Viele Teiler

Betrachten Sie das folgende Problem: Finden Sie den Teiler der Zahl 140. Es ist offensichtlich, dass die Zahl 140 nicht einen Teiler hat, sondern mehrere. In solchen Fällen soll die Aufgabe zu haben ein Haufen Lösungen. Lassen Sie uns sie alle finden. Zunächst zerlegen wir diese Zahl in Primfaktoren:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Jetzt können wir ganz einfach alle Teiler ausschreiben. Beginnen wir mit einfachen Teilern, also denjenigen, die in der obigen Erweiterung vorhanden sind:

Dann schreiben wir diejenigen aus, die durch paarweise Multiplikation von Primteilern erhalten werden:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Dann - diejenigen, die drei einfache Teiler enthalten:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Vergessen wir zum Schluss nicht die Einheit und die zerlegbare Zahl selbst:

Alle von uns gefundenen Teiler bilden ein Haufen Teiler der Zahl 140, die mit geschweiften Klammern geschrieben wird:

Die Menge der Teiler der Zahl 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Zur besseren Wahrnehmung haben wir hier die Teiler ausgeschrieben ( Elemente setzen) in aufsteigender Reihenfolge, aber im Allgemeinen ist dies nicht erforderlich. Außerdem führen wir eine Abkürzung ein. Anstelle von „Die Menge der Teiler der Zahl 140“ schreiben wir „D (140)“. Auf diese Weise,

Ebenso kann man die Menge der Teiler für jede andere natürliche Zahl finden. Zum Beispiel von der Erweiterung

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

wir bekommen:

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Von der Menge aller Teiler sollte man die Menge der Primteiler unterscheiden, die für die Zahlen 140 und 105 jeweils gleich sind:

PD(140) = (2, 5, 7).

PD(105) = (3, 5, 7).

Hervorzuheben ist, dass bei der Zerlegung der Zahl 140 in Primfaktoren zwei zweimal vorkommt, während es in der Menge PD(140) nur einer ist. Die Menge von PD(140) ist im Wesentlichen alle Antworten auf das Problem: „Finde einen Primfaktor der Zahl 140“. Es ist klar, dass dieselbe Antwort nicht mehr als einmal wiederholt werden sollte.

Fraktionsreduktion. Größter gemeinsamer Teiler

Betrachten Sie einen Bruchteil

Wir wissen, dass dieser Bruch durch eine Zahl gekürzt werden kann, die sowohl ein Teiler des Zählers (105) als auch ein Teiler des Nenners (140) ist. Schauen wir uns die Mengen D(105) und D(140) an und schreiben ihre gemeinsamen Elemente auf.

D(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

D(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Gemeinsame Elemente der Mengen D(105) und D(140) =

Die letzte Gleichheit kann kürzer geschrieben werden, nämlich:

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35).

Hier zeigt das spezielle Symbol "∩" ("Tasche mit dem Loch unten") nur an, dass aus den zwei Sätzen, die auf gegenüberliegenden Seiten davon geschrieben sind, nur gemeinsame Elemente ausgewählt werden sollten. Der Eintrag "D (105) ∩ D (140)" lautet " Überschneidung Sätze von Te ab 105 und Te ab 140.

[Beachten Sie nebenbei, dass Sie mit Mengen verschiedene binäre Operationen durchführen können, fast wie mit Zahlen. Eine weitere gängige binäre Operation ist Union, was durch das Symbol "∪" ("Tasche mit dem Loch oben") angezeigt wird. Die Vereinigung zweier Mengen umfasst alle Elemente beider Mengen:

PD(105) = (3, 5, 7);

PD(140) = (2, 5, 7);

PD(105) ∪ PD(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Also fanden wir heraus, dass der Bruch

kann auf eine der zum Satz gehörenden Zahlen reduziert werden

D(105) ∩ D(140) = (1, 5, 7, 35)

und kann durch keine andere natürliche Zahl gekürzt werden. Hier sind alle Möglichkeiten zum Reduzieren (bis auf die uninteressante Reduzierung um eins):

Es liegt auf der Hand, dass es am praktischsten ist, den Bruch um eine möglichst größere Zahl zu kürzen. In diesem Fall ist es die Zahl 35, die es sein soll größter gemeinsamer Teiler (GCD) Nummern 105 und 140. Dies wird geschrieben als

ggT(105, 140) = 35.

Wenn wir jedoch in der Praxis zwei Zahlen erhalten und ihren größten gemeinsamen Teiler finden müssen, müssen wir überhaupt keine Mengen bilden. Es reicht aus, beide Zahlen einfach in Primfaktoren zu zerlegen und diejenigen dieser Faktoren zu unterstreichen, die beiden Faktorisierungen gemeinsam sind, zum Beispiel:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Durch Multiplizieren der unterstrichenen Zahlen (in einer der Erweiterungen) erhalten wir:

gcd(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Natürlich ist es möglich, dass es mehr als zwei unterstrichene Faktoren gibt:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Ab hier ist das klar

gcd(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Besondere Erwähnung verdient die Situation, in der es überhaupt keine gemeinsamen Faktoren gibt und es nichts zu betonen gibt, zum Beispiel:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

In diesem Fall,

ggT(42, 55) = 1.

Zwei natürliche Zahlen, deren ggT gleich eins ist, werden genannt teilerfremd. Wenn man aus solchen Zahlen z.B. einen Bruch macht,

dann ist ein solcher Bruch irreduzibel.

Allgemein lässt sich die Regel zum Kürzen von Brüchen wie folgt schreiben:

		a/gcd( a, b)
		b/gcd( a, b)

Hier wird davon ausgegangen a und b sind natürliche Zahlen und alle Brüche sind positiv. Wenn wir nun beiden Seiten dieser Gleichheit ein Minuszeichen zuweisen, erhalten wir die entsprechende Regel für negative Brüche.

Addition und Subtraktion von Brüchen. Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Angenommen, Sie möchten die Summe zweier Brüche berechnen:

Wir wissen bereits, wie Nenner in Primfaktoren zerlegt werden:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Aus dieser Zerlegung folgt sofort, dass es ausreicht, Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit 2 ∙ 2 (dem Produkt unbetonter Primfaktoren des zweiten Nenners) und zu multiplizieren, um die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen den Zähler und Nenner des zweiten Bruchs durch 3 („Produkt“ nicht unterstrichene Primfaktoren des ersten Nenners). Als Ergebnis werden die Nenner beider Brüche gleich einer Zahl, die wie folgt dargestellt werden kann:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Es ist leicht zu erkennen, dass beide ursprünglichen Nenner (sowohl 105 als auch 140) Teiler der Zahl 420 sind und die Zahl 420 wiederum ein Vielfaches beider Nenner ist – und nicht nur ein Vielfaches, das ist sie kleinstes gemeinsames Vielfaches (NOC) Nummern 105 und 140. Dies wird so geschrieben:

LCM(105, 140) = 420.

Wenn wir uns die Erweiterung der Nummern 105 und 140 genauer ansehen, sehen wir das

105 ∙ 140 = LCM(105, 140) ∙ ggT(105, 140).

Ebenso für beliebige natürliche Zahlen b und d:

b ∙ d= LCM( b, d) ∙ ggT( b, d).

Vervollständigen wir nun die Summierung unserer Brüche:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Notiz. Um einige Probleme zu lösen, müssen Sie wissen, was das Quadrat einer Zahl ist. Zahlenquadrat a eine Nummer angerufen a multipliziert mit sich selbst, das heißt a∙a. (Wie Sie sehen können, ist es gleich der Fläche eines Quadrats mit einer Seite a).

Zeichen der Teilbarkeit natürlicher Zahlen.

Zahlen, die ohne Rest durch 2 teilbar sind, werden aufgerufensogar .

Zahlen, die nicht ohne Rest durch 2 teilbar sind, werden genanntseltsam .

Zeichen der Teilbarkeit durch 2

Endet der Datensatz einer natürlichen Zahl mit einer geraden Ziffer, so ist diese Zahl ohne Rest durch 2 teilbar, endet der Datensatz einer natürlichen Zahl mit einer ungeraden Ziffer, so ist diese Zahl nicht ohne Rest durch 2 teilbar.

Zum Beispiel die Zahlen 60 , 30 8 , 8 4 ohne Rest durch 2 teilbar sind, und die Zahlen 51 , 8 5 , 16 7 sind nicht ohne Rest durch 2 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 3

Wenn die Quersumme einer Zahl durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl auch durch 3 teilbar; Wenn die Quersumme einer Zahl nicht durch 3 teilbar ist, dann ist die Zahl nicht durch 3 teilbar.

Lassen Sie uns zum Beispiel herausfinden, ob die Zahl 2772825 durch 3 teilbar ist. Dazu berechnen wir die Quersumme dieser Zahl: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - ist durch 3 teilbar Die Zahl 2772825 ist also durch 3 teilbar.

Zeichen der Teilbarkeit durch 5

Endet der Satz einer natürlichen Zahl mit 0 oder 5, so ist diese Zahl ohne Rest teilbar durch 5. Endet der Satz einer Zahl mit einer anderen Ziffer, so ist die Zahl nicht ohne Rest durch 5 teilbar.

Zum Beispiel Zahlen 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 ohne Rest durch 5 teilbar sind, und die Zahlen 17 , 37 8 , 9 1 nicht teilen.

Zeichen der Teilbarkeit durch 9

Wenn die Quersumme einer Zahl durch 9 teilbar ist, dann ist die Zahl auch durch 9 teilbar; Wenn die Quersumme einer Zahl nicht durch 9 teilbar ist, dann ist die Zahl auch nicht durch 9 teilbar.

Lassen Sie uns zum Beispiel herausfinden, ob die Zahl 5402070 durch 9 teilbar ist. Dazu berechnen wir die Quersumme dieser Zahl: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - ist nicht teilbar durch 9. Das bedeutet, dass die Zahl 5402070 nicht durch 9 teilbar ist.

Zeichen der Teilbarkeit durch 10

Endet der Datensatz einer natürlichen Zahl mit der Ziffer 0, so ist diese Zahl ohne Rest durch 10 teilbar. Endet der Datensatz einer natürlichen Zahl mit einer weiteren Ziffer, so ist sie nicht ohne Rest durch 10 teilbar.

Zum Beispiel die Zahlen 40 , 17 0 , 1409 0 ohne Rest durch 10 teilbar sind, und die Zahlen 17 , 9 3 , 1430 7 - nicht teilen.

Die Regel zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers (ggT).

Um den größten gemeinsamen Teiler mehrerer natürlicher Zahlen zu finden, müssen Sie:

2) von den Faktoren, die in der Erweiterung einer dieser Zahlen enthalten sind, diejenigen streichen, die nicht in der Erweiterung anderer Zahlen enthalten sind;

3) Finden Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.

Beispiel. Finden wir GCD (48;36). Wenden wir die Regel an.

1. Wir zerlegen die Zahlen 48 und 36 in Primfaktoren.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Von den Faktoren, die in der Erweiterung der Zahl 48 enthalten sind, löschen wir diejenigen, die nicht in der Erweiterung der Zahl 36 enthalten sind.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Es gibt die Faktoren 2, 2 und 3.

3. Multipliziere die restlichen Faktoren und erhalte 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36.

ggT (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.

Die Regel zum Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM).

Um das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer natürlicher Zahlen zu finden, müssen Sie:

1) sie in Primfaktoren zerlegen;

2) schreiben Sie die Faktoren auf, die in der Erweiterung einer der Zahlen enthalten sind;

3) füge ihnen die fehlenden Faktoren aus den Erweiterungen der verbleibenden Zahlen hinzu;

4) Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.

Beispiel. Finden wir LCM (75;60). Wenden wir die Regel an.

1. Wir zerlegen die Zahlen 75 und 60 in Primfaktoren.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Schreiben Sie die Faktoren auf, die in der Erweiterung der Zahl 75 enthalten sind: 3, 5, 5.

NOK (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Fügen Sie ihnen die fehlenden Faktoren aus der Zerlegung der Zahl 60 hinzu, d. h. 2, 2.

NOK (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren

NOK (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

Lassen Sie uns das Problem lösen. Wir haben zwei Arten von Cookies. Einige sind Schokolade und einige sind einfach. Es gibt 48 Schokoladenstücke und einfache 36. Aus diesen Keksen muss die größtmögliche Anzahl von Geschenken hergestellt werden, und alle müssen verwendet werden.

