Betrachten wir eine Ebene Q im Raum, deren Lage vollständig bestimmt ist durch Angabe eines Vektors N senkrecht zu dieser Ebene und eines in der Ebene Q liegenden Fixpunktes. Der Vektor N senkrecht zur Ebene Q heißt Normalenvektor dieser Ebene. Wenn wir mit A, B und C die Projektionen des Normalenvektors N bezeichnen, dann

Lassen Sie uns die Gleichung der Ebene Q herleiten, die durch den gegebenen Punkt geht und den gegebenen Normalenvektor hat. Betrachten Sie dazu einen Vektor, der einen Punkt mit einem beliebigen Punkt der Ebene Q verbindet (Abb. 81).

Für jede Position des Punktes M auf der Ebene Q steht der MXM-Vektor senkrecht zum Normalenvektor N der Ebene Q. Daher das Skalarprodukt Schreiben wir das Skalarprodukt in Form von Projektionen. Da , und Vektor , dann

und daher

Wir haben gezeigt, dass die Koordinaten jedes Punktes der Q-Ebene die Gleichung (4) erfüllen. Es ist leicht einzusehen, dass die Koordinaten von Punkten, die nicht auf der Ebene Q liegen, diese Gleichung nicht erfüllen (im letzteren Fall ). Daher haben wir die erforderliche Gleichung der Ebene Q erhalten. Gleichung (4) wird die Gleichung der Ebene genannt, die durch den gegebenen Punkt verläuft. Es ist vom ersten Grad relativ zu den aktuellen Koordinaten

Wir haben also gezeigt, dass jede Ebene einer Gleichung ersten Grades in Bezug auf die aktuellen Koordinaten entspricht.

Beispiel 1. Schreiben Sie die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt verläuft, der senkrecht zum Vektor steht.

Entscheidung. Hier . Basierend auf Formel (4) erhalten wir

oder nach Vereinfachung

Indem wir den Koeffizienten A, B und C der Gleichung (4) unterschiedliche Werte geben, können wir die Gleichung jeder Ebene erhalten, die durch den Punkt verläuft. Die Menge von Ebenen, die durch einen bestimmten Punkt gehen, wird als Bündel von Ebenen bezeichnet. Gleichung (4), in der die Koeffizienten A, B und C beliebige Werte annehmen können, heißt Ebenengleichung.

Beispiel 2. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch drei Punkte geht (Abb. 82).

Entscheidung. Schreiben wir die Gleichung für ein Bündel von Ebenen, die durch einen Punkt gehen

ist die allgemeine Gleichung einer Ebene im Raum

Normaler Ebenenvektor

Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein Vektor ungleich Null, der orthogonal zu jedem in der Ebene liegenden Vektor ist.

Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt mit einem gegebenen Normalenvektor geht

ist die Gleichung der durch den Punkt M0 gehenden Ebene mit einem gegebenen Normalenvektor

Ebene Richtungsvektoren

Zwei nicht kollineare Vektoren parallel zur Ebene heißen Richtungsvektoren der Ebene

Parametrische Ebenengleichungen

– Parametergleichung der Ebene in Vektorform

ist die Parametergleichung der Ebene in Koordinaten

Gleichung einer Ebene durch einen gegebenen Punkt und zwei Richtungsvektoren

-Fixpunkt

nur ein Punkt lol

sind koplanar, ihr Mischprodukt ist also 0.

Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte geht

– Ebenengleichung durch drei Punkte

Gleichung einer Ebene in Segmenten

- Ebenengleichung in Segmenten

Nachweisen

Um dies zu beweisen, verwenden wir die Tatsache, dass unsere Ebene durch A, B, C und den Normalenvektor verläuft

Setzen wir die Koordinaten des Punktes und den Vektor n in die Gleichung der Ebene durch den Normalenvektor ein

Teile alles durch und erhalte

Also geht es.

Normale Ebenengleichung

ist der Winkel zwischen ox und dem Normalenvektor zur Ebene, der aus O kommt.

ist der Winkel zwischen oy und dem Normalenvektor zur Ebene, ausgehend von O.

ist der Winkel zwischen oz und dem Normalenvektor zur Ebene, ausgehend von O.

ist der Abstand vom Koordinatenursprung zur Ebene.

Beweise oder so ein Blödsinn

Das Zeichen ist gegenüber D.

Ähnlich für andere Cosinus. Ende.

Abstand von Punkt zu Ebene

Punkt S, Ebene

ist der orientierte Abstand vom Punkt S zur Ebene

Wenn , dann liegen S und O auf gegenüberliegenden Seiten der Ebene

Wenn , dann liegen S und O auf der gleichen Seite

Multipliziere mit n

Gegenseitige Anordnung zweier Linien im Raum

Winkel zwischen Ebenen

Am Schnittpunkt werden zwei Paare vertikaler Diederwinkel gebildet, der kleinste wird als Winkel zwischen den Ebenen bezeichnet

Gerade im Raum

Eine Linie im Raum kann als angegeben werden

Schnittpunkt zweier Ebenen:

Parametrische Gleichungen einer Geraden

- parametrische Gleichung einer geraden Linie in Vektorform

ist die parametrische Gleichung einer geraden Linie in Koordinaten

Kanonische Gleichung

ist die kanonische Gleichung einer Geraden.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht

– kanonische Geradengleichung in Vektorform;

Gegenseitige Anordnung zweier Linien im Raum

Gegenseitige Anordnung einer Geraden und einer Ebene im Raum

Winkel zwischen Linie und Ebene

Abstand von einem Punkt zu einer Linie im Raum

a ist der Richtungsvektor unserer Geraden.

ist ein beliebiger Punkt, der zu einer gegebenen Linie gehört

- der Punkt, zu dem wir die Entfernung suchen.

Abstand zwischen zwei sich schneidenden Linien

Abstand zwischen zwei parallelen Linien

M1 - Punkt der ersten Linie

M2 ist ein Punkt, der zur zweiten Linie gehört

Kurven und Flächen zweiter Ordnung

Eine Ellipse ist eine Menge von Punkten in einer Ebene, wobei die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten (Brennpunkten) ein konstanter Wert ist.

Kanonische Gleichung einer Ellipse

Ersetzen wir es durch

Teilen durch

Ellipseneigenschaften

Schnittpunkt mit Koordinatenachsen

Symmetrie über

1. Ursprünge

Eine Ellipse ist eine Kurve, die in einem begrenzten Teil einer Ebene liegt

Aus einem Kreis kann durch Strecken oder Stauchen eine Ellipse entstehen

Parametergleichung einer Ellipse:

- Direktoren

Hyperbel

Eine Hyperbel ist eine Menge von Punkten in einer Ebene, für die der Modul der Abstandsdifferenz zu 2 gegebenen Punkten (Brennpunkten) ein konstanter Wert ist (2a)

Wir machen alles genauso wie bei der Ellipse, wir bekommen

Ersetzen mit

Teilen durch

Eigenschaften einer Hyperbel

;

- Direktoren

Asymptote

Eine Asymptote ist eine gerade Linie, der sich die Kurve unendlich nähert und ins Unendliche zurückgeht.

Parabel

Parabot-Eigenschaften

Beziehung zwischen Ellipse, Hyperbel und Parabel.

Die Beziehung zwischen diesen Kurven hat eine algebraische Erklärung: Sie sind alle durch Gleichungen zweiten Grades gegeben. In jedem Koordinatensystem haben die Gleichungen dieser Kurven die Form: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, wobei a, b, c, d, e, f Zahlen sind

Transformation rechtwinkliger kartesischer Koordinatensysteme

Parallelverschiebung des Koordinatensystems

–O’ im alten Koordinatensystem

– Koordinaten des Punktes im alten Koordinatensystem

– Koordinaten des Punktes im neuen Koordinatensystem

Punktkoordinaten im neuen Koordinatensystem.

Drehen in einem kartesischen Koordinatensystem

– neues Koordinatensystem

Übergangsmatrix von der alten Basis zur neuen

- (unter der ersten Spalte ich’ , unter dem zweiten j’ ) die Übergangsmatrix aus der Basis ich,j zu gründen ich’ ,j’

Allgemeiner Fall

1 Möglichkeit

1. Drehung des Koordinatensystems

Option 2

1. Drehung des Koordinatensystems

   Parallelübersetzung des Ursprungs

Allgemeine Gleichung der Linien zweiter Ordnung und ihre Reduktion auf die kanonische Form

ist die allgemeine Form der Kurvengleichungen zweiter Ordnung

Klassifizierung von Kurven zweiter Ordnung

Ellipsoid

Querschnitte eines Ellipsoids

- Ellipse

- Ellipse

Rotationsellipsoide

Rotationsellipsoide sind entweder abgeflachte oder gestreckte Sphäroide, je nachdem, worum wir uns drehen.

Einband-Hyperboloid

Schnitte eines Einstreifen-Hyperboloids

– Hyperbel mit reeller Achse oy

ist eine Hyperbel mit reeller x-Achse

Es stellt sich eine Ellipse für jedes h heraus. Also geht es.

Einstreifen-Rotationshyperboloide

Ein einblättriges Rotationshyperboloid erhält man, indem man eine Hyperbel um ihre imaginäre Achse dreht.

Zweiblättriges Hyperboloid

Schnitte eines zweischaligen Hyperboloids

- Übertreibung mit Aktion. Achseoz

ist eine Hyperbel mit reeller Achse oz

Kegel

- ein Paar sich kreuzender Linien

- ein Paar sich kreuzender Linien

Elliptisches Paraboloid

- Parabel

- Parabel

Drehungen

Wenn , dann ist das elliptische Paraboloid eine Rotationsfläche, die durch die Drehung der Parabel um ihre Symmetrieachse gebildet wird.

Hyperbolisches Paraboloid

Parabel

- Parabel

h>0 Hyperbel mit reeller Achse parallel zu x

h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Unter dem Zylinder verstehen wir die Oberfläche, die erhalten wird, wenn sich eine gerade Linie im Raum bewegt, die ihre Richtung nicht ändert. Wenn sich die gerade Linie relativ zu oz bewegt, ist die Gleichung des Zylinders die Gleichung eines Schnitts durch die Ebene xoy.

Elliptischer Zylinder

hyperbolischer Zylinder

parabolischer Zylinder

Geradlinige Generatoren von Flächen zweiter Ordnung

Vollständig auf der Oberfläche liegende Linien werden als geradlinige Erzeuger der Oberfläche bezeichnet.

Oberflächen der Revolution

Fick dich lol

Anzeige

durch Anzeigen Nennen wir die Regel, nach der jedes Element der Menge A einem oder mehreren Elementen der Menge B zugeordnet ist. Wenn jedem ein einzelnes Element der Menge B zugewiesen wird, dann wird die Abbildung aufgerufen eindeutig, ansonsten zweideutig.

Transformation Menge wird eine Eins-zu-Eins-Abbildung einer Menge auf sich selbst genannt

Injektion

Injektion oder Eins-zu-Eins-Zuordnung von Satz A zu Satz B

(verschiedene Elemente von a entsprechen verschiedenen Elementen von B) zum Beispiel y=x^2

Surjektion

Surjektion oder Abbildung einer Menge A auf eine Menge B

Für jedes B gibt es mindestens ein A (z. B. einen Sinus)

Jedes Element der Menge B entspricht nur einem Element der Menge A. (z. B. y=x)

In diesem Artikel betrachten wir die Normalgleichung der Ebene. Lassen Sie uns Beispiele für die Konstruktion der Normalengleichung der Ebene gemäß dem Neigungswinkel des Normalenvektors der Ebene von den Achsen geben Ochse, Oy, Oz und nach Entfernung r vom Ursprung bis zur Ebene. Stellen wir eine Methode vor, um die allgemeine Geradengleichung auf die Normalform zu reduzieren. Betrachten Sie Zahlenbeispiele.

Gegeben sei ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem im Raum. Dann Normalgleichung der Ebene Ω dargestellt durch die folgende Formel:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,

(1)

wo r− Abstand vom Ursprung zur Ebene Ω , a α,β,γ sind die Winkel zwischen dem Einheitsvektor n, orthogonal zur Ebene Ω und Koordinatenachsen Ochse, Oy, Oz, bzw. (Abb.1). (Wenn ein r>0, dann der Vektor n auf das Flugzeug gerichtet Ω , wenn die Ebene durch den Ursprung geht, dann die Richtung des Vektors n willkürlich gewählt).

Wir leiten Formel (1) her. Gegeben sei ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem und eine Ebene im Raum Ω (Abb.1). Ziehe eine Linie durch den Ursprung Q, senkrecht zur Ebene Ω , und der Schnittpunkt wird mit bezeichnet R. Auf dieser Zeile wählen wir den Einheitsvektor aus n, wobei die Richtung mit dem Vektor zusammenfällt. (Wenn die Punkte Ö und Rübereinstimmen, dann die Richtung n kann beliebig gewählt werden).

Wir drücken die Gleichung der Ebene aus Ω durch die folgenden Parameter: die Länge des Segments und die Neigungswinkel α, β, γ zwischen Vektor n und Äxte Ochse, Oy, Oz, bzw.

Da der Vektor n ein Einheitsvektor ist, dann seine Projektionen auf Ochse, Oy, Oz hat folgende Koordinaten:

Skalarprodukt von Vektoren n und hat folgende Form:

Angesichts dessen n={cosα, cosβ, cosγ}, , wir werden .. bekommen:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.

(7)

Wir haben die Normalgleichung der Ebene erhalten Ω . Gleichung (7) (oder (1)) wird auch aufgerufen normalisierte Ebenengleichung. Vektor n namens ebener normaler Vektor.

Wie oben erwähnt, die Nummer r in Gleichung (1) zeigt den Abstand der Ebene vom Ursprung. Daher ist es mit der Normalengleichung der Ebene einfach, den Abstand der Ebene vom Ursprung zu bestimmen. Um zu überprüfen, ob eine gegebene Gleichung einer Ebene eine Gleichung in Normalform ist, müssen Sie die Länge des Normalenvektors dieser Ebene und das Vorzeichen der Zahl überprüfen r, d.h. wenn | n|=1 und r>0, dann ist diese Gleichung eine normale (normierte) Gleichung der Ebene.

Beispiel 1. Gegeben sei die folgende Ebenengleichung:

Bestimmen wir die Länge des Vektors n:

Da die Gleichungen (1) und (8) dieselbe Gerade bestimmen müssen (Satz 2 des Artikels "Allgemeine Gleichung der Ebene"), gibt es eine solche Zahl t, was

Vereinfache den Ausdruck und finde t:

t 2 EIN 2 +t 2 B 2 +t 2 C 2 =t 2 (EIN 2 +B 2 +C 2)=1,

.

(11)

Der Nenner in (11) ist von Null verschieden, weil mindestens einer der Koeffizienten A, B, C ungleich Null ist (sonst würde (8) keine Geradengleichung darstellen).

Finden Sie heraus, welches Zeichen t. Achten wir auf die vierte Gleichheit in (9). Als r ist dann der Abstand vom Ursprung zur Ebene r≥0. Dann das Produkt tD muss ein negatives Vorzeichen haben. Jene. Schild t in (11) muss dem Vorzeichen entgegengesetzt sein D.

Einsetzen in (1) statt cosα, cosβ, cosγ und −r Werte aus (9) erhalten wir tAx+tBy+tCz+tD=0. Jene. Um die allgemeine Gleichung der Ebene in Normalform zu bringen, müssen Sie die gegebene Gleichung mit dem Faktor (11) multiplizieren. Der Faktor (11) wird aufgerufen normalisierender Faktor.

Beispiel 2. Die allgemeine Gleichung der Ebene ist gegeben

Als D>0, dann signieren t Negativ:

Beachten Sie, dass die Zahl der Abstand vom Ursprung zur geraden Linie (12) ist.

Die Position der Ebene im Raum wird vollständig bestimmt, wenn wir ihren Abstand vom Ursprung O, d. h. die Länge der Senkrechten OT, die vom Punkt O auf die Ebene fällt, und den Einheitsvektor n°, senkrecht zur Ebene, festlegen und vom Ursprung O auf die Ebene gerichtet (Abb. 110).

Wenn sich der Punkt M entlang der Ebene bewegt, ändert sich sein Radiusvektor, sodass er immer an eine Bedingung gebunden ist. Mal sehen, was dieser Zustand ist. Offensichtlich gilt für jeden auf der Ebene liegenden Punkt:

Diese Bedingung gilt nur für Punkte in der Ebene; sie wird verletzt, wenn der Punkt M außerhalb der Ebene liegt. Gleichheit (1) drückt also eine Eigenschaft aus, die allen Punkten der Ebene und nur ihnen gemeinsam ist. Gemäß § 7 Kap. 11 haben wir:

und daher kann Gleichung (1) umgeschrieben werden als:

Gleichung (D) drückt die Bedingung aus, unter der der Punkt ) auf einer gegebenen Ebene liegt, und wird die Normalengleichung dieser Ebene genannt. Der Radiusvektor eines beliebigen Punktes M der Ebene heißt aktueller Radiusvektor.

Gleichung (1) der Ebene wird in Vektorform geschrieben. Wenn wir uns den Koordinaten zuwenden und den Koordinatenursprung am Ursprung der Vektoren platzieren - dem Punkt O -, stellen wir fest, dass die Projektionen des Einheitsvektors auf die Koordinatenachsen die Kosinusse der Winkel sind, die von den Achsen mit diesem Vektor gebildet werden, und die Projektionen des Radiusvektors des Punktes M

sind die Koordinaten des Punktes , d.h. wir haben:

Gleichung (D) geht in eine Koordinaten-Eins über:

Bei der Übersetzung der Vektorgleichung (Г) der Ebene in die Koordinatengleichung (2) haben wir die Formel (15) § 9 Kap. 11, die das Skalarprodukt in Form von Vektorprojektionen ausdrückt. Gleichung (2) drückt die Bedingung aus, unter der der Punkt M(x, y, z) auf einer gegebenen Ebene liegt, und wird die Normalengleichung dieser Ebene in Koordinatenform genannt. Die resultierende Gleichung (2) ist vom ersten Grad in Bezug auf , d. h. jede Ebene kann durch eine Gleichung ersten Grades in Bezug auf die aktuellen Koordinaten dargestellt werden.

Beachten Sie, dass die abgeleiteten Gleichungen (1") und (2) auch dann gültig bleiben, wenn , dh die gegebene Ebene durch den Ursprung geht. In diesem Fall steht jeder der beiden Einheitsvektoren senkrecht zur Ebene und unterscheidet sich um eins von einer anderen Richtung.

Kommentar. Die Normalengleichung der Ebene (2) kann ohne Anwendung der Vektormethode hergeleitet werden.

Nehmen Sie eine beliebige Ebene und zeichnen Sie durch den Ursprung senkrecht dazu eine gerade Linie I. Legen Sie auf dieser Linie eine positive Richtung vom Ursprung zur Ebene fest (wenn die ausgewählte Ebene durch den Ursprung verläuft, kann die Richtung auf der Linie beliebig sein ).

Die Lage dieser Ebene im Raum wird vollständig durch ihren Abstand vom Ursprung bestimmt, d. h. die Länge des Achsenabschnitts l vom Ursprung bis zum Schnittpunkt mit der Ebene (in Abb. 111 - Abschnitt) und den Winkeln zwischen den Achse und die Koordinatenachsen. Wenn sich ein Punkt mit seinen Koordinaten entlang der Ebene bewegt, ändern sich seine Koordinaten so, dass sie immer an eine Bedingung gebunden sind. Mal sehen, was dieser Zustand ist.

Bauen wir in Abb. 111 Koordinatenpolylinie OPSM eines beliebigen Punktes M der Ebene. Nehmen wir die Projektion dieser gestrichelten Linie auf die l-Achse. Beachten wir, dass die Projektion der gestrichelten Linie gleich der Projektion ihres abschließenden Segments ist (Kapitel I, § 3), haben wir.

Ebenengleichung. Wie schreibe ich eine Gleichung für ein Flugzeug?
Gegenseitige Anordnung von Flugzeugen. Aufgaben

Räumliche Geometrie ist nicht viel komplizierter als "flache" Geometrie, und unsere Flüge im Weltraum beginnen mit diesem Artikel. Um das Thema zu verstehen, muss man sich gut auskennen Vektoren Außerdem ist es wünschenswert, mit der Geometrie des Flugzeugs vertraut zu sein - es wird viele Ähnlichkeiten und Analogien geben, sodass die Informationen viel besser verdaut werden. In einer Reihe meiner Lektionen beginnt die 2D-Welt mit einem Artikel Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene. Aber jetzt hat Batman den Flachbildfernseher verlassen und startet vom Kosmodrom Baikonur.

Beginnen wir mit Zeichnungen und Symbolen. Schematisch lässt sich die Ebene als Parallelogramm zeichnen, was den Eindruck von Raum vermittelt:

Die Ebene ist unendlich, aber wir haben die Möglichkeit, nur einen Teil davon darzustellen. In der Praxis wird neben dem Parallelogramm auch ein Oval oder sogar eine Wolke gezeichnet. Aus technischen Gründen ist es für mich bequemer, das Flugzeug so und in dieser Position darzustellen. Die realen Flugzeuge, die wir in praktischen Beispielen betrachten werden, können auf beliebige Weise angeordnet werden - nehmen Sie die Zeichnung im Geiste in die Hand und drehen Sie sie im Raum, um dem Flugzeug eine beliebige Neigung, einen beliebigen Winkel zu geben.

Notation: Es ist üblich, Flugzeuge in griechischen Kleinbuchstaben zu bezeichnen, anscheinend um sie nicht zu verwechseln direkt ins Flugzeug oder mit direkt im Raum. Ich bin es gewohnt, den Buchstaben zu verwenden. In der Zeichnung ist es der Buchstabe "Sigma" und überhaupt kein Loch. Obwohl es ein löchriges Flugzeug ist, ist es sicherlich sehr lustig.

In einigen Fällen ist es praktisch, dieselben griechischen Buchstaben mit tiefgestellten Zeichen zu verwenden, um Flugzeuge zu bezeichnen, z. B. .

Es ist offensichtlich, dass die Ebene eindeutig durch drei verschiedene Punkte bestimmt ist, die nicht auf derselben Geraden liegen. Daher sind Drei-Buchstaben-Bezeichnungen von Flugzeugen sehr beliebt - beispielsweise nach den zu ihnen gehörenden Punkten usw. Oft werden Buchstaben in Klammern eingeschlossen: , um das Flugzeug nicht mit einer anderen geometrischen Figur zu verwechseln.

Für erfahrene Leser werde ich geben Kontextmenü:

• Wie schreibe ich eine Gleichung für eine Ebene mit einem Punkt und zwei Vektoren?
• Wie schreibe ich eine Gleichung für eine Ebene mit einem Punkt und einem Normalenvektor?

und wir werden nicht in langen Wartezeiten schmachten:

Allgemeine Gleichung der Ebene

Die allgemeine Gleichung der Ebene hat die Form , wobei die Koeffizienten gleichzeitig ungleich Null sind.

Eine Reihe theoretischer Berechnungen und praktischer Probleme gelten sowohl für die übliche orthonormale Basis als auch für die affine Basis des Raums (wenn Öl Öl ist, kehren Sie zur Lektion zurück Lineare (Nicht-) Abhängigkeit von Vektoren. Vektorbasis). Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass alle Ereignisse in einer orthonormalen Basis und einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem auftreten.

Und jetzt trainieren wir ein wenig räumliches Vorstellungsvermögen. Es ist okay, wenn Sie es schlecht haben, jetzt werden wir es ein wenig entwickeln. Auch das Spielen auf Nerven erfordert Übung.

Im allgemeinsten Fall, wenn die Zahlen ungleich Null sind, schneidet die Ebene alle drei Koordinatenachsen. Zum Beispiel so:

Ich wiederhole noch einmal, dass das Flugzeug unendlich in alle Richtungen weitergeht und wir die Möglichkeit haben, nur einen Teil davon darzustellen.

Betrachten Sie die einfachsten Ebenengleichungen:

Wie ist diese Gleichung zu verstehen? Denken Sie darüber nach: „Z“ ist IMMER für alle Werte von „X“ und „Y“ gleich Null. Dies ist die Gleichung der "nativen" Koordinatenebene. Tatsächlich kann die Gleichung formal wie folgt umgeschrieben werden: , woraus klar ersichtlich ist, dass es uns egal ist, welche Werte „x“ und „y“ annehmen, wichtig ist, dass „z“ gleich Null ist.

Ähnlich:
ist die Gleichung der Koordinatenebene;
ist die Gleichung der Koordinatenebene.

Verkomplizieren wir das Problem ein wenig, betrachten wir eine Ebene (hier und weiter im Absatz gehen wir davon aus, dass die numerischen Koeffizienten nicht gleich Null sind). Lassen Sie uns die Gleichung in der Form umschreiben: . Wie ist es zu verstehen? "X" ist IMMER, denn jeder Wert von "y" und "z" ist gleich einer bestimmten Zahl. Diese Ebene ist parallel zur Koordinatenebene. Beispielsweise ist eine Ebene parallel zu einer Ebene und geht durch einen Punkt.

Ähnlich:
- die Gleichung der Ebene, die parallel zur Koordinatenebene ist;
- die Gleichung einer Ebene, die parallel zur Koordinatenebene ist.

Fügen Sie Mitglieder hinzu: . Die Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden: , das heißt, "Z" kann alles sein. Was bedeutet das? "X" und "y" sind durch ein Verhältnis verbunden, das in der Ebene eine bestimmte gerade Linie zeichnet (Sie werden es erkennen Gleichung einer Geraden in einer Ebene?). Da Z alles sein kann, wird diese Linie in jeder Höhe "repliziert". Somit definiert die Gleichung eine Ebene parallel zur Koordinatenachse

Ähnlich:
- die Gleichung der Ebene, die parallel zur Koordinatenachse ist;
- die Gleichung der Ebene, die parallel zur Koordinatenachse ist.

Wenn die freien Terme Null sind, gehen die Ebenen direkt durch die entsprechenden Achsen. Zum Beispiel die klassische "direkte Proportionalität":. Zeichne eine gerade Linie in die Ebene und multipliziere sie gedanklich nach oben und unten (da „z“ beliebig ist). Fazit: Die durch die Gleichung gegebene Ebene geht durch die Koordinatenachse.

Wir beenden die Überprüfung: die Gleichung der Ebene geht durch den Ursprung. Nun, hier ist es ziemlich offensichtlich, dass der Punkt die gegebene Gleichung erfüllt.

Und schließlich der in der Zeichnung dargestellte Fall: - Die Ebene ist mit allen Koordinatenachsen befreundet, während sie immer ein Dreieck „abschneidet“, das sich in einem der acht Oktanten befinden kann.

Lineare Ungleichungen im Raum

Um die Informationen zu verstehen, ist es notwendig, gut zu lernen lineare Ungleichungen in der Ebene weil vieles ähnlich sein wird. Der Absatz soll ein kurzer Überblick mit einigen Beispielen sein, da das Material in der Praxis recht selten ist.

Wenn die Gleichung eine Ebene definiert, dann die Ungleichungen
fragen Halbräume. Wenn die Ungleichung nicht streng ist (die letzten beiden in der Liste), enthält die Lösung der Ungleichung zusätzlich zum Halbraum die Ebene selbst.

Beispiel 5

Finden Sie den Einheitsnormalenvektor der Ebene .

Entscheidung: Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, dessen Länge eins ist. Bezeichnen wir diesen Vektor mit . Es ist ziemlich klar, dass die Vektoren kollinear sind:

Zuerst entfernen wir den Normalenvektor aus der Gleichung der Ebene: .

Wie findet man den Einheitsvektor? Um den Einheitsvektor zu finden, benötigen Sie jeder Vektorkoordinate dividiert durch die Vektorlänge.

Schreiben wir den normalen Vektor in der Form um und finden seine Länge:

Nach obigem:

Antworten:

Check: , was zur Überprüfung erforderlich war.

Leser, die den letzten Absatz der Lektion sorgfältig studiert haben, haben das wahrscheinlich bemerkt die Koordinaten des Einheitsvektors sind genau die Richtungskosinusse des Vektors:

Lassen Sie uns vom zerlegten Problem abschweifen: wenn Sie einen beliebigen Nicht-Null-Vektor erhalten, und durch die Bedingung ist es erforderlich, seinen Richtungskosinus zu finden (siehe die letzten Aufgaben der Lektion Skalarprodukt von Vektoren), dann finden Sie tatsächlich auch einen Einheitsvektor, der kollinear zu dem gegebenen ist. Tatsächlich zwei Aufgaben in einer Flasche.

Die Notwendigkeit, einen Einheitsnormalenvektor zu finden, ergibt sich bei einigen Problemen der mathematischen Analyse.

Wir haben das Fischen des Normalvektors herausgefunden, jetzt werden wir die entgegengesetzte Frage beantworten:

Wie schreibe ich eine Gleichung für eine Ebene mit einem Punkt und einem Normalenvektor?

Diese starre Konstruktion aus einem Normalenvektor und einem Punkt ist von einer Wurfpfeil-Zielscheibe gut bekannt. Bitte strecken Sie Ihre Hand nach vorne und wählen Sie gedanklich einen beliebigen Punkt im Raum aus, zum Beispiel eine kleine Katze in einer Anrichte. Offensichtlich können Sie durch diesen Punkt eine einzelne Ebene senkrecht zu Ihrer Hand zeichnen.

Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt senkrecht zum Vektor verläuft, wird durch die Formel ausgedrückt: