervallen des Arguments wiederholt, d. h. ihren Wert nicht ändert, wenn dem Argument eine feste Zahl ungleich Null hinzugefügt wird ( Zeitraum Funktionen) über den gesamten Definitionsbereich.

3) Nullstellen (Wurzeln) einer Funktion sind die Punkte, an denen sie verschwindet.

Finden Sie den Schnittpunkt des Diagramms mit der Achse Ey. Dazu müssen Sie den Wert berechnen f(0). Finde auch die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse Ochse, warum finden Sie die Wurzeln der Gleichung f(x) = 0 (oder stellen Sie sicher, dass keine Wurzeln vorhanden sind).

Die Punkte, an denen der Graph die Achse schneidet, werden aufgerufen Funktion Nullen. Um die Nullstellen der Funktion zu finden, müssen Sie die Gleichung lösen, dh finden diese x-Werte, für die die Funktion verschwindet.

4) Intervalle der Zeichenkonstanz, Zeichen darin.

Intervalle, in denen die Funktion f(x) ihr Vorzeichen behält.

Das Konstanzintervall ist das Intervall an jedem Punkt, an dem Funktion ist positiv oder negativ.

ÜBER der x-Achse.

UNTERE Achse.

5) Kontinuität (Unstetigkeitspunkte, Unstetigkeitscharakter, Asymptoten).

kontinuierliche Funktion- eine Funktion ohne "Sprünge", dh eine, bei der kleine Änderungen im Argument zu kleinen Änderungen im Wert der Funktion führen.

Entfernbare Haltepunkte

Wenn die Grenze der Funktion existieren, aber die Funktion ist an dieser Stelle nicht definiert, oder die Grenze stimmt an dieser Stelle nicht mit dem Wert der Funktion überein:

,

dann wird der Punkt aufgerufen Bruchstelle Funktionen (in der komplexen Analysis ein entfernbarer singulärer Punkt).

Wenn wir die Funktion an der Stelle einer entfernbaren Unstetigkeit "korrigieren" und setzen , dann erhalten wir eine an dieser Stelle stetige Funktion. Eine solche Operation auf einer Funktion wird aufgerufen Erweiterung der Funktion auf stetig oder Erweiterung der Funktion um Stetigkeit, was den Namen des Punktes rechtfertigt, als Punkte Wegwerf Lücke.

Unstetigkeitsstellen erster und zweiter Art

Wenn die Funktion an einem bestimmten Punkt eine Diskontinuität aufweist (d. h. der Grenzwert der Funktion an einem bestimmten Punkt fehlt oder nicht mit dem Wert der Funktion an einem bestimmten Punkt übereinstimmt), gibt es für numerische Funktionen zwei mögliche Optionen im Zusammenhang mit der Existenz numerischer Funktionen einseitige Grenzen:

wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und endlich sind, dann heißt ein solcher Punkt Sollbruchstelle erster Art. Entfernbare Unstetigkeitsstellen sind Unstetigkeitsstellen erster Art;

wenn mindestens einer der einseitigen Grenzwerte nicht existiert oder kein endlicher Wert ist, dann heißt ein solcher Punkt Sollbruchstelle zweiter Art.

Asymptote - gerade, die die Eigenschaft hat, dass der Abstand von einem Punkt der Kurve zu diesem gerade gegen Null tendiert, wenn sich der Punkt entlang des Astes ins Unendliche bewegt.

vertikal

Vertikale Asymptote - Grenzlinie .

In der Regel suchen sie bei der Bestimmung der vertikalen Asymptote nicht nach einer Grenze, sondern nach zwei einseitigen (links und rechts). Dies geschieht, um zu bestimmen, wie sich die Funktion verhält, wenn sie sich der vertikalen Asymptote aus verschiedenen Richtungen nähert. Zum Beispiel:

Horizontal

Horizontale Asymptote - gerade Arten, vorbehaltlich der Existenz Grenze

.

schräg

Schräge Asymptote - gerade Arten, vorbehaltlich der Existenz Grenzen

Hinweis: Eine Funktion kann nicht mehr als zwei schiefe (horizontale) Asymptoten haben.

