In dieser Lektion werden wir die Arten der Symmetrie im Raum beschreiben und uns mit dem Konzept eines regelmäßigen Polyeders vertraut machen.

Wie in der Planimetrie werden wir im Raum die Symmetrie in Bezug auf einen Punkt und in Bezug auf eine Linie betrachten, aber zusätzlich wird eine Symmetrie in Bezug auf eine Ebene auftreten.

Definition.

Die Punkte A und heißen symmetrisch um den Punkt O (Symmetriezentrum), wenn O der Mittelpunkt der Strecke ist. Punkt O ist symmetrisch zu sich selbst.

Um einen bezüglich Punkt O symmetrischen Punkt für einen gegebenen Punkt A zu erhalten, müssen Sie eine gerade Linie durch die Punkte A und O ziehen, ein Segment gleich OA von Punkt O beiseite legen und den gewünschten Punkt erhalten ( Abbildung 1).

Reis. 1. Symmetrie um einen Punkt

In ähnlicher Weise sind die Punkte B und symmetrisch um den Punkt O, da O der Mittelpunkt des Segments ist.

Es ist also ein Gesetz gegeben, nach dem jeder Punkt der Ebene zu einem anderen Punkt der Ebene geht, und wir sagten, dass alle Abstände erhalten bleiben, dh .

Betrachten Sie die Symmetrie in Bezug auf eine Linie im Raum.

Um einen symmetrischen Punkt für einen bestimmten Punkt A in Bezug auf eine gerade Linie a zu erhalten, müssen Sie die Senkrechte von Punkt A auf die gerade Linie senken und ein gleiches Segment darauf setzen (Abbildung 2).

Reis. 2. Symmetrie in Bezug auf eine gerade Linie im Raum

Definition.

Die Punkte A und heißen symmetrisch zur Geraden a (Symmetrieachse), wenn die Gerade a durch die Mitte der Strecke geht und senkrecht dazu steht. Jeder Punkt der Linie ist symmetrisch zu sich selbst.

Definition.

Die Punkte A und heißen symmetrisch zur Ebene (Symmetrieebene), wenn die Ebene durch die Mitte der Strecke geht und senkrecht dazu steht. Jeder Punkt der Ebene ist symmetrisch zu sich selbst (Abbildung 3).

Reis. 3. Symmetrie in Bezug auf die Ebene

Einige geometrische Figuren können ein Symmetriezentrum, eine Symmetrieachse, eine Symmetrieebene haben.

Definition.

Punkt O wird Symmetriezentrum einer Figur genannt, wenn jeder Punkt der Figur in Bezug auf ihn zu einem Punkt derselben Figur symmetrisch ist.

Beispielsweise ist in einem Parallelogramm und einem Parallelepiped der Schnittpunkt aller Diagonalen das Symmetriezentrum. Lassen Sie uns für ein Parallelepiped veranschaulichen.

Reis. 4. Symmetriezentrum des Parallelepipeds

Also mit Symmetrie um den Punkt O im Parallelepiped Punkt A geht zu Punkt , Punkt B geht zu Punkt usw., also geht die Box in sich selbst über.

Definition.

Eine gerade Linie heißt Symmetrieachse einer Figur, wenn jeder Punkt der Figur symmetrisch zu einem Punkt derselben Figur ist.

Beispielsweise ist jede Diagonale einer Raute eine Symmetrieachse für sie, eine Raute verwandelt sich in sich selbst, wenn sie zu einer der Diagonalen symmetrisch ist.

Betrachten Sie ein Beispiel im Weltraum - ein rechteckiges Parallelepiped (Seitenkanten sind senkrecht zu den Basen, gleiche Rechtecke an den Basen). Ein solches Parallelepiped hat Symmetrieachsen. Einer von ihnen verläuft durch das Symmetriezentrum des Parallelepipeds (den Schnittpunkt der Diagonalen) und die Zentren der oberen und unteren Basis.

Definition.

Eine Ebene heißt Symmetrieebene einer Figur, wenn jeder Punkt der Figur symmetrisch zu einem Punkt derselben Figur ist.

Beispielsweise hat ein Quader Symmetrieebenen. Einer von ihnen verläuft durch die Mitte der gegenüberliegenden Kanten der oberen und unteren Basis (Abbildung 5).

Reis. 5. Symmetrieebene eines rechteckigen Parallelepipeds

Elemente der Symmetrie sind regelmäßigen Polyedern inhärent.

Definition.

Ein konvexes Polyeder heißt regulär, wenn alle seine Flächen gleich regelmäßige Polygone sind und an jedem Scheitelpunkt die gleiche Anzahl von Kanten zusammenläuft.

Satz.

Es gibt kein reguläres Polyeder, dessen Flächen reguläre n-Ecke für sind.

Nachweisen:

Betrachten Sie den Fall, wenn ein regelmäßiges Sechseck ist. Alle seine Innenwinkel sind gleich:

Dann werden die Innenwinkel größer.

An jeder Ecke des Polyeders laufen mindestens drei Kanten zusammen, was bedeutet, dass jede Ecke mindestens drei flache Winkel enthält. Ihre Gesamtsumme (unter der Annahme, dass jede größer oder gleich ist) ist größer als oder gleich . Dies widerspricht der Aussage: In einem konvexen Polyeder ist die Summe aller ebenen Winkel an jeder Ecke kleiner als .

Der Satz ist bewiesen.

Würfel (Abbildung 6):

Reis. 6. Würfel

Der Würfel besteht aus sechs Quadraten; ein Quadrat ist ein regelmäßiges Vieleck;

Jeder Scheitelpunkt ist ein Scheitelpunkt von drei Quadraten, zum Beispiel ist der Scheitelpunkt A den quadratischen Flächen ABCD gemeinsam, ;

Die Summe aller ebenen Winkel an jeder Ecke ist , da sie aus drei rechten Winkeln besteht. Das ist weniger als , was den Begriff eines regelmäßigen Polyeders erfüllt;

Der Würfel hat ein Symmetriezentrum - den Schnittpunkt der Diagonalen;

Der Würfel hat Symmetrieachsen, zum Beispiel die geraden Linien a und b (Abbildung 6), wobei die gerade Linie a durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen und b durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten verläuft;

Ein Würfel hat Symmetrieebenen, z. B. eine Ebene, die durch die Linien a und b verläuft.

2. Regelmäßiges Tetraeder (regelmäßige dreieckige Pyramide, deren Kanten alle gleich sind):

Reis. 7. Regelmäßiges Tetraeder

Ein regelmäßiges Tetraeder besteht aus vier gleichseitigen Dreiecken;

Die Summe aller ebenen Winkel an jeder Ecke ist, da ein regelmäßiges Tetraeder aus drei ebenen Winkeln in besteht. Das ist weniger als , was den Begriff eines regelmäßigen Polyeders erfüllt;

Ein regelmäßiger Tetraeder hat Symmetrieachsen, sie gehen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten, zB Gerade MN. Außerdem ist MN der Abstand zwischen den sich kreuzenden Linien AB und CD, MN steht senkrecht auf den Kanten AB und CD;

Ein regelmäßiges Tetraeder hat Symmetrieebenen, die jeweils durch eine Kante und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Kante verlaufen (Abbildung 7);

Ein regelmäßiges Tetraeder hat kein Symmetriezentrum.

3. Regelmäßiges Oktaeder:

Besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken;

An jedem Scheitelpunkt laufen vier Kanten zusammen;

Die Summe aller ebenen Winkel an jeder Ecke ist, da ein regelmäßiges Oktaeder aus vier ebenen Winkeln besteht. Dies ist kleiner als , was das Konzept eines regulären Polyeders erfüllt.

4. Regelmäßiges Ikosaeder:

Besteht aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken;

An jedem Scheitelpunkt laufen fünf Kanten zusammen;

Die Summe aller ebenen Winkel an jedem Scheitelpunkt ist, da ein regelmäßiges Ikosaeder aus fünf ebenen Winkeln besteht. Dies ist kleiner als , was das Konzept eines regulären Polyeders erfüllt.

5. Regelmäßiges Dodekaeder:

Besteht aus zwölf regelmäßigen Fünfecken;

An jedem Scheitelpunkt laufen drei Kanten zusammen;

Die Summe aller Ebenenwinkel an jedem Scheitelpunkt ist . Dies ist kleiner als , was das Konzept eines regulären Polyeders erfüllt.

Also haben wir die Arten der Symmetrie im Raum betrachtet und strenge Definitionen gegeben. Wir haben auch das Konzept eines regulären Polyeders definiert und Beispiele für solche Polyeder und ihre Eigenschaften betrachtet.

Referenzliste

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Hausaufgaben

1. Geben Sie die Anzahl der Symmetrieachsen des Quaders an;
2. Geben Sie die Anzahl der Symmetrieachsen eines regelmäßigen fünfeckigen Prismas an.
3. geben Sie die Anzahl der Symmetrieebenen des Oktaeders an;
4. Baue eine Pyramide, die alle Elemente der Symmetrie enthält.

