\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lass es uns einfacher erklären. Beispielsweise ist \(\log_(2)(8)\) gleich der Potenz, mit der \(2\) potenziert werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Beispiele:		\(\log_(5)(25)=2\)		da \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		da \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		da \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende "Anatomie":

Das Argument des Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt geschrieben, näher am Vorzeichen des Logarithmus. Und dieser Eintrag wird so gelesen: "der Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis von fünf."

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Um wie viel muss die Basis angehoben werden, um das Argument zu erhalten?

zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Mit welcher Potenz muss \(4\) potenziert werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das Zweite. So:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(5)\) potenziert werden, um \(1\) zu erhalten? Und welcher Grad macht eine beliebige Zahl zu einer Einheit? Null natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(7)\) potenziert werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Im ersten - jede Zahl im ersten Grad ist gleich sich selbst.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Mit welcher Potenz muss \(3\) potenziert werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Von wir wissen, dass dies eine gebrochene Potenz ist, und daher ist die Quadratwurzel die Potenz von \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechne den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Entscheidung :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Wir müssen den Wert des Logarithmus finden, bezeichnen wir ihn als x. Lassen Sie uns nun die Definition des Logarithmus verwenden: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Was verbindet \(4\sqrt(2)\) und \(8\)? Zwei, weil beide Zahlen durch Zweien dargestellt werden können: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Links verwenden wir die Gradeigenschaften: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) und \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Die Grundlagen sind gleich, wir fahren mit der Gleichheit der Indikatoren fort
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(\frac(2)(5)\)
		Die resultierende Wurzel ist der Wert des Logarithmus

Antworten : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichheit funktioniert. Natürlich \(x=2\).

Löse nun die Gleichung: \(3^(x)=8\) Wozu ist x gleich? Das ist der Punkt.

Die Genialsten werden sagen: "X ist etwas kleiner als zwei." Wie genau ist diese Zahl zu schreiben? Um diese Frage zu beantworten, haben sie sich den Logarithmus ausgedacht. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass sowohl \(\log_(3)(8)\), als auch Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es als Dezimalzahl schreiben wollten, würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Löse die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Entscheidung :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) und \(10\) können nicht auf dieselbe Basis reduziert werden. Hier kommt man also nicht ohne den Logarithmus aus. Verwenden wir die Definition des Logarithmus: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Drehe die Gleichung um, sodass x links steht
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Vor uns. Bewegen Sie \(4\) nach rechts. Und haben Sie keine Angst vor dem Logarithmus, behandeln Sie ihn wie eine normale Zahl.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Teilen Sie die Gleichung durch 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Hier ist unsere Wurzel. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber die Antwort ist nicht gewählt.

Antworten : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimal und natürlicher Logarithmus

Wie in der Definition des Logarithmus angegeben, kann seine Basis jede positive Zahl außer Eins \((a>0, a\neq1)\) sein. Und unter all den möglichen Basen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: Ein Logarithmus, dessen Basis die Euler-Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimaler Logarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Eine davon heißt "Basic Logarithmic Identity" und sieht so aus:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie genau diese Formel aussah.

Erinnern Sie sich an die kurze Definition des Logarithmus:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir \(\log_(a)(c)\) statt \(b\) in die Formel \(a^(b)=c\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) - die wichtigste logarithmische Identität.

Sie können den Rest der Eigenschaften von Logarithmen finden. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen vereinfachen und berechnen, die direkt schwer zu berechnen sind.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Entscheidung :

Antworten : \(25\)

Wie schreibt man eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Auch die Umkehrung gilt: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Zum Beispiel wissen wir, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie statt zwei auch \(\log_(2)(4)\) schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), also kannst du auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben. Ähnlich mit \(\log_(5)(25)\), und mit \(\log_(9)(81)\), usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Daher können wir bei Bedarf die beiden als Logarithmus mit jeder Basis irgendwo schreiben (sogar in einer Gleichung, sogar in einem Ausdruck, sogar in einer Ungleichung) - wir schreiben einfach die Basis zum Quadrat als Argument.

Dasselbe gilt für ein Tripel – es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\), oder als \(\log_(4)( 64) \) ... Hier schreiben wir die Basis in den Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie den Wert eines Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Entscheidung :

Antworten : \(1\)

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Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log a x und protokollieren a j. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. Protokoll a x+log a j= anmelden a (x · j);
2. Protokoll a x−log a j= anmelden a (x : j).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, den logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
Log 7 49 6 = 6 Log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

[Bilderüberschrift]

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Wir haben:

[Bilderüberschrift]

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben dieselbe Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Lass den Logarithmus loggen a x. Dann für eine beliebige Zahl c so dass c> 0 und c≠ 1 gilt die Gleichheit:

[Bilderüberschrift]

Insbesondere, wenn wir setzen c = x, wir bekommen:

[Bilderüberschrift]

Aus der zweiten Formel folgt, dass es möglich ist, die Basis und das Argument des Logarithmus zu vertauschen, aber in diesem Fall wird der gesamte Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

[Bilderüberschrift]

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

[Bilderüberschrift]

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

[Bilderüberschrift]

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall die Nummer n wird zum Exponenten des Arguments. Anzahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es wird die grundlegende logarithmische Identität genannt.

In der Tat, was wird passieren, wenn die Nummer b damit an die Macht erheben b insofern ergibt sich eine Zahl a? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

[Bilderüberschrift]

Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

[Bilderüberschrift]

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Prüfungsaufgabe :)

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. Protokoll a a= 1 ist die logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Protokoll a 1 = 0 ist logarithmisch Null. Base a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Weil a 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Es werden die Haupteigenschaften des natürlichen Logarithmus, Graph, Definitionsbereich, Wertemenge, Grundformeln, Ableitung, Integral, Entwicklung in eine Potenzreihe und Darstellung der Funktion ln x durch komplexe Zahlen angegeben.

Definition

natürlicher Logarithmus ist die Funktion y = In x, invers zum Exponenten, x \u003d e y , und das ist der Logarithmus zur Basis der Zahl e: ln x = log e x.

Der natürliche Logarithmus ist in der Mathematik weit verbreitet, weil seine Ableitung die einfachste Form hat: (ln x)′ = 1/ x.

Ausgehend von Definitionen, die Basis des natürlichen Logarithmus ist die Zahl e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graph der Funktion y = In x.

Graph des natürlichen Logarithmus (Funktionen y = In x) erhält man aus dem Graphen des Exponenten durch Spiegelung an der Geraden y = x .

Der natürliche Logarithmus ist für positive Werte von x definiert. Es wächst monoton auf seinem Definitionsbereich.

Als x → 0 der Grenzwert des natürlichen Logarithmus ist minus unendlich ( - ∞ ).

Da x → + ∞ ist, ist der Grenzwert des natürlichen Logarithmus plus unendlich ( + ∞ ). Für große x steigt der Logarithmus eher langsam an. Jede Potenzfunktion x a mit positivem Exponenten a wächst schneller als der Logarithmus.

Eigenschaften des natürlichen Logarithmus

Definitionsbereich, Wertemenge, Extrema, Zunahme, Abnahme

Der natürliche Logarithmus ist eine monoton steigende Funktion, hat also keine Extrema. Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus sind in der Tabelle dargestellt.

ln x-Werte

Protokoll 1 = 0

Grundformeln für natürliche Logarithmen

Formeln, die sich aus der Definition der Umkehrfunktion ergeben:

Die Haupteigenschaft von Logarithmen und ihre Konsequenzen

Basenersatzformel

Jeder Logarithmus kann in natürlichen Logarithmen ausgedrückt werden, indem die Basisänderungsformel verwendet wird:

Die Beweise dieser Formeln werden im Abschnitt "Logarithmus" vorgestellt.

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des natürlichen Logarithmus ist der Exponent.

Wenn, dann

Wenn, dann .

Ableitung ln x

Ableitung des natürlichen Logarithmus:
.
Ableitung des natürlichen Logarithmus von Modulo x:
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Ableitung von Formeln > > >

Integral

Das Integral wird durch partielle Integration berechnet:
.
So,

Ausdrücke in Bezug auf komplexe Zahlen

Betrachten Sie eine Funktion einer komplexen Variablen z :
.
Lassen Sie uns die komplexe Variable ausdrücken züber Modul r und Argument φ :
.
Unter Verwendung der Eigenschaften des Logarithmus haben wir:
.
Oder
.
Das Argument φ ist nicht eindeutig definiert. Wenn wir setzen
, wobei n eine ganze Zahl ist,
dann wird es dieselbe Zahl für verschiedene n sein.

Daher ist der natürliche Logarithmus als Funktion einer komplexen Variablen keine einwertige Funktion.

Erweiterung der Potenzreihen

Für erfolgt die Erweiterung:

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Was ist ein Logarithmus?

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders - Gleichungen mit Logarithmen.

Das stimmt absolut nicht. Absolut! Glauben Sie nicht? Gut. Nun, für etwa 10 - 20 Minuten:

1. Verstehen was ist ein logarithmus.

2. Lernen Sie, eine ganze Klasse von Exponentialgleichungen zu lösen. Auch wenn Sie noch nie von ihnen gehört haben.

3. Lernen Sie einfache Logarithmen zu berechnen.

Außerdem müssen Sie dazu nur das Einmaleins kennen und wissen, wie eine Zahl potenziert wird ...

Ich spüre, dass Sie zweifeln ... Nun, halten Sie Zeit! Gehen!

Löse zuerst die folgende Gleichung in Gedanken:

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.