Hinweis: Wenn mindestens eine der beiden oben genannten Grenzen nicht existiert (oder gleich ) ist, dann existiert die schiefe Asymptote bei (oder ) nicht.

wenn in Punkt 2.), dann , und die Grenze wird durch die horizontale Asymptotenformel gefunden, .

6) Intervalle der Monotonie finden. Finden Sie Monotonieintervalle einer Funktion f(x) (d. h. Intervalle der Zunahme und Abnahme). Dazu wird das Vorzeichen der Ableitung untersucht f(x). Finden Sie dazu die Ableitung f(x) und löse die Ungleichung f(x)0. Auf den Intervallen, in denen diese Ungleichung erfüllt ist, ist die Funktion f(x) erhöht sich. Wo die umgekehrte Ungleichung gilt f(x)0, Funktion f(x) sinkt.

Finden eines lokalen Extremums. Nachdem wir die Intervalle der Monotonie gefunden haben, können wir sofort die Punkte eines lokalen Extremums bestimmen, wo die Zunahme durch eine Abnahme ersetzt wird, es gibt lokale Maxima, und wo die Abnahme durch eine Zunahme ersetzt wird, lokale Minima. Berechnen Sie den Wert der Funktion an diesen Punkten. Wenn eine Funktion kritische Punkte hat, die keine lokalen Extrempunkte sind, dann ist es sinnvoll, den Wert der Funktion auch an diesen Punkten zu berechnen.

Finden der größten und kleinsten Werte der Funktion y = f(x) auf einem Segment(Fortsetzung)

1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion: f(x). 2. Finden Sie Punkte, an denen die Ableitung Null ist: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Bestimmen Sie den Besitz von Punkten X 1 ,X 2 , … Segment [ a; b]: lassen x 1a;b, a x 2a;b . 4. Funktionswerte an ausgewählten Punkten und an den Enden des Segments finden: f(x 1), f(x 2),..., f(x a),f(x b), 5. Auswahl der größten und kleinsten Werte der Funktion aus den gefundenen. Kommentar. Wenn auf dem Segment [ a; b] gibt es Diskontinuitätspunkte, dann ist es notwendig, einseitige Grenzen in ihnen zu berechnen und dann ihre Werte bei der Auswahl der größten und kleinsten Werte der Funktion zu berücksichtigen.

7) Intervalle von Konvexität und Konkavität finden. Dazu wird das Vorzeichen der zweiten Ableitung untersucht f(x). Finden Sie die Wendepunkte an den Verbindungsstellen der konvexen und konkaven Intervalle. Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Wendepunkten. Wenn die Funktion andere Stetigkeitspunkte hat (außer Wendepunkten), an denen die zweite Ableitung gleich 0 ist oder nicht existiert, dann ist es auch an diesen Punkten sinnvoll, den Wert der Funktion zu berechnen. Finden f(x) lösen wir die Ungleichung f(x)0. Auf jedem der Lösungsintervalle ist die Funktion nach unten konvex. Lösen der umgekehrten Ungleichung f(x)0 finden wir die Intervalle, in denen die Funktion nach oben konvex (also konkav) ist. Wir definieren Wendepunkte als jene Punkte, an denen die Funktion die Richtung der Konvexität ändert (und stetig ist).

Wendepunkt der Funktion- Dies ist der Punkt, an dem die Funktion stetig ist und bei dessen Durchgang die Funktion die Richtung der Konvexität ändert.

Existenzbedingungen

Notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes: wenn die Funktion in einer punktierten Umgebung des Punktes zweimal differenzierbar ist, dann entweder .

Die Abhängigkeit der Variablen y von der Variablen x, bei der jeder Wert von x einem einzelnen Wert von y entspricht, wird als Funktion bezeichnet. Die Notation ist y=f(x). Jede Funktion hat eine Reihe grundlegender Eigenschaften wie Monotonie, Parität, Periodizität und andere.

Betrachten Sie die Paritätseigenschaft genauer.

Eine Funktion y=f(x) wird auch dann aufgerufen, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

2. Der Wert der Funktion am Punkt x, der zum Geltungsbereich der Funktion gehört, muss gleich dem Wert der Funktion am Punkt -x sein. Das heißt, für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d f (-x) wahr sein.

Graph einer geraden Funktion

Wenn Sie einen Graphen einer geraden Funktion erstellen, ist er symmetrisch zur y-Achse.

Beispielsweise ist die Funktion y=x^2 gerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Daher gilt f(x) = f(-x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion gerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^2.

Die Abbildung zeigt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Graph einer ungeraden Funktion

Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

1. Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion muss in Bezug auf den Punkt O symmetrisch sein. Das heißt, wenn ein Punkt a zum Definitionsbereich der Funktion gehört, dann muss der entsprechende Punkt -a auch zum Definitionsbereich der gegebenen Funktion gehören.

2. Für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d -f (x) erfüllt sein.

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Punkt O - dem Ursprung. Beispielsweise ist die Funktion y=x^3 ungerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Also f(x) = -f(x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion ungerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^3.

Die Abbildung zeigt deutlich, dass die ungerade Funktion y=x^3 bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist.

sogar, falls für alle \(x\) aus seinem Definitionsbereich wahr ist: \(f(-x)=f(x)\) .

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur \(y\)-Achse:

Beispiel: Die Funktion \(f(x)=x^2+\cos x\) ist gerade, weil \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Die Funktion \(f(x)\) wird aufgerufen seltsam, wenn für alle \(x\) aus seinem Definitionsbereich wahr ist: \(f(-x)=-f(x)\) .

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung:

Beispiel: Die Funktion \(f(x)=x^3+x\) ist ungerade, weil \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind, werden generische Funktionen genannt. Eine solche Funktion lässt sich immer eindeutig als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion darstellen.

Beispielsweise ist die Funktion \(f(x)=x^2-x\) die Summe einer geraden Funktion \(f_1=x^2\) und einer ungeraden Funktion \(f_2=-x\) .

\(\schwarzesdreieckrechts\) Einige Eigenschaften:

1) Das Produkt und der Quotient zweier Funktionen gleicher Parität ist eine gerade Funktion.

2) Das Produkt und der Quotient zweier Funktionen unterschiedlicher Parität ist eine ungerade Funktion.

3) Die Summe und Differenz gerader Funktionen ist eine gerade Funktion.

4) Die Summe und Differenz ungerader Funktionen ist eine ungerade Funktion.

5) Wenn \(f(x)\) eine gerade Funktion ist, dann hat die Gleichung \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) genau dann eine eindeutige Wurzel, wenn, wenn \(x=0\) .

6) Wenn \(f(x)\) eine gerade oder ungerade Funktion ist und die Gleichung \(f(x)=0\) eine Wurzel \(x=b\) hat, dann wird diese Gleichung notwendigerweise eine zweite haben Wurzel \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Eine Funktion \(f(x)\) heißt periodisch auf \(X\), wenn für eine Zahl \(T\ne 0\) gilt \(f(x)=f(x+). T) \) , wobei \(x, x+T\in X\) . Die kleinste \(T\) , für die diese Gleichheit gilt, heißt Hauptperiode der Funktion.

Eine periodische Funktion hat eine beliebige Zahl der Form \(nT\) , wobei \(n\in \mathbb(Z)\) auch eine Periode sein wird.

Beispiel: Jede trigonometrische Funktion ist periodisch;
für die Funktionen \(f(x)=\sin x\) und \(f(x)=\cos x\) ist die Hauptperiode \(2\pi\) , für die Funktionen \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) und \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) Hauptperiode ist \(\pi\) .

Um eine periodische Funktion zu zeichnen, können Sie ihren Graphen auf einem beliebigen Segment der Länge \(T\) (Hauptperiode) zeichnen; dann wird der Graph der gesamten Funktion vervollständigt, indem der konstruierte Teil um eine ganzzahlige Anzahl von Perioden nach rechts und nach links verschoben wird:

\(\blacktriangleright\) Der Definitionsbereich \(D(f)\) der Funktion \(f(x)\) ist die Menge bestehend aus allen Werten des Arguments \(x\), für die die Funktion sinnvoll ist (ist definiert).

Beispiel: Die Funktion \(f(x)=\sqrt x+1\) hat einen Definitionsbereich: \(x\in

Aufgabe 1 #6364

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Für welche Werte des Parameters \(a\) die Gleichung

hat eine eindeutige Lösung?

Beachten Sie, dass, da \(x^2\) und \(\cos x\) gerade Funktionen sind, die Gleichung, wenn sie eine Wurzel \(x_0\) hat, auch eine Wurzel \(-x_0\) hat.
Sei nämlich \(x_0\) eine Wurzel, also die Gleichheit \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) Rechts. \(-x_0\) ersetzen: \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Wenn also \(x_0\ne 0\) , dann hat die Gleichung bereits mindestens zwei Wurzeln. Daher \(x_0=0\) . Dann:

Wir haben zwei Parameterwerte \(a\) bekommen. Beachten Sie, dass wir die Tatsache ausgenutzt haben, dass \(x=0\) genau die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist. Aber wir haben nie die Tatsache genutzt, dass er der einzige ist. Daher ist es notwendig, die resultierenden Werte des Parameters \(a\) in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen und zu prüfen, für welches \(a\) die Wurzel \(x=0\) tatsächlich eindeutig ist.

1) Wenn \(a=0\) , dann nimmt die Gleichung die Form \(2x^2=0\) an. Offensichtlich hat diese Gleichung nur eine Wurzel \(x=0\) . Daher passt uns der Wert \(a=0\).

2) Wenn \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , dann nimmt die Gleichung die Form an \ Wir schreiben die Gleichung in die Form um \ Als \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), dann \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Daher gehören die Werte der rechten Seite der Gleichung (*) zum Intervall \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Da \(x^2\geqslant 0\) ist, ist die linke Seite der Gleichung (*) größer oder gleich \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Gleichheit (*) kann also nur gelten, wenn beide Seiten der Gleichung gleich \(\mathrm(tg)^2\,1\) sind. Und das bedeutet das \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Daher passt uns der Wert \(a=-\mathrm(tg)\,1\).

Antworten:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Aufgabe 2 #3923

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils der Graph der Funktion \

symmetrisch um den Ursprung.

Wenn der Graph der Funktion bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist, dann ist eine solche Funktion ungerade, das heißt, \(f(-x)=-f(x)\) ist für jedes \(x\) aus dem erfüllt Domäne der Funktion. Daher ist es erforderlich, diejenigen Parameterwerte zu finden, für die \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Die letzte Gleichung muss also für alle \(x\) aus dem Definitionsbereich \(f(x)\) gelten \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Antworten:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Aufgabe 3 #3069

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die die Gleichung \ jeweils 4 Lösungen hat, wobei \(f\) eine gerade periodische Funktion mit der Periode \(T=\dfrac(16)3\) ist. definiert auf der gesamten reellen Linie und \(f(x)=ax^2\) für \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Aufgabe von Abonnenten)

Da \(f(x)\) eine gerade Funktion ist, ist ihr Graph bezüglich der y-Achse symmetrisch, also wenn \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Also bei \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), und dies ist ein Segment der Länge \(\dfrac(16)3\) , die Funktion \(f(x)=ax^2\) .

1) Sei \(a>0\) . Dann sieht der Graph der Funktion \(f(x)\) so aus:


Damit die Gleichung 4 Lösungen hat, muss der Graph \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) durch den Punkt \(A\) gehen:


Somit, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(aligned) \end(gathered)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( gesammelt)\richtig.\] Da \(a>0\) , dann ist \(a=\dfrac(18)(23)\) in Ordnung.

2) Sei \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Wir brauchen den Graphen \(g(x)\) um durch den Punkt \(B\) zu gehen: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(gathered)\right.\] Seit einem<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Der Fall \(a=0\) ist nicht geeignet, weil dann \(f(x)=0\) für alle \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) und The Gleichung wird nur 1 Wurzel haben.

Antworten:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Aufgabe 4 #3072

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte \(a\) , für die jeweils die Gleichung \

hat mindestens eine Wurzel.

