20. Mehrstufige Untersuchung von Polyederwinkeln, Eigenschaften von flachen Winkeln eines Dreikantwinkels und eines Polyederwinkels.

Ein Grundniveau von:

Atanasjan

Berücksichtigt nur Diederwinkel.

Pogorelow

Betrachtet zuerst den Diederwinkel und dann sofort Trieder und Polyeder.

Betrachten Sie drei Strahlen a, b, c, die von einem Punkt kommen und in derselben Ebene liegen. Ein dreiflächiger Winkel (abc) ist eine Figur, die sich aus drei flachen Winkeln (ab), (bc) und (ac) zusammensetzt (Abb. 400). Diese Winkel werden als Flächen eines dreiflächigen Winkels bezeichnet, und ihre Seiten werden als Kanten bezeichnet. Der gemeinsame Scheitelpunkt von flachen Winkeln wird Scheitelpunkt eines dreiflächigen Winkels genannt. Diederwinkel, die durch die Flächen eines dreiflächigen Winkels gebildet werden, werden als dieder Winkel eines dreiflächigen Winkels bezeichnet.

Der Begriff eines Polyederwinkels wird ähnlich eingeführt (Abb. 401).

Abb. 400 und Abb. 401

P Profilebene(A. D. Aleksndrov, A. L. Verner, V. I. Ryzhikh):

Überlassen wir die Definition und das Studium beliebiger Polyederwinkel § 31 und betrachten wir nun die einfachsten von ihnen - die Triederwinkel. Wenn in der Stereometrie Diederwinkel als Analoga von ebenen Winkeln betrachtet werden können, dann können Triederwinkel als Analoga von ebenen Dreiecken betrachtet werden, und in den folgenden Abschnitten werden wir sehen, wie sie natürlich mit sphärischen Dreiecken verwandt sind.

Sie können einen dreiflächigen Winkel wie folgt konstruieren (und daher konstruktiv definieren). Nehmen wir drei beliebige Strahlen a, b, c, die einen gemeinsamen Ursprung O haben und nicht in derselben Ebene liegen (Abb. 150). Diese Strahlen sind die Seiten von drei konvexen ebenen Winkeln: Winkel α mit den Seiten b, c, Winkel β mit den Seiten a, c und Winkel γ mit den Seiten a, b. Die Vereinigung dieser drei Winkel α, β, γ heißt Dreikantwinkel Oabc (oder kurz Dreikantwinkel O). Die Strahlen a, b, c heißen Kanten des Dreikantwinkels Oabc, die ebenen Winkel α, β, γ heißen Flächen. Der Punkt O heißt Scheitelpunkt des Dreikantwinkels.

Anmerkung 3. Es wäre möglich, einen dreiflächigen Winkel mit einer nicht konvexen Fläche zu definieren (Abb. 151), aber wir werden solche dreiflächigen Winkel nicht betrachten.

Für jede der Kanten eines Dreikantwinkels wird ein entsprechender Diederwinkel ermittelt, derart, dass dessen Kante die entsprechende Kante des Dreikantwinkels enthält und dessen Flächen die an diese Kante angrenzenden Flächen des Dreikantwinkels enthalten.

Die Werte der Flächenwinkel des Dreiflächenwinkels Oabc an den Kanten a, b, c werden jeweils mit a^, b^, c^ (Großbuchstaben direkt über den Buchstaben) bezeichnet.

Dabei werden drei Flächen α, β, γ des Dreikantwinkels Oabc und drei seiner Diederwinkel an den Kanten a, b, c, sowie die Werte α, β, γ und a^, b^, c^ sein Elemente des Dreikantwinkels genannt. (Denken Sie daran, dass die Elemente eines flachen Dreiecks seine Seiten und seine Winkel sind.)

Unsere Aufgabe ist es, einige Elemente eines Dreikantwinkels durch seine anderen Elemente auszudrücken, d.h. eine "Trigonometrie" von Dreikantwinkeln zu erstellen.

1) Beginnen wir mit der Ableitung eines Analogons des Kosinussatzes. Betrachten Sie zunächst einen solchen dreiflächigen Winkel Oabc, der mindestens zwei Flächen hat, beispielsweise sind α und β spitze Winkel. Nimm einen Punkt C auf seiner Kante c und ziehe von ihm in den Flächen α und β die Senkrechten CB und CA zur Kante c, bis sie die Kanten a und b in den Punkten A und B schneiden (Abb. 152). Den Abstand AB von den Dreiecken OAB und CAB drücken wir mit dem Kosinussatz aus.

AB 2 \u003d AC 2 + BC 2 -2AC * BC * Cos (c ^) und AB 2 \u003d OA 2 + OB 2 -2AO * BO * Cosγ.

Subtrahieren wir die erste Gleichheit von der zweiten Gleichheit, erhalten wir:

OA 2 -AC 2 + OB 2 - BC 2 + 2AC * BC * Cos (c ^) -2AO * BO * Cosγ \u003d 0 (1). weil Dreiecke OSV und OSA sind rechteckig, dann AC 2 - AC 2 \u003d OS 2 und OB 2 - BC 2 \u003d OS 2 (2)

Daher folgt aus (1) und (2) OA*OB*Cosγ=OC 2 +AC*BC*Cos(c^)

jene.

Aber
,
,
,
. So

(3) ist ein Analogon des Kosinussatzes für dreiflächige Winkel Kosinus-Formel.

Beide Flächen α und β sind stumpfe Winkel.

Einer der Winkel α und β, beispielsweise α, ist spitz, der andere β-stumpf.

Mindestens 1 der Winkel α oder β ist rechts.

Zeichen der Gleichheit von Dreikantwinkelnähnlich den Zeichen der Gleichheit von Dreiecken. Aber es gibt einen Unterschied: Beispielsweise sind zwei Dreikantwinkel gleich, wenn ihre Diederwinkel jeweils gleich sind. Denken Sie daran, dass zwei ebene Dreiecke, deren entsprechende Winkel gleich sind, ähnlich sind. Und für dreiflächige Winkel führt eine ähnliche Bedingung nicht zu Ähnlichkeit, sondern zu Gleichheit.

Triederwinkel haben eine bemerkenswerte Eigentum was Dualität genannt wird. Wenn wir in irgendeinem Satz über den Dreikantwinkel Oabc die Größen a, b, c durch π-α, π-β, π-γ ersetzen und umgekehrt α, β, γ durch π-a^, π-b^ ersetzen , π -c^ erhalten wir dann wieder die korrekte Aussage über Dreikantwinkel, die dual zum ursprünglichen Satz ist. Wenn im Sinussatz eine solche Ersetzung vorgenommen wird, kommen wir zwar wieder zum Sinussatz (er ist mit sich selbst dual). Aber wenn wir das im Kosinussatz (3) machen, dann bekommen wir eine neue Formel

cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.

Warum eine solche Dualität stattfindet, wird klar, wenn wir für einen Dreikantwinkel seinen dualen Dreikantwinkel konstruieren, dessen Kanten senkrecht auf den Flächen des ursprünglichen Winkels stehen (s. Abschn. 33.3 und Abb. 356).

Einige der einfachsten Oberflächen sind polyedrische Winkel. Sie bestehen aus gewöhnlichen Winkeln (wir werden solche Winkel jetzt oft als flache Winkel bezeichnen), genau wie eine geschlossene unterbrochene Linie aus Segmenten besteht. Es wird nämlich folgende Definition gegeben:

Ein Polyederwinkel ist eine Figur, die durch flache Winkel gebildet wird, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) Keine zwei Winkel haben gemeinsame Punkte außer ihrem gemeinsamen Scheitelpunkt oder ihrer ganzen Seite.

2) Jeder dieser Winkel hat jede Seite mit einem und nur einem anderen solchen Winkel gemeinsam.

3) Von jeder Ecke zu jeder Ecke können Sie entlang der Ecken gehen, die gemeinsame Seiten haben.

4) Keine zwei Winkel mit einer gemeinsamen Seite liegen in derselben Ebene (Abb. 324).

Unter dieser Bedingung werden die ebenen Winkel, die einen Polyederwinkel bilden, seine Flächen genannt, und ihre Seiten werden seine Kanten genannt.

Auch ein Diederwinkel passt zu dieser Definition. Es besteht aus zwei entwickelten flachen Ecken. Jeder Punkt an seiner Kante kann als Scheitelpunkt betrachtet werden, und dieser Punkt teilt die Kante in zwei Kanten, die am Scheitelpunkt zusammenlaufen. Aber angesichts dieser Unsicherheit in der Position des Scheitels wird der Diederwinkel von der Anzahl der Polyederwinkel ausgeschlossen.

P

Das Konzept eines Polyederwinkels ist insbesondere bei der Untersuchung von Polyedern wichtig - in der Theorie der Polyeder. Die Struktur eines Polyeders ist dadurch gekennzeichnet, aus welchen Flächen es besteht und wie sie an den Ecken zusammenlaufen, also welche Polyederwinkel es gibt.

Betrachten Sie die Polyederwinkel verschiedener Polyeder.

Beachten Sie, dass die Flächen von Polyederecken auch nicht konvexe Ecken sein können.

№1 Datum05.09.14

Thema Geometrie

Klasse 11

Unterrichtsthema: Das Konzept eines Polyederwinkels. dreieckiger Winkel.

Unterrichtsziele:

die Begriffe einführen: „Dreikantwinkel“, „Polyederwinkel“, „Polyeder“;

die Schüler mit den Elementen von Dreikant- und Polyederwinkeln, einem Polyeder sowie den Definitionen eines konvexen Polyederwinkels und den Eigenschaften flacher Winkel eines Polyederwinkels vertraut zu machen;

die Arbeit an der Entwicklung räumlicher Darstellungen und räumlicher Vorstellungskraft sowie des logischen Denkens der Schüler fortzusetzen.

Unterrichtstyp: Neues Material lernen

WÄHREND DER KLASSEN

1. Organisatorischer Moment.

Begrüßung der Schüler, Überprüfung der Bereitschaft der Klasse für den Unterricht, Organisation der Aufmerksamkeit der Schüler, Offenlegung der allgemeinen Ziele des Unterrichts und seines Plans.

2. Bildung neuer Konzepte und Handlungsmethoden.

Aufgaben: Gewährleistung der Wahrnehmung, des Verständnisses und des Auswendiglernens des studierten Materials durch die Schüler. Um sicherzustellen, dass die Studenten die Methodik zur Reproduktion des studierten Materials beherrschen, um das philosophische Verständnis der Konzepte, Gesetze, Regeln und Formeln zu fördern, die assimiliert werden. Die Korrektheit und das Bewusstsein des studierten Materials durch die Schüler feststellen, Lücken im primären Verständnis identifizieren, eine Korrektur durchführen. Um sicherzustellen, dass die Schüler ihre subjektiven Erfahrungen mit den Zeichen wissenschaftlicher Erkenntnis in Beziehung setzen.

Lassen Sie drei Strahlen gegeben werdena, b unds s gemeinsamen AusgangspunktÖ (Abb. 1.1). Diese drei Strahlen liegen nicht notwendigerweise in derselben Ebene. In Abbildung 1.2 die Strahlenb undmit in einem Flugzeug liegenR, ein Strahla liegt nicht in dieser Ebene.

Strahlena, b undmit Paare definieren drei flache Winkel, die durch Bögen gekennzeichnet sind (Abb. 1.3).

Stellen Sie sich eine Figur vor, die aus den drei oben angegebenen Winkeln und dem von diesen flachen Winkeln begrenzten Teil des Raums besteht. Diese räumliche Figur heißtdreieckiger Winkel (Abb. 2).