Zuerst schreiben wir alle Teiler jeder dieser beiden Zahlen auf, da diese beiden Zahlen durch die Anzahl der Geschenke teilbar sein müssen.

Wir bekommen

• 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
• 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Lassen Sie uns unter den Teilern die gemeinsamen finden, die sowohl die erste als auch die zweite Zahl haben.

Gemeinsame Teiler sind: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Der größte gemeinsame Teiler von allen ist 12. Diese Zahl wird als größter gemeinsamer Teiler von 36 und 48 bezeichnet.

Anhand des Ergebnisses können wir schlussfolgern, dass aus allen Keksen 12 Geschenke gemacht werden können. Ein solches Geschenk enthält 4 Schokoladenkekse und 3 normale Kekse.

Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler

• Die größte natürliche Zahl, durch die zwei Zahlen a und b ohne Rest teilbar sind, heißt größter gemeinsamer Teiler dieser Zahlen.

Manchmal wird die Abkürzung GCD verwendet, um den Eintrag abzukürzen.

Einige Zahlenpaare haben Eins als größten gemeinsamen Teiler. Solche Nummern werden angerufen teilerfremde Zahlen. Beispiel: Zahlen 24 und 35. Haben GCD = 1.

So finden Sie den größten gemeinsamen Teiler

Um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, ist es nicht notwendig, alle Teiler dieser Zahlen aufzuschreiben.

Sie können auch anders. Zerlege zunächst beide Zahlen in Primfaktoren.

• 48 = 2*2*2*2*3,
• 36 = 2*2*3*3.

Nun streichen wir von den Faktoren, die in der Erweiterung der ersten Zahl enthalten sind, alle diejenigen, die nicht in der Erweiterung der zweiten Zahl enthalten sind. In unserem Fall sind dies zwei Zweien.

• 48 = 2*2*2*2*3 ,
• 36 = 2*2*3 *3.

Übrig bleiben die Faktoren 2, 2 und 3. Ihr Produkt ist 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36.

Diese Regel kann auf den Fall von drei, vier usw. erweitert werden. Zahlen.

Allgemeines Schema zum Finden des größten gemeinsamen Teilers

• 1. Zahlen in Primfaktoren zerlegen.
• 2. Streichen Sie von den Faktoren, die in der Erweiterung einer dieser Zahlen enthalten sind, diejenigen durch, die nicht in der Erweiterung anderer Zahlen enthalten sind.
• 3. Berechnen Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.

Um zu lernen, wie man den größten gemeinsamen Teiler von zwei oder mehr Zahlen findet, musst du verstehen, was natürliche, Primzahlen und komplexe Zahlen sind.

Eine natürliche Zahl ist jede Zahl, die zum Zählen ganzer Zahlen verwendet wird.

Wenn eine natürliche Zahl nur durch sich selbst und eins teilbar ist, dann heißt sie Primzahl.

Alle natürlichen Zahlen sind durch sich selbst und eins teilbar, aber die einzige gerade Primzahl ist 2, alle anderen Primzahlen sind durch zwei teilbar. Daher können nur ungerade Zahlen Primzahlen sein.

Es gibt viele Primzahlen, es gibt keine vollständige Liste von ihnen. Um den GCD zu finden, ist es zweckmäßig, spezielle Tabellen mit solchen Zahlen zu verwenden.

Die meisten natürlichen Zahlen lassen sich nicht nur durch eins selbst teilen, sondern auch durch andere Zahlen. So kann zum Beispiel die Zahl 15 durch 3 und 5 geteilt werden. Sie alle werden Teiler der Zahl 15 genannt.

Der Teiler eines beliebigen A ist also die Zahl, durch die es ohne Rest geteilt werden kann. Wenn eine Zahl mehr als zwei natürliche Teiler hat, nennt man sie zusammengesetzt.

Die Zahl 30 hat solche Teiler wie 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Sie können sehen, dass 15 und 30 die gleichen Teiler 1, 3, 5, 15 haben. Der größte gemeinsame Teiler dieser beiden Zahlen ist 15.

Der gemeinsame Teiler der Zahlen A und B ist also die Zahl, durch die man sie vollständig teilen kann. Das Maximum kann als die maximale Gesamtzahl angesehen werden, durch die sie geteilt werden können.

Zur Lösung von Problemen wird die folgende abgekürzte Inschrift verwendet:

GCD (A; B).

Beispiel: ggT (15; 30) = 30.

Um alle Teiler einer natürlichen Zahl aufzuschreiben, verwendet man die Notation:

D(15) = (1, 3, 5, 15)

ggT (9; 15) = 1

In diesem Beispiel haben natürliche Zahlen nur einen gemeinsamen Teiler. Sie heißen teilerfremd bzw. die Einheit ist ihr größter gemeinsamer Teiler.

So finden Sie den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen

Um den ggT mehrerer Zahlen zu finden, benötigen Sie:

Finden Sie alle Teiler jeder natürlichen Zahl separat, dh zerlegen Sie sie in Faktoren (Primzahlen);

Wählen Sie alle gleichen Faktoren für gegebene Zahlen;

Multiplizieren Sie sie zusammen.

Um beispielsweise den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 30 und 56 zu berechnen, würdest du Folgendes schreiben:

Um nicht mit verwechselt zu werden, ist es praktisch, die Multiplikatoren in senkrechte Spalten zu schreiben. Auf der linken Seite der Linie müssen Sie den Dividenden und auf der rechten Seite den Divisor platzieren. Unter dem Dividenden sollten Sie den resultierenden Quotienten angeben.

In der rechten Spalte stehen also alle Faktoren, die für die Lösung benötigt werden.

Identische Teiler (gefundene Faktoren) können der Einfachheit halber unterstrichen werden. Sie sollten umgeschrieben und multipliziert werden und der größte gemeinsame Teiler sollte notiert werden.

ggT (30; 56) = 2 * 5 = 10

Es ist wirklich so einfach, den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen zu finden. Mit etwas Übung geht das fast automatisch.

Man nennt die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest teilbar sind größter gemeinsamer Teiler diese Nummern. Bezeichne ggT(a, b).

Betrachten Sie die Ermittlung des ggT am Beispiel zweier natürlicher Zahlen 18 und 60:

1 Zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Streiche aus der Entwicklung der ersten Zahl alle Faktoren, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind, wir erhalten 2×3×3 .

3 Wir multiplizieren die verbleibenden Primfaktoren nach dem Durchstreichen und erhalten den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen: ggT ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Beachten Sie, dass es egal ist, ob wir die Faktoren aus der ersten oder zweiten Zahl streichen, das Ergebnis ist dasselbe:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 und 432

Zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Streichen Sie von der ersten Zahl, deren Faktoren nicht in der zweiten und dritten Zahl enthalten sind, erhalten wir:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Als Ergebnis von GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

GCD mit Euklids Algorithmus finden

Der zweite Weg, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden Euklids Algorithmus. Der Euklid-Algorithmus ist der effizienteste Weg, um zu finden GCD, damit müssen Sie ständig den Rest der Zahlenteilung finden und anwenden wiederkehrende Formel.

Wiederkehrende Formel für GCD, ggT(a, b)=ggT(b, a mod b), wobei a mod b der Rest der Division von a durch b ist.

Euklids Algorithmus

Beispiel Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen 7920 und 594

Lassen Sie uns GCD finden ( 7920 , 594 ) unter Verwendung des Euklid-Algorithmus berechnen wir den Rest der Division mit einem Taschenrechner.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 Mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 Mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0

Als Ergebnis erhalten wir GCD( 7920 , 594 ) = 198

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Um beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern einen gemeinsamen Nenner zu finden, muss man wissen und rechnen können kleinstes gemeinsames Vielfaches(NOZ).

Ein Vielfaches der Zahl „a“ ist eine Zahl, die selbst ohne Rest durch die Zahl „a“ teilbar ist.

Zahlen, die Vielfache von 8 sind (d. h. diese Zahlen werden ohne Rest durch 8 geteilt): Dies sind die Zahlen 16, 24, 32 ...

Vielfache von 9: 18, 27, 36, 45 …

Es gibt unendlich viele Vielfache einer gegebenen Zahl a, im Gegensatz zu den Teilern derselben Zahl. Teiler - eine endliche Zahl.

Ein gemeinsames Vielfaches zweier natürlicher Zahlen ist eine Zahl, die durch beide Zahlen ohne Rest teilbar ist..

Kleinstes gemeinsames Vielfaches(LCM) von zwei oder mehr natürlichen Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die selbst durch jede dieser Zahlen teilbar ist.

So finden Sie das NOC

LCM kann auf zwei Arten gefunden und geschrieben werden.

Der erste Weg, um das LCM zu finden

Diese Methode wird normalerweise für kleine Zahlen verwendet.

1. Wir schreiben die Vielfachen für jede der Zahlen in einer Zeile, bis es ein Vielfaches gibt, das für beide Zahlen gleich ist.
2. Ein Vielfaches der Zahl „a“ wird durch einen Großbuchstaben „K“ gekennzeichnet.

Beispiel. Finden Sie LCM 6 und 8.

Der zweite Weg, um das LCM zu finden

Diese Methode ist praktisch, um das LCM für drei oder mehr Zahlen zu finden.

Die Anzahl identischer Faktoren in den Zahlenentwicklungen kann unterschiedlich sein.

Unterstreiche bei der Erweiterung der kleineren Zahl (kleinere Zahlen) die Faktoren, die bei der Erweiterung der größeren Zahl nicht berücksichtigt wurden (in unserem Beispiel ist es 2) und füge diese Faktoren zur Erweiterung der größeren Zahl hinzu.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Zeichnen Sie die resultierende Arbeit als Antwort auf.
Antwort: LCM (24, 60) = 120

Sie können das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) auch wie folgt formalisieren. Lassen Sie uns das LCM (12, 16, 24) finden.

24 = 2 2 2 3

Wie Sie aus der Zahlenentwicklung sehen können, sind alle Faktoren von 12 in der Entwicklung von 24 (der größten der Zahlen) enthalten, also fügen wir nur eine 2 von der Entwicklung der Zahl 16 zum LCM hinzu.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Antwort: LCM (12, 16, 24) = 48

Sonderfälle beim Auffinden von NOCs

Wenn eine der Zahlen durch die anderen ohne Rest teilbar ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen gleich dieser Zahl.

Beispiel: LCM(60, 15) = 60
Da teilerfremde Zahlen keine gemeinsamen Primteiler haben, ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Produkt dieser Zahlen.

Auf unserer Website können Sie auch einen speziellen Rechner verwenden, um das kleinste gemeinsame Vielfache online zu finden, um Ihre Berechnungen zu überprüfen.

Wenn eine natürliche Zahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, dann heißt sie Primzahl.

Jede natürliche Zahl ist immer durch 1 und sich selbst teilbar.

Die Zahl 2 ist die kleinste Primzahl. Dies ist die einzige gerade Primzahl, die restlichen Primzahlen sind ungerade.

Es gibt viele Primzahlen, und die erste unter ihnen ist die Zahl 2. Es gibt jedoch keine letzte Primzahl. Im Bereich "Zum Studium" können Sie eine Tabelle mit Primzahlen bis 997 herunterladen.

Aber viele natürliche Zahlen sind durch andere natürliche Zahlen ohne Rest teilbar.

• die Zahl 12 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12;
• 36 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36.

Die Zahlen, durch die die Zahl ohne Rest teilbar ist (bei 12 sind das 1, 2, 3, 4, 6 und 12), heißen Teiler der Zahl.

Der Teiler einer natürlichen Zahl a ist eine solche natürliche Zahl, die die gegebene Zahl „a“ ohne Rest teilt.

Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, nennt man zusammengesetzte Zahl.

Beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Teiler haben. Das sind Zahlen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12.

Der gemeinsame Teiler zweier gegebener Zahlen „a“ und „b“ ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen „a“ und „b“ ohne Rest geteilt werden.

Größter gemeinsamer Teiler(ggT) zweier gegebener Zahlen „a“ und „b“ ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen „a“ und „b“ ohne Rest teilbar sind.

Kurz gesagt wird der größte gemeinsame Teiler der Zahlen "a" und "b" wie folgt geschrieben:

Beispiel: ggT (12; 36) = 12 .

Die Teiler von Zahlen im Lösungsdatensatz werden durch einen Großbuchstaben „D“ gekennzeichnet.

Die Zahlen 7 und 9 haben nur einen gemeinsamen Teiler – die Zahl 1. Solche Nummern werden angerufen teilerfremde Zahlen.

