- ; eine gerade Funktion wird aufgerufen, wenn für zwei verschiedene Werte ihres Arguments f (x) =f(x) , zum Beispiel y= |x|; ungerade - eine solche Funktion, wenn f (x) \u003d - f (x), zum Beispiel y \u003d x2n + 1, wobei n ... ... Wirtschafts- und Mathematikwörterbuch

gerade und ungerade Funktionen- Eine gerade Funktion wird aufgerufen, wenn für zwei verschiedene Werte ihres Arguments f (x) =f(x) , zum Beispiel y= |x|; eine solche Funktion ist ungerade, wenn f(x) = f(x), zum Beispiel y= x2n+1, wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist. Funktionen, die weder... Handbuch für technische Übersetzer

PARITÄT- eine Quantenzahl, die die Symmetrie der Wellenfunktion eines physikalischen Systems oder eines Elementarteilchens unter einigen diskreten Transformationen charakterisiert: wenn unter einer solchen Transformation? ändert sich das Vorzeichen nicht, dann ist die Parität positiv, wenn sie sich ändert, dann ist die Parität ... ... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

EBENE PARITÄT- Parität des körperlichen Zustands. System (Wellenparität. Funktionen) entsprechend einem gegebenen Energieniveau. Eine solche Charakterisierung von Niveaus ist für ein System h c möglich, zwischen dem el. magn. oder Gift. paritätserhaltende Kräfte. Unter Berücksichtigung der schwachen Wechselwirkung ... ... Physikalische Enzyklopädie

Parität

Parität (Mathematik)- Parität in der Zahlentheorie ist die Fähigkeit einer ganzen Zahl, ohne Rest durch 2 geteilt zu werden. Die Parität einer Funktion in der mathematischen Analyse bestimmt, ob die Funktion das Vorzeichen ändert, wenn sich das Vorzeichen des Arguments ändert: für eine gerade / ungerade Funktion. Parität in der Quantenmechanik ... ... Wikipedia

TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN- Klasse elementarer Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekante, Kosekan. Entsprechend bezeichnet: sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x, cosec x. Trigonometrische Funktionen eines reellen Arguments. Sei A ein Punkt eines Kreises mit Mittelpunkt bei ... ... Mathematische Enzyklopädie

INTERNE PARITÄT- (P), eine der Eigenschaften von (Quantenzahlen) Elementen. tsy, der das Verhalten seiner Wellenfunktion y bei räumlicher Inversion (Spiegelreflexion), also bei Änderung der Koordinaten x® x, y® y, z® z bestimmt. Wenn bei einer solchen Reflexion y das Vorzeichen nicht ändert, V. h. h tsy ... ... Physikalische Enzyklopädie

Ladeparität- Ladungskonjugation ist der Vorgang, bei dem ein Teilchen durch ein Antiteilchen ersetzt wird (z. B. ein Elektron durch ein Positron). Ladungsparität Ladungsparität ist eine Quantenzahl, die das Verhalten der Wellenfunktion eines Teilchens während des Austauschvorgangs eines Teilchens durch ein Antiteilchen bestimmt ... ... Wikipedia

Zyklische Paritätsprüfung- Algorithmus zur Berechnung der Prüfsumme (engl. Cyclic Redundancy Code, CRC Cyclic Redundancy Code) ist eine Methode zur digitalen Identifizierung einer bestimmten Datenfolge, die darin besteht, den Kontrollwert ihrer zyklischen ... ... Wikipedia zu berechnen

- (Math.) Die Funktion y \u003d f (x) wird aufgerufen, auch wenn sie sich nicht ändert, wenn die unabhängige Variable nur das Vorzeichen ändert, dh wenn f (x) \u003d f (x). Wenn f (x) = f (x), dann heißt die Funktion f (x) ungerade. Zum Beispiel y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion. f(x) = x2 ist ein Beispiel für eine gerade Funktion. f(x) = x3 ... Wikipedia

Eine Funktion, die die Gleichheit f (x) = f (x) erfüllt. Siehe Gerade und ungerade Funktionen... Große sowjetische Enzyklopädie

F(x) = x ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion. f(x) = x2 ist ein Beispiel für eine gerade Funktion. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion. f(x) = x2 ist ein Beispiel für eine gerade Funktion. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion. f(x) = x2 ist ein Beispiel für eine gerade Funktion. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x ist ein Beispiel für eine ungerade Funktion. f(x) = x2 ist ein Beispiel für eine gerade Funktion. f(x) = x3 ... Wikipedia

