In diesem Thema werden wir die Formeln analysieren, die unter Verwendung der zweiten bemerkenswerten Grenze erhalten werden können (das Thema, das direkt der zweiten bemerkenswerten Grenze gewidmet ist, befindet sich). Ich möchte Sie an zwei Formulierungen der zweiten bemerkenswerten Grenze erinnern, die in diesem Abschnitt benötigt werden: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ und $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

Normalerweise gebe ich Formeln ohne Beweis, aber für diese Seite, denke ich, werde ich eine Ausnahme machen. Tatsache ist, dass der Beweis der Konsequenzen der zweiten bemerkenswerten Grenze einige Tricks enthält, die bei der direkten Lösung von Problemen nützlich sind. Also, und im Allgemeinen ist es wünschenswert zu wissen, wie diese oder jene Formel bewiesen wird. Dadurch können Sie die interne Struktur sowie die Grenzen der Anwendbarkeit besser verstehen. Da die Beweise aber nicht für alle Leser von Interesse sein dürften, verstecke ich sie unter den Anmerkungen nach jedem Korollar.

Folge Nr. 1

\begin(gleichung) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(gleichung)

Beweis von Korollar #1: show\hide

Da für $x\to 0$ $\ln(1+x)\to 0$ gilt, liegt in der betrachteten Grenze eine Unbestimmtheit der Form $\frac(0)(0)$ vor. Um diese Unsicherheit aufzudecken, stellen wir den Ausdruck $\frac(\ln(1+x))(x)$ wie folgt dar: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. Jetzt addieren wir den Faktor $\frac(1)(x)$ zur Potenz von $(1+x)$ und wenden die zweite bemerkenswerte Grenze an:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ zu\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

Wir haben wieder eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$. Wir werden uns auf die Formel verlassen, die wir bereits bewiesen haben. Da $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, dann ist $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

Folge #2

\begin(gleichung) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(gleichung)

Beweis von Korollar #2: show\hide

Da wir für $x\to 0$ $e^x-1\to 0$ haben, gibt es in der betrachteten Grenze eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$. Um diese Ungewissheit aufzudecken, ändern wir die Variable $t=e^x-1$. Seit $x\to 0$, dann $t\to 0$. Weiter erhalten wir aus der Formel $t=e^x-1$: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \rechts|=\links | \begin(aligned) & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (aligned) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

Wir haben wieder eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$. Wir werden uns auf die Formel verlassen, die wir bereits bewiesen haben. Da $a^x=e^(x\ln a)$, dann:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0). )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

Folge Nr. 3

\begin(gleichung) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(gleichung)

Beweis von Korollar #3: show\hide

Auch hier haben wir es mit einer Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$ zu tun. Da $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$ erhalten wir:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

Beispiel 1

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.

Wir haben eine Unsicherheit der Form $\frac(0)(0)$. Um diese Unsicherheit offenzulegen, verwenden wir die Formel . Um unsere Grenze an diese Formel anzupassen, sollte beachtet werden, dass die Ausdrücke in der Potenz der Zahl $e$ und im Nenner übereinstimmen müssen. Mit anderen Worten, der Sinus im Nenner hat keinen Platz. Der Nenner sollte $9x$ sein. Außerdem wird beim Lösen dieses Beispiels die erste bemerkenswerte Grenze verwendet.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ bis\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

Antworten: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

Beispiel #2

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.

Wir haben eine Unschärfe der Form $\frac(0)(0)$ (zur Erinnerung: $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Um diese Unsicherheit offenzulegen, verwenden wir die Formel . Berücksichtigen wir zunächst, dass $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (siehe Listing zu trigonometrischen Funktionen). Jetzt $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, also sollte der Nenner $-2\sin^2 \frac(x ) sein (2)$ (um unser Beispiel an ) anzupassen. In der weiteren Lösung wird die erste bemerkenswerte Grenze verwendet.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

Antworten: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

Nun wenden wir uns beruhigt der Überlegung zu wunderbare Grenzen.
sieht aus wie .

Statt der Variablen x können verschiedene Funktionen vorhanden sein, Hauptsache sie gehen gegen 0.

Wir müssen die Grenze berechnen

Wie Sie sehen können, ist diese Grenze der ersten bemerkenswerten sehr ähnlich, aber das ist nicht ganz richtig. Generell gilt: Wenn Sie eine Sünde in der Grenze bemerken, dann sollten Sie sofort darüber nachdenken, ob es möglich ist, die erste bemerkenswerte Grenze zu verwenden.

Gemäß unserer Regel Nr. 1 ersetzen wir x durch Null:

Wir bekommen Unsicherheit.

Versuchen wir nun, die erste bemerkenswerte Grenze unabhängig zu organisieren. Dazu führen wir eine einfache Kombination aus:

Also ordnen wir Zähler und Nenner so an, dass 7x hervorsticht. Die bekannte bemerkenswerte Grenze ist bereits erschienen. Es ist ratsam, dies bei der Entscheidung hervorzuheben:

Wir setzen die Lösung des ersten bemerkenswerten Beispiels ein und erhalten:

Vereinfache den Bruch:

Antwort: 7/3.

Wie Sie sehen können, ist alles sehr einfach.

Hat die Form , wobei e = 2,718281828… eine irrationale Zahl ist.

Statt der Variablen x können verschiedene Funktionen vorhanden sein, Hauptsache sie tendieren zu .

Wir müssen die Grenze berechnen

Hier sehen wir das Vorhandensein eines Grads unter dem Grenzzeichen, was bedeutet, dass die zweite bemerkenswerte Grenze angewendet werden kann.

Wie immer verwenden wir Regel Nummer 1 - Ersatz statt x:

Es ist ersichtlich, dass für x die Basis des Grads ist und der Exponent 4x > ist, d.h. wir erhalten eine Unsicherheit der Form:

Lassen Sie uns die zweite wunderbare Grenze nutzen, um unsere Unsicherheit aufzudecken, aber zuerst müssen wir sie organisieren. Wie Sie sehen können, ist es notwendig, Präsenz im Indikator zu erreichen, wofür wir die Basis auf die Potenz von 3x und gleichzeitig auf die Potenz von 1/3x erhöhen, damit sich der Ausdruck nicht ändert:

Vergessen Sie nicht, unser wunderbares Limit hervorzuheben:

Das sind wirklich wunderbare Grenzen!
Bei Fragen bzgl erste und zweite wunderbare Grenzen Fühlen Sie sich frei, sie in den Kommentaren zu fragen.
Wir werden allen so schnell wie möglich antworten.

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Es gibt mehrere wunderbare Grenzen, aber die bekanntesten sind die erste und die zweite wunderbare Grenze. Das Bemerkenswerte an diesen Grenzwerten ist, dass sie weit verbreitet sind und verwendet werden können, um andere Grenzwerte zu finden, die bei zahlreichen Problemen auftreten. Das werden wir im praktischen Teil dieser Lektion tun. Um Probleme durch Reduktion auf die erste oder zweite bemerkenswerte Grenze zu lösen, ist es nicht erforderlich, die darin enthaltenen Unsicherheiten offenzulegen, da die Werte dieser Grenzen seit langem von großen Mathematikern abgeleitet wurden.

Die erste bemerkenswerte Grenze als Grenze des Verhältnisses des Sinus eines unendlich kleinen Bogens zu demselben Bogen bezeichnet, ausgedrückt im Bogenmaß:

Fahren wir mit der Lösung von Problemen an der ersten bemerkenswerten Grenze fort. Hinweis: Wenn eine trigonometrische Funktion unter dem Grenzwertzeichen liegt, ist dies fast ein sicheres Zeichen dafür, dass dieser Ausdruck auf den ersten bemerkenswerten Grenzwert reduziert werden kann.

Beispiel 1 Finden Sie die Grenze.

Entscheidung. Stattdessen Ersatz x Null führt zu Unsicherheit:

.

Der Nenner ist ein Sinus, daher kann der Ausdruck auf die erste bemerkenswerte Grenze reduziert werden. Beginnen wir mit der Transformation:

.

Im Nenner - der Sinus von drei x, und im Zähler gibt es nur ein x, was bedeutet, dass Sie drei x im Zähler erhalten müssen. Wofür? präsentieren 3 x = a und erhalten Sie den Ausdruck.

Und wir kommen zu einer Variation der ersten bemerkenswerten Grenze:

denn es spielt keine Rolle, welcher Buchstabe (Variable) in dieser Formel anstelle von x steht.

Wir multiplizieren x mit drei und dividieren sofort:

.

In Übereinstimmung mit der erwähnten ersten bemerkenswerten Grenze ersetzen wir den Bruchausdruck:

Jetzt können wir diese Grenze endlich lösen:

.

Beispiel 2 Finden Sie die Grenze.

Entscheidung. Direkte Substitution führt wieder zur Unsicherheit "Null dividieren durch Null":

.

Um den ersten bemerkenswerten Grenzwert zu erhalten, ist es notwendig, dass das x unter dem Sinuszeichen im Zähler und nur das x im Nenner den gleichen Koeffizienten haben. Lassen Sie diesen Koeffizienten gleich 2 sein. Stellen Sie sich dazu den aktuellen Koeffizienten bei x wie folgt vor und führen Sie Aktionen mit Brüchen durch. Wir erhalten:

.

Beispiel 3 Finden Sie die Grenze.

Entscheidung. Beim Einsetzen erhalten wir wieder die Unsicherheit „Null dividiert durch Null“:

.

Sie verstehen wahrscheinlich bereits, dass Sie aus dem ursprünglichen Ausdruck die erste wundervolle Grenze multipliziert mit der ersten wundervollen Grenze erhalten können. Dazu zerlegen wir die Quadrate des x im Zähler und des Sinus im Nenner in dieselben Faktoren, und um die gleichen Koeffizienten für x und den Sinus zu erhalten, teilen wir das x im Zähler durch 3 und sofort mit 3 multiplizieren. Wir erhalten:

.

Beispiel 4 Finden Sie die Grenze.

Entscheidung. Wieder erhalten wir die Unsicherheit "Null dividiert durch Null":

.

Wir können das Verhältnis der ersten beiden bemerkenswerten Grenzen erhalten. Wir dividieren sowohl den Zähler als auch den Nenner durch x. Damit die Koeffizienten bei Sinus und bei x übereinstimmen, multiplizieren wir dann das obere x mit 2 und dividieren sofort durch 2 und multiplizieren das untere x mit 3 und dividieren sofort durch 3. Wir erhalten:

Beispiel 5 Finden Sie die Grenze.

Entscheidung. Und wieder die Unsicherheit von "Null geteilt durch Null":

Wir erinnern uns aus der Trigonometrie, dass der Tangens das Verhältnis des Sinus zum Kosinus ist und der Kosinus von Null gleich Eins ist. Wir machen Transformationen und erhalten:

.

Beispiel 6 Finden Sie die Grenze.

Entscheidung. Die trigonometrische Funktion unter dem Grenzwertzeichen legt wieder die Idee nahe, den ersten bemerkenswerten Grenzwert anzuwenden. Wir stellen es als das Verhältnis von Sinus zu Cosinus dar.

Aus dem obigen Artikel können Sie herausfinden, was das Limit ist und womit es gegessen wird - das ist SEHR wichtig. Wieso den? Möglicherweise verstehen Sie nicht, was Determinanten sind, und lösen sie erfolgreich, Sie verstehen möglicherweise überhaupt nicht, was eine Ableitung ist, und finden sie auf der "Fünf". Aber wenn Sie nicht verstehen, was eine Grenze ist, wird es schwierig sein, praktische Aufgaben zu lösen. Es ist auch nicht überflüssig, sich mit den Beispielen für die Gestaltung von Entscheidungen und meinen Gestaltungsempfehlungen vertraut zu machen. Alle Informationen werden auf einfache und zugängliche Weise präsentiert.

Und für die Zwecke dieser Lektion benötigen wir die folgenden methodischen Materialien: Bemerkenswerte Grenzen und Trigonometrische Formeln. Sie sind auf der Seite zu finden. Am besten drucken Sie sich die Handbücher aus – das ist viel bequemer, außerdem müssen sie oft offline abgerufen werden.

Was ist bemerkenswert an wunderbaren Grenzen? Die Besonderheit dieser Grenzen liegt darin, dass sie von den größten Köpfen berühmter Mathematiker bewiesen wurden und dankbare Nachkommen nicht unter schrecklichen Grenzen mit einem Haufen trigonometrischer Funktionen, Logarithmen und Graden leiden müssen. Das heißt, wir werden beim Finden der Grenzen vorgefertigte Ergebnisse verwenden, die theoretisch bewiesen wurden.

Es gibt mehrere bemerkenswerte Grenzen, aber in der Praxis haben Teilzeitstudierende in 95% der Fälle zwei bemerkenswerte Grenzen: Erste wunderbare Grenze, Die zweite wunderbare Grenze. Es sollte beachtet werden, dass dies historisch etablierte Namen sind, und wenn sie beispielsweise von der „ersten wunderbaren Grenze“ sprechen, meinen sie damit etwas ganz Bestimmtes und nicht irgendeine zufällige Grenze, die von der Decke genommen wurde.

Erste wunderbare Grenze

Beachten Sie die folgende Grenze: (Anstelle des einheimischen Buchstabens "er" werde ich den griechischen Buchstaben "alpha" verwenden, dies ist in Bezug auf die Präsentation des Materials bequemer).

Gemäß unserer Regel zum Finden von Grenzen (siehe Artikel Grenzen. Lösungsbeispiele) versuchen wir, Null in die Funktion einzusetzen: Im Zähler erhalten wir Null (der Sinus von Null ist Null), im Nenner natürlich auch Null. Wir stehen also vor einer Unbestimmtheit der Form, die glücklicherweise nicht offengelegt werden muss. Im Laufe der mathematischen Analyse wird bewiesen, dass:

Diese mathematische Tatsache heißt Erste wunderbare Grenze. Ich werde keinen analytischen Beweis für den Grenzwert geben, aber wir werden seine geometrische Bedeutung in der nächsten Lektion betrachten infinitesimale Funktionen.

Oft können in praktischen Aufgaben Funktionen anders angeordnet werden, das ändert nichts:

– die gleiche erste wunderbare Grenze.

Aber Sie können Zähler und Nenner nicht selbst umstellen! Wenn in der Form ein Limit angegeben ist, muss es in der gleichen Form gelöst werden, ohne etwas neu anzuordnen.

In der Praxis kann nicht nur eine Variable als Parameter fungieren, sondern auch eine elementare Funktion, eine komplexe Funktion. Wichtig ist nur, dass er gegen Null geht.

Beispiele:
, , ,

Hier , , , , und alles brummt - die erste wunderbare Grenze gilt.

Und hier ist der nächste Eintrag - Ketzerei:

Wieso den? Da das Polynom nicht gegen null tendiert, tendiert es gegen fünf.

Übrigens ist die Frage nach dem Verfüllen, aber wo ist die Grenze ? Die Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

In der Praxis ist nicht alles so glatt, fast nie wird einem Studenten angeboten, ein kostenloses Limit zu lösen und einen einfachen Kredit zu erhalten. Hmmm... Ich schreibe diese Zeilen, und da kam mir ein ganz wichtiger Gedanke in den Sinn - schließlich scheint es besser zu sein, sich „freie“ mathematische Definitionen und Formeln auswendig zu merken, das kann im Test eine unschätzbare Hilfe sein, wenn die Frage wird zwischen „zwei“ und „drei“ entschieden, und der Lehrer beschließt, dem Schüler eine einfache Frage zu stellen oder anzubieten, das einfachste Beispiel zu lösen („vielleicht weiß er (a) noch was?!“).

Kommen wir zu praktischen Beispielen:

Beispiel 1

Finden Sie die Grenze

Wenn wir einen Sinus im Grenzwert bemerken, sollte uns das sofort dazu bringen, über die Möglichkeit nachzudenken, den ersten bemerkenswerten Grenzwert anzuwenden.

Zuerst versuchen wir, 0 im Ausdruck unter dem Grenzzeichen zu ersetzen (wir tun dies gedanklich oder auf einem Entwurf):

Wir haben also eine Unbestimmtheit der Form , its unbedingt angeben bei einer Entscheidung. Der Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen sieht aus wie der erste wunderbare Grenzwert, aber das ist es nicht ganz, er steht unter dem Sinus, sondern im Nenner.

In solchen Fällen müssen wir das erste wunderbare Limit mit einem künstlichen Gerät selbst organisieren. Die Argumentationslinie kann wie folgt lauten: „Unter dem Sinus haben wir, was bedeutet, dass wir auch in den Nenner kommen müssen“.
Und das geht ganz einfach:

Das heißt, der Nenner wird in diesem Fall künstlich mit 7 multipliziert und durch die gleiche Sieben dividiert. Jetzt hat die Platte eine vertraute Form angenommen.
Wenn die Aufgabe von Hand erstellt wird, empfiehlt es sich, die erste wunderbare Grenze mit einem einfachen Bleistift zu markieren:

Was ist passiert? Tatsächlich ist der eingekreiste Ausdruck zu einer Einheit geworden und im Produkt verschwunden:

Jetzt bleibt nur noch die dreistöckige Fraktion loszuwerden:

Wer die Vereinfachung mehrstöckiger Brüche vergessen hat, bitte den Stoff im Nachschlagewerk auffrischen Hot-School-Mathematik-Formeln .

Bereit. Endgültige Antwort:

Wenn Sie keine Bleistiftmarkierungen verwenden möchten, kann die Lösung folgendermaßen formatiert werden:

“

Wir verwenden die erste bemerkenswerte Grenze

“

Beispiel 2

Finden Sie die Grenze

Wieder sehen wir einen Bruch und einen Sinus im Grenzwert. Wir versuchen, Null im Zähler und Nenner einzusetzen:

In der Tat haben wir Unsicherheit und müssen daher versuchen, die erste bemerkenswerte Grenze zu organisieren. Im Unterricht Grenzen. Lösungsbeispiele Wir haben die Regel berücksichtigt, dass wir bei Unsicherheit Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen müssen. Hier - das gleiche, wir werden die Abschlüsse als Produkt (Multiplikatoren) präsentieren:

Ähnlich wie im vorherigen Beispiel skizzieren wir mit einem Bleistift die wunderbaren Grenzen (hier gibt es zwei davon) und zeigen an, dass sie zu einer tendieren:

Eigentlich ist die Antwort fertig:

In den folgenden Beispielen werde ich keine Kunst in Paint machen, ich denke, wie man eine Lösung in einem Notizbuch richtig erstellt - Sie verstehen bereits.

Beispiel 3

Finden Sie die Grenze

Wir ersetzen den Ausdruck durch Null unter dem Grenzwertzeichen:

Es wurde eine Unsicherheit erlangt, die offengelegt werden muss. Wenn im Grenzwert ein Tangens steht, dann wird dieser fast immer nach der bekannten trigonometrischen Formel in Sinus und Cosinus umgerechnet (das machen sie übrigens mit dem Kotangens ungefähr genauso, siehe Methodenmaterial Heiße trigonometrische Formeln Auf der Seite Mathematische Formeln, Tabellen und Referenzmaterialien).

In diesem Fall:

Der Kosinus von Null ist gleich Eins, und es ist leicht, ihn loszuwerden (vergessen Sie nicht zu markieren, dass er gegen Eins tendiert):

Wenn also der Kosinus im Grenzfall ein MULTIPLIKATOR ist, dann muss er grob gesagt in eine Einheit umgewandelt werden, die im Produkt verschwindet.

Hier erwies sich alles als einfacher, ohne Multiplikationen und Divisionen. Auch die erste bemerkenswerte Grenze wird zur Einheit und verschwindet im Produkt:

Als Ergebnis wird Unendlichkeit erhalten, es passiert.

Beispiel 4

Finden Sie die Grenze

Wir versuchen, Null im Zähler und Nenner einzusetzen:

Erhaltene Unsicherheit (Kosinus von Null ist, wie wir uns erinnern, gleich Eins)

Wir verwenden die trigonometrische Formel. Etwas beachten! Aus irgendeinem Grund sind Grenzwerte, die diese Formel verwenden, sehr verbreitet.

Wir nehmen die konstanten Multiplikatoren jenseits des Limit-Symbols heraus:

Lassen Sie uns das erste bemerkenswerte Limit organisieren:

Hier haben wir nur eine wunderbare Grenze, die zu einer wird und im Produkt verschwindet:

Lassen Sie uns die dreistöckigen loswerden:

Der Grenzwert ist tatsächlich gelöst, wir geben an, dass der verbleibende Sinus gegen Null geht:

Beispiel 5

Finden Sie die Grenze

Dieses Beispiel ist komplizierter, versuchen Sie es selbst herauszufinden:

Manche Limits lassen sich durch Änderung der Variable auf das 1. bemerkenswerte Limit reduzieren, dazu kannst du etwas später im Artikel lesen Lösungsmethoden einschränken.

Die zweite wunderbare Grenze

In der Theorie der mathematischen Analyse ist bewiesen, dass:

Diese Tatsache heißt zweite bemerkenswerte Grenze.

Referenz: ist eine irrationale Zahl.

Als Parameter kann nicht nur eine Variable fungieren, sondern auch eine komplexe Funktion. Wichtig ist nur, dass es nach Unendlichkeit strebt.

Beispiel 6

Finden Sie die Grenze

Wenn der Ausdruck unter dem Grenzzeichen in der Macht steht, ist dies das erste Zeichen, dass Sie versuchen müssen, die zweite wunderbare Grenze anzuwenden.

Aber zuerst versuchen wir, wie immer, eine unendlich große Zahl in den Ausdruck einzusetzen, nach welchem ​​Prinzip das geht, wurde im Unterricht analysiert Grenzen. Lösungsbeispiele.

Es ist leicht zu sehen, wann die Basis des Grads und der Exponent - , das heißt, es gibt eine Unschärfe der Form:

Diese Unsicherheit wird gerade mit Hilfe der zweiten bemerkenswerten Grenze aufgedeckt. Aber wie so oft liegt die zweite wunderbare Grenze nicht auf dem Silbertablett, sondern muss künstlich organisiert werden. Sie können wie folgt argumentieren: In diesem Beispiel bedeutet der Parameter, dass wir auch den Indikator organisieren müssen. Dazu potenzieren wir die Basis und damit sich der Ausdruck nicht ändert, potenzieren wir ihn:

Wenn die Aufgabe von Hand erstellt wird, markieren wir mit einem Bleistift:

Fast alles ist fertig, aus dem schrecklichen Abschluss ist ein hübscher Brief geworden:

Gleichzeitig wird das Limit-Symbol selbst zum Indikator verschoben:

Beispiel 7

Finden Sie die Grenze

Beachtung! Diese Art von Begrenzung ist sehr verbreitet, bitte studieren Sie dieses Beispiel sehr sorgfältig.

Wir versuchen, im Ausdruck unter dem Grenzwertzeichen eine unendlich große Zahl einzusetzen:

Die Folge ist eine Unsicherheit. Aber die zweite bemerkenswerte Grenze gilt für die Unbestimmtheit der Form. Was zu tun ist? Sie müssen die Basis des Abschlusses umrechnen. Wir argumentieren so: Im Nenner haben wir , was bedeutet, dass wir auch im Zähler organisieren müssen.

Wunderbare Grenzen finden es ist nicht nur für viele Studenten des ersten, zweiten Studienjahres, die sich mit der Grenzentheorie beschäftigen, schwierig, sondern auch für manche Lehrer.

Formel der ersten bemerkenswerten Grenze

Folgen der ersten bemerkenswerten Grenze schreibe die Formeln
1. 2. 3. 4. Aber die allgemeinen Formeln bemerkenswerter Grenzen allein helfen niemandem in einer Prüfung oder einem Test. Unter dem Strich werden echte Aufgaben gebaut, sodass die oben geschriebenen Formeln noch erreicht werden müssen. Und die meisten Studenten, die den Unterricht schwänzen, diesen Kurs per Fernstudium studieren oder Lehrer haben, die selbst nicht immer verstehen, worüber sie erklären, können die elementarsten Beispiele nicht bis zu bemerkenswerten Grenzen berechnen. Aus den Formeln der ersten bemerkenswerten Grenze sehen wir, dass sie verwendet werden können, um Unsicherheiten wie Null dividiert durch Null für Ausdrücke mit trigonometrischen Funktionen zu untersuchen. Betrachten wir zunächst eine Reihe von Beispielen für die erste bemerkenswerte Grenze und untersuchen dann die zweite bemerkenswerte Grenze.

Beispiel 1. Finden Sie den Grenzwert der Funktion sin(7*x)/(5*x)
Lösung: Wie Sie sehen können, liegt die Funktion unter dem Grenzwert nahe am ersten bemerkenswerten Grenzwert, aber der Grenzwert der Funktion selbst ist definitiv nicht gleich eins. Bei solchen Zuordnungen zu den Grenzen sollte man im Nenner eine Variable mit dem gleichen Koeffizienten herausheben, der in der Variable unter dem Sinus enthalten ist. In diesem Fall dividiere und multipliziere mit 7

Manchen wird eine solche Detaillierung überflüssig erscheinen, aber den meisten Schülern, denen es schwer fällt, Grenzen zu setzen, wird es helfen, die Regeln besser zu verstehen und den theoretischen Stoff zu lernen.
Auch wenn es eine umgekehrte Form der Funktion gibt - das ist auch die erste wunderbare Grenze. Und das alles, weil die wunderbare Grenze gleich eins ist

Die gleiche Regel gilt für die Folgen von 1 bemerkenswerten Grenze. Wenn Sie also gefragt werden: "Was ist die erste wundervolle Grenze?" Sie müssen ohne Zögern antworten, dass es sich um eine Einheit handelt.

Beispiel 2. Finden Sie den Grenzwert der Funktion sin(6x)/tan(11x)
Lösung: Um das Endergebnis zu verstehen, schreiben wir die Funktion in das Formular

Um die Regeln der bemerkenswerten Grenze anzuwenden, multipliziere und dividiere durch Faktoren

Als nächstes schreiben wir den Grenzwert des Produkts von Funktionen als Produkt der Grenzwerte

Ohne komplizierte Formeln haben wir den Grenzwert einiger trigonometrischer Funktionen gefunden. Um einfache Formeln zu meistern, versuchen Sie, die Grenze für 2 und 4 zu finden, die Formel der Folgerung 1 der wunderbaren Grenze. Wir werden komplexere Aufgaben betrachten.

Beispiel 3. Limit berechnen (1-cos(x))/x^2
Lösung: Beim Prüfen durch Substitution erhalten wir die Unsicherheit 0/0 . Viele wissen nicht, wie man ein solches Beispiel auf eine wunderbare Grenze reduziert. Hier sollten Sie die trigonometrische Formel verwenden

In diesem Fall wird das Limit in eine übersichtliche Form umgewandelt

Es ist uns gelungen, die Funktion auf das Quadrat einer bemerkenswerten Grenze zu reduzieren.

Beispiel 4. Finden Sie die Grenze
Lösung: Beim Einsetzen erhalten wir die bekannte Singularität 0/0 . Die Variable nähert sich jedoch Pi und nicht Null. Um die erste bemerkenswerte Grenze anzuwenden, führen wir daher eine solche Änderung in der Variablen x durch, sodass die neue Variable auf Null geht. Dazu bezeichnen wir den Nenner als die neue Variable Pi-x=y

Unter Verwendung der trigonometrischen Formel, die in der vorherigen Aufgabe angegeben ist, wird das Beispiel auf 1 bemerkenswerte Grenze reduziert.

Beispiel 5 Limit berechnen
Lösung: Zunächst ist nicht klar, wie man die Grenzen vereinfacht. Aber wenn es ein Beispiel gibt, dann muss es eine Antwort geben. Dadurch, dass die Variable gegen Eins geht, ergibt sich beim Einsetzen eine Singularität der Form Null multipliziert mit Unendlich, also muss der Tangens durch die Formel ersetzt werden

Danach erhalten wir die gewünschte Unsicherheit 0/0. Als nächstes führen wir eine Variablenänderung im Grenzwert durch und verwenden die Periodizität des Kotangens

Die letzten Substitutionen erlauben uns, Korollar 1 der bemerkenswerten Grenze zu verwenden.

Die zweite bemerkenswerte Grenze ist gleich dem Exponenten

Das ist ein Klassiker, bei dem man bei realen Problemen nicht immer leicht an die Grenzen stößt.
Für Berechnungen benötigen Sie Grenzen sind Folgen der zweiten bemerkenswerten Grenze:
1. 2. 3. 4.
Dank der zweiten bemerkenswerten Grenze und ihren Folgen kann man Unsicherheiten wie Null geteilt durch Null, Eins hoch Unendlich und Unendlich geteilt durch Unendlich untersuchen, und zwar in gleichem Maße.

Beginnen wir mit einigen einfachen Beispielen.

Beispiel 6 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lösung: 2 wunderbare Grenzen direkt anwenden funktioniert nicht. Zuerst müssen Sie den Indikator so drehen, dass er die umgekehrte Form zum Begriff in Klammern hat

Dies ist die Technik der Reduktion auf die 2 bemerkenswerte Grenze und tatsächlich die Ableitung der 2-Formel der Folge der Grenze.

Beispiel 7 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lösung: Wir haben Aufgaben für die 3 Formel der Korollar 2 der bemerkenswerten Grenze. Nullsubstitution ergibt eine Singularität der Form 0/0. Um den Grenzwert unter der Regel zu erhöhen, drehen wir den Nenner so, dass die Variable den gleichen Koeffizienten wie im Logarithmus hat

Es ist auch leicht zu verstehen und in der Prüfung durchzuführen. Die Schwierigkeiten der Schüler bei der Berechnung der Grenzen beginnen mit den folgenden Aufgaben.

Beispiel 8 Funktionsgrenze berechnen[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Lösung: Wir haben eine Singularität vom Typ 1 hoch unendlich. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie anstelle von „x“ überall unendlich ersetzen und selbst sehen. Um nach der Regel zu erhöhen, teilen wir den Zähler durch den Nenner in Klammern, dazu führen wir zuerst die Manipulationen durch

Ersetzen Sie den Ausdruck in die Grenze und drehen Sie ihn auf die 2 bemerkenswerte Grenze

Der Grenzwert ist der Exponent hoch 10. Konstanten, die Terme mit einer Variablen in Klammern und dem Grad sind, tragen kein "Wetter" bei - dies sollte beachtet werden. Und wenn Lehrer Sie fragen: "Warum drehen Sie nicht den Blinker?" (Für dieses Beispiel in x-3 ), sagen Sie dann: "Wenn die Variable gegen unendlich geht, dann addieren Sie 100 dazu oder subtrahieren Sie 1000, und die Grenze bleibt gleich!".
Es gibt noch eine zweite Möglichkeit, Limits dieser Art zu berechnen. Wir werden darüber in der nächsten Aufgabe sprechen.

Beispiel 9 Finden Sie die Grenze
Lösung: Jetzt nehmen wir die Variable in Zähler und Nenner heraus und verwandeln ein Merkmal in ein anderes. Um den endgültigen Wert zu erhalten, verwenden wir die Formel von Korollar 2 der bemerkenswerten Grenze

Beispiel 10 Finden Sie den Grenzwert einer Funktion
Lösung: Nicht jeder kann das angegebene Limit finden. Um die Grenze auf 2 zu erhöhen, stellen Sie sich vor, dass sin (3x) eine Variable ist und Sie den Exponenten drehen müssen

Als nächstes schreiben wir den Indikator als Grad in einem Grad


Zwischenargumente sind in Klammern beschrieben. Als Ergebnis der Verwendung der ersten und zweiten wunderbaren Grenze haben wir den dreifachen Exponenten erhalten.

Beispiel 11. Funktionsgrenze berechnen sin(2*x)/log(3*x+1)
Lösung: Wir haben eine Unsicherheit der Form 0/0. Außerdem sehen wir, dass die Funktion auf die Verwendung beider wunderbaren Grenzen umgestellt werden sollte. Lassen Sie uns die vorherigen mathematischen Transformationen durchführen

Außerdem nimmt die Grenze ohne Schwierigkeiten den Wert an

So fühlt man sich bei Tests, Tests, Modulen wohl, wenn man lernt, Funktionen schnell zu malen und auf die erste oder zweite wunderbare Grenze zu reduzieren. Wenn es für Sie schwierig ist, sich die oben genannten Methoden zur Bestimmung der Grenzen zu merken, können Sie jederzeit eine Kontrollarbeit zu den Grenzen bei uns bestellen.
Füllen Sie dazu das Formular aus, geben Sie die Daten an und hängen Sie eine Datei mit Beispielen an. Wir haben vielen Studenten geholfen - wir können auch Ihnen helfen!