Im vorherigen Abschnitt, der der Analyse der geometrischen Bedeutung eines bestimmten Integrals gewidmet war, haben wir eine Reihe von Formeln zur Berechnung der Fläche eines krummlinigen Trapezes erhalten:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x für eine stetige und nichtnegative Funktion y = f (x) auf der Strecke [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x für eine stetige und kraftschlüssige Funktion y = f (x) auf der Strecke [ a ; b] .

Diese Formeln sind anwendbar, um relativ einfache Probleme zu lösen. Tatsächlich müssen wir oft mit komplexeren Formen arbeiten. In diesem Zusammenhang widmen wir uns in diesem Abschnitt der Analyse von Algorithmen zur Flächenberechnung von Figuren, die durch Funktionen in expliziter Form, d.h. wie y = f(x) oder x = g(y) .

Satz

Die Funktionen y = f 1 (x) und y = f 2 (x) seien definiert und stetig auf dem Segment [ a ; b ] , und f 1 (x) ≤ f 2 (x) für jeden Wert x aus [ a ; b] . Dann sieht die Formel zur Berechnung der Fläche einer Figur Gbegrenzt durch die Linien x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) und y \u003d f 2 (x) aus wie S ( G) \u003d ∫ ein b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Eine ähnliche Formel gilt für den Bereich der Figur, der durch die Linien y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) und x \u003d g 2 (y) begrenzt wird: S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Nachweisen

Wir werden drei Fälle analysieren, für die die Formel gültig sein wird.

Im ersten Fall ist unter Berücksichtigung der Additivitätseigenschaft der Fläche die Summe der Flächen der ursprünglichen Figur G und des krummlinigen Trapezes G 1 gleich der Fläche der Figur G 2 . Das bedeutet es

Daher ist S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .

Den letzten Übergang können wir mit der dritten Eigenschaft des bestimmten Integrals durchführen.

Im zweiten Fall gilt die Gleichheit: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Die grafische Darstellung sieht folgendermaßen aus:

Wenn beide Funktionen nicht positiv sind, erhalten wir: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Die grafische Darstellung sieht folgendermaßen aus:

Kommen wir zur Betrachtung des allgemeinen Falls, wenn y = f 1 (x) und y = f 2 (x) die Achse O x schneiden.

Wir bezeichnen die Schnittpunkte als x i , i = 1 , 2 , . . . , n-1 . Diese Punkte unterbrechen das Segment [ a ; b ] in n Teile x i - 1 ; x ich , ich = 1 , 2 , . . . , n , wobei α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Folglich,

S (G) = ∑ ich = 1 n S (G ich) = ∑ ich = 1 n ∫ x ich x ich f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Den letzten Übergang können wir mit der fünften Eigenschaft des bestimmten Integrals machen.

Lassen Sie uns den allgemeinen Fall in der Grafik veranschaulichen.

Die Formel S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x kann als bewiesen angesehen werden.

Fahren wir nun mit der Analyse von Beispielen zur Berechnung der Fläche von Figuren fort, die durch die Linien y \u003d f (x) und x \u003d g (y) begrenzt sind.

Betrachten wir eines der Beispiele, beginnen wir mit der Konstruktion eines Graphen. Das Bild ermöglicht es uns, komplexe Formen als Kombinationen einfacherer Formen darzustellen. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, Graphen und Zahlen darauf zu zeichnen, können Sie den Abschnitt über grundlegende elementare Funktionen, geometrische Transformation von Graphen von Funktionen sowie das Zeichnen während der Untersuchung einer Funktion studieren.

Beispiel 1

Es ist notwendig, den Bereich der Figur zu bestimmen, der durch die Parabel y \u003d - x 2 + 6 x - 5 und gerade Linien y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d begrenzt wird 1, x \u003d 4.

Lösung

Zeichnen wir die Linien im Graphen im kartesischen Koordinatensystem.

Auf dem Intervall [ 1 ; 4] liegt der Graph der Parabel y = - x 2 + 6 x - 5 über der Geraden y = - 1 3 x - 1 2 . Um eine Antwort zu erhalten, verwenden wir in diesem Zusammenhang die zuvor erhaltene Formel sowie die Methode zur Berechnung eines bestimmten Integrals unter Verwendung der Newton-Leibniz-Formel:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Antwort: S (G) = 13

Schauen wir uns ein komplexeres Beispiel an.

Beispiel 2

Es ist notwendig, die Fläche der Figur zu berechnen, die durch die Linien begrenzt wird y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Lösung

In diesem Fall haben wir nur eine Gerade parallel zur x-Achse. Das ist x = 7 . Dazu müssen wir die zweite Integrationsgrenze selbst finden.

Lassen Sie uns ein Diagramm erstellen und die in der Bedingung des Problems angegebenen Linien darauf setzen.

Wenn wir einen Graphen vor Augen haben, können wir leicht feststellen, dass die untere Integrationsgrenze die Abszisse des Schnittpunkts des Graphen mit einer geraden Linie y \u003d x und einer Halbparabel y \u003d x + 2 ist. Um die Abszisse zu finden, verwenden wir die Gleichungen:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G

Es stellt sich heraus, dass die Abszisse des Schnittpunktes x = 2 ist.

Wir machen Sie darauf aufmerksam, dass sich in dem allgemeinen Beispiel in der Zeichnung die Linien y = x + 2 , y = x am Punkt (2 ; 2) schneiden, sodass solche detaillierten Berechnungen überflüssig erscheinen können. Wir haben hier nur eine so detaillierte Lösung bereitgestellt, weil in komplexeren Fällen die Lösung möglicherweise nicht so offensichtlich ist. Das bedeutet, dass es besser ist, die Koordinaten der Schnittpunkte von Linien immer analytisch zu berechnen.

Im Intervall [ 2 ; 7 ] befindet sich der Graph der Funktion y = x über dem Graph der Funktion y = x + 2 . Wenden Sie die Formel an, um die Fläche zu berechnen:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Antwort: S (G) = 59 6

Beispiel 3

Es ist notwendig, den Bereich der Figur zu berechnen, der durch die Graphen der Funktionen y \u003d 1 x und y \u003d - x 2 + 4 x - 2 begrenzt wird.

Lösung

Lassen Sie uns Linien auf dem Diagramm zeichnen.

Lassen Sie uns die Grenzen der Integration definieren. Dazu bestimmen wir die Koordinaten der Schnittpunkte der Geraden durch Gleichsetzen der Ausdrücke 1 x und - x 2 + 4 x - 2 . Vorausgesetzt, dass x nicht gleich Null ist, wird die Gleichheit 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 äquivalent zur Gleichung dritten Grades - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 mit ganzzahligen Koeffizienten . Sie können die Erinnerung an den Algorithmus zum Lösen solcher Gleichungen auffrischen, indem Sie sich auf den Abschnitt „Lösung kubischer Gleichungen“ beziehen.

Die Wurzel dieser Gleichung ist x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Teilen wir den Ausdruck - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 durch das Binomial x - 1, erhalten wir: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Wir können die verbleibenden Wurzeln aus der Gleichung x 2 - 3 x - 1 = 0 finden:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Wir haben ein Intervall x ∈ 1 gefunden; 3 + 13 2 , wobei G oberhalb der blauen Linie und unterhalb der roten Linie eingeschlossen ist. Dies hilft uns, den Bereich der Figur zu bestimmen:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - In 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - In 1 = 7 + 13 3 - In 3 + 13 2

Antwort: S (G) \u003d 7 + 13 3 - In 3 + 13 2

Beispiel 4

Es ist notwendig, die Fläche der Figur zu berechnen, die durch die Kurven y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 und die x-Achse begrenzt wird.

Lösung

Lassen Sie uns alle Linien in das Diagramm eintragen. Wir können den Graphen der Funktion y = - log 2 x + 1 aus dem Graphen y = log 2 x erhalten, wenn wir ihn symmetrisch um die x-Achse platzieren und ihn um eine Einheit nach oben verschieben. Die Gleichung der x-Achse y \u003d 0.

Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Linien bezeichnen.

Wie aus der Abbildung ersichtlich, schneiden sich die Graphen der Funktionen y \u003d x 3 und y \u003d 0 am Punkt (0; 0) . Dies liegt daran, dass x \u003d 0 die einzige echte Wurzel der Gleichung x 3 \u003d 0 ist.

x = 2 ist die einzige Wurzel der Gleichung - log 2 x + 1 = 0 , also schneiden sich die Graphen der Funktionen y = - log 2 x + 1 und y = 0 im Punkt (2 ; 0) .

x = 1 ist die einzige Wurzel der Gleichung x 3 = -log 2 x + 1 . In dieser Hinsicht schneiden sich die Graphen der Funktionen y \u003d x 3 und y \u003d - log 2 x + 1 am Punkt (1; 1) . Die letzte Aussage ist möglicherweise nicht offensichtlich, aber die Gleichung x 3 \u003d - log 2 x + 1 kann nicht mehr als eine Wurzel haben, da die Funktion y \u003d x 3 streng ansteigt und die Funktion y \u003d - log 2 x + 1 ist streng fallend.

Der nächste Schritt umfasst mehrere Optionen.

Option Nummer 1

Wir können die Figur G als Summe zweier krummliniger Trapeze darstellen, die sich oberhalb der Abszissenachse befinden, von denen sich das erste unterhalb der Mittellinie auf der Strecke x ∈ 0 befindet; 1 , und der zweite befindet sich unterhalb der roten Linie auf der Strecke x ∈ 1 ; 2. Das bedeutet, dass die Fläche gleich S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ist.

Option Nummer 2

Die Figur G kann als Differenz zweier Figuren dargestellt werden, von denen die erste oberhalb der x-Achse und unterhalb der blauen Linie auf der Strecke x ∈ 0 liegt; 2 , und der zweite liegt zwischen den roten und blauen Linien auf der Strecke x ∈ 1 ; 2. Dies ermöglicht es uns, den Bereich wie folgt zu finden:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

In diesem Fall müssen Sie zum Ermitteln der Fläche eine Formel der Form S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y verwenden. Tatsächlich können die Linien, die die Form begrenzen, als Funktionen des y-Arguments dargestellt werden.

Lösen wir die Gleichungen y = x 3 und - log 2 x + 1 nach x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Wir erhalten die benötigte Fläche:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 In 2 - 0 4 4 = - 1 In 2 - 1 4 + 2 In 2 = 1 In 2 - 1 4

Antwort: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Beispiel 5

Es ist notwendig, die Fläche der Figur zu berechnen, die durch die Linien y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4 begrenzt wird.

Lösung

Zeichnen Sie eine rote Linie in das Diagramm, die durch die Funktion y = x gegeben ist. Zeichnen Sie die Linie y = - 1 2 x + 4 in Blau und markieren Sie die Linie y = 2 3 x - 3 in Schwarz.

Beachten Sie die Schnittpunkte.

Finden Sie die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen y = x und y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i ist die Lösung der Gleichung x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 ist die Lösung der Gleichung ⇒ (4 ; 2) Schnittpunkt i y = x und y = - 1 2 x + 4

Finden Sie den Schnittpunkt der Graphen der Funktionen y = x und y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Prüfen: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 ist die Lösung der Gleichung ⇒ (9; 3) Punkt und Schnittpunkt y = x und y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 ist keine Lösung der Gleichung

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien y = - 1 2 x + 4 und y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) Schnittpunkt y = - 1 2 x + 4 und y = 2 3 x - 3

Methodennummer 1

Die Fläche der gewünschten Figur stellen wir als Summe der Flächen einzelner Figuren dar.

Dann ist die Fläche der Figur:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Methodennummer 2

Die Fläche der ursprünglichen Figur kann als Summe der beiden anderen Figuren dargestellt werden.

Dann lösen wir die Liniengleichung für x und wenden erst danach die Formel zur Berechnung der Fläche der Figur an.

y = x ⇒ x = y 2 rote Linie y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 schwarze Linie y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i

Die Fläche ist also:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Wie man sieht, stimmen die Werte überein.

Antwort: S (G) = 11 3

Ergebnisse

Um die Fläche einer Figur zu finden, die durch gegebene Linien begrenzt ist, müssen wir Linien in einer Ebene zeichnen, ihre Schnittpunkte finden und die Formel zum Ermitteln der Fläche anwenden. In diesem Abschnitt haben wir die gängigsten Optionen für Aufgaben überprüft.

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Bestimmtes Integral. Wie man die Fläche einer Figur berechnet

Wir wenden uns nun der Betrachtung von Anwendungen der Integralrechnung zu. In dieser Lektion analysieren wir eine typische und häufigste Aufgabe. Wie man ein bestimmtes Integral verwendet, um die Fläche einer ebenen Figur zu berechnen. Schließlich diejenigen, die in der höheren Mathematik nach Sinn suchen – mögen sie ihn finden. Man weiß nie. Im wirklichen Leben müssen Sie ein Sommerhaus mit elementaren Funktionen annähern und seine Fläche mit einem bestimmten Integral finden.

Um das Material erfolgreich zu beherrschen, müssen Sie:

1) Verstehen Sie das unbestimmte Integral zumindest auf einem mittleren Niveau. Daher sollten Dummies zuerst die Lektion lesen Nicht.

2) Die Newton-Leibniz-Formel anwenden und das bestimmte Integral berechnen können. Mit bestimmten Integralen auf der Seite können Sie herzliche, freundschaftliche Beziehungen aufbauen Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.

Tatsächlich benötigen Sie nicht so viel Wissen über das unbestimmte und bestimmte Integral, um den Bereich einer Figur zu finden. Die Aufgabe "Fläche mit einem bestimmten Integral berechnen" beinhaltet immer das Erstellen einer Zeichnung, so dass Ihr Wissen und Ihre zeichnerischen Fähigkeiten ein viel relevanteres Thema sind. In dieser Hinsicht ist es nützlich, die Graphen der wichtigsten elementaren Funktionen im Gedächtnis aufzufrischen und zumindest eine gerade Linie, eine Parabel und eine Hyperbel erstellen zu können. Dies kann (viele brauchen es) mit Hilfe von methodischem Material und einem Artikel über geometrische Transformationen von Graphen erfolgen.

Eigentlich kennt jeder das Problem, den Bereich mit einem bestimmten Integral zu finden, seit der Schule, und wir gehen dem Schullehrplan ein wenig voraus. Dieser Artikel existiert vielleicht überhaupt nicht, aber Tatsache ist, dass das Problem in 99 von 100 Fällen auftritt, wenn ein Student von einem verhassten Turm mit Begeisterung gequält wird, um einen Kurs in höherer Mathematik zu meistern.

Die Materialien dieses Workshops werden einfach, detailliert und mit einem Minimum an Theorie präsentiert.

Beginnen wir mit einem krummlinigen Trapez.

Krummliniges Trapez wird eine flache Figur genannt, die durch die Achse , gerade Linien und den Graphen einer Funktion begrenzt wird, die auf einem Segment stetig ist, das in diesem Intervall das Vorzeichen nicht ändert. Lassen Sie diese Figur lokalisieren nicht weniger Abszisse:

Dann Die Fläche eines krummlinigen Trapezes ist numerisch gleich einem bestimmten Integral. Jedes bestimmte Integral (das existiert) hat eine sehr gute geometrische Bedeutung. Im Unterricht Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele Ich sagte, dass ein bestimmtes Integral eine Zahl ist. Und jetzt ist es an der Zeit, eine weitere nützliche Tatsache anzugeben. Aus geometrischer Sicht ist das bestimmte Integral die FLÄCHE.

Also, Das bestimmte Integral (falls vorhanden) entspricht geometrisch der Fläche einer Figur. Betrachten Sie zum Beispiel das bestimmte Integral . Der Integrand definiert eine Kurve in der Ebene, die sich über der Achse befindet (wer möchte, kann die Zeichnung vervollständigen), und das bestimmte Integral selbst ist numerisch gleich der Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Beispiel 1

Dies ist eine typische Aufgabenstellung. Der erste und wichtigste Moment der Entscheidung ist die Konstruktion einer Zeichnung. Außerdem muss die Zeichnung gebaut werden RECHTS.

Beim Erstellen einer Blaupause empfehle ich die folgende Reihenfolge: Erste es ist besser, alle Linien (falls vorhanden) und nur zu konstruieren nach- Parabeln, Hyperbeln, Graphen anderer Funktionen. Funktionsgraphen sind rentabler zu erstellen Punkt für Punkt, mit der Technik der punktweisen Konstruktion finden Sie im Referenzmaterial Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Dort finden Sie auch Material, das in Bezug auf unsere Lektion sehr nützlich ist - wie man schnell eine Parabel baut.

Bei diesem Problem könnte die Lösung so aussehen.
Machen wir eine Zeichnung (beachten Sie, dass die Gleichung die Achse definiert):

Ich werde kein krummliniges Trapez schraffieren, es ist offensichtlich, von welchem ​​Bereich wir hier sprechen. Die Lösung geht so weiter:

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über Achse, deshalb:

Antworten:

Wer hat Schwierigkeiten, das bestimmte Integral zu berechnen und die Newton-Leibniz-Formel anzuwenden , siehe Vorlesung Bestimmtes Integral. Lösungsbeispiele.

Nachdem die Aufgabe erledigt ist, ist es immer hilfreich, sich die Zeichnung anzusehen und herauszufinden, ob die Antwort echt ist. In diesem Fall zählen wir „mit dem Auge“ die Anzahl der Zellen in der Zeichnung - nun, ungefähr 9 werden eingegeben, es scheint wahr zu sein. Es ist ganz klar, wenn wir die Antwort beispielsweise 20 Quadrateinheiten hätten, dann wurde offensichtlich irgendwo ein Fehler gemacht - 20 Zellen passen offensichtlich nicht in die fragliche Zahl, höchstens ein Dutzend. Fällt die Antwort negativ aus, wurde die Aufgabe auch falsch gelöst.

Beispiel 2

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , und die Achse begrenzt wird

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Was tun, wenn sich das krummlinige Trapez befindet unter der Achse?

Beispiel 3

Berechnen Sie die durch Linien und Koordinatenachsen begrenzte Fläche der Figur.

Lösung: Machen wir eine Zeichnung:

Wenn das krummlinige Trapez lokalisiert ist unter Achse(oder zumindest nicht höher gegebene Achse), dann kann seine Fläche durch die Formel gefunden werden:
In diesem Fall:

Aufmerksamkeit! Verwechseln Sie die beiden Arten von Aufgaben nicht:

1) Wenn Sie nur ein bestimmtes Integral ohne geometrische Bedeutung lösen sollen, kann es negativ sein.

2) Wenn Sie aufgefordert werden, die Fläche einer Figur mithilfe eines bestimmten Integrals zu finden, dann ist die Fläche immer positiv! Deshalb kommt in der eben betrachteten Formel das Minus vor.

In der Praxis befindet sich die Figur meistens sowohl in der oberen als auch in der unteren Halbebene, und daher gehen wir von den einfachsten Schulproblemen zu aussagekräftigeren Beispielen über.

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch Linien begrenzt ist.

Lösung: Zuerst müssen Sie die Zeichnung vervollständigen. Im Allgemeinen sind wir beim Erstellen einer Zeichnung in Flächenproblemen am meisten an den Schnittpunkten von Linien interessiert. Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Parabel und der Linie finden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen. Der erste Weg ist der analytische. Wir lösen die Gleichung:

Daher die untere Integrationsgrenze, die obere Integrationsgrenze.
Es ist am besten, diese Methode nach Möglichkeit nicht zu verwenden..

Es ist viel rentabler und schneller, die Linien Punkt für Punkt zu bauen, während die Integrationsgrenzen wie „von selbst“ herausgefunden werden. Die Punkt-für-Punkt-Konstruktionstechnik für verschiedene Diagramme wird ausführlich in der Hilfe besprochen Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen. Trotzdem muss die analytische Methode der Grenzfindung manchmal immer noch angewendet werden, wenn beispielsweise der Graph groß genug ist oder die Thread-Konstruktion die Integrationsgrenzen nicht offenbart hat (sie können gebrochen oder irrational sein). Und wir werden auch ein solches Beispiel betrachten.

Wir kehren zu unserer Aufgabe zurück: Es ist vernünftiger, zuerst eine Gerade und dann erst eine Parabel zu konstruieren. Machen wir eine Zeichnung:

Ich wiederhole, dass bei der punktweisen Konstruktion die Integrationsgrenzen meistens „automatisch“ herausgefunden werden.

Und jetzt die Arbeitsformel: Wenn es eine kontinuierliche Funktion im Intervall gibt größer als oder gleich eine kontinuierliche Funktion, dann kann die Fläche der Figur, die durch die Graphen dieser Funktionen und geraden Linien begrenzt ist, durch die Formel gefunden werden:

Hier muss nicht mehr darüber nachgedacht werden, wo sich die Figur befindet - über der Achse oder unter der Achse und grob gesagt Es ist wichtig, welches Diagramm OBEN ist(relativ zu einem anderen Diagramm), und welches ist UNTEN.

In dem betrachteten Beispiel ist es offensichtlich, dass sich die Parabel auf dem Segment über der geraden Linie befindet und daher abgezogen werden muss

Die Fertigstellung der Lösung könnte so aussehen:

Die gewünschte Figur wird von oben durch eine Parabel und von unten durch eine Gerade begrenzt.
Auf dem Segment nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Tatsächlich ist die Schulformel für die Fläche eines krummlinigen Trapezes in der unteren Halbebene (siehe einfaches Beispiel Nr. 3) ein Sonderfall der Formel . Da die Achse durch die Gleichung gegeben ist, befindet sich auch der Graph der Funktion nicht höher Achsen, dann

Und jetzt ein paar Beispiele für eine eigenständige Lösung

Beispiel 5

Beispiel 6

Finden Sie den Bereich der Figur, der von den Linien , umschlossen ist.

Bei der Lösung von Problemen zur Berechnung der Fläche mit einem bestimmten Integral passiert manchmal ein lustiger Zwischenfall. Die Zeichnung wurde korrekt erstellt, die Berechnungen waren korrekt, aber aufgrund von Unaufmerksamkeit ... fand den Bereich der falschen Figur, so hat es dein gehorsamer Diener mehrfach vermasselt. Hier ist ein realer Fall:

Beispiel 7

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien , , , begrenzt wird.

Lösung: Machen wir zuerst eine Zeichnung:

…Eh, die Zeichnung ist Mist geworden, aber alles scheint lesbar zu sein.

Die Figur, deren Fläche wir finden müssen, ist blau schattiert.(Beachten Sie genau den Zustand - wie begrenzt die Figur ist!). In der Praxis tritt jedoch aufgrund von Unaufmerksamkeit häufig ein „Fehler“ auf, bei dem Sie den grün schattierten Bereich der Figur finden müssen!

Dieses Beispiel ist auch insofern nützlich, als darin die Fläche der Figur mit zwei bestimmten Integralen berechnet wird. Wirklich:

1) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein gerader Liniengraph;

2) Auf dem Segment über der Achse befindet sich ein Hyperbeldiagramm.

Es ist ziemlich offensichtlich, dass die Bereiche hinzugefügt werden können (und sollten), daher:

Antworten:

Kommen wir zu einer weiteren sinnvollen Aufgabe.

Beispiel 8

Berechnen Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur,
Lassen Sie uns die Gleichungen in einer "Schul" -Form präsentieren und eine Punkt-für-Punkt-Zeichnung durchführen:

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass unsere Obergrenze „gut“ ist: .
Aber was ist die untere Grenze? Es ist klar, dass dies keine ganze Zahl ist, aber was? Kann sein ? Aber wo ist die Garantie, dass die Zeichnung mit perfekter Genauigkeit gemacht wird, das kann sich durchaus herausstellen. Oder rooten. Was wäre, wenn wir die Grafik überhaupt nicht richtig hinbekommen hätten?

In solchen Fällen muss man zusätzliche Zeit aufwenden und die Integrationsgrenzen analytisch verfeinern.

Lassen Sie uns die Schnittpunkte der Linie und der Parabel finden.
Dazu lösen wir die Gleichung:


,

Wirklich, .

Die weitere Lösung ist trivial, Hauptsache nicht in Substitutionen und Vorzeichen verwechseln, die Berechnungen hier sind nicht die einfachsten.

Auf dem Segment , nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Nun, zum Abschluss der Lektion werden wir zwei Aufgaben als schwieriger betrachten.

Beispiel 9

Berechnen Sie die Fläche der durch Linien begrenzten Figur , ,

Lösung: Zeichne diese Figur in die Zeichnung ein.

Verdammt, ich habe vergessen, den Zeitplan zu unterschreiben und das Bild neu zu machen, sorry, nicht Hotz. Keine Zeichnung, kurz gesagt, heute ist der Tag =)

Für eine Punkt-für-Punkt-Konstruktion ist es notwendig, das Aussehen der Sinuskurve zu kennen (und im Allgemeinen ist es nützlich zu wissen Graphen aller elementaren Funktionen) sowie einige Sinuswerte, in denen sie zu finden sind trigonometrische Tabelle. In einigen Fällen (wie in diesem Fall) ist es erlaubt, eine schematische Zeichnung zu erstellen, auf der Graphen und Integrationsgrenzen grundsätzlich korrekt dargestellt werden müssen.

Hier gibt es keine Probleme mit den Integrationsgrenzen, sie folgen direkt aus der Bedingung: - „x“ wechselt von Null auf „pi“. Wir treffen eine weitere Entscheidung:

Auf dem Segment befindet sich der Graph der Funktion über der Achse, daher:

Berechnung der Fläche einer Figur Dies ist vielleicht eines der schwierigsten Probleme in der Flächentheorie. In der Schulgeometrie lernen sie, die Flächen von geometrischen Grundformen wie zum Beispiel Dreieck, Raute, Rechteck, Trapez, Kreis usw. zu finden. Allerdings muss man sich oft mit der Berechnung der Flächen komplexerer Figuren auseinandersetzen. Bei der Lösung solcher Probleme ist es sehr praktisch, die Integralrechnung zu verwenden.

Definition.

Krummliniges Trapez eine Figur G wird aufgerufen, begrenzt durch die Linien y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a und x \u003d b, und die Funktion f (x) ist auf dem Segment [a; b] und ändert sein Vorzeichen darauf nicht (Abb. 1). Die Fläche eines krummlinigen Trapezes kann mit S(G) bezeichnet werden.

Das bestimmte Integral ʃ a b f(x)dx für die auf der Strecke [a; b] und ist die Fläche des entsprechenden krummlinigen Trapezes.

Das heißt, um die Fläche der Figur G zu finden, die durch die Linien y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a und x \u003d b begrenzt ist, muss das bestimmte Integral ʃ berechnet werden a b f (x) dx.

Auf diese Weise, S(G) = ʃ ein b f(x)dx.

Ist die Funktion y = f(x) auf [a; b], dann kann die Fläche des krummlinigen Trapezes durch die Formel gefunden werden S(G) = -ʃ ein b f(x)dx.

Beispiel 1

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Lösung.

Die gegebenen Linien bilden die Figur ABC, die schraffiert dargestellt ist Reis. 2.

Die gewünschte Fläche ist gleich der Differenz zwischen den Flächen des krummlinigen Trapezes DACE und des Quadrats DABE.

Mit der Formel S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) finden wir die Integrationsgrenzen. Dazu lösen wir ein System aus zwei Gleichungen:

(y \u003d x 3,
(j = 1.

Somit haben wir x 1 \u003d 1 - die Untergrenze und x \u003d 2 - die Obergrenze.

Also, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (Quadrateinheiten).

Antwort: 11/4 qm. Einheiten

Beispiel 2

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien y \u003d √x begrenzt ist; y = 2; x = 9.

Lösung.

Die gegebenen Geraden bilden die Figur ABC, die nach oben durch den Graphen der Funktion begrenzt wird

y \u003d √x und von unten der Graph der Funktion y \u003d 2. Die resultierende Figur wird durch Schraffur angezeigt Reis. 3.

Die gesuchte Fläche ist gleich S = ʃ a b (√x - 2). Lassen Sie uns die Integrationsgrenzen finden: b = 9, um a zu finden, lösen wir das System von zwei Gleichungen:

(y = √x,
(j = 2.

Somit haben wir, dass x = 4 = a die untere Grenze ist.

Also, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (quadratische Einheiten).

Antwort: S = 2 2/3 qm. Einheiten

Beispiel 3

Berechnen Sie die Fläche der Figur, die durch die Linien begrenzt wird y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Lösung.

Zeichnen wir die Funktion y \u003d x 3 - 4x für x ≥ 0. Dazu finden wir die Ableitung y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 bei х = ±2/√3 ≈ 1,1 sind kritische Punkte.

Wenn wir die kritischen Punkte auf die reelle Achse zeichnen und die Vorzeichen der Ableitung platzieren, erhalten wir, dass die Funktion von Null auf 2/√3 abnimmt und von 2/√3 auf plus unendlich ansteigt. Dann ist x = 2/√3 der Minimalpunkt, der Minimalwert der Funktion y ist min = -16/(3√3) ≈ -3.

Bestimmen wir die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen:

wenn x \u003d 0, dann y \u003d 0, was bedeutet, dass A (0; 0) der Schnittpunkt mit der Oy-Achse ist;

wenn y \u003d 0, dann x 3 - 4x \u003d 0 oder x (x 2 - 4) \u003d 0 oder x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, von wo x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (nicht geeignet, weil x ≥ 0).

Die Punkte A(0; 0) und B(2; 0) sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Ox-Achse.

Die angegebenen Linien bilden die OAB-Figur, die schraffiert dargestellt ist Reis. vier.

Da die Funktion y \u003d x 3 - 4x dann einen negativen Wert (0; 2) annimmt

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Wir haben: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, von wo aus S \u003d 4 Quadratmeter sind. Einheiten

Antwort: S = 4 qm. Einheiten

Beispiel 4

Finden Sie die Fläche der Figur, die durch die Parabel y \u003d 2x 2 - 2x + 1, die geraden Linien x \u003d 0, y \u003d 0 und die Tangente an diese Parabel am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d begrenzt ist 2.

Lösung.

Zuerst bilden wir die Gleichung der Tangente an die Parabel y \u003d 2x 2 - 2x + 1 am Punkt mit der Abszisse x₀ \u003d 2.

Da die Ableitung y' = 4x - 2 ist, erhalten wir für x 0 = 2 k = y'(2) = 6.

Finden Sie die Ordinate des Berührungspunkts: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Daher hat die Tangentengleichung die Form: y - 5 \u003d 6 (x - 2) oder y \u003d 6x - 7.

Lassen Sie uns eine Figur bauen, die durch Linien begrenzt ist:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - Parabel. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: A(0; 1) - mit der Oy-Achse; mit der Ox-Achse - es gibt keine Schnittpunkte, weil die Gleichung 2x 2 - 2x + 1 = 0 hat keine Lösungen (D< 0). Найдем вершину параболы:

xb \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, dh der Scheitelpunkt des Parabelpunkts B hat die Koordinaten B (1/2; 1/2).

Die Figur, deren Fläche bestimmt werden soll, ist also schraffiert dargestellt Reis. 5.

Wir haben: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Finden Sie die Koordinaten von Punkt D aus der Bedingung:

6x - 7 = 0, d.h. x \u003d 7/6, dann DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Wir finden die Fläche des Dreiecks DBC mit der Formel S ADBC ​​​​= 1/2 · DC · BC. Auf diese Weise,

S ADBC ​​​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 sq. Einheiten

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (Quadrateinheiten).

Schließlich erhalten wir: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (Quadrateinheiten).

Antwort: S = 1 1/4 Quadrat. Einheiten

Wir haben Beispiele überprüft Finden der Flächen von Figuren, die durch gegebene Linien begrenzt sind. Um solche Probleme erfolgreich zu lösen, müssen Sie in der Lage sein, Linien und Graphen von Funktionen auf einer Ebene zu erstellen, die Schnittpunkte von Linien zu finden und die Formel zum Ermitteln der Fläche anzuwenden, was die Fähigkeit und das Können zur Berechnung bestimmter Integrale impliziert.

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Definition. Die Differenz F (b) - F (a) heißt Integral der Funktion f (x) auf der Strecke [ a ; b ] und wird wie folgt bezeichnet: = F (b) - F (a) - die Newton-Leibniz-Formel.

Die geometrische Bedeutung des Integrals.

Die Fläche eines krummlinigen Trapezes, das durch einen kontinuierlichen positiven Graphen im Intervall [ a ; b ] der Funktion f (x), der Ox-Achse und den Geraden x=a und x=b:

Flächenberechnung mit dem Integral.

1. Die Fläche der Figur, die durch einen kontinuierlich negativen Graphen im Intervall [ a ; b ] der Funktion f (x), der Ox-Achse und den Geraden x=a und x=b:

2. Die Fläche einer Figur, die durch Graphen stetiger Funktionen f (x) und gerader Linien x \u003d a, x \u003d b begrenzt ist:

3. Die Fläche einer Figur, die durch Graphen stetiger Funktionen f (x) begrenzt ist und:

4. Die Fläche einer Figur, die durch Graphen stetiger Funktionen f (x) und der Ox-Achse begrenzt ist:

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Bevor Sie mit der Berechnung der Fläche einer durch vorgegebene Linien begrenzten Figur beginnen, versuchen Sie, diese Figur in einem Koordinatensystem zu zeichnen. Dies wird die Lösung des Problems erheblich erleichtern.

Das Studium theoretischer Materialien zu diesem Thema gibt Ihnen die Möglichkeit, die Konzepte Stammfunktion und Integral zu beherrschen, die Beziehung zwischen ihnen zu lernen, die einfachste Technik der Integralrechnung zu beherrschen und zu lernen, wie man das Integral zur Berechnung der durch die Funktion begrenzten Bereiche von Figuren anwendet Grafiken.

Beispiele.

1. Berechnen Sie das Integral

Lösung:

Antworten: 0.

2. Finden Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figur

a) f(x) = 2 X – X 2 und x-Achse

Lösung: Diagramm der Funktion f (x) \u003d 2x - x 2 Parabel. Scheitelpunkt: (1; 1).

Antworten:(Quadrateinheiten).