Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 – b n und h 5 – d 4 ist a 3 – b n + h 5 – d 4 .

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen durchgeführt, nur müssen die Vorzeichen des Subtrahenten entsprechend geändert werden.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten - Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gradteilung

Potenzzahlen können wie andere Zahlen geteilt werden, indem sie vom Divisor subtrahiert oder in Bruchform gebracht werden.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Reduziere die Exponenten in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduziere die Exponenten in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

9. Teile (h 3 - 1)/d 4 durch (d n + 1)/h.

Wie multipliziert man Kräfte? Welche Kräfte können multipliziert werden und welche nicht? Wie multipliziert man eine Zahl mit einer Potenz?

In der Algebra kannst du das Potenzprodukt in zwei Fällen finden:

1) wenn die Abschlüsse die gleiche Grundlage haben;

2) wenn die Abschlüsse die gleichen Indikatoren haben.

Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis muss die Basis gleich bleiben und die Exponenten addiert werden:

Bei der Multiplikation von Graden mit denselben Indikatoren kann der Gesamtindikator aus Klammern herausgenommen werden:

Überlegen Sie anhand konkreter Beispiele, wie Sie Potenzen multiplizieren können.

Die Einheit im Exponenten wird nicht geschrieben, aber beim Multiplizieren der Grade berücksichtigen sie:

Beim Multiplizieren kann die Gradzahl beliebig sein. Es ist zu beachten, dass Sie das Multiplikationszeichen nicht vor den Buchstaben schreiben können:

In Ausdrücken wird zuerst potenziert.

Wenn Sie eine Zahl mit einer Potenz multiplizieren müssen, müssen Sie zuerst eine Potenzierung durchführen und erst dann - Multiplikation:

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Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Potenzen

Addition und Subtraktion von Potenzen

Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 - b n und h 5 - d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4.

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen durchgeführt, nur müssen die Vorzeichen des Subtrahenten entsprechend geändert werden.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen derselben Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Indem wir mehrere Zahlen (Variablen) mit Potenzen vergleichen, können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten − sind Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gradteilung

Potenzzahlen können wie andere Zahlen geteilt werden, indem sie vom Divisor subtrahiert oder in Bruchform gebracht werden.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac $. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Exponenten in $\frac $ reduzieren Antwort: $\frac $.

2. Reduzieren Sie die Exponenten in $\frac$. Antwort: $\frac $ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

Grad Eigenschaften

Wir erinnern Sie daran, dass wir in dieser Lektion verstehen Grad Eigenschaften mit natürlichen Indikatoren und Null. Abschlüsse mit rationalen Indikatoren und deren Eigenschaften werden im Unterricht der 8. Klasse besprochen.

Ein Exponent mit einem natürlichen Exponenten hat mehrere wichtige Eigenschaften, mit denen Sie Berechnungen in Exponentenbeispielen vereinfachen können.

Eigentum Nr. 1
Produkt der Kräfte

Beim Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und die Exponenten werden addiert.

a m a n \u003d a m + n, wobei "a" eine beliebige Zahl und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.

Diese Eigenschaft von Potenzen wirkt sich auch auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen aus.

Den Ausdruck vereinfachen.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Als Abschluss vorhanden.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Als Abschluss vorhanden.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Bitte beachten Sie, dass es bei der angegebenen Eigenschaft nur darum ging, Potenzen mit gleichen Basen zu multiplizieren.. Sie gilt nicht für deren Hinzufügung.

Du kannst die Summe (3 3 + 3 2) nicht durch 3 5 ersetzen. Das ist verständlich, wenn
Berechnen Sie (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 und 3 5 = 243

Eigentum Nr. 2
Private Abschlüsse

Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis bleibt die Basis unverändert und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.

Schreiben Sie den Quotienten als Potenz
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Berechnung.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Beispiel. Löse die Gleichung. Wir nutzen die Eigenschaft von partiellen Graden.
3 8: t = 3 4

Antwort: t = 3 4 = 81

Mit den Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen durchführen.

Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Beispiel. Ermitteln Sie den Wert eines Ausdrucks mithilfe von Gradeigenschaften.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft 2 sich nur mit der Gewaltenteilung mit gleichen Grundlagen befasste.

Du kannst die Differenz (4 3 −4 2) nicht durch 4 1 ersetzen. Dies ist verständlich, wenn Sie (4 3 − 4 2) = (64 − 16) = 48 und 4 1 = 4 berechnen

Eigenschaft Nr. 3
Potenzierung

Beim Potenzieren einer Potenz bleibt die Basis der Potenz unverändert und die Exponenten werden multipliziert.

(a n) m \u003d a n m, wobei "a" eine beliebige Zahl und "m", "n" beliebige natürliche Zahlen sind.

Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft Nr. 4, wie andere Eigenschaften von Graden, auch in umgekehrter Reihenfolge angewendet wird.

(a n b n) = (a b) n

Das heißt, um Potenzen mit denselben Exponenten zu multiplizieren, können Sie die Basen multiplizieren und den Exponenten unverändert lassen.

Beispiel. Berechnung.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Beispiel. Berechnung.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

In komplexeren Beispielen kann es Fälle geben, in denen Multiplikation und Division mit Potenzen mit unterschiedlichen Basen und unterschiedlichen Exponenten durchgeführt werden müssen. In diesem Fall empfehlen wir Ihnen, Folgendes zu tun.

Beispiel: 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Beispiel für die Potenzierung eines Dezimalbruchs.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = vier

Eigenschaften 5
Potenz des Quotienten (Brüche)

Um einen Quotienten zu potenzieren, kannst du den Dividenden und den Divisor separat potenzieren und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.

(a: b) n \u003d a n: b n, wobei "a", "b" beliebige rationale Zahlen sind, b ≠ 0, n eine beliebige natürliche Zahl ist.

Beispiel. Drücken Sie den Ausdruck als Teilpotenzen aus.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Wir erinnern Sie daran, dass ein Quotient als Bruch dargestellt werden kann. Auf das Thema der Potenzierung eines Bruchs gehen wir daher auf der nächsten Seite näher ein.

Grade und Wurzeln

Operationen mit Kräften und Wurzeln. Abschluss mit Negativ ,

Null und Bruch Indikator. Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben.

Operationen mit Grad.

1. Beim Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren addiert:

bin · ein n = ein m + n .

2. Bei der Teilung von Graden mit der gleichen Basis, ihre Indikatoren abgezogen .

3. Der Grad des Produkts zweier oder mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren.

4. Der Grad des Verhältnisses (Bruch) ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden (Zähler) und des Divisors (Nenner):

(a/b) n = ein n / b n .

5. Wenn Sie einen Grad zu einer Potenz erheben, werden ihre Indikatoren multipliziert:

Alle obigen Formeln werden in beiden Richtungen von links nach rechts und umgekehrt gelesen und ausgeführt.

BEISPIEL (2 3 5 / 15)² = 2 ² 3 ² 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Betriebe mit Wurzeln. In allen folgenden Formeln bedeutet das Symbol arithmetische Wurzel(radikaler Ausdruck ist positiv).

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis der Wurzeln des Dividenden und des Divisors:

3. Wenn eine Wurzel zu einer Potenz erhoben wird, reicht es aus, diese Potenz zu erheben Stammnummer:

4. Wenn Sie den Grad der Wurzel um das m-fache erhöhen und gleichzeitig die Zahl der Wurzel auf den m-ten Grad erhöhen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn Sie den Grad der Wurzel um m-mal reduzieren und gleichzeitig die Wurzel des m-ten Grades aus der Wurzelzahl ziehen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Erweiterung des Gradbegriffs. Bisher haben wir Abschlüsse nur mit einem natürlichen Indikator betrachtet; aber Operationen mit Kräften und Wurzeln können auch dazu führen Negativ, Null und Bruchteil Indikatoren. Alle diese Exponenten bedürfen einer zusätzlichen Definition.

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer Zahl mit einem negativen (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des negativen Exponenten ist:

Jetzt die Formel bin : ein = ein m-n kann nicht nur für verwendet werden m, mehr als n, sondern auch bei m, weniger als n .

BEISPIEL a 4: a 7 = ein 4 — 7 = ein — 3 .

Wenn wir die Formel wollen bin : ein = bin — n war fair bei m = n, brauchen wir eine Definition des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Der Grad jeder Zahl ungleich Null mit Exponent Null ist 1.

BEISPIELE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Um eine reelle Zahl a mit m / n zu potenzieren, müssen Sie die Wurzel des n-ten Grades aus der m-ten Potenz dieser Zahl a ziehen:

Über Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben. Es gibt mehrere solcher Ausdrücke.

wo a ≠ 0 , existiert nicht.

In der Tat, wenn wir davon ausgehen x eine bestimmte Zahl ist, dann gilt gemäß der Definition der Divisionsoperation: a = 0· x, d.h. a= 0, was der Bedingung widerspricht: a ≠ 0

— irgendeine Nummer.

In der Tat, wenn wir annehmen, dass dieser Ausdruck gleich einer Zahl ist x, dann gilt nach der Definition der Divisionsoperation: 0 = 0 x. Aber diese Gleichheit gilt für irgendeine Zahl x, was zu beweisen war.

0 0 — irgendeine Nummer.

Lösung: Betrachten Sie drei Hauptfälle:

1) x = 0 – dieser Wert erfüllt diese Gleichung nicht

2) wann x> 0 erhalten wir: x / x= 1, d.h. 1 = 1, woraus folgt,

was x- irgendeine Nummer; aber unter Berücksichtigung dessen

unser Fall x> 0 ist die Antwort x > 0 ;

Regeln zum Multiplizieren von Potenzen mit unterschiedlichen Basen

GRAD MIT EINEM RATIONALEN INDIKATOR,

POWER-FUNKTION IV

§ 69. Multiplikation und Division von Potenzen mit denselben Grundlagen

Satz 1. Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, reicht es aus, die Exponenten zu addieren und die Basis gleich zu lassen

Nachweisen. Per Definition von Grad

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Wir haben das Produkt zweier Potenzen betrachtet. Tatsächlich gilt die bewiesene Eigenschaft für eine beliebige Anzahl von Potenzen mit denselben Basen.

Satz 2. Um Potenzen mit denselben Basen zu teilen, reicht es aus, wenn der Indikator des Dividenden größer als der Indikator des Divisors ist, den Indikator des Divisors vom Indikator des Dividenden zu subtrahieren und die Basis gleich zu lassen, das heißt bei t > n

(a =/= 0)

Nachweisen. Erinnere dich daran, dass der Quotient der Division einer Zahl durch eine andere die Zahl ist, die, wenn sie mit einem Divisor multipliziert wird, den Dividenden ergibt. Beweisen Sie daher die Formel , wo a =/= 0, das ist wie der Beweis der Formel

Wenn ein t > n , dann die Nummer t-p wird natürlich sein; daher nach Satz 1

Satz 2 ist bewiesen.

Beachten Sie, dass die Formel

von uns nur unter der Annahme bewiesen, dass t > n . Aus dem bisher Bewiesenen lassen sich daher z. B. folgende Schlüsse noch nicht ziehen:

Außerdem haben wir Grade mit negativen Exponenten noch nicht betrachtet, und wir wissen noch nicht, welche Bedeutung dem Ausdruck 3 gegeben werden kann - 2 .

Satz 3. Um eine Potenz zu potenzieren, genügt es, die Exponenten zu multiplizieren, wobei die Basis des Exponenten gleich bleibt, also

Nachweisen. Unter Verwendung der Definition von Grad und Satz 1 dieses Abschnitts erhalten wir:

Q.E.D.

Beispiel: (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (mündlich.) Bestimmen X aus den Gleichungen:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Angepasst) Vereinfachen:

520. (Angepasst) Vereinfachen:

521. Stellen Sie diese Ausdrücke als Grade mit denselben Basen dar:

1) 32 und 64; 3) 85 und 163; 5) 4 100 und 32 50;

2) -1000 und 100; 4) -27 und -243; 6) 81 75 8 200 und 3 600 4 150.

Machtformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer c ist n-te Potenz einer Zahl a Wenn:

Operationen mit Grad.

1. Durch Multiplizieren von Graden mit derselben Basis addieren sich ihre Indikatoren:

binein n = ein m + n .

2. Bei der Aufteilung von Abschlüssen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = ein n b n c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = ein n / b n .

5. Exponenten werden potenziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel ist in den Richtungen von links nach rechts und umgekehrt korrekt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Betriebe mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Divisors der Wurzeln:

3. Wenn Sie eine Wurzel potenzieren, reicht es aus, die Wurzelzahl mit dieser Potenz zu potenzieren:

4. Wenn wir den Grad der Wurzel in erhöhen n einmal und gleichzeitig zu erhöhen n te Potenz eine Wurzelzahl ist, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn wir den Grad der Wurzel in verringern n Wurzel gleichzeitig n Grad von der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer Zahl mit einem nicht-positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des nicht-positiven Exponenten ist:

Formel bin:ein n = ein m - n kann nicht nur für verwendet werden m> n, sondern auch bei m< n.

Zum Beispiel. a4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel bin:ein n = ein m - n wurde fair bei m=n, benötigen Sie das Vorhandensein des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit einem gebrochenen Exponenten. Um eine reelle Zahl zu erhöhen a bis zu einem Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren n Grad an m Potenz dieser Zahl a.

Jede arithmetische Operation wird manchmal zu umständlich, um sie aufzuzeichnen, und sie versuchen, sie zu vereinfachen. So war es früher auch mit der Additionsoperation. Es war notwendig, dass die Menschen wiederholte Ergänzungen der gleichen Art vornehmen, um beispielsweise die Kosten von hundert Perserteppichen zu berechnen, die jeweils 3 Goldmünzen kosten. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Aufgrund der Umständlichkeit wurde erfunden, die Notation auf 3 * 100 = 300 zu reduzieren. Tatsächlich bedeutet die Notation „drei mal hundert“, dass Sie nehmen müssen einhundert Tripel und addiere sie zusammen. Die Multiplikation hat Wurzeln geschlagen und allgemeine Popularität erlangt. Aber die Welt steht nicht still, und im Mittelalter wurde es notwendig, wiederholte Multiplikationen derselben Art durchzuführen. Ich erinnere mich an ein altes indisches Rätsel über einen weisen Mann, der als Belohnung für die geleistete Arbeit Weizenkörner in folgender Menge verlangte: Für die erste Zelle des Schachbretts bat er um ein Korn, für die zweite - zwei, die dritte - vier , die fünfte - acht und so weiter. So entstand die erste Potenzmultiplikation, denn die Anzahl der Körner war gleich zwei hoch der Zellzahl. Zum Beispiel würde in der letzten Zelle 2*2*2*…*2 = 2^63 Körner stehen, was einer 18 Zeichen langen Zahl entspricht, die eigentlich die Bedeutung des Rätsels ist.

Die Operation der Potenzierung hat sich ziemlich schnell etabliert, und es wurde auch schnell notwendig, Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation von Graden durchzuführen. Letzteres ist eine genauere Betrachtung wert. Die Formeln zum Addieren von Potenzen sind einfach und leicht zu merken. Außerdem ist es sehr einfach zu verstehen, woher sie kommen, wenn die Potenzoperation durch Multiplikation ersetzt wird. Aber zuerst müssen Sie die elementare Terminologie verstehen. Der Ausdruck a ^ b (gelesen „a hoch b“) bedeutet, dass die Zahl a b mal mit sich selbst multipliziert werden soll, und „a“ heißt die Basis des Grades und „b“ ist der Exponent. Wenn die Grundlagen der Potenzen gleich sind, dann werden die Formeln ganz einfach hergeleitet. Spezifisches Beispiel: Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2^3 * 2^4. Um zu wissen, was passieren soll, sollten Sie die Antwort am Computer herausfinden, bevor Sie mit der Lösung beginnen. Wenn Sie diesen Ausdruck in einen beliebigen Online-Rechner, eine Suchmaschine, „Multiplikation von Potenzen mit unterschiedlichen und gleichen Basen“ oder ein mathematisches Paket eingeben, lautet die Ausgabe 128. Lassen Sie uns nun diesen Ausdruck schreiben: 2^3 = 2*2*2, und 2^4 = 2*2*2*2. Es stellt sich heraus, dass 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Es stellt sich heraus, dass das Produkt von Potenzen mit derselben Basis gleich der Basis ist, die mit einer Potenz gleich der Summe der beiden vorherigen Potenzen potenziert wird.

Sie könnten denken, dass dies ein Unfall ist, aber nein: Jedes andere Beispiel kann diese Regel nur bestätigen. Im Allgemeinen sieht die Formel also so aus: a^n * a^m = a^(n+m) . Es gibt auch eine Regel, dass jede Zahl hoch null gleich eins ist. Hier sollten wir uns an die Regel der negativen Potenzen erinnern: a^(-n) = 1 / a^n. Das heißt, wenn 2^3 = 8, dann 2^(-3) = 1/8. Mit dieser Regel können wir die Gleichheit a^0 = 1 beweisen: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^(n) kann reduziert werden und bleibt eins. Daraus leitet sich die Regel ab, dass der Quotient von Potenzen mit derselben Basis dieser Basis in einem Maße gleich ist, das dem Quotienten aus Dividende und Divisor entspricht: a ^ n: a ^ m \u003d a ^ (n-m) . Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Die Multiplikation ist eine kommutative Operation, also müssen die Exponenten der Multiplikation zuerst addiert werden: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. Als nächstes sollten Sie sich mit der Division durch einen negativen Grad befassen. Es ist notwendig, den Divisor-Exponenten vom Dividenden-Exponenten zu subtrahieren: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. It stellt sich heraus, dass die Operation der Division durch einen negativen Grad identisch ist mit der Operation der Multiplikation mit einem ähnlichen positiven Exponenten. Die endgültige Antwort ist also 8.

Es gibt Beispiele, wo eine nicht-kanonische Multiplikation von Potenzen stattfindet. Das Multiplizieren von Potenzen mit unterschiedlichen Basen ist sehr oft viel schwieriger und manchmal sogar unmöglich. Es sollten mehrere Beispiele für verschiedene mögliche Ansätze gegeben werden. Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Offensichtlich gibt es eine Multiplikation von Potenzen mit unterschiedlichen Basen. Es sollte jedoch beachtet werden, dass alle Basen unterschiedliche Potenzen eines Tripels sind. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Unter Verwendung der Regel (a^n) ^m = a^(n*m) sollten Sie den Ausdruck in eine bequemere Form umschreiben: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . Antwort: 3^11. In Fällen, in denen es unterschiedliche Basen gibt, funktioniert die Regel a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n für gleiche Indikatoren. Beispiel: 3^3 * 7^3 = 21^3. Andernfalls ist es bei unterschiedlichen Basen und Indikatoren unmöglich, eine vollständige Multiplikation durchzuführen. Manchmal können Sie teilweise vereinfachen oder auf die Hilfe von Computertechnologie zurückgreifen.

Bereits in der 7. Klasse wird in einer Algebra-Stunde das Konzept des Mathematikstudiums eingeführt. Und in Zukunft wird dieses Konzept im Laufe des Mathematikstudiums in seinen verschiedenen Formen aktiv genutzt. Abschlüsse sind ein ziemlich schwieriges Thema, das das Auswendiglernen von Werten und die Fähigkeit zum korrekten und schnellen Zählen erfordert. Um schneller und besser mit mathematischen Abschlüssen arbeiten zu können, haben sie sich die Eigenschaften eines Abschlusses ausgedacht. Sie helfen dabei, große Berechnungen zu reduzieren und ein riesiges Beispiel bis zu einem gewissen Grad in eine einzelne Zahl umzuwandeln. Es gibt nicht so viele Eigenschaften, und alle sind leicht zu merken und in der Praxis anzuwenden. Daher werden in dem Artikel die Haupteigenschaften des Abschlusses sowie deren Anwendung erörtert.

Grad Eigenschaften

Wir betrachten 12 Eigenschaften eines Grades, einschließlich Eigenschaften von Potenzen mit derselben Basis, und geben für jede Eigenschaft ein Beispiel. Jede dieser Eigenschaften wird Ihnen helfen, Probleme mit Graden schneller zu lösen, und Sie vor zahlreichen Rechenfehlern bewahren.

1. Eigentum.

Viele Menschen vergessen diese Eigenschaft sehr oft, machen Fehler und stellen eine Zahl auf Null Grad als Null dar.

2. Eigentum.

3. Eigenschaft.

Es muss beachtet werden, dass diese Eigenschaft nur beim Multiplizieren von Zahlen verwendet werden kann, sie funktioniert nicht mit der Summe! Und wir dürfen nicht vergessen, dass diese und die folgenden Eigenschaften nur für Potenzen mit derselben Basis gelten.

4. Eigenschaft.

Wird die Zahl im Nenner negativ potenziert, dann wird beim Subtrahieren der Grad des Nenners in Klammern gesetzt, um das Vorzeichen in weiteren Berechnungen korrekt zu ersetzen.

Die Eigenschaft funktioniert nur beim Dividieren, nicht beim Subtrahieren!

5. Eigenschaft.

6. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft kann auch umgekehrt angewendet werden. Eine Einheit, die bis zu einem gewissen Grad durch eine Zahl geteilt wird, ist diese Zahl mit einer negativen Potenz.

7. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft lässt sich nicht auf Summe und Differenz anwenden! Beim Potenzieren einer Summe oder Differenz werden abgekürzte Multiplikationsformeln verwendet, nicht die Eigenschaften der Potenz.

8. Eigenschaft.

9. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft funktioniert für jeden Bruchgrad mit einem Zähler gleich eins, die Formel ist dieselbe, nur der Grad der Wurzel ändert sich abhängig vom Nenner des Grads.

Außerdem wird diese Eigenschaft oft in umgekehrter Reihenfolge verwendet. Die Wurzel jeder Potenz einer Zahl kann als die Zahl hoch Eins dividiert durch die Potenz der Wurzel dargestellt werden. Diese Eigenschaft ist sehr nützlich, wenn die Wurzel der Zahl nicht extrahiert wird.

10. Eigenschaft.

Diese Eigenschaft funktioniert nicht nur mit der Quadratwurzel und dem zweiten Grad. Wenn der Grad der Wurzel und der Grad, bis zu dem diese Wurzel angehoben wird, gleich sind, dann wird die Antwort ein radikaler Ausdruck sein.

11. Eigentum.

Sie müssen diese Eigenschaft beim Lösen rechtzeitig sehen können, um sich riesige Berechnungen zu ersparen.

12. Eigenschaft.

Jede dieser Eigenschaften wird Ihnen mehr als einmal in Aufgaben begegnen, sie kann in ihrer reinen Form angegeben werden, oder sie kann einige Transformationen und die Verwendung anderer Formeln erfordern. Daher reicht es für die richtige Lösung nicht aus, nur die Eigenschaften zu kennen, Sie müssen den Rest des mathematischen Wissens üben und verbinden.

Anwendung von Abschlüssen und deren Eigenschaften

Sie werden aktiv in Algebra und Geometrie verwendet. Abschlüsse in Mathematik haben einen eigenen, wichtigen Platz. Mit ihrer Hilfe werden Exponentialgleichungen und Ungleichungen gelöst, sowie Potenzen erschweren oft Gleichungen und Beispiele aus anderen Bereichen der Mathematik. Exponenten helfen, große und lange Berechnungen zu vermeiden, es ist einfacher, die Exponenten zu reduzieren und zu berechnen. Aber um mit großen Potenzen oder mit Potenzen großer Zahlen zu arbeiten, müssen Sie nicht nur die Eigenschaften des Grades kennen, sondern auch kompetent mit den Basen arbeiten und sie zerlegen können, um Ihre Aufgabe zu erleichtern. Der Einfachheit halber sollten Sie auch die Bedeutung von potenzierten Zahlen kennen. Dies reduziert Ihre Zeit beim Lösen, da lange Berechnungen entfallen.

Bei Logarithmen spielt der Gradbegriff eine besondere Rolle. Da der Logarithmus im Wesentlichen die Potenz einer Zahl ist.

Abgekürzte Multiplikationsformeln sind ein weiteres Beispiel für die Verwendung von Potenzen. Sie können die Eigenschaften von Graden nicht verwenden, sie werden nach speziellen Regeln zerlegt, aber in jeder abgekürzten Multiplikationsformel gibt es immer Grade.

Abschlüsse werden auch in Physik und Informatik aktiv genutzt. Alle Übersetzungen in das SI-System werden mit Graden durchgeführt, und in Zukunft werden beim Lösen von Problemen die Eigenschaften des Grads angewendet. In der Informatik werden Zweierpotenzen aktiv genutzt, um das Zählen zu erleichtern und die Wahrnehmung von Zahlen zu vereinfachen. Weiterführende Berechnungen zur Umrechnung von Maßeinheiten oder Problemstellungen, wie in der Physik, erfolgen über die Eigenschaften des Grades.

Grade sind auch in der Astronomie sehr nützlich, wo man selten die Eigenschaften eines Grades verwendet, aber die Grade selbst aktiv verwendet werden, um die Aufzeichnung verschiedener Größen und Entfernungen zu verkürzen.

Grade werden auch im Alltag verwendet, wenn Flächen, Volumen, Entfernungen berechnet werden.

Mit Hilfe von Graden werden in jedem Bereich der Wissenschaft sehr große und sehr kleine Werte geschrieben.

Exponentialgleichungen und Ungleichungen

Gradeigenschaften nehmen gerade in Exponentialgleichungen und Ungleichungen eine besondere Stellung ein. Diese Aufgaben sind sehr häufig, sowohl im Schulunterricht als auch in Prüfungen. Alle werden durch Anwendung der Eigenschaften des Grades gelöst. Das Unbekannte liegt immer im Grad selbst, daher wird es bei Kenntnis aller Eigenschaften nicht schwierig sein, eine solche Gleichung oder Ungleichung zu lösen.