(Aufgabe von Abonnenten)

Wir schreiben die Gleichung in die Form um \ und betrachte zwei Funktionen: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) und \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Die Funktion \(g(x)\) ist gerade, hat einen Minimalpunkt \(x=0\) (und \(g(0)=49\) ).
Die Funktion \(f(x)\) für \(x>0\) ist fallend und für \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Tatsächlich expandiert für \(x>0\) das zweite Modul positiv (\(|x|=x\) ), daher ist \(f(x)\) unabhängig davon, wie das erste Modul expandiert, gleich \(f(x)\) ( kx+A\) , wobei \(A\) ein Ausdruck von \(a\) ist und \(k\) entweder gleich \(-9\) oder \(-3\) ist. Für \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Finden Sie den Wert \(f\) am Maximumpunkt: \

Damit die Gleichung mindestens eine Lösung hat, ist es notwendig, dass die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) mindestens einen Schnittpunkt haben. Daher benötigen Sie: \ \\]

Antworten:

\(a\in \(-7\)\cup\)

Aufgabe 5 #3912

Aufgabenstufe: Entspricht dem Einheitlichen Staatsexamen

Finden Sie alle Werte des Parameters \(a\) , für die jeweils die Gleichung \

hat sechs verschiedene Lösungen.

Machen wir die Substitution \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Dann nimmt die Gleichung die Form an \ Wir werden nach und nach die Bedingungen aufschreiben, unter denen die ursprüngliche Gleichung sechs Lösungen haben wird.
Beachten Sie, dass die quadratische Gleichung \((*)\) höchstens zwei Lösungen haben kann. Jede kubische Gleichung \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) kann nicht mehr als drei Lösungen haben. Wenn also die Gleichung \((*)\) zwei verschiedene Lösungen hat (positiv!, da \(t\) größer als Null sein muss) \(t_1\) und \(t_2\) , dann ist es umgekehrt Substitution erhalten wir: \[\left[\begin(gathered)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligned)\end(gathered)\right.\] Da jede positive Zahl bis zu einem gewissen Grad als \(\sqrt2\) dargestellt werden kann, gilt beispielsweise \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), dann wird die erste Gleichung des Satzes in die Form umgeschrieben \ Wie wir bereits gesagt haben, hat jede kubische Gleichung nicht mehr als drei Lösungen, daher hat jede Gleichung aus der Menge nicht mehr als drei Lösungen. Das bedeutet, dass der gesamte Satz nicht mehr als sechs Lösungen haben wird.
Das bedeutet, dass die quadratische Gleichung \((*)\) zwei verschiedene Lösungen haben muss, damit die ursprüngliche Gleichung sechs Lösungen hat, und jede resultierende kubische Gleichung (aus der Menge) drei verschiedene Lösungen haben muss (und nicht eine einzige Lösung der einen Gleichung mit welcher zusammenfallen soll - oder durch die Entscheidung der zweiten!)
Wenn die quadratische Gleichung \((*)\) eine Lösung hat, erhalten wir natürlich keine sechs Lösungen für die ursprüngliche Gleichung.

Damit wird der Lösungsplan klar. Schreiben wir die Bedingungen auf, die Punkt für Punkt erfüllt werden müssen.

1) Damit die Gleichung \((*)\) zwei verschiedene Lösungen hat, muss ihre Diskriminante positiv sein: \

2) Außerdem müssen beide Nullstellen positiv sein (weil \(t>0\) ). Wenn das Produkt zweier Wurzeln positiv ist und ihre Summe positiv ist, dann sind die Wurzeln selbst positiv. Daher benötigen Sie: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Damit haben wir uns bereits zwei verschiedene positive Wurzeln \(t_1\) und \(t_2\) besorgt.

3) Schauen wir uns diese Gleichung an \ Für was \(t\) wird es drei verschiedene Lösungen geben?
Betrachten Sie die Funktion \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Kann multipliziert werden: \ Daher sind seine Nullstellen: \(x=-1;2\) .
Wenn wir die Ableitung \(f"(x)=3x^2-6x\) finden, dann erhalten wir zwei Extrempunkte \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Daher sieht die Grafik wie folgt aus:


Wir sehen, dass jede horizontale Linie \(y=k\) , wobei \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) drei verschiedene Lösungen hat, ist es notwendig, dass \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Sie benötigen also: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Beachten wir auch gleich, dass wenn die Zahlen \(t_1\) und \(t_2\) unterschiedlich sind, die Zahlen \(\log_(\sqrt2)t_1\) und \(\log_(\sqrt2)t_2\) es tun anders sein, also die Gleichungen \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) und \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) wird andere Wurzeln haben.
Das System \((**)\) kann wie folgt umgeschrieben werden: \[\begin(cases) 1

Damit haben wir festgestellt, dass beide Nullstellen der Gleichung \((*)\) im Intervall \((1;4)\) liegen müssen. Wie schreibe ich diese Bedingung?
Wir werden die Wurzeln nicht explizit ausschreiben.
Betrachten Sie die Funktion \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Sein Graph ist eine Parabel mit nach oben gerichteten Zweigen, die zwei Schnittpunkte mit der Abszissenachse hat (wir haben diese Bedingung in Absatz 1 geschrieben). Wie müsste sein Graph aussehen, damit die Schnittpunkte mit der Abszissenachse im Intervall \((1;4)\) liegen? So:


Erstens müssen die Werte \(g(1)\) und \(g(4)\) der Funktion an den Punkten \(1\) und \(4\) positiv sein, und zweitens der Scheitelpunkt von die Parabel \(t_0\ ) muss auch im Intervall \((1;4)\) liegen. Daher kann das System geschrieben werden: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) hat immer mindestens eine Wurzel \(x=0\) . Um also die Bedingung des Problems zu erfüllen, ist es notwendig, dass die Gleichung \

hatte vier verschiedene Wurzeln ungleich Null, die zusammen mit \(x=0\) eine arithmetische Progression darstellten.

Beachten Sie, dass die Funktion \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) gerade ist, wenn also \(x_0\) die Wurzel der Gleichung \((* )\ ) , dann ist \(-x_0\) auch seine Wurzel. Dann ist es notwendig, dass die Wurzeln dieser Gleichung Zahlen sind, die in aufsteigender Reihenfolge geordnet sind: \(-2d, -d, d, 2d\) (dann \(d>0\) ). Dann bilden diese fünf Zahlen eine arithmetische Folge (mit der Differenz \(d\) ).

Damit diese Wurzeln die Zahlen \(-2d, -d, d, 2d\) sind, müssen die Zahlen \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) die Wurzeln von sein die Gleichung \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Dann nach dem Satz von Vieta:

Wir schreiben die Gleichung in die Form um \ und betrachte zwei Funktionen: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) und \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Die Funktion \(g(x)\) hat einen Maximalpunkt \(x=0\) (und \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nullableitung: \(x=0\) . Für \(x<0\) имеем: \(g">0\) , für \(x>0\) : \(g"<0\) .
Die Funktion \(f(x)\) für \(x>0\) wächst, und für \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Tatsächlich expandiert für \(x>0\) das erste Modul positiv (\(|x|=x\) ), daher ist \(f(x)\) unabhängig davon, wie das zweite Modul expandiert, gleich \(f(x)\) ( kx+A\) , wobei \(A\) ein Ausdruck von \(a\) ist und \(k\) entweder \(13-10=3\) oder \(13+10=23\) ist . Für \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Lassen Sie uns den Wert \(f\) am Minimalpunkt finden: \

Damit die Gleichung mindestens eine Lösung hat, ist es notwendig, dass die Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) mindestens einen Schnittpunkt haben. Daher benötigen Sie: \ Wenn wir diese Reihe von Systemen lösen, erhalten wir die Antwort: \\]

Antworten:

\(a\in \(-2\)\cup\)

Gerade und ungerade Funktionen sind eine ihrer Haupteigenschaften, und die Parität nimmt einen beeindruckenden Teil des Schulunterrichts in Mathematik ein. Es bestimmt weitgehend die Art des Verhaltens der Funktion und erleichtert die Konstruktion des entsprechenden Graphen erheblich.

Lassen Sie uns die Parität der Funktion definieren. Im Allgemeinen wird die untersuchte Funktion auch dann betrachtet, wenn für entgegengesetzte Werte der unabhängigen Variablen (x), die sich in ihrem Bereich befinden, die entsprechenden Werte von y (Funktion) gleich sind.

Lassen Sie uns eine strengere Definition geben. Stellen Sie sich eine Funktion f (x) vor, die im Definitionsbereich D definiert ist. Es gilt sogar, wenn für jeden Punkt x im Definitionsbereich gilt:

• -x (gegenüberliegender Punkt) liegt ebenfalls im angegebenen Geltungsbereich,

• f(-x) = f(x).

