Unterrichtsplan.
1. Organisatorischer Moment.
2. Präsentation des Materials.
3. Hausaufgaben.
4. Zusammenfassung der Lektion.
Während des Unterrichts
I. Organisatorischer Moment.
II. Präsentation des Materials.
Motivation.
Die Erweiterung der Menge der reellen Zahlen besteht darin, dass den reellen Zahlen neue (imaginäre) Zahlen hinzugefügt werden. Die Einführung dieser Zahlen hängt mit der Unmöglichkeit zusammen, in der Menge der reellen Zahlen die Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen.
Einführung in den Begriff der komplexen Zahl.
Die imaginären Zahlen, mit denen wir die reellen Zahlen ergänzen, schreiben wir als Bi, wo ich ist die imaginäre Einheit, und ich 2 = - 1.
Darauf basierend erhalten wir die folgende Definition einer komplexen Zahl.
Definition. Eine komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form a+bi, wo a und b sind reelle Zahlen. In diesem Fall sind folgende Bedingungen erfüllt:
a) Zwei komplexe Zahlen a 1 + b 1 ich und a 2 + b 2 ich gleich wenn und nur wenn eine 1 = eine 2, b1=b2.
b) Die Addition komplexer Zahlen wird durch die Regel bestimmt:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) ich.
c) Die Multiplikation komplexer Zahlen wird durch die Regel bestimmt:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) ich.
Algebraische Form einer komplexen Zahl.
Schreiben einer komplexen Zahl in das Formular a+bi heißt die algebraische Form einer komplexen Zahl, wobei a- Realteil Bi ist der Imaginärteil, und b ist eine reelle Zahl.
Komplexe Zahl a+bi gilt als gleich Null, wenn sein Real- und Imaginärteil gleich Null sind: a=b=0
Komplexe Zahl a+bi beim b = 0 als reelle Zahl betrachtet a: a + 0i = a.
Komplexe Zahl a+bi beim a = 0 heißt rein imaginär und wird bezeichnet Bi: 0 + bi = bi.
Zwei komplexe Zahlen z = a + bi und = ein – bi, die sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden, heißen konjugiert.
Aktionen auf komplexen Zahlen in algebraischer Form.
Die folgenden Operationen können mit komplexen Zahlen in algebraischer Form durchgeführt werden.
1) Ergänzung.
Definition. Die Summe komplexer Zahlen z 1 = ein 1 + b 1 ich und z 2 = ein 2 + b 2 ich wird komplexe Zahl genannt z, deren Realteil gleich der Summe der Realteile ist z1 und z2, und der Imaginärteil ist die Summe der Imaginärteile der Zahlen z1 und z2, also z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Zahlen z1 und z2 werden Begriffe genannt.
Die Addition komplexer Zahlen hat folgende Eigenschaften:
1º. Kommutativität: z1 + z2 = z2 + z1.
2º. Assoziativität: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Komplexe Zahl -ein -bi heißt das Gegenteil einer komplexen Zahl z = a + bi. Komplexe Zahl gegenüber komplexer Zahl z, bezeichnet -z. Summe komplexer Zahlen z und -z gleich Null: z + (-z) = 0
Beispiel 1: Hinzufügen (3 - ich) + (-1 + 2i).
(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Subtraktion.
Definition. Subtrahiere von einer komplexen Zahl z1 komplexe Zahl z2 z, was z + z 2 = z 1.
Satz. Der Unterschied der komplexen Zahlen existiert und ist zudem eindeutig.
Beispiel 2: Subtrahieren (4 - 2i) - (-3 + 2i).
(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) i = 7 - 4i.
3) Multiplikation.
Definition. Das Produkt komplexer Zahlen z 1 = a 1 + b 1 ich und z 2 \u003d a 2 + b 2 ich wird komplexe Zahl genannt z, definiert durch die Gleichheit: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Zahlen z1 und z2 werden Faktoren genannt.
Die Multiplikation komplexer Zahlen hat folgende Eigenschaften:
1º. Kommutativität: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Assoziativität: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distributivität der Multiplikation bezüglich der Addition:
(z 1 + z 2) z 3 \u003d z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z \u003d (a + bi) (a - bi) \u003d a 2 + b 2 ist eine reelle Zahl.
In der Praxis wird die Multiplikation komplexer Zahlen nach der Regel durchgeführt, Summe mit Summe zu multiplizieren und Real- und Imaginärteil zu trennen.
Betrachten Sie im folgenden Beispiel die Multiplikation komplexer Zahlen auf zwei Arten: durch die Regel und durch Multiplizieren der Summe mit der Summe.
Beispiel 3: Multiplizieren (2 + 3i) (5 – 7i).
1 Weg. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
2-Wege. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Teilung.
Definition. Dividiere eine komplexe Zahl z1 zu einer komplexen Zahl z2, bedeutet, eine solche komplexe Zahl zu finden z, was z z 2 = z 1.
Satz. Der Quotient komplexer Zahlen existiert und ist eindeutig, wenn z2 ≠ 0 + 0i.
In der Praxis wird der Quotient komplexer Zahlen ermittelt, indem Zähler und Nenner mit dem Konjugierten des Nenners multipliziert werden.
Lassen z 1 = ein 1 + b 1 ich, z 2 = ein 2 + b 2 ich, dann
.
Im folgenden Beispiel führen wir die Division durch die Formel und die Multiplikationsregel mit dem Konjugierten des Nenners durch.
Beispiel 4. Finden Sie einen Quotienten 
.
5) Erhöhen auf eine positive ganzzahlige Potenz.
a) Kräfte der imaginären Einheit.
Ausnutzung der Gleichberechtigung ich 2 \u003d -1, ist es einfach, jede positive ganzzahlige Potenz der imaginären Einheit zu definieren. Wir haben:
ich 3 \u003d ich 2 ich \u003d -i,
ich 4 \u003d ich 2 ich 2 \u003d 1,
ich 5 \u003d ich 4 ich \u003d ich,
ich 6 \u003d ich 4 ich 2 \u003d -1,
ich 7 \u003d ich 5 ich 2 \u003d -i,
ich 8 = ich 6 ich 2 = 1 usw.
Dies zeigt, dass die Gradwerte in, wo n- eine positive ganze Zahl, die periodisch wiederholt wird, wenn der Indikator ansteigt 4 .
Deshalb, um die Zahl zu erhöhen ich zu einer positiven ganzzahligen Potenz dividieren Sie den Exponenten durch 4 und aufrecht ich zur Potenz, deren Exponent der Rest der Division ist.
Beispiel 5 Berechnen: (i 36 + i 17) i 23.
ich 36 = (ich 4) 9 = 1 9 = 1,
ich 17 = ich 4 × 4+1 = (ich 4) 4 × ich = 1 ich = ich.
ich 23 = ich 4 × 5+3 = (ich 4) 5 × ich 3 = 1 ich 3 = - ich.
(i 36 + i 17) ich 23 \u003d (1 + i) (- i) \u003d - i + 1 \u003d 1 - ich.
b) Das Potenzieren einer komplexen Zahl mit einer positiven ganzen Zahl erfolgt nach der Regel des Potenzierens einer Binomialzahl mit der entsprechenden Potenz, da es sich um einen Sonderfall der Multiplikation identischer komplexer Faktoren handelt.
Beispiel 6 Berechnen: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
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Algebraische Form einer komplexen Zahl.
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen.
Wir haben bereits die algebraische Form einer komplexen Zahl kennengelernt - dies ist die algebraische Form einer komplexen Zahl. Warum reden wir über Form? Tatsache ist, dass es auch trigonometrische und exponentielle Formen komplexer Zahlen gibt, auf die im nächsten Absatz eingegangen wird.
Operationen mit komplexen Zahlen sind nicht besonders schwierig und unterscheiden sich kaum von gewöhnlicher Algebra.
Addition komplexer Zahlen
Beispiel 1
Addiere zwei komplexe Zahlen,
Um zwei komplexe Zahlen zu addieren, addieren Sie ihre Real- und Imaginärteile:
Einfach, nicht wahr? Die Aktion ist so offensichtlich, dass sie keiner zusätzlichen Kommentare bedarf.
Auf so einfache Weise können Sie die Summe beliebig vieler Terme finden: Summe der Realteile und Summe der Imaginärteile.
Für komplexe Zahlen gilt die Regel erster Klasse: 
- Durch die Neuordnung der Begriffe ändert sich die Summe nicht.
Subtraktion komplexer Zahlen
Beispiel 2
Finden Sie die Differenzen von komplexen Zahlen und , wenn ,
Die Aktion ähnelt der Addition, die einzige Besonderheit ist, dass der Subtrahend in Klammern genommen werden muss, und diese Klammern dann standardmäßig mit einem Vorzeichenwechsel geöffnet werden:
Das Ergebnis sollte nicht verwirren, die resultierende Zahl hat zwei, nicht drei Teile. Nur der Realteil ist eine Komponente: . Zur Verdeutlichung kann die Antwort wie folgt umgeschrieben werden: .
Lassen Sie uns die zweite Differenz berechnen:
Auch hier ist der Realteil Bestandteil:
Um jede Untertreibung zu vermeiden, gebe ich ein kurzes Beispiel mit einem "schlechten" Imaginärteil: . Hier geht es nicht ohne Klammern.
Multiplikation komplexer Zahlen
Der Moment ist gekommen, um Ihnen die berühmte Gleichheit vorzustellen:
Beispiel 3
Finden Sie das Produkt komplexer Zahlen,
Offensichtlich sollte die Arbeit so geschrieben werden:
Was wird gefragt? Es bietet sich an, die Klammern nach der Multiplikationsregel von Polynomen zu öffnen. So sollte es gemacht werden! Alle algebraischen Operationen sind Ihnen vertraut, die Hauptsache, die Sie sich merken sollten, ist dies und sei vorsichtig.
Wiederholen wir, omg, die Schulregel für die Multiplikation von Polynomen: Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen Polynoms multiplizieren.
Ich schreibe ausführlich:
Ich hoffe das war allen klar
Achtung und nochmals Achtung, meistens wird ein Fehler in den Zeichen gemacht.
Das Produkt komplexer Zahlen ist wie die Summe permutierbar, d. h. die Gleichheit gilt: .
In der Lehrliteratur und im Web findet man leicht eine spezielle Formel zur Berechnung des Produkts komplexer Zahlen. Verwenden Sie es, wenn Sie möchten, aber mir scheint, dass der Ansatz mit der Multiplikation von Polynomen universeller und klarer ist. Ich werde die Formel nicht geben, ich denke, dass es in diesem Fall den Kopf mit Sägemehl verstopft.
Division komplexer Zahlen
Beispiel 4
Gegeben komplexe Zahlen , . Privat finden.
Machen wir einen Quotienten:
Die Teilung der Zahlen wird durchgeführt durch Multiplizieren des Nenners und Zählers mit dem konjugierten Ausdruck des Nenners.
Wir erinnern uns an die bärtige Formel und betrachten unseren Nenner: . Der Nenner hat bereits , also ist der konjugierte Ausdruck in diesem Fall , das heißt
Nach der Regel muss der Nenner mit multipliziert werden, und damit sich nichts ändert, multipliziere den Zähler mit der gleichen Zahl:
Ich schreibe ausführlich:
Ich habe ein „gutes“ Beispiel herausgegriffen: Wenn Sie zwei Zahlen „aus dem Bulldozer“ nehmen, erhalten Sie als Ergebnis der Division fast immer Brüche, so etwas wie.
In einigen Fällen ist es ratsam, vor dem Dividieren den Bruch zu vereinfachen, z. B. den Quotienten von Zahlen zu betrachten:. Vor dem Dividieren entfernen wir unnötige Minuszeichen: Im Zähler und im Nenner entfernen wir die Minuszeichen aus Klammern und reduzieren diese Minuszeichen: 
. Für diejenigen, die gerne lösen, gebe ich die richtige Antwort:
Selten, aber es gibt eine solche Aufgabe:
Beispiel 5
Sie erhalten eine komplexe Zahl. Schreiben Sie die gegebene Zahl in algebraischer Form (d. h. in die Form).
Der Empfang ist derselbe - wir multiplizieren den Nenner und den Zähler mit dem zum Nenner konjugierten Ausdruck. Schauen wir uns die Formel noch einmal an. Der Nenner hat bereits , also müssen Nenner und Zähler mit dem konjugierten Ausdruck multipliziert werden, also mit:
In der Praxis können sie leicht ein ausgefallenes Beispiel bieten, bei dem Sie viele Operationen mit komplexen Zahlen ausführen müssen. Keine Panik: seien Sie aufmerksam, befolgen Sie die Regeln der Algebra, die übliche algebraische Reihenfolge der Operationen, und denken Sie daran, dass .
Trigonometrische und Exponentialform einer komplexen Zahl
In diesem Abschnitt konzentrieren wir uns mehr auf die trigonometrische Form einer komplexen Zahl. Die Exponentialform in praktischen Aufgaben ist viel seltener. Ich empfehle, trigonometrische Tabellen herunterzuladen und wenn möglich auszudrucken, methodisches Material finden Sie auf der Seite Mathematische Formeln und Tabellen. Ohne Tische kommt man nicht weit.
Jede komplexe Zahl (außer Null) kann in trigonometrischer Form geschrieben werden: 
, wo ist es komplexer Zahlenmodul, a - Argument für komplexe Zahlen. Lauf nicht weg, es ist einfacher als du denkst.
Zeichne eine Zahl auf der komplexen Ebene. Zur Eindeutigkeit und Einfachheit der Erklärungen werden wir es im ersten Koordinatenviertel platzieren, d.h. Wir denken dass:
Der Modul einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Koordinatenursprung zum entsprechenden Punkt der komplexen Ebene. Einfach gesagt, Modul ist die Länge Radiusvektor, der in der Zeichnung rot markiert ist.
Der Modul einer komplexen Zahl wird normalerweise bezeichnet mit: oder
Unter Verwendung des Satzes des Pythagoras lässt sich leicht eine Formel zum Ermitteln des Moduls einer komplexen Zahl ableiten: . Diese Formel gilt für alle Bedeutungen "ein" und "sein".
Notiz: Der Modul einer komplexen Zahl ist eine Verallgemeinerung des Konzepts Modul der reellen Zahl, als Abstand vom Punkt zum Ursprung.
Das Argument einer komplexen Zahl namens Injektion zwischen positive Achse die reelle Achse und der vom Ursprung zum entsprechenden Punkt gezogene Radiusvektor. Das Argument ist für Singular nicht definiert: .
Das betrachtete Prinzip ist tatsächlich ähnlich zu Polar Koordinaten, wobei Polarradius und Polarwinkel einen Punkt eindeutig definieren.
Das Argument einer komplexen Zahl wird normalerweise bezeichnet mit: oder
Aus geometrischen Überlegungen ergibt sich folgende Formel zur Argumentfindung:
. Beachtung! Diese Formel funktioniert nur in der rechten Halbebene! Wenn sich die komplexe Zahl nicht im 1. oder 4. Koordinatenquadranten befindet, ist die Formel etwas anders. Auch diese Fälle werden wir berücksichtigen.
Aber betrachten Sie zuerst die einfachsten Beispiele, wenn sich komplexe Zahlen auf den Koordinatenachsen befinden.
Beispiel 7
Lassen Sie uns die Zeichnung ausführen:
Tatsächlich ist die Aufgabe mündlich. Zur Verdeutlichung schreibe ich die trigonometrische Form einer komplexen Zahl um: 
Erinnern wir uns genau, das Modul - Länge(was immer nicht-negativ ist), ist das Argument Injektion.
1) Lassen Sie uns die Zahl in trigonometrischer Form darstellen. Finden Sie seinen Modul und sein Argument. Es ist klar, dass . Formale Berechnung nach der Formel: .
Das ist offensichtlich (die Zahl liegt direkt auf der reellen positiven Halbachse). Die Zahl in trigonometrischer Form lautet also: 
.
Klar wie der Tag, umgekehrte Prüfaktion:
2) Lassen Sie uns die Zahl in trigonometrischer Form darstellen. Finden Sie seinen Modul und sein Argument. Es ist klar, dass . Formale Berechnung nach der Formel: .
Offensichtlich (oder 90 Grad). In der Zeichnung ist die Ecke rot markiert. Die Zahl in trigonometrischer Form lautet also: 
.
Mit Hilfe der Wertetabelle trigonometrischer Funktionen ist es einfach, die algebraische Form einer Zahl zurückzubekommen (gleichzeitig durch Überprüfung):
3) Lassen Sie uns die Zahl in trigonometrischer Form darstellen. Finden Sie seinen Modul und sein Argument. Es ist klar, dass . Formale Berechnung nach der Formel: .
Offensichtlich (oder 180 Grad). In der Zeichnung ist der Winkel blau angedeutet. Die Zahl in trigonometrischer Form lautet also: 
.
Untersuchung:
4) Und der vierte interessante Fall. Lassen Sie uns die Zahl in trigonometrischer Form darstellen. Finden Sie seinen Modul und sein Argument. Es ist klar, dass . Formale Berechnung nach der Formel: .
Das Argument kann auf zwei Arten geschrieben werden: Erster Weg: (270 Grad) und dementsprechend: 
. Untersuchung:
Die folgende Regel ist jedoch üblicher: Wenn der Winkel größer als 180 Grad ist, dann wird es mit einem Minuszeichen und der entgegengesetzten Ausrichtung („Scrollen“) des Winkels geschrieben: (minus 90 Grad), in der Zeichnung ist der Winkel grün markiert. Es ist leicht zu sehen, dass sie den gleichen Winkel haben.
Somit wird der Eintrag zu: 
Beachtung! Auf keinen Fall sollten Sie die Gleichheit des Kosinus, die Ungeradheit des Sinus verwenden und eine weitere "Vereinfachung" der Aufzeichnung vornehmen:
Übrigens ist es nützlich, sich an das Aussehen und die Eigenschaften von trigonometrischen und inversen trigonometrischen Funktionen zu erinnern. Referenzmaterialien befinden sich in den letzten Absätzen der Seite Graphen und Eigenschaften elementarer Grundfunktionen. Und komplexe Zahlen sind viel einfacher zu lernen!
Bei der Gestaltung der einfachsten Beispiele sollte es so geschrieben werden: „es ist offensichtlich, dass das Modul ... es ist offensichtlich, dass das Argument ... ist“. Das ist wirklich offensichtlich und leicht verbal zu lösen.
Kommen wir zu häufigeren Fällen. Wie ich schon angemerkt habe, gibt es mit dem Modul keine Probleme, man sollte immer die Formel verwenden. Aber die Formeln zum Finden des Arguments sind unterschiedlich, es hängt davon ab, in welchem Koordinatenviertel die Zahl liegt. In diesem Fall sind drei Optionen möglich (es ist sinnvoll, sie in Ihrem Notizbuch neu zu schreiben):
1) Wenn (1. und 4. Koordinatenviertel oder die rechte Halbebene), dann muss das Argument mit der Formel gefunden werden.
2) Wenn (2. Koordinatenviertel), dann muss das Argument durch die Formel gefunden werden 
.
3) Wenn (3. Koordinatenviertel), dann muss das Argument durch die Formel gefunden werden 
.
Beispiel 8
Drücken Sie die komplexen Zahlen in trigonometrischer Form aus: , , , .
Sobald es fertige Formeln gibt, entfällt das Zeichnen. Aber es gibt einen Punkt: Wenn Sie aufgefordert werden, eine Zahl in trigonometrischer Form darzustellen, dann Zeichnen ist sowieso besser zu tun. Tatsache ist, dass Lehrer eine Lösung ohne Zeichnung oft ablehnen, das Fehlen einer Zeichnung ist ein schwerwiegender Grund für ein Minus und einen Misserfolg.
Eh, ich habe seit hundert Jahren nichts mehr von Hand gezeichnet, Moment mal:
Wie immer unordentlich geworden =)
Ich werde die Zahlen präsentieren und in komplexer Form, die erste und dritte Zahl werden für eine unabhängige Entscheidung bestimmt sein.
Lassen Sie uns die Zahl in trigonometrischer Form darstellen. Finden Sie seinen Modul und sein Argument.
Algebraische Schreibweise einer komplexen Zahl ......................................... ... ................... | |||
Ebene der komplexen Zahlen .......................................... ................... ................................ ................... ... | |||
Komplexe konjugierte Zahlen .......................................... ................ .................................. ............... | |||
Operationen mit komplexen Zahlen in algebraischer Form .......................................... ................... .... | |||
Addition komplexer Zahlen .................................................. ................... ................................ ................... | |||
Subtraktion komplexer Zahlen .................................................. ...................................................... .......... | |||
Multiplikation komplexer Zahlen .................................................. ...................................................... ......... | |||
Division komplexer Zahlen .................................................. ................ .................................. ......... ... | |||
Trigonometrische Form einer komplexen Zahl .................................. ................. .......... | |||
Operationen mit komplexen Zahlen in trigonometrischer Form .......................................... ............ | |||
Multiplikation komplexer Zahlen in trigonometrischer Form....................................... ......................... | |||
Division komplexer Zahlen in trigonometrischer Form ......................................... ................... ... | |||
Erhöhen einer komplexen Zahl auf eine positive ganzzahlige Potenz | |||
Ziehen der Wurzel einer positiven ganzzahligen Potenz aus einer komplexen Zahl | |||
Eine komplexe Zahl rational potenzieren ......................................... ................... ..... | |||
Komplexe Reihen .................................................. ................. ................................. ................. .................... | |||
Komplexe Zahlenreihe .................................................. ................ .................................. ............... | |||
Potenzreihen in der komplexen Ebene .......................................... ................................................. | |||
Zweiseitige Potenzreihe in der komplexen Ebene .......................................... ...................... ... | |||
Funktionen einer komplexen Variablen .......................................... ..................................................... ................... | |||
Grundlegende Elementarfunktionen .................................................. ................................................... .......... | |||
Euler-Formeln .................................................. .. ................................................ .................... | |||
Die Exponentialform der Darstellung einer komplexen Zahl ......................................... ...... . | |||
Beziehung zwischen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen ......................................... | |||
Logarithmische Funktion .................................................. ................. ................................. ................. ... | |||
Allgemeine Exponential- und allgemeine Potenzfunktionen .................................... ...................................... | |||
Differentiation von Funktionen einer komplexen Variablen....................................... .................... ... | |||
Cauchy-Riemann-Bedingungen ................................................ .......................................................... ......... ............ | |||
Formeln zur Berechnung der Ableitung .......................................... ......................................... | |||
Eigenschaften der Differentiationsoperation .................................................. ................................................ | |||
Eigenschaften des Real- und Imaginärteils einer analytischen Funktion ......................................... ....... | |||
Wiederherstellung einer Funktion einer komplexen Variablen von ihrer realen oder imaginären |
|||
Methodennummer 1. Verwendung des krummlinigen Integrals .................................... ......... ....... | |||
Methodennummer 2. Direkte Anwendung der Cauchy-Riemann-Bedingungen....................................... | |||
Methodennummer 3. Durch die Ableitung der gesuchten Funktion .......................................... ................... ......... | |||
Integration von Funktionen einer komplexen Variablen....................................... .................... ........... | |||
Integralformel von Cauchy .................................................. ................................................. . .. | |||
Funktionserweiterung in Taylor- und Laurent-Reihen .................................. .... ......................... | |||
Nullstellen und Singulärstellen einer Funktion einer komplexen Variablen ......................................... ...... ..... | |||
Nullstellen einer Funktion einer komplexen Variablen ......................................... ................ ....................... | |||
Isolierte singuläre Punkte einer Funktion einer komplexen Variablen ......................................... ...... | |||
14.3 Zeigen Sie als singulärer Punkt einer Funktion einer komplexen Variablen auf unendlich
Abhebungen ................................................. ................................................. . .......................................... | |||
Abzug am Endpunkt .................................................. .......................................... ............ ...... | |||
Rest einer Funktion an einem Punkt im Unendlichen ......................................... ...................... ................. | |||
Berechnung von Integralen unter Verwendung von Residuen .................................... ................................................. | |||
Fragen zur Selbstprüfung .......................................... ................. ................................. ................. ....... | |||
Literatur................................................. ................................................. . ................................ | |||
Subject Index................................................ ................................................. . ............. | |||
Vorwort
Es ist ziemlich schwierig, Zeit und Aufwand bei der Vorbereitung auf die theoretischen und praktischen Teile einer Prüfung oder eines Modulzertifikats richtig einzuteilen, zumal während der Sitzung immer nicht genügend Zeit zur Verfügung steht. Und wie die Praxis zeigt, kommt damit nicht jeder zurecht. Infolgedessen lösen einige Schüler während der Prüfung Probleme richtig, finden es jedoch schwierig, die einfachsten theoretischen Fragen zu beantworten, während andere einen Satz formulieren können, ihn aber nicht anwenden können.
Diese methodischen Empfehlungen zur Vorbereitung auf die Prüfung in der Lehrveranstaltung Theory of Functions of a Complex Variables (TFV) sind ein Versuch, diesen Widerspruch aufzulösen und eine gleichzeitige Wiederholung des theoretischen und praktischen Lehrstoffs der Lehrveranstaltung zu gewährleisten. Geleitet von dem Grundsatz „Theorie ohne Praxis ist tot, Praxis ohne Theorie ist blind“ enthalten sie sowohl die theoretischen Positionen des Kurses auf der Ebene der Definitionen und Formulierungen als auch Beispiele, die die Anwendung der jeweiligen theoretischen Positionen veranschaulichen, und dadurch erleichtert das Auswendiglernen und Verstehen.
Der Zweck der vorgeschlagenen methodischen Empfehlungen besteht darin, den Schülern zu helfen, sich auf die Prüfung auf einem grundlegenden Niveau vorzubereiten. Mit anderen Worten, es wurde ein erweiterter Arbeitsleitfaden zusammengestellt, der die wichtigsten Punkte enthält, die in den TFKT-Kursklassen verwendet werden und die für die Erledigung von Hausaufgaben und die Vorbereitung auf Kontrollaktivitäten erforderlich sind. Neben der selbstständigen Arbeit der Studierenden kann diese elektronische Bildungspublikation bei der Durchführung von Unterricht in interaktiver Form mit einer elektronischen Tafel oder zur Einstufung in ein Fernlernsystem verwendet werden.
Bitte beachten Sie, dass diese Arbeit kein Lehrbuch oder Vorlesungsskript ersetzt. Für ein eingehendes Studium des Materials wird empfohlen, auf die entsprechenden Abschnitte der Veröffentlichung zu verweisen, die an der Moskauer Staatlichen Technischen Universität veröffentlicht wurde. N.E. Bauman Grundlehrbuch.
Am Ende des Handbuchs befindet sich eine Liste empfohlener Literatur und ein Stichwortverzeichnis, das alle im Text hervorgehobenen enthält. Fett Kursiv Bedingungen. Der Index besteht aus Hyperlinks zu Abschnitten, in denen diese Begriffe streng definiert oder beschrieben sind, und in denen Beispiele gegeben werden, um ihre Verwendung zu veranschaulichen.
Das Handbuch richtet sich an Studierende im 2. Studienjahr aller Fakultäten der MSTU. N.E. Baumann.
1. Algebraische Schreibweise einer komplexen Zahl
Aufzeichnung der Form z \u003d x + iy, wobei x, y reelle Zahlen sind, i eine imaginäre Einheit ist (d. h. i 2 = − 1)
heißt die algebraische Form der komplexen Zahl z. In diesem Fall wird x als Realteil der komplexen Zahl bezeichnet und mit Re z (x = Re z ) bezeichnet, y wird als Imaginärteil der komplexen Zahl bezeichnet und mit Im z (y = Im z ) bezeichnet.
Beispiel. Die komplexe Zahl z = 4− 3i hat den Realteil Rez = 4 und den Imaginärteil Imz = − 3 .
2. Ebene der komplexen Zahlen
BEIM Theorien der Funktionen einer komplexen Variablen betrachtenkomplexe Zahlenebene, was entweder bezeichnet wird, oder es werden die Buchstaben verwendet, die komplexe Zahlen z, w usw. bezeichnen.
Die horizontale Achse der komplexen Ebene wird genannt echte Achse, darauf befinden sich reelle Zahlen z \u003d x + 0i \u003d x.
Die vertikale Achse der komplexen Ebene wird als imaginäre Achse bezeichnet, sie hat
3. Komplexe konjugierte Zahlen
Die Zahlen z = x + iy und z = x − iy werden genannt Komplex konjugiert. Auf der komplexen Ebene entsprechen sie Punkten, die um die reelle Achse symmetrisch sind.
4. Operationen mit komplexen Zahlen in algebraischer Form
4.1 Addition komplexer Zahlen
Die Summe zweier komplexer Zahlen | z 1= x 1+ iy 1 | und z 2 = x 2 + iy 2 wird eine komplexe Zahl genannt |
|||||||||||
z 1 + z 2 | = (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + ich (y 1+ y 2) . | Betrieb | Ergänzungen |
||||||||||
Komplexe Zahlen ähneln der Operation des Addierens algebraischer Binome. | |||||||||||||
Beispiel. Die Summe zweier komplexer Zahlen z 1 = 3+ 7i und z 2 | = −1 +2 i | wird eine komplexe Zahl sein |
|||||||||||
z 1 +z 2 =(3 +7 ich ) +(–1 +2 ich ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) ich =2 +9 ich . | |||||||||||||
Offensichtlich, | Summe in einem Komplex | konjugiert | ist ein | gültig | |||||||||
z + z = (x + iy) + (x − iy) = 2 x= 2 Rez. | |||||||||||||
4.2 Subtraktion komplexer Zahlen | |||||||||||||
Die Differenz zweier komplexer Zahlen z 1 = x 1 + iy 1 | X2 + iy2 | namens | umfassend |
||||||||||
Zahl z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) . | |||||||||||||
Beispiel. Der Unterschied zwischen zwei komplexen Zahlen | z 1 =3 – 4 ich | und z2 | = −1 +2 i | es wird ein umfassendes geben |
|||||||||
Zahl z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i . | |||||||||||||
Unterschied | Komplex konjugiert | ist ein | |||||||||||
z − z = (x+ iy) − (x − iy) = 2 iy= 2 iIm z. | |||||||||||||
4.3 Multiplikation komplexer Zahlen | |||||||||||||
Das Produkt zweier komplexer Zahlen | z 1= x 1+ iy 1 | und z 2 = x 2 + iy 2 | heißt komplex |
||||||||||
z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2 | = (x 1x 2− y 1y 2) + ich (y 1x 2+ y 2x ) . | ||||||||||||
Daher ist die Operation der Multiplikation komplexer Zahlen ähnlich der Operation der Multiplikation algebraischer Binome, wobei die Tatsache berücksichtigt wird, dass i 2 = − 1.
