Anweisung

zerschlagen Kreis in vier gleiche Teile zu zerlegen ist sehr einfach, es ist eine triviale Aufgabe. Dazu müssen Sie lediglich zwei Mittellinien senkrecht zueinander zeichnen. Die Punkte am Schnittpunkt dieser Linien mit Kreis yu und sie in vier Teile. Häufiger zu teilen Kreis nicht vier, sondern acht gleiche Teile. Dazu müssen Sie den Bogen, der ein Viertel des Kreises darstellt, in zwei gleiche Teile teilen. Nehmen Sie dann den Kompass und breiten Sie ihn auf die im Bild farblich angegebene Entfernung aus. Jetzt bleibt nur noch, diesen Abstand von jedem der vier zuvor erzielten Punkte zu verschieben.

Um zu brechen Kreis In drei gleiche Teile teilen, die Beine auf den Radius des Kreises spreizen. Installieren Sie anschließend die Kompassnadel an einem beliebigen Schnittpunkt der Achsenlinien und des Kreises. Zeichnen Sie zur Hilfe eine dünne Linie Kreis. Drei gleiche Teile durch Schnittpunkte und Hilfskreise, sowie einen Punkt, der auf der Geraden bzw. an deren gegenüberliegendem Ende liegt.

Und wenn Sie etwas teilen möchten Kreis in sechs gleiche Teile, dann muss man fast alles gleich machen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass diese für die andere Mittellinie wiederholt werden müssen. In diesem Fall erhalten Sie auf einmal sechs Punkte auf dem Kreis, wie in der Abbildung dargestellt.

Oft ist eine Trennung notwendig Kreis in fünf gleiche Teile. Dies ist auch nicht schwer zu bewerkstelligen. Zuerst müssen Sie den Radius auf der Mittellinie in zwei gleiche Teile teilen. An diesem Punkt wird die Kompassnadel benötigt. Der Taststift muss bis zum Schnittpunkt des Kreises und der dazu senkrechten Mittellinie zurückgezogen werden. Dies ist in der Abbildung deutlich zu erkennen. Darauf ist dieser Abstand rot dargestellt. Legen Sie diesen Abstand auf den Kreis. Sie müssen an der Mittellinie beginnen und dann die Nadel zum neuen resultierenden Schnittpunkt bewegen. Brechen Kreis Wiederholen Sie für zehn Teile alle oben genannten Schritte im Spiegel.

Manchmal ist für die Herstellung von Schablonen, Vorlagen, Zeichnungen, Mustern und Kunsthandwerk eine Trennung erforderlich für 6 Teile.
Beispielsweise mussten wir eine Vorlage für eine Blume in Form eines sechszackigen Sterns anfertigen.

Für diejenigen, die die Geometrie vergessen haben, möchte ich Sie daran erinnern, dass es zwei Möglichkeiten gibt, einen Kreis in 6 Teile zu unterteilen:

1. Mit Hilfe Winkelmesser.
2. Mit Hilfe Kompass.

1. Wie man einen Kreis mit einem Winkelmesser in 6 Teile teilt

Einen Kreis mit einem Winkelmesser zu teilen ist sehr einfach.

Wir zeichnen eine Linie, die den Mittelpunkt und einen beliebigen Punkt (zum Beispiel Punkt 1) auf dem Kreis verbindet. Von dieser Linie aus bestimmen wir mit einem Winkelmesser einen Winkel von 60, 120, 180 Grad. Wir setzen Punkte auf den Kreis (zum Beispiel die Punkte 2, 3, 4). Wir falten den Winkelmesser auseinander und teilen den anderen Teil des Kreises auf die gleiche Weise.

2. Wie man einen Kreis mit einem Zirkel in 6 Teile teilt

Es kommt vor, dass kein Winkelmesser zur Hand ist. Anschließend kann der Kreis mit einem Zirkel in 6 gleiche Teile geteilt werden.

Wir zeichnen beispielsweise einen Kreis mit einem Radius von 5 cm (roter Kreis). Ohne den Radius zu ändern, übertragen wir den Zirkelschenkel auf den Kreis (Punkt 1) und zeichnen einen weiteren Kreis. Wir erhalten zwei Schnittpunkte der schwarzen und roten Kreise 6 und 2.

Wir bewegen den Zirkelschenkel auf Punkt 2 und zeichnen erneut einen Kreis. Wir bekommen Punkt 3.

Bewegen Sie den Zirkelschenkel zu Punkt 3. Zeichnen Sie erneut einen Kreis.

So teilen wir den Kreis weiter, bis wir ihn in 6 gleiche Teile teilen.

Einen Kreis in gleiche Teile teilen und so regelmäßige Vielecke bilden

Einen Kreis in 4 und 8 gleiche Teile teilen

Enden mit zueinander senkrechten DurchmessernAUUndBD(Abb. 1) Teilen Sie den Kreis mittig am PunktUMin 4 gleiche Teile. Durch Verbinden der Enden dieser Durchmesser erhalten Sie ein QuadratASonneD.

Wenn der WinkelSOAzwischen zueinander senkrechten DurchmessernAEUndMITG(Abb. 2) in zwei Hälften teilen und zueinander senkrechte Durchmesser zeichnenD.H.Undbf, dann teilen ihre Enden den Kreis mit der Mitte am PunktUMin 8 gleiche Teile. Durch Verbinden der Enden dieser Durchmesser erhalten Sie ein regelmäßiges AchteckA B C D E F G H.

Reis. 1 Abb. 2

Aufteilung eines Kreises in 3, 6 und 12 Teile

Um einen Kreis in 6 gleiche Teile zu teilen, verwenden Sie die Gleichheit der Seiten eines regelmäßigen Sechsecks mit dem Radius des umschriebenen Kreises. Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt in einem PunktUM(Abb. 3) und RadiusR, dann von den Enden eines seiner Durchmesser (Punkte).AUndD) Zeichnen Sie von den Mittelpunkten aus Kreisbögen mit einem RadiusR. Die Schnittpunkte dieser Bögen mit einem gegebenen Kreis teilen ihn in 6 gleiche Teile. Durch konsequentes Verbinden der gefundenen Punkte erhalten Sie das richtige SechseckABCDEF.

Wenn der Kreis in der Mitte mit einem Punkt versehen istUM(Abb. 4) muss in 3 gleiche Teile geteilt werden, dann sollte mit einem Radius, der dem Radius dieses Kreises entspricht, ein Bogen nur von einem Ende des Durchmessers, beispielsweise einem Punkt, gezeichnet werdenD. PunkteINUndMITSchnittpunkt dieses Bogens mit einem gegebenen Kreis sowie einem PunktATeilen Sie letzteres in 3 gleiche Teile. Indem wir die Punkte verbindenA, INUndMIT, können Sie ein gleichseitiges Dreieck erhaltenABC.

Reis. 3 Abb. 4

Um den Kreis in 12 Teile zu teilen, wird die Aufteilung des Kreises in 6 Teile zweimal wiederholt (Abb. 5), wobei die Enden zueinander senkrechter Durchmesser als Mittelpunkte verwendet werden: PunkteAUndG, DUndJ. Die Schnittpunkte der gezeichneten Bögen mit einem gegebenen Kreis teilen ihn in 12 Teile. Durch Verbinden der konstruierten Punkte erhalten Sie das richtige Zwölfeck.

Reis. 5

Aufteilung eines Kreises in 5 Teile

UM(Abb. 6) in 5 Teile zerlegen, gehen Sie wie folgt vor. Zum Beispiel einer der Radien des KreisesOM, durch die zuvor beschriebene Methode halbiert. Ab der Mitte des SegmentsOMPunktNRadiusR1 , gleich dem SegmentAN, zeichne einen Kreisbogen und markiere einen PunktRSchnittpunkt dieses Bogens mit dem Durchmesser, zu dem der Radius gehörtOM. LiniensegmentARgleich der Seite eines regelmäßigen Fünfecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist. Also vom EndeADurchmesser senkrecht zuOM, RadiusR2 , gleich dem SegmentAR, zeichne einen Kreisbogen. PunkteINUndESchnittpunkte dieses Bogens mit einem gegebenen Kreis ermöglichen die Markierung zweier Eckpunkte des Fünfecks.

Zwei weitere TopsMITUndD) sind die Schnittpunkte von Kreisbögen mit RadiusR2 an Punkten zentriertINUndEmit einem gegebenen Kreis, der in Punkten zentriert istUM. Eckpunkte eines regelmäßigen FünfecksABCDETeilen Sie den gegebenen Kreis in 5 gleiche Teile.

Reis. 6

Aufteilung eines Kreises in 7 Teile

Einen Kreis mit Mittelpunkt in einem Punkt teilenUM(Abb. 6) In 7 Teile ist es notwendig, einen Hilfsbogen von Punkt 1 mit einem Radius zu zeichnenR, gleich dem Radius des gegebenen Kreises, der den Kreis an diesem Punkt schneidetM. Von einem PunktNIch senke die Senkrechte zur horizontalen Mittellinie. Von einem PunktAmit einem Radius gleich dem RadiusMN, machen Sie 7 Serifen um den Kreis und erhalten Sie sieben gewünschte Punkte, die Sie verbinden, um ein regelmäßiges Siebeneck zu erhaltenABCDEFG.

Reis. 7

Teilen eines Kreises in eine beliebige Anzahl gleicher Teile

Wenn keine der zuvor betrachteten Optionen die Bedingung der Aufgabe erfüllt, wird eine Technik verwendet, die es ermöglicht, den Kreis in eine beliebige Anzahl gleicher Teile zu unterteilen und die darin eingeschriebenen regelmäßigen Polygone mit einer beliebigen Anzahl von Seiten zu konstruieren.

Betrachten Sie eine solche Konstruktion am Beispiel der Teilung eines Kreises mit Mittelpunkt in einem PunktUM(Abb. 8a) in 7 gleiche Teile. Zunächst müssen Sie zwei zueinander senkrechte Durchmesser zeichnen, von denen einer beispielsweise durch einen Punkt verläuftA, sollte in 7 gleiche Teile geteilt werden, begrenzt durch die Punkte 1 ... 7. Von einem PunktA, ab der Mitte, RadiusRgleich dem Durchmesser eines gegebenen Kreises ist, muss ein Bogen gezeichnet werden, dessen Schnittpunkt mit der Fortsetzung des zweiten Durchmessers die Punkte bestimmtR1 UndR2 . Dann durch die PunkteR1 UndR2 (Abb. 8b) und gerade Punkte, die durch Teilen des Durchmessers erhalten werdenA7(Punkte 2, 4 und 6), zeichnen Sie gerade Linien. PunkteIN, MIT, DUndE, F, GSchnittpunkt dieser Geraden mit einem gegebenen Kreis und einem PunktATeilen Sie den Kreis mit der MitteUMin 7 gleiche Teile. Durch konsequentes Verbinden der konstruierten Punkte können Sie ein regelmäßiges Siebeneck zeichnen, das in einen Kreis eingeschrieben ist.

Reis. 8

Einen Kreis in vier gleiche Teile teilen und ein regelmäßiges beschriftetes Viereck konstruieren(Abb. 6).

Zwei zueinander senkrechte Mittellinien teilen den Kreis in vier gleiche Teile. Indem man die Schnittpunkte dieser Linien mit dem Kreis durch Geraden verbindet, erhält man ein regelmäßiges eingeschriebenes Viereck.

Einen Kreis in acht gleiche Teile teilen und ein regelmäßiges beschriftetes Achteck konstruieren(Abb. 7).

Die Aufteilung des Kreises in acht gleiche Teile erfolgt mit einem Zirkel wie folgt.

Von den Punkten 1 und 3 (den Schnittpunkten der Mittellinien mit dem Kreis) mit einem beliebigen Radius R werden Bögen bis zum gegenseitigen Schnittpunkt gezeichnet, mit dem gleichen Radius von Punkt 5 wird auf dem von Punkt 3 gezeichneten Bogen eine Kerbe angebracht .

Durch die Schnittpunkte der Serifen und den Mittelpunkt des Kreises werden gerade Linien gezogen, bis sie den Kreis an den Punkten 2, 4, 6, 8 schneiden.

Wenn die erhaltenen acht Punkte durch gerade Linien in Reihe verbunden werden, erhält man ein regelmäßiges beschriftetes Achteck.

Einen Kreis in drei gleiche Teile teilen und ein regelmäßiges eingeschriebenes Dreieck konstruieren(Abb. 8).

Variante 1.

Wenn Sie den Kreis mit einem Zirkel in drei gleiche Teile teilen, zeichnen Sie von jedem Punkt des Kreises aus, zum Beispiel Punkt A des Schnittpunkts der Mittellinien mit dem Kreis, einen Bogen mit einem Radius R, der dem Radius des Kreises entspricht Punkte 2 und 3. Der dritte Teilungspunkt (Punkt 1) befindet sich am gegenüberliegenden Ende des Durchmessers und verläuft durch Punkt A. Durch aufeinanderfolgendes Verbinden der Punkte 1, 2 und 3 erhält man ein regelmäßiges eingeschriebenes Dreieck.

Option 2.

Wenn bei der Konstruktion eines regelmäßigen eingeschriebenen Dreiecks einer seiner Eckpunkte angegeben ist, beispielsweise Punkt 1, wird Punkt A gefunden. Dazu wird ein Durchmesser durch einen bestimmten Punkt gezeichnet (Abb. 8). Punkt A liegt am gegenüberliegenden Ende dieses Durchmessers. Dann wird ein Bogen mit einem Radius R gezeichnet, der dem Radius des gegebenen Kreises entspricht, und man erhält die Punkte 2 und 3.

Einen Kreis in sechs gleiche Teile teilen und ein regelmäßiges, eingeschriebenes Sechseck konstruieren(Abb. 9).

Wenn Sie den Kreis mit einem Zirkel in sechs gleiche Teile teilen, werden von zwei Enden mit demselben Durchmesser und einem Radius, der dem Radius des gegebenen Kreises entspricht, Bögen gezeichnet, bis sie den Kreis an den Punkten 2, 6 und 3, 5 schneiden. Verbinden Durch die nacheinander erhaltenen Punkte erhält man ein regelmäßiges beschriftetes Sechseck.

Einen Kreis in zwölf gleiche Teile teilen und ein regelmäßiges beschriftetes Zwölfeck konstruieren(Abb. 10).

Beim Teilen eines Kreises mit einem Zirkel aus den vier Enden zweier zueinander senkrechter Kreisdurchmesser wird ein Bogen mit einem Radius gleich dem Radius des gegebenen Kreises gezeichnet, bis er den Kreis schneidet (Abb. 10). Durch die Verbindung der nacheinander erhaltenen Schnittpunkte erhält man ein regelmäßiges beschriftetes Zwölfeck.

Einen Kreis in fünf gleiche Teile teilen und ein regelmäßiges eingeschriebenes Fünfeck konstruieren ( Abb.11).

Beim Teilen eines Kreises mit einem Zirkel wird die Hälfte eines beliebigen Durchmessers (Radius) in zwei Hälften geteilt, man erhält Punkt A. Von Punkt A wird wie vom Mittelpunkt aus ein Bogen mit einem Radius gezeichnet, der dem Abstand von Punkt A zu Punkt entspricht 1, bis es die zweite Hälfte dieses Durchmessers im Punkt B schneidet. Das Segment 1B entspricht der Sehne, die den Bogen durchquert, dessen Länge 1/5 des Umfangs beträgt. Beim Erstellen von Serifen auf einem Kreis mit einem Radius R1 gleich dem Segment 1B wird der Kreis in fünf gleiche Teile geteilt. Der Startpunkt A wird abhängig von der Lage des Fünfecks gewählt.

Die Punkte 2 und 5 werden aus Punkt 1 erstellt, dann wird Punkt 3 aus Punkt 2 erstellt und Punkt 4 wird aus Punkt 5 erstellt. Die Entfernung von Punkt 3 zu Punkt 4 wird mit einem Kompass überprüft; Wenn der Abstand zwischen den Punkten 3 und 4 dem Segment 1B entspricht, wurden die Konstruktionen genau ausgeführt.

Es ist unmöglich, Serifen nacheinander in eine Richtung auszuführen, da sich Messfehler anhäufen und die letzte Seite des Fünfecks schief ist. Durch konsequentes Verbinden der gefundenen Punkte entsteht ein regelmäßiges beschriftetes Fünfeck.

Einen Kreis in zehn gleiche Teile teilen und ein regelmäßiges beschriftetes Zehneck konstruieren(Abb. 12).

Die Aufteilung des Kreises in zehn gleiche Teile erfolgt ähnlich wie die Aufteilung des Kreises in fünf gleiche Teile (Abb. 11), jedoch wird der Kreis zunächst in fünf gleiche Teile geteilt, beginnend bei Punkt 1 und dann ab Punkt 6. befindet sich am gegenüberliegenden Ende des Durchmessers. Durch die Reihenschaltung aller Punkte erhält man ein regelmäßiges beschriftetes Zehneck.

Einen Kreis in sieben gleiche Teile teilen und ein regelmäßiges beschriftetes Siebeneck konstruieren(Abb. 13).

Von jedem Punkt des Kreises, zum Beispiel Punkt A, wird ein Bogen mit dem Radius eines gegebenen Kreises gezeichnet, bis er einen Kreis an den Punkten B und D einer Geraden schneidet.

Die Hälfte des resultierenden Segments (in diesem Fall das Segment BC) entspricht der Sehne, die den Bogen begrenzt, also 1/7 des Umfangs. Mit einem Radius, der dem Segment BC entspricht, werden Serifen auf dem Kreis in der beim Aufbau eines regelmäßigen Fünfecks gezeigten Reihenfolge erstellt. Durch die Reihenschaltung aller Punkte erhält man ein regelmäßiges beschriftetes Siebeneck.

Teilen Sie den Kreis in vierzehn gleiche Teile und konstruieren Sie einen regelmäßigen eingeschriebenen Vierzehnwinkel (Abb. 14).

Die Aufteilung des Kreises in vierzehn gleiche Teile erfolgt ähnlich wie die Aufteilung des Kreises in sieben gleiche Teile (Abb. 13), jedoch wird der Kreis zunächst in sieben gleiche Teile geteilt, beginnend bei Punkt 1 und dann bei Punkt 8. befindet sich am gegenüberliegenden Ende des Durchmessers. Durch die Reihenschaltung aller Punkte entsteht ein regelmäßiges eingeschriebenes Viereck.

Mit Hilfe von Zirkel und Lineal ist es möglich, einen Kreis in beliebig viele Teile zu unterteilen. Mathematiker haben bewiesen, dass eine Teilung in 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, ..., 257, ... möglich ist, nicht jedoch in 7, 9, 11, 13, 14, ... Teile.

Leider gibt es keine einheitliche Möglichkeit zur Aufteilung. Werfen wir einen Blick auf die wichtigsten.

1) Aufteilung des Kreises in 6, 3, 12, 24, …, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) gleiche Teile.

Beginnen mit Den Kreis in 6 Teile teilen. Dazu muss mit der gleichen Zirkellösung, mit der der Kreis gezeichnet wurde, von jedem Punkt des Kreises aus wie von der Mitte aus ein Kreis gezeichnet werden. Wiederholen Sie dann den Vorgang und nehmen Sie dabei den Schnittpunkt des ursprünglichen und des neuen Kreises als Mittelpunkt.

Um einen Kreis in 3 Teile zu teilen, müssen Sie ihn in 6 Teile teilen und Punkte durch einen ziehen (Abb. 5a). Um einen Kreis in 12 Teile zu teilen, müssen Sie ihn in 6 Teile teilen und jeden Bogen in zwei Hälften teilen. Dann kann der Vorgang des Teilens der Bögen in zwei Hälften auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden.

Die Länge der Senkrechten, die vom Mittelpunkt des Kreises zur Seite des Sechsecks fällt, ist eine gute Näherung für die Länge der Seite des in den Kreis eingeschriebenen Siebenecks (in Abbildung 5a durch Schraffur dargestellt). Senkrechte Länge ≈0,866R, Siebeneck-Seitenlänge ≈0,868R – Genauigkeit ≈2 %.

2) Aufteilung des Kreises in 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) gleiche Teile.

Sie können den Kreis mit einem Lineal in zwei Teile teilen, indem Sie eine gerade Linie durch die Mitte des Kreises zeichnen. Es ist jedoch möglich, den Radius des Kreises von jedem Punkt des Kreises aus dreimal zu verschieben. Der Start- und Endpunkt halbieren den Kreis (durch sie kann ein Durchmesser gezeichnet werden – Abb. 5a). Um den Kreis in 4 Teile zu teilen, müssen die resultierenden Bögen in zwei Hälften geteilt werden. Die konsequente Ausführung der Teilung der resultierenden Bögen in zwei Hälften gewährleistet die Teilung des Kreises in 8, 16 usw. Teile.

3) Aufteilung des Kreises in 5 Teile.

Die beim Zeichnen verwendete Konstruktionsmethode verwendet das Verhältnis zwischen der Seite eines regelmäßigen Zehnecks ( eine 10) und ein regelmäßiges Fünfeck ( eine 5)- ein 5 2 = R 2 + ein 10 2 . Der Aufbau erfolgt wie folgt. Zeichnen wir zwei senkrechte Linien durch den Mittelpunkt des Kreises O. A und B sind ihre Schnittpunkte mit dem Kreis. Von Punkt A aus zeichnen wir wie von der Mitte aus einen Kreis mit demselben Radius (wir finden die Mitte des Segments AO - Punkt C). Von der Mitte des Segments AO des Punktes C zeichnen wir einen weiteren Kreis mit dem Radius CB. Das Segment BE entspricht der Seite des Fünfecks, OE entspricht dem Zehneck (Abb. 5b).

Sie können den Kreis wie in Abbildung 5c ​​gezeigt in 5 und 10 Teile unterteilen. Segment BC ist die Seite des Fünfecks, AC ist die Seite des Zehnecks. Über die bemerkenswerten Eigenschaften des Fünfecks und Zehnecks und warum die in Abbildung 5c ​​dargestellte Konstruktionsmethode richtig ist, erzählen wir im nächsten Kapitel.

Madrasah Kukeldash (16. Jahrhundert, Taschkent)

Abbildung 5d zeigt den Empfang einer geometrischen Näherungslösung für das Problem der Aufteilung eines Kreises in beliebig viele Teile. Nehmen wir zum Beispiel an, dass es erforderlich ist, den gegebenen Kreis in 7 gleiche Teile zu teilen. Wir konstruieren ein gleichseitiges Dreieck ABC auf dem Durchmesser des Kreises AB und dividieren den Durchmesser AB durch den Punkt D im Verhältnis AD:AB=2:7 (im Allgemeinen 2:n). Dazu müssen Sie eine Hilfslinie zeichnen, n + 2 identische Segmente darauf beiseite legen, den Extrempunkt mit Punkt B verbinden und durch den zweiten Punkt eine Linie parallel zur Linie BF zeichnen. Zeichnen Sie eine Linie DC zum Schnittpunkt mit dem Kreis. Der Bogen AE ist der 7. Teil des Kreises (im allgemeinen Fall der n-te). Diese Methode für n<11 дает погрешность не более 1%.

Algorithmen zur Aufteilung eines Kreises in gleiche Teile können beispielsweise verwendet werden, um Bezugspunkte für Spiralen zu konstruieren – die Archimedes-Spirale, benannt nach dem großen antiken griechischen Wissenschaftler Archimedes (III. Jahrhundert v. Chr.), der diese Linie als Erster untersuchte, und die logarithmische Spirale .