206. Wir wissen (Nr. 175), dass, wenn ∠A (Abb. 203 oder 204) von zwei parallelen KL und BC geschnitten wird, das Verhältnis zweier beliebiger Segmente auf einer Seite dieses Winkels gleich dem Verhältnis zweier entsprechender Segmente ist Segmente andererseits (z. B. AK /KB = AL/LC; AB/AK = AC/AL usw.). Aber wir sehen, dass wir mehr Segmente auf den parallelen selbst haben, nämlich KL und BC. Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, zwei auf derselben Seite unseres Winkels A liegende Segmente AL, LC und AC so zu wählen, dass ihr Verhältnis gleich dem Verhältnis der Segmente KL und BC ist.

Dazu übertragen wir zunächst die Strecke KL auf die Linie BC, wofür wir LD || konstruieren müssen AB; dann BD = KL. Dann können wir statt der Strecken KL und BC die Strecken BD und BC betrachten, die auf der Seite CB des Winkels C liegen. Da sich herausstellte, dass ∠C von zwei parallelen Geraden geschnitten wird, nämlich den Geraden AB und LD , dann finden wir, wenn wir § 175 auf den Winkel C anwenden

BD/BC = AL/AC oder KL/BC = AL/AC.

Das Problem ist gelöst: Wir haben es geschafft, zwei Segmente AL und AC auf der Seite AC zu finden, sodass ihr Verhältnis = KL/BC ist. Da wir auch wissen, dass AK/AB = AL/AC, können wir nun die Gleichungen schreiben:

AK/AB = AL/AC = KL/BC.

Unter Berücksichtigung dieser Gleichungen kommen wir zu dem Schluss, dass sie die Seiten der beiden erhaltenen Dreiecke, nämlich ∆AKL und ∆ABC, verbinden. Eine neue Frage stellt sich: Sind die Winkel dieser Dreiecke irgendwie verbunden?

Die Antwort auf die letzte Frage ist leicht zu finden: ∠A haben unsere Dreiecke gemeinsam, ∠K = ∠B, entsprechend der Parallele KL und BC und Sekante AB, und ∠L = ∠C, entsprechend der gleichen Parallele, aber mit Sekanten-AC.

Wir können ∆AKL (Kap. 203) an eine andere Stelle verschieben oder, was dasselbe ist, ein neues ∆A"K"L" gleich ∆AKL konstruieren, dessen Seiten und Winkel jeweils gleich den Seiten und Winkeln von sind ∆AKL: AK = A "K", AL = A"L", KL = K"L", ∠A = ∠A", ∠K = ∠K", ∠L = ∠L".

Dann erhalten wir ∆A"K"L", das mit ∆ABC in derselben Beziehung steht wie ∆AKL:
1) diese Dreiecke haben gleiche Winkel: ∠A" = ∠A, ∠K" = ∠B, ∠L" = ∠C;
2) für die Seiten haben wir Proportionen:

A"K"/AB = A"L"/AC = K"L"/BC (1)

Es ist zu beachten, dass die beiden Seiten jeder Beziehung nicht versehentlich zu einer Beziehung verbunden sind. Sie können beispielsweise nicht A "L" / AB \u003d A "K" / BC \u003d K "L" / AC schreiben. Man muss in der Lage sein, diejenigen Parteien zu finden, die Mitglieder einer Beziehung sein sollten. Der einfachste Weg, dies zu tun, ist durch die Winkel von Dreiecken: Sie können feststellen, dass die Seiten jeder Beziehung in Gleichheiten (1) in Dreiecken gegen gleiche Winkel liegen (A"K" gegen ∠L und AB gegen den gleichen Winkel C usw .). Es ist üblich, die Seiten, die als Mitglieder derselben Beziehung dienen, als ähnlich zu bezeichnen (Seite A „K“ ist ähnlich wie Seite AB, A „L“ – wie AC und K „L“ – wie BC), und ähnliche Seiten befinden sich in unseren Dreiecken gegen gleiche Winkel.

Gleichheit (1) kann abgekürzt gelesen werden:

Die Seiten des Dreiecks ∆A"K"L" sind proportional zu den ähnlichen Seiten ∆ABC.

Das Wort "proportional" bedeutet: Das Verhältnis eines Paares gleicher Seiten der Dreiecke A"K"L" und ABC ist gleich dem Verhältnis des anderen Paares und gleich dem Verhältnis des dritten Paares.

Dreiecke, die die beiden oben gefundenen Merkmale aufweisen, werden als ähnlich bezeichnet. Um die Ähnlichkeit von Dreiecken anzuzeigen, wird das Zeichen ~ verwendet. Wir haben: ∆AKL ~ ∆ABC und auch ∆A"K"L" ~ ∆ABC.

Sie können jetzt installieren:

Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn die Winkel des einen paarweise gleich den Winkeln des anderen sind und ihre ähnlichen Seiten proportional sind.

Kommentar. Nehmen wir von Gleichheit (1) nur eine, zum Beispiel A"K"/AB = A"L"/AC. Wenn wir hier die Eigenschaft von Artikel 178 anwenden, erhalten wir: A "K" / A "L" \u003d AB / AC, d. H. Das Verhältnis zweier Seiten eines Dreiecks ist gleich dem Verhältnis zweier ähnlicher Seiten eines anderen Dreiecks, das dem ersten ähnlich ist.

207. Das Hauptzeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken. Gemäß dem vorigen Absatz können wir unzählige Dreiecke ähnlich dem gegebenen konstruieren: Dazu müssen wir das gegebene Dreieck mit verschiedenen Linien parallel zu einer seiner Seiten schneiden und dann, wenn Sie möchten, jedes resultierende Dreieck übertragen an einen anderen Ort im Flugzeug. In allen resultierenden Dreiecken bleiben die Winkel unverändert, und das Verhältnis einer beliebigen Seite einer zur ähnlichen Seite der gegebenen (Ähnlichkeitsskala) ändert sich. Daher stellt sich der Gedanke, ob für die Ähnlichkeit zweier Dreiecke nicht nur die Gleichheit ihrer Winkel ausreicht.

Lassen Sie uns 2 Dreiecke bauen: ∆ABC und ∆DEF (Diagramm 205), so dass ∠A = ∠E und ∠B = ∠D. Dann finden wir zuallererst, dass ∠C = ∠F (weil die Summe der Winkel jedes Dreiecks = 2d).

Wir legen ∆DEF auf ∆ABC, so dass zum Beispiel Punkt E zu Punkt A kommt. Dann, durch Drehen um diesen Punkt, gehen aufgrund der Gleichheit ∠E = ∠A ED und EF entlang AB bzw. AC; die Seite DF muss eine solche Position KL einnehmen, dass ∠AKL = ∠D = ∠B und ∠ALK = ∠F = ∠C, d. h. so dass KL || BC, da gleiche entsprechende Winkel erhalten werden.

Daraus schließen wir, dass ∆DEF durch Konstruieren des vorherigen Abschnitts erhalten werden kann und folglich, dass ∆DEF ~ ∆ABC. Also wenn zwei Winkel eines Dreiecks gleich zwei Winkeln eines anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke ähnlich.

208. Aufgabe. Konstruieren Sie das vierte proportional zu den drei gegebenen Segmenten.

Gegeben seien die Segmente a, b und c (Tafel 206); es ist erforderlich, ein solches 4. Segment x zu konstruieren, damit die Proportion a/b = c/x zustande kommt.

Wir bauen zwei beliebige Linien AB und CD, die sich im Punkt O schneiden, und setzen neben dem Punkt O auf einer davon die Segmente der ersten Beziehung: OA = a, OB = b (es ist möglich, in einer oder in verschiedenen Richtungen von der Punkt O) und auf der anderen Geraden bekannter Abschnitt der zweiten Relation OC = c. Dann verbinden wir mit einer geraden Linie die Enden der Segmente, die als vorherige Mitglieder unseres Anteils dienen (wenn einer von ihnen nicht bekannt war, müssen wir die Enden der Segmente verbinden, die als nachfolgende Mitglieder dieses Anteils dienen); wir erhalten die Linie AC, die die Enden der Segmente a und c verbindet. Dann konstruieren wir durch den Punkt B die Gerade BD || AC. Dann werden wir ∆OBD ~ ∆OAC lehren (∠O = ∠O, als Vertikal und ∠C = ∠D, als interne Kreuzlage, was nach dem vorherigen Absatz für die Ähnlichkeit unserer Dreiecke ausreichend ist). Daher haben wir (Nr. 206) Proportionalität ähnlicher Seiten:

OA/OB = OC/OD oder a/b = c/OD,

daraus folgt, dass das gewünschte Segment x = OD ist.

Wenn es erforderlich wäre, die Proportionen x/c = a/b zu erfüllen, dann wäre es notwendig, die Punkte B und C zu verbinden und AL || zu konstruieren BD; dann wäre das Segment OL das gewünschte.

Anmerkung . Wenn wir eine Strecke x so konstruieren, dass z. B. die Proportion x/c = a/b erfüllt ist, dann wird jede andere Strecke x" diese Proportion nicht erfüllen; wenn x" > x, dann x"/c > x>c und somit x"/c > a/b wenn x"< x, то x"/c < x/c и x"/c < a/b.

209. Andere Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken. 1) Wenn zwei Seiten eines Dreiecks proportional zu zwei Seiten eines anderen sind und die Winkel zwischen ihnen gleich sind, dann sind diese beiden Dreiecke ähnlich.

Seien wir ∆ABC (Kap. 207); Nehmen wir ein beliebiges Segment ED und konstruieren nach Punkt 208 das Segment x so, dass sich die Proportion x/AC = ED/AB ergibt. Schließlich konstruieren wir ∆EDF so, dass eine Seite davon die Strecke ED ist, die andere Seite die Strecke EF = x und schließlich ∠E = ∠A. Dann hängen ∆EDF und ∆ABC wie folgt zusammen:

1) ∠E = ∠A und 2) EF/AC = ED/AB.

Sind diese Dreiecke ähnlich?

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir nur anmerken, dass wir ein Dreieck gleich ∆EDF auch auf andere, einfachere Weise konstruieren können. Dazu legen wir die Strecke AK = ED auf der Seite AB ab und konstruieren KL || BC; dann ∆AKL ~ ∆ABC (§ 197) und folglich AL/AC = AK/AB.

Da AK = ED ist und es nur eine Möglichkeit gibt (Bemerkung 208), die Verhältnisse x/AC = ED/AB zu erfüllen, schließen wir daraus, dass EF = AL und ∆AKL = ∆EDF. Daher kann ∆EDF mit ∆AKL und damit ∆EDF ~ ∆ABC überlagert werden. Dies rechtfertigt das Zeichen der Verhältnismäßigkeit, das am Anfang dieses Absatzes steht.

2) Wenn drei Seiten eines Dreiecks proportional zu drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke ähnlich.

Seien wir ∆ABC (Kap. 207); Nehmen wir das Segment ED und konstruieren nach Punkt 208 zwei weitere Segmente x und y, so dass die Proportionen stattfinden: x/AC = ED/AB und y/BC = ED/AB. Konstruieren wir dann ein Dreieck EDF (EF = x, DF = y) mit den drei Seiten ED, x und y.

Dann hängen ∆EDF und ∆ABC wie folgt zusammen:

1) EF/AC = ED/AB und 2) DF/BC = ED/AB

oder kurz:

EF/AC = DF/BC = ED/AB.

Sind diese Dreiecke ähnlich?

Um dieses Problem zu lösen, stellen wir fest, dass es möglich ist, ein Dreieck gleich ∆EDF auf andere, einfachere Weise zu konstruieren.

Dazu legen wir die Strecke AK = ED auf der Seite AB ab und konstruieren KL || BC; dann (Abschn. 206) erhalten wir ∆AKL ~ ∆ABC und folglich

AL/AC = KL/BC = AK/AB.

Da die Strecke AK = ED ist und da nach der Bemerkung zu Punkt 208 nur eine Strecke konstruiert werden kann, die das Verhältnis x/AC = ED/AB erfüllt, schließen wir auf AL = EF; wir finden auch, dass KL = DF, woraus folgt, dass ∆EDF = ∆AKL, und durch Superposition können wir ∆EDF mit ∆AKL kombinieren (manchmal kann es notwendig sein, ∆EDF auf die andere Seite zu drehen). Daher ist ∆EDF ~ ∆ABC.

Dies rechtfertigt das genannte Vorzeichen.

Auf ähnliche Weise kann man mehrere weitere Ähnlichkeitszeichen finden, sowohl für Dreiecke im Allgemeinen als auch für spezielle Dreiecke. Zum Beispiel, Wenn die Hypotenuse und das Bein eines rechtwinkligen Dreiecks proportional zur Hypotenuse und dem Bein eines anderen sind, dann sind diese Dreiecke ähnlich. Die Erläuterung seiner Gültigkeit basiert: 1) auf der Bemerkung zu Punkt 208 und 2) auf dem Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke (Punkt 74, Zeichen 4).

Anmerkung . Bei einigen der folgenden Aufgaben müssen Sie die Verhältnisse von Segmenten ermitteln, die in einer Einheit gemessen werden. Wenn zum Beispiel die Strecke x = 7½ lin. Single und Strecke y = 3/10 lin. Single (die lineare Einheit ist die gleiche), dann ist es notwendig, um das Verhältnis des Segments x zum Segment y zu finden, das Segment x als Zahl auszudrücken, wobei das Segment y als Einheit genommen wird. Wenn y = 3/10 lin. Einheiten, dann lin. Single = 10/3 * y und somit

x = (7½ * 10/3)y, also x/y = 7½ * 10/3 = 7½: 3/10,

d.h. um das Verhältnis von Segmenten, gemessen durch eine beliebige Einheit, zu überlagern, ist es notwendig, das Verhältnis von Zahlen zu finden, die unsere Segmente ausdrücken, und das Verhältnis von Zahlen, wie es aus der Arithmetik bekannt ist, wird durch Dividieren gefunden.

210. Übungen.

1. Gegeben 2 rechtwinklige Dreiecke; der spitze Winkel des einen = 41° und der spitze Winkel des anderen = 49°. Finden Sie heraus, ob diese Dreiecke ähnlich sind.

2. Gegeben ∆ABC und ∆KLM (Kap. 208), so dass ∠B = ∠M und AB = 15 dm, BC = 18 dm, ML = 12 dm. und MK = 10 dm. Sind diese Dreiecke ähnlich? Wenn sie ähnlich sind, dann berechnen Sie die Seite AC, wissend, dass die Seite KL = 5½ dm ist.

3. ∆ABC und ∆KLM sind gegeben (Zeichnung 208), so dass AB = 18 dm., BC = 20 dm., AC = 8 dm., KL = 6 dm., KM = 13½ dm., ML = 15 dm. . Sind diese Dreiecke ähnlich? Wie können Sie hier Ähnlichkeiten finden?

4. In den Dreiecken ABC und KLM gegeben: AB = 16 dm., AC = 8 dm., BC = 20 dm., KL = 5 dm., MK = 10 dm. und ML = 12 dm. Sind diese Dreiecke ähnlich? Wenn sie nicht ähnlich sind, wie sollte dann die Seite ML geändert werden, damit die Dreiecke ähnlich sind?

5. Gegeben seien 2 ähnliche Dreiecke, deren Seiten jeweils gleich sind. 10, 14 und 16 dm. und die größere Seite der anderen = 20 dm. Finden Sie die anderen 2 Seiten des zweiten Dreiecks.

6. Gegeben ein Dreieck. Konstruieren Sie unter Verwendung der Methode von Punkt 206 ein weiteres Dreieck, das dem gegebenen ähnlich ist, so dass jedes Verhältnis der Seite des neuen Dreiecks zur ähnlichen Seite des zweiten = ¾ ist.
Machen Sie die gleiche Konstruktion, wenn das obige Verhältnis 2½ sein soll.

211. Verhältnisse von Höhen und Flächen ähnlicher Dreiecke. Angenommen, wir haben ∆ABC ~ ∆DEF (Diagramm 209). Daher gilt: ∠A = ∠D, ∠B (∠ABC) = ∠E (∠DEF) und ∠C = ∠F (1) und

AB/DE = AC/DF = BC/EF (2)

Konstruieren wir die Höhen BM und EN in unseren Dreiecken, indem wir Senkrechte auf ähnliche Seiten fallen lassen; wir werden diese Höhen ähnlich nennen. Dann ist ∆ABM ~ ∆DEN, da sie ∠A = ∠D aufgrund von Gleichungen (1) und ∠AMB = ∠DNE als rechte Winkel haben (BM ⊥ AC und EN ⊥ DF), und dies reicht aus, damit unsere Dreiecke ähnlich sind ( 207) und aus ihrer Ähnlichkeit erhalten wir:

Basierend auf Gleichheiten (2) können wir die letzte Gleichheit fortsetzen:

BM/EN=AB/DE=AC/DF=BC/EF,

d.h. das Verhältnis ähnlicher Höhen ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Verhältnis ähnlicher Seiten.

Lassen Sie uns aus einer Reihe von letzten gleichen Verhältnissen auf die Proportion achten.

(Verhältnis ähnlicher Höhen = Verhältnis der Basen).

212. In Absatz 209 wurde angegeben, wie man das Verhältnis zweier Segmente ermittelt, die mit derselben Einheit gemessen werden. Dasselbe gilt für die Ermittlung des Verhältnisses zweier Flächen, gemessen durch dieselbe Quadrateinheit: Dieses Verhältnis wird ermittelt, indem die Zahlen dividiert werden, die unsere Flächen ausdrücken.

Wir werden in diesem Absatz und in vielen Fällen auch im Folgenden unter der Notation zum Beispiel AB die Zahl verstehen, die die Strecke AB in beliebigen linearen Einheiten ausdrückt, und unter der Bezeichnung „Fläche ∆ABC“ die Zahl, die die ausdrückt Fläche ∆ABC in Quadrateinheiten. Bei der Analyse einer Frage werden alle Segmente mit derselben linearen Einheit und alle Bereiche mit den entsprechenden quadratischen Einheiten gemessen.

Wir wissen (Nr. 201), dass es zur Messung der Fläche eines Dreiecks in quadratischen Einheiten erforderlich ist, seine Basis und Höhe mit der entsprechenden linearen Einheit zu messen und das halbe Produkt der resultierenden Zahlen zu nehmen.
Mit der Notation nach obiger Bedingung haben wir nun für ∆ABC und ∆DEF (Abb. 209)
Bereich ∆ABC = (AC * BM) / 2 und Fläche ∆DEF = (DF * EN) / 2.

Finden Sie das Verhältnis der Flächen unserer Dreiecke durch Teilen

d.h. Das Flächenverhältnis zweier Dreiecke ist gleich dem Produkt aus dem Verhältnis ihrer Grundflächen und dem Verhältnis ihrer Höhen.

Berücksichtigen wir nun, dass wir es mit ähnlichen Dreiecken zu tun haben – wir nehmen an, dass ∆ABC ~ ∆DEF.

Dann haben wir aus dem vorherigen Absatz:

Wenn wir in der Formel, die das Verhältnis der Flächen von Dreiecken ausdrückt, das Verhältnis der Höhen durch das Verhältnis der Grundflächen ersetzen, erhalten wir:

Wir können auch sagen, dass dieses Verhältnis = (AB/DE) 2 ist. So,

das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Verhältnisses ihrer ähnlichen Seiten.

Dieses Ergebnis stimmt mit dem in § 160 (Übungen 5, 6 und 7) gefundenen überein.

Eine Übung. Finden Sie das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke aus Absatz 210 (Übungen 2, 3, 5 und 6).

213. Das Verhältnis der Flächen von Dreiecken mit gleichem Winkel. Setzen wir ∆ABC und ∆DEF (Kap. 210) ein, haben wir ∠A = ∠D, und die anderen Winkel sind nicht gleich. Dann sind unsere Dreiecke nicht ähnlich. Wir konstruieren, genau wie im vorigen Absatz, die Höhen BM und EN dieser Dreiecke und finden durch Teilen das Verhältnis ihrer Flächen

BM/EN = AB/DE (2)

Aber jetzt ist es nicht mehr möglich, das Verhältnis der Höhen (BM / EN) durch das Verhältnis der Basen (AC / DF) zu ersetzen, da diese Dreiecke nicht ähnlich sind. Unter Verwendung von (2) aus (1) haben wir:

Das heißt, das Verhältnis der Flächen zweier Dreiecke mit gleichem Winkel ist gleich dem Produkt der Verhältnisse der Seiten, die diese Winkel bilden.

Eine Übung. Gegeben ein Dreieck; Konstruieren Sie ein weiteres Dreieck, so dass ein Winkel unverändert bleibt und die Seiten, die diesen Winkel bilden, um das Doppelte und die andere um das Dreifache zunehmen. Wie wird seine Fläche wachsen? Die Antwort, die leicht durch Berechnung gefunden werden kann, ist wünschenswert, geometrisch zu berechnen.

252. Der Begriff der Ähnlichkeit von Dreiecken erstreckt sich auch auf Polygone. Gegeben sei das Vieleck ABCDE (Kap. 245); Führen Sie die Konstruktion ähnlich wie Punkt 206 durch. Konstruieren Sie die Diagonalen AC und AD und wählen Sie einen Punkt K auf der Seite AB zwischen den Punkten A und B oder außerhalb des Segments AB und konstruieren Sie KL || BC bis es die Diagonale AC schneidet, dann LM || CD bis zum Schnittpunkt mit AD und schließlich MN || DE bis zur Kreuzung mit AE. Dann erhalten wir das Polygon AKLMN, das durch die folgenden Abhängigkeiten mit ABCD verwandt ist:

1) Die Winkel eines Polygons sind paarweise gleich den Winkeln eines anderen: Sie teilen den Winkel A, ∠K = ∠B (wie entsprechend), ∠KLM = ∠BCD, weil ∠KLA = ∠BCA und ∠ALM = ∠ ACD usw.

2) Ähnliche Seiten dieser Polygone sind proportional, d.h. das Verhältnis eines Paares ähnlicher Seiten ist gleich dem Verhältnis des anderen Paares, gleich dem Verhältnis des dritten Paares usw.

„Ähnliche“ Seiten sind hier etwas anders zu verstehen als bei Dreiecken: Hier betrachten wir als ähnliche Seiten diejenigen, die zwischen gleichen Winkeln eingeschlossen sind, z. B. BC und KL.

Die Gültigkeit dieser Proportionalität wird wie folgt gesehen:

∆AKL ~ ∆ABC, also AK/AB = KL/BC = AL/AC
∆ALM ~ ∆ACD, also AL/AC = LM/CD = AM/AD
∆AMN ~ ∆ADE, also AM/AD = MN/DE = AN/AE

Wir sehen, dass es unter den ersten drei gleichen Verhältnissen und unter den zweiten drei gleichen Verhältnissen ein identisches AL/AC gibt; auch die letzten drei Relationen sind mit der vorherigen Relation AM/AD verbunden. Wenn wir also die Verhältnisse der Diagonalen überspringen, erhalten wir:

AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = AN/AE

All dies bleibt, wie man leicht sieht, auch für ein Polygon mit einer größeren Seitenzahl als bei uns gültig.

Wenn wir das Polygon AKLMN an eine andere Stelle in der Ebene übertragen, bleiben die obigen 2 Beziehungen dieses Polygons mit ABCDE in Kraft; solche Polygone werden ähnlich genannt. So, Zwei Polygone heißen ähnlich, wenn die Winkel des einen paarweise gleich den Winkeln des anderen sind und wenn ihre ähnlichen Seiten proportional sind.

Wir wissen also, wie man ein Polygon wie dieses konstruiert. Wir haben AKLMN ~ ABCDE gebaut.

Wir sehen auch, dass in den Polygonen ABCDE und AKLMN Diagonalen aus ihren jeweiligen Eckpunkten gebildet werden und zwei Reihen ähnlicher Dreiecke erhalten werden: ∆AKL ~ ∆ABC, ∆ALM ~ ∆ACD und ∆AMN ~ ∆ADE – diese Dreiecke sind gleich angeordnet in beiden Polygonen.

Es stellt sich die Frage, ob letztere Eigenschaft auch dann noch gültig bleibt, wenn wir ein Polygon wie das gegebene auf andere Weise als die hier verwendete konstruieren.

253. Das Polygon A"B"C"D"E" sei irgendwie ähnlich wie das Polygon ABCDE (Kap. 246) konstruiert, d. h. so

∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, ∠C" = ∠C, ∠D" = ∠D, ∠E" = ∠E (1)

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"E"/DE = E"A"/EA (2)

Die Frage vom Ende des vorigen Absatzes ist gleichbedeutend mit einer anderen: Ist es möglich, diese beiden Polygone in eine Position zu bringen, so dass beispielsweise der Punkt A "mit A zusammenfällt und die restlichen Eckpunkte paarweise auf Linien liegen, die gehen von diesem gemeinsamen Punkt, und so dass ihre ähnlichen Seiten oder parallel waren, oder die Seite eines Polygons auf der Seite des anderen liegen würde.

Lassen Sie uns dieses Problem lösen. Dazu legen wir die Strecke AK = A"B" auf der Seite AB vom Punkt A ab und konstruieren mit Hilfe des vorigen Absatzes das Polygon AKLMN ~ ABCDE.

Es bleibt abzuwarten, ob das Polygon A"B"C"D"E" bei Überlagerung mit AKLMN zusammenfallen kann.

Wir haben: AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = NA/EA.

Vergleicht man diese Gleichungen mit den Gleichungen (2) und berücksichtigt man, dass AK = A"B", erhält man leicht KL = B"C", LM = C"D" usw., d.h. alle Seiten der Polygone A "B" C"D"E" und AKLMN sind paarweise gleich. Wir legen das Polygon A"B"C"D"E" auf AKLMN, so dass A" in A gerät und die Seite A"B" mit AK zusammenfällt (wir haben AK = gebaut A"B"); dann wird aufgrund der Gleichheit der Winkel B" und K die Seite B"C" entlang KL gehen, aufgrund der Gleichheit der Seiten KL und B"C" wird der Punkt C" in L fallen, etc.

Also stimmt A"B"C"D"E" mit AKLMN überein, und daher erhalten wir, wenn wir die Diagonalen A"C" und A"D" konstruieren, eine Reihe von Dreiecken, die ähnlich und gleich angeordnet sind mit ∆ABC, ∆ACD , usw. .

Daher schließen wir: Wenn wir Diagonalen aus den entsprechenden Eckpunkten in ähnlichen Polygonen bilden, erhalten wir 2 Reihen ähnlicher und gleich beabstandeter Dreiecke.

Es ist leicht zu erkennen, dass der umgekehrte Schluss gilt: Wenn ∆A"B"C" ~ ABC, ∆A"C"D" ~ ∆ACD und ∆A"D"E" ~ ∆ADE, dann ist das Polygon A "B"C"D "E" ~ Vieleck ABCDE. Dann ist ∆A"B"C" = ∆AKL, ∆A"C"D" = ∆ALM und ∆A"D"E" = ∆AMN, was die Gleichheit der Polygone A"B"C"D"E" impliziert. und AKLMN und daher die Ähnlichkeit von A"B"C"D"E" und ABCDE.

254. Die Position (zwei korrespondierende Ecken vereinigen sich an einem Punkt, die übrigen Ecken liegen paarweise auf Linien, die durch diesen Punkt gehen, und ähnliche Seiten sind parallel), in die wir zwei ähnliche Polygone bringen konnten, ist ein besonderer Fall einer anderen, allgemeineren Position von zwei ähnlichen Polygonen .

Lassen Sie uns KLMN ~ ABCD (Kap. 247) haben. Nehmen Sie einen beliebigen Punkt S und verbinden Sie ihn mit allen Eckpunkten A, B, C und D des ersten Polygons. Wir werden versuchen, ein Polygon gleich dem Polygon KLMN zu konstruieren, so dass seine Eckpunkte auf den Linien SA, SB, SC und SD liegen und die Seiten parallel zu den Seiten des Polygons ABCD sind.

Dazu legen wir die Strecke AP = KL auf Seite AB (wir nehmen an, dass KL und AB ähnliche Seiten sind) und konstruieren PB" || AS (Punkt P und Linie PB" sind in der Zeichnung nicht angegeben). Durch den Punkt B", wo SB PB" schneidet, konstruieren wir B"A" || AB. Dann A"B" = AP = KL, dann konstruieren wir B"C" || BC, durch Punkt C", wo B"C" sich mit SC schneidet, zeichne C"D" || CD und Punkt D", wo C"D" sich mit SD schneidet, verbinde dich mit A". Erhalte Polygon A"B"C „D“, das, wie wir gleich sehen werden, dem Polygon ABCD ähnlich ist.

Da A"B" || AB, dann ∆SA"B" ~ ∆SAB, woher

SA"/SA = A"B"/AB = SB"/SB (1)

Da B"C" || BC, dann ∆SB"C" ~ ∆SBC, woher

SB"/SB = B"C"/BC = SC"/SC (2)

Da C"D" || CD, dann ∆SC"D" ~ ∆SCD, woher

SC"/SC = C"D"/CD = SD"/SD (3)

Daraus können wir ableiten, dass SA "/ SA \u003d SD" / SD und daher ∆SA "D" ~ ∆SAD, da die beiden Seiten der einen proportional zu den beiden Seiten der anderen sind und die Winkel zwischen ihnen gleich sind (∠S gemeinsam), - A "D" || ANZEIGE und

SD"/SD = D"A"/DA = SA"/SA (4)

Aus den Gleichungen der Beziehungen (1), (2), (3) und (4) erhalten wir leicht:

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"A"/DA (5)

Außerdem gilt ∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B usw. als Winkel mit parallelen Seiten. Also A"B"C"D" ~ ABCD.

Außerdem ist leicht zu sehen, dass KLMN = A"B"C"D". Tatsächlich ist ∠K = ∠A, aber ∠A = ∠A", also ∠K = ∠A"; auch ∠L = ∠B" usw. - die Winkel unserer Polygone sind gleich. Außerdem erhalten wir aus der Ähnlichkeit von KLMN ~ ABCD:

KL/AB = LM/BC = MN/CD = NK/DA.

Vergleicht man diese gleichen Verhältnisse mit Gleichheiten (5) und berücksichtigt, dass A"B" = KL, finden wir: B"C" = LM, C"D" = MN, D"A" = NK. Jetzt ist es einfach, wie wir es oben getan haben, zu sehen, dass KLMN, wenn es überlagert wird, mit A"B"C"D ausgerichtet wird. Daher ist es uns gelungen, diese ähnlichen Polygone so zu platzieren, dass ihre Eckpunkte paarweise auf den Linien liegen, die durch den Punkt S verlaufen, und ihre ähnlichen Seiten parallel sind, was wir anstrebten.

Beachten Sie auch, dass die entsprechenden Eckpunkte in unseren Polygonen in derselben Richtung aufeinander folgen (siehe die Pfeile neben den Polygonen ABCD, KLMN und A"B"C"D") - im Uhrzeigersinn.

Wenn die Scheitelpunkte eines Polygons, die den aufeinanderfolgenden Scheitelpunkten eines anderen entsprechen, in der entgegengesetzten Richtung aufeinander folgen würden, wie sie sich in einem anderen befinden, könnten wir unsere Polygone so platzieren, dass sich die entsprechenden Scheitelpunkte auf gegenüberliegenden Seiten befinden der Punkt S (siehe Abb. 248).

Der Punkt S, an dem die Linien, die die Paare entsprechender Eckpunkte der Polygone verbinden, zusammenlaufen, wird genannt Ähnlichkeitszentrum; im ersten Fall (Zeichnung 247), wenn sich beide korrespondierenden Eckpunkte (z. B. A und A") auf derselben Seite von S befinden, wird das Ähnlichkeitszentrum als extern bezeichnet, und im zweiten (Zeichnung 248), wenn die entsprechenden Scheitelpunkte befinden sich auf gegenüberliegenden Seiten des Punktes S, das Ähnlichkeitszentrum heißt intern ... Wenn ähnliche Polygone so angeordnet sind, dass sie ein Ähnlichkeitszentrum haben, dann werden sie genannt ähnlich gelegen.

255. Wenn uns ein Polygon ABCD (Kap. 247 oder 248) gegeben wird, - nennen wir dieses Polygon Original, - können wir, indem wir einen beliebigen Punkt S wählen, seine ihm ähnlichen Bilder in jedem Maßstab erhalten, - dieser Name ist wird das Verhältnis eines beliebigen Segments des Bildes zum entsprechenden Segment im Original (im angegebenen Polygon) genannt. Diese Beziehung wird auch genannt Ähnlichkeitskoeffizient- bezeichnen wir es mit k. Bisher ist der Ähnlichkeitskoeffizient für uns das Verhältnis der Seite des Bildes zur Seite des Originals, d.h.

A "B / AB \u003d B" C / BC \u003d ... \u003d k.

In Zukunft werden wir dieses Konzept auf das Verhältnis von zwei beliebigen Segmenten des Bildes und des Originals erweitern, die einander ähnlich sind.

Aus den Gleichungen (1), (2), (3) und (4) des vorherigen Absatzes haben wir:

SA"/SA = SB"/SB = SC"/SC = SD"/SD = A"B"/AB = k,

d.h. das Verhältnis der Abstände vom Ähnlichkeitszentrum der entsprechenden Eckpunkte des Bildes und des Originals = Ähnlichkeitskoeffizient.

Unter dem Namen Figur (flach) verstehen wir eine Menge von Punkten und Linien von Ebenen. Polygone ABCD - es gibt eine Figur. Wir fügen einen weiteren Punkt (zufällig ausgewählt) E hinzu - wir erhalten eine neue Figur, die aus einem Polygon ABCD und einem Punkt E besteht, - wir finden das Bild des Punktes E. Dazu konstruieren wir die gerade Linie SE und zeichnen die Segment SE darauf, so dass SE "/SE \u003d k (ein solches Segment lässt sich mit Artikel 214 leicht konstruieren); wir können dieses Segment in Richtung SE verschieben (Abb. 247); oder in die entgegengesetzte Richtung (Abb. 248) Der resultierende Punkt E "ist das Bild von Punkt E - mit anderen Worten, Punkt E" und E sind die entsprechenden Punkte in unseren beiden ähnlichen und ähnlich platzierten Figuren.

Wenn wir beispielsweise den Punkt E mit B und den Punkt E" mit B" verbinden (B und B" sind auch korrespondierende Punkte), erhalten wir zwei korrespondierende Strecken BE und B"E".

Es ist leicht zu sehen, dass ∆SBE ~ ∆SB"E" (da ∠BSE = ∠B"SE und die Seiten, die diese Winkel bilden, proportional sind: SB"/SB = k und SE"/SE = k, also SB " / SB = SE "/ SE), folgt daraus:

1) B"E" || BE und 2) B"E"/BE = SB"/SB = k

d.h. einander entsprechende Segmente in dem Bild und dem Original 1) sind parallel zueinander und 2) ihr Verhältnis ist gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten .

Dies impliziert die Möglichkeit der folgenden Konstruktion, um einen Punkt zu finden, der dem im Original angegebenen Punkt entspricht, wenn wir bereits ein Paar korrespondierender Punkte haben und das Ähnlichkeitszentrum bekannt ist: Lassen Sie uns ein Paar korrespondierender Punkte B und B haben. und es ist erforderlich, einen Punkt zu finden, der dem Punkt E entspricht. - Wir bauen die Linien SE und BE und durch B "bauen wir eine Linie parallel zu BE, deren Schnittpunkt E" mit SE und geben den gewünschten Punkt an.

256. Lassen Sie uns für jede Figur, von der ein Punkt A ist (Abb. 249), ihre Bilder konstruieren, indem wir zwei beliebige Punkte S 1 und S 2 als äußere Ähnlichkeitszentren und die Zahlen k 1 und k 2 als Ähnlichkeitskoeffizienten nehmen. Punkt A korrespondiere mit Punkt A" im ersten Bild und Punkt A"" korrespondiere mit demselben Punkt im zweiten Bild.