Spezielle Funktionen, die der französische Mathematiker E. Mathieu 1868 bei der Lösung von Problemen zur Schwingung einer elliptischen Membran eingeführt hat. M. f. werden auch zur Untersuchung der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem elliptischen Zylinder verwendet ... Große sowjetische Enzyklopädie

Die "Sünden"-Anfrage wird hierher umgeleitet; siehe auch andere Bedeutungen. Die "sec"-Anforderung wird hierher umgeleitet; siehe auch andere Bedeutungen. "Sinus" leitet hier weiter; siehe auch andere Bedeutungen ... Wikipedia

Die Abhängigkeit der Variablen y von der Variablen x, bei der jeder Wert von x einem einzelnen Wert von y entspricht, wird als Funktion bezeichnet. Die Notation ist y=f(x). Jede Funktion hat eine Reihe grundlegender Eigenschaften wie Monotonie, Parität, Periodizität und andere.

Betrachten Sie die Paritätseigenschaft genauer.

Eine Funktion y=f(x) wird auch dann aufgerufen, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

2. Der Wert der Funktion am Punkt x, der zum Geltungsbereich der Funktion gehört, muss gleich dem Wert der Funktion am Punkt -x sein. Das heißt, für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d f (-x) wahr sein.

Graph einer geraden Funktion

Wenn Sie einen Graphen einer geraden Funktion erstellen, ist er symmetrisch zur y-Achse.

Beispielsweise ist die Funktion y=x^2 gerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Daher gilt f(x) = f(-x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion gerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^2.

Die Abbildung zeigt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Graph einer ungeraden Funktion

Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn sie die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

1. Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion muss in Bezug auf den Punkt O symmetrisch sein. Das heißt, wenn ein Punkt a zum Definitionsbereich der Funktion gehört, dann muss der entsprechende Punkt -a auch zum Definitionsbereich der gegebenen Funktion gehören.

2. Für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d -f (x) erfüllt sein.

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Punkt O - dem Ursprung. Beispielsweise ist die Funktion y=x^3 ungerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Also f(x) = -f(x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion ungerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^3.

Die Abbildung zeigt deutlich, dass die ungerade Funktion y=x^3 bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist.

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Ziele:

• das Konzept gerader und ungerader Funktionen zu bilden, die Fähigkeit zu lehren, diese Eigenschaften beim Studium von Funktionen zu bestimmen und zu verwenden, Plotten;
• die kreative Aktivität der Schüler zu entwickeln, logisches Denken, die Fähigkeit zu vergleichen, zu verallgemeinern;
• Fleiß, mathematische Kultur zu pflegen; Kommunikationsfähigkeiten entwickeln .

Ausrüstung: Multimedia-Installation, interaktives Whiteboard, Handouts.

Arbeitsformen: Frontal und Gruppe mit Elementen von Such- und Forschungsaktivitäten.

Informationsquellen:

1. Algebra Klasse 9 A.G. Mordkovich. Lehrbuch.
2. Algebra Grad 9 A.G. Mordkovich. Aufgabenbuch.
3. Algebra Klasse 9. Aufgaben für das Lernen und die Entwicklung der Schüler. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

WÄHREND DER KLASSEN

1. Organisatorischer Moment

Festlegung von Zielen und Zielen des Unterrichts.

2. Überprüfung der Hausaufgaben

Nr. 10.17 (Problembuch 9. Klasse A.G. Mordkovich).

a) beim = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 für X ~ 0,4
4. f(X) >0 bei X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Die Funktion steigt mit X € [– 2; + ∞)
6. Die Funktion wird von unten eingeschränkt.
7. beim Miete = - 3, beim Naib existiert nicht
8. Die Funktion ist stetig.

(Haben Sie den Feature-Exploration-Algorithmus verwendet?) Gleiten.

2. Sehen wir uns die Tabelle an, nach der Sie auf der Folie gefragt wurden.

Füllen Sie den Tisch
	Domain	Funktion Nullen	Konstanzintervalle		Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Wissensaktualisierung

– Funktionen sind gegeben.
– Geben Sie den Definitionsbereich für jede Funktion an.
– Vergleichen Sie den Wert jeder Funktion für jedes Paar von Argumentwerten: 1 und – 1; 2 und - 2.
– Für welche der gegebenen Funktionen im Definitionsbereich gelten die Gleichheiten f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (Trage die Daten in die Tabelle ein) Gleiten

		f(1) und f(– 1)	f(2 und f(– 2)	Diagramme	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		und nicht definiert.

4. Neues Material

- Während dieser Arbeit, Jungs, haben wir eine weitere Eigenschaft der Funktion enthüllt, die Ihnen unbekannt ist, aber nicht weniger wichtig als die anderen - dies ist die Gleichmäßigkeit und Seltsamkeit der Funktion. Schreiben Sie das Thema der Lektion auf: „Gerade und ungerade Funktionen“. Unsere Aufgabe ist es, zu lernen, wie man die geraden und ungeraden Funktionen bestimmt, und die Bedeutung dieser Eigenschaft beim Studium von Funktionen und beim Zeichnen herauszufinden.
Suchen wir also die Definitionen im Lehrbuch und lesen (S. 110) . Gleiten

Def. ein Funktion beim = f (X) definiert auf der Menge X aufgerufen sogar, wenn für irgendeinen Wert XЄ X läuft Gleichheit f (–x) = f (x). Nenne Beispiele.

Def. 2 Funktion y = f(x), definiert auf der Menge X aufgerufen wird seltsam, wenn für irgendeinen Wert XЄ X die Gleichheit f(–х)= –f(х) ist erfüllt. Nenne Beispiele.

Wo sind uns die Begriffe „gerade“ und „ungerade“ begegnet?
Welche dieser Funktionen wird Ihrer Meinung nach gerade sein? Wieso den? Welche sind seltsam? Wieso den?
Für jede Funktion des Formulars beim= x n, wo n eine ganze Zahl ist, kann argumentiert werden, dass die Funktion ungerade ist n ist ungerade und die Funktion ist gerade für n- sogar.
– Funktionen anzeigen beim= und beim = 2X– 3 ist weder gerade noch ungerade, weil Gleichberechtigung nicht gegeben f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Das Studium der Frage, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist, wird das Studium einer Funktion für Parität genannt. Gleiten

Die Definitionen 1 und 2 befassten sich mit den Werten der Funktion bei x und -x, daher wird davon ausgegangen, dass die Funktion auch bei dem Wert definiert ist X, und bei - X.

ODA 3. Wenn eine Zahlenmenge zusammen mit jedem ihrer Elemente x das entgegengesetzte Element x enthält, dann ist die Menge X heißt symmetrische Menge.

Beispiele:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sind symmetrische Mengen und , [–5;4] sind nicht symmetrisch.

- Haben auch Funktionen einen Definitionsbereich - eine symmetrische Menge? Die Ungeraden?
- Wenn D( f) eine asymmetrische Menge ist, was ist dann die Funktion?
– Also, wenn die Funktion beim = f(X) gerade oder ungerade ist, dann ist sein Definitionsbereich D( f) ist eine symmetrische Menge. Aber ist das Gegenteil wahr, wenn der Definitionsbereich einer Funktion eine symmetrische Menge ist, dann ist sie gerade oder ungerade?
- Das Vorhandensein einer symmetrischen Menge des Definitionsbereichs ist also eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung.
– Wie können wir also die Funktion für Parität untersuchen? Versuchen wir, einen Algorithmus zu schreiben.

Gleiten

Algorithmus zum Untersuchen einer Funktion auf Parität

1. Bestimmen Sie, ob der Definitionsbereich der Funktion symmetrisch ist. Wenn nicht, dann ist die Funktion weder gerade noch ungerade. Wenn ja, gehe zu Schritt 2 des Algorithmus.

2. Schreiben Sie einen Ausdruck für f(–X).

3. Vergleichen f(–X).und f(X):

• Wenn f(–X).= f(X), dann ist die Funktion gerade;
• Wenn f(–X).= – f(X), dann ist die Funktion ungerade;
• Wenn f(–X) ≠ f(X) und f(–X) ≠ –f(X), dann ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

Beispiele:

Untersuchen Sie die Funktion für Parität a) beim= x 5 +; b) beim= ; in) beim= .

Entscheidung.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetrische Menge.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e Funktion h(x)= x 5 + ungerade.

b) y =,

beim = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymmetrische Menge, daher ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

in) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Option 2

1. Ist die gegebene Menge symmetrisch: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Untersuchen Sie die Funktion auf Parität:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. In Abb. gezeichnet beim = f(X), für alle X, erfüllt die Bedingung X? 0.
Zeichnen Sie die Funktion beim = f(X), Wenn beim = f(X) ist eine gerade Funktion.

3. In Abb. gezeichnet beim = f(X), für alle x die x erfüllen? 0.
Zeichnen Sie die Funktion beim = f(X), Wenn beim = f(X) ist eine ungerade Funktion.

Gegenseitiger Check an gleiten.

6. Hausaufgaben: №11.11, 11.21,11.22;

Beweis der geometrischen Bedeutung der Paritätseigenschaft.

*** (Belegung der Option USE).

1. Die ungerade Funktion y \u003d f (x) ist auf der gesamten reellen Linie definiert. Für jeden nicht negativen Wert der Variablen x stimmt der Wert dieser Funktion mit dem Wert der Funktion g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Finde den Wert der Funktion h( X) = bei X = 3.

7. Zusammenfassung

Diagrammkonvertierung.

Verbale Beschreibung der Funktion.

Grafischer Weg.

Die grafische Art, eine Funktion zu spezifizieren, ist die anschaulichste und wird häufig in der Technik verwendet. In der mathematischen Analyse dient die grafische Art der Funktionsangabe als Illustration.

Funktionsgraph f ist die Menge aller Punkte (x; y) der Koordinatenebene, wobei y=f(x) ist und x den gesamten Definitionsbereich der gegebenen Funktion „durchläuft“.

Eine Teilmenge der Koordinatenebene ist ein Graph einer Funktion, wenn sie höchstens einen gemeinsamen Punkt mit einer Linie parallel zur Oy-Achse hat.

Beispiel. Sind die folgenden Abbildungen Graphen von Funktionen?

Der Vorteil einer grafischen Aufgabe ist ihre Übersichtlichkeit. Sie können sofort sehen, wie sich die Funktion verhält, wo sie ansteigt, wo sie abfällt. Aus der Grafik können Sie sofort einige wichtige Eigenschaften der Funktion erkennen.

Im Allgemeinen gehen analytische und grafische Methoden zur Definition einer Funktion Hand in Hand. Die Arbeit mit der Formel hilft beim Erstellen eines Diagramms. Und die Grafik schlägt oft Lösungen vor, die Sie in der Formel nicht bemerken werden.

Fast jeder Student kennt die drei Möglichkeiten, eine Funktion zu definieren, die wir gerade behandelt haben.

Versuchen wir, die Frage zu beantworten: "Gibt es andere Möglichkeiten, eine Funktion zu definieren?"

Es gibt einen solchen Weg.

Eine Funktion kann recht eindeutig in Worten definiert werden.

Beispielsweise kann die Funktion y=2x durch die folgende verbale Beschreibung definiert werden: Jedem reellen Wert des Arguments x wird sein doppelter Wert zugeordnet. Die Regel ist gesetzt, die Funktion ist gesetzt.

Darüber hinaus ist es möglich, eine Funktion verbal anzugeben, was mit einer Formel äußerst schwierig, wenn nicht gar unmöglich ist.

Zum Beispiel: Jeder Wert des natürlichen Arguments x ist mit der Summe der Ziffern verbunden, die den Wert von x bilden. Wenn zum Beispiel x=3, dann y=3. Wenn x=257, dann y=2+5+7=14. Usw. Es ist schwierig, dies in einer Formel niederzuschreiben. Aber der Tisch ist einfach zu machen.

Die Methode der verbalen Beschreibung ist eine eher selten angewandte Methode. Aber manchmal passiert es.

Wenn es ein Gesetz der Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen x und y gibt, dann gibt es eine Funktion. Welches Gesetz, in welcher Form es ausgedrückt wird - durch eine Formel, Tafel, Grafik, Worte - ändert nichts am Wesen der Sache.

Betrachten Sie Funktionen, deren Definitionsbereich symmetrisch zum Koordinatenursprung sind, d.h. für jeden X Nummer außerhalb des Geltungsbereichs (- X) gehört ebenfalls zum Definitionsbereich. Zu diesen Funktionen gehören geraden und ungeraden.

Definition. Die Funktion f wird aufgerufen sogar, falls überhaupt X aus seiner Domäne

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion

Sie ist sogar. Lass es uns überprüfen.

Für jeden X die Gleichheiten

Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion gerade ist. Unten ist ein Diagramm dieser Funktion.

Definition. Die Funktion f wird aufgerufen seltsam, falls überhaupt X aus seiner Domäne

Beispiel. Betrachten Sie die Funktion

Sie ist seltsam. Lass es uns überprüfen.

Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt (0; 0) ist.

Für jeden X die Gleichheiten

Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion ungerade ist. Unten ist ein Diagramm dieser Funktion.

Die in den ersten und dritten Figuren gezeigten Graphen sind symmetrisch um die y-Achse, und die Graphen, die in den zweiten und vierten Figuren gezeigt sind, sind symmetrisch um den Ursprung.

Welche der Funktionen, deren Graphen in den Abbildungen dargestellt sind, sind gerade und welche ungerade?