- (Definition) ein geometrischer Körper, der allseitig von flachen Polygonen begrenzt wird - Gesichter.

Beispiele für Polyeder:

Die Seiten der Flächen werden als Kanten bezeichnet, und die Enden der Kanten werden als Scheitelpunkte bezeichnet. Je nach Anzahl der Flächen werden 4-Eder, 5-Eder usw. unterschieden. Das Polyeder heißt konvex, wenn sich alles auf einer Seite der Ebene jeder seiner Flächen befindet. Das Polyeder heißt Korrekt, wenn seine Flächen regelmäßige Polygone sind (d. h. solche, bei denen alle Seiten und Winkel gleich sind) und alle Polyederwinkel an den Eckpunkten gleich sind. Es gibt fünf Arten regelmäßiger Polyeder: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder.

Polyeder im dreidimensionalen Raum (das Konzept eines Polyeders) - eine Sammlung einer endlichen Anzahl flacher Polygone, so dass

1) jede Seite der einen ist gleichzeitig eine Seite der anderen (aber nur eine), die als benachbart zur ersten (auf dieser Seite) bezeichnet wird;

2) Von jedem der Polyeder, aus denen das Polyeder besteht, kann man jedes erreichen, indem man zu dem angrenzenden übergeht und von diesem wiederum zu dem angrenzenden usw.

Diese Polygone werden aufgerufen Gesichter, ihre Seiten Rippen, und ihre Ecken sind Spitzen Polyeder.

Ecken des Polyeders

Kanten von Polyedern

Facetten eines Polyeders

Ein Polyeder heißt konvex, wenn es auf einer Seite der Ebene einer seiner Flächen liegt.

Aus dieser Definition folgt, dass alle Flächen eines konvexen Polyeders flache konvexe Polygone sind. Die Oberfläche eines konvexen Polyeders besteht aus Flächen, die in verschiedenen Ebenen liegen. In diesem Fall sind die Kanten des Polyeders die Seiten der Polygone, die Eckpunkte des Polyeders sind die Eckpunkte der Flächen, die flachen Ecken des Polyeders sind die Ecken der Polygone - Flächen.

Ein konvexes Polyeder, dessen Ecken alle in zwei parallelen Ebenen liegen, heißt prismatisch. Ein Prisma, eine Pyramide und ein Pyramidenstumpf sind Sonderfälle eines Prismatoids. Alle Seitenflächen eines Prismas sind Dreiecke oder Vierecke, und die viereckigen Flächen sind Trapeze oder Parallelogramme.

Polyeder nehmen nicht nur in der Geometrie einen herausragenden Platz ein, sondern kommen auch im täglichen Leben eines jeden Menschen vor. Ganz zu schweigen von künstlich hergestellten Haushaltsgegenständen in Form verschiedener Polygone, beginnend mit einer Streichholzschachtel und endend mit architektonischen Elementen, Kristallen in Form eines Würfels (Salz), Prisma (Kristall), Pyramide (Scheelit), Oktaeder (Diamant), usw. d.

Das Konzept eines Polyeders, Arten von Polyedern in der Geometrie

Die Geometrie als Wissenschaft enthält einen Teil der Stereometrie, der die Eigenschaften und Eigenschaften dreidimensionaler Körper untersucht, deren Seiten im dreidimensionalen Raum durch begrenzte Ebenen (Flächen) gebildet werden, die als "Polyeder" bezeichnet werden. Arten von Polyedern umfassen mehr als ein Dutzend Vertreter, die sich in Anzahl und Form der Flächen unterscheiden.

Alle Polyeder haben jedoch gemeinsame Eigenschaften:

1. Alle von ihnen haben 3 integrale Komponenten: eine Fläche (die Oberfläche eines Polygons), einen Scheitelpunkt (die Ecken, die an der Verbindungsstelle der Flächen gebildet werden), eine Kante (die Seite der Figur oder ein Segment, das an der Verbindungsstelle zweier Flächen gebildet wird). ).
2. Jede Polygonkante verbindet zwei, und nur zwei, Flächen, die aneinander angrenzen.
3. Konvexität bedeutet, dass sich der Körper vollständig nur auf einer Seite der Ebene befindet, auf der eine der Flächen liegt. Die Regel gilt für alle Flächen des Polyeders. Solche geometrischen Figuren in der Stereometrie werden konvexe Polyeder genannt. Die Ausnahme bilden sternförmige Polyeder, die Ableitungen regelmäßiger polyedrischer geometrischer Körper sind.

Polyeder können unterteilt werden in:

1. Arten von konvexen Polyedern, bestehend aus den folgenden Klassen: gewöhnlich oder klassisch (Prisma, Pyramide, Parallelepiped), regelmäßig (auch platonische Körper genannt), halb regelmäßig (zweiter Name - archimedische Körper).
2. Nicht konvexe Polyeder (sternförmig).

Prisma und seine Eigenschaften

Die Stereometrie als Zweig der Geometrie untersucht die Eigenschaften dreidimensionaler Figuren, Arten von Polyedern (ein Prisma ist einer davon). Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der notwendigerweise zwei absolut identische Flächen (sie werden auch Basen genannt) hat, die in parallelen Ebenen liegen, und die n-te Anzahl von Seitenflächen in Form von Parallelogrammen. Das Prisma hat wiederum mehrere Varianten, darunter solche Arten von Polyedern wie:

1. Ein Parallelepiped wird gebildet, wenn die Basis ein Parallelogramm ist - ein Polygon mit 2 Paaren gleicher gegenüberliegender Winkel und 2 Paaren kongruenter gegenüberliegender Seiten.
2. hat Rippen senkrecht zur Basis.
3. gekennzeichnet durch das Vorhandensein von nicht rechten Winkeln (anders als 90) zwischen den Flächen und der Basis.
4. Ein regelmäßiges Prisma ist durch Grundflächen in Form gleicher Seitenflächen gekennzeichnet.

Die Haupteigenschaften eines Prismas:

• Kongruente Basen.
• Alle Kanten des Prismas sind gleich und parallel zueinander.
• Alle Seitenflächen sind parallelogrammförmig.

Pyramide

Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper, der aus einer Basis und der n-ten Anzahl dreieckiger Flächen besteht, die an einem Punkt verbunden sind - dem Scheitelpunkt. Es sollte beachtet werden, dass, wenn die Seitenflächen der Pyramide notwendigerweise durch Dreiecke dargestellt werden, die Basis entweder ein dreieckiges Polygon oder ein Viereck und ein Fünfeck und so weiter bis ins Unendliche sein kann. In diesem Fall entspricht der Name der Pyramide dem Polygon an der Basis. Wenn sich beispielsweise an der Basis der Pyramide ein Dreieck befindet - dies ist ein Viereck - viereckig usw.

Pyramiden sind kegelförmige Polyeder. Zu den Polyedertypen dieser Gruppe gehören neben den oben aufgeführten auch die folgenden Vertreter:

1. hat ein regelmäßiges Polygon an der Basis, und seine Höhe wird auf die Mitte eines Kreises projiziert, der in die Basis eingeschrieben oder um sie herum beschrieben ist.
2. Eine rechteckige Pyramide entsteht, wenn eine der Seitenkanten die Grundfläche im rechten Winkel schneidet. In diesem Fall ist es auch fair, diese Kante als Höhe der Pyramide zu bezeichnen.

Pyramideneigenschaften:

• Wenn alle Seitenkanten der Pyramide kongruent (gleich hoch) sind, schneiden sie sich alle im gleichen Winkel mit der Basis, und um die Basis herum können Sie einen Kreis zeichnen, dessen Mittelpunkt mit der Projektion der Spitze der Pyramide zusammenfällt .
• Liegt am Fuß der Pyramide ein regelmäßiges Vieleck, so sind alle Seitenkanten deckungsgleich und die Flächen gleichschenklige Dreiecke.

Regelmäßiges Polyeder: Arten und Eigenschaften von Polyedern

In der Stereometrie nehmen geometrische Körper mit absolut gleichen Flächen einen besonderen Platz ein, an deren Scheitelpunkten die gleiche Anzahl von Kanten verbunden ist. Diese Körper nennt man platonische Körper oder regelmäßige Polyeder. Arten von Polyedern mit solchen Eigenschaften haben nur fünf Figuren:

1. Tetraeder.
2. Hexaeder.
3. Oktaeder.
4. Dodekaeder.
5. Ikosaeder.

Regelmäßige Polyeder verdanken ihren Namen dem antiken griechischen Philosophen Platon, der diese geometrischen Körper in seinen Schriften beschrieb und sie mit den natürlichen Elementen Erde, Wasser, Feuer, Luft in Verbindung brachte. Der fünften Figur wurde die Ähnlichkeit mit dem Aufbau des Universums zugesprochen. Seiner Meinung nach ähneln die Atome natürlicher Elemente in ihrer Form den Typen regelmäßiger Polyeder. Aufgrund ihrer faszinierendsten Eigenschaft, der Symmetrie, waren diese geometrischen Körper nicht nur für Mathematiker und Philosophen der Antike, sondern auch für Architekten, Künstler und Bildhauer aller Zeiten von großem Interesse. Das Vorhandensein von nur 5 Arten von Polyedern mit absoluter Symmetrie galt als grundlegende Entdeckung, ihnen wurde sogar eine Verbindung mit dem göttlichen Prinzip zugesprochen.

