In diesem Artikel betrachten wir die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen.

Aber zuerst wiederholen wir, was Gleichungen als quadratisch bezeichnet werden. Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c \u003d 0, wobei x eine Variable ist und die Koeffizienten a, b und c einige Zahlen sind und a ≠ 0, wird aufgerufen Quadrat. Wie wir sehen können, ist der Koeffizient bei x 2 nicht gleich Null, und daher können die Koeffizienten bei x oder der freie Term gleich Null sein, in diesem Fall erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung.

Es gibt drei Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen:

1) Wenn b \u003d 0, c ≠ 0, dann ax 2 + c \u003d 0;

2) Wenn b ≠ 0, c \u003d 0, dann ax 2 + bx \u003d 0;

3) Wenn b \u003d 0, c \u003d 0, dann ax 2 \u003d 0.

• Mal sehen, wie sie sich lösen Gleichungen der Form ax 2 + c = 0.

Um die Gleichung zu lösen, übertragen wir den freien Term von auf die rechte Seite der Gleichung, wir erhalten

Axt 2 = ‒s. Da a ≠ 0, teilen wir beide Teile der Gleichung durch a, dann x 2 \u003d -c / a.

Wenn ‒с/а > 0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln

x = ±√(–c/a) .

Wenn ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Versuchen wir anhand von Beispielen zu verstehen, wie man solche Gleichungen löst.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung 2x 2 - 32 = 0.

Antwort: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Beispiel 2. Lösen Sie die Gleichung 2x 2 + 8 = 0.

Antwort: Die Gleichung hat keine Lösungen.

• Mal sehen, wie sie sich lösen Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0.

Um die Gleichung ax 2 + bx \u003d 0 zu lösen, zerlegen wir sie in Faktoren, dh wir nehmen x aus Klammern, wir erhalten x (ax + b) \u003d 0. Das Produkt ist Null, wenn mindestens eines der Faktoren ist null. Dann ist entweder х = 0 oder ах + b = 0. Wenn wir die Gleichung ах + b = 0 lösen, erhalten wir ах = – b, womit х = – b/a. Eine Gleichung der Form ax 2 + bx \u003d 0 hat immer zwei Wurzeln x 1 \u003d 0 und x 2 \u003d - b / a. Sehen Sie, wie die Lösung von Gleichungen dieses Typs auf dem Diagramm aussieht.

Festigen wir unser Wissen an einem konkreten Beispiel.

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 oder 3x - 12 \u003d 0

Antwort: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Gleichungen des dritten Typs ax 2 = 0 ganz einfach gelöst.

Wenn ax 2 \u003d 0, dann x 2 \u003d 0. Die Gleichung hat zwei gleiche Wurzeln x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Betrachten Sie zur Verdeutlichung das Diagramm.

Beim Lösen von Beispiel 4 werden wir darauf achten, dass Gleichungen dieser Art sehr einfach gelöst werden.

Beispiel 4 Lösen Sie die Gleichung 7x 2 = 0.

Antwort: x 1, 2 = 0.

Es ist nicht immer sofort klar, was für eine unvollständige quadratische Gleichung wir lösen müssen. Betrachten Sie das folgende Beispiel.

Beispiel 5 löse die Gleichung

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner, also mit 30

Lass uns schneiden

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Öffnen wir die Klammern

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Hier sind ähnlich

Lassen Sie uns 99 von der linken Seite der Gleichung nach rechts verschieben und das Vorzeichen in das Gegenteil ändern

Antwort: keine Wurzeln.

Wir haben analysiert, wie unvollständige quadratische Gleichungen gelöst werden. Ich hoffe, Sie haben jetzt keine Schwierigkeiten mit solchen Aufgaben. Seien Sie vorsichtig bei der Bestimmung des Typs einer unvollständigen quadratischen Gleichung, dann werden Sie Erfolg haben.

Wenn Sie Fragen zu diesem Thema haben, melden Sie sich für meinen Unterricht an, wir lösen die Probleme gemeinsam.

Site, mit vollständigem oder teilweisem Kopieren des Materials, ist ein Link zur Quelle erforderlich.

Mit diesem Mathe-Programm können Sie quadratische Gleichung lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess auf zwei Arten an:
- Verwendung der Diskriminante
- Verwendung des Vieta-Theorems (wenn möglich).

Außerdem wird die Antwort genau und nicht ungefähr angezeigt.
Beispielsweise wird für die Gleichung \(81x^2-16x-1=0\) die Antwort in dieser Form angezeigt:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ statt dessen: \(x_1 = 0,247; \ Quad x_2 = -0,05 \)

Dieses Programm kann für Gymnasiasten bei der Vorbereitung auf Tests und Prüfungen, beim Testen von Kenntnissen vor dem Einheitlichen Staatsexamen, für Eltern nützlich sein, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du einfach nur deine Mathe- oder Algebra-Hausaufgaben so schnell wie möglich erledigen? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder das Training Ihrer jüngeren Geschwister durchführen, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.

Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Regeln für die Eingabe eines quadratischen Polynoms

Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.

Zahlen können als Ganzzahlen oder Brüche eingegeben werden.
Außerdem können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil von der ganzen Zahl entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalzahlen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.

Der Nenner darf nicht negativ sein.

Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen einer quadratischen Gleichung zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Sich entscheiden

Es wurde festgestellt, dass einige Skripte, die zur Lösung dieser Aufgabe erforderlich sind, nicht geladen wurden und das Programm möglicherweise nicht funktioniert.
Möglicherweise haben Sie AdBlock aktiviert.
Deaktivieren Sie es in diesem Fall und aktualisieren Sie die Seite.

Sie haben JavaScript in Ihrem Browser deaktiviert.
JavaScript muss aktiviert sein, damit die Lösung angezeigt wird.
Hier finden Sie Anweisungen zum Aktivieren von JavaScript in Ihrem Browser.

Da Es gibt viele Leute, die das Problem lösen möchten, Ihre Anfrage ist in der Warteschlange.
Nach einigen Sekunden erscheint die Lösung unten.
Bitte warten Sie Sek...

Wenn Sie einen Fehler in der Lösung bemerkt, dann kannst du im Feedback - Formular darüber schreiben .
Nicht vergessen angeben, welche Aufgabe du entscheidest was in die Felder eintragen.

Unsere Spiele, Puzzles, Emulatoren:

Ein bisschen Theorie.

Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen

Jede der Gleichungen
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
hat die Form
\(ax^2+bx+c=0, \)
wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind.
In der ersten Gleichung a = -1, b = 6 und c = 1,4, in der zweiten a = 8, b = -7 und c = 0, in der dritten a = 1, b = 0 und c = 4/9. Solche Gleichungen werden aufgerufen quadratische Gleichungen.

Definition.
quadratische Gleichung eine Gleichung der Form ax 2 +bx+c=0 wird aufgerufen, wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind und \(a \neq 0 \).

Die Zahlen a, b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl a wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als zweiter Koeffizient und die Zahl c als Achsenabschnitt.

In jeder der Gleichungen der Form ax 2 +bx+c=0, wobei \(a \neq 0 \), ist die größte Potenz der Variablen x ein Quadrat. Daher der Name: quadratische Gleichung.

Beachten Sie, dass eine quadratische Gleichung auch als Gleichung zweiten Grades bezeichnet wird, da ihre linke Seite ein Polynom zweiten Grades ist.

Eine quadratische Gleichung, in der der Koeffizient bei x 2 gleich 1 ist, wird aufgerufen reduzierte quadratische Gleichung. Beispielsweise sind die gegebenen quadratischen Gleichungen die Gleichungen
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Wenn in der quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist, dann heißt eine solche Gleichung unvollständige quadratische gleichung. Die Gleichungen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sind also unvollständige quadratische Gleichungen. Im ersten b=0, im zweiten c=0, im dritten b=0 und c=0.

Es gibt drei Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen:
1) ax 2 +c=0, wobei \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, wobei \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Betrachten Sie die Lösung von Gleichungen für jeden dieser Typen.

Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +c=0 nach \(c \neq 0 \) zu lösen, wird ihr freier Term auf die rechte Seite übertragen und beide Gleichungsteile durch a dividiert:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Da \(c \neq 0 \), dann \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Wenn \(-\frac(c)(a)>0 \), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

Wenn \(-\frac(c)(a) Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) zu lösen, faktorisiere ihre linke Seite und erhalte die Gleichung
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 \) hat also immer zwei Wurzeln.

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 \u003d 0 entspricht der Gleichung x 2 \u003d 0 und hat daher eine einzige Wurzel 0.

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Betrachten wir nun, wie quadratische Gleichungen gelöst werden, bei denen beide Koeffizienten der Unbekannten und der freie Term ungleich Null sind.

Wir lösen die quadratische Gleichung in allgemeiner Form und erhalten als Ergebnis die Formel der Wurzeln. Dann kann diese Formel angewendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.

Lösen Sie die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0

Wenn wir beide Teile durch a dividieren, erhalten wir die äquivalente reduzierte quadratische Gleichung
\(x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 \)

Wir wandeln diese Gleichung um, indem wir das Quadrat des Binoms hervorheben:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b). )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Der Stammausdruck wird aufgerufen Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 („Diskriminant“ auf Latein – Unterscheider). Es wird mit dem Buchstaben D bezeichnet, d.h.
\(D = b^2-4ac\)

Nun schreiben wir unter Verwendung der Schreibweise der Diskriminante die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung um:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), wobei \(D= b^2-4ac \)

Es ist klar, dass:
1) Wenn D>0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Wenn D=0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Wenn D Je nach Wert der Diskriminante kann die quadratische Gleichung also zwei Wurzeln (für D > 0), eine Wurzel (für D = 0) oder keine Wurzeln (für D) haben. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel , ist es ratsam, den folgenden Weg zu gehen:
1) Berechne die Diskriminante und vergleiche sie mit Null;
2) wenn die Diskriminante positiv oder gleich Null ist, dann verwende die Wurzelformel, wenn die Diskriminante negativ ist, dann schreibe auf, dass es keine Wurzeln gibt.

Satz von Vieta

Die gegebene quadratische Gleichung ax 2 -7x+10=0 hat die Wurzeln 2 und 5. Die Summe der Wurzeln ist 7 und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Jede reduzierte quadratische Gleichung, die Wurzeln hat, hat diese Eigenschaft.

Die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Diese. Der Satz von Vieta besagt, dass die Wurzeln x 1 und x 2 der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 die Eigenschaft haben:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

In der modernen Gesellschaft kann die Fähigkeit, mit Gleichungen zu arbeiten, die eine quadrierte Variable enthalten, in vielen Tätigkeitsbereichen nützlich sein und wird in der Praxis in wissenschaftlichen und technischen Entwicklungen weit verbreitet. Dies kann durch das Design von See- und Flussschiffen, Flugzeugen und Raketen belegt werden. Mit Hilfe solcher Berechnungen werden die Bewegungsbahnen verschiedener Körper, einschließlich Weltraumobjekte, bestimmt. Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen werden nicht nur in Wirtschaftsprognosen, in der Planung und Konstruktion von Gebäuden, sondern auch in den gewöhnlichsten Alltagsumständen verwendet. Sie können auf Campingausflügen, bei Sportveranstaltungen, in Geschäften beim Einkaufen und in anderen sehr häufigen Situationen benötigt werden.