Koprime-Zahlen sind natürliche Zahlen, die nur einen gemeinsamen Teiler haben - die Zahl 1. Ihr GCD ist 1.

So finden Sie den größten gemeinsamen Teiler

Um den ggT von zwei oder mehr natürlichen Zahlen zu finden, benötigen Sie:

• die Teiler von Zahlen in Primfaktoren zerlegen;

Berechnungen werden bequem mit einem vertikalen Balken geschrieben. Schreiben Sie links von der Zeile zuerst den Dividenden auf, rechts den Divisor. Weiter in der linken Spalte schreiben wir die Werte von privat auf.

Lassen Sie es uns gleich an einem Beispiel erklären. Zerlegen wir die Zahlen 28 und 64 in Primfaktoren.

Unterstreiche in beiden Zahlen dieselben Primfaktoren.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Wir finden das Produkt identischer Primfaktoren und schreiben die Antwort auf;
ggT (28; 64) = 2 2 = 4

Antwort: ggT (28; 64) = 4

Sie können die Position des GCD auf zwei Arten anordnen: in einer Spalte (wie oben) oder „in einer Zeile“.

Der erste Weg, GCD zu schreiben

Finden Sie GCD 48 und 36.

ggT (48; 36) = 2 2 3 = 12

Die zweite Möglichkeit, GCD zu schreiben

Lassen Sie uns nun die GCD-Suchlösung in eine Zeile schreiben. Finden Sie GCD 10 und 15.

Auf unserer Informationsseite können Sie den größten gemeinsamen Teiler auch online mit Hilfe eines Hilfsprogramms finden, um Ihre Berechnungen zu überprüfen.

Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, Methoden, Beispiele zum Finden des LCM.

Das unten dargestellte Material ist eine logische Fortsetzung der Theorie aus dem Artikel unter der Überschrift LCM - Kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele, Beziehung zwischen LCM und GCD. Hier werden wir darüber sprechen Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM), und achten Sie besonders auf die Lösung von Beispielen. Lassen Sie uns zunächst zeigen, wie das LCM zweier Zahlen in Bezug auf den ggT dieser Zahlen berechnet wird. Überlege als Nächstes, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem du Zahlen in Primfaktoren zerlegst. Danach konzentrieren wir uns darauf, das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, und achten auch auf die Berechnung des LCM von negativen Zahlen.

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Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) durch ggT

Eine Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, basiert auf der Beziehung zwischen LCM und ggT. Die bestehende Beziehung zwischen LCM und ggT ermöglicht es Ihnen, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier positiver ganzer Zahlen durch den bekannten größten gemeinsamen Teiler zu berechnen. Die zugehörige Formel hat die Form LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Betrachten Sie Beispiele zum Finden des LCM gemäß der obigen Formel.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen 126 und 70 .

In diesem Beispiel a=126 , b=70 . Verwenden wir die Verknüpfung von LCM mit GCD, die durch die Formel LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) ausgedrückt wird. Das heißt, wir müssen zuerst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 70 und 126 finden, danach können wir das LCM dieser Zahlen nach der geschriebenen Formel berechnen.

Finden Sie ggT(126, 70) mit dem Euklid-Algorithmus: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , also ggT(126, 70)=14 .

Nun finden wir das benötigte kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Was ist LCM(68, 34)?

Da 68 ohne Rest durch 34 teilbar ist, ist ggT(68, 34)=34 . Jetzt berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Beachten Sie, dass das vorherige Beispiel der folgenden Regel zum Ermitteln des LCM für positive ganze Zahlen a und b entspricht: Wenn die Zahl a durch b teilbar ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen a .

Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren

Eine andere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, besteht darin, Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Wenn wir ein Produkt aus allen Primfaktoren dieser Zahlen bilden und anschließend alle gemeinsamen Primfaktoren, die in den Erweiterungen dieser Zahlen vorhanden sind, aus diesem Produkt ausschließen, dann ist das resultierende Produkt gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen.

Aus der Gleichheit LCM(a, b)=a b : GCD(a, b) folgt die angekündigte Regel zur Bestimmung des LCM. Tatsächlich ist das Produkt der Zahlen a und b gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Entwicklung der Zahlen a und b beteiligt sind. ggT(a, b) wiederum ist gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Erweiterungen der Zahlen a und b vorkommen (was im Abschnitt über die Ermittlung des ggT durch Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren beschrieben wird). ).

Nehmen wir ein Beispiel. Lassen Sie uns wissen, dass 75=3 5 5 und 210=2 3 5 7 . Machen wir aus allen Faktoren dieser Erweiterungen ein Produkt: 2 3 3 5 5 5 7 . Jetzt schließen wir aus diesem Produkt alle Faktoren aus, die sowohl in der Erweiterung der Zahl 75 als auch in der Erweiterung der Zahl 210 vorhanden sind (solche Faktoren sind 3 und 5), dann nimmt das Produkt die Form 2 3 5 5 7 an. Der Wert dieses Produkts ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 75 und 210 , also LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Nachdem du die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren zerlegt hast, finde das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.

Zerlegen wir die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren:

Wir erhalten 441=3 3 7 7 und 700=2 2 5 5 7 .

Lassen Sie uns nun ein Produkt aus allen Faktoren bilden, die an der Erweiterung dieser Zahlen beteiligt sind: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Lassen Sie uns aus diesem Produkt alle Faktoren ausschließen, die gleichzeitig in beiden Erweiterungen vorhanden sind (es gibt nur einen solchen Faktor - dies ist die Zahl 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Also LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

Die Regel zur Ermittlung des LCM durch Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren kann etwas anders formuliert werden. Wenn wir die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der Zahl b zu den Faktoren aus der Entwicklung der Zahl a addieren, dann ist der Wert des resultierenden Produkts gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen a und b.

Nehmen wir zum Beispiel alle gleichen Zahlen 75 und 210, ihre Erweiterungen in Primfaktoren sind wie folgt: 75=3 5 5 und 210=2 3 5 7 . Zu den Faktoren 3, 5 und 5 aus der Erweiterung der Zahl 75 addieren wir die fehlenden Faktoren 2 und 7 aus der Erweiterung der Zahl 210, wir erhalten das Produkt 2 3 5 5 7 , dessen Wert LCM(75 , 210).

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.

Wir erhalten zunächst die Zerlegung der Zahlen 84 und 648 in Primfaktoren. Sie sehen aus wie 84=2 2 3 7 und 648=2 2 2 3 3 3 3 . Zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 aus der Erweiterung der Zahl 84 addieren wir die fehlenden Faktoren 2, 3, 3 und 3 aus der Erweiterung der Zahl 648, wir erhalten das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 , was gleich 4 536 ist. Somit ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 84 und 648 4.536.

Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen kann man finden, indem man nacheinander das kgV von zwei Zahlen findet. Erinnern Sie sich an den entsprechenden Satz, mit dem Sie das LCM von drei oder mehr Zahlen finden können.

Seien positive ganze Zahlen a 1 , a 2 , …, a k gegeben, das kleinste gemeinsame Vielfache m k dieser Zahlen findet sich in der Folgerechnung m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Betrachten Sie die Anwendung dieses Satzes am Beispiel der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von vier Zahlen.

Finden Sie das LCM der vier Zahlen 140, 9, 54 und 250.

Zuerst finden wir m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Dazu bestimmen wir mit dem euklidischen Algorithmus ggT(140, 9) , wir haben 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , also ggT( 140, 9)=1 , also LCM(140, 9)=140 9: ggT(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Das heißt, m 2 = 1 260 .

Nun finden wir m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Berechnen wir es durch GCD(1 260, 54) , was auch durch den euklidischen Algorithmus bestimmt wird: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Dann ggT(1 260, 54)=18 , also LCM(1 260, 54)= 1 260 54:ggT(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Das heißt, m 3 \u003d 3 780.

Es bleibt m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) zu finden. Dazu finden wir ggT(3 780, 250) mit dem Euklid-Algorithmus: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Daher ist ggT(3 780, 250)=10 , also LCM(3 780, 250)= 3 780 250:ggT(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Das heißt, m 4 \u003d 94 500.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen vier Zahlen ist also 94.500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

In vielen Fällen wird das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen bequem durch Primfaktorzerlegung gegebener Zahlen gefunden. In diesem Fall sollte die folgende Regel befolgt werden. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen ist gleich dem Produkt, das sich wie folgt zusammensetzt: Die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der zweiten Zahl werden zu allen Faktoren aus der Erweiterung der ersten Zahl addiert, die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung von die dritte Zahl wird zu den erhaltenen Faktoren addiert und so weiter.

Betrachten Sie ein Beispiel für das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mithilfe der Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von fünf Zahlen 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Zuerst erhalten wir Zerlegungen dieser Zahlen in Primfaktoren: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 ist eine Primzahl, sie fällt mit ihrer Zerlegung in Primfaktoren zusammen) und 143=11 13 .

Um das LCM dieser Zahlen zu finden, müssen Sie zu den Faktoren der ersten Zahl 84 (das sind 2 , 2 , 3 und 7) die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der zweiten Zahl 6 hinzufügen. Die Erweiterung der Zahl 6 enthält keine fehlenden Faktoren, da sowohl 2 als auch 3 bereits in der Erweiterung der ersten Zahl 84 vorhanden sind. Fügen wir zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Erweiterung der dritten Zahl 48 hinzu, erhalten wir eine Reihe von Faktoren 2, 2, 2, 2, 3 und 7. Zu dieser Menge müssen im nächsten Schritt keine Faktoren hinzugefügt werden, da 7 bereits darin enthalten ist. Schließlich ergänzen wir zu den Faktoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 und 7 die fehlenden Faktoren 11 und 13 aus der Erweiterung der Zahl 143 . Wir erhalten das Produkt 2 2 2 2 3 7 11 13 , was 48 048 entspricht.

Daher LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .

Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von negativen Zahlen

Manchmal gibt es Aufgaben, bei denen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen finden müssen, von denen eine, mehrere oder alle Zahlen negativ sind. In diesen Fällen müssen alle negativen Zahlen durch ihre Gegenzahlen ersetzt werden, wonach das LCM der positiven Zahlen gefunden werden sollte. Dies ist der Weg, um das kgV von negativen Zahlen zu finden. Zum Beispiel LCM(54, –34)=LCM(54, 34) und LCM(–622, –46, –54, –888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

Wir können dies tun, weil die Menge der Vielfachen von a dieselbe ist wie die Menge der Vielfachen von −a (a und −a sind entgegengesetzte Zahlen). In der Tat, sei b ein Vielfaches von a, dann ist b durch a teilbar, und das Konzept der Teilbarkeit behauptet die Existenz einer solchen ganzen Zahl q, dass b=a q . Aber auch die Gleichheit b=(−a)·(−q) gilt, was aufgrund desselben Teilbarkeitsbegriffs bedeutet, dass b durch −a teilbar ist, also ein Vielfaches von −a ist. Auch die umgekehrte Aussage gilt: Wenn b ein Vielfaches von −a ist, dann ist auch b ein Vielfaches von a .

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der negativen Zahlen −145 und −45.

Lassen Sie uns die negativen Zahlen −145 und −45 durch ihre entgegengesetzten Zahlen 145 und 45 ersetzen. Wir haben LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Nachdem wir ggT(145, 45)=5 bestimmt haben (beispielsweise unter Verwendung des Euklid-Algorithmus), berechnen wir LCM(145, 45)=145 45:ggT(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Somit ist das kleinste gemeinsame Vielfache der negativen ganzen Zahlen –145 und –45 1.305 .

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Wir studieren weiterhin die Teilung. In dieser Lektion werden wir uns mit Konzepten wie z GCD und NOC.

GCD ist der größte gemeinsame Teiler.

NOC ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

Das Thema ist ziemlich langweilig, aber es ist notwendig, es zu verstehen. Ohne dieses Thema zu verstehen, werden Sie nicht in der Lage sein, effektiv mit Brüchen zu arbeiten, die in der Mathematik ein echtes Hindernis darstellen.

Größter gemeinsamer Teiler

Definition. Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen a und b a und b ohne Rest geteilt.

Um diese Definition gut zu verstehen, ersetzen wir statt Variablen a und b statt einer Variablen beispielsweise zwei beliebige Zahlen a Ersetzen Sie die Zahl 12 und anstelle der Variablen b Nummer 9. Versuchen wir nun, diese Definition zu lesen:

Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen 12 und 9 ist die größte Zahl, um die 12 und 9 ohne Rest geteilt.

Aus der Definition geht hervor, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler der Zahlen 12 und 9 handelt, und dieser Teiler ist der größte aller existierenden Teiler. Dieser größte gemeinsame Teiler (ggT) muss gefunden werden.

Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden, werden drei Methoden verwendet. Die erste Methode ist ziemlich zeitaufwändig, aber sie ermöglicht es Ihnen, die Essenz des Themas gut zu verstehen und seine ganze Bedeutung zu spüren.

Die zweite und dritte Methode sind recht einfach und ermöglichen ein schnelles Auffinden des GCD. Wir werden alle drei Methoden betrachten. Und was in der Praxis anzuwenden ist, entscheiden Sie.

Der erste Weg besteht darin, alle möglichen Teiler zweier Zahlen zu finden und den größten davon zu wählen. Betrachten wir diese Methode im folgenden Beispiel: Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 12 und 9.

Zuerst finden wir alle möglichen Teiler der Zahl 12. Dazu teilen wir 12 in alle Teiler im Bereich von 1 bis 12. Wenn der Divisor es uns erlaubt, 12 ohne Rest zu teilen, dann markieren wir ihn blau und Machen Sie eine entsprechende Erklärung in Klammern.

12: 1 = 12
(12 geteilt durch 1 ohne Rest, also ist 1 ein Teiler von 12)

12: 2 = 6
(12 geteilt durch 2 ohne Rest, also ist 2 ein Teiler von 12)

12: 3 = 4
(12 geteilt durch 3 ohne Rest, also ist 3 ein Teiler von 12)

12: 4 = 3
(12 geteilt durch 4 ohne Rest, also ist 4 ein Teiler von 12)

12:5 = 2 (2 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 5 geteilt, also ist 5 kein Teiler von 12)

12: 6 = 2
(12 geteilt durch 6 ohne Rest, also ist 6 ein Teiler von 12)

12: 7 = 1 (5 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 7 geteilt, also ist 7 kein Teiler von 12)

12: 8 = 1 (4 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 8 geteilt, also ist 8 kein Teiler von 12)

12:9 = 1 (3 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 9 geteilt, also ist 9 kein Teiler von 12)

12: 10 = 1 (2 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 10 geteilt, also ist 10 kein Teiler von 12)

12:11 = 1 (1 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 11 geteilt, also ist 11 kein Teiler von 12)

12: 12 = 1
(12 geteilt durch 12 ohne Rest, also ist 12 ein Teiler von 12)

Lassen Sie uns nun die Teiler der Zahl 9 finden. Überprüfen Sie dazu alle Teiler von 1 bis 9

9: 1 = 9
(9 ohne Rest durch 1 geteilt, also ist 1 ein Teiler von 9)

9: 2 = 4 (1 links)
(9 wird nicht ohne Rest durch 2 geteilt, also ist 2 kein Teiler von 9)

9: 3 = 3
(9 ohne Rest durch 3 geteilt, also ist 3 ein Teiler von 9)

9: 4 = 2 (1 links)
(9 wird nicht ohne Rest durch 4 geteilt, also ist 4 kein Teiler von 9)

9:5 = 1 (4 übrig)
(9 wird nicht ohne Rest durch 5 geteilt, also ist 5 kein Teiler von 9)

9: 6 = 1 (3 übrig)
(9 lässt sich nicht ohne Rest durch 6 teilen, also ist 6 kein Teiler von 9)

9:7 = 1 (2 übrig)
(9 wird nicht ohne Rest durch 7 geteilt, also ist 7 kein Teiler von 9)

9:8 = 1 (1 übrig)
(9 wird nicht ohne Rest durch 8 geteilt, also ist 8 kein Teiler von 9)

9: 9 = 1
(9 geteilt durch 9 ohne Rest, also ist 9 ein Teiler von 9)

Schreibe nun die Teiler beider Zahlen auf. Die blau markierten Zahlen sind die Teiler. Schreiben wir sie auf:

Nachdem Sie die Teiler ausgeschrieben haben, können Sie sofort feststellen, welcher der größte und häufigste ist.

Per Definition ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 9 die Zahl, durch die 12 und 9 ohne Restzahl teilbar sind. Der größte und gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 9 ist die Zahl 3

Sowohl die Zahl 12 als auch die Zahl 9 sind ohne Rest durch 3 teilbar:

Also ggT (12 und 9) = 3

Der zweite Weg, um GCD zu finden

Betrachten Sie nun den zweiten Weg, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden. Die Essenz dieser Methode besteht darin, beide Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen und die gemeinsamen zu multiplizieren.

Beispiel 1. Finden Sie GCD der Nummern 24 und 18

Lassen Sie uns zunächst beide Zahlen in Primfaktoren zerlegen:

Jetzt multiplizieren wir ihre gemeinsamen Faktoren. Um nicht verwirrt zu werden, können die gemeinsamen Faktoren unterstrichen werden.

Wir betrachten die Zerlegung der Zahl 24. Ihr erster Faktor ist 2. Wir suchen den gleichen Faktor in der Zerlegung der Zahl 18 und stellen fest, dass er auch da ist. Wir unterstreichen beide Zweien:

Wieder schauen wir uns die Zerlegung der Zahl 24 an. Ihr zweiter Faktor ist ebenfalls 2. Wir suchen den gleichen Faktor in der Zerlegung der Zahl 18 und sehen, dass er zum zweiten Mal nicht da ist. Dann markieren wir nichts.

Die nächsten zwei in der Erweiterung der Zahl 24 fehlen auch in der Erweiterung der Zahl 18.

Wir gehen zum letzten Faktor in der Zerlegung der Zahl 24 über. Dies ist der Faktor 3. Wir suchen nach demselben Faktor in der Zerlegung der Zahl 18 und sehen, dass er auch dort ist. Wir betonen beide Drei:

Die gemeinsamen Faktoren der Zahlen 24 und 18 sind also die Faktoren 2 und 3. Um den ggT zu erhalten, müssen diese Faktoren multipliziert werden:

Also ggT (24 und 18) = 6

Der dritte Weg, um GCD zu finden

Betrachten Sie nun den dritten Weg, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden. Der Kern dieser Methode liegt darin, dass die nach dem größten gemeinsamen Teiler zu suchenden Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden. Dann werden aus der Zerlegung der ersten Zahl Faktoren gestrichen, die nicht in der Zerlegung der zweiten Zahl enthalten sind. Die restlichen Zahlen in der ersten Erweiterung werden multipliziert und erhalten ggT.