Hexaeder und seine Eigenschaften

In Form eines Sechsecks nahmen die Nachfolger Platons eine Ähnlichkeit mit der Struktur der Atome der Erde an. Natürlich ist diese Hypothese derzeit vollständig widerlegt, was jedoch nicht verhindert, dass die Figuren mit ihrer Ästhetik in der Neuzeit die Köpfe berühmter Persönlichkeiten anziehen.

In der Geometrie gilt der Hexaeder, auch Würfel genannt, als Sonderfall eines Quaders, der wiederum eine Art Prisma ist. Dementsprechend sind die Eigenschaften des Würfels mit dem einzigen Unterschied verbunden, dass alle Flächen und Ecken des Würfels einander gleich sind. Daraus folgen folgende Eigenschaften:

1. Alle Kanten eines Würfels sind deckungsgleich und liegen in parallelen Ebenen zueinander.
2. Alle Flächen sind kongruente Quadrate (es gibt insgesamt 6 in einem Würfel), von denen jede als Basis genommen werden kann.
3. Alle Interhedralenwinkel sind 90.
4. Von jeder Ecke kommt gleich viele Kanten, nämlich 3.
5. Der Würfel hat 9, die sich alle im Schnittpunkt der Diagonalen des Hexaeders schneiden, dem sogenannten Symmetriezentrum.

Tetraeder

Ein Tetraeder ist ein Tetraeder mit gleichen Flächen in Form von Dreiecken, deren Ecken jeweils ein Verbindungspunkt von drei Flächen sind.

Eigenschaften eines regelmäßigen Tetraeders:

1. Alle Flächen eines Tetraeders - woraus folgt, dass alle Flächen eines Tetraeders kongruent sind.
2. Da die Basis durch eine regelmäßige geometrische Figur dargestellt wird, dh sie hat gleiche Seiten, konvergieren die Flächen des Tetraeders im gleichen Winkel, dh alle Winkel sind gleich.
3. Die Summe der flachen Winkel an jedem der Eckpunkte ist 180, da alle Winkel gleich sind, dann ist jeder Winkel eines regelmäßigen Tetraeders 60.
4. Jeder Scheitelpunkt wird auf den Schnittpunkt der Höhen der gegenüberliegenden (orthozentrischen) Fläche projiziert.

Oktaeder und seine Eigenschaften

Bei der Beschreibung der Arten regelmäßiger Polyeder ist ein Objekt wie ein Oktaeder nicht zu übersehen, das visuell als zwei viereckige regelmäßige Pyramiden dargestellt werden kann, die mit Basen zusammengeklebt sind.

Eigenschaften des Oktaeders:

1. Schon der Name eines geometrischen Körpers deutet auf die Anzahl seiner Flächen hin. Das Oktaeder besteht aus 8 kongruenten gleichseitigen Dreiecken, in deren Ecken jeweils gleich viele Flächen zusammenlaufen, nämlich 4.
2. Da alle Flächen eines Oktaeders gleich sind, sind es auch seine Grenzflächenwinkel, von denen jeder gleich 60 ist, und die Summe der Ebenenwinkel aller Eckpunkte ist somit 240.

Dodekaeder

Wenn wir uns vorstellen, dass alle Flächen eines geometrischen Körpers ein regelmäßiges Fünfeck sind, erhalten wir ein Dodekaeder - eine Figur aus 12 Polygonen.

Eigenschaften des Dodekaeders:

1. An jedem Scheitelpunkt schneiden sich drei Flächen.
2. Alle Flächen sind gleich und haben die gleiche Kantenlänge und den gleichen Flächeninhalt.
3. Das Dodekaeder hat 15 Symmetrieachsen und -ebenen, und jede von ihnen verläuft durch den Scheitelpunkt der Fläche und die Mitte der gegenüberliegenden Kante.

Ikosaeder

Nicht weniger interessant als das Dodekaeder ist das Ikosaeder ein dreidimensionaler geometrischer Körper mit 20 gleichen Flächen. Unter den Eigenschaften eines regelmäßigen Zwanzigeders kann Folgendes festgestellt werden:

1. Alle Flächen des Ikosaeders sind gleichschenklige Dreiecke.
2. An jedem Scheitelpunkt des Polyeders laufen fünf Flächen zusammen, und die Summe der angrenzenden Winkel des Scheitelpunkts beträgt 300.
3. Das Ikosaeder hat wie das Dodekaeder 15 Achsen und Symmetrieebenen, die durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen verlaufen.

Halbregelmäßige Polygone

Zur Gruppe der konvexen Polyeder gehören neben den platonischen Körpern auch die archimedischen Körper, bei denen es sich um abgestumpfte regelmäßige Polyeder handelt. Die Polyederarten dieser Gruppe haben folgende Eigenschaften:

1. Geometrische Körper haben paarweise gleiche Flächen verschiedener Typen, zum Beispiel hat ein abgeschnittenes Tetraeder 8 Flächen, genau wie ein reguläres Tetraeder, aber im Fall eines archimedischen Festkörpers sind 4 Flächen dreieckig und 4 sechseckig.
2. Alle Winkel einer Ecke sind kongruent.

Sternpolyeder

Vertreter nichtvolumetrischer Arten geometrischer Körper sind sternförmige Polyeder, deren Flächen sich schneiden. Sie können durch Verschmelzen zweier regelmäßiger dreidimensionaler Körper oder durch Fortsetzen ihrer Flächen gebildet werden.

Daher sind solche Sternpolyeder bekannt als: Sternformen des Oktaeders, Dodekaeders, Ikosaeders, Kuboktaeders, Ikosidodekaeders.

Es gibt spezielle Themen in der Schulgeometrie, auf die man sich freut und eine Begegnung mit unglaublich schönem Material vorwegnimmt. Zu diesen Themen gehören "Reguläre Polyeder".Hier eröffnet sich nicht nur die wunderbare Welt geometrischer Körper mit einzigartigen Eigenschaften, sondern auch interessante wissenschaftliche Hypothesen. Und dann wird der Geometrieunterricht zu einer Art Studium unerwarteter Aspekte des üblichen Schulfachs.

Keiner der geometrischen Körper besitzt eine solche Perfektion und Schönheit wie regelmäßige Polyeder. "Reguläre Polyeder sind trotzig wenige", schrieb L. Carroll einmal, "aber diese Distanz, die zahlenmäßig sehr bescheiden ist, hat es geschafft, in die Tiefen verschiedener Wissenschaften vorzudringen."

Was ist diese trotzig kleine Zahl und warum gibt es so viele von ihnen. Und wie viel? Es stellt sich heraus, dass genau fünf - nicht mehr und nicht weniger. Dies kann durch Auffalten eines konvexen Polyederwinkels bestätigt werden. Um ein reguläres Polyeder gemäß seiner Definition zu erhalten, muss in der Tat die gleiche Anzahl von Flächen an jedem Scheitelpunkt zusammenlaufen, von denen jede ein regelmäßiges Polygon ist. Die Summe der ebenen Winkel eines Polyederwinkels muss kleiner als 360° sein, sonst entsteht keine Polyederfläche. Mögliche ganzzahlige Lösungen von Ungleichungen durchgehen: 60k< 360, 90к < 360 и 108к < 360, можно доказать, что правильных многогранников ровно пять (к - число плоских углов, сходящихся в одной вершине многогранника), рис.1.

Die Namen regelmäßiger Polyeder stammen aus Griechenland. In wörtlicher Übersetzung aus dem Griechischen bedeuten „Tetraeder“, „Oktaeder“, „Hexaeder“, „Dodekaeder“, „Ikosaeder“: „Tetraeder“, „Oktaeder“, „Hexaeder“. Dodekaeder, Dodekaeder. Das 13. Buch von Euklids Elementen ist diesen wunderschönen Körpern gewidmet. Sie werden auch die Körper von Plato genannt, weil. sie nahmen einen wichtigen Platz in Platons philosophischem Konzept der Struktur des Universums ein. Vier Polyeder verkörpern darin vier Essenzen oder "Elemente". Das Tetraeder symbolisierte Feuer, weil. seine Spitze ist nach oben gerichtet; Ikosaeder - Wasser, weil er ist der "stromlinienförmigste"; würfel - Erde als "stetigste"; Oktaeder - Luft, als die "luftigste". Das fünfte Polyeder, das Dodekaeder, verkörperte „alles, was existiert“, symbolisierte das gesamte Universum und galt als das wichtigste.

Die alten Griechen betrachteten harmonische Beziehungen als die Grundlage des Universums, daher waren ihre vier Elemente durch ein solches Verhältnis verbunden: Erde/Wasser=Luft/Feuer. Die Atome der „Elemente“ wurden von Plato in perfekte Konsonanzen gestimmt, wie die vier Saiten einer Leier. Ich möchte Sie daran erinnern, dass eine angenehme Konsonanz Konsonanz genannt wird. Es muss gesagt werden, dass die besonderen musikalischen Beziehungen in den platonischen Körpern rein spekulativ sind und keine geometrische Grundlage haben. Weder die Anzahl der Ecken der platonischen Körper, noch die Volumina regelmäßiger Polyeder, noch die Anzahl der Kanten oder Flächen sind durch diese Beziehungen verbunden.

Im Zusammenhang mit diesen Körpern wäre es angebracht zu sagen, dass das erste System der Elemente, das die vier Elemente Erde, Wasser, Luft und Feuer umfasste, von Aristoteles kanonisiert wurde. Diese Elemente blieben viele Jahrhunderte lang die vier Eckpfeiler des Universums. Es ist durchaus möglich, sie mit den vier uns bekannten Aggregatzuständen fest, flüssig, gasförmig und Plasma zu identifizieren.

Einen wichtigen Platz nahmen regelmäßige Polyeder im System der harmonischen Struktur der Welt von I. Kepler ein. Dennoch führte der Glaube an Harmonie, Schönheit und die mathematisch regelmäßige Struktur des Universums I. Kepler zu der Idee, dass, da es fünf regelmäßige Polyeder gibt, ihnen nur sechs Planeten entsprechen. Seiner Meinung nach sind die Sphären der Planeten durch die ihnen eingeschriebenen platonischen Körper miteinander verbunden. Da bei jedem regelmäßigen Polyeder die Mittelpunkte der einbeschriebenen und umschriebenen Sphären zusammenfallen, wird das gesamte Modell einen einzigen Mittelpunkt haben, in dem sich die Sonne befinden wird.

Nach einer enormen Rechenarbeit veröffentlichte I. Kepler 1596 die Ergebnisse seiner Entdeckung in dem Buch "Das Geheimnis des Universums". Er schreibt einen Würfel in die Sphäre der Saturnbahn, in einen Würfel - die Sphäre des Jupiters, in die Sphäre des Jupiters - ein Tetraeder, und so weiter, und fügte nacheinander die Sphäre des Mars ineinander - ein Dodekaeder, die Sphäre der Erde - ein Ikosaeder, die Kugel der Venus - ein Oktaeder, die Kugel des Merkur. Das Geheimnis des Universums scheint offen.

Heute kann man mit Sicherheit sagen, dass die Abstände zwischen den Planeten nicht mit irgendwelchen Polyedern zusammenhängen. Es ist jedoch möglich, dass es ohne die "Geheimnisse des Universums", "Harmonie der Welt" von I. Kepler, regelmäßige Polyeder nicht drei berühmte Gesetze von I. Kepler gegeben hätte, die eine wichtige Rolle bei der Beschreibung der Bewegung spielen der Planeten.

Wo sonst kann man diese erstaunlichen Körper sehen? In einem sehr schönen Buch des deutschen Biologen des Anfangs unseres Jahrhunderts, E. Haeckel, „Die Schönheit der Formen in der Natur“, kann man folgende Zeilen lesen: „Die Natur nährt in ihrem Schoß eine unerschöpfliche Menge erstaunlicher Geschöpfe alle Formen menschlicher Kunst an Schönheit und Vielfalt übertreffen." Die Kreationen der Natur in diesem Buch sind wunderschön und symmetrisch. Dies ist eine untrennbare Eigenschaft der natürlichen Harmonie. Aber hier können Sie auch einzellige Organismen sehen - Feodarii, deren Form das Ikosaeder genau wiedergibt. Was hat eine solche natürliche Geometrisierung verursacht? Vielleicht hat der Ikosaeder von allen Polyedern mit gleicher Flächenzahl das größte Volumen und die kleinste Oberfläche. Diese geometrische Eigenschaft hilft dem marinen Mikroorganismus, den Druck der Wassersäule zu überwinden.

Interessant ist auch, dass es der Ikosaeder war, der im Mittelpunkt der Aufmerksamkeit der Biologen bei ihren Auseinandersetzungen um die Form von Viren stand. Das Virus kann nicht perfekt rund sein, wie bisher angenommen. Um seine Form zu bestimmen, nahmen sie verschiedene Polyeder und richteten Licht in den gleichen Winkeln auf sie, wie die Atome zum Virus fließen. Es stellte sich heraus, dass nur ein Polyeder genau den gleichen Schatten gibt - das Ikosaeder. Seine oben erwähnten geometrischen Eigenschaften ermöglichen die Speicherung genetischer Informationen. Regelmäßige Polyeder sind die vorteilhaftesten Figuren. Und die Natur macht sich das zunutze. Die Kristalle einiger uns bekannter Substanzen haben die Form regelmäßiger Polyeder. So vermittelt der Würfel die Form von Natriumchloridkristallen NaCl, der Einkristall von Aluminium-Kaliumalaun (KAlSO4) 2 12H2O hat die Form eines Oktaeders, der Kristall von Pyritsulfid FeS hat die Form eines Dodekaeders, Antimonnatriumsulfat ist ein Tetraeder, Bor ist ein Ikosaeder. Regelmäßige Polyeder bestimmen die Form der Kristallgitter einiger Chemikalien. Ich werde diese Idee mit dem folgenden Problem veranschaulichen.

Aufgabe. Das Modell des Methanmoleküls CH4 hat die Form eines regelmäßigen Tetraeders mit Wasserstoffatomen an vier Ecken und einem Kohlenstoffatom in der Mitte. Bestimmen Sie den Bindungswinkel zwischen zwei CH-Bindungen.

Entscheidung. Da ein regelmäßiger Tetraeder sechs gleiche Kanten hat, ist es möglich, einen solchen Würfel so zu wählen, dass die Diagonalen seiner Flächen die Kanten eines regelmäßigen Tetraeders sind (Abb. 2). Der Mittelpunkt des Würfels ist auch der Mittelpunkt des Tetraeders, weil die vier Ecken des Tetraeders auch die Ecken des Würfels sind und die um sie herum beschriebene Kugel durch vier Punkte, die nicht in derselben Ebene liegen, eindeutig bestimmt ist. Der gewünschte Winkel j zwischen zwei CH-Bindungen ist gleich dem Winkel AOS. Das Dreieck AOC ist gleichschenklig. Wenn also a die Seite des Würfels ist, ist d die Länge der Diagonalen der Seitenfläche oder Kante des Tetraeders. Also, von wo \u003d 54,73561 O und j \u003d 109,47 O

Die Ideen von Pythagoras, Platon, I. Kepler über die Verbindung regelmäßiger Polyeder mit der harmonischen Struktur der Welt haben bereits in unserer Zeit ihre Fortsetzung in einer interessanten wissenschaftlichen Hypothese gefunden, deren Autoren (in den frühen 80er Jahren) Moskauer Ingenieure waren V. Makarov und V. Morozov. Sie glauben, dass der Kern der Erde die Form und die Eigenschaften eines wachsenden Kristalls hat, der die Entwicklung aller natürlichen Prozesse beeinflusst, die auf dem Planeten stattfinden. Die Strahlen dieses Kristalls, oder besser gesagt sein Kraftfeld, bestimmen die Ikosaeder-Dodekaeder-Struktur der Erde (Abb. 3), die sich darin äußert, dass in der Erdkruste Projektionen regelmäßiger Polyeder erscheinen, die in den Globus eingeschrieben sind: Ikosaeder und Dodekaeder. Ihre 62 Ecken und Mittelpunkte der Kanten, von den Autoren Knoten genannt, haben eine Reihe spezifischer Eigenschaften, die es ermöglichen, einige unverständliche Phänomene zu erklären.

Wenn Sie die Zentren der größten und bemerkenswertesten Kulturen und Zivilisationen der Antike auf den Globus legen, können Sie ein Muster in ihrer Position relativ zu den geografischen Polen und dem Äquator des Planeten erkennen. Viele Mineralvorkommen erstrecken sich entlang eines Ikosaeder-Dodekaeder-Gitters. Am Schnittpunkt dieser Rippen geschehen noch erstaunlichere Dinge: Hier befinden sich die Zentren der ältesten Kulturen und Zivilisationen: Peru, Nordmongolei, Haiti, die Ob-Kultur und andere. An diesen Punkten gibt es Maxima und Minima des atmosphärischen Drucks, riesige Wirbel des Weltozeans, hier das schottische Loch Ness, das Bermuda-Dreieck. Weitere Studien der Erde werden vielleicht die Einstellung zu dieser schönen wissenschaftlichen Hypothese bestimmen, in der anscheinend regelmäßige Polyeder einen wichtigen Platz einnehmen.

Es wurde also herausgefunden, dass es genau fünf reguläre Polyeder gibt. Und wie kann man die Anzahl der Kanten, Flächen und Eckpunkte in ihnen bestimmen? Dies ist für Polyeder mit einer kleinen Anzahl von Kanten nicht schwierig, aber wie erhält man solche Informationen beispielsweise für ein Ikosaeder? Der berühmte Mathematiker L. Euler hat die Formel В+Г-Р=2 erhalten, die die Anzahl der Ecken /В/, Flächen /Г/ und Kanten /Р/ eines beliebigen Polyeders verbindet. Die Einfachheit dieser Formel besteht darin, dass sie nichts mit Abstand oder Winkeln zu tun hat. Um die Anzahl der Kanten, Eckpunkte und Flächen eines regelmäßigen Polyeders zu bestimmen, finden wir zunächst die Zahl k \u003d 2y - xy + 2x, wobei x die Anzahl der Kanten ist, die zu einer Fläche gehören, y die Anzahl der konvergierenden Flächen an einem Scheitelpunkt. Um die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten eines regelmäßigen Polyeders zu finden, verwenden wir Formeln. Danach lässt sich leicht eine Tabelle ausfüllen, die Auskunft über die Elemente regulärer Polyeder gibt:

Polyeder H W R

Tetraeder 4-4-6

Hexaeder 6-8-12

Oktaeder 8-6-12

Dodekaeder 12-20-30

Ikosaeder 20-12-30

Und noch eine Frage stellt sich im Zusammenhang mit regulären Polyedern: Ist es möglich, den Raum mit ihnen so zu füllen, dass zwischen ihnen keine Lücken sind? Es entsteht in Analogie zu regelmäßigen Polygonen, von denen einige die Ebene ausfüllen können. Es stellt sich heraus, dass Sie den Raum nur mit Hilfe eines regelmäßigen Polyederwürfels füllen können. Der Raum kann auch mit rhombischen Dodekaedern gefüllt werden. Um dies zu verstehen, müssen Sie das Problem lösen.

Aufgabe. Bauen Sie mit Hilfe von sieben Würfeln, die ein räumliches "Kreuz" bilden, ein Rhombendodekaeder und zeigen Sie, dass sie den Raum füllen können.

Entscheidung. Würfel können den Raum füllen. Betrachten Sie einen Teil des in Abb.4 gezeigten kubischen Gitters. Wir lassen den mittleren Würfel unberührt und zeichnen in jedem der "begrenzenden" Würfel Ebenen durch alle sechs Paare gegenüberliegender Kanten. In diesem Fall werden die "umgebenden" Würfel in sechs gleiche Pyramiden mit quadratischen Grundflächen und Seitenkanten gleich der halben Diagonalen des Würfels geteilt. Die an den unberührten Würfel angrenzenden Pyramiden bilden zusammen mit diesem einen Rhombendodekaeder. Daraus ist ersichtlich, dass der ganze Raum mit Rhombendodekaedern ausgefüllt werden kann. Als Konsequenz erhalten wir, dass das Volumen eines rhombischen Dodekaeders gleich dem doppelten Volumen eines Würfels ist, dessen Kante mit der kleineren Diagonalen der Dodekaederfläche zusammenfällt.

Bei der Lösung des letzten Problems kamen wir zu rhombischen Dodekaedern. Interessanterweise sind auch die Bienenzellen, die den Raum ebenfalls lückenlos ausfüllen, ideal geometrische Formen. Der obere Teil der Bienenzelle ist Teil des Rhombendodekaeders.

Regelmäßige Polyeder enthüllten uns also die Versuche der Wissenschaftler, sich dem Geheimnis der Weltharmonie zu nähern, und zeigten die unwiderstehliche Anziehungskraft der Geometrie.

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BILDUNGSMINISTERIUM

SEKUNDÄRE BILDUNGSSCHULE №3

ESSAY

in Geometrie

Gegenstand:

"Polyeder".

Aufgeführt: Schülerin der 11-"b"-Klasse MOU-Sekundarschule Nr. 3 Alyabyeva Yulia. Geprüft: Lehrerin für Mathematik Sergeeva Lyubov Alekseevna.

Schelesnowodsk

Planen

I. Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Theoretischer Teil

Diederwinkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Trieder- und Polyederwinkel. . . . . . . . . . . . . . . . 4 Polyeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Das Bild eines Prismas und die Konstruktion seiner Schnitte. . . . . 7 direktes Prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . neun Parallelepiped. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . neun Zentralsymmetrie eines Parallelepipeds. . . . . . . . zehn Rechteckiges Parallelepiped. . . . . . . . . . . . . . . . . . elf

10. Symmetrie eines rechteckigen Parallelepipeds. . . . 12 11. Pyramide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dreizehn 12. Konstruktion einer Pyramide und ihrer ebenen Schnitte. . . . . . dreizehn 13. Pyramidenstumpf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fünfzehn 14. Richtige Pyramide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . fünfzehn 15. Regelmäßige Polyeder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sechszehn III. Praktischer Teil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IV. Fazit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .neunzehn V. Literatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I. Einleitung

Es gibt spezielle Themen in der Schulgeometrie, auf die man sich freut und eine Begegnung mit unglaublich schönem Material vorwegnimmt. Zu diesen Themen gehören "Polyeder". Hier eröffnet sich nicht nur die wunderbare Welt geometrischer Körper mit einzigartigen Eigenschaften, sondern auch interessante wissenschaftliche Hypothesen. Und dann wird der Geometrieunterricht zu einer Art Studium unerwarteter Aspekte des üblichen Schulfachs. Keiner der geometrischen Körper besitzt eine solche Perfektion und Schönheit wie Polyeder. "Es gibt trotzig wenige Polyeder", schrieb L. Carroll einmal, "aber diese zahlenmäßig sehr bescheidene Abteilung hat es geschafft, in die Tiefen verschiedener Wissenschaften vorzudringen."

II. Theoretischer Teil.

1. Diederwinkel Diederwinkel wird eine Figur genannt, die aus zwei "Halbebenen" besteht, die von einer gemeinsamen geraden Linie begrenzt werden (Abb. 1). Halbebenen werden genannt Gesichter, und die Linie, die sie begrenzt Kante Diederwinkel. Eine Ebene senkrecht zu einer Kante eines Diederwinkels schneidet seine Flächen entlang zweier Halblinien. Der Winkel, der durch diese Halblinien gebildet wird, wird genannt linear. Winkel Diederwinkel. Das Maß eines Flächenwinkels wird als Maß des entsprechenden linearen Winkels genommen. Alle linearen Winkel eines Diederwinkels werden durch Parallelverschiebung kombiniert, was bedeutet, dass sie gleich sind. Daher hängt das Maß eines Flächenwinkels nicht von der Wahl eines linearen Winkels ab. 2. Trieder- und Polyederwinkel Stellen Sie sich drei Balken vor a, b, c, vom gleichen Punkt ausgehen und nicht in der gleichen Ebene liegen. Dreikantwinkel (abc) eine Figur genannt, die aus „drei flachen Winkeln“ besteht (ab),(bc) und (ac) (Abb. 2). Diese Winkel werden genannt Gesichter dreiflächiger Winkel und ihre Seiten - Rippen gemeinsamer Scheitelpunkt flacher Ecken heißt Gipfel dreieckiger Winkel. Die Diederwinkel, die durch die Flächen eines Triederwinkels gebildet werden, werden genannt Diederwinkel eines Triederwinkels. Der Begriff eines Polyederwinkels wird ähnlich definiert (Abb. 3).

3. Polyeder

In der Stereometrie werden Figuren im Raum, Körper genannt, untersucht. Visuell muss man sich einen (geometrischen) Körper als Teil eines Raumes vorstellen, der von einem physischen Körper eingenommen und von einer Fläche begrenzt wird. Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche aus endlich vielen flachen Polygonen besteht (Abb. 4). Ein Polyeder heißt konvex, wenn es auf einer Seite der Ebene jedes flachen Polygons auf seiner Oberfläche liegt. Der gemeinsame Teil einer solchen Ebene und der Oberfläche eines konvexen Polyeders wird als Fläche bezeichnet. Die Flächen eines konvexen Polyeders sind flache konvexe Polygone. Die Seiten der Flächen werden als Kanten des Polyeders bezeichnet, und die Ecken werden als Ecken des Polyeders bezeichnet. Erläutern wir das Gesagte am Beispiel eines bekannten Würfels (Abb. 5). Der Würfel ist ein konvexer Polyeder. Seine Oberfläche besteht aus sechs Quadraten: ABCD, BEFC, .... Sie sind seine Gesichter. Die Kanten des Würfels sind die Seiten dieser Quadrate: AB, BC, BE,.... Die Ecken des Würfels sind die Ecken der Quadrate: A, B, C, D, E, .... Der Würfel hat sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken.Die einfachsten Polyeder - Prismen und Pyramiden, die die sein werden Hauptgegenstand unserer Studie - wir werden solche Definitionen geben, die im Wesentlichen nicht den Begriff eines Körpers verwenden. Sie werden als geometrische Figuren mit Angabe aller zu ihnen gehörenden Raumpunkte definiert. Der Begriff eines geometrischen Körpers und seiner Oberfläche im allgemeinen Fall wird später gegeben.

4. Prisma

Ein Prisma ist ein Polyeder, das aus zwei flachen Polygonen besteht, die in verschiedenen Ebenen liegen und durch Parallelverschiebung kombiniert werden, und alle Segmente, die die entsprechenden Punkte dieser Polygone verbinden (Abb. 6). Die Polygone werden die Basen des Prismas genannt, und die Segmente, die die entsprechenden Eckpunkte verbinden, werden die Seitenkanten des Prismas genannt. Da die parallele Translation eine Bewegung ist, sind die Basen des Prismas gleich. Da beim parallelen Transfer die Ebene in eine parallele Ebene (oder in sich selbst) übergeht, liegen die Grundflächen des Prismas in parallelen Ebenen, Kanten sind parallel und gleich. Die Oberfläche eines Prismas besteht aus Grundflächen und einer Seitenfläche. Die Seitenfläche besteht aus Parallelogrammen. Bei jedem dieser Parallelogramme sind zwei Seiten die entsprechenden Seiten der Basen, und die anderen zwei sind benachbarte Seitenkanten. Die Höhe eines Prismas ist der Abstand zwischen den Ebenen seiner Grundflächen. Ein Segment, das zwei Eckpunkte eines Prismas verbindet, die nicht zu derselben Fläche gehören, wird als Diagonale des Prismas bezeichnet. Ein Prisma heißt n-eckig, wenn seine Grundflächen n-Ecke sind. In Zukunft betrachten wir nur noch Prismen, deren Grundflächen konvexe Polygone sind. Solche Prismen sind konvexe Polyeder. Abbildung 6 zeigt ein fünfeckiges Prisma. Seine Basen sind Fünfecke. SONDERN 1 SONDERN 2 ...SONDERN 5 , SONDERN 1 ’ SONDERN" 2 ...SONDERN" 5 . XX"- ein Liniensegment, das die entsprechenden Punkte der Basen verbindet. Seitliche Kanten der Prismensegmente SONDERN 1 SONDERN" 2 , SONDERN 1 SONDERN" 2 , ..., SONDERN 5 SONDERN" 5 . Seitenflächen des Prismas - Parallelogramme SONDERN 1 SONDERN 2 SONDERN" 2 SONDERN 1 , SONDERN 2 SONDERN 3 SONDERN ’ 3 SONDERN" 2 , ... .

5. Das Bild eines Prismas und die Konstruktion seiner Schnitte

Gemäß den Regeln der Parallelprojektion ist das Bild eines Prismas wie folgt aufgebaut. Zunächst wird eines der Fundamente errichtet R(Abb. 7). Es wird ein flaches Polygon sein. Dann von den Eckpunkten des Polygons R die Seitenrippen des Prismas sind in Form von parallelen Segmenten gleicher Länge gezeichnet. Die Enden dieser Segmente werden verbunden und eine weitere Basis des Prismas wird erhalten. Unsichtbare Kanten sind mit gestrichelten Linien gezeichnet. Schnitte des Prismas durch Ebenen parallel zu den Seitenkanten sind Parallelogramme. Insbesondere Diagonalschnitte sind Parallelogramme. Dies sind Schnitte durch Ebenen, die durch zwei Seitenkanten gehen, die nicht zur gleichen Fläche gehören (Abb. 8). In der Praxis ist es insbesondere bei der Lösung von Problemen oft erforderlich, einen Schnitt eines Prismas durch eine Ebene zu konstruieren, die durch eine gegebene Gerade verläuft g auf der Ebene einer der Basen des Prismas. Eine solche Linie heißt nächste Schnittebene auf der Ebene der Basis. Um einen Abschnitt eines Prismas zu konstruieren, genügt es, Segmente des Schnittpunkts der Sekantenebene mit den Prismenflächen zu konstruieren. Lassen Sie uns zeigen, wie ein solcher Abschnitt konstruiert wird, wenn irgendein Punkt bekannt ist SONDERN auf der Oberfläche des zum Schnitt gehörenden Prismas (Abb. 9). Wenn dieser Punkt SONDERN zu einer anderen Basis des Prismas gehört, dann ist ihr Schnittpunkt mit der Schnittebene ein Segment Sonne, parallel zur Totenwache g und den gegebenen Punkt enthält SONDERN(Abb. 9, a). Wenn dieser Punkt SONDERN zur Seitenfläche gehört, dann wird der Schnittpunkt dieser Fläche mit der Schnittebene konstruiert, wie in Bild 9 dargestellt, b. Nämlich: zuerst wird ein Punkt gebaut D, in der die Ebene des Gesichts die gegebene Spur schneidet g. Dann wird eine Linie durch die Punkte gezogen SONDERN und D. Liniensegment Sonne gerade ANZEIGE auf der betrachteten Fläche ist der Schnittpunkt dieser Fläche mit der Schnittebene. Wenn die Fläche den Punkt enthält SONDERN, parallel zur Spur g, dann die Schnittebene schneidet diese Fläche entlang des Segments Sonne, durch einen Punkt gehen SONDERN und parallel zur Linie g.

Zeile endet Sonne gehören zu benachbarten Flächen. Daher ist es auf die beschriebene Weise möglich, den Schnittpunkt dieser Flächen mit unserer Schnittebene zu konstruieren. usw. Abbildung 10 zeigt die Konstruktion eines Schnitts eines viereckigen Prismas durch eine Ebene, die durch eine gerade Linie geht a in der Ebene der unteren Prismenbasis und einem Punkt SONDERN auf einer der Seitenrippen. 6. Gerades Prisma Ein Prisma heißt gerade, wenn seine Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächen stehen. Andernfalls wird das Prisma als schief bezeichnet. Bei einem geraden Prisma sind die Seitenflächen Rechtecke. Bei der Darstellung eines geraden Prismas in der Abbildung werden die Seitenrippen normalerweise vertikal gezeichnet (Abb. 11). Ein rechtwinkliges Prisma heißt regelmäßig, wenn seine Grundflächen regelmäßige Polygone sind. Die Seitenfläche des Prismas (genauer gesagt die Fläche der Seitenfläche) ist die Summe der Flächen der Seitenflächen. Die Gesamtfläche des Prismas ist gleich der Summe der Seitenfläche und der Flächen der Grundflächen. Satz 19.1. Die Seitenfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe des Prismas, also der Länge der Seitenkante. Nachweisen. Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke. Die Basen dieser Rechtecke sind die Seiten des Polygons, die an der Basis des Prismas liegen, und die Höhen sind gleich der Länge der Seitenkanten. Daraus folgt, dass die Mantelfläche des Prismas gleich ist

S=a 1 l+a 1 l+...+a n l=pl,

wo a 1 ,..., a n- die Länge der Kanten der Basis, R - der Umfang der Basis des Prismas, und 1 - Seitenrippenlänge. Der Satz ist bewiesen. 7. Parallelepiped Wenn die Grundfläche eines Prismas ein Parallelogramm ist, dann spricht man von einem Parallelepiped. Alle Flächen eines Parallelepipeds sind Parallelogramme. In Abbildung 12 a ist ein geneigtes Parallelepiped dargestellt, und in Abbildung 12 b ein gerades Parallelepiped. Flächen eines Parallelepipeds, die keine gemeinsamen Ecken haben, werden gegenüberliegende Flächen genannt. SATZ 19.2. Ein Parallelepiped hat gegenüberliegende Seiten, die parallel und gleich sind. Nachweisen. Betrachten Sie zwei gegenüberliegende Seiten des Parallelepipeds, zum Beispiel A1A2A"2A"1 und A3A4A"4A"3. (Abb. 13). Da alle Flächen eines Parallelepipeds Parallelogramme sind, ist die Linie A1A2 parallel zur Linie A4A3 und die Linie A1A"1 parallel zur Linie A4A4". Daraus folgt, dass die Ebenen der betrachteten Flächen parallel sind. Aus der Tatsache, dass die Flächen des Parallelepipeds Parallelogramme sind, folgt, dass die Segmente A1A4, A1 „A4“, A „2A“ 3 und A2A3 parallel und gleich sind. Daraus schließen wir, dass die Fläche A1A2A"2A"1 durch eine Parallelverschiebung entlang der Kante A1A4 kombiniert wird. mit Gesicht A3A4A "4A" 3. Diese Kanten sind also gleich. Parallelität und Gleichheit aller anderen gegenüberliegenden Flächen des Parallelepipeds werden auf ähnliche Weise bewiesen. Der Satz ist bewiesen.
8. Zentralsymmetrie des Parallelepipeds Satz 19.3. Die Diagonalen des Parallelepipeds schneiden sich an einem Punkt und der Schnittpunkt wird halbiert. Nachweisen. Betrachten Sie einige zwei Diagonalen des Parallelepipeds, zum Beispiel A 1 A "3 und A 4 A" 2 (Abb. 14). Da die Vierecke A 1 A 2 A 3 A 4 und A 2 A "2 A" 3 A 3 Parallelogramme mit einer gemeinsamen Seite A 2 A 3 sind, dann sind ihre Seiten A 1 A 4 und A "2 A" 3 parallel zu einander, was bedeutet, dass sie in der gleichen Ebene liegen. Diese Ebene schneidet die Ebenen gegenüberliegender Flächen des Parallelepipeds entlang paralleler Linien A 1 A'' 2 und A 4 A'' 3 . Daher ist das Viereck A 4 A 1 A "2 A" 3 ein Parallelogramm. Die Diagonalen des Parallelepipeds A 1 A "3 und A 4 A" 2 sind die Diagonalen dieses Parallelogramms. Daher schneiden sie sich und der Schnittpunkt O wird halbiert. Ebenso wird bewiesen, dass die Diagonalen A1A"3 und A2A"4 sowie die Diagonalen A1A"3 und A3A"1 den Schnittpunkt schneiden und halbieren. Daraus schließen wir, dass sich alle vier Diagonalen des Parallelepipeds in einem Punkt schneiden und der Schnittpunkt in zwei Hälften geteilt ist. Der Satz ist bewiesen. Satz 19.3 impliziert das der Schnittpunkt der Diagonalen des Parallelepipeds ist sein Symmetriezentrum. 9. Rechteckiger Kasten Ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundfläche ein Rechteck ist, heißt rechteckiges Parallelepiped. Alle Flächen eines Quaders sind Rechtecke. Ein rechteckiges Parallelepiped, bei dem alle Kanten gleich sind, nennt man Würfel. Die Längen der nicht parallelen Kanten eines rechteckigen Parallelepipeds werden als seine linearen Abmessungen (Messungen) bezeichnet. Ein Quader hat drei Dimensionen. Satz 19.4. In einem Quader ist das Quadrat jeder Diagonale gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen. Nachweisen. Stellen Sie sich ein rechteckiges Parallelepiped ABCDA"B"C"D" vor (Abb. 15). Aus dem rechtwinkligen Dreieck AC "C erhalten wir nach dem Satz des Pythagoras:

AC" 2 = AC 2 + CC" 2 .

Aus dem rechtwinkligen Dreieck ASV erhalten wir nach dem Satz des Pythagoras

AC 2 \u003d AB 2 + BC 2.

Daher AC" 2 \u003d CC" 2 + AB 2 + BC 2.

Die Kanten AB, BC und CC sind nicht parallel, und daher sind ihre Längen die linearen Abmessungen des Parallelepipeds. Der Satz ist bewiesen. 10. Symmetrie eines rechteckigen Parallelepipeds Ein rechteckiges Parallelepiped hat wie jedes Parallelepiped ein Symmetriezentrum - den Schnittpunkt seiner Diagonalen. Es hat auch drei Symmetrieebenen, die parallel zu den Flächen durch das Symmetriezentrum verlaufen. Abbildung 16 zeigt eine dieser Ebenen. Sie verläuft durch die Mittelpunkte von vier parallelen Kanten des Parallelepipeds. Die Enden der Kanten sind symmetrische Punkte. Wenn ein Parallelepiped alle linearen Abmessungen unterschiedlich hat, dann hat es keine anderen Symmetrieebenen als die genannten. Wenn das Parallelepiped zwei gleiche lineare Dimensionen hat, dann hat es zwei weitere Symmetrieebenen. Dies sind die Ebenen diagonaler Schnitte, die in Abbildung 17 gezeigt werden. Wenn ein Parallelepiped alle linearen Abmessungen gleich hat, das heißt, es ein Würfel ist, dann ist seine Ebene eines beliebigen diagonalen Schnitts eine Symmetrieebene. Somit hat der Würfel neun Symmetrieebenen. 11. Pyramide Pyramide Polyeder genannt, das aus einem flachen Polygon besteht - Pyramidenbasen, Punkt, der nicht in der Ebene der Basis liegt, - Spitzen der Pyramide und alle Segmente, die die Spitze der Pyramide mit den Spitzen der Basis verbinden (Abb. 18). Die Segmente, die die Spitze der Pyramide mit den Spitzen der Basis verbinden, werden genannt Seitenrippen. Die Oberfläche der Pyramide besteht aus einer Grund- und Seitenflächen. Jede Seitenfläche ist ein Dreieck. Einer ihrer Eckpunkte ist die Spitze der Pyramide, und die gegenüberliegende Seite ist die Seite der Basis der Pyramide. Pyramidenhöhe, die so genannte Senkrechte, die von der Spitze der Pyramide zur Ebene der Basis fällt. Eine Pyramide heißt n-eckig, wenn ihre Grundfläche ein n-Eck ist. Die dreieckige Pyramide wird auch genannt Tetraeder. Die in Abbildung 18 gezeigte Pyramide hat eine Basis - ein Polygon A 1 A 2 ... A n, die Spitze der Pyramide - S, Seitenkanten - SA 1, S A 2, ..., S A n, Seitenflächen -  SA 1 A 2,  SA 2 A 3 , ... . Im Folgenden betrachten wir nur Pyramiden mit einem konvexen Vieleck an der Basis. Solche Pyramiden sind konvexe Polyeder. 12. Konstruktion einer Pyramide und ihrer ebenen Schnitte Gemäß den Regeln der Parallelprojektion wird das Bild der Pyramide wie folgt aufgebaut. Zuerst wird das Fundament gebaut. Es wird ein flaches Polygon sein. Dann wird die Spitze der Pyramide markiert, die durch seitliche Rippen mit den Spitzen der Basis verbunden ist. Abbildung 18 zeigt ein Bild einer fünfeckigen Pyramide. Abschnitte der Pyramide durch Ebenen, die durch ihre Spitze verlaufen, sind Dreiecke (Abb. 19). Insbesondere Diagonalschnitte sind Dreiecke. Dies sind Schnitte durch Ebenen, die durch zwei nicht benachbarte Seitenkanten der Pyramide verlaufen (Abb. 20). Der Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene mit gegebener Spur g auf der Basisebene ist genauso konstruiert wie der Schnitt eines Prismas. Um einen Schnitt einer Pyramide durch eine Ebene zu konstruieren, genügt es, die Schnittpunkte ihrer Seitenflächen mit der Schnittebene zu konstruieren. Wenn auf einer Fläche, die nicht parallel zur Spur g ist, ein Punkt A bekannt ist, der zum Schnitt gehört, wird zuerst der Schnittpunkt der Spur g der Schnittebene mit der Ebene dieser Fläche konstruiert - Punkt D in Abbildung 21. Punkt D ist mit Punkt A durch eine gerade Linie verbunden. Dann ist das zu der Fläche gehörende Segment dieser Linie der Schnittpunkt dieser Fläche mit der Schnittebene. Liegt der Punkt A auf einer Fläche parallel zur Spur g, dann schneidet die Schnittebene diese Fläche entlang einer Strecke parallel zur Linie g. Wenn sie zur angrenzenden Seitenfläche gehen, bilden sie ihren Schnittpunkt mit der Schnittebene usw. Als Ergebnis wird der erforderliche Abschnitt der Pyramide erhalten.
Fig. 22 zeigt einen Schnitt einer viereckigen Pyramide durch eine Ebene, die durch die Seite der Basis und den Punkt A an einer ihrer Seitenkanten verläuft.

13. Pyramidenstumpf Satz 19.5. Eine Ebene, die eine Pyramide schneidet und parallel zu ihrer Basis verläuft, schneidet eine ähnliche Pyramide ab. Nachweisen. Sei S der Scheitelpunkt der Pyramide, A der Scheitelpunkt der Basis und A "- der Schnittpunkt der Sekantenebene mit der Seitenkante SA (Abb. 23). Wir unterziehen die Pyramide einer Homothetietransformation in Bezug auf der Scheitelpunkt S mit dem Homothetitätskoeffizienten

Bei dieser Homothetie geht die Ebene der Basis in eine parallele Ebene über, die durch den Punkt A "geht, dh in die Schnittebene, und folglich die gesamte Pyramide in den von dieser Ebene abgeschnittenen Teil. Da die Homothetie eine Ähnlichkeit ist Transformation, der abgeschnittene Teil der Pyramide ist eine Pyramide, ähnlich wie diese, der Satz ist bewiesen.

Nach Satz 19.5 schneidet eine Ebene, die parallel zur Ebene der Basis einer Pyramide ist und ihre Seitenkanten schneidet, eine ähnliche Pyramide von ihr ab. Der andere Teil ist ein Polyeder, der als Pyramidenstumpf bezeichnet wird (Abb. 24). Die in parallelen Ebenen liegenden Flächen eines Pyramidenstumpfes werden Basen genannt; der Rest der Gesichter wird aufgerufen Seitenkanten. Die Grundflächen des Pyramidenstumpfes sind ähnliche (im Übrigen homothetische) Polygone, die Seitenflächen sind Trapeze. 14. Richtige Pyramide Eine Pyramide heißt regulär, wenn ihre Basis ein regelmäßiges Polygon ist und die Basis der Höhe mit dem Mittelpunkt dieses Polygons zusammenfällt. Die Achse einer regelmäßigen Pyramide ist eine gerade Linie, die ihre Höhe enthält. Offensichtlich sind die Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide gleich; daher sind die Seitenflächen gleiche gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide, gezeichnet von ihrer Spitze, nennt man Apothem. Die Seitenfläche einer Pyramide ist die Summe der Flächeninhalte ihrer Seitenflächen. SATZ 19.6. Die Seitenfläche einer regelmäßigen Pyramide ist gleich dem Produkt aus dem Halbumfang der Basis und dem Apothem. Nachweisen. Wenn die Basisseite a, Anzahl Seiten P, dann ist die Seitenfläche der Pyramide gleich:

(a1/2)ap \u003d a1p / 2 \u003d p1/2 "

Woher ICH- Apothem, a p- Umfang der Basis der Pyramide. Der Satz ist bewiesen. Ein Pyramidenstumpf, der aus einer regulären Pyramide erhalten wird, wird auch genannt Korrekt. Die Seitenflächen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind gleichschenklige Trapeze; ihre Höhen werden genannt Apotheme. 15. Regelmäßige Polyeder Ein konvexes Polyeder heißt regelmäßig, wenn seine Flächen regelmäßige Polygone mit der gleichen Seitenzahl sind und die gleiche Anzahl Kanten an jedem Scheitelpunkt des Polyeders zusammenlaufen.) Es gibt fünf Typen regelmäßiger konvexer Polyeder (Abb. 25): regelmäßiges Tetraeder (1), Würfel (2), Oktaeder (3), Dodekaeder (4); Ikosaeder (5). Ein regelmäßiges Tetraeder hat Flächen, die regelmäßige Dreiecke sind; An jedem Scheitelpunkt laufen drei Kanten zusammen. Ein Tetraeder ist eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind. In einem Würfel sind alle Flächen Quadrate; An jedem Scheitelpunkt laufen drei Kanten zusammen. Der Würfel ist ein rechteckiges Parallelepiped mit gleichen Kanten. Die Oktaederflächen sind regelmäßige Dreiecke, aber im Gegensatz zum Tetraeder laufen an jedem seiner Eckpunkte vier Kanten zusammen. Die Flächen des Dodekaeders sind regelmäßige Fünfecke. An jedem Scheitelpunkt laufen drei Kanten zusammen. Die Ikosaederflächen sind regelmäßige Dreiecke, aber im Gegensatz zum Tetraeder und Oktaeder laufen an jedem Scheitelpunkt fünf Kanten zusammen.

III. Praktischer Teil.

Aufgabe 1. Von den auf den Flächen des V-Winkels liegenden Punkten A und B werden die Senkrechten AA\ und BB\ auf den Rand des Winkels fallen gelassen. Ermitteln Sie die Länge des Segments AB, wenn AA 1 \u003d a, BB 1 \u003d b, A 1 B 1 \u003d c und der Diederwinkel a ist (Abb. 26). Entscheidung. Zeichne Linien A 1 C||BB 1 und BC||A 1 B 1 . Das Viereck A 1 B 1 BC ist ein Parallelogramm, was AA 1 \u003d\u003d BB 1 \u003d b bedeutet. Die Linie A 1 B 1 steht senkrecht auf der Ebene des Dreiecks AA 1 C, da sie senkrecht auf zwei Geraden in dieser Ebene AA 1 und CA 1 steht. Daher steht auch die dazu parallele Linie BC senkrecht auf dieser Ebene. Dies bedeutet, dass das Dreieck ABC rechtwinklig mit einem rechten Winkel C ist. Nach dem Kosinussatz ist AC 2 \u003d AA 1 2 + A 1 C 2 -2AA 1 A 1 C cos  \u003d a 2 + b 2 - 2abcos . Nach dem Satz des Pythagoras ist AB \u003d AC 2 + BC 2 \u003d a 2 + b 2 - 2ab cos  + c 2. Aufgabe 2. Ein Dreikantwinkel (abc) hat einen Diederwinkel an einer Kante mit einer geraden Linie, ein Diederwinkel an einer Kante b ist gleich  und ein flacher Winkel (bc) ist gleich  (, </2). Найдите два других плоских угла: =  (ab), = (ac). Entscheidung. Lassen wir von einem beliebigen Punkt A die Kante a, die Senkrechte AB auf die Kante b und die Senkrechte AC auf die Kante c fallen (Abb. 27). Nach dem Drei-Senkrechten-Satz ist CB die Senkrechte zur Kante b. Aus den rechtwinkligen Dreiecken OAB, OSV, AOC und ABC erhalten wir: BC/sin )=tg  sin  Aufgabe 3. Bei einem geneigten Prisma wird ein Schnitt senkrecht zu den Seitenrippen gezogen, der alle Seitenrippen schneidet. Finden Sie die Seitenfläche des Prismas, wenn der Umfang des Abschnitts p ist und die Seitenkanten l sind. Entscheidung. Die Schnittebene teilt das Prisma in zwei Teile (Abb. 28). Lassen Sie uns einen von ihnen einer Parallelverschiebung unterziehen, die die Basen des Prismas kombiniert. In diesem Fall erhalten wir ein gerades Prisma, bei dem der Querschnitt des ursprünglichen Prismas als Basis dient und die Seitenkanten gleich l sind. Dieses Prisma hat die gleiche Seitenfläche wie das Original. Somit ist die Seitenfläche des ursprünglichen Prismas gleich pl. Aufgabe 4. Der Seitenrand der Pyramide wird in vier gleiche Teile geteilt und durch die Teilungspunkte werden zur Basis parallele Ebenen gezogen. Die Grundfläche beträgt 400 cm2. Finden Sie den Bereich der Abschnitte. Entscheidung. Die Abschnitte sind wie die Basis einer Pyramide mit Ähnlichkeitskoeffizienten von ¼, 2/4 und ¾. Die Flächen ähnlicher Figuren werden als Quadrate mit linearen Abmessungen in Beziehung gesetzt. Daher ist das Verhältnis der Querschnittsflächen zur Fläche der Basis der Pyramide (¼) 2, (2/4) 2 und (¾) 2. Daher betragen die Querschnittsflächen 400 (¼) 2 \u003d 25 (cm 2), 400 (2/4) 2 \u003d 100 (cm 2), 400 (¾) 2 \u003d 225 (cm 2). Aufgabe 5. Beweisen Sie, dass die Seitenfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes gleich dem Produkt aus der halben Summe der Umfänge der Basen und des Apothems ist. Entscheidung. Die Seitenflächen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze mit gleicher oberer Grundfläche a, unterer b und gleicher Höhe (Apothem) l. Daher ist die Fläche einer Fläche gleich ½ (a + b)l. Die Fläche aller Flächen, d. h. der Seitenfläche, ist gleich ½ (an + bn)l, wobei n die Anzahl der Ecken an der Basis der Pyramide ist, an und bn die Umfänge der Basen der Pyramide sind Pyramide.

IV. Fazit

Dank dieser Arbeit habe ich das während des Studiums in der 11. Klasse erworbene Wissen zusammengefasst und systematisiert, mich mit den Regeln für die Ausübung kreativer Arbeit vertraut gemacht, neues Wissen erworben und in die Praxis umgesetzt. 3 meiner Lieblingsbücher möchte ich hervorheben: EIN V. Pogorelov "Geometrie", G. Yakusheva "Mathematik - ein Nachschlagewerk für Schulkinder", L.F. Pichurin "Hinter den Seiten eines Geometrie-Lehrbuchs". Diese Bücher haben mir mehr geholfen als andere. Ich möchte mein neu erworbenes Wissen öfter in der Praxis anwenden.

V. Literatur

1. AV Pogorelov-Geometrie. - M .: Bildung, 1992 2. G. Yakusheva "Mathematik - ein Leitfaden für Schulkinder." M.: Slovo, 1995 3. L.D. Kudryavtsev "Kurs für mathematische Analyse" v.1, Moskau 1981 4. L.F. Pichurin "Hinter den Seiten eines Geometrie-Lehrbuchs". - M.: Bildung, 1990 5. I.N. Bashmakov "Geometrie".