Lassen Sie uns den Ausdruck in Teilfaktoren zerlegen

Der Grad einer Gleichung wird durch den Maximalwert des Grades der Variablen bestimmt, die der gegebene Ausdruck enthält. Wenn es gleich 2 ist, wird eine solche Gleichung als quadratische Gleichung bezeichnet.

Wenn wir in der Sprache der Formeln sprechen, dann lassen sich diese Ausdrücke, egal wie sie aussehen, immer dann in die Form bringen, wenn die linke Seite des Ausdrucks aus drei Gliedern besteht. Darunter: ax 2 (d. h. eine Variable im Quadrat mit ihrem Koeffizienten), bx (eine Unbekannte ohne Quadrat mit ihrem Koeffizienten) und c (freie Komponente, dh eine gewöhnliche Zahl). All dies ist auf der rechten Seite gleich 0. Falls ein solches Polynom keinen seiner konstituierenden Terme hat, mit Ausnahme von ax 2, wird es eine unvollständige quadratische Gleichung genannt. Beispiele mit der Lösung solcher Probleme, bei denen der Wert der Variablen nicht schwer zu finden ist, sollten zunächst betrachtet werden.

Wenn der Ausdruck so aussieht, als hätte er zwei Terme auf der rechten Seite des Ausdrucks, genauer gesagt ax 2 und bx, ist es am einfachsten, x zu finden, indem man die Variable in Klammern setzt. Jetzt sieht unsere Gleichung so aus: x(ax+b). Außerdem wird offensichtlich, dass entweder x = 0 ist oder das Problem darauf reduziert wird, eine Variable aus dem folgenden Ausdruck zu finden: ax + b = 0. Dies wird durch eine der Eigenschaften der Multiplikation vorgegeben. Die Regel besagt, dass das Produkt zweier Faktoren nur dann 0 ergibt, wenn einer von ihnen null ist.

Beispiel

x=0 oder 8x - 3 = 0

Als Ergebnis erhalten wir zwei Wurzeln der Gleichung: 0 und 0,375.

Gleichungen dieser Art können die Bewegung von Körpern unter der Wirkung der Schwerkraft beschreiben, die sich von einem bestimmten Punkt, der als Ursprung genommen wird, zu bewegen begannen. Hier hat die mathematische Schreibweise folgende Form: y = v 0 t + gt 2 /2. Indem Sie die notwendigen Werte ersetzen, die rechte Seite mit 0 gleichsetzen und mögliche Unbekannte finden, können Sie die Zeit ermitteln, die vom Moment des Aufsteigens des Körpers bis zum Moment des Fallens verstrichen ist, sowie viele andere Größen. Aber wir werden später darüber sprechen.

Faktorisieren eines Ausdrucks

Die oben beschriebene Regel ermöglicht es, diese Probleme in komplexeren Fällen zu lösen. Betrachten Sie Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen dieser Art.

X2 - 33x + 200 = 0

Dieses quadratische Trinom ist vollständig. Zuerst transformieren wir den Ausdruck und zerlegen ihn in Faktoren. Es gibt zwei davon: (x-8) und (x-25) = 0. Als Ergebnis haben wir zwei Wurzeln 8 und 25.

Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen in Klasse 9 ermöglichen es dieser Methode, eine Variable nicht nur in Ausdrücken zweiter, sondern sogar dritter und vierter Ordnung zu finden.

Zum Beispiel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Wenn die rechte Seite in Faktoren mit einer Variablen faktorisiert wird, gibt es drei davon, nämlich (x + 1), (x-3) und (x + 3).

Als Ergebnis wird offensichtlich, dass diese Gleichung drei Wurzeln hat: -3; -eines; 3.

Ziehen der Quadratwurzel

Ein weiterer Fall einer unvollständigen Gleichung zweiter Ordnung ist ein Ausdruck, der in der Buchstabensprache so geschrieben ist, dass die rechte Seite aus den Komponenten ax 2 und c gebildet wird. Um den Wert der Variablen zu erhalten, wird hier der freie Term auf die rechte Seite übertragen und danach die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichheit gezogen. Es sollte beachtet werden, dass in diesem Fall normalerweise zwei Wurzeln der Gleichung vorhanden sind. Die einzigen Ausnahmen sind Gleichheiten, die den Term c überhaupt nicht enthalten, bei denen die Variable gleich Null ist, sowie Varianten von Ausdrücken, bei denen die rechte Seite negativ ausfällt. Im letzteren Fall gibt es überhaupt keine Lösungen, da die obigen Aktionen nicht mit Roots ausgeführt werden können. Beispiele für Lösungen quadratischer Gleichungen dieser Art sollten betrachtet werden.

In diesem Fall sind die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -4 und 4.

Berechnung der Grundstücksfläche

Die Notwendigkeit für diese Art von Berechnungen entstand in der Antike, da die Entwicklung der Mathematik in jenen fernen Zeiten weitgehend auf die Notwendigkeit zurückzuführen war, die Flächen und Umfänge von Grundstücken mit größter Genauigkeit zu bestimmen.

Wir sollten auch Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen betrachten, die auf der Grundlage solcher Probleme erstellt wurden.

Nehmen wir also an, es gibt ein rechteckiges Stück Land, dessen Länge 16 Meter länger ist als die Breite. Sie sollten die Länge, Breite und den Umfang des Geländes ermitteln, wenn bekannt ist, dass seine Fläche 612 m 2 beträgt.

Um zur Sache zu kommen, werden wir zuerst die notwendige Gleichung aufstellen. Lassen Sie uns die Breite des Abschnitts mit x bezeichnen, dann ist seine Länge (x + 16). Aus dem Geschriebenen folgt, dass die Fläche durch den Ausdruck x (x + 16) bestimmt wird, der gemäß der Bedingung unseres Problems 612 ist. Dies bedeutet, dass x (x + 16) \u003d 612.

Die Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen, und dieser Ausdruck ist genau das, kann nicht auf die gleiche Weise erfolgen. Wieso den? Obwohl die linke Seite davon immer noch zwei Faktoren enthält, ist das Produkt davon überhaupt nicht 0, daher werden hier andere Methoden verwendet.

Diskriminant

Zuerst werden wir die notwendigen Transformationen vornehmen, dann sieht dieser Ausdruck so aus: x 2 + 16x - 612 = 0. Dies bedeutet, dass wir einen Ausdruck in der Form erhalten haben, der dem zuvor angegebenen Standard entspricht, wo a=1, b=16, c= -612.

Dies kann ein Beispiel für das Lösen quadratischer Gleichungen durch die Diskriminante sein. Hier werden die notwendigen Berechnungen nach dem Schema durchgeführt: D = b 2 - 4ac. Dieser Hilfswert ermöglicht es nicht nur, die gewünschten Werte in der Gleichung zweiter Ordnung zu finden, er bestimmt die Anzahl der möglichen Optionen. Im Fall D > 0 gibt es zwei davon; für D=0 gibt es eine Wurzel. Im Fall D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Über Wurzeln und ihre Formel

In unserem Fall ist die Diskriminante: 256 - 4(-612) = 2704. Dies zeigt an, dass es für unser Problem eine Lösung gibt. Wenn Sie wissen, muss die Lösung quadratischer Gleichungen mit der folgenden Formel fortgesetzt werden. Damit können Sie die Wurzeln berechnen.

Das bedeutet im vorgestellten Fall: x 1 = 18, x 2 = -34. Die zweite Option in diesem Dilemma kann keine Lösung sein, da die Größe des Grundstücks nicht in negativen Werten gemessen werden kann, was bedeutet, dass x (also die Breite des Grundstücks) 18 m beträgt. Daraus berechnen wir die Länge: 18+16=34, und der Umfang 2(34+18) = 104 (m 2).

Beispiele und Aufgaben

Wir setzen das Studium der quadratischen Gleichungen fort. Beispiele und eine detaillierte Lösung einiger davon werden unten angegeben.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Lassen Sie uns alles auf die linke Seite der Gleichheit übertragen, eine Transformation durchführen, das heißt, wir erhalten die Form der Gleichung, die normalerweise als Standardform bezeichnet wird, und setzen sie mit Null gleich.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Nachdem wir ähnliche hinzugefügt haben, bestimmen wir die Diskriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Unsere Gleichung hat also zwei Wurzeln. Wir berechnen sie nach der obigen Formel, was bedeutet, dass der erste von ihnen gleich 4/3 und der zweite gleich 1 ist.

2) Jetzt werden wir Rätsel einer anderen Art enthüllen.

Lassen Sie uns herausfinden, ob es hier überhaupt Wurzeln x 2 - 4x + 5 = 1 gibt? Um eine erschöpfende Antwort zu erhalten, bringen wir das Polynom auf die entsprechende bekannte Form und berechnen die Diskriminante. In diesem Beispiel ist es nicht notwendig, die quadratische Gleichung zu lösen, da die Essenz des Problems überhaupt nicht darin besteht. In diesem Fall ist D \u003d 16 - 20 \u003d -4, was bedeutet, dass es wirklich keine Wurzeln gibt.

Satz von Vieta

Es ist bequem, quadratische Gleichungen durch die obigen Formeln und die Diskriminante zu lösen, wenn die Quadratwurzel aus dem Wert der letzteren gezogen wird. Aber dies geschieht nicht immer. Es gibt jedoch viele Möglichkeiten, in diesem Fall die Werte von Variablen zu erhalten. Beispiel: Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta. Es ist nach einem Mann benannt, der im Frankreich des 16. Jahrhunderts lebte und dank seines mathematischen Talents und seiner Verbindungen zum Hof ​​eine glänzende Karriere hatte. Sein Porträt ist im Artikel zu sehen.

Das Muster, das der berühmte Franzose bemerkte, war wie folgt. Er bewies, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gleich -p=b/a ist und ihr Produkt q=c/a entspricht.

Betrachten wir nun bestimmte Aufgaben.

3x2 + 21x - 54 = 0

Lassen Sie uns der Einfachheit halber den Ausdruck umwandeln:

x 2 + 7x - 18 = 0

Unter Verwendung des Vieta-Theorems erhalten wir Folgendes: Die Summe der Wurzeln ist -7 und ihr Produkt ist -18. Von hier aus erhalten wir, dass die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -9 und 2 sind. Nachdem wir eine Überprüfung vorgenommen haben, stellen wir sicher, dass diese Werte der Variablen wirklich in den Ausdruck passen.

Graph und Gleichung einer Parabel

Die Konzepte einer quadratischen Funktion und quadratischer Gleichungen sind eng miteinander verbunden. Beispiele hierfür wurden bereits zuvor gegeben. Sehen wir uns nun einige mathematische Rätsel etwas genauer an. Jede Gleichung des beschriebenen Typs kann visuell dargestellt werden. Eine solche in Form eines Graphen gezeichnete Abhängigkeit wird als Parabel bezeichnet. Die verschiedenen Typen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt, das heißt einen Punkt, an dem ihre Äste herauskommen. Wenn a > 0, gehen sie hoch bis unendlich, und wenn a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle Darstellungen von Funktionen helfen beim Lösen beliebiger Gleichungen, einschließlich quadratischer. Diese Methode wird Grafik genannt. Und der Wert der x-Variablen ist die Abszissenkoordinate an den Punkten, an denen die Diagrammlinie 0x schneidet. Die Koordinaten des Scheitelpunkts können durch die gerade angegebene Formel x 0 = -b / 2a gefunden werden. Und wenn Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung der Funktion einsetzen, können Sie y 0 herausfinden, dh die zweite Koordinate des Parabelscheitels, der zur y-Achse gehört.

Der Schnittpunkt der Äste der Parabel mit der Abszissenachse

Es gibt viele Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen, aber es gibt auch allgemeine Muster. Betrachten wir sie. Es ist klar, dass der Schnittpunkt des Graphen mit der 0x-Achse für a > 0 nur möglich ist, wenn y 0 negative Werte annimmt. Und für ein<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sonst D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Aus dem Graphen einer Parabel können Sie auch die Nullstellen bestimmen. Das Gegenteil ist auch wahr. Das heißt, wenn es nicht einfach ist, eine visuelle Darstellung einer quadratischen Funktion zu erhalten, können Sie die rechte Seite des Ausdrucks mit 0 gleichsetzen und die resultierende Gleichung lösen. Und wenn man die Schnittpunkte mit der 0x-Achse kennt, ist es einfacher zu zeichnen.

Aus der Geschichte

Mit Hilfe von Gleichungen, die eine quadratische Variable enthielten, wurden früher nicht nur mathematische Berechnungen durchgeführt und die Fläche geometrischer Formen bestimmt. Die Alten brauchten solche Berechnungen für grandiose Entdeckungen auf dem Gebiet der Physik und Astronomie sowie für astrologische Vorhersagen.

Wie moderne Wissenschaftler vermuten lassen, gehörten die Bewohner Babylons zu den ersten, die quadratische Gleichungen lösten. Es geschah vier Jahrhunderte vor dem Aufkommen unserer Ära. Natürlich waren ihre Berechnungen grundlegend anders als die derzeit akzeptierten und erwiesen sich als viel primitiver. Beispielsweise hatten mesopotamische Mathematiker keine Ahnung von der Existenz negativer Zahlen. Sie waren auch mit anderen Feinheiten nicht vertraut, die jedem Studenten unserer Zeit bekannt sind.

Vielleicht noch früher als die Wissenschaftler von Babylon hat sich der Weise aus Indien, Baudhayama, der Lösung quadratischer Gleichungen angenommen. Dies geschah etwa acht Jahrhunderte vor der Ankunft der Ära Christi. Die Gleichungen zweiter Ordnung, die Lösungsmethoden, die er angab, waren zwar die einfachsten. Neben ihm interessierten sich früher auch chinesische Mathematiker für ähnliche Fragen. In Europa wurden quadratische Gleichungen erst zu Beginn des 13. Jahrhunderts gelöst, aber später wurden sie von so großen Wissenschaftlern wie Newton, Descartes und vielen anderen in ihrer Arbeit verwendet.

Bibliographische Beschreibung: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen // Junger Wissenschaftler. - 2016. - Nr. 6.1. - S. 17-20..02.2019).



Unser Projekt widmet sich der Lösung quadratischer Gleichungen. Der Zweck des Projekts: zu lernen, wie man quadratische Gleichungen auf eine Weise löst, die nicht im Lehrplan der Schule enthalten ist. Aufgabe: Finde alle Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen und lerne, wie man sie selbst anwendet und führe Mitschüler in diese Methoden ein.

Was sind "quadratische Gleichungen"?

Quadratische Gleichung- Gleichung der Form Axt2 + bx + c = 0, wo a, b, c- einige Zahlen ( a ≠ 0), x- Unbekannt.

Die Zahlen a, b, c heißen die Koeffizienten der quadratischen Gleichung.

• a heißt erster Koeffizient;
• b heißt zweiter Koeffizient;
• c - kostenloses Mitglied.

Und wer war der Erste, der quadratische Gleichungen „erfand“?

Einige algebraische Techniken zum Lösen linearer und quadratischer Gleichungen waren bereits vor 4000 Jahren im alten Babylon bekannt. Die gefundenen antiken babylonischen Tontafeln, die irgendwo zwischen 1800 und 1600 v. Chr. datiert wurden, sind die frühesten Beweise für das Studium quadratischer Gleichungen. Dieselben Tablets enthalten Methoden zum Lösen bestimmter Arten von quadratischen Gleichungen.

Die Notwendigkeit, Gleichungen nicht nur des ersten, sondern auch des zweiten Grades in der Antike zu lösen, wurde durch die Notwendigkeit verursacht, Probleme im Zusammenhang mit der Suche nach Land- und Erdarbeiten militärischer Natur sowie der Entwicklung der Astronomie und zu lösen Mathematik selbst.

Die Regel zur Lösung dieser Gleichungen, die in den babylonischen Texten angegeben ist, stimmt im Wesentlichen mit der modernen überein, aber es ist nicht bekannt, wie die Babylonier zu dieser Regel kamen. Fast alle bisher gefundenen Keilschrifttexte geben nur Probleme mit Lösungen in Form von Rezepten an, ohne Hinweis darauf, wie sie gefunden wurden. Trotz des hohen Entwicklungsstandes der Algebra in Babylon fehlen den Keilschrifttexten das Konzept einer negativen Zahl und allgemeine Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Babylonische Mathematiker aus dem 4. Jahrhundert v. verwendet die quadratische Komplementmethode, um Gleichungen mit positiven Wurzeln zu lösen. Um 300 v. Euklid entwickelte eine allgemeinere geometrische Lösungsmethode. Der erste Mathematiker, der Lösungen für eine Gleichung mit negativen Wurzeln in Form einer algebraischen Formel fand, war ein indischer Wissenschaftler. Brahmagupta(Indien, 7. Jahrhundert n. Chr.).

Brahmagupta skizzierte eine allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf eine einzige kanonische Form reduziert wurden:

ax2 + bx = c, a>0

In dieser Gleichung können die Koeffizienten negativ sein. Brahmaguptas Regel stimmt im Wesentlichen mit unserer überein.

In Indien waren öffentliche Wettbewerbe zur Lösung schwieriger Probleme üblich. In einem der alten indischen Bücher wird über solche Wettbewerbe Folgendes gesagt: „Wie die Sonne die Sterne mit ihrem Glanz überstrahlt, so wird eine gelehrte Person den Ruhm in öffentlichen Versammlungen überstrahlen, indem sie algebraische Probleme vorschlägt und löst.“ Aufgaben wurden oft in poetische Form gekleidet.

In einer algebraischen Abhandlung Al-Chwarizmi eine Klassifikation von linearen und quadratischen Gleichungen ist gegeben. Der Autor listet 6 Arten von Gleichungen auf und drückt sie wie folgt aus:

1) „Quadrate sind gleich Wurzeln“, d.h. ax2 = bx.

2) „Quadrate sind gleich Zahl“, d.h. ax2 = c.

3) "Die Wurzeln sind gleich der Zahl", dh ax2 = c.

4) „Quadrate und Zahlen sind gleich Wurzeln“, d.h. ax2 + c = bx.

5) „Quadrate und Wurzeln sind gleich Zahl“, d.h. ax2 + bx = c.

6) „Wurzeln und Zahlen sind gleich Quadraten“, d.h. bx + c == ax2.

Für Al-Khwarizmi, der die Verwendung negativer Zahlen vermied, sind die Terme jeder dieser Gleichungen Additionen, keine Subtraktionen. In diesem Fall werden Gleichungen, die keine positiven Lösungen haben, offensichtlich nicht berücksichtigt. Der Autor skizziert die Methoden zur Lösung dieser Gleichungen unter Verwendung der Methoden von al-jabr und al-muqabala. Seine Entscheidung stimmt natürlich nicht ganz mit unserer überein. Ganz zu schweigen davon, dass es rein rhetorisch ist, sei beispielsweise angemerkt, dass Al-Khwarizmi beim Lösen einer unvollständigen quadratischen Gleichung des ersten Typs wie alle Mathematiker vor dem 17. Jahrhundert die Null nicht berücksichtigt Lösung, wahrscheinlich weil es bei konkreten praktischen Aufgaben keine Rolle spielt. Beim Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen legt Al-Khwarizmi die Regeln für ihre Lösung anhand bestimmter numerischer Beispiele und dann ihrer geometrischen Beweise fest.

Formen zur Lösung quadratischer Gleichungen nach dem Vorbild von Al-Khwarizmi in Europa wurden erstmals im „Buch des Abakus“, geschrieben 1202, beschrieben. Italienischer Mathematiker Leonard Fibonacci. Der Autor hat eigenständig einige neue algebraische Beispiele zur Problemlösung entwickelt und sich als erster in Europa der Einführung negativer Zahlen genähert.

Dieses Buch trug zur Verbreitung des algebraischen Wissens nicht nur in Italien, sondern auch in Deutschland, Frankreich und anderen europäischen Ländern bei. Viele Aufgaben aus diesem Buch wurden in fast alle europäischen Lehrbücher des 14.-17. Jahrhunderts übernommen. Die allgemeine Regel zum Lösen quadratischer Gleichungen, reduziert auf eine einzige kanonische Form x2 + bx = c mit allen möglichen Kombinationen von Vorzeichen und Koeffizienten b, c, wurde 1544 in Europa formuliert. M. Stiefel.

Vieta hat eine allgemeine Ableitung der Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung, aber Vieta erkannte nur positive Wurzeln. Italienische Mathematiker Tartaglia, Cardano, Bombelli unter den ersten im 16. Jahrhundert. Berücksichtigen Sie zusätzlich zu positiven und negativen Wurzeln. Erst im 17. Jahrhundert. dank der Arbeit Girard, Descartes, Newton und anderen Wissenschaftlern nimmt die Lösung quadratischer Gleichungen eine moderne Form an.

Betrachten Sie verschiedene Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen.

Standardmethoden zum Lösen quadratischer Gleichungen aus dem Schullehrplan:

1. Faktorisierung der linken Seite der Gleichung.
2. Vollquadrat-Auswahlmethode.
3. Lösung quadratischer Gleichungen nach Formel.
4. Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung.
5. Lösung von Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

Lassen Sie uns näher auf die Lösung reduzierter und nicht reduzierter quadratischer Gleichungen unter Verwendung des Vieta-Theorems eingehen.

Denken Sie daran, dass es zum Lösen der obigen quadratischen Gleichungen ausreicht, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt gleich dem freien Term ist und deren Summe gleich dem zweiten Koeffizienten mit dem entgegengesetzten Vorzeichen ist.

Beispiel.x 2 -5x+6=0

Sie müssen Zahlen finden, deren Produkt 6 und die Summe 5 ist. Diese Zahlen sind 3 und 2.

Antwort: X 1 =2, x 2 =3.

Sie können diese Methode jedoch für Gleichungen verwenden, bei denen der erste Koeffizient ungleich eins ist.

Beispiel.3x 2 +2x-5=0

Wir nehmen den ersten Koeffizienten und multiplizieren ihn mit dem freien Term: x 2 +2x-15=0

Die Wurzeln dieser Gleichung sind Zahlen, deren Produkt - 15 ist und deren Summe - 2 ist. Diese Zahlen sind 5 und 3. Um die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung zu finden, dividieren wir die erhaltenen Wurzeln durch den ersten Koeffizienten.

Antwort: X 1 =-5/3, x 2 =1

6. Lösung von Gleichungen nach der Methode der "Übertragung".

Betrachten Sie die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0, wobei a≠0.

Wenn wir beide Teile mit a multiplizieren, erhalten wir die Gleichung a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Sei ax = y, womit x = y/a; dann kommen wir zu der Gleichung y 2 + by + ac = 0, die der gegebenen äquivalent ist. Wir finden seine Wurzeln bei 1 und bei 2 unter Verwendung des Vieta-Theorems.

Schließlich erhalten wir x 1 = y 1 /a und x 2 = y 2 /a.

Bei dieser Methode wird der Koeffizient a mit dem freien Term multipliziert, als ob er auf ihn "übertragen" würde, daher wird es als "Übertragungs" -Methode bezeichnet. Diese Methode wird verwendet, wenn es einfach ist, die Wurzeln einer Gleichung mit dem Satz von Vieta zu finden, und vor allem, wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.

Beispiel.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Lassen Sie uns den Koeffizienten 2 auf den freien Term "übertragen" und durch Ersetzen erhalten wir die Gleichung y 2 - 11y + 30 = 0.

Nach dem Umkehrsatz von Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Antwort: X 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Eigenschaften der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung.

Die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 sei gegeben.

1. Wenn a + b + c \u003d 0 (d. H. Die Summe der Koeffizienten der Gleichung ist Null), dann x 1 \u003d 1.

2. Wenn a - b + c \u003d 0 oder b \u003d a + c, dann x 1 \u003d - 1.

Beispiel.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Da a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), dann x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Antwort: X 1 =1; X 2 = -208/345 .

Beispiel.132x 2 + 247x + 115 = 0

Da a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), dann x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Antwort: X 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Es gibt noch andere Eigenschaften der Koeffizienten einer quadratischen Gleichung. aber ihre Verwendung ist komplizierter.

8. Lösen quadratischer Gleichungen mit einem Nomogramm.

Abb. 1. Nomogramm

Dies ist eine alte und derzeit vergessene Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen, die auf Seite 83 der Sammlung platziert ist: Bradis V.M. Vierstellige mathematische Tabellen. - M., Bildung, 1990.

Tabelle XXII. Nomogramm zum Lösen von Gleichungen z2 + pz + q = 0. Dieses Nomogramm ermöglicht es, ohne die quadratische Gleichung zu lösen, die Wurzeln der Gleichung durch ihre Koeffizienten zu bestimmen.

Die krummlinige Skala des Nomogramms wird nach den Formeln aufgebaut (Abb. 1):

Vorausgesetzt OS = p, ED = q, OE = a(alle in cm), aus Abb. 1 Ähnlichkeit von Dreiecken SAN und CDF wir bekommen den Anteil

woraus nach Substitutionen und Vereinfachungen die Gleichung folgt z 2 + pz + q = 0, und der Brief z bedeutet die Beschriftung eines beliebigen Punktes auf der gekrümmten Skala.

Reis. 2 Lösen einer quadratischen Gleichung mit einem Nomogramm

Beispiele.

1) Für die Gleichung z 2 - 9z + 8 = 0 das Nomogramm ergibt die Wurzeln z 1 = 8,0 und z 2 = 1,0

Antwort: 8,0; 1.0.

2) Lösen Sie die Gleichung mit dem Nomogramm

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Teilen Sie die Koeffizienten dieser Gleichung durch 2, erhalten wir die Gleichung z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Das Nomogramm gibt die Wurzeln z 1 = 4 und z 2 = 0,5.

Antwort: 4; 0,5.

9. Geometrische Methode zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Beispiel.X 2 + 10x = 39.

Im Original wird diese Aufgabe wie folgt formuliert: „Das Quadrat und zehn Wurzeln sind gleich 39.“

Stellen Sie sich ein Quadrat mit der Seite x vor, Rechtecke werden an seinen Seiten so gebaut, dass die andere Seite von jedem von ihnen 2,5 ist, daher beträgt die Fläche von jedem 2,5x. Die resultierende Figur wird dann zu einem neuen Quadrat ABCD ergänzt, wodurch vier gleiche Quadrate in den Ecken vervollständigt werden, die Seite von jedem von ihnen ist 2,5 und die Fläche ist 6,25

Reis. 3 Grafischer Weg zur Lösung der Gleichung x 2 + 10x = 39

Die Fläche S des Quadrats ABCD kann als Summe der Flächen dargestellt werden: das ursprüngliche Quadrat x 2, vier Rechtecke (4 ∙ 2,5x = 10x) und vier angehängte Quadrate (6,25 ∙ 4 = 25), d.h. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Wenn wir x 2 + 10x durch die Zahl 39 ersetzen, erhalten wir das S \u003d 39 + 25 \u003d 64, was impliziert, dass die Seite des Quadrats ABCD, d. H. Segment AB \u003d 8. Für die gewünschte Seite x des ursprünglichen Quadrats erhalten wir

10. Lösung von Gleichungen mit dem Satz von Bezout.

Satz von Bezout. Der Rest nach Division des Polynoms P(x) durch das Binom x - α ist gleich P(α) (d. h. dem Wert von P(x) bei x = α).

Wenn die Zahl α die Wurzel des Polynoms P(x) ist, dann ist dieses Polynom ohne Rest durch x - α teilbar.

Beispiel.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Teile P(x) durch (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1 oder x-3=0, x=3; Antwort: X1 =2, x2 =3.

Fazit: Die Fähigkeit, quadratische Gleichungen schnell und rational zu lösen, ist einfach notwendig, um komplexere Gleichungen zu lösen, zum Beispiel gebrochene rationale Gleichungen, Gleichungen höherer Potenzen, biquadratische Gleichungen und in der High School trigonometrische, exponentielle und logarithmische Gleichungen. Nachdem wir alle gefundenen Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen untersucht haben, können wir Klassenkameraden zusätzlich zu den Standardmethoden raten, nach der Transfermethode (6) zu lösen und Gleichungen nach der Eigenschaft der Koeffizienten (7) zu lösen, da sie für das Verständnis leichter zugänglich sind .

Literatur:

1. Bradis V.M. Vierstellige mathematische Tabellen. - M., Bildung, 1990.
2. Algebra Klasse 8: Lehrbuch für die 8. Klasse. Allgemeinbildung Institutionen Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. Aufl., überarbeitet. - M.: Aufklärung, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glaser G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. Ein Leitfaden für Lehrer. / Ed. VN Jünger. - M.: Aufklärung, 1964.

Gerade. Nach Formeln und klaren einfachen Regeln. In der ersten Phase

Es ist notwendig, die gegebene Gleichung in die Standardform zu bringen, d.h. zur Ansicht:

Wenn Ihnen die Gleichung in dieser Form bereits gegeben wurde, müssen Sie die erste Stufe nicht ausführen. Das Wichtigste ist richtig

Bestimmen Sie alle Koeffizienten a, b und c.

Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird aufgerufen diskriminierend . Wie Sie sehen können, um x zu finden, wir

verwenden nur a, b und c. Diese. Quoten ab quadratische Gleichung. Einfach vorsichtig einlegen

Werte a, b und c in diese Formel und zähle. Mit ersetzen ihr Zeichen!

Zum Beispiel, in der Gleichung:

a =1; b = 3; c = -4.

Ersetzen Sie die Werte und schreiben Sie:

Beispiel fast gelöst:

Das ist die Antwort.

Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit den Vorzeichen von Werten ein, b und Mit. Eher mit Substitution

negative Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln ein. Hier speichert die detaillierte Formel

mit bestimmten Nummern. Wenn es Probleme mit Berechnungen gibt, tun Sie es!

Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:

Hier a = -6; b = -5; c = -1

Wir malen alles detailliert, sorgfältig, ohne etwas zu verpassen mit all den Zeichen und Klammern:

Oft sehen quadratische Gleichungen etwas anders aus. Zum Beispiel so:

Beachten Sie nun die praktischen Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren.

Erster Empfang. Sei vorher nicht faul Lösung einer quadratischen Gleichung bringen Sie es in die Standardform.

Was bedeutet das?

Angenommen, Sie erhalten nach allen Transformationen die folgende Gleichung:

Beeilen Sie sich nicht, die Formel der Wurzeln zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen verwechseln a, b und c.

Baue das Beispiel richtig auf. Zuerst x im Quadrat, dann ohne Quadrat, dann ein freies Mitglied. So:

Weg mit dem Minus. Wie? Wir müssen die ganze Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:

Und jetzt können Sie die Formel für die Wurzeln sicher aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel vervollständigen.

Entscheiden Sie selbst. Sie sollten mit den Wurzeln 2 und -1 enden.

Zweiter Empfang.Überprüfen Sie Ihre Wurzeln! Durch Satz von Vieta.

Um die gegebenen quadratischen Gleichungen zu lösen, d.h. wenn der Koeffizient

x2+bx+c=0,

dannx 1 x 2 = c

x1 + x2 = −b

Für eine vollständige quadratische Gleichung, in der a≠1:

x 2 +bx+c=0,

Teile die ganze Gleichung durch a:

→ →

wo x 1 und x 2 - Wurzeln der Gleichung.

Rezeption dritte. Wenn Ihre Gleichung Bruchkoeffizienten hat, werden Sie die Brüche los! Multiplizieren

Gleichung für einen gemeinsamen Nenner.

Fazit. Praktische Tipps:

1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.

2. Wenn vor dem x im Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir alles multiplizieren

Gleichungen für -1.

3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit der entsprechenden multiplizieren

Faktor.

4. Wenn x zum Quadrat rein ist, der Koeffizient dafür gleich eins ist, kann die Lösung leicht überprüft werden