Lassen Sie uns zum Beispiel auf diese Weise den ggT für die Zahlen 28 und 16 finden. Zunächst zerlegen wir diese Zahlen in Primfaktoren:

Wir haben zwei Erweiterungen: und

Nun streichen wir aus der Entwicklung der ersten Zahl die Faktoren, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl schließt sieben nicht ein. Wir werden es aus der ersten Erweiterung löschen:

Nun multiplizieren wir die restlichen Faktoren und erhalten den ggT:

Die Zahl 4 ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 28 und 16. Diese beiden Zahlen sind ohne Rest durch 4 teilbar:

Beispiel 2 Finden Sie GCD der Zahlen 100 und 40

Die Zahl 100 ausklammern

Die Zahl 40 ausklammern

Wir haben zwei Erweiterungen:

Nun streichen wir aus der Entwicklung der ersten Zahl die Faktoren, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl enthält keine Fünf (es gibt nur eine Fünf). Wir löschen es aus der ersten Zerlegung

Multiplizieren Sie die restlichen Zahlen:

Wir haben die Antwort 20 bekommen. Die Zahl 20 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 100 und 40. Diese beiden Zahlen sind ohne Rest durch 20 teilbar:

ggT (100 und 40) = 20.

Beispiel 3 Finde den ggT der Zahlen 72 und 128

Die Zahl 72 ausklammern

Die Zahl 128 ausklammern

2×2×2×2×2×2×2

Nun streichen wir aus der Entwicklung der ersten Zahl die Faktoren, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl enthält keine zwei Drillinge (es gibt überhaupt keine). Wir löschen sie aus der ersten Erweiterung:

Wir haben die Antwort 8 bekommen. Die Zahl 8 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 72 und 128. Diese beiden Zahlen sind ohne Rest durch 8 teilbar:

GCD (72 und 128) = 8

GCD für mehrere Zahlen finden

Den größten gemeinsamen Teiler findet man für mehrere Zahlen, nicht nur für zwei. Dazu werden die nach dem größten gemeinsamen Teiler zu suchenden Zahlen in Primfaktoren zerlegt, dann wird das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren dieser Zahlen gefunden.

Lassen Sie uns zum Beispiel den ggT für die Zahlen 18, 24 und 36 finden

Faktorisierung der Zahl 18

Faktorisieren der Zahl 24

Faktorisieren der Zahl 36

Wir haben drei Erweiterungen:

Jetzt wählen und unterstreichen wir die gemeinsamen Faktoren in diesen Zahlen. Gemeinsame Faktoren müssen in allen drei Zahlen enthalten sein:

Wir sehen, dass die gemeinsamen Faktoren für die Zahlen 18, 24 und 36 die Faktoren 2 und 3 sind. Durch Multiplikation dieser Faktoren erhalten wir den gesuchten ggT:

Wir haben die Antwort 6 bekommen. Die Zahl 6 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 18, 24 und 36. Diese drei Zahlen sind ohne Rest durch 6 teilbar:

GCD (18, 24 und 36) = 6

Beispiel 2 Finden Sie ggT für die Zahlen 12, 24, 36 und 42

Lassen Sie uns jede Zahl faktorisieren. Dann finden wir das Produkt der gemeinsamen Faktoren dieser Zahlen.

Faktorisierung der Zahl 12

Faktorisieren Sie die Zahl 42

Wir haben vier Erweiterungen:

Jetzt wählen und unterstreichen wir die gemeinsamen Faktoren in diesen Zahlen. Gemeinsame Faktoren müssen in allen vier Zahlen enthalten sein:

Wir sehen, dass die gemeinsamen Faktoren für die Zahlen 12, 24, 36 und 42 die Faktoren 2 und 3 sind. Durch Multiplikation dieser Faktoren erhalten wir den gesuchten ggT:

Wir haben die Antwort 6 bekommen. Die Zahl 6 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12, 24, 36 und 42. Diese Zahlen sind ohne Rest durch 6 teilbar:

ggT(12, 24, 36 und 42) = 6

Aus der vorherigen Lektion wissen wir, dass wenn eine Zahl ohne Rest durch eine andere geteilt wird, man sie als Vielfaches dieser Zahl bezeichnet.

Es stellt sich heraus, dass ein Vielfaches mehreren Zahlen gemeinsam sein kann. Und jetzt interessiert uns ein Vielfaches von zwei Zahlen, wobei es möglichst klein sein sollte.

Definition. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) von Zahlen a und b- a und b a und Nummer b.

Die Definition enthält zwei Variablen a und b. Lassen Sie uns diese Variablen durch zwei beliebige Zahlen ersetzen. Beispielsweise anstelle einer Variablen a Ersetzen Sie die Zahl 9 und anstelle der Variablen b Lassen Sie uns die Zahl 12 ersetzen. Versuchen wir nun, die Definition zu lesen:

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) von Zahlen 9 und 12 - ist die kleinste Zahl, die ein Vielfaches von ist 9 und 12 . Mit anderen Worten, es ist eine so kleine Zahl, die ohne Rest durch die Zahl teilbar ist 9 und auf die Nummer 12 .

Aus der Definition geht hervor, dass das LCM die kleinste Zahl ist, die ohne Rest durch 9 und 12 teilbar ist. Dieses LCM muss gefunden werden.

Es gibt zwei Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) zu finden. Die erste Möglichkeit besteht darin, dass Sie die ersten Vielfachen zweier Zahlen aufschreiben und dann unter diesen Vielfachen eine solche Zahl auswählen können, die beiden Zahlen gemeinsam und klein ist. Wenden wir diese Methode an.

Finden wir zunächst die ersten Vielfachen der Zahl 9. Um die Vielfachen der Zahl 9 zu finden, multiplizieren Sie diese Neun der Reihe nach mit den Zahlen von 1 bis 9. Die Antworten, die Sie erhalten, sind Vielfache der Zahl 9. Also , Lasst uns beginnen. Vielfache werden rot hervorgehoben:

Nun finden wir Vielfache für die Zahl 12. Dazu multiplizieren wir 12 der Reihe nach mit allen Zahlen 1 bis 12.