Was ist ein Bereich?

Fläche - ein Merkmal einer geschlossenen geometrischen Figur (Kreis, Quadrat, Dreieck usw.), das ihre Größe zeigt. Die Fläche wird in Quadratzentimetern, Metern usw. gemessen. Mit Buchstaben bezeichnet S(Quadrat).

Wie findet man die Fläche eines Dreiecks?

S= a h

wo a- Grundlänge h ist die Höhe des zur Basis gezeichneten Dreiecks.

Außerdem muss die Basis nicht unten sein. Das geht auch.

Wenn Dreieck stumpf, dann fällt die Höhe auf die Fortsetzung der Basis:

Wenn Dreieck rechteckig, dann sind Basis und Höhe seine Beine:

2. Eine andere Formel, die nicht weniger nützlich ist, aber aus irgendeinem Grund immer wieder vergessen wird:

S= a b sinα

wo a und b zwei Seiten eines Dreiecks sinα ist der Sinus des Winkels zwischen diesen Seiten.

Die Hauptbedingung ist, dass der Winkel zwischen zwei bekannten Seiten genommen wird.

3. Die Formel für die Fläche auf drei Seiten (Reiherformel):

S=

wo a, b und Mit sind die Seiten des Dreiecks, und R - Halbperimeter. p = (a+b+c)/2.

4. Die Formel für die Fläche eines Dreiecks in Bezug auf den Radius des umschriebenen Kreises:

S=

wo a, b und Mit sind die Seiten des Dreiecks, und R- Radius des umschriebenen Kreises.

5. Die Formel für die Fläche eines Dreiecks in Bezug auf den Radius des einbeschriebenen Kreises:

S= p r

wo R - Halbumfang eines Dreiecks und r- Radius des Inkreises.

Wie findet man die Fläche eines Rechtecks?

1. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist ganz einfach:

S=a b

Keine Tricks.

Wie findet man die Fläche eines Quadrats?

1. Da ein Quadrat ein Rechteck ist, bei dem alle Seiten gleich sind, gilt die gleiche Formel dafür:

S=a a = a2

2. Auch die Fläche eines Quadrats kann durch seine Diagonale ermittelt werden:

S= d 2

Wie findet man die Fläche eines Parallelogramms?

1. Die Fläche eines Parallelogramms ergibt sich aus der Formel:

S=a h

Das liegt daran, dass man, wenn man davon rechts ein rechtwinkliges Dreieck abschneidet und links anbringt, ein Rechteck erhält:

2. Auch die Fläche eines Parallelogramms lässt sich durch den Winkel zwischen den beiden Seiten ermitteln:

S=a b sinα

Wie findet man die Fläche einer Raute?

Eine Raute ist im Wesentlichen ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich sind. Daher gelten für sie die gleichen Flächenformeln.

1. Rautenfläche in der Höhe:

S=a h

Um Probleme in der Geometrie zu lösen, müssen Sie Formeln kennen - wie die Fläche eines Dreiecks oder die Fläche eines Parallelogramms - sowie einfache Tricks, über die wir sprechen werden.

Lassen Sie uns zuerst die Formeln für die Bereiche der Zahlen lernen. Wir haben sie speziell in einer praktischen Tabelle gesammelt. Drucken, lernen und anwenden!

Natürlich sind nicht alle Geometrieformeln in unserer Tabelle enthalten. Zum Beispiel werden zur Lösung von Aufgaben in Geometrie und Stereometrie im zweiten Teil der Profilprüfung in Mathematik auch andere Formeln für die Fläche eines Dreiecks verwendet. Wir werden Ihnen auf jeden Fall davon erzählen.

Aber was ist, wenn Sie nicht die Fläche eines Trapezes oder Dreiecks finden müssen, sondern die Fläche einer komplexen Figur? Es gibt universelle Wege! Wir zeigen sie anhand von Beispielen aus der FIPI-Aufgabendatenbank.

1. Wie finde ich die Fläche einer nicht standardmäßigen Figur? Zum Beispiel ein beliebiges Viereck? Eine einfache Technik – lasst uns diese Figur in diejenigen aufteilen, die wir alle kennen, und ihre Fläche finden – als Summe der Flächen dieser Figuren.

Teilen Sie dieses Viereck durch eine horizontale Linie in zwei Dreiecke mit einer gemeinsamen Basis gleich . Die Höhen dieser Dreiecke sind gleich und . Dann ist die Fläche des Vierecks gleich der Summe der Flächen der beiden Dreiecke: .

Antworten: .

2. In einigen Fällen kann die Fläche der Figur als Differenz beliebiger Flächen dargestellt werden.

Es ist gar nicht so einfach zu berechnen, was Grundlinie und Höhe in diesem Dreieck sind! Aber wir können sagen, dass seine Fläche gleich der Differenz zwischen den Flächen eines Quadrats mit einer Seite und drei rechtwinkligen Dreiecken ist. Sehen Sie sie auf dem Bild? Wir bekommen: .

Antworten: .

3. Manchmal ist es bei einer Aufgabe notwendig, die Fläche nicht der ganzen Figur, sondern ihres Teils zu finden. Normalerweise sprechen wir über die Fläche eines Sektors - Teil eines Kreises. Finden Sie die Fläche eines Sektors eines Kreises mit Radius , dessen Bogenlänge gleich ist.

In diesem Bild sehen wir einen Teil eines Kreises. Die Fläche des ganzen Kreises ist gleich , da . Es bleibt herauszufinden, welcher Teil des Kreises dargestellt ist. Da die Länge des gesamten Kreises (seit) ist und die Länge des Bogens dieses Sektors gleich ist, ist die Länge des Bogens um ein Vielfaches geringer als die Länge des gesamten Kreises. Der Winkel, auf dem dieser Bogen ruht, ist auch mal kleiner als ein Vollkreis (also Grad). Dies bedeutet, dass die Fläche des Sektors um ein Vielfaches kleiner ist als die Fläche des gesamten Kreises.

Alle Formeln für den Bereich der ebenen Figuren

Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

1. Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes in Bezug auf Seiten und Winkel

a - untere Basis

b - obere Basis

c - gleiche Seiten

α - Winkel an der unteren Basis

Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes bezogen auf die Seiten (S):

Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes in Bezug auf Seiten und Winkel (S):

2. Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes in Bezug auf den Radius des einbeschriebenen Kreises

R- Radius des Inkreises

D- Durchmesser des Inkreises

O - Zentrum des eingeschriebenen Kreises

H- Höhe des Trapezes

α, β - Trapezwinkel

Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes bezogen auf den Radius des Inkreises (S):

FAIR, für einen Inkreis in einem gleichschenkligen Trapez:

3. Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes in Bezug auf die Diagonalen und den Winkel zwischen ihnen

d-Diagonale eines Trapezes

α,β-Winkel zwischen Diagonalen

Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes in Bezug auf die Diagonalen und den Winkel zwischen ihnen (S):

4. Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes durch die Mittellinie, die laterale Seite und den Winkel an der Basis

c-Seite

m- Mittellinie des Trapezes

α, β - Winkel an der Basis

Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes in Bezug auf die Mittellinie, die laterale Seite und den Winkel an der Basis,

(S):

5. Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes in Bezug auf Basen und Höhe

a - untere Basis

b - obere Basis

h - die Höhe des Trapezes

Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes in Bezug auf Grundflächen und Höhe (S):

Fläche eines Dreiecks mit einer Seite und zwei Winkeln, Formel.

a, b, c - Seiten des Dreiecks

α, β, γ - entgegengesetzte Winkel

Fläche eines Dreiecks durch eine Seite und zwei Winkel (S):

Die Formel für die Fläche eines regelmäßigen Vielecks

a - Polygonseite

n - Anzahl der Seiten

Fläche eines regelmäßigen Polygons, (S):

Die (heronische) Formel für die Fläche eines Dreiecks bezogen auf den Halbumfang (S):

Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks ist:

Formeln zur Berechnung der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks.

a - Seite des Dreiecks

h - Höhe

Wie berechnet man die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks?

b - die Basis des Dreiecks

a - gleiche Seiten

h - Höhe

3. Die Formel für die Fläche eines Trapezes in Bezug auf vier Seiten

a - untere Basis

b - obere Basis

c, d - Seiten

Der Radius des umschriebenen Kreises des Trapezes an den Seiten und Diagonalen

a - die Seiten des Trapezes

c - untere Basis

b - obere Basis

d - diagonal

h - Höhe

Die Formel für den Radius des umschriebenen Kreises eines Trapezes, (R)

Finden Sie den Radius des umschriebenen Kreises eines gleichschenkligen Dreiecks an den Seiten

Wenn du die Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks kennst, kannst du die Formel verwenden, um den Radius des umschriebenen Kreises um dieses Dreieck zu finden.

a, b - Seiten des Dreiecks

Radius des Umkreises eines gleichschenkligen Dreiecks (R):

Radius eines Inkreises in einem Sechseck

a - Seite des Sechsecks

Radius eines einbeschriebenen Kreises in einem Sechseck, (r):

Radius eines Inkreises in einer Raute

r - Radius des Inkreises

a - Seite der Raute

D, d - Diagonalen

h - Rautenhöhe

Radius eines Inkreises in einem gleichschenkligen Trapez

c - untere Basis

b - obere Basis

a - Seiten

h - Höhe

Radius eines Inkreises in einem rechtwinkligen Dreieck

a, b - Beine eines Dreiecks

c - Hypotenuse

Radius eines Inkreises in einem gleichschenkligen Dreieck

a, b - Seiten des Dreiecks

Beweisen Sie, dass die Fläche des einbeschriebenen Vierecks ist

\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),

wobei p der Halbumfang ist und a, b, c und d die Seiten des Vierecks sind.

Beweisen Sie, dass die Fläche eines Vierecks einem Kreis einbeschrieben ist

1/2 (ab + cb) sin α, wobei a, b, c und d die Seiten des Vierecks sind und α der Winkel zwischen den Seiten a und b ist.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Lesen Sie mehr auf FB.ru:

Die Fläche eines beliebigen Vierecks (Abb. 1.13) kann durch seine Seiten a, b, c und die Summe eines Paares gegenüberliegender Winkel ausgedrückt werden:

wobei p der Halbumfang des Vierecks ist.

Die Fläche eines in einen Kreis eingeschriebenen Vierecks () (Abb. 1.14, a) wird mit der Brahmagupta-Formel berechnet

und beschrieben (Abb. 1.14, b) () - nach der Formel

Wenn das Viereck gleichzeitig eingeschrieben und beschrieben wird (Abb. 1.14, c), wird die Formel ganz einfach:

Peak-Formel

Um die Fläche eines Polygons auf kariertem Papier abzuschätzen, reicht es aus, zu berechnen, wie viele Zellen dieses Polygon bedeckt (wir nehmen die Fläche der Zelle als Einheit). Genauer gesagt, wenn S die Fläche des Polygons ist, ist die Anzahl der Zellen, die vollständig innerhalb des Polygons liegen, und die Anzahl der Zellen, die mindestens einen gemeinsamen Punkt mit dem Inneren des Polygons haben.

Wir betrachten im Folgenden nur solche Polygone, deren Eckpunkte alle an den Knoten des karierten Papiers liegen – also dort, wo sich die Gitterlinien schneiden. Es stellt sich heraus, dass Sie für solche Polygone die folgende Formel angeben können:

wo ist die Fläche, r ist die Anzahl der Knoten, die genau innerhalb des Polygons liegen.

Diese Formel wird nach dem Mathematiker, der sie 1899 entdeckte, „Spitzenformel“ genannt.