Aus der obigen Definition folgt die für den Definitionsbereich einer solchen Funktion notwendige Bedingung, nämlich Symmetrie in Bezug auf den Punkt O, der der Koordinatenursprung ist, da ein Punkt b im Definitionsbereich von an enthalten ist sogar funktionieren, dann liegt der entsprechende Punkt - b auch in diesem Bereich. Aus dem Vorhergehenden folgt daher die Schlussfolgerung: Eine gerade Funktion hat eine bezüglich der Ordinatenachse (Oy) symmetrische Form.

Wie bestimmt man in der Praxis die Parität einer Funktion?

Gegeben sei es mit der Formel h(x)=11^x+11^(-x). Dem Algorithmus folgend, der direkt aus der Definition folgt, untersuchen wir zunächst seinen Definitionsbereich. Offensichtlich ist es für alle Werte des Arguments definiert, dh die erste Bedingung ist erfüllt.

Der nächste Schritt besteht darin, das Argument (x) durch seinen entgegengesetzten Wert (-x) zu ersetzen.
Wir bekommen:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Da die Addition dem Kommutativgesetz (Verschiebungsgesetz) genügt, ist offensichtlich, dass h(-x) = h(x) und die gegebene funktionale Abhängigkeit gerade ist.

Prüfen wir die Gleichmäßigkeit der Funktion h(x)=11^x-11^(-x). Nach demselben Algorithmus erhalten wir h(-x) = 11^(-x) -11^x. Wenn wir das Minus herausnehmen, haben wir als Ergebnis
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Also ist h(x) ungerade.

Übrigens sei daran erinnert, dass es Funktionen gibt, die nicht nach diesen Kriterien klassifiziert werden können, sie werden weder gerade noch ungerade genannt.

Auch Funktionen haben eine Reihe interessanter Eigenschaften:

• als Ergebnis der Addition ähnlicher Funktionen wird eine gerade erhalten;
• als Ergebnis der Subtraktion solcher Funktionen wird eine gerade erhalten;
• sogar, auch sogar;
• als Ergebnis der Multiplikation zweier solcher Funktionen erhält man eine gerade;
• als Ergebnis der Multiplikation von ungeraden und geraden Funktionen wird eine ungerade erhalten;
• als Ergebnis der Division der ungeraden und geraden Funktionen erhält man eine ungerade;
• die Ableitung einer solchen Funktion ist ungerade;
• Wenn wir eine ungerade Funktion quadrieren, erhalten wir eine gerade.

Die Parität einer Funktion kann beim Lösen von Gleichungen verwendet werden.

Um eine Gleichung wie g(x) = 0 zu lösen, bei der die linke Seite der Gleichung eine gerade Funktion ist, reicht es aus, ihre Lösungen für nicht negative Werte der Variablen zu finden. Die erhaltenen Wurzeln der Gleichung müssen mit entgegengesetzten Zahlen kombiniert werden. Einer von ihnen unterliegt der Überprüfung.

Dasselbe wird erfolgreich verwendet, um nicht standardmäßige Probleme mit einem Parameter zu lösen.

Gibt es zum Beispiel einen Wert für den Parameter a, der dazu führen würde, dass die Gleichung 2x^6-x^4-ax^2=1 drei Wurzeln hat?

Wenn wir berücksichtigen, dass die Variable in geraden Potenzen in die Gleichung eingeht, dann ist es klar, dass das Ersetzen von x durch -x die gegebene Gleichung nicht ändert. Daraus folgt, dass, wenn eine bestimmte Zahl ihre Wurzel ist, dies auch für die Gegenzahl gilt. Die Schlussfolgerung liegt auf der Hand: Die Wurzeln der Gleichung, außer Null, sind in der Menge ihrer Lösungen in „Paaren“ enthalten.

Es ist klar, dass die Zahl 0 selbst keine ist, das heißt, die Anzahl der Wurzeln einer solchen Gleichung kann nur gerade sein und natürlich kann sie für jeden Wert des Parameters nicht drei Wurzeln haben.

Aber die Anzahl der Wurzeln der Gleichung 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 kann ungerade sein und für jeden Wert des Parameters. In der Tat ist es leicht zu überprüfen, ob die Menge der Wurzeln einer gegebenen Gleichung Lösungen in "Paaren" enthält. Lassen Sie uns prüfen, ob 0 eine Wurzel ist. Wenn wir es in die Gleichung einsetzen, erhalten wir 2=2. Somit ist neben der „gepaarten“ 0 auch eine Wurzel, was ihre ungerade Zahl beweist.

Funktion Nullen
Die Null der Funktion ist der Wert X, bei der die Funktion 0 wird, also f(x)=0.

Nullen sind die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der Achse Oh.

Funktionsparität
Eine Funktion wird auch dann aufgerufen, wenn für beliebig X aus dem Definitionsbereich die Gleichheit f(-x) = f(x)

Eine gerade Funktion ist achsensymmetrisch OU

Komische Funktion
Eine Funktion heißt ungerade, wenn überhaupt X aus dem Definitionsbereich ist die Gleichheit f(-x) = -f(x) erfüllt.

Eine ungerade Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.
Eine Funktion, die weder gerade noch ungerade ist, heißt allgemeine Funktion.

Funktionsinkrement
Die Funktion f(x) heißt steigend, wenn der größere Wert des Arguments dem größeren Wert der Funktion entspricht, d.h. x2 > x1 → f(x2)> f(x1)

Abnehmende Funktion
Die Funktion f(x) heißt fallend, wenn der größere Wert des Arguments dem kleineren Wert der Funktion entspricht, d.h. x 2 > x 1 → f(x 2)
Es werden die Intervalle aufgerufen, in denen die Funktion entweder nur abnimmt oder nur zunimmt Intervalle der Monotonie. Die Funktion f(x) hat 3 Monotonieintervalle:
(-∞ x 1), (x 1 , x 2), (x 3 ; +∞)

Finden Sie Intervalle der Monotonie mit dem Dienst Intervalle steigender und fallender Funktionen

Lokales Maximum
Punkt x 0 heißt lokaler Maximalpunkt, falls es einen gibt X aus einer Umgebung eines Punktes x 0 gilt die folgende Ungleichung: f(x 0) > f(x)

Lokales Minimum
Punkt x 0 heißt ein lokales Minimum, falls vorhanden X aus einer Umgebung eines Punktes x 0 gilt die folgende Ungleichung: f(x 0)< f(x).

Lokale Maximumpunkte und lokale Minimumpunkte werden als lokale Extremumpunkte bezeichnet.

x 1 , x 2 - lokale Extrempunkte.

Funktion Periodizität
Die Funktion f(x) heißt periodisch, mit Punkt T, falls überhaupt X f(x+T) = f(x) .

Konstanzintervalle
Intervalle, auf denen die Funktion entweder nur positiv oder nur negativ ist, werden Intervalle mit konstantem Vorzeichen genannt.

f(x)>0 für x∈(x 1 , x 2)∪(x 2 , +∞), f(x)<0 при x∈(-∞,x 1)∪(x 1 , x 2)

Funktionskontinuität
Die Funktion f(x) heißt an der Stelle x 0 stetig, wenn der Grenzwert der Funktion für x → x 0 gleich dem Wert der Funktion an dieser Stelle ist, d.h. .

Bruchstellen
Die Punkte, an denen die Stetigkeitsbedingung verletzt wird, heißen Unstetigkeitsstellen der Funktion.

x0- Bruchpunkt.

Allgemeines Schema zum Zeichnen von Funktionen

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion D(y).
2. Finde die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.
3. Untersuchen Sie die Funktion auf gerade oder ungerade.
4. Untersuchen Sie die Funktion auf Periodizität.
5. Finden Sie Intervalle der Monotonie und Extrempunkte der Funktion.
6. Finden Sie Konvexitätsintervalle und Wendepunkte der Funktion.
7. Finde die Asymptoten der Funktion.
8. Erstellen Sie basierend auf den Ergebnissen der Studie ein Diagramm.

Beispiel: Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ihren Graphen: y = x 3 - 3x
8) Basierend auf den Ergebnissen der Studie werden wir einen Graphen der Funktion konstruieren: