Stellen Sie sich ein Flugzeug vor: Flügel, Rumpf, Leitwerk, alles zusammen – ein wirklich riesiges, riesiges, ganzes Flugzeug. Und Sie können ein Modell eines Flugzeugs bauen, klein, aber alles ist echt, die gleichen Flügel usw., aber kompakt. Ebenso das mathematische Modell. Es gibt ein Textproblem, umständlich, man kann es ansehen, lesen, aber nicht ganz verstehen, und noch mehr, es ist nicht klar, wie man es löst. Aber was, wenn wir aus einem großen verbalen Problem ein kleines Modell daraus machen, ein mathematisches Modell? Was bedeutet mathematisch? Verwenden Sie also die Regeln und Gesetze der mathematischen Notation, um den Text mithilfe von Zahlen und arithmetischen Zeichen in eine logisch korrekte Darstellung umzuwandeln. So, Ein mathematisches Modell ist eine Darstellung einer realen Situation unter Verwendung einer mathematischen Sprache.
Fangen wir einfach an: Die Zahl ist größer als die Zahl um. Wir müssen es aufschreiben, ohne Worte zu verwenden, nur die Sprache der Mathematik. Wenn mehr vorbei ist, stellt sich heraus, dass, wenn wir von subtrahieren, die Differenz dieser Zahlen gleich bleibt. Jene. oder. Verstanden?
Jetzt ist es komplizierter, jetzt wird es einen Text geben, den Sie versuchen sollten, in Form eines mathematischen Modells darzustellen, bis Sie gelesen haben, wie ich es machen werde, versuchen Sie es selbst! Es gibt vier Zahlen: , und. Ein Produkt und mehr Produkte und zweimal.
Was ist passiert?
In Form eines mathematischen Modells sieht es so aus:
Jene. Das Produkt bezieht sich auf zwei zu eins, aber dies kann weiter vereinfacht werden:
Nun, mit einfachen Beispielen verstehen Sie, denke ich. Kommen wir zu vollwertigen Aufgaben, bei denen auch diese mathematischen Modelle gelöst werden müssen! Hier ist die Aufgabe.
Mathematisches Modell in der Praxis
Aufgabe 1
Nach Regen kann der Wasserstand im Brunnen steigen. Der Junge misst die Zeit, in der kleine Kieselsteine in den Brunnen fallen, und berechnet die Entfernung zum Wasser mit der Formel, wobei die Entfernung in Metern und die Fallzeit in Sekunden ist. Vor dem Regen war die Zeit für den Fall der Kieselsteine s. Um wie viel muss der Wasserstand nach dem Regen steigen, damit sich die gemessene Zeit auf s ändert? Geben Sie Ihre Antwort in Metern an.
Oh Gott! Welche Formeln, was für ein Brunnen, was passiert, was ist zu tun? Habe ich deine Gedanken gelesen? Entspannen Sie sich, bei Aufgaben dieser Art sind die Bedingungen noch schrecklicher. Sie sollten sich vor allem daran erinnern, dass Sie sich bei dieser Aufgabe für Formeln und Beziehungen zwischen Variablen interessieren, und was das alles in den meisten Fällen bedeutet, ist nicht sehr wichtig. Was sehen Sie hier nützlich? Ich persönlich sehe. Das Prinzip zur Lösung dieser Probleme ist wie folgt: Sie nehmen alle bekannten Größen und ersetzen sie.Aber manchmal muss man nachdenken!
Wenn ich meinen ersten Rat befolge und alle bekannten in die Gleichung einsetze, erhalten wir:
Ich war es, der die Zeit der Sekunde ersetzte und die Höhe fand, die der Stein vor dem Regen flog. Und jetzt müssen wir nach dem Regen zählen und den Unterschied finden!
Hören Sie sich jetzt den zweiten Rat an und denken Sie darüber nach, die Frage klärt, "wie stark muss der Wasserstand nach Regen steigen, damit sich die gemessene Zeit um s ändert." Sie müssen es sofort herausfinden, soooo, nach dem Regen steigt der Wasserspiegel, was bedeutet, dass die Zeit, bis der Stein auf den Wasserspiegel fällt, kürzer ist, und hier dauert der kunstvolle Satz „damit sich die gemessene Zeit ändert“. auf eine bestimmte Bedeutung: Die Abfallzeit wird nicht erhöht, sondern um die angegebenen Sekunden verringert. Das bedeutet, dass wir im Fall eines Wurfs nach dem Regen nur c von der Anfangszeit c abziehen müssen, und wir erhalten die Gleichung für die Höhe, die der Stein nach dem Regen fliegen wird:
Und schließlich, um herauszufinden, wie stark der Wasserstand nach dem Regen steigen muss, damit sich die gemessene Zeit um s ändert, muss man nur die zweite von der ersten Fallhöhe abziehen!
Wir bekommen die Antwort: pro Meter.
Wie Sie sehen können, gibt es nichts Kompliziertes, vor allem, kümmern Sie sich nicht zu sehr darum, woher eine so unverständliche und manchmal komplexe Gleichung in den Bedingungen kommt und was alles darin bedeutet, nehmen Sie mich beim Wort, die meisten dieser Gleichungen sind es der Physik entnommen, und dort ist der Dschungel schlimmer als in der Algebra. Manchmal kommt es mir so vor, als seien diese Aufgaben erfunden worden, um den Schüler bei der Prüfung mit einer Fülle komplexer Formeln und Begriffe einzuschüchtern, und erfordern in den meisten Fällen fast keine Kenntnisse. Lesen Sie einfach die Bedingung sorgfältig durch und ersetzen Sie die bekannten Werte in der Formel!
Hier ist ein weiteres Problem, nicht mehr aus der Physik, sondern aus der Welt der Wirtschaftstheorie, obwohl auch hier keine anderen naturwissenschaftlichen Kenntnisse als Mathematik erforderlich sind.
Aufgabe 2
Die Abhängigkeit des Nachfragevolumens (Einheiten pro Monat) für die Produkte eines Monopolunternehmens vom Preis (Tausend Rubel) ergibt sich aus der Formel
Der monatliche Umsatz des Unternehmens (in Tausend Rubel) wird anhand der Formel berechnet. Bestimmen Sie den höchsten Preis, bei dem der monatliche Umsatz mindestens tausend Rubel beträgt. Geben Sie die Antwort in Tausend Rubel an.
Ratet mal, was ich jetzt tun werde? Ja, ich fange an, das zu ersetzen, was wir wissen, aber auch hier müssen Sie noch ein wenig nachdenken. Gehen wir vom Ende aus, wir müssen herausfinden, an welchem. Also gibt es einiges gleich, wir finden, was sonst gleich ist, und es ist gleich, und wir werden es aufschreiben. Wie Sie sehen, kümmere ich mich nicht besonders um die Bedeutung all dieser Größen, ich schaue nur aus den Bedingungen, was gleich was ist, das müssen Sie tun. Kehren wir zur Aufgabe zurück, Sie haben sie bereits, aber wie Sie sich erinnern, kann aus einer Gleichung mit zwei Variablen keine gefunden werden. Was tun? Ja, wir haben noch ein unbenutztes Teilchen im Zustand. Hier gibt es bereits zwei Gleichungen und zwei Variablen, was bedeutet, dass jetzt beide Variablen gefunden werden können - großartig!
Können Sie ein solches System lösen?
Wir lösen durch Substitution, wir haben es bereits ausgedrückt, was bedeutet, dass wir es in die erste Gleichung einsetzen und vereinfachen werden.
Es stellt sich heraus, dass es sich hier um eine solche quadratische Gleichung handelt: , wir lösen, die Wurzeln sind so, . In der Aufgabe gilt es, den höchsten Preis zu finden, bei dem alle Bedingungen, die wir bei der Erstellung des Systems berücksichtigt haben, erfüllt werden. Oh, es stellte sich heraus, dass das der Preis war. Cool, also fanden wir die Preise: und. Der höchste Preis, sagen Sie? Okay, den größten von ihnen schreiben wir natürlich als Antwort. Nun, ist es schwierig? Ich denke nicht, und Sie müssen sich nicht zu sehr damit befassen!
Und hier ist eine erschreckende Physik für Sie, oder besser gesagt, ein anderes Problem:
Aufgabe 3
Um die effektive Temperatur von Sternen zu bestimmen, wird das Stefan-Boltzmann-Gesetz verwendet, wonach, wo die Strahlungsleistung des Sterns ist, eine Konstante ist, die Oberfläche des Sterns ist und die Temperatur ist. Es ist bekannt, dass die Oberfläche eines bestimmten Sterns gleich ist und die Stärke seiner Strahlung gleich W ist. Berechne die Temperatur dieses Sterns in Grad Kelvin.
Wo ist es klar? Ja, die Bedingung sagt, was gleich was ist. Früher habe ich empfohlen, alle Unbekannten sofort zu ersetzen, aber hier ist es besser, zuerst die gesuchte Unbekannte auszudrücken. Schauen Sie, wie einfach alles ist: Es gibt eine Formel und sie sind darin bekannt und (das ist der griechische Buchstabe "Sigma". Im Allgemeinen lieben Physiker griechische Buchstaben, gewöhnen Sie sich daran). Die Temperatur ist unbekannt. Drücken wir es in Form einer Formel aus. Wie geht das, ich hoffe du weißt es? Solche Aufgaben für das GIA in der 9. Klasse ergeben normalerweise:
Jetzt müssen wir auf der rechten Seite Zahlen anstelle von Buchstaben ersetzen und vereinfachen:
Hier ist die Antwort: Grad Kelvin! Und was für eine schreckliche Aufgabe!
Wir quälen weiterhin Probleme in der Physik.
Aufgabe 4
Die Höhe eines hochgeworfenen Balls über dem Boden ändert sich nach dem Gesetz, wobei die Höhe in Metern die Zeit in Sekunden ist, die seit dem Wurf vergangen ist. Wie viele Sekunden befindet sich der Ball in einer Höhe von mindestens drei Metern?
Das waren alle Gleichungen, aber hier muss bestimmt werden, wie viel der Ball in einer Höhe von mindestens drei Metern war, was in einer Höhe bedeutet. Was werden wir machen? Ungleichheit, ja! Wir haben eine Funktion, die beschreibt, wie der Ball fliegt, wo genau die gleiche Höhe in Metern ist, wir brauchen die Höhe. Meint
Und jetzt lösen Sie einfach die Ungleichung, ganz wichtig, vergessen Sie nicht, das Ungleichheitszeichen von mehr oder gleich auf weniger oder gleich zu ändern, wenn Sie mit beiden Teilen der Ungleichung multiplizieren, um das Minus davor loszuwerden.
Hier sind die Wurzeln, wir bilden Intervalle für Ungleichheit:
Uns interessiert das Intervall, in dem das Vorzeichen minus ist, da die Ungleichheit dort negative Werte annimmt, ist dies von bis beide inklusive. Und jetzt schalten wir das Gehirn ein und denken genau nach: Für die Ungleichheit haben wir eine Gleichung verwendet, die den Flug des Balls beschreibt, er fliegt irgendwie entlang einer Parabel, d.h. es hebt ab, erreicht einen Gipfel und fällt, wie kann man verstehen, wie lange es in einer Höhe von mindestens Metern sein wird? Wir haben 2 Wendepunkte gefunden, d.h. der Moment, in dem er über Meter aufsteigt, und der Moment, in dem er beim Fallen dieselbe Marke erreicht, diese beiden Punkte werden in unserer Form in Form von Zeit ausgedrückt, d.h. wir wissen, in welcher Sekunde des Fluges er in die für uns interessante Zone eingetreten ist (über Meter) und in welcher er ihn verlassen hat (unter die Metermarke gefallen ist). Wie viele Sekunden war er in dieser Zone? Es ist logisch, dass wir die Zeit des Verlassens der Zone nehmen und davon die Zeit des Eintritts in diese Zone abziehen. Dementsprechend: - so sehr er in der Zone über Metern war, das ist die Antwort.
Sie haben so viel Glück, dass die meisten Beispiele zu diesem Thema aus der Kategorie Probleme in der Physik stammen können, also fangen Sie noch eins, es ist das letzte, also treiben Sie sich an, es ist sehr wenig übrig!
Aufgabe 5
Für ein Heizelement eines bestimmten Geräts wurde die Temperaturabhängigkeit von der Betriebszeit experimentell erhalten:
Wo ist die Zeit in Minuten. Es ist bekannt, dass sich bei einer Temperatur des Heizelementes über dem Gerät verschlechtern kann, so dass es abgeschaltet werden muss. Finden Sie die maximale Zeit nach Arbeitsbeginn, um das Gerät auszuschalten. Drücken Sie Ihre Antwort in Minuten aus.
Wir handeln nach einem altbewährten Schema, alles was gegeben ist, schreiben wir erst einmal auf:
Nun nehmen wir die Formel und setzen sie dem Temperaturwert gleich, auf den das Gerät maximal aufgeheizt werden kann, bis es durchbrennt, also:
Jetzt ersetzen wir Zahlen anstelle von Buchstaben, wo sie bekannt sind:
Wie Sie sehen können, wird die Temperatur während des Betriebs des Geräts durch eine quadratische Gleichung beschrieben, was bedeutet, dass sie entlang einer Parabel verteilt ist, d.h. Das Gerät erwärmt sich auf eine bestimmte Temperatur und kühlt dann ab. Wir haben Antworten erhalten und daher ist die Temperatur während und während Minuten des Heizens kritisch, aber zwischen und Minuten ist sie sogar höher als der Grenzwert!
Sie müssen das Gerät also nach einer Minute ausschalten.
MATHEMATISCHE MODELLE. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE
Am häufigsten werden mathematische Modelle in der Physik verwendet: Schließlich mussten Sie sich wahrscheinlich Dutzende von physikalischen Formeln merken. Und die Formel ist die mathematische Darstellung der Situation.
In der OGE und dem Einheitlichen Staatsexamen gibt es Aufgaben genau zu diesem Thema. Im USE (Profil) ist dies die Aufgabennummer 11 (früher B12). In der OGE - Aufgabe Nummer 20.
Das Lösungsschema ist offensichtlich:
1) Aus dem Text der Bedingung müssen nützliche Informationen „isoliert“ werden - was wir in Physikproblemen unter dem Wort „Gegeben“ schreiben. Diese nützlichen Informationen sind:
- Formel
- Bekannte physikalische Größen.
Das heißt, jedem Buchstaben aus der Formel muss eine bestimmte Nummer zugeordnet werden.
2) Nimm alle bekannten Mengen und setze sie in die Formel ein. Der unbekannte Wert bleibt als Buchstabe erhalten. Jetzt müssen Sie nur noch die Gleichung lösen (normalerweise ganz einfach), und die Antwort ist fertig.
So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.
Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!
Jetzt das Wichtigste.
Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.
Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...
Wofür?
Für das erfolgreiche Bestehen der Prüfung, für die Aufnahme ins Institut auf Kosten des Budgets und vor allem auf Lebenszeit.
Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich werde nur eines sagen ...
Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die sie nicht erhalten haben. Das ist Statistik.
Aber das ist nicht die Hauptsache.
Die Hauptsache ist, dass sie MEHR GLÜCKLICH sind (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben heller wird? Weiß nicht...
Aber denkt selbst...
Was braucht es, um bei der Prüfung sicher besser zu sein als andere und am Ende … glücklicher?
FÜLLEN SIE IHRE HAND, LÖSEN SIE PROBLEME ZU DIESEM THEMA.
Bei der Prüfung wird dir keine Theorie abverlangt.
Du wirst brauchen Probleme rechtzeitig lösen.
Und wenn Sie sie nicht gelöst haben (VIELE!), werden Sie definitiv irgendwo einen dummen Fehler machen oder es einfach nicht rechtzeitig schaffen.
Es ist wie im Sport – Sie müssen viele Male wiederholen, um sicher zu gewinnen.
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Abschließend...
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„Verstanden“ und „Ich weiß, wie ich es lösen kann“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.
Probleme finden und lösen!
Mathematische Modelle
Mathematisches Modell - ungefähr opiBeschreibung des Modellierungsobjekts, ausgedrückt durchSchyu mathematische Symbolik.
Mathematische Modelle tauchten zusammen mit der Mathematik vor vielen Jahrhunderten auf. Ein enormer Impuls für die Entwicklung der mathematischen Modellierung wurde durch das Aufkommen von Computern gegeben. Der Einsatz von Computern ermöglichte die Analyse und Umsetzung vieler mathematischer Modelle, die zuvor der analytischen Forschung nicht zugänglich waren. Computerimplementierte MathematikHimmelsmodell namens Computermathematisches Modell, a Durchführung gezielter Berechnungen mit einem Computermodell namens Rechenexperiment.
Stufen der computermathematischen moStreichung in der Abbildung gezeigt. ZuerstBühne - Definition von Modellierungszielen. Diese Ziele können unterschiedlich sein:
- ein modell wird benötigt, um zu verstehen, wie ein bestimmtes objekt funktioniert, was seine struktur, seine grundlegenden eigenschaften, entwicklungsgesetze und wechselwirkungen sind
mit der Außenwelt (Verstehen); - ein Modell wird benötigt, um zu lernen, wie man ein Objekt (oder einen Prozess) verwaltet, und um die besten Wege zur Verwaltung für bestimmte Ziele und Kriterien zu bestimmen (Management);
- das Modell wird benötigt, um die direkten und indirekten Folgen der Umsetzung der angegebenen Methoden und Einwirkungsformen auf das Objekt vorherzusagen (Prognose).
Ein Beispiel aus einem ganz anderen Bereich: friedliche Koexistenz mit stabilen Populationen zweier Arten von Individuen mit einer gemeinsamen Nahrungsgrundlage, beginnen „plötzlich“ ihre Anzahl dramatisch zu verändern. Und hier erlaubt die mathematische Modellierung (mit einer gewissen Sicherheit), die Ursache festzustellen (oder zumindest eine bestimmte Hypothese zu widerlegen).
Die Entwicklung des Konzepts des Objektmanagements ist ein weiteres mögliches Ziel der Modellierung. Welcher Flugzeugflugmodus sollte gewählt werden, damit der Flug sicher und wirtschaftlich am günstigsten ist? Wie kann man Hunderte von Arbeiten beim Bau einer großen Anlage so planen, dass sie so schnell wie möglich beendet werden? Viele solcher Probleme treten systematisch vor Ökonomen, Designern und Wissenschaftlern auf.
Schließlich kann die Vorhersage der Folgen bestimmter Einwirkungen auf ein Objekt sowohl in einfachen physikalischen Systemen eine relativ einfache Angelegenheit als auch in biologischen, ökonomischen und sozialen Systemen äußerst komplex – am Rande der Machbarkeit – sein. Wenn es relativ einfach ist, die Frage nach der Änderung der Art der Wärmeausbreitung in einem dünnen Stab mit Änderungen in seiner Legierung zu beantworten, dann ist es ungleich schwieriger, die ökologischen und klimatischen Folgen des Baus eines zu verfolgen (vorherzusagen). große Wasserkraftwerke oder die sozialen Folgen von Änderungen im Steuerrecht. Vielleicht werden auch hier in Zukunft mathematische Modellierungsmethoden eine stärkere Hilfestellung leisten.
Zweite Phase: Definition von Eingabe- und Ausgabeparametern des Modells; Einteilung von Eingangsparametern nach dem Grad der Bedeutung der Auswirkungen ihrer Änderungen auf den Ausgang. Dieser Vorgang wird Ranking oder Division by Rank genannt (siehe unten). „Formalisation und Modellierung").
Dritter Abschnitt: Konstruktion eines mathematischen Modells. An dieser Stelle findet ein Übergang von der abstrakten Formulierung des Modells zu einer Formulierung statt, die eine bestimmte mathematische Repräsentation hat. Ein mathematisches Modell sind Gleichungen, Gleichungssysteme, Ungleichungssysteme, Differentialgleichungen oder Systeme solcher Gleichungen usw.
Vierte Stufe: Wahl der Methode zur Untersuchung des mathematischen Modells. Meistens kommen hier numerische Verfahren zum Einsatz, die sich gut zum Programmieren eignen. Zur Lösung des gleichen Problems eignen sich in der Regel mehrere Methoden, die sich in Genauigkeit, Stabilität etc. unterscheiden. Der Erfolg des gesamten Modellierungsprozesses hängt oft von der richtigen Methodenwahl ab.
Fünfte Stufe: Die Entwicklung eines Algorithmus, das Kompilieren und Debuggen eines Computerprogramms ist ein Prozess, der schwer zu formalisieren ist. Unter den Programmiersprachen bevorzugen viele Fachleute für mathematische Modellierung FORTRAN: sowohl aufgrund der Tradition als auch aufgrund der unübertroffenen Effizienz von Compilern (für Rechenarbeiten) und des Vorhandenseins riesiger, sorgfältig ausgetesteter und optimierter Bibliotheken von Standardprogrammen für mathematische Methoden, die darin geschrieben sind es. Je nach Art der Aufgabenstellung und Neigungen des Programmierers kommen auch Sprachen wie PASCAL, BASIC, C zum Einsatz.
Sechste Stufe: Programm testen. Die Funktion des Programms wird an einem Testproblem mit bekannter Antwort getestet. Dies ist nur der Anfang eines Testverfahrens, das formal nur schwer erschöpfend beschrieben werden kann. Normalerweise endet das Testen, wenn der Benutzer das Programm gemäß seinen beruflichen Eigenschaften für richtig hält.
Siebte Stufe: eigentliches Rechenexperiment, bei dem deutlich wird, ob das Modell einem realen Objekt (Prozess) entspricht. Das Modell ist dem realen Prozess hinreichend angemessen, wenn einige am Computer erhaltene Eigenschaften des Prozesses mit den experimentell erhaltenen Eigenschaften mit einem bestimmten Grad an Genauigkeit übereinstimmen. Wenn das Modell nicht dem realen Prozess entspricht, kehren wir zu einem der vorherigen Schritte zurück.
Klassifizierung mathematischer Modelle
Die Klassifizierung mathematischer Modelle kann auf verschiedenen Prinzipien beruhen. Es ist möglich, Modelle nach Wissenschaftszweigen zu klassifizieren (mathematische Modelle in Physik, Biologie, Soziologie usw.). Sie kann nach dem angewandten mathematischen Apparat klassifiziert werden (Modelle, die auf der Verwendung gewöhnlicher Differentialgleichungen, partieller Differentialgleichungen, stochastischer Methoden, diskreter algebraischer Transformationen usw. beruhen). Wenn wir schließlich von den allgemeinen Aufgaben der Modellierung in verschiedenen Wissenschaften ausgehen, ist unabhängig vom mathematischen Apparat die folgende Einteilung am naheliegendsten:
- beschreibende (beschreibende) Modelle;
- Optimierungsmodelle;
- multikriterielle Modelle;
- Spielmodelle.
Lassen Sie uns dies anhand von Beispielen erläutern.
Beschreibende (beschreibende) Modelle. Beispielsweise werden Simulationen der Bewegung eines Kometen, der in das Sonnensystem eindringt, durchgeführt, um seine Flugbahn, die Entfernung, in der er von der Erde vorbeifliegen wird, usw. vorherzusagen. In diesem Fall sind die Ziele der Modellierung beschreibend, da es keine Möglichkeit gibt, die Bewegung des Kometen zu beeinflussen, etwas daran zu ändern.
Optimierungsmodelle werden verwendet, um die Prozesse zu beschreiben, die beeinflusst werden können, um ein bestimmtes Ziel zu erreichen. Dabei umfasst das Modell einen oder mehrere beeinflussbare Parameter. Zum Beispiel kann man sich durch Ändern des thermischen Regimes in einem Getreidespeicher das Ziel setzen, ein solches Regime zu wählen, um eine maximale Kornkonservierung zu erreichen, d.h. Optimieren Sie den Speicherprozess.
Multikriterielle Modelle. Oft ist es notwendig, den Prozess in mehreren Parametern gleichzeitig zu optimieren, und die Ziele können sehr widersprüchlich sein. So ist es zum Beispiel in Kenntnis der Lebensmittelpreise und des Lebensmittelbedarfs einer Person notwendig, Mahlzeiten für große Personengruppen (in der Bundeswehr, Kinderferienlager etc.) physiologisch korrekt und gleichzeitig möglichst kostengünstig zu organisieren. Es ist klar, dass diese Ziele überhaupt nicht zusammenfallen; Bei der Modellierung werden mehrere Kriterien verwendet, zwischen denen ein Gleichgewicht gesucht werden muss.
Spielmodelle kann sich nicht nur auf Computerspiele beziehen, sondern auch auf sehr ernste Dinge. Beispielsweise muss ein Kommandant vor einer Schlacht bei unvollständigen Informationen über die gegnerische Armee einen Plan entwickeln: In welcher Reihenfolge bestimmte Einheiten in die Schlacht ziehen usw., wobei die mögliche Reaktion des Feindes berücksichtigt werden muss. Es gibt einen speziellen Bereich der modernen Mathematik – Spieltheorie – der die Methoden der Entscheidungsfindung unter Bedingungen unvollständiger Informationen untersucht.
Im Schulkurs Informatik erhalten die Studierenden im Rahmen des Grundkurses einen ersten Einblick in die computermathematische Modellierung. In der High School kann mathematische Modellierung in einem allgemeinbildenden Kurs für den Unterricht in Physik und Mathematik sowie in einem spezialisierten Wahlfach vertieft werden.
Die Hauptformen des Unterrichts computermathematischer Modellierung in der High School sind Vorlesungen, Labor- und Kreditklassen. Normalerweise dauert die Arbeit zum Erstellen und Vorbereiten des Studiums jedes neuen Modells 3-4 Lektionen. Im Zuge der Stoffpräsentation werden Aufgaben gestellt, die zukünftig von den Studierenden selbstständig gelöst werden sollen, allgemein werden Lösungswege aufgezeigt. Es werden Fragen formuliert, deren Antworten bei der Aufgabenerfüllung gewonnen werden sollen. Es wird auf weiterführende Literatur hingewiesen, die es ermöglicht, Hilfsinformationen für eine erfolgreichere Aufgabenerledigung zu erhalten.
Die Form der Unterrichtsorganisation zum Studium neuer Materialien ist normalerweise eine Vorlesung. Nach Abschluss der Diskussion des nächsten Modells Studenten verfügen über die notwendigen theoretischen Informationen und eine Reihe von Aufgaben für die weitere Arbeit. Zur Vorbereitung auf die Aufgabenstellung wählen die Studierenden die geeignete Lösungsmethode, anhand einer bekannten privaten Lösung testen sie das entwickelte Programm. Bei durchaus möglichen Schwierigkeiten bei der Bearbeitung der Aufgaben wird Rücksprache gehalten, es wird vorgeschlagen, diese Abschnitte in der Literatur näher auszuarbeiten.
Am relevantesten für den praktischen Teil des Unterrichtens von Computermodellierung ist die Methode der Projekte. Die Aufgabenstellung wird in Form eines pädagogischen Projekts für den Schüler formuliert und über mehrere Unterrichtsstunden hinweg durchgeführt, wobei die Hauptorganisationsform in diesem Fall die Arbeit im Computerlabor ist. Modellieren lernen mit der Lernprojektmethode kann auf unterschiedlichen Ebenen umgesetzt werden. Die erste ist eine Problemstellung des Projektimplementierungsprozesses, der von der Lehrkraft geleitet wird. Die zweite ist die Umsetzung des Projekts durch Schüler unter Anleitung eines Lehrers. Die dritte ist die eigenständige Durchführung eines Bildungsforschungsprojekts durch Studierende.
Die Ergebnisse der Arbeit sollten in numerischer Form in Form von Grafiken und Diagrammen dargestellt werden. Wenn möglich, wird der Prozess dynamisch auf dem Computerbildschirm dargestellt. Nach Abschluss der Berechnungen und Erhalt der Ergebnisse werden diese analysiert, mit bekannten Fakten aus der Theorie verglichen, die Zuverlässigkeit bestätigt und eine aussagekräftige Interpretation vorgenommen, die anschließend in einem schriftlichen Bericht ihren Niederschlag findet.
Wenn die Ergebnisse den Schüler und den Lehrer zufriedenstellen, dann die Arbeit zählt abgeschlossen, und seine letzte Phase ist die Erstellung eines Berichts. Der Bericht enthält kurze theoretische Informationen zum untersuchten Thema, eine mathematische Formulierung des Problems, einen Lösungsalgorithmus und seine Begründung, ein Computerprogramm, die Ergebnisse des Programms, eine Analyse der Ergebnisse und Schlussfolgerungen sowie eine Liste von Referenzen.
Wenn alle Berichte erstellt sind, erstellen die Schüler in der Testsitzung kurze Berichte über die geleistete Arbeit und verteidigen ihr Projekt. Dies ist eine effektive Form der Berichterstattung des Projektteams an die Klasse, einschließlich Problemstellung, Erstellung eines formalen Modells, Auswahl von Methoden für die Arbeit mit dem Modell, Implementierung des Modells auf einem Computer, Arbeit mit dem fertigen Modell, Interpretation der Ergebnisse, Prognose. Infolgedessen können die Schüler zwei Noten erhalten: die erste für die Ausarbeitung des Projekts und den Erfolg seiner Verteidigung, die zweite für das Programm, die Optimalität seines Algorithmus, seiner Schnittstelle usw. Auch im Rahmen von Theoriebefragungen erhalten die Studierenden Noten.
Eine wesentliche Frage ist, welche Werkzeuge im Schulinformatikkurs zur mathematischen Modellierung eingesetzt werden sollen. Die Computerimplementierung von Modellen kann durchgeführt werden:
- Verwendung einer Tabellenkalkulation (normalerweise MS Excel);
- durch Erstellen von Programmen in traditionellen Programmiersprachen (Pascal, BASIC usw.) sowie in ihren modernen Versionen (Delphi, Visual
Basic für Anwendung usw.); - Verwendung spezieller Softwarepakete zur Lösung mathematischer Probleme (MathCAD usw.).
Auf der Grundschulebene scheint das erste Mittel das bevorzugte zu sein. In der Oberstufe, wenn das Programmieren neben der Modellierung ein zentrales Thema der Informatik ist, ist es jedoch wünschenswert, es als Modellierungswerkzeug einzubeziehen. Im Prozess des Programmierens werden den Studierenden die Details mathematischer Verfahren zugänglich; außerdem werden sie einfach gezwungen, sie zu beherrschen, was auch zur mathematischen Bildung beiträgt. Was den Einsatz spezieller Softwarepakete betrifft, so ist dies in einem Profil-Informatik-Studium als Ergänzung zu anderen Tools sinnvoll.
Die Übung :
- Skizzieren Sie Schlüsselkonzepte.
In dem Artikel, auf den Sie aufmerksam gemacht wurden, bieten wir Beispiele für mathematische Modelle an. Darüber hinaus werden wir uns mit den Phasen der Modellerstellung befassen und einige der mit der mathematischen Modellierung verbundenen Probleme analysieren.
Ein weiteres Thema von uns sind mathematische Modelle in der Ökonomie, deren Definition wir später exemplarisch betrachten werden. Wir schlagen vor, unser Gespräch mit dem eigentlichen Begriff „Modell“ zu beginnen, kurz auf ihre Klassifizierung einzugehen und zu unseren Hauptfragen überzugehen.
Der Begriff „Modell“
Wir hören oft das Wort „Modell“. Was ist es? Dieser Begriff hat viele Definitionen, hier sind nur drei davon:
- ein spezifisches Objekt, das erstellt wird, um Informationen zu empfangen und zu speichern, die einige Eigenschaften oder Merkmale usw. des Originals dieses Objekts widerspiegeln (dieses spezifische Objekt kann in verschiedenen Formen ausgedrückt werden: mental, Beschreibung durch Zeichen usw.);
- ein Modell bedeutet auch eine Darstellung einer bestimmten Situation, eines Lebens oder eines Managements;
- Eine kleine Kopie eines Objekts kann als Modell dienen (sie werden für eine detailliertere Untersuchung und Analyse erstellt, da das Modell die Struktur und die Beziehungen widerspiegelt).
Basierend auf allem, was zuvor gesagt wurde, können wir eine kleine Schlussfolgerung ziehen: Das Modell ermöglicht es Ihnen, ein komplexes System oder Objekt im Detail zu untersuchen.
Alle Modelle können nach einer Reihe von Kriterien klassifiziert werden:
- nach Einsatzbereich (Bildung, Experimente, Wissenschaft und Technik, Gaming, Simulation);
- durch Dynamik (statisch und dynamisch);
- nach Wissenszweig (physikalisch, chemisch, geografisch, historisch, soziologische, wirtschaftliche, mathematische);
- je nach Art der Präsentation (materiell und informativ).
Informationsmodelle wiederum werden in Zeichen und verbal unterteilt. Und ikonisch - auf Computer und Nicht-Computer. Kommen wir nun zu einer detaillierten Betrachtung von Beispielen eines mathematischen Modells.
Mathematisches Modell
Wie Sie sich vorstellen können, spiegelt ein mathematisches Modell einige Merkmale eines Objekts oder Phänomens mithilfe spezieller mathematischer Symbole wider. Mathematik wird benötigt, um die Gesetze der Welt in ihrer eigenen spezifischen Sprache zu modellieren.
Die Methode der mathematischen Modellierung entstand vor ziemlich langer Zeit, vor Tausenden von Jahren, zusammen mit dem Aufkommen dieser Wissenschaft. Den Anstoß zur Entwicklung dieser Modellierungsmethode gab jedoch das Aufkommen von Computern (elektronischen Rechnern).
Kommen wir nun zur Klassifizierung. Es kann auch nach einigen Zeichen durchgeführt werden. Sie sind in der folgenden Tabelle dargestellt.
Wir schlagen vor, innezuhalten und uns die letzte Klassifikation genauer anzusehen, da sie die allgemeinen Muster der Modellierung und die Ziele der erstellten Modelle widerspiegelt.
Beschreibende Modelle
In diesem Kapitel schlagen wir vor, näher auf deskriptive mathematische Modelle einzugehen. Um alles sehr deutlich zu machen, wird ein Beispiel gegeben.
Diese Ansicht kann zunächst als deskriptiv bezeichnet werden. Dies liegt daran, dass wir lediglich Berechnungen und Prognosen anstellen, aber den Ausgang der Veranstaltung in keiner Weise beeinflussen können.
Ein markantes Beispiel für ein beschreibendes mathematisches Modell ist die Berechnung der Flugbahn, Geschwindigkeit und Entfernung eines Kometen von der Erde, der in die Weiten unseres Sonnensystems eingedrungen ist. Dieses Modell ist beschreibend, da alle erhaltenen Ergebnisse uns nur vor einer Art von Gefahr warnen können. Auf den Ausgang der Veranstaltung können wir leider keinen Einfluss nehmen. Basierend auf den erhaltenen Berechnungen ist es jedoch möglich, alle Maßnahmen zu ergreifen, um das Leben auf der Erde zu erhalten.
Optimierungsmodelle
Jetzt werden wir ein wenig über wirtschaftliche und mathematische Modelle sprechen, Beispiele dafür können verschiedene Situationen sein. In diesem Fall sprechen wir von Modellen, die helfen, unter bestimmten Bedingungen die richtige Antwort zu finden. Sie müssen einige Parameter haben. Betrachten Sie zur Verdeutlichung ein Beispiel aus dem Agrarbereich.
Wir haben einen Getreidespeicher, aber das Getreide verdirbt sehr schnell. In diesem Fall müssen wir das richtige Temperaturregime wählen und den Speicherprozess optimieren.
Somit können wir das Konzept des „Optimierungsmodells“ definieren. Im mathematischen Sinne ist dies ein Gleichungssystem (sowohl linear als auch nicht), dessen Lösung hilft, die optimale Lösung in einer bestimmten wirtschaftlichen Situation zu finden. Wir haben ein Beispiel für ein mathematisches Modell (Optimierung) betrachtet, aber ich möchte noch etwas hinzufügen: Diese Art gehört zur Klasse der Extremprobleme, sie helfen, das Funktionieren des Wirtschaftssystems zu beschreiben.
Wir bemerken eine weitere Nuance: Modelle können unterschiedlicher Natur sein (siehe Tabelle unten).
Multikriterielle Modelle
Jetzt laden wir Sie ein, ein wenig über das mathematische Modell der Mehrzieloptimierung zu sprechen. Zuvor haben wir ein Beispiel für ein mathematisches Modell zur Optimierung eines Prozesses nach einem beliebigen Kriterium gegeben, aber was ist, wenn es viele davon gibt?
Ein markantes Beispiel für eine multikriterielle Aufgabe ist die Organisation einer bedarfsgerechten, gesunden und zugleich sparsamen Ernährung großer Personengruppen. Solche Aufgaben werden oft in der Armee, in Schulkantinen, Sommerlagern, Krankenhäusern usw. angetroffen.
Welche Kriterien werden uns bei dieser Aufgabe vorgegeben?
- Essen sollte gesund sein.
- Die Verpflegungskosten sollten auf ein Minimum reduziert werden.
Wie Sie sehen können, stimmen diese Ziele überhaupt nicht überein. Das bedeutet, dass bei der Lösung eines Problems nach der optimalen Lösung gesucht werden muss, ein Gleichgewicht zwischen den beiden Kriterien.
Spielmodelle
Wenn man über Spielmodelle spricht, ist es notwendig, das Konzept der "Spieltheorie" zu verstehen. Einfach ausgedrückt spiegeln diese Modelle mathematische Modelle realer Konflikte wider. Es lohnt sich nur zu verstehen, dass ein mathematisches Spielmodell im Gegensatz zu einem echten Konflikt seine eigenen spezifischen Regeln hat.
Jetzt werde ich ein Minimum an Informationen aus der Spieltheorie geben, die Ihnen helfen zu verstehen, was ein Spielmodell ist. Und so gibt es im Modell notwendigerweise Parteien (zwei oder mehr), die normalerweise als Spieler bezeichnet werden.
Alle Modelle haben bestimmte Eigenschaften.
Das Spielmodell kann gepaart oder mehrfach sein. Wenn wir zwei Themen haben, ist der Konflikt gepaart, wenn mehr - mehrfach. Es kann auch ein antagonistisches Spiel unterschieden werden, es wird auch als Nullsummenspiel bezeichnet. Dies ist ein Modell, bei dem der Gewinn des einen Teilnehmers gleich dem Verlust des anderen ist.
Simulationsmodelle
In diesem Abschnitt konzentrieren wir uns auf mathematische Simulationsmodelle. Beispiele für Aufgaben sind:
- Modell der Dynamik der Anzahl von Mikroorganismen;
- Modell der Molekularbewegung und so weiter.
In diesem Fall sprechen wir von Modellen, die möglichst nahe an realen Prozessen liegen. Im Großen und Ganzen ahmen sie jede Manifestation in der Natur nach. Im ersten Fall können wir beispielsweise die Dynamik der Anzahl von Ameisen in einer Kolonie modellieren. In diesem Fall können Sie das Schicksal jedes Einzelnen beobachten. In diesem Fall wird selten die mathematische Beschreibung verwendet, häufiger gibt es schriftliche Bedingungen:
- nach fünf Tagen legt das Weibchen Eier;
- nach zwanzig Tagen stirbt die Ameise und so weiter.
Sie werden daher verwendet, um ein großes System zu beschreiben. Mathematischer Abschluss ist die Verarbeitung der erhaltenen statistischen Daten.
Anforderungen
Es ist sehr wichtig zu wissen, dass es einige Anforderungen für diesen Modelltyp gibt, darunter die in der folgenden Tabelle aufgeführten.
Vielseitigkeit | Mit dieser Eigenschaft können Sie dasselbe Modell verwenden, wenn Sie Gruppen von Objekten desselben Typs beschreiben. Es ist wichtig zu beachten, dass universelle mathematische Modelle völlig unabhängig von der physikalischen Natur des untersuchten Objekts sind. |
Angemessenheit | Hier ist es wichtig zu verstehen, dass diese Eigenschaft die genaueste Reproduktion realer Prozesse ermöglicht. Bei Betriebsproblemen ist diese Eigenschaft der mathematischen Modellierung sehr wichtig. Ein Beispiel für ein Modell ist der Prozess der Optimierung der Nutzung eines Gassystems. In diesem Fall werden berechnete und tatsächliche Indikatoren verglichen, wodurch die Korrektheit des erstellten Modells überprüft wird. |
Genauigkeit | Diese Anforderung impliziert die Übereinstimmung der Werte, die wir bei der Berechnung des mathematischen Modells und der Eingabeparameter unseres realen Objekts erhalten |
Wirtschaft | Die Forderung nach Wirtschaftlichkeit für jedes mathematische Modell ist durch Implementierungskosten gekennzeichnet. Wenn die Arbeit mit dem Modell manuell durchgeführt wird, muss berechnet werden, wie viel Zeit benötigt wird, um ein Problem mit diesem mathematischen Modell zu lösen. Wenn wir über computergestütztes Design sprechen, werden Indikatoren für Zeit und Computerspeicher berechnet |
Modellierungsschritte
Insgesamt ist es üblich, bei der mathematischen Modellierung vier Stufen zu unterscheiden.
- Formulierung von Gesetzmäßigkeiten, die Teile des Modells verbinden.
- Studium mathematischer Probleme.
- Herausfinden der Koinzidenz von praktischen und theoretischen Ergebnissen.
- Analyse und Modernisierung des Modells.
Ökonomisches und mathematisches Modell
In diesem Abschnitt werden wir das Thema kurz beleuchten Beispiele für Aufgaben können sein:
- Erstellung eines Produktionsprogramms für die Herstellung von Fleischprodukten, um den maximalen Produktionsgewinn zu gewährleisten;
- Maximierung des Gewinns der Organisation durch Berechnung der optimalen Anzahl von Tischen und Stühlen, die in einer Möbelfabrik hergestellt werden sollen, und so weiter.
Das wirtschaftsmathematische Modell weist eine ökonomische Abstraktion auf, die durch mathematische Begriffe und Zeichen ausgedrückt wird.
Computermathematisches Modell
Beispiele für ein computermathematisches Modell sind:
- Hydraulikaufgaben mit Flussdiagrammen, Diagrammen, Tabellen usw.;
- Probleme mit der Festkörpermechanik und so weiter.
Ein Computermodell ist ein Abbild eines Objekts oder Systems, dargestellt als:
- Tische;
- Blockdiagramme;
- Diagramme;
- Grafiken und so weiter.
Gleichzeitig spiegelt dieses Modell den Aufbau und die Zusammenhänge des Systems wider.
Aufbau eines ökonomischen und mathematischen Modells
Wir haben bereits darüber gesprochen, was ein ökonomisch-mathematisches Modell ist. Ein Beispiel zum Lösen des Problems wird jetzt betrachtet. Wir müssen das Produktionsprogramm analysieren, um die Reserve für steigende Gewinne bei einer Sortimentsverschiebung zu identifizieren.
Wir werden das Problem nicht vollständig betrachten, sondern nur ein ökonomisches und mathematisches Modell erstellen. Das Kriterium unserer Aufgabe ist die Gewinnmaximierung. Dann hat die Funktion die Form: Ë=ð1*х1+ð2*х2… zum Maximum strebend. In diesem Modell ist p der Gewinn pro Einheit, x die Anzahl der produzierten Einheiten. Ferner ist es auf der Grundlage des konstruierten Modells notwendig, Berechnungen durchzuführen und zusammenzufassen.
Ein Beispiel für den Aufbau eines einfachen mathematischen Modells
Aufgabe. Der Fischer kehrte mit folgendem Fang zurück:
- 8 Fische - Bewohner der Nordmeere;
- 20% des Fangs - die Bewohner der südlichen Meere;
- kein einziger Fisch wurde aus dem örtlichen Fluss gefunden.
Wie viele Fische hat er im Laden gekauft?
Ein Beispiel für die Konstruktion eines mathematischen Modells dieses Problems ist wie folgt. Wir bezeichnen die Gesamtzahl der Fische als x. Gemäß der Bedingung ist 0,2x die Anzahl der Fische, die in südlichen Breiten leben. Jetzt kombinieren wir alle verfügbaren Informationen und erhalten ein mathematisches Modell des Problems: x=0,2x+8. Wir lösen die Gleichung und erhalten die Antwort auf die Hauptfrage: Er hat 10 Fische im Laden gekauft.
Grundlage für die Lösung wirtschaftlicher Probleme sind mathematische Modelle.
Die Erstellung eines mathematischen Modells umfasst:mathematisches Modell Problem ist eine Reihe von mathematischen Beziehungen, die das Wesen des Problems beschreiben.
- Auswahl der Task-Variablen
- Erstellung eines Beschränkungssystems
- Wahl der Zielfunktion
Task-Variablen heißen Größen X1, X2, Xn, die den ökonomischen Prozess vollständig charakterisieren. Normalerweise werden sie als Vektor geschrieben: X=(X 1 , X 2 ,...,X n).
Das System der Beschränkungen Aufgaben sind eine Reihe von Gleichungen und Ungleichungen, die die begrenzten Ressourcen des betrachteten Problems beschreiben.
Zielfunktion Aufgabe wird eine Funktion von Aufgabenvariablen genannt, die die Qualität der Aufgabe charakterisiert und deren Extremum gefunden werden muss.
Im Allgemeinen kann ein lineares Programmierproblem wie folgt geschrieben werden:
Dieser Eintrag bedeutet folgendes: finde das Extremum der Zielfunktion (1) und die entsprechenden Variablen X=(X 1 , X 2 ,...,X n) vorausgesetzt, dass diese Variablen das System von Zwangsbedingungen (2) erfüllen und nicht -Negativitätsbedingungen (3) .
Akzeptable Lösung(Plan) eines linearen Programmierproblems ist jeder n-dimensionale Vektor X=(X 1 , X 2 , ..., X n ), der das System von Nebenbedingungen und Nicht-Negativitätsbedingungen erfüllt.
Die Menge der zulässigen Lösungen (Pläne) der Problemformen Reihe machbarer Lösungen(ODR).
Die optimale Lösung(Plan) eines linearen Programmierproblems ist eine solche zulässige Lösung (Plan) des Problems, bei der die Zielfunktion ein Extremum erreicht.
Ein Beispiel für die Erstellung eines mathematischen Modells
Die Aufgabe der Nutzung von Ressourcen (Rohstoffen)
Zustand: Für die Herstellung von n Arten von Produkten werden m Arten von Ressourcen verwendet. Erstellen Sie ein mathematisches Modell.
Bekannt:
- b i (i = 1,2,3,...,m) sind die Reserven jeder i-ten Ressourcenart;
- a ij (i = 1,2,3,...,m; j=1,2,3,...,n) sind die Kosten jeder i-ten Ressourcenart für die Produktion einer Volumeneinheit von die j-te Produktart;
- c j (j = 1,2,3,...,n) ist der Gewinn aus dem Verkauf einer Volumeneinheit der j-ten Produktart.
Es ist erforderlich, einen Plan für die Herstellung von Produkten zu erstellen, der bei gegebenen Ressourcenbeschränkungen (Rohstoffen) einen maximalen Gewinn erzielt.
Entscheidung:
Wir führen einen Variablenvektor X=(X 1 , X 2 ,...,X n) ein, wobei x j (j = 1,2,...,n) das Produktionsvolumen der j-ten Art von ist Produkt.
Die Kosten der i-ten Ressourcenart für die Produktion eines bestimmten Volumens x j von Produkten sind gleich a ij x j , daher hat die Beschränkung der Verwendung von Ressourcen für die Produktion aller Arten von Produkten die Form:
Der Gewinn aus dem Verkauf des j-ten Produkttyps ist gleich c j x j , also ist die Zielfunktion gleich:
Antworten- Das mathematische Modell sieht so aus:
Kanonische Form eines linearen Programmierproblems
Im Allgemeinen wird ein lineares Programmierproblem so geschrieben, dass sowohl Gleichungen als auch Ungleichungen Einschränkungen sind und Variablen entweder nicht negativ sein oder sich willkürlich ändern können.
Für den Fall, dass alle Nebenbedingungen Gleichungen sind und alle Variablen die Nicht-Negativitätsbedingung erfüllen, wird das Problem der linearen Programmierung genannt kanonisch.
Es kann in Koordinaten-, Vektor- und Matrixschreibweise dargestellt werden.
Das kanonische lineare Programmierproblem in Koordinatenschreibweise hat die Form:
Das kanonische lineare Programmierproblem in Matrixschreibweise hat die Form:
- A ist die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems
- X ist eine Spaltenmatrix von Aufgabenvariablen
- Ao ist die Matrix-Spalte der rechten Teile des Constraint-Systems
Häufig werden lineare Programmierprobleme verwendet, sogenannte symmetrische, die in Matrixschreibweise die Form haben:
Reduktion eines allgemeinen linearen Programmierproblems auf kanonische Form
Bei den meisten Verfahren zur Lösung von Problemen der linearen Programmierung wird davon ausgegangen, dass das System von Nebenbedingungen aus Gleichungen und natürlichen Bedingungen für die Nicht-Negativität von Variablen besteht. Bei der Erstellung von Modellen wirtschaftlicher Probleme werden jedoch hauptsächlich Randbedingungen in Form eines Systems von Ungleichungen gebildet, so dass es notwendig ist, von einem System von Ungleichungen zu einem System von Gleichungen übergehen zu können.
Dies kann folgendermaßen erfolgen:Nimm eine lineare Ungleichung a 1 x 1 +a 2 x 2 +...+a n x n ≤b und füge zu ihrer linken Seite einen Wert x n+1 hinzu, sodass die Ungleichung zur Gleichheit a 1 x 1 +a 2 x 2 + wird ...+a n x n + x n+1 =b. Außerdem ist dieser Wert x n+1 nicht negativ.
Betrachten wir alles anhand eines Beispiels.
Beispiel 26.1Reduzieren Sie das Problem der linearen Programmierung auf die kanonische Form:
Entscheidung:
Kommen wir zum Problem, das Maximum der Zielfunktion zu finden.
Dazu ändern wir die Vorzeichen der Koeffizienten der Zielfunktion.
Um die zweite und dritte Ungleichung des Constraint-Systems in Gleichungen umzuwandeln, führen wir nicht-negative zusätzliche Variablen x 4 x 5 ein (diese Operation ist im mathematischen Modell mit dem Buchstaben D gekennzeichnet).
Die Variable x 4 wird auf der linken Seite der zweiten Ungleichung mit einem „+“-Zeichen eingetragen, da die Ungleichung die Form „≤“ hat.
Die Variable x 5 wird auf der linken Seite der dritten Ungleichung mit dem „-“-Zeichen eingetragen, da die Ungleichung die Form „≥“ hat.
Variablen x 4 x 5 gehen mit einem Koeffizienten in die Zielfunktion ein. gleich Null.
Wir schreiben das Problem in kanonischer Form.
Beispiel 1.5.1.
Lassen Sie eine Wirtschaftsregion mehrere (n) Arten von Produkten ausschließlich in Eigenregie und nur für die Bevölkerung dieser Region produzieren. Es wird davon ausgegangen, dass der technologische Prozess ausgearbeitet und die Nachfrage der Bevölkerung nach diesen Gütern untersucht wurde. Es ist notwendig, das jährliche Produktionsvolumen von Produkten zu bestimmen, wobei zu berücksichtigen ist, dass dieses Volumen sowohl den Endverbrauch als auch den industriellen Verbrauch abdecken muss.
Lassen Sie uns ein mathematisches Modell dieses Problems erstellen. Je nach Zustand werden angegeben: Arten von Produkten, Nachfrage nach ihnen und technologischer Prozess; Ermitteln Sie das Produktionsvolumen für jeden Produkttyp.
Nennen wir die bekannten Größen:
c ich- öffentliche Nachfrage nach ich-tes Produkt ( ich=1,...,n); a ij- Menge ich-tes Produkt erforderlich, um eine Einheit des j -ten Produkts mit dieser Technologie herzustellen ( ich=1,...,n ; j=1,...,n);
X ich - Ausgabevolumen ich-tes Produkt ( ich=1,...,n); Gesamtheit mit =(c 1 ,..., c n ) nennt man den Nachfragevektor, die Zahlen a ij– technologische Koeffizienten und die Menge X =(X 1 ,..., X n ) ist der Freisetzungsvektor.
Durch die Bedingung des Problems, den Vektor X gliedert sich in zwei Teile: für den Endverbrauch (Vektor mit ) und Reproduktion (Vektor x-s ). Berechnen Sie diesen Teil des Vektors X was in die Reproduktion geht. Gemäß unseren Fertigungsbezeichnungen X j Menge des j-ten Produkts geht a ij · X j Mengen ich-tes Produkt.
Dann die Summe a i1 · X 1 +...+ a in · X n zeigt den Wert ich-te Produkt, das für die gesamte Ausgabe benötigt wird X =(X 1 ,..., X n ).
Daher muss die Gleichheit gelten:
Wenn wir diese Argumentation auf alle Arten von Produkten ausdehnen, kommen wir zum gewünschten Modell:
Lösen Sie dieses System von n linearen Gleichungen bzgl X 1 ,...,X n und finden Sie den erforderlichen Ausgangsvektor.
Um dieses Modell kompakter (vektoriell) zu schreiben, führen wir die Notation ein:
Quadrat ( 
) -Matrix SONDERN Technologiematrix genannt. Es ist leicht zu überprüfen, dass unser Modell nun wie folgt geschrieben wird: x-s=Ah oder
(1.6)
Wir haben das klassische Modell " Input-Output “, dessen Autor der berühmte amerikanische Ökonom V. Leontiev ist.
Beispiel 1.5.2.
Eine Ölraffinerie hat zwei Ölsorten: Sorte SONDERN in Höhe von 10 Einheiten, Klasse BEIM- 15 Einheiten. Bei der Verarbeitung von Öl werden zwei Materialien gewonnen: Benzin (wir bezeichnen B) und Heizöl ( M). Bei der Verarbeitungstechnologie gibt es drei Möglichkeiten:
ich: 1 Einheit SONDERN+ 2 Einheiten BEIM ergibt 3 Einheiten. B+ 2 Einheiten M
II: 2 Einheiten SONDERN+ 1 Einheit BEIM ergibt 1 Einheit. B+ 5 Einheiten M
III: 2 Einheiten SONDERN+ 2 Einheiten BEIM ergibt 1 Einheit. B+ 2 Einheiten M
Der Preis für Benzin beträgt 10 USD pro Einheit, Heizöl 1 USD pro Einheit.
Es ist erforderlich, die vorteilhafteste Kombination von technologischen Verfahren zur Verarbeitung der verfügbaren Ölmenge zu bestimmen.
Vor der Modellierung klären wir folgende Punkte. Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass die „Rentabilität“ des technologischen Prozesses für die Anlage im Sinne der Erzielung des maximalen Einkommens aus dem Verkauf ihrer Fertigprodukte (Benzin und Heizöl) zu verstehen ist. In diesem Zusammenhang ist klar, dass die „Wahlentscheidung“ der Anlage darin besteht, zu bestimmen, welche Technologie wie oft anzuwenden ist. Offensichtlich gibt es viele solcher Möglichkeiten.
Nennen wir die unbekannten Größen:
X ich- Nutzungsmenge ich-ten technologischen Prozess (i=1,2,3). Andere Parameter des Modells (Reserven von Ölsorten, Benzin- und Heizölpreise) bekannt.
Nun wird eine spezifische Entscheidung der Pflanze auf die Wahl eines Vektors reduziert X = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) , für die die Einnahmen der Anlage gleich sind (32x 1 +15x 2 +12x 3 ) Dollar Hier sind 32 Dollar das Einkommen aus einer Anwendung des ersten technologischen Prozesses (10 Dollar 3 Einheiten. B+ $1 2 Einheiten M= $32). Die Koeffizienten 15 und 12 haben eine ähnliche Bedeutung für den zweiten bzw. dritten technologischen Prozess. Die Bilanzierung der Ölreserve führt zu folgenden Bedingungen:
für Abwechslung SONDERN:
für Abwechslung BEIM:,
wobei in der ersten Ungleichung die Koeffizienten 1, 2, 2 die Verbrauchsraten von Öl der Klasse A für eine einmalige Anwendung technologischer Prozesse sind ich,II,III bzw. Die Koeffizienten der zweiten Ungleichung haben eine ähnliche Bedeutung für Öl der Klasse B.
Das mathematische Modell als Ganzes hat die Form:
Finden Sie einen solchen Vektor x = (x 1 ,X 2 ,X 3 ) zu maximieren
f(x) = 32x 1 +15x 2 +12x 3
wenn die Bedingungen erfüllt sind:
Die Kurzform dieses Eintrags lautet wie folgt:
unter Einschränkungen
(1.7)
Wir haben das sogenannte lineare Programmierproblem.
Modell (1.7.) ist ein Beispiel für ein Optimierungsmodell eines deterministischen Typs (mit wohldefinierten Elementen).
Beispiel 1.5.3.
Der Anleger muss die besten Aktien, Anleihen und anderen Wertpapiere bestimmen, um sie für einen bestimmten Betrag zu kaufen, um einen bestimmten Gewinn mit minimalem Risiko für sich selbst zu erzielen. Rendite auf jeden in ein Wertpapier investierten Dollar j-ter Typ, gekennzeichnet durch zwei Indikatoren: erwarteter Gewinn und tatsächlicher Gewinn. Für einen Anleger ist es wünschenswert, dass der erwartete Gewinn pro Dollar an Investitionen für den gesamten Satz von Wertpapieren nicht unter einem bestimmten Wert liegt b.
Beachten Sie, dass ein Mathematiker für die korrekte Modellierung dieses Problems gewisse Grundkenntnisse auf dem Gebiet der Portfoliotheorie von Wertpapieren benötigt.
Nennen wir die bekannten Parameter des Problems:
n- die Anzahl der Arten von Wertpapieren; a j– tatsächlicher Gewinn (Zufallszahl) aus der j-ten Wertpapierart; 
ist der erwartete Gewinn aus j Art der Sicherheit.
Bezeichnen Sie die unbekannten Größen :
j j - Mittel, die für den Kauf von Wertpapieren des Typs vorgesehen sind j.
In unserer Notation wird der investierte Gesamtbetrag ausgedrückt als 
. Um das Modell zu vereinfachen, führen wir neue Größen ein
.
Auf diese Weise, X ich- Dies ist der Anteil aller Mittel, die für den Kauf von Wertpapieren des Typs vorgesehen sind j.
Es ist klar, dass 
Aus der Bedingung des Problems ist ersichtlich, dass das Ziel des Anlegers darin besteht, mit minimalem Risiko einen bestimmten Gewinn zu erzielen. Im Wesentlichen ist das Risiko ein Maß für die Abweichung des tatsächlichen Gewinns vom erwarteten. Daher kann es mit der Gewinnkovarianz für Wertpapiere des Typs i und des Typs j identifiziert werden. Dabei ist M die Bezeichnung des mathematischen Erwartungswerts.
Das mathematische Modell des ursprünglichen Problems hat die Form:
unter Einschränkungen
,
,
,
. (1.8)
Wir haben das bekannte Markowitz-Modell zur Optimierung der Struktur eines Wertpapierportfolios erhalten.
Modell (1.8.) ist ein Beispiel für ein Optimierungsmodell vom stochastischen Typ (mit Zufälligkeitselementen).
Beispiel 1.5.4.
Auf der Grundlage einer Handelsorganisation gibt es mindestens n Typen eines der Produkte des Sortiments. Nur eine der Arten dieses Produkts muss an das Geschäft geliefert werden. Es ist erforderlich, die Art der Waren auszuwählen, die in den Laden gebracht werden sollten. Wenn der Produkttyp j gefragt sein, dann profitiert das Geschäft von seinem Verkauf R j, wenn es nicht nachgefragt wird - ein Verlust q j .
Vor der Modellierung werden wir einige grundlegende Punkte besprechen. Bei diesem Problem ist der Entscheidungsträger (DM) der Laden. Das Ergebnis (das Erzielen des maximalen Gewinns) hängt jedoch nicht nur von seiner Entscheidung ab, sondern auch davon, ob die importierten Waren nachgefragt werden, dh ob sie von der Bevölkerung aufgekauft werden (es wird angenommen, dass dies aus irgendeinem Grund der Laden tut). nicht die Möglichkeit haben, die Nachfrage der Bevölkerung zu studieren). Daher kann die Bevölkerung als zweiter Entscheidungsträger angesehen werden, der die Art des Produkts gemäß seinen Präferenzen auswählt. Die schlimmste "Entscheidung" der Bevölkerung für den Laden lautet: "Die importierte Ware wird nicht nachgefragt." Um also alle möglichen Situationen zu berücksichtigen, muss das Geschäft die Bevölkerung als seinen „Gegner“ (bedingt) betrachten und das gegenteilige Ziel verfolgen – den Gewinn des Geschäfts zu minimieren.
Wir haben also ein Entscheidungsproblem, bei dem zwei Teilnehmer gegensätzliche Ziele verfolgen. Lassen Sie uns klarstellen, dass das Geschäft eine der Warenarten zum Verkauf auswählt (es gibt n Lösungen) und die Bevölkerung eine der Warenarten wählt, die am meisten nachgefragt wird ( n Lösungsmöglichkeiten).
Um ein mathematisches Modell zu erstellen, zeichnen wir eine Tabelle mit n Linien u n Spalten (gesamt n 2 Zellen) und stimmen zu, dass die Zeilen der Wahl des Geschäfts und die Spalten der Wahl der Bevölkerung entsprechen. Dann die Zelle (ich, j) entspricht der Situation, wenn das Geschäft wählt ich-te Warenart ( ich-te Zeile), und die Bevölkerung wählt j-te Warenart ( j- Spalte). In jede Zelle schreiben wir eine numerische Bewertung (Gewinn oder Verlust) der entsprechenden Situation aus Sicht des Geschäfts:
Zahlen q ich geschrieben mit einem Minus, um den Verlust des Ladens widerzuspiegeln; in jeder Situation ist die „Auszahlung“ der Population (bedingt) gleich der „Auszahlung“ des Ladens, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen.
Eine verkürzte Ansicht dieses Modells sieht wie folgt aus:
(1.9)
Wir haben das sogenannte Matrixspiel. Modell (1.9.) ist ein Beispiel für Spielentscheidungsmodelle.