Wir fügen dieser Figur auch einen Punkt B hinzu, der auf der Linie S 1 S 2 liegt; dann entspricht dieser Punkt B im ersten Bild dem Punkt B" und im zweiten Bild dem Punkt B"", außerdem müssen die Punkte B" und B"" auf der gleichen Linie S 1 S 2 und den Linien AB, A" B liegen " und A""B "" müssen parallel und gleich gerichtet sein.

Dann haben wir:

A"B"/AB = k 1 und A""B""/AB = k 2 .

Von hier aus finden wir:

A"B"/A""B"" = k 1 /k 2 .

Verbinde die Punkte A" und A"", finde den Schnittpunkt S 3 der Linien A""A" und S 2 S 1 . Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke S 3 A"B" und S 2 A""B"" finden wir dann:

Durch Verbinden der Punkte A" und A"" finden wir den Schnittpunkt S 3 der Linien A" "A" und S 2 S 1 . Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke S 3 A"B" und S 2 A""B"" finden wir dann:

S 3 B"/S 3 B"" = A"B"/A""B"" = k 1 /k 2,

d.h. der Punkt S 2 muss die Strecke B "B"" extern in einem Verhältnis teilen, das gleich der gegebenen Zahl k 1 / k 2 ist. Wir wissen (Nr. 217), dass es nur einen Punkt gibt, der die gegebene Strecke B " teilt. B "" in dieser Hinsicht extern. Wenn wir irgendeinen anderen Punkt C dieser Figur nehmen und seine Bilder C" und C"" konstruieren, dann nennen wir ihn, indem wir die Punkte C" und C"" verbinden und den Schnittpunkt nehmen, wieder S 3 , die Linie C "C"" mit Linie S 1 S 2 erhalten wir, dass ∆S 3 B"C" ~ ∆S 3 B""C"" (B""C"" || BC und B"C" || BC, also B"" C"" || B"C"), woraus sich wiederum ergibt, dass S 3 B"/S 3 B"" = k 1 /k 2 , d.h. der neue Punkt S 3 fällt mit dem alten zusammen. Daher ist S 3 das Ähnlichkeitszentrum der Zahlen (A"B"C"...) und (A""B""C""...) und außerdem extern, weil die Richtung, in der die entsprechenden Punkte, die in beiden Figuren aufeinander folgen, sind gleich, daraus schließen wir, dass die Figuren (A"B"C"...) und (A""B""C""...) auch einen äußeren Mittelpunkt von haben Ähnlichkeit und liegt auf derselben Linie mit den Zentren S 1 und S 2 .

Wenn eines der Ähnlichkeitszentren S1 extern und das andere S2 intern ist (Abb. 250), dann sind die Richtungen der entsprechenden Segmente wie folgt: A "B" ist dieselbe wie die Richtung AB, aber A" "B"" ist der Richtung AB entgegengesetzt, - also die Richtung A ""B"" zurück zu A"B" und S3 ist das innere Ähnlichkeitszentrum der Figuren (A"B"...) und (A ""B""...).

Wenn wir beide Ähnlichkeitszentren als interne nehmen (z. B. S 2 und S 3 in Abb. 250), dann ist leicht zu erkennen, dass das dritte Ähnlichkeitszentrum ein externes sein wird. Also allgemein:

Wenn drei Figuren paarweise ähnlich angeordnet sind, befinden sich drei Ähnlichkeitszentren auf einer geraden Linie, und entweder alle drei sind extern oder zwei von ihnen sind intern und eine ist extern.

257. .
Nehmen wir zwei ähnliche Polygone ABCDEF und A"B"C"D"E"F" (Kap. 251). Nennen wir den Ähnlichkeitskoeffizienten durch k.

A"B"/AB = k, B"C"/BC = k usw.,

A"B" = k AB, B"C" = k BC, C"D" = k CD, …

Addiert man diese Gleichungen in Teilen und nimmt den Faktor k im zweiten Teil aus der Klammer heraus, erhält man:

A"B" + B"C" + C"D" + ... = k(AB + BC + CD + ...),

(A"B" + B"C" + C"D" ...) / (AB + BC + CD + ...) = k = A"B"/AB,

Das heißt, das Verhältnis der Umfänge ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Verhältnis ähnlicher Seiten (oder gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten).

Wir wählen zwei korrespondierende Eckpunkte, z. B. A und A", und konstruieren die durch sie verlaufenden Diagonalen. Dann wissen wir: 1) (aus Aufgabe 253) ∆ABC ~ ∆A"B"C", ∆ACD ~ ∆A" C "D" usw. 2) (aus Punkt 212) Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Verhältnisses ihrer ähnlichen Seiten, daher

sq. ∆A"B"C" / Quadrat ∆ABC = (A"B"/AB) 2 = k 2; Quadrat ∆A"C"D" / Quadrat ∆ACD \u003d (C "D" / CD) 2 \u003d k 2 usw.,

sq. ∆A"B"C" = k 2 Pl. ∆ABC; Pl. ∆A"C"D" = k 2 Pl. ∆ACD;
sq. ∆A"D"E" = k 2 Quadrat ∆ADE ...

Addiert man diese Gleichungen in Teilen und setzt den gemeinsamen Teiler k 2 im zweiten Teil aus der Klammer heraus, erhält man:

sq. ∆A"B"C" + pl. ∆A"C"D" + ∆A"D"E" + ... = k 2 (pl. ∆ABC + pl. ∆ACD + pl. ∆ADE + .. .),

sq. A"B"C"D"E"F" / pl. ABCDEF \u003d k 2 \u003d (A "B" / AB) 2,

das Verhältnis der Flächen ähnlicher Polygone ist gleich dem Quadrat des Verhältnisses ihrer ähnlichen Seiten (oder gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten).

258. Zwei gleichnamige regelmäßige Polygone sind immer ähnlich. In der Tat sind die Winkel der gleichnamigen Polygone gleich (Nr. 248), und da alle Seiten von jedem einander gleich sind, ist es offensichtlich, dass das Verhältnis jeder Seite von einem zu jeder Seite von andere ist eine konstante Zahl.

Wenn wir einem Kreis ein beliebiges regelmäßiges Vieleck einschreiben (Abb. 252) und Tangenten an den Kreis durch die Mittelpunkte der von seinen Seiten zusammengezogenen Bögen konstruieren, dann erhalten wir ein regelmäßiges Vieleck gleichen Namens um diesen Kreis herum beschrieben. Es ist nicht schwer herauszufinden (wir überlassen es denen, die es wünschen), dass die resultierenden zwei regelmäßigen Polygone ähnlich angeordnet sind und der Mittelpunkt des Kreises als ihr äußeres Ähnlichkeitszentrum dient – ​​äußerlich, weil jedes Paar von korrespondierenden Punkten (z B. A und A") befindet sich in derselben Richtung vom Mittelpunkt aus (wenn das Polygon eine gerade Seitenzahl hat, dann kann der Mittelpunkt des Kreises auch als internes Ähnlichkeitszentrum angesehen werden, es muss nur davon ausgegangen werden , zum Beispiel entspricht Punkt A Punkt A "").

259. Übungen.

1. Die Seiten eines Fünfecks sind 12, 14, 10, 8 bzw. 16 dm. Finden Sie die Seiten eines anderen Fünfecks ähnlich dem ersten, wenn sein Umfang = 80 dm ist.

2. Die Summe der Flächen zweier ähnlicher Polygone beträgt 250 Quadratmeter. dm. und das Verhältnis zweier ähnlicher Seiten = ¾. Berechnen Sie die Fläche von jedem von ihnen.

3. Zeigen Sie, dass, wenn ein regelmäßiges Polygon mit ungerader Seitenzahl in einen Kreis einbeschrieben wird und an seinen Ecken Tangenten an den Kreis konstruiert werden, das umschriebene Polygon erhalten wird, das ähnlich wie das einbeschriebene liegt - der Mittelpunkt des Kreises dient als ihr internes Ähnlichkeitszentrum.

4. Gegeben ein Dreieck; konstruieren Sie ein weiteres Dreieck, das ähnlich wie das erste liegt, so dass der Schwerpunkt des ersten als internes Ähnlichkeitszentrum dient und der Ähnlichkeitskoeffizient = ½ ist. Finden Sie damit heraus, wie die Höhenpunkte, der Schwerpunkt und der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises dieses Dreiecks liegen.

5. In dieses Dreieck ist ein Quadrat eingeschrieben.

Sei ABC das gegebene Dreieck (Kap. 253) und DEFK das gewünschte Quadrat. Konstruieren wir ein weiteres Quadrat MNPQ, so dass eine Seite von MQ auf der Seite AC des Dreiecks liegt und der Punkt N auf der Seite AB liegt. Es ist leicht zu sehen, dass das Quadrat MNPQ ähnlich angeordnet ist wie das gewünschte Quadrat DEFK und ihr äußeres Ähnlichkeitszentrum der Punkt A ist; daher liegt der Punkt F auf der Linie AP. Nachdem der Punkt F gefunden wurde, ist das gewünschte Quadrat einfach zu konstruieren.

6. Gegeben einen Winkel und einen Punkt darin. Finden Sie einen Punkt auf einer Seite eines Winkels, der von dem gegebenen Punkt und der anderen Seite gleich weit entfernt ist.

Das Problem wird auf die gleiche Weise gelöst.

7. Konstruieren Sie ein Dreieck entsprechend seiner Höhe.

Man erhält leicht, indem man die Seiten des Dreiecks durch a, b und c und die entsprechenden Höhen durch h a , h b und h c nennt, die folgende Beziehung:

ah a = bh b = ch c , woraus a: b = h b: h a und b: c = h c: h b = h a: (h b h a)/h c

Es ist einfach, eine Strecke x = (h b h a) / h c (x / h a = h b / h c - Konstruktion der 4. Proportionalität) zu konstruieren, danach konstruieren wir ein Dreieck mit den Seiten h b , h a und x. Dieses Dreieck ähnelt dem gewünschten, da a: h: c = h b: h a: x; es bleibt, ein ähnliches Dreieck wie das gerade konstruierte zu konstruieren, so dass eine seiner Höhen gleich der gegebenen ist.

KAPITEL VIII.

PROPORTIONALITÄT DER LINIEN. ÄHNLICHKEIT DER ZAHLEN.

§ 93. KONSTRUKTION ÄHNLICHER FIGUREN.

1. Konstruktion ähnlicher Dreiecke.

Wir wissen bereits, dass es zum Konstruieren eines Dreiecks, das dem gegebenen ähnlich ist, ausreicht, von einem Punkt auf der Seite des Dreiecks aus eine Linie parallel zur Seite des Dreiecks zu ziehen. Wir erhalten ein ähnliches Dreieck wie dieses (Abb. 382):

/\ DIA /\ A"C"B"

2. Konstruktion ähnlicher Polygone.

Um ein dem gegebenen ähnliches Vieleck zu konstruieren, können wir wie folgt vorgehen: Wir teilen das gegebene Vieleck in Dreiecke durch Diagonalen, die von einem seiner Eckpunkte gezogen werden (Abb. 383). Auf einer Seite des gegebenen Polygons ABCDE, zum Beispiel auf der Seite AE, nehmen wir einen Punkt E" und zeichnen eine Linie parallel zur Seite ED, bis sie die Diagonale AD schneidet, zum Beispiel am Punkt D".

Ziehen Sie vom Punkt D" eine Linie parallel zur Seite DC, bis sie die Diagonale AC am Punkt C" schneidet. Ziehen Sie vom Punkt C" eine Linie parallel zur Seite CB, bis sie die Seite AB am Punkt B" schneidet. Das resultierende Polygon AB"C"D"E" ähnelt dem gegebenen Polygon ABCDE.

Die Gültigkeit dieser Aussage wird unabhängig bewiesen.

Wenn es erforderlich ist, ein dem gegebenen ähnliches Polygon mit dem angegebenen Ähnlichkeitskoeffizienten zu bauen, wird der Startpunkt E" auf der Seite AE ​​bzw. ihrer Fortsetzung gemäß dem angegebenen Ähnlichkeitskoeffizienten genommen.

3. Aufnahme eines Plans des Grundstücks.

a) Das Schießen des Plans erfolgt mit einem speziellen Gerät namens Becherglas(Entw. 384).

Die Menzula ist ein quadratisches Brett, das auf einem Dreibein platziert ist. Beim Zeichnen eines Plans wird die Tafel in eine horizontale Position gebracht, die mit einer Wasserwaage überprüft wird. Um gerade Linien in die gewünschte Richtung zu ziehen, wird eine mit Dioptrien ausgestattete Alhidade verwendet. Jede Dioptrie hat einen Schlitz, in dem das Haar gespannt wird, wodurch Sie die Alhidade genau in die richtige Richtung lenken können. An der Waage ist mit Knöpfen ein weißes Blatt Papier befestigt, auf dem der Plan gezeichnet wird.

Um den Plan aus dem Grundstück ABCDE zu entfernen, wird ein Punkt O innerhalb des Grundstücks gewählt, so dass alle Spitzen des Grundstücks von ihm aus sichtbar sind (Abb. 385).

Mit Hilfe einer Gabel mit Lot (Abb. 386) wird die Skala so eingestellt, dass der auf einem Blatt Papier markierte Punkt O auf den auf der Baustelle gewählten Punkt O fällt.

Dann werden von Punkt O auf einem Blatt Papier, das am Becher befestigt ist, Strahlen mit einer Alhidade in Richtung zu den Punkten A, B, C, D und E gezogen; Entfernungen messen
OA, OB, OS, OD und OE und legen diese Strahlen in den akzeptierten Skalensegmenten an
OA", OB", OS, OD" und OE".

Die Punkte A, B, C, D und E sind verbunden. Es stellt sich das Polygon A "B" C "D" E heraus, das ein Plan des gegebenen Grundstücks im akzeptierten Maßstab ist.

Die von uns beschriebene Methode des Scale-Shootings heißt Polar.

Es gibt andere Möglichkeiten, ein Flugzeug mit einer Waage zu schießen, die Sie in speziellen Anleitungen für das Schießen mit Waage nachlesen können.

Auf jedem Plan ist normalerweise ein Maßstab angegeben, anhand dessen die wahren Abmessungen des entfernten Bereichs sowie seine Fläche ermittelt werden können.

Der Plan gibt auch die Richtung der Himmelsrichtungen an.

Praktische Arbeit.

a) Bauen Sie das einfachste maßstabsgetreue Modell in der Schulwerkstatt und verwenden Sie es, um einen Plan eines kleinen Grundstücks zu erstellen.

b) Die Vermessung des Grundstücksplans kann mit Hilfe eines Astrolabiums erfolgen.

Angenommen, es ist notwendig, den Plan des Grundstücks ABCDE zu entfernen. Nehmen wir einen der Scheitelpunkte des Abschnitts, zum Beispiel A, als Anfangspunkt und messen mit dem Astrolabium die Winkel am Scheitelpunkt A, d.h.
/ 1, / 2, / 3 (Entw. 387).

Dann messen wir mit einer Messkette die Abstände AE, AD, AC und AB. Abhängig von der Größe des Plots und der Größe des Blattes, auf dem der Plan angebracht wird, wird der Maßstab zum Zeichnen des Plans ausgewählt.

An Punkt A, der als Scheitelpunkt des Polygons genommen wird, bauen wir drei Winkel, jeweils gleich / 1, / 2 und / 3; dann auf der ausgewählten Skala an den Seiten dieser Ecken vom Punkt A "die Segmente A "E", A "D", A "C" und A "B" ablegen. Verbinden der Punkte A "und E", E "und D", D "und C, C" und B", B" und A", erhalten wir ein Polygon A"B"C"D"E", ähnlich dem Polygon ABCDE. Dies wird ein Plan von sein dieses Grundstück, gezeichnet im gewählten Maßstab.

Bei der Lösung vieler Konstruktionsprobleme wird die Ähnlichkeitsmethode verwendet, deren Kern wie folgt lautet: Zuerst wird eine Figur ähnlich der gegebenen konstruiert, dann wird diese Figur im erforderlichen Verhältnis erhöht (verringert) (d. H. Eine ähnliche Figur ist gebaut), die die Bedingung des Problems erfüllt.

Der Prozess des Lernens, wie man Ähnlichkeit zur Lösung von Konstruktionsproblemen anwendet, sollte in vier Phasen unterteilt werden: vorbereitend, einführend, fähigkeitsbildend, fähigkeitsverbessernd. Jede Stufe hat ihr eigenes didaktisches Ziel, das erreicht wird, wenn die Schüler speziell konzipierte Aufgaben lösen.

Das didaktische Ziel der Vorbereitungsphase ist es, die Fähigkeiten der Schüler zu formen: die Daten hervorzuheben, die die Form der Figur bestimmen, viele einander ähnliche Figurenpaare; Erstellen Sie eine Figur gemäß den Daten, die die Form definieren. Bewegen Sie sich von der konstruierten Figur zur gewünschten Figur.

Nachdem wir das erste Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken studiert haben, können wir den folgenden Satz vorschlagen Zuordnungen:

Konstruiere ein Dreieck mit zwei Ecken. Wie viele Lösungen hat das Problem? Welche Elemente bestimmen die Form der konstruierten Dreiecke?

Nennen Sie ähnliche Dreiecke in Abbildung 35.

Die folgenden Elemente eines Dreiecks sind bekannt: a) Winkel von 75 und 25; b) Höhe 1,5 cm; c) Winkel 75 und 25, Höhe 1,5 cm Welche dieser Daten bestimmen die einzige Figur in Abb. 35?

Welche Winkel bestimmen die Form der Dreiecke in Abbildung 35?

Wird es möglich sein, die Abmessungen eines der Dreiecke in Abb. 35 zu bestimmen, wenn folgende Daten bekannt werden: a) die Winkel an der Basis des Dreiecks; b) die Höhe des Dreiecks; c) Seite und Ecken an der Basis?

Sind die Dreiecke ABC und ABC in Abbildung 36 ähnlich, wenn ACAC? Wenn sie ähnlich sind, wie groß ist ihr Ähnlichkeitskoeffizient?

Die Aufgaben, die den Schülern nach dem Studium des 2. und 3. Zeichens der Ähnlichkeit von Dreiecken gestellt werden, werden auf ähnliche Weise zusammengestellt. Wenn Sie jedoch von diesem Merkmal zum nächsten wechseln, werden die Fragen etwas komplizierter, nämlich: Die Position der Dreiecke in den Figuren ändert sich, wenn Sie sich von der Standardposition entfernen, ändert sich die Menge des Elements, das die einzige Figur definiert. Aufgaben, könnte zum Beispiel sein:

1. Sind die Dreiecke ABC und ABC ähnlich, wenn:

a) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, B=60º;

b) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, H=30º;

c) AB = 3 cm, BC = 5 cm, CA = 7 cm, AB = 4,5 cm, BC = 7,5 cm, CA = 10,5 cm;

d) AB = 1,7 cm, BC = 3 cm, SA = 4,2 cm, AB = 34 cm, BC = 60 cm, SA = 84 cm.

2. In einem Dreieck ABC mit spitzem Winkel C werden die Höhen AE und BD eingezeichnet (Abb. 37). Beweisen Sie, dass ABC EDC ähnlich ist.

3. Beweisen Sie, dass die Umfänge ähnlicher Dreiecke wie die entsprechenden Seiten zusammenhängen.

Der didaktische Zweck der Einführungsphase besteht darin, den Studierenden die Struktur des Konstruktionsprozesses nach der Ähnlichkeitsmethode zu erklären.

Die Erklärung beginnt mit dem Problem.

Aufgabe. Konstruiere ein Dreieck aus zwei gegebenen Winkeln und einer Winkelhalbierenden der Länge d, die von der Spitze des dritten Winkels gezogen wird.

Der Lehrer analysiert die Aufgabe mit den Schülern und bietet Aufgaben an - Fragen, deren Antworten kurz an der Tafel festgehalten werden. Fragen könnten sein:

1. Welche Daten bestimmen die Form des gewünschten Dreiecks?

2. Welche Daten bestimmen die Abmessungen des gewünschten Dreiecks?

3. Wie viele Dreiecke kann man mit zwei Ecken bauen? Welche Konstruktionsform werden alle konstruierten Dreiecke haben?

4. Welches Segment sollte in einem Dreieck gezeichnet werden, das dem gewünschten ähnlich ist?

5. Wie baut man das benötigte Dreieck?

Antworten auf Fragen werden von einer Freihandzeichnung an der Tafel begleitet (Abb. 38).

a) ABC: A=, B=;

b) konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels C im Dreieck ABC,

c) Konstruiere СN=d, NCD;

d) zeichne eine gerade Linie durch die Punkte N, AB;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC - das gewünschte: A=, B= (da ABC ABC durch 1 Merkmal) und CN=d durch Konstruktion. Der didaktische Zweck der Stufe, der die Fähigkeit bildet, Probleme der betrachteten Art zu lösen, geht bereits aus ihrem Namen hervor. Die Haupttätigkeitsform in dieser Phase ist die individuelle Suche. Es endet mit einem zusammenfassenden Gespräch.

Hier sind einige Beispiele für Aufgaben, die in dieser Phase vorgeschlagen werden können.

Aufgabe. Innerhalb des Winkels AOB ist ein Punkt F. Konstruieren Sie einen Punkt M auf der Seite OA, gleich weit von F und von der Seite OB entfernt

Entscheidung.

1. Analyse. Wenden wir uns Abbildung 39 zu. Lassen Sie den Punkt M bauen, dann ist MF=MP. Das bedeutet, dass der gesuchte Punkt M der Mittelpunkt eines Kreises mit Radius MF ist, dessen Mittelpunkt M die Seite OB im Punkt P berührt.

Wenn wir einen beliebigen Punkt M auf OA nehmen und MP auf CB fallen lassen und F den Schnittpunkt des Kreises mit dem Mittelpunkt M mit dem Radius MP mit der Linie OF finden, dann ist MFP ähnlich wie MFP. Daraus folgt die erforderliche Konstruktion.

2. Konstruktion. Wir zeichnen OF, nehmen einen beliebigen Punkt M auf CA und senken MP auf CB. Wir zeichnen einen Kreis mit Radius MP, dessen Mittelpunkt der Punkt M ist. Sei F der Schnittpunkt dieses Kreises mit OF. Wir zeichnen FM und dann ziehen wir eine gerade Linie durch den Punkt FFM. Der Punkt M des Schnittpunkts dieser Linie mit OA ist der erforderliche.

3. Beweis. Das geht aus der durchgeführten Analyse hervor.

4. Forschung. Das Problem hat 2 Lösungen. Dies folgt aus der Tatsache, dass sich der Kreis mit OF an 2 Punkten schneidet.

Aufgabe. Konstruiere ein Dreieck mit 2 Ecken und einem Umfang.

Entscheidung.

1. Analyse. Seien und gegebene Winkel und P der Umfang des gewünschten Dreiecks (Abb. 40). Nehmen wir an, dass das gewünschte Dreieck aufgebaut ist. Wenn wir dann ein beliebiges ABC betrachten, das dem gewünschten ähnlich ist, ist das Verhältnis des Umfangs P ABC zum Umfang P ABC gleich dem Verhältnis der Seiten AC und AC.

2. Konstruktion. Lassen Sie uns ein ABC konstruieren, das dem gewünschten ähnlich ist. Legen Sie auf dem Strahl AB die Segmente AD=P und AD=P beiseite, verbinden Sie dann die Punkte D und C und ziehen Sie eine Linie DC durch den Punkt D. Sei C der Schnittpunkt der Geraden mit dem Strahl AC. Ziehe eine Linie CB durch Punkt C und bezeichne den Schnittpunkt dieser Linie mit AD, dann ist ABC die gesuchte.

3. Beweis. Offensichtlich ist ACD daher ähnlich wie ACD. Das Seitenverhältnis ist gleich dem Verhältnis der Umfänge ähnlicher ABC und ABC, daher ist der Umfang ABC \u003d P, daher ist ABC der gewünschte.

4. Forschung. Da die Summe von zwei beliebigen Winkeln eines Dreiecks<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Aufgabe. Gegeben sei AOB und Punkt M, der sich im inneren Bereich dieser Ecke befindet. Konstruieren Sie einen Kreis, der durch Punkt A verläuft und die Seiten des Winkels AOB berührt.

Entscheidung.

1. Analyse. Sei AOB gegeben und Punkt M, der sich im inneren Bereich der Ecke befindet (Abb. 41).

Lassen Sie uns einen weiteren Kreis zeichnen, der die Seiten von AOB berührt. Sei M der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden OM und betrachte OMN und OMN (N und N Mittelpunkte des Kreises und).

Diese Dreiecke sind in zwei Winkeln ähnlich, daher kann die Konstruktion des gewünschten Kreises wie folgt erfolgen:

2. Konstruktion. Da der Mittelpunkt des gewünschten Kreises auf der Winkelhalbierenden AOB liegt, zeichnen wir die Winkelhalbierende ein. Außerdem nehmen wir hier den Punkt N und konstruieren einen Kreis, dessen Zentrum N AOB berührt. Dann zeichnen wir die Linie SM und bezeichnen mit M den Schnittpunkt der Linie mit dem Kreis (es gibt zwei solche Punkte - M und M - wir nehmen einen davon). Wir zeichnen die Linie MN und ihre Linie durch den Punkt M. Dann ist N der Schnittpunkt der Linie mit der Winkelhalbierenden und der Mittelpunkt des gewünschten Kreises, und sein Radius ist gleich MN. Bringen wir sie durch.

3. Beweis. Konstruktionsbedingt ist der Kreis ähnlich, O ist das Ähnlichkeitszentrum. Dies folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke OMN und OMN. Da der Kreis die Seiten des Winkels berührt, berührt der Kreis daher auch die Seiten des Winkels.

4. Forschung. Das Problem hat zwei Lösungen, weil OM schneidet den Kreis an zwei Punkten M und M, von denen jeder seinem eigenen Kreis entspricht, der durch den Punkt M verläuft und die Seiten von AOB berührt.

Das didaktische Ziel der Stufe, die die Fähigkeit zur Lösung von Problemen der oben betrachteten Art verbessert, ist die Übertragung der gebildeten Fertigkeit auf komplexere Probleme, insbesondere auf die folgenden Situationen: Die gewünschte Figur nimmt eine bestimmte Position in Bezug auf vorgegebene Punkte ein oder Linien, während die Eliminierung einer der Bedingungen des Problems zu einem System ähnlicher oder homothetischer Figuren führt. Lassen Sie uns ein Beispiel für eine solche Aufgabe geben.

Aufgabe. Schreibe ein Quadrat in ein gegebenes Dreieck, so dass zwei seiner Eckpunkte auf einer Seite des Dreiecks liegen und die anderen zwei auf den anderen beiden Seiten liegen.

Aufgaben, die den Zielen dieser Stufe entsprechen, sind von den Pflichtaufgaben ausgeschlossen. Daher werden sie nur leistungsstarken Studierenden angeboten. In dieser Phase wird das Hauptaugenmerk auf die individuelle Suchaktivität der Studierenden gelegt.

In der Regel gelten zwei Dreiecke als ähnlich, wenn sie die gleiche Form haben, auch wenn sie unterschiedlich groß, gedreht oder sogar auf dem Kopf stehen.

Die in der Abbildung gezeigte mathematische Darstellung zweier ähnlicher Dreiecke A 1 B 1 C 1 und A 2 B 2 C 2 lautet wie folgt:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn:

1. Jeder Winkel eines Dreiecks ist gleich dem entsprechenden Winkel eines anderen Dreiecks:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 und ∠C1 = ∠C2

2. Die Seitenverhältnisse eines Dreiecks zu den entsprechenden Seiten eines anderen Dreiecks sind gleich:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Beziehungen zwei Seiten eines Dreiecks zu den entsprechenden Seiten eines anderen Dreiecks sind gleich und gleichzeitig
die Winkel zwischen diesen Seiten sind gleich:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ und $\angle A_1 = \angle A_2$
oder
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ und $\angle B_1 = \angle B_2$
oder
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ und $\angle C_1 = \angle C_2$

Ähnliche Dreiecke sollten nicht mit gleichen Dreiecken verwechselt werden. Kongruente Dreiecke haben entsprechende Seitenlängen. Also für gleiche Dreiecke:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Daraus folgt, dass alle gleichen Dreiecke ähnlich sind. Allerdings sind nicht alle ähnlichen Dreiecke gleich.

Obwohl die obige Notation zeigt, dass wir, um herauszufinden, ob zwei Dreiecke ähnlich sind oder nicht, die Werte der drei Winkel oder die Längen der drei Seiten jedes Dreiecks kennen müssen, um Probleme mit ähnlichen Dreiecken zu lösen Es reicht aus, für jedes Dreieck drei beliebige Werte von oben zu kennen. Diese Werte können in verschiedenen Kombinationen vorliegen:

1) drei Winkel jedes Dreiecks (die Seitenlängen der Dreiecke müssen nicht bekannt sein).

Oder mindestens 2 Winkel eines Dreiecks müssen gleich 2 Winkeln eines anderen Dreiecks sein.
Denn wenn 2 Winkel gleich sind, dann ist auch der dritte Winkel gleich (Der Wert des dritten Winkels ist 180 - Winkel1 - Winkel2).

2) die Seitenlängen jedes Dreiecks (die Winkel müssen nicht bekannt sein);

3) die Längen der beiden Seiten und der Winkel zwischen ihnen.

Als nächstes betrachten wir die Lösung einiger Probleme mit ähnlichen Dreiecken. Zuerst werden wir Probleme betrachten, die durch direkte Anwendung der obigen Regeln gelöst werden können, und dann werden wir einige praktische Probleme diskutieren, die mit der Methode der ähnlichen Dreiecke gelöst werden können.

Praktische Probleme mit ähnlichen Dreiecken

Beispiel 1: Zeigen Sie, dass die beiden Dreiecke in der Abbildung unten ähnlich sind.

Entscheidung:
Da die Seitenlängen beider Dreiecke bekannt sind, kann hier die zweite Regel angewendet werden:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Beispiel #2: Zeigen Sie, dass zwei gegebene Dreiecke ähnlich sind und bestimmen Sie die Seitenlängen PQ und PR.

Entscheidung:
∠A = ∠P und ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(weil ∠C = 180 - ∠A - ∠B und ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Daraus folgt, dass die Dreiecke ∆ABC und ∆PQR ähnlich sind. Somit:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ und
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 $

Beispiel #3: Bestimmen Sie die Länge AB in diesem Dreieck.

Entscheidung:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED und ∠A gemeinsame => Dreiecke ΔABC und ΔADE sind ähnlich.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Beispiel #4: Länge bestimmen AD(x) geometrische Figur in der Figur.

Die Dreiecke ∆ABC und ∆CDE sind ähnlich, weil AB || DE und sie haben eine gemeinsame obere Ecke C.
Wir sehen, dass ein Dreieck eine skalierte Version des anderen ist. Allerdings müssen wir es mathematisch beweisen.

AB || DE, CD || AC und BC || EU
∠BAC = ∠EDC und ∠ABC = ∠DEZ

Basierend auf dem Vorstehenden und unter Berücksichtigung des Vorhandenseins eines gemeinsamen Winkels C, können wir sagen, dass die Dreiecke ∆ABC und ∆CDE ähnlich sind.

Somit:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 $
x = Wechselstrom – Gleichstrom = 23,57 – 15 = 8,57

Praktische Beispiele

Beispiel #5: Die Fabrik verwendet ein geneigtes Förderband, um Produkte von Ebene 1 zu Ebene 2 zu transportieren, die sich 3 Meter über Ebene 1 befindet, wie in der Abbildung gezeigt. Der Schrägförderer wird von einem Ende zur Ebene 1 und vom anderen Ende zu einem Arbeitsplatz bedient, der 8 Meter von der Betriebsstelle der Ebene 1 entfernt ist.

Die Fabrik möchte das Förderband aufrüsten, um auf die neue Ebene zugreifen zu können, die 9 Meter über Ebene 1 liegt, während der Winkel des Förderbands beibehalten wird.

Bestimmen Sie die Entfernung, in der Sie eine neue Arbeitsstation einrichten müssen, um sicherzustellen, dass das Förderband an seinem neuen Ende auf Ebene 2 funktioniert. Berechnen Sie auch die zusätzliche Entfernung, die das Produkt beim Bewegen auf eine neue Ebene zurücklegt.

Entscheidung:

Lassen Sie uns zunächst jeden Schnittpunkt mit einem bestimmten Buchstaben beschriften, wie in der Abbildung gezeigt.

Basierend auf den obigen Überlegungen in den vorherigen Beispielen können wir schlussfolgern, dass die Dreiecke ∆ABC und ∆ADE ähnlich sind. Somit,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 Mio. $
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Daher muss der neue Punkt in einem Abstand von 16 Metern vom bestehenden Punkt installiert werden.

Und da die Struktur aus rechtwinkligen Dreiecken besteht, können wir die Produktfahrstrecke wie folgt berechnen:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 Mio. $

Ähnlich ist $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
Das ist die Strecke, die das Produkt in dem Moment zurücklegt, wenn es auf das vorhandene Niveau trifft.

y = AC – AE = 25,63 – 8,54 = 17,09 m
Dies ist die zusätzliche Strecke, die ein Produkt zurücklegen muss, um ein neues Level zu erreichen.

Beispiel #6: Steve möchte seinen Freund besuchen, der kürzlich in ein neues Haus gezogen ist. Die Straßenkarte, um zum Haus von Steve und seinem Freund zu gelangen, zusammen mit den Entfernungen, die Steve bekannt sind, ist in der Abbildung dargestellt. Hilf Steve, auf dem kürzesten Weg zum Haus seines Freundes zu gelangen.

Entscheidung:

Die Roadmap kann geometrisch in der folgenden Form dargestellt werden, wie in der Abbildung gezeigt.

Wir sehen, dass die Dreiecke ∆ABC und ∆CDE ähnlich sind, also:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

In der Aufgabenstellung heißt es:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km und DE = 5 km

Mit diesen Informationen können wir die folgenden Entfernungen berechnen:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve kann auf folgenden Wegen zum Haus seines Freundes gelangen:

A -> B -> C -> E -> G, die Gesamtstrecke beträgt 7,5 + 13,23 + 4,38 + 2,5 = 27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, die Gesamtstrecke beträgt 7,5 + 13,23 + 4,41 + 2,5 = 27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, die Gesamtstrecke beträgt 7,5 + 13,13 + 4,38 + 2,5 = 27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, die Gesamtstrecke beträgt 7,5 + 13,13 + 4,41 + 2,5 = 27,54 km

Daher ist Route Nr. 3 die kürzeste und kann Steve angeboten werden.

Beispiel 7:
Trisha möchte die Höhe des Hauses messen, hat aber nicht die richtigen Werkzeuge. Sie bemerkte, dass vor dem Haus ein Baum wuchs und beschloss, ihren Einfallsreichtum und ihr in der Schule erworbenes Wissen über Geometrie zu nutzen, um die Höhe des Gebäudes zu bestimmen. Sie maß die Entfernung vom Baum zum Haus, das Ergebnis war 30 m. Dann stellte sie sich vor den Baum und begann sich zurückzuziehen, bis die Oberkante des Gebäudes über der Baumkrone sichtbar war. Trisha markierte die Stelle und maß die Entfernung von ihr zum Baum. Dieser Abstand betrug 5 m.

Die Höhe des Baumes beträgt 2,8 m und die Höhe von Trishas Augen 1,6 m. Hilf Trisha, die Höhe des Gebäudes zu bestimmen.

Entscheidung:

Die geometrische Darstellung des Problems ist in der Abbildung dargestellt.

Zuerst nutzen wir die Ähnlichkeit der Dreiecke ∆ABC und ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Wir können dann die Ähnlichkeit der Dreiecke ∆ACB und ∆AFG oder ∆ADE und ∆AFG verwenden. Wählen wir die erste Option.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 Mio. $