Neben Potenzmittelwerten in der Statistik werden für ein relatives Merkmal der Größe eines variierenden Merkmals und der internen Struktur von Verteilungsreihen strukturelle Mittelwerte verwendet, die hauptsächlich durch dargestellt werden Modus und Median.

Mode- Dies ist die häufigste Variante der Serie. Mode wird zum Beispiel zur Bestimmung der Größe von Kleidung und Schuhen verwendet, die bei Käufern am gefragtesten sind. Der Modus für eine diskrete Reihe ist die Variante mit der höchsten Frequenz. Bei der Berechnung des Modus für die Intervallvariationsreihe müssen Sie zuerst das modale Intervall (durch die maximale Häufigkeit) und dann den Wert des modalen Werts des Attributs gemäß der Formel bestimmen:

Median - dies ist der Wert des Merkmals, das der Rangreihe zugrunde liegt und diese Reihe in zwei gleich große Teile teilt.

Um den Median zu bestimmen in einer diskreten Reihe bei Vorhandensein von Häufigkeiten wird zunächst die Halbsumme der Häufigkeiten berechnet und dann bestimmt, welcher Wert der Variante darauf fällt. (Wenn die sortierte Zeile eine ungerade Anzahl von Merkmalen enthält, wird die Medianzahl nach folgender Formel berechnet:

M e \u003d (n (Anzahl der Merkmale insgesamt) + 1) / 2,

bei einer geraden Anzahl von Merkmalen ist der Median gleich dem Durchschnitt der beiden Merkmale in der Mitte der Zeile).

Bei der Berechnung des Medians für Intervallvariationsreihen Bestimmen Sie zuerst das Medianintervall, in dem sich der Median befindet, und dann den Wert des Medians gemäß der Formel:

Beispiel. Finden Sie den Modus und den Median.

Entscheidung:
In diesem Beispiel liegt das modale Intervall innerhalb der Altersgruppe von 25–30 Jahren, da dieses Intervall die höchste Häufigkeit (1054) ausmacht.

Lassen Sie uns den Moduswert berechnen:

Dies bedeutet, dass das modale Alter der Studenten 27 Jahre beträgt.

Lassen Sie uns den Median berechnen. Das Medianintervall liegt in der Altersgruppe von 25-30 Jahren, da es innerhalb dieses Intervalls eine Variante gibt, die die Bevölkerung in zwei gleiche Teile teilt (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Als nächstes setzen wir die notwendigen numerischen Daten in die Formel ein und erhalten den Wert des Medians:

Das bedeutet, dass die eine Hälfte der Studierenden jünger als 27,4 Jahre und die andere Hälfte älter als 27,4 Jahre ist.

Neben dem Modus und dem Median können Indikatoren wie Quartile, die die Rangfolge in 4 gleiche Teile teilen, Dezile - 10 Teile und Perzentile - in 100 Teile verwendet werden.

Lyudmila Prokofievna Kalugina (oder einfach „Mymra“) lehrte Novoselzev in dem wunderbaren Film „Office Romance“: „Statistik ist eine Wissenschaft, sie toleriert keine Annäherung.“ Um nicht in die heiße Hand des strengen Chefs Kalugina zu geraten (und gleichzeitig Aufgaben aus dem Einheitlichen Staatsexamen und dem Akademischen Staatsexamen mit Elementen der Statistik problemlos zu lösen), werden wir versuchen, einige der Konzepte der Statistik zu verstehen das kann nicht nur auf dem dornenreichen Weg zur Bewältigung der Prüfung im Einheitlichen Staatsexamen nützlich sein, sondern auch einfach im Alltag.

Was ist also Statistik und warum wird sie benötigt? Das Wort „Statistik“ kommt vom lateinischen Wort „status“ (Zustand), was soviel wie „Stand und Stand der Dinge/Dinge“ bedeutet. Die Statistik befasst sich mit der Untersuchung der quantitativen Seite sozialer Massenphänomene und -prozesse in numerischer Form, wobei besondere Muster aufgedeckt werden. Heute wird Statistik in fast allen Bereichen des öffentlichen Lebens verwendet, von Mode, Kochen, Gartenarbeit bis hin zu Astronomie, Wirtschaft und Medizin.

Wenn Sie sich mit Statistiken vertraut machen, müssen Sie zunächst die wichtigsten statistischen Merkmale untersuchen, die für die Datenanalyse verwendet werden. Nun, fangen wir damit an!

Statistische Merkmale

Die wichtigsten statistischen Merkmale einer Datenstichprobe (was ist eine „Stichprobe“ sonst!? Keine Angst, alles ist unter Kontrolle, das ist ein unverständliches Wort nur zur Einschüchterung, tatsächlich bedeutet das Wort „Stichprobe“ nur die Daten die Sie untersuchen werden) umfassen:

1. Stichprobengröße,
2. Stichprobengröße,
3. arithmetische Mittel,
4. Mode,
5. Median,
6. Frequenz,
7. relative Frequenz.

Halt halt halt! Wie viele neue Wörter! Reden wir über alles der Reihe nach.

Volumen und Spanne

Die folgende Tabelle zeigt beispielsweise die Körpergröße von Fußballspielern:

Dieses Beispiel wird durch Elemente dargestellt. Somit ist die Stichprobengröße gleich.

Die Reichweite der vorgestellten Probe beträgt cm.

Arithmetische Mittel

Nicht sehr klar? Schauen wir uns unsere an Beispiel.

Bestimmen Sie die durchschnittliche Größe der Spieler.

Na, fangen wir an? Das haben wir bereits herausgefunden; .

Wir können sofort mutig alles in unsere Formel einsetzen:

So beträgt die durchschnittliche Körpergröße eines Nationalspielers cm.

Naja, oder so Beispiel:

Schüler der 9. Klasse sollten eine Woche lang möglichst viele Beispiele aus dem Aufgabenheft lösen. Die Anzahl der von den Schülern in einer Woche gelösten Beispiele ist unten angegeben:

Finde die durchschnittliche Anzahl gelöster Probleme.

In der Tabelle werden uns also Daten zu Studenten präsentiert. Auf diese Weise, . Nun, lassen Sie uns zuerst die Summe (Gesamtzahl) aller gelösten Probleme von zwanzig Schülern finden:

Jetzt können wir sicher mit der Berechnung des arithmetischen Mittels der gelösten Probleme fortfahren, da wir wissen, dass a:

Im Durchschnitt lösten also Schüler der 9. Klasse die Aufgaben.

Hier ist ein weiteres Beispiel zur Verstärkung.

Beispiel.

Auf dem Markt werden Tomaten von Verkäufern verkauft, und die Preise pro kg verteilen sich wie folgt (in Rubel): . Was ist der durchschnittliche Preis für ein Kilogramm Tomaten auf dem Markt?

Entscheidung.

Was ist also in diesem Beispiel gleich? Richtig: Sieben Verkäufer bieten sieben Preise an, das heißt ! . Nun, wir haben alle Komponenten herausgefunden, jetzt können wir mit der Berechnung des Durchschnittspreises beginnen:

Na, hast du verstanden? Dann zählen Sie selbst arithmetische Mittel in den folgenden Proben:

Antworten: .

Modus und Median

Kommen wir zurück zu unserem Fußballteam-Beispiel:

Was ist der Modus in diesem Beispiel? Was ist die häufigste Zahl in dieser Stichprobe? Das ist richtig, das ist eine Zahl, da zwei Spieler cm groß sind; das Wachstum anderer Spieler wird nicht wiederholt. Hier sollte alles klar und verständlich sein, und das Wort ist bekannt, oder?

Kommen wir zum Median, den solltest du aus dem Geometriekurs kennen. Aber es fällt mir nicht schwer, mich daran in der Geometrie zu erinnern Median(übersetzt aus dem Lateinischen - „Mitte“) - ein Segment innerhalb eines Dreiecks, das die Spitze des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite verbindet. Stichwort MITTE. Wenn Sie diese Definition kennen, können Sie sich leicht daran erinnern, was ein Median in der Statistik ist.

Nun, zurück zu unserer Stichprobe von Fußballspielern?

Ist Ihnen bei der Definition des Medians ein wichtiger Punkt aufgefallen, dem wir hier noch nicht begegnet sind? Natürlich "wenn diese Reihe bestellt wird"! Sollen wir Ordnung schaffen? Um eine Ordnung in der Zahlenreihe zu haben, ist es möglich, die Größenwerte der Spieler sowohl absteigend als auch aufsteigend anzuordnen. Es ist bequemer für mich, diese Reihe in aufsteigender Reihenfolge (vom kleinsten zum größten) aufzubauen. Hier ist, was ich habe:

Also, die Reihe wurde geordnet, was ist sonst noch ein wichtiger Punkt bei der Bestimmung des Medians? Richtige, gerade und ungerade Anzahl von Mitgliedern in der Stichprobe. Ist Ihnen aufgefallen, dass sogar die Definitionen für gerade und ungerade Zahlen unterschiedlich sind? Ja, du hast Recht, es ist schwer, es nicht zu bemerken. Und wenn ja, dann müssen wir entscheiden, ob die Anzahl der Spieler in unserer Stichprobe gerade oder ungerade ist? Das ist richtig - Spieler, also ist die Zahl ungerade! Jetzt können wir auf unsere Stichprobe eine weniger knifflige Definition des Medians für eine ungerade Anzahl von Mitgliedern in der Stichprobe anwenden. Wir suchen eine Nummer, die sich in unserer geordneten Serie als in der Mitte herausgestellt hat:

Nun, wir haben Zahlen, was bedeutet, dass fünf Zahlen an den Rändern verbleiben, und die Höhe cm wird der Median in unserer Stichprobe sein. Nicht so schwierig, oder?

Und jetzt schauen wir uns ein Beispiel mit unseren verzweifelten Jungs aus der 9. Klasse an, die unter der Woche Beispiele gelöst haben:

Sind Sie bereit, in dieser Serie nach Modus und Median zu suchen?

Lassen Sie uns zuerst diese Reihe von Zahlen anordnen (von der kleinsten Zahl zur größten anordnen). Das Ergebnis ist diese Zeile:

Jetzt können wir die Mode in diesem Beispiel sicher bestimmen. Welche Nummer ist die häufigste? Alles ist richtig, ! Auf diese Weise, Mode in diesem Beispiel ist gleich.

Wir haben die Mode gefunden, jetzt können wir anfangen, den Median zu finden. Aber sagen Sie mir zuerst: Was ist die fragliche Stichprobengröße? Hast du gezählt? Das ist richtig, die Stichprobengröße ist die gleiche. A ist eine gerade Zahl. Wir wenden also die Definition des Medians für eine Reihe von Zahlen mit einer geraden Anzahl von Elementen an. Das heißt, wir müssen in unserer geordneten Serie finden arithmetische Mittel zwei Zahlen in der Mitte. Welche zwei Zahlen liegen in der Mitte? Das ist richtig, und!

Der Median dieser Reihe wird also sein arithmetische Mittel Zahlen und:

- Median als Muster angesehen.

Häufigkeit und relative Häufigkeit

Also Frequenz legt fest, wie oft der eine oder andere Wert in der Probe wiederholt wird.

Schauen wir uns unser Beispiel mit Fußballspielern an. Vor uns liegt eine solche geordnete Reihe:

Frequenz ist die Anzahl der Wiederholungen eines Parameterwerts. In unserem Fall kann es so betrachtet werden. Wie viele Spieler sind groß? Das ist richtig, ein Spieler. Daher ist die Häufigkeit, einen Spieler mit Körpergröße in unserer Stichprobe zu treffen, gleich. Wie viele Spieler sind groß? Ja, wieder ein Spieler. Die Häufigkeit, einen Spieler mit Körpergröße in unserer Stichprobe zu treffen, ist gleich. Indem Sie diese Fragen stellen und beantworten, können Sie eine Tabelle wie diese erstellen:

Nun, alles ist ganz einfach. Denken Sie daran, dass die Summe der Häufigkeiten gleich der Anzahl der Elemente in der Stichprobe (Stichprobengröße) sein muss. Das heißt in unserem Beispiel:

Kommen wir zum nächsten Merkmal – der relativen Häufigkeit.

Kommen wir zurück zu unserem Fußballspieler-Beispiel. Wir haben die Häufigkeiten für jeden Wert berechnet, wir kennen auch die Gesamtdatenmenge in der Reihe. Wir berechnen die relative Häufigkeit für jeden Wachstumswert und erhalten die folgende Tabelle:

Und jetzt machen Sie selbst Tabellen mit Häufigkeiten und relativen Häufigkeiten für ein Beispiel mit 9-Klässlern, die Probleme lösen.

Grafische Darstellung der Daten

Sehr oft werden Daten der Übersichtlichkeit halber in Form von Diagrammen / Grafiken dargestellt. Werfen wir einen Blick auf die wichtigsten:

1. Balkendiagramm,
2. Kuchendiagramm,
3. Balkendiagramm,
4. Polygon

Balkendiagramm

Säulendiagramme werden verwendet, wenn sie die Dynamik von Datenänderungen im Laufe der Zeit oder die Verteilung von Daten zeigen möchten, die als Ergebnis einer statistischen Studie erhalten wurden.

Wir haben beispielsweise folgende Daten über die Noten einer schriftlichen Prüfung in einer Klasse:

Die Anzahl derjenigen, die eine solche Bewertung erhalten haben, ist das, was wir haben Frequenz. Wenn wir das wissen, können wir eine Tabelle wie diese erstellen:

Jetzt können wir visuelle Balkendiagramme basierend auf einem solchen Indikator wie erstellen Frequenz(die horizontale Achse zeigt die Noten; die vertikale Achse zeigt die Anzahl der Studierenden, die die entsprechenden Noten erhalten haben):

Oder wir können das entsprechende Balkendiagramm basierend auf der relativen Häufigkeit zeichnen:

Betrachten Sie ein Beispiel des Aufgabentyps B3 aus der Prüfung.

Beispiel.

Das Diagramm zeigt die Verteilung der Erdölförderung in den Ländern der Welt (in Tonnen) für das Jahr 2011. Unter den Ländern belegte Saudi-Arabien den ersten Platz in der Ölförderung, den siebten Platz - die Vereinigten Arabischen Emirate. Wo waren die USA?

Antworten: Dritter.

Kuchendiagramm

Für eine visuelle Darstellung der Beziehung zwischen Teilen der untersuchten Probe ist es bequem zu verwenden Kreisdiagramme.

Aus unserer Platte mit den relativen Häufigkeiten der Notenverteilung in der Klasse können wir ein Tortendiagramm erstellen, indem wir den Kreis in Sektoren aufteilen, die proportional zu den relativen Häufigkeiten sind.

Das Tortendiagramm behält seine Sichtbarkeit und Aussagekraft nur bei wenigen Teilen der Bevölkerung. In unserem Fall gibt es vier solcher Teile (nach möglichen Schätzungen), daher ist die Verwendung dieser Art von Diagramm recht effektiv.

Betrachten Sie ein Beispiel für die Art von Aufgabe 18 aus dem GIA.

Beispiel.

Das Diagramm zeigt die Verteilung der Familienausgaben während eines Badeurlaubs. Bestimmen Sie, wofür die Familie am meisten ausgegeben hat?

Antworten: Unterkunft.

Vieleck

Die Dynamik von Änderungen statistischer Daten im Laufe der Zeit wird oft mit einem Polygon dargestellt. Zur Konstruktion eines Polygons werden Punkte in der Koordinatenebene markiert, deren Abszissen Zeitpunkte und deren Ordinaten die entsprechenden statistischen Daten sind. Indem diese Punkte in Reihe mit Segmenten verbunden werden, wird eine unterbrochene Linie erhalten, die als Polygon bezeichnet wird.

Hier sind zum Beispiel die durchschnittlichen monatlichen Lufttemperaturen in Moskau angegeben.

Machen wir die gegebenen Daten visueller - bauen wir ein Polygon.

Monate sind auf der horizontalen Achse dargestellt, Temperaturen sind auf der vertikalen Achse dargestellt. Wir bauen die entsprechenden Punkte und verbinden sie. Folgendes ist passiert:

Stimmen Sie zu, es wurde sofort klarer!

Ein Polygon wird auch verwendet, um die Verteilung von Daten zu visualisieren, die als Ergebnis einer statistischen Studie erhalten wurden.

Hier ist das konstruierte Polygon basierend auf unserem Beispiel mit der Verteilung der Punkte:

Betrachten Sie eine typische Aufgabe B3 aus der Prüfung.

Beispiel.

Die fetten Punkte in der Abbildung zeigen den Aluminiumpreis zum Börsenschluss an allen Geschäftstagen von August bis August. Horizontal sind die Monatsdaten angegeben, vertikal der Preis einer Tonne Aluminium in US-Dollar. Zur Verdeutlichung sind fettgedruckte Punkte in der Figur durch eine Linie verbunden. Bestimmen Sie anhand der Zahl, an welchem ​​Datum der Aluminiumpreis bei Handelsschluss für einen bestimmten Zeitraum am niedrigsten war.

Antworten: .

Balkendiagramm

Intervalldatenreihen werden mit einem Histogramm dargestellt. Das Histogramm ist eine Stufenfigur aus geschlossenen Rechtecken. Die Basis jedes Rechtecks ​​ist gleich der Länge des Intervalls und die Höhe ist gleich der Häufigkeit oder relativen Häufigkeit. Bei einem Histogramm sind also, anders als bei einem normalen Balkendiagramm, die Basen des Rechtecks ​​nicht willkürlich gewählt, sondern streng durch die Länge des Intervalls bestimmt.

Hier liegen uns beispielsweise folgende Daten zum Zuwachs an Spielern vor, die in die Nationalmannschaft berufen wurden:

Also sind wir gegeben Frequenz(Anzahl Spieler mit entsprechender Körpergröße). Wir können die Tabelle vervollständigen, indem wir die relative Häufigkeit berechnen:

Nun, jetzt können wir Histogramme erstellen. Zunächst bauen wir auf der Grundlage der Frequenz auf. Folgendes ist passiert:

Nun, basierend auf den relativen Häufigkeitsdaten:

Beispiel.

Vertreter von Unternehmen kamen zur Ausstellung über innovative Technologien. Die Grafik zeigt die Verteilung dieser Unternehmen nach Anzahl der Beschäftigten. Die horizontale Achse zeigt die Anzahl der Mitarbeiter im Unternehmen und die vertikale die Anzahl der Unternehmen mit einer bestimmten Anzahl von Mitarbeitern.

Wie viel Prozent sind Unternehmen mit einer Gesamtzahl von Mitarbeitern mehr Menschen?

Antworten: .

Kurze Zusammenfassung

Stichprobengröße- die Anzahl der Elemente in der Probe.

Probenbereich- die Differenz zwischen den Maximal- und Minimalwerten der Probenelemente.

Arithmetisches Mittel einer Reihe von Zahlen ist der Quotient aus der Division der Summe dieser Zahlen durch ihre Anzahl (Stichprobengröße).

Zahlenreihe Mode- die Nummer, die in dieser Serie am häufigsten vorkommt.

Medianeine geordnete Zahlenreihe mit ungerader Mitgliederzahl ist die Zahl in der Mitte.

Median einer geordneten Zahlenreihe mit gerader Gliederzahl- das arithmetische Mittel zweier in der Mitte geschriebener Zahlen.

Frequenz- die Anzahl der Wiederholungen eines bestimmten Parameterwerts in der Probe.

Relative Frequenz

Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist es zweckmäßig, Daten in Form geeigneter Diagramme / Grafiken darzustellen

• ELEMENTE DER STATISTIK. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE.

Statistische Stichproben- eine bestimmte Anzahl von Forschungsobjekten, ausgewählt aus der Gesamtzahl der Objekte.

Die Stichprobengröße ist die Anzahl der Elemente in der Stichprobe.

Der Bereich der Probe ist die Differenz zwischen den maximalen und minimalen Werten der Probenelemente.

Oder Probenbereich

Arithmetische Mittel eine Reihe von Zahlen ist der Quotient der Division der Summe dieser Zahlen durch ihre Anzahl

Der Modus einer Zahlenreihe ist die Zahl, die in einer gegebenen Reihe am häufigsten vorkommt.

Der Median einer Zahlenreihe mit gerader Gliederzahl ist das arithmetische Mittel zweier in der Mitte geschriebener Zahlen, wenn diese Reihe sortiert ist.

Die Häufigkeit ist die Anzahl der Wiederholungen, wie oft während eines bestimmten Zeitraums ein Ereignis aufgetreten ist, sich eine bestimmte Eigenschaft eines Objekts manifestiert hat oder ein beobachteter Parameter einen bestimmten Wert erreicht hat.

Relative Frequenz ist das Verhältnis der Häufigkeit zur Gesamtzahl der Daten in der Reihe.

So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

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Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich werde nur eines sagen ...

Menschen, die eine gute Ausbildung erhalten haben, verdienen viel mehr als diejenigen, die sie nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

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Probleme finden und lösen!

Bei der Untersuchung der Lehrbelastung der Schüler wurde eine Gruppe von 12 Siebtklässlern herausgegriffen. Sie wurden gebeten, die Zeit (in Minuten) anzugeben, die sie an einem bestimmten Tag mit ihren Algebra-Hausaufgaben verbrachten. Wir haben die folgenden Daten erhalten: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Bei der Untersuchung der Arbeitsbelastung der Schüler wurde eine Gruppe von 12 Siebtklässlern identifiziert. Sie wurden gebeten, die Zeit (in Minuten) anzugeben, die sie an einem bestimmten Tag mit ihren Algebra-Hausaufgaben verbrachten. Wir haben folgende Daten erhalten: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Das arithmetische Mittel der Reihe. Das arithmetische Mittel einer Reihe von Zahlen ist der Quotient aus der Summe dieser Zahlen dividiert durch die Anzahl der Terme. Das arithmetische Mittel einer Reihe von Zahlen ist der Quotient aus der Summe dieser Zahlen dividiert durch die Anzahl der Terme.(): 12=27

Zeilenspanne. Der Bereich einer Reihe ist die Differenz zwischen der größten und der kleinsten dieser Zahlen. Der Bereich einer Reihe ist die Differenz zwischen der größten und der kleinsten dieser Zahlen. Der größte Zeitaufwand beträgt 37 Minuten, der kleinste 18 Minuten. Finden Sie den Bereich der Reihe: 37 - 18 = 19 (min)

Reihenmode. Der Modus einer Zahlenreihe ist die Zahl, die in dieser Reihe häufiger vorkommt als andere. Der Modus einer Zahlenreihe ist die Zahl, die in dieser Reihe häufiger vorkommt als andere. Der Modus unserer Reihe ist die Zahl – 25. Der Modus unserer Reihe ist die Zahl – 25. Eine Reihe von Zahlen kann mehr als einen Modus haben oder nicht. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 - zwei Modi 47 und 52. 2) 69,68,66,70,67,71,74,63, 73.72 - keine Mode.

Das arithmetische Mittel, die Spannweite und die Mode werden in der Statistik verwendet - einer Wissenschaft, die sich mit der Gewinnung, Verarbeitung und Analyse quantitativer Daten zu einer Vielzahl von Massenphänomenen in Natur und Gesellschaft befasst. Das arithmetische Mittel, die Spannweite und die Mode werden in der Statistik verwendet - einer Wissenschaft, die sich mit der Gewinnung, Verarbeitung und Analyse quantitativer Daten zu einer Vielzahl von Massenphänomenen in Natur und Gesellschaft befasst. Die Statistik untersucht die Anzahl der einzelnen Bevölkerungsgruppen des Landes und seiner Regionen, die Produktion und den Verbrauch verschiedener Arten von Produkten, den Transport von Gütern und Personen mit verschiedenen Transportmitteln, natürliche Ressourcen usw. Die Statistik untersucht die Anzahl der Individuen Bevölkerungsgruppen des Landes und seiner Regionen, Produktion und Verbrauch verschiedener Arten von Produkten, Transport von Gütern und Personen mit verschiedenen Verkehrsmitteln, natürliche Ressourcen usw.

1. Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und den Wertebereich einer Reihe von Zahlen: a) 24,22,27,20,16,37; b) 30,5,23,5,28, Finden Sie das arithmetische Mittel, den Bereich und den Modus einer Reihe von Zahlen: a) 32,26,18,26,15,21,26; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; c) 61,64,64,83,61,71,70; c) 61,64,64,83,61,71,70; d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, Eine Zahl fehlt in der Zahlenreihe 3, 8, 15, 30, __, 24. Finden Sie heraus, ob: a) das arithmetische Mittel der Serie ist 18; a) das arithmetische Mittel der Reihe ist 18; b) die Reichweite der Reihe ist 40; b) die Reichweite der Reihe ist 40; c) der Modus der Reihe ist 24. c) der Modus der Reihe ist 24.

4. Im Sekundarschulabschluss hatten vier Freunde - Absolventen der Schule - die folgenden Noten: Ilyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5, 4,4; Iljin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Semjonow: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Semjonow: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Popow: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Popow: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Romanow: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Romanow: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Was ist der durchschnittliche GPA, mit dem jeder dieser Absolventen die High School abgeschlossen hat? Geben Sie im Zeugnis jeweils die typischste Note an. Welche Statistiken haben Sie in Ihrer Antwort verwendet? Was ist der durchschnittliche GPA, mit dem jeder dieser Absolventen die High School abgeschlossen hat? Geben Sie im Zeugnis jeweils die typischste Note an. Welche Statistiken haben Sie in Ihrer Antwort verwendet?

Unabhängige Arbeit Option 1. Option Eine Reihe von Zahlen wird gegeben: 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Finden Sie das arithmetische Mittel, den Bereich und den Modus des Rads. 2. In der Zahlenreihe 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25 fehlt eine Zahl. eine Zahl fehlt. Finden Sie es, wenn: Finden Sie es, wenn: a) das arithmetische Mittel a) das arithmetische Mittel 19 ist; das ist 19; b) Bereich der Reihe - 41. b) Bereich der Reihe - 41. Option Eine Reihe von Zahlen ist gegeben: 38, 42, 36, 45, 48, 45,45, 42. Finden Sie das arithmetische Mittel, Bereich und Modus der Rad. 2. In der Zahlenreihe 5, 10, 17, 32, _, 26 fehlt eine Zahl. Finden Sie es, wenn: a) das arithmetische Mittel 19 ist; b) die Reichweite der Reihe ist 41.

Der Median einer geordneten Zahlenreihe mit ungerader Zahlenzahl ist die in der Mitte geschriebene Zahl, und der Median einer geordneten Zahlenreihe mit gerader Zahlenzahl ist das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte geschriebenen Zahlen. Der Median einer geordneten Zahlenreihe mit ungerader Zahlenzahl ist die in der Mitte geschriebene Zahl, und der Median einer geordneten Zahlenreihe mit gerader Zahlenzahl ist das arithmetische Mittel der beiden in der Mitte geschriebenen Zahlen. Die Tabelle zeigt den Stromverbrauch im Januar von Bewohnern von neun Wohnungen: Die Tabelle zeigt den Stromverbrauch von Bewohnern von neun Wohnungen im Januar: Wohnungsnummer Stromverbrauch

Machen wir eine geordnete Reihe: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91,93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91 - der Median dieser Reihe. 78 ist der Median dieser Reihe. Gegeben ist eine geordnete Reihe: Gegeben ist eine geordnete Reihe: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. (): 2 = 80 - Median. ():2 = 80 – Mittelwert.

1. Finde den Median einer Reihe von Zahlen: a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. 2. Finden Sie das arithmetische Mittel und den Median einer Reihe von Zahlen: a) 27, 29, 23, 31,21,34; a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6. d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6.

3. Die Tabelle zeigt die Besucherzahlen der Ausstellung an verschiedenen Wochentagen: Finden Sie den Median der angegebenen Datenreihe. An welchen Wochentagen war die Besucherzahl der Ausstellung größer als der Median? Wochentage Mo Mo Di Mi Mi Do Do Fr Fr Sa Sa So So Besucherzahl

4. Unten ist die durchschnittliche tägliche Verarbeitung von Zucker (in Tausend Zentner) durch Zuckerindustriebetriebe in einer bestimmten Region: (in Tausend Zentner) durch Zuckerindustriebetriebe in einer bestimmten Region: 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6 , 12,2, 18,5, 12,4, 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5, 12,4, 14, 2, 17, acht. 14, 2, 17.8. Ermitteln Sie für die angegebene Reihe das arithmetische Mittel, den Modus, die Spannweite und den Median. Ermitteln Sie für die angegebene Reihe das arithmetische Mittel, den Modus, die Spannweite und den Median. 5. Die Organisation führte täglich Aufzeichnungen über die während des Monats eingegangenen Briefe. Als Ergebnis erhielten wir folgende Datenreihen: 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0 , 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Finden Sie für die dargestellte Reihe das arithmetische Mittel, den Modus, den Bereich und den Median. Ermitteln Sie für die angegebene Reihe das arithmetische Mittel, den Modus, die Spannweite und den Median.

Hausaufgaben. Bei Eiskunstlauf-Wettkämpfen wurde die Leistung des Athleten mit folgenden Punkten bewertet: Bei Eiskunstlauf-Wettkämpfen wurde die Leistung des Athleten mit folgenden Punkten bewertet: 5,2; 5.4; 5,5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5,5; 5.3. 5.2; 5.4; 5,5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5,5; 5.3. Finden Sie für die resultierende Zahlenreihe das arithmetische Mittel, den Bereich und den Modus. Finden Sie für die resultierende Zahlenreihe das arithmetische Mittel, den Bereich und den Modus.

Aufgaben lösen zum Thema: „Statistische Merkmale. Arithmetisches Mittel, Bereich, Modus und Median

Algebra-

7. Klasse

Historische Informationen

• Arithmetisches Mittel, Bereich und Modus werden in der Statistik verwendet - einer Wissenschaft, die sich mit der Gewinnung, Verarbeitung und Analyse quantitativer Daten zu einer Vielzahl von Massenphänomenen in Natur und Gesellschaft befasst.
• Das Wort „Statistik“ leitet sich vom lateinischen Wort „status“ ab, was „Staat, Sachverhalt“ bedeutet. Die Statistik untersucht die Anzahl der einzelnen Bevölkerungsgruppen des Landes und seiner Regionen, Produktion und Verbrauch
• verschiedene Arten von Produkten, Transport von Gütern und Personen mit verschiedenen Verkehrsmitteln, natürliche Ressourcen usw.
• Die Ergebnisse statistischer Studien werden häufig für praktische und wissenschaftliche Schlussfolgerungen verwendet.

Arithmetische Mittel- Quotient aus der Division der Summe aller Zahlen durch die Anzahl der Terme

• Umfang- die Differenz zwischen der größten und kleinsten Zahl dieser Reihe
• Mode ist die Zahl, die in einer Reihe von Zahlen am häufigsten vorkommt
• Median- Eine geordnete Zahlenreihe mit ungerader Mitgliederzahl ist die in der Mitte geschriebene Zahl, und der Median einer geordneten Zahlenreihe mit gerader Mitgliederzahl ist das arithmetische Mittel zweier in der Mitte geschriebener Zahlen. Der Median einer beliebigen Zahlenreihe ist der Median der entsprechenden geordneten Reihe.

• Arithmetische Mittel ,

• Umfang und Mode
• Anwendung finden in Statistik - Wissenschaft,
• die sich mit dem Erhalten befasst

Verarbeitung und Analyse

quantitative Daten zu einer Vielzahl von

• Massenveranstaltungen stattfinden

in der Natur u

• Gesellschaft.

Aufgabe 1

• Zahlenreihe:
• 18 ; 13; 20; 40; 35.
• Finden Sie das arithmetische Mittel dieser Reihe:

• Entscheidung:
• (18+13+20+40+35):5=25,5
• Antwort: 25,5 - arithmetisches Mittel

Aufgabe Nr. 2

• Zahlenreihe:
• 35;16;28;5;79;54.

• Finden Sie das Sortiment der Serie:

• Entscheidung:

• Die größte Zahl ist 79,
• Die kleinste Zahl ist 5.
• Zeilenbereich: 79 - 5 = 74.
• Antwort: 74

Aufgabe Nr. 3

• Zahlenreihe:
• 23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

• Finden Sie das Sortiment der Serie:

• Entscheidung:
• Der größte Zeitverbrauch - 37 Minuten,
• und das kleinste - 18 min.
• Finden Sie das Sortiment der Serie:
• 37 - 18 = 19 (Minuten)

Aufgabe Nr. 4

• Zahlenreihe:
• 65; 12; 48; 36; 7; 12
• Finden Sie die Mode der Serie:

• Entscheidung:

• Modus dieser Serie: 12.
• Antwort: 12

Aufgabe Nummer 5

• Eine Reihe von Zahlen kann mehr als einen Modus haben,
• oder nicht haben.

• Reihe: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
• zwei Modi - 47 und 52.

• Reihe: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 - keine Mode.

Aufgabe Nummer 5

• Zahlenreihe:
• 28; 17; 51; 13; 39
• Finden Sie den Median dieser Reihe:

• Entscheidung:

• Ordnen Sie zuerst die Nummern aufsteigend:
• 13; 17; 28; 39; 51.
• Durchschnitt - 28.
• Antwort: 28

Aufgabe Nummer 6

Die Organisation führte eine tägliche Aufzeichnung der im Laufe des Monats eingegangenen Briefe.

Als Ergebnis erhielten wir die folgende Reihe von Daten:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Finden Sie für die gegebene Datenreihe das arithmetische Mittel,

Welche praktische Bedeutung haben diese Angaben?

Aufgabe Nummer 7

Die Kosten (in Rubel) einer Packung Nezhenka-Butter in den Geschäften des Mikrobezirks werden aufgezeichnet: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

Wie stark weicht der Mittelwert dieser Zahlenreihe von seinem Median ab?

Entscheidung.

Sortieren Sie diese Zahlen in aufsteigender Reihenfolge:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Da die Anzahl der Elemente in der Reihe ungerade ist, ist der Median ungerade

der Wert, der die Mitte der Zahlenreihe einnimmt, also M = 31.

Lassen Sie uns das arithmetische Mittel dieser Zahlenmenge berechnen - m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

M - m \u003d 31 - 30 \u003d 1

Kreativ

PRÜFUNG

Zum Thema: "Modus. Median. Methoden zu ihrer Berechnung"

Einführung

Mittelwerte und damit verbundene Streuungsindikatoren spielen in der Statistik eine sehr wichtige Rolle, was dem Gegenstand ihrer Untersuchung geschuldet ist. Daher ist dieses Thema eines der zentralen im Kurs.

Der Durchschnitt ist ein sehr gebräuchlicher verallgemeinernder Indikator in der Statistik. Dies erklärt sich aus der Tatsache, dass es nur mit Hilfe des Durchschnitts möglich ist, die Population nach einem quantitativ variierenden Merkmal zu charakterisieren. Ein Durchschnittswert in der Statistik ist ein verallgemeinerndes Merkmal einer Reihe von Phänomenen des gleichen Typs gemäß einem quantitativ variierenden Attribut. Der Durchschnitt zeigt das Niveau dieses Attributs, bezogen auf die Einheit der Bevölkerung.

Statistiker untersuchen soziale Phänomene und versuchen, ihre charakteristischen, typischen Merkmale unter bestimmten räumlichen und zeitlichen Bedingungen zu identifizieren. Sie verwenden in großem Umfang Durchschnittswerte. Mit Hilfe von Durchschnittswerten können verschiedene Populationen nach unterschiedlichen Merkmalen miteinander verglichen werden.

In der Statistik verwendete Mittelwerte gehören zur Klasse der Leistungsmittelwerte. Von den Leistungsmittelwerten wird am häufigsten der arithmetische Mittelwert verwendet, seltener der harmonische Mittelwert; Das harmonische Mittel wird nur bei der Berechnung der durchschnittlichen Dynamikraten und das mittlere Quadrat nur bei der Berechnung der Variationsindikatoren verwendet.

Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe der Optionen dividiert durch ihre Anzahl. Es wird in Fällen verwendet, in denen das Volumen eines variablen Attributs für die gesamte Bevölkerung als Summe der Attributwerte für seine einzelnen Einheiten gebildet wird. Das arithmetische Mittel ist die häufigste Art des Durchschnitts, da es der Natur sozialer Phänomene entspricht, bei denen das Volumen unterschiedlicher Zeichen im Aggregat am häufigsten genau als Summe der Werte des Attributs in einzelnen Einheiten von gebildet wird die Bevölkerung.

Das harmonische Mittel sollte gemäß seiner definierenden Eigenschaft verwendet werden, wenn die Gesamtlautstärke des Attributs als Summe der Kehrwerte der Variante gebildet wird. Sie kommt zum Einsatz, wenn je nach vorhandenem Material die Gewichte nicht multipliziert, sondern durch Optionen dividiert oder, was gleich ist, mit ihrem Kehrwert multipliziert werden müssen. Das harmonische Mittel ist in diesen Fällen der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte des Attributs.

Das harmonische Mittel sollte in den Fällen verwendet werden, in denen nicht die Einheiten der Bevölkerung - die Träger des Attributs -, sondern die Produkte dieser Einheiten und der Wert des Attributs als Gewichte verwendet werden.

1. Definition von Modus und Median in der Statistik

Die arithmetischen und harmonischen Mittel sind die verallgemeinernden Merkmale der Population gemäß dem einen oder anderen variierenden Merkmal. Hilfsdeskriptive Merkmale der Verteilung eines variablen Merkmals sind der Modus und der Median.

In der Statistik ist Mode der Wert eines Merkmals (Variante), das in einer bestimmten Population am häufigsten vorkommt. In der Variationsreihe wird dies die Variante mit der höchsten Häufigkeit sein.

Der Median in der Statistik wird als Variante bezeichnet, die in der Mitte der Variationsreihe liegt. Der Median teilt die Reihe in zwei Hälften, auf beiden Seiten davon (oben und unten) gibt es die gleiche Anzahl von Bevölkerungseinheiten.

Modus und Median sind im Gegensatz zu den exponentiellen Durchschnitten spezifische Merkmale, ihr Wert ist jede bestimmte Variante in der Variationsreihe.

Mode wird in Fