Unter den verschiedenen Ausdrücken, die in der Algebra berücksichtigt werden, nehmen Summen von Monomen einen wichtigen Platz ein. Hier sind Beispiele für solche Ausdrücke:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Die Summe von Monomen heißt Polynom. Die Terme in einem Polynom heißen Glieder des Polynoms. Mononome werden auch als Polynome bezeichnet, wobei ein Monom als ein Polynom betrachtet wird, das aus einem Mitglied besteht.
Zum Beispiel Polynom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
vereinfacht werden kann.
Wir stellen alle Terme als Monome der Standardform dar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Wir geben ähnliche Terme im resultierenden Polynom an:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Das Ergebnis ist ein Polynom, dessen Mitglieder alle Monome der Standardform sind und unter denen es keine ähnlichen gibt. Solche Polynome werden aufgerufen Polynome der Standardform.
Hinter Polynomgrad Standardform nehmen die größten Befugnisse ihrer Mitglieder. Das Binom \(12a^2b - 7b \) hat also den dritten Grad und das Trinom \(2b^2 -7b + 6 \) hat den zweiten.
Normalerweise werden die Terme von Polynomen in Standardform, die eine Variable enthalten, in absteigender Reihenfolge ihrer Exponenten angeordnet. Zum Beispiel:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Die Summe mehrerer Polynome kann (vereinfacht) in ein Normalformpolynom umgewandelt werden.
Manchmal müssen die Mitglieder eines Polynoms in Gruppen eingeteilt werden, wobei jede Gruppe in Klammern gesetzt wird. Da Klammern das Gegenteil von Klammern sind, ist sie einfach zu formulieren Klammern Öffnungsregeln:
Steht das +-Zeichen vor den Klammern, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit den gleichen Zeichen geschrieben.
Wird den Klammern ein „-“-Zeichen vorangestellt, so werden die in Klammern eingeschlossenen Begriffe mit entgegengesetzten Vorzeichen geschrieben.
Transformation (Vereinfachung) des Produkts aus einem Monom und einem Polynom
Unter Verwendung des Distributivgesetzes der Multiplikation kann man das Produkt eines Monoms und eines Polynoms in ein Polynom transformieren (vereinfachen). Zum Beispiel:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Das Produkt eines Monoms und eines Polynoms ist identisch gleich der Summe der Produkte dieses Monoms und jedes der Terme des Polynoms.
Dieses Ergebnis wird üblicherweise als Regel formuliert.
Um ein Monom mit einem Polynom zu multiplizieren, muss man dieses Monom mit jedem der Terme des Polynoms multiplizieren.
Wir haben diese Regel wiederholt zum Multiplizieren mit einer Summe verwendet.
Das Produkt von Polynomen. Transformation (Vereinfachung) des Produkts zweier Polynome
Im Allgemeinen ist das Produkt zweier Polynome identisch gleich der Summe des Produkts jedes Terms eines Polynoms und jedes Terms des anderen.
Verwenden Sie normalerweise die folgende Regel.
Um ein Polynom mit einem Polynom zu multiplizieren, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term des anderen multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.
Abgekürzte Multiplikationsformeln. Summe, Differenz und Differenzquadrat
Einige Ausdrücke in algebraischen Transformationen müssen häufiger behandelt werden als andere. Die vielleicht gebräuchlichsten Ausdrücke sind \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) und \(a^2 - b^2 \), also das Quadrat der Summe, die Quadrat der Differenz und quadratische Differenz. Sie haben bemerkt, dass die Namen der angegebenen Ausdrücke unvollständig zu sein scheinen, also ist beispielsweise \((a + b)^2 \) natürlich nicht nur das Quadrat der Summe, sondern das Quadrat der Summe von A und B. Das Quadrat der Summe von a und b ist jedoch in der Regel nicht so häufig, statt der Buchstaben a und b enthält es verschiedene, manchmal recht komplexe Ausdrücke.
Ausdrücke \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lassen sich leicht in Polynome der Standardform umwandeln (vereinfachen), tatsächlich ist Ihnen eine solche Aufgabe bereits beim Multiplizieren von Polynomen begegnet :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Die resultierenden Identitäten sind nützlich, um sie sich zu merken und ohne Zwischenberechnungen anzuwenden. Dabei helfen kurze verbale Formulierungen.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - das Quadrat der Summe ist gleich der Summe der Quadrate und des doppelten Produkts.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - das Quadrat der Differenz ist die Summe der Quadrate ohne das Produkt zu verdoppeln.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - die Differenz der Quadrate ist gleich dem Produkt aus der Differenz und der Summe.
Diese drei Identitäten erlauben in Transformationen, ihre linken Teile durch rechte zu ersetzen und umgekehrt - rechte Teile durch linke. Das Schwierigste in diesem Fall ist, die entsprechenden Ausdrücke zu sehen und zu verstehen, was die Variablen a und b darin ersetzen. Sehen wir uns einige Beispiele für die Verwendung abgekürzter Multiplikationsformeln an.
Klammern werden verwendet, um die Reihenfolge anzugeben, in der Aktionen in numerischen und alphabetischen Ausdrücken sowie in Ausdrücken mit Variablen ausgeführt werden. Es ist praktisch, von einem Ausdruck mit Klammern zu einem identisch gleichen Ausdruck ohne Klammern überzugehen. Diese Technik wird Klammeröffnung genannt.
Klammern zu erweitern bedeutet, den Ausdruck von diesen Klammern zu befreien.
Besondere Aufmerksamkeit verdient ein weiterer Punkt, der die Besonderheiten von Schreiblösungen beim Öffnen von Klammern betrifft. Wir können den Anfangsausdruck mit Klammern schreiben und das Ergebnis nach dem Öffnen der Klammern als Gleichheit. Beispielsweise nach dem Öffnen der Klammern anstelle des Ausdrucks
3−(5−7) erhalten wir den Ausdruck 3−5+7. Wir können diese beiden Ausdrücke als die Gleichheit 3−(5−7)=3−5+7 schreiben.
Und noch ein wichtiger Punkt. In der Mathematik ist es zur Reduzierung von Einträgen üblich, kein Pluszeichen zu schreiben, wenn es das erste in einem Ausdruck oder in Klammern ist. Wenn wir zum Beispiel zwei positive Zahlen addieren, zum Beispiel sieben und drei, dann schreiben wir nicht +7 + 3, sondern einfach 7 + 3, obwohl sieben auch eine positive Zahl ist. Wenn Sie beispielsweise den Ausdruck (5 + x) sehen, wissen Sie, dass vor der nicht geschriebenen Klammer ein Plus und vor dem ein Plus + (+5 + x) steht fünf.
Klammererweiterungsregel für die Addition
Wenn beim Öffnen von Klammern ein Plus vor den Klammern steht, wird dieses Plus zusammen mit den Klammern weggelassen.
Beispiel. Öffnen Sie die Klammern im Ausdruck 2 + (7 + 3) Vor den Klammern plus, dann ändern sich die Zeichen vor den Zahlen in den Klammern nicht.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Die Regel zum Erweitern von Klammern beim Subtrahieren
Wenn vor den Klammern ein Minus steht, wird dieses Minus mit den Klammern weggelassen, aber die Begriffe, die in den Klammern standen, ändern ihr Vorzeichen in das Gegenteil. Das Fehlen eines Zeichens vor dem ersten Begriff in Klammern impliziert ein +-Zeichen.
Beispiel. Öffnende Klammern in Ausdruck 2 − (7 + 3)
Vor den Klammern steht ein Minus, daher müssen Sie die Zeichen vor den Zahlen aus den Klammern ändern. Vor der Zahl 7 steht kein Zeichen in Klammern, was bedeutet, dass die Sieben positiv ist, es wird davon ausgegangen, dass das +-Zeichen davor steht.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Beim Öffnen der Klammern entfernen wir das Minus aus dem Beispiel, das vor den Klammern stand, und die Klammern selbst 2 − (+ 7 + 3) und ändern die Zeichen in den Klammern in die entgegengesetzten.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Erweiternde Klammern beim Multiplizieren
Wenn vor den Klammern ein Multiplikationszeichen steht, wird jede Zahl innerhalb der Klammern mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert. Gleichzeitig ergibt die Multiplikation eines Minus mit einem Minus ein Plus, und die Multiplikation eines Minus mit einem Plus, wie die Multiplikation eines Plus mit einem Minus, ergibt ein Minus.
Daher werden Klammern in Produkten gemäß dem Verteilungsgesetz der Multiplikation erweitert.
Beispiel. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Beim Multiplizieren von Klammer mit Klammer wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multipliziert.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Tatsächlich ist es nicht nötig, sich alle Regeln zu merken, es reicht aus, sich nur eine zu merken, diese hier: c(a−b)=ca−cb. Wieso den? Denn wenn wir statt c eins einsetzen, erhalten wir die Regel (a−b)=a−b. Und wenn wir minus eins einsetzen, erhalten wir die Regel −(a−b)=−a+b. Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.
Erweitern Sie Klammern beim Teilen
Wenn nach den Klammern ein Divisionszeichen steht, dann ist jede Zahl innerhalb der Klammern durch den Divisor nach der Klammer teilbar und umgekehrt.
Beispiel. (9 + 6) : 3=9: 3 + 6: 3
So erweitern Sie verschachtelte Klammern
Wenn der Ausdruck verschachtelte Klammern enthält, werden sie der Reihe nach erweitert, beginnend mit extern oder intern.
Gleichzeitig ist es beim Öffnen einer der Klammern wichtig, die anderen Klammern nicht zu berühren, sondern sie einfach so umzuschreiben, wie sie sind.
Beispiel. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
In fast jedem Text finden Sie Klammern und Bindestriche. Aber Benutzer zeichnen sie nicht immer richtig. Es ist beispielsweise nicht ungewöhnlich, Bindestriche ohne ein oder zwei Leerzeichen zu sehen, wenn Text an einem Zeichen haftet. Gleiches gilt für Klammern, deren Verwendung fehl am Platz ist oder ohne Beachtung der Schreibregeln den Text überfrachtet. In diesem Artikel werden die Probleme beim Schreiben von Klammern und Bindestrichen in Übereinstimmung mit allgemein anerkannten Regeln erörtert.
Klammerregeln
Beachten Sie beim Schreiben von Klammern die gleichen Regeln wie für Anführungszeichen. Beispielsweise werden zwei Klammern nicht hintereinander gesetzt.
Es gibt mehrere Fälle, in denen Klammern verwendet werden:
Einzelne Wörter, Wortgruppen und ganze Sätze, die nicht in direktem Zusammenhang mit der vom Autor geäußerten Hauptidee stehen. Nebenbei geäußerte Sätze, auf die der Autor den Leser nicht aufmerksam macht. Ausdrücke in Klammern fallen aus der syntaktischen Struktur des Satzes.
Beispiel: " Und obwohl ich selbst verstehe, dass sie, wenn sie meine Wirbelwinde zieht, sie nur aus Mitleid ihres Herzens herauszieht (denn ich wiederhole ohne Verlegenheit, sie zieht meine Wirbelwinde, junger Mann “, bestätigte er mit äußerster Würde und hörte ein weiteres Kichern). , aber, Gott, was wäre, wenn sie sogar einmal ... Aber nein! Nein! All dies ist umsonst, und es gibt nichts zu sagen! es gibt nichts zu sagen!... denn mehr als einmal ist das Gewünschte schon geschehen, und mehr als einmal haben sie mich bemitleidet, aber ... das ist schon mein Charakterzug, und ich bin ein geborenes Vieh!" (F.M. Dostojewski, „Verbrechen und Sühne“)
Kurze Bemerkungen zur Erklärung eines bestimmten Wortes oder Satzteils werden in Klammern gesetzt.
Beispiel: " Ging normal, beruhigendes Geschwätz, wenn, zusammen mit aufrichtiger Anteilnahme (wir gehören alle hierher, und im Allgemeinen sind alle freundliche Menschen) es gibt auch einen Hauch von spöttischer Erleichterung. Nicht ich! Ich habe diese Dummheit nicht begangen, - es war in den Gesichtern abzulesen."(S. Lukyanenko, "Schatten der Träume")
Beispiel: " fragte ich einen beschwipsten Yogi
(Er rasiert, er aß Nägel wie Wurst):
„Höre, Freund, öffne mich – bei Gott,
Ich nehme das Geheimnis mit ins Grab!»
(V. Vysotsky, "Ein Lied über Yogis")
Verweise auf Formeln und Abbildungen sind beispielsweise in Klammern gesetzt (Abb. 2), (Abb. 3, S. 184) , « Formel (1) ist eine Folgerung aus dem Satz des Pythagoras. Formeln (2) und (3) erhält man aus der Formel (1) . » und Informationsquellen (Literatur, Publikationen) in eckigen Klammern, zum Beispiel: , , usw.
Bemerkungen sind in Klammern eingeschlossen, ein anschauliches Beispiel sind Szenarien, in denen die verbale Verkörperung der kontinuierlichen Aktion in den Bemerkungen angegeben ist, zum Beispiel:
« Will lacht.
SKYLAR (geht weiter)
Wie machst Du das? Ich weiß nicht... Ich meine, selbst die klügsten Leute, die ich kenne, wir haben ein paar in Harvard, wir müssen viel studieren. Das ist schwer.
(Pause)
Schau, Will, wenn du es mir nicht sagen willst...»
(Drehbuch zum Film „Good Will Hunting“
Klammern werden auch verwendet, wenn unvollendete Wörter in Autorenarbeiten hinzugefügt werden.
Nummerierungen im Text werden in Klammern in folgendem Format geschrieben:
1)
a)
*)
In ähnlicher Weise werden Zeichen von Fußnoten (Referenzen) erstellt.
Dash-Regeln
Ein Bindestrich bezieht sich auf Satzzeichen, beim Schreiben vor und nach einem Bindestrich wird immer ein Leerzeichen geschrieben.
Es gibt ein paar Ausnahmen, wenn ein Bindestrich ohne beide oder ein Leerzeichen geschrieben wird:
Wenn ein Absatz mit einem Bindestrich beginnt, wird erst danach ein Leerzeichen eingefügt.
wenn ein Bindestrich zwischen zwei Zahlen steht und als Bindestrich fungiert. Zum Beispiel: " Jeden Tag wird unsere Seite von 3000 besucht -
3500 Besucher».
Zum Beispiel: " – Oh-oh… Äh… –
nur und konnte Paige verblüfft murmeln.(Philip K. Dick, Minderheitenbericht)
Die meisten Satzzeichen, einschließlich Kommas, Fragezeichen und Ausrufezeichen, werden vor dem Bindestrich platziert. Beispiel: " Die zentrale Bergregion, in der sich das Pindusgebirge befindet , - am dünnsten besiedelt. Der höchste Punkt Griechenlands, der Olymp (2917 m), befindet sich in dieser Region. Zentralgriechenland ist die am dichtesten besiedelte Region."(Eklopedisches Nachschlagewerk "Die ganze Welt. Länder")
Der Bindestrich wird auf verschiedene Weise verwendet:
- als Satzzeichen;
- als Konnektor eines Limitnummernpaares, zum Beispiel: 80-90%
;
- als mathematisches Minuszeichen;
- als Trennsymbol oder Symbol aus dem erläuternden Text, beispielsweise wenn eine Entschlüsselung der in der Formel enthaltenen Symbole gegeben wird oder eine Erläuterung zur Abbildung gegeben wird;
- als Bindestrich, wobei der Bindestrich zusammen mit dem nicht übertragbaren Teil des Wortes geschrieben wird und am Anfang der nächsten Zeile nicht wiederholt werden sollte;
- als verbindender Bindestrich oder Bindestrich.
Die Hauptfunktion von Klammern besteht darin, die Reihenfolge der Aktionen bei der Berechnung von Werten zu ändern. zum Beispiel, im numerischen Ausdruck \(5 3+7\) wird zuerst die Multiplikation berechnet und dann die Addition: \(5 3+7 =15+7=22\). Aber im Ausdruck \(5·(3+7)\) wird zuerst die Addition in der Klammer berechnet und erst dann die Multiplikation: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Beispiel.
Erweitern Sie die Klammer: \(-(4m+3)\).
Entscheidung
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Beispiel.
Erweitern Sie die Klammer und geben Sie ähnliche Terme \(5-(3x+2)+(2+3x)\) ein.
Entscheidung
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Beispiel.
Erweitern Sie die Klammern \(5(3-x)\).
Entscheidung
: Wir haben \(3\) und \(-x\) in der Klammer und fünf vor der Klammer. Dies bedeutet, dass jedes Glied der Klammer mit \ (5 \) multipliziert wird - ich erinnere Sie daran Das Multiplikationszeichen zwischen einer Zahl und einer Klammer in der Mathematik wird nicht geschrieben, um die Größe von Datensätzen zu reduzieren.
Beispiel.
Erweitern Sie die Klammern \(-2(-3x+5)\).
Entscheidung
: Wie im vorherigen Beispiel werden die Klammern \(-3x\) und \(5\) mit \(-2\) multipliziert.
Beispiel.
Vereinfachen Sie den Ausdruck: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Entscheidung
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Es bleibt die letzte Situation zu betrachten.
Beim Multiplizieren von Klammern mit Klammern wird jeder Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten multipliziert:
\((c+d)(a-b)=c(a-b)+d(a-b)=ca-cb+da-db\)
Beispiel.
Erweitern Sie die Klammern \((2-x)(3x-1)\).
Entscheidung
: Wir haben ein Produkt mit Klammern und es kann sofort mit der obigen Formel geöffnet werden. Aber um nicht verwirrt zu werden, machen wir alles Schritt für Schritt.
Schritt 1. Entfernen Sie die erste Klammer - jedes ihrer Mitglieder wird mit der zweiten Klammer multipliziert:
Schritt 2. Erweitern Sie die Produkte der Klammer wie oben beschrieben um den Faktor:
- das erste zuerst...
Dann die zweite.
Schritt 3. Jetzt multiplizieren wir und bringen ähnliche Terme:
Es ist nicht notwendig, alle Transformationen im Detail zu malen, Sie können sofort multiplizieren. Aber wenn Sie gerade lernen, Klammern zu öffnen - schreiben Sie detailliert, ist die Wahrscheinlichkeit geringer, einen Fehler zu machen.
Hinweis zum gesamten Abschnitt. Tatsächlich müssen Sie sich nicht alle vier Regeln merken, sondern nur eine, diese hier: \(c(a-b)=ca-cb\) . Wieso den? Denn wenn wir statt c eins einsetzen, erhalten wir die Regel \((a-b)=a-b\) . Und wenn wir minus eins einsetzen, erhalten wir die Regel \(-(a-b)=-a+b\) . Nun, wenn Sie anstelle von c eine andere Klammer einsetzen, erhalten Sie die letzte Regel.
Klammer in Klammer
In der Praxis gibt es manchmal Probleme mit Klammern, die in anderen Klammern verschachtelt sind. Hier ist ein Beispiel für eine solche Aufgabe: den Ausdruck \(7x+2(5-(3x+y))\) zu vereinfachen.
Um bei diesen Aufgaben erfolgreich zu sein, müssen Sie:
- die Verschachtelung von Klammern genau verstehen - welche in welcher steht;
- Öffnen Sie die Klammern nacheinander, beginnend zum Beispiel mit der innersten.
Es ist wichtig, wenn Sie eine der Klammern öffnen Berühren Sie den Rest des Ausdrucks nicht, schreiben Sie es einfach so um, wie es ist.
Nehmen wir die obige Aufgabe als Beispiel.
Beispiel.
Öffnen Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme \(7x+2(5-(3x+y))\) ein.
Entscheidung:
Beispiel.
Erweitern Sie die Klammern und geben Sie ähnliche Terme ein \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Entscheidung
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Dies ist eine dreifache Verschachtelung von Klammern. Wir beginnen mit dem innersten (grün markiert). Da vor der Klammer ein Plus steht, wird es einfach entfernt. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Jetzt müssen Sie die zweite Klammer öffnen, dazwischen. Aber vorher werden wir den Ausdruck vereinfachen, indem wir ähnliche Begriffe in dieser zweiten Klammer einblenden. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Nun öffnen wir die zweite Klammer (blau markiert). Vor der Klammer steht ein Multiplikator – also wird jeder Term in der Klammer damit multipliziert. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Und öffnen Sie die letzte Klammer. Vor der Klammer Minus - also alle Vorzeichen vertauscht. |
||
Das Öffnen von Klammern ist eine Grundfertigkeit in der Mathematik. Ohne diese Fähigkeit ist es unmöglich, in den Klassen 8 und 9 eine Note über drei zu erreichen. Daher empfehle ich ein gutes Verständnis dieses Themas.
A + (b + c) kann ohne Klammern geschrieben werden: a + (b + c) \u003d a + b + c. Diese Operation wird Klammererweiterung genannt.
Beispiel 1 Lassen Sie uns die Klammern im Ausdruck a + (- b + c) öffnen.
Entscheidung. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.
Wenn vor den Klammern ein „+“-Zeichen steht, können Sie die Klammern und dieses „+“-Zeichen weglassen und die Vorzeichen der Begriffe in Klammern beibehalten. Wenn der erste Begriff in Klammern ohne Vorzeichen geschrieben wird, muss er mit einem „+“-Zeichen geschrieben werden.
Beispiel 2 Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks -2,87+ (2,87-7,639) finden.
Entscheidung. Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 \u003d - 7,639.
Um den Wert des Ausdrucks - (- 9 + 5) zu finden, müssen Sie hinzufügen Zahlen-9 und 5 und finde die Zahl gegenüber dem erhaltenen Betrag: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
Derselbe Wert kann auf andere Weise erhalten werden: Schreiben Sie zuerst die diesen Termen entgegengesetzten Zahlen auf (d. h. ändern Sie ihre Vorzeichen) und addieren Sie dann: 9 + (- 5) = 4. Also - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Um die Summe entgegengesetzt zur Summe mehrerer Terme zu schreiben, müssen die Vorzeichen dieser Terme geändert werden.
Also - (a + b) \u003d - a - b.
Beispiel 3 Finden Sie den Wert des Ausdrucks 16 - (10 -18 + 12).
Entscheidung. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Um die Klammern mit dem vorangestellten „-“-Zeichen zu öffnen, müssen Sie dieses Zeichen durch „+“ ersetzen, die Vorzeichen aller Begriffe in den Klammern in die entgegengesetzten ändern und dann die Klammern öffnen.
Beispiel 4 Finden wir den Wert des Ausdrucks 9,36-(9,36 - 5,48).
Entscheidung. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Klammeröffnung und die Verwendung von kommutativen und assoziativen Eigenschaften Ergänzungen Berechnungen erleichtern.
Beispiel 5 Finden Sie den Wert des Ausdrucks (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Entscheidung. Zuerst öffnen wir die Klammern, und dann finden wir separat die Summe aller positiven und separat die Summe aller negativen Zahlen und addieren schließlich die Ergebnisse:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Beispiel 6 Finden Sie den Wert des Ausdrucks
Entscheidung. Zuerst stellen wir jeden Term als Summe seiner ganzzahligen und gebrochenen Teile dar, öffnen dann die Klammern und addieren dann das Ganze und separat Bruchteil Teilen und abschließend die Ergebnisse zusammenfassen:
Wie öffnen Sie Klammern, denen ein „+“-Zeichen vorangestellt ist? Wie findet man den Wert eines Ausdrucks, der das Gegenteil der Summe mehrerer Zahlen ist? Wie öffnet man Klammern mit vorangestelltem "-" Zeichen?
1218. Erweitern Sie die Klammern:
a) 3,4 + (2,6 + 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57 + (2,6 - 4,57); d) c+(-a+b).
1219. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:
1220. Erweitern Sie die Klammern:
a) 85+(7,8+98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 - 17) + 7,5; e) -a + (m-2,6); h) - (a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Erweitern Sie die Klammern und finden Sie den Wert des Ausdrucks:
1222. Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1223. Schreiben Menge zwei Ausdrücke und vereinfache es:
a) - 4 - m und m + 6,4; d) a + b und p - b
b) 1.1+a und -26-a; e) -m + n und -k - n;
c) a + 13 und -13 + b; e)m - n und n - m.
1224. Schreiben Sie die Differenz zweier Ausdrücke und vereinfachen Sie sie:
1226. Verwenden Sie die Gleichung, um das Problem zu lösen:
a) Auf dem einen Regal stehen 42 Bücher, auf dem anderen 34. Aus dem zweiten Regal wurden mehrere Bücher entfernt, und vom ersten Regal so viele, wie auf dem zweiten gelassen wurden. Danach blieben 12 Bücher im ersten Regal. Wie viele Bücher wurden aus dem zweiten Regal genommen?
b) In der ersten Klasse sind 42 Schüler, in der zweiten 3 Schüler weniger als in der dritten. Wie viele Schüler sind in der dritten Klasse, wenn in diesen drei Klassen 125 Schüler sind?
1227. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:
1228. Berechne mündlich:
1229. Finde den größten Wert des Ausdrucks:
1230. Geben Sie 4 aufeinanderfolgende Ganzzahlen ein, wenn:
a) der kleinere von ihnen ist gleich -12; c) der kleinere von ihnen ist gleich n;
b) der größere von ihnen ist gleich -18; d) der größere von ihnen ist gleich k.