Strahlena, b und mit namensKanten eines dreiflächigen Winkels, und die Ecken: = AOK, = AOB,

= BOC , Begrenzung des Dreikantwinkels, - seinGesichter. Diese Ecken bilden sichdreiflächige Oberfläche. PunktÖ namensScheitelpunkt eines dreiflächigen Winkels. Ein dreiflächiger Winkel kann wie folgt bezeichnet werden: OABC

Nachdem wir alle in Abbildung 3 gezeigten Polyederwinkel sorgfältig untersucht haben, können wir den Schluss ziehen, dass jeder der Polyederwinkel die gleiche Anzahl von Kanten und Flächen hat:

4 Flächen und ein Scheitel;

eine fünfseitige Ecke hat 5 Kanten, 5 Flächen und einen Scheitelpunkt;

• 
  Eine sechseckige Ecke hat 6 Kanten, 6 Flächen und einen Scheitelpunkt usw.

Polyederwinkel sind konvex und nicht konvex.

Stellen Sie sich vor, wir hätten vier Strahlen mit einem gemeinsamen Ursprung genommen, wie in Abbildung 4. In diesem Fall haben wir bekommennicht konvexer Polyederwinkel.

Definition 1. Ein Polyederwinkel heißt konvexer Winkel,Wenn erliegt auf einer Seite der Ebene jeder seiner Flächen.

Mit anderen Worten, ein konvexer Polyederwinkel kann immer mit jeder seiner Flächen auf einer Ebene platziert werden. Sie sehen, dass dies in dem in Abbildung 4 gezeigten Fall nicht immer möglich ist. Der in Abbildung 4 gezeigte Tetraederwinkel ist nicht konvex.

Beachten Sie, dass wir in unserem Tutorial mit „Polyederwinkel“ meinen, dass er konvex ist. Wenn der betrachtete Polyederwinkel nicht konvex ist, wird dies gesondert besprochen.

Eigenschaften von ebenen Ecken einer polyedrischen Ecke

Satz 1.Jeder flache Winkel eines dreiflächigen Winkels ist kleiner als die Summe der anderen zwei flachen Winkel.

Satz 2.Die Summe der Werte aller ebenen Winkel eines konvexen Polyederwinkels ist kleiner als 360°.

3. Bewerbung. Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Ziele: Sicherstellen, dass die Studierenden die Kenntnisse und Handlungsmethoden anwenden, die sie für SW benötigen, Bedingungen schaffen, damit die Studierenden individuelle Wege der Anwendung des Gelernten erkennen können.

6. Informieren Sie sich über die Hausaufgaben.

Ziele: Sicherstellen, dass die Schüler den Zweck, den Inhalt und die Methoden der Hausaufgaben verstehen.

§1(1.1, 1.2) S. 4, Nr. 9.

7. Zusammenfassung der Lektion.

Ziel: Eine qualitative Einschätzung der Arbeit der Klasse und einzelner Schüler geben.

8. Reflexionsphase.

Aufgaben: Reflexion der Schüler über die Selbsteinschätzung ihrer Aktivitäten anregen. Um sicherzustellen, dass die Schüler die Prinzipien der Selbstregulierung und Zusammenarbeit lernen.

Gespräch über:

Was fandest du interessant im Unterricht?

Was ist nicht klar?

Worauf sollte der Lehrer in der nächsten Stunde achten?

Wie würden Sie Ihre Arbeit im Unterricht bewerten?

dreieckiger Winkel

dreieckiger Winkel.

dreieckiger Winkel- Dies ist ein Teil des Raums, der von drei flachen Ecken mit einem gemeinsamen Scheitel und paarweise gemeinsamen Seiten begrenzt wird, die nicht in derselben Ebene liegen. Der gemeinsame Scheitel O dieser Winkel heißt Scheitel des Dreikantwinkels. Die Seiten der Ecken werden Kanten genannt, die flachen Ecken am Scheitel eines dreiflächigen Winkels werden als Flächen bezeichnet. Jedes der drei Flächenpaare eines Dreikantwinkels bildet einen Diederwinkel (begrenzt durch eine dritte Fläche, die nicht im Paar enthalten ist; falls erforderlich, wird diese Einschränkung natürlich aufgehoben, was zu den erforderlichen Halbebenen führt, die die gesamte Dieder bilden Winkel ohne Einschränkung). Legt man den Scheitel eines Dreikantwinkels in den Mittelpunkt einer Kugel, so entsteht auf ihrer Oberfläche ein von ihm begrenztes sphärisches Dreieck, dessen Seiten gleich den ebenen Winkeln des Dreikantwinkels und die Winkel gleich seinen Diederwinkeln sind .

Die Dreiecksungleichung für einen dreiflächigen Winkel

Jeder flache Winkel eines dreiflächigen Winkels ist kleiner als die Summe seiner anderen zwei flachen Winkel.

Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreikantwinkels

Die Summe der ebenen Winkel eines Dreikantwinkels ist kleiner als 360 Grad.

Nachweisen

Sei OABC ein gegebener dreiflächiger Winkel. Betrachten Sie einen dreiflächigen Winkel mit Scheitelpunkt A, der durch die Flächen ABO, ACO und den Winkel BAC gebildet wird. Schreiben wir die Ungleichung:

In ähnlicher Weise gilt für die verbleibenden dreiflächigen Winkel mit den Eckpunkten B und C:

Wenn wir diese Ungleichungen addieren und berücksichtigen, dass die Summe der Winkel des Dreiecks ABC 180° beträgt, erhalten wir

Somit:

Kosinussatz für einen Dreikantwinkel

Erster Kosinussatz für einen Dreikantwinkel

Zweiter Kosinussatz für einen Dreikantwinkel
wobei α, β, γ ebene Winkel sind, A, B, C Flächenwinkel sind, die aus Ebenen der Winkel β und γ, α und γ, α und β zusammengesetzt sind.

Beweis des Zweiten Kosinussatzes für einen Dreikantwinkel

Sei OABC ein gegebener dreiflächiger Winkel. Lassen Sie uns die Senkrechten vom inneren Punkt des dreiflächigen Winkels auf seine Flächen fallen lassen und erhalten Sie einen neuen polaren dreiflächigen Winkel (dual zu dem gegebenen). Die flachen Winkel eines Dreikantwinkels ergänzen die Diederwinkel eines anderen, und die Diederwinkel eines Winkels ergänzen die flachen Winkel eines anderen bis zu 180 Grad. Jene. die ebenen Winkel des Polarwinkels sind jeweils gleich: 180 - A; 180 - B; 180 - C und Dieder - 180 - α; 180-β; 180-γ

Schreiben wir dafür den ersten Kosinussatz

und nach Vereinfachungen erhalten wir:

Sinussatz für einen Dreikantwinkel

Wobei α, β, γ die ebenen Winkel des Dreikantwinkels sind; A, B, C - entgegengesetzte Diederwinkel.

siehe auch

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie, was "Triederwinkel" in anderen Wörterbüchern ist:

Teil des Raumes, der von einer unendlichen dreieckigen Pyramide begrenzt wird (siehe Abb.). Die Flächen dieser Pyramide werden die Flächen des T. u. genannt, ihre Spitze ist die Spitze des T. u. Die Rippen bilden ... ... Große sowjetische Enzyklopädie

dreieckiger Winkel- Eine räumliche Figur, die aus drei Strahlen besteht, die von einem Punkt ausgehen und nicht in derselben Ebene liegen. Ingenieurthemen im Allgemeinen… Handbuch für technische Übersetzer

Siehe Raumwinkel. * * * DREIECKWINKEL DREIFEDRALWINKEL, siehe Raumwinkel (siehe Raumwinkel) … Enzyklopädisches Wörterbuch Enzyklopädisches Wörterbuch

Ein Teil des Raums, der von einem bestimmten Kegelschwarm begrenzt wird. Oberfläche (Abb. 1); insbesondere sind die dreiflächigen (Abb. 2) und polyedrischen (Abb. 3) Winkel jeweils begrenzt. drei und mehr flache Flächen konvergieren an der Spitze von T. at. Der Wert von T. bei. ist gleich der Beziehung ... ... Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

dreieckig- oh, oh. 1) Drei Gesichter haben. Dreieckige Datei. Ts Bajonette. 2) Mathematik. Gebildet durch den Schnittpunkt dreier Flächen, die durch einen Punkt verlaufen. Trieder / Ny-Winkel ... Wörterbuch vieler Ausdrücke

Ein rechtwinkliges sphärisches Dreieck mit Hypotenuse c, Beinen a und b und rechtem Winkel C. Der sphärische Satz des Pythagoras ist ein Satz, der die Beziehung zwischen den Seiten eines Rechtecks ​​herstellt ... Wikipedia

Mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt und paarweise gemeinsamen Seiten, die nicht in derselben Ebene liegen. Der gemeinsame Scheitel O dieser Winkel heißt Scheitel des Dreikantwinkels. Die Seiten der Ecken werden Kanten genannt, die flachen Ecken am Scheitel eines dreiflächigen Winkels werden als Flächen bezeichnet. Jedes der drei Flächenpaare eines Dreikantwinkels bildet einen Diederwinkel (begrenzt durch eine dritte Fläche, die nicht im Paar enthalten ist; falls erforderlich, wird diese Einschränkung natürlich aufgehoben, was zu den erforderlichen Halbebenen führt, die die gesamte Dieder bilden Winkel ohne Einschränkung). Setzen wir den Scheitel eines Dreikantwinkels in den Mittelpunkt einer Kugel, so entsteht auf ihrer Oberfläche ein von ihm begrenztes Kugeldreieck, dessen Seiten den ebenen Winkeln des Dreikantwinkels und die Winkel seinen Diederwinkeln gleich sind .

Die Dreiecksungleichung für einen dreiflächigen Winkel

Jeder flache Winkel eines dreiflächigen Winkels ist kleiner als die Summe seiner anderen zwei flachen Winkel.

Die Summe der Ebenenwinkel eines Dreikantwinkels

Die Summe der ebenen Winkel eines Dreikantwinkels ist kleiner als 360 Grad.

Nachweisen

Sei OABC ein gegebener dreiflächiger Winkel (siehe Abb. 1). Betrachten Sie einen dreiflächigen Winkel mit Scheitelpunkt A, der durch die Flächen ABO, ACO und den Winkel BAC gebildet wird. Schreiben wir die Ungleichung:

In ähnlicher Weise gilt für die verbleibenden dreiflächigen Winkel mit den Eckpunkten B und C:

Wenn wir diese Ungleichungen addieren und berücksichtigen, dass die Summe der Winkel des Dreiecks ABC 180° beträgt, erhalten wir

Somit:

Kosinussatz für einen Dreikantwinkel

Gegeben sei ein dreiflächiger Winkel (siehe Abb. 2), α, β, γ - seine flachen Winkel, A, B, C - Diederwinkel, die aus Ebenen der Winkel β und γ, α und γ, α und β bestehen.

Der erste Kosinussatz für einen Dreikantwinkel: $\backslash cos\; (\backslash alpha)\; =\; \backslash cos\; (\backslash beta)\; \backslash cos\; (\backslash gamma)\; +\; \backslash sin\; (\backslash beta)\; \backslash sin\; (\backslash gamma)\; \backslash cos\; (A)$

Der zweite Kosinussatz für einen Dreikantwinkel: $\backslash cos\; (A)\; =\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)\; +\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; ,$

Beweis des zweiten Kosinussatzes für einen Triederwinkel

Sei OABC ein gegebener dreiflächiger Winkel. Lassen Sie uns die Senkrechten vom inneren Punkt des dreiflächigen Winkels auf seine Flächen fallen lassen und erhalten Sie einen neuen polaren dreiflächigen Winkel (dual zu dem gegebenen). Die flachen Winkel eines Dreikantwinkels ergänzen die Diederwinkel eines anderen, und die Diederwinkel eines Winkels ergänzen die flachen Winkel eines anderen bis zu 180 Grad. Das heißt, die Ebenenwinkel des Polarwinkels sind jeweils gleich: 180 - A; 180 - B; 180 - C und Dieder - 180 - α; 180-β; 180-γ

Schreiben wir dafür den ersten Kosinussatz

$\backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; A))\; =\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; \backslash alpha))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash sin\; ((\backslash pi\; -\; C))\; +$ $+\backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; B))\; \backslash cos\; ((\backslash pi\; -\; C))$

und nach Vereinfachungen erhalten wir:

$\backslash cos\; (A)\; =\; \backslash cos\; (\backslash alpha)\; \backslash sin\; (B)\; \backslash sin\; (C)\; -\; \backslash cos\; (B)\; \backslash cos\; (C)$

Sinussatz für einen Dreikantwinkel

$(\backslash sin(\backslash alpha)\; \backslash over\; \backslash sin\; A)\; =\; (\backslash sin\; \backslash beta\; \backslash over\; \backslash sin\; B)\; =\; (\; \backslash sin\; \backslash gamma\; \backslash over\; \backslash sin\; C)$, wobei α, β, γ die Ebenenwinkel des Dreikantwinkels sind; A, B, C - entgegengesetzte Diederwinkel (siehe Abb. 2).

siehe auch

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Ein Ausschnitt, der den dreiflächigen Winkel charakterisiert

- Pflanze es. Setz dich, Schatz, setz dich. Zieh deinen Mantel an, Antonov.
Juncker war Rostow. Die andere hielt er mit einer Hand, war blass, und sein Unterkiefer zitterte vor fieberhaftem Zittern. Sie setzten ihn auf Matvevna, genau auf die Waffe, aus der der tote Offizier niedergelegt wurde. Auf dem gefütterten Mantel war Blut, in dem Rostovs Hose und Hände beschmutzt waren.
- Was, bist du verletzt, meine Liebe? - sagte Tuschin und näherte sich der Waffe, auf der Rostov saß.
- Nein, geschockt.
- Warum ist Blut auf dem Bett? fragte Tuschin.
"Dieser Offizier, Euer Ehren, hat geblutet", antwortete der Artilleriesoldat, wischte das Blut mit dem Ärmel seines Mantels ab und entschuldigte sich für die Unreinheit, in der sich die Waffe befand.
Gewaltsam, mit Hilfe der Infanterie, brachten sie die Geschütze den Berg hinauf, und als sie das Dorf Guntersdorf erreichten, hielten sie an. Es war bereits so dunkel, dass man auf zehn Schritte die Uniformen der Soldaten nicht mehr erkennen konnte, und das Gefecht begann sich zu legen. Plötzlich waren nahe der rechten Seite wieder Rufe und Schüsse zu hören. Von den Schüssen leuchtete bereits im Dunkeln. Dies war der letzte Angriff der Franzosen, der von den Soldaten beantwortet wurde, die sich in den Häusern des Dorfes niederließen. Wieder stürmte alles aus dem Dorf, aber Tuschins Kanonen konnten sich nicht bewegen, und die Kanoniere, Tuschin und der Kadett, sahen sich schweigend an und warteten auf ihr Schicksal. Das Feuergefecht ließ nach, und lebhafte Soldaten strömten aus einer Seitenstraße.
- Tsel, Petrow? fragte einer.
- Gefragt, Bruder, die Hitze. Jetzt kommen sie nicht mehr, sagte ein anderer.
- Nichts zu sehen. Wie sie es in ihrem gebraten haben! nicht zu sehen; Dunkelheit, Brüder. Gibt es etwas zu trinken?
Die Franzosen wurden zum letzten Mal zurückgeschlagen. Und wieder, in völliger Dunkelheit, bewegten sich Tushins Kanonen, als wären sie von einem Rahmen brüllender Infanterie umgeben, irgendwo vorwärts.
In der Dunkelheit war es, als würde ein unsichtbarer, düsterer Fluss fließen, alles in eine Richtung, summend mit Flüstern, Stimmen und Geräuschen von Hufen und Rädern. Im allgemeinen Grollen war wegen all der anderen Geräusche das Stöhnen und die Stimmen der Verwundeten in der Dunkelheit der Nacht am deutlichsten. Ihr Stöhnen schien all diese Dunkelheit zu füllen, die die Truppen umgab. Ihr Stöhnen und die Dunkelheit dieser Nacht waren ein und dasselbe. Nach einer Weile entstand ein Aufruhr in der sich bewegenden Menge. Jemand ritt mit Gefolge auf einem weißen Pferd und sagte während der Fahrt etwas. Was hast du gesagt? Wohin jetzt? Bleib, was? Danke, oder? - Von allen Seiten waren gierige Fragen zu hören, und die gesamte sich bewegende Masse begann sich zu drücken (es ist klar, dass die vorderen anhielten), und es ging das Gerücht um, dass ihr befohlen wurde, anzuhalten. Alle hielten im Gehen mitten auf einer schlammigen Straße an.
Die Lichter gingen an und die Stimme wurde lauter. Kapitän Tuschin, der der Kompanie Befehle erteilt hatte, schickte einen der Soldaten, um nach einer Umkleidestation oder einem Arzt für den Kadetten zu suchen, und setzte sich an das Feuer, das die Soldaten auf der Straße ausgelegt hatten. Auch Rostov schleppte sich zum Feuer. Fieberhaftes Zittern vor Schmerzen, Kälte und Nässe schüttelten seinen ganzen Körper. Der Schlaf trieb ihn unwiderstehlich, aber er konnte wegen der quälenden Schmerzen in seinem schmerzenden und aus der Position geratenen Arm nicht schlafen. Entweder schloß er die Augen oder blickte auf das Feuer, das ihm glühend rot vorkam, dann auf die gebeugte, schwache Gestalt Tuschins, die in türkischer Manier neben ihm saß. Tushins große, freundliche und intelligente Augen fixierten ihn mit Sympathie und Mitgefühl. Er sah, dass Tushin von ganzem Herzen wollte und ihm in keiner Weise helfen konnte.

Betrachten wir drei Strahlen a, b, c, die von demselben Punkt ausgehen und nicht in derselben Ebene liegen. Ein dreiflächiger Winkel (abc) ist eine Figur, die aus „drei flachen Winkeln (ab), (bc) und (ac) (Abb. 2) besteht. Diese Winkel werden als Flächen eines dreiflächigen Winkels bezeichnet, und ihre Seiten sind Kanten, die Der gemeinsame Scheitelpunkt der flachen Winkel heißt Die Diederwinkel, die durch die Flächen eines Dreikantwinkels gebildet werden, werden Diederwinkel eines Dreikantwinkels genannt.

Der Begriff eines Polyederwinkels wird ähnlich definiert (Abb. 3).

Polyeder

In der Stereometrie werden Figuren im Raum, Körper genannt, untersucht. Visuell muss man sich einen (geometrischen) Körper als Teil eines Raumes vorstellen, der von einem physischen Körper eingenommen und von einer Fläche begrenzt wird.

Ein Polyeder ist ein Körper, dessen Oberfläche aus endlich vielen flachen Polygonen besteht (Abb. 4). Ein Polyeder heißt konvex, wenn es auf einer Seite der Ebene jedes flachen Polygons auf seiner Oberfläche liegt. Der gemeinsame Teil einer solchen Ebene und der Oberfläche eines konvexen Polyeders wird als Fläche bezeichnet. Die Flächen eines konvexen Polyeders sind flache konvexe Polygone. Die Seiten der Flächen werden als Kanten des Polyeders bezeichnet, und die Ecken werden als Ecken des Polyeders bezeichnet.

Erläutern wir das Gesagte am Beispiel eines bekannten Würfels (Abb. 5). Der Würfel ist ein konvexer Polyeder. Seine Oberfläche besteht aus sechs Quadraten: ABCD, BEFC, .... Sie sind seine Gesichter. Die Kanten des Würfels sind die Seiten dieser Quadrate: AB, BC, BE,.... Die Ecken des Würfels sind die Ecken der Quadrate: A, B, C, D, E, .... Der Würfel hat sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken.

Die einfachsten Polyeder - Prismen und Pyramiden, die das Hauptobjekt unserer Studie sein werden - werden Definitionen geben, die im Wesentlichen nicht das Konzept eines Körpers verwenden. Sie werden als geometrische Figuren mit Angabe aller zu ihnen gehörenden Raumpunkte definiert. Der Begriff eines geometrischen Körpers und seiner Oberfläche im allgemeinen Fall wird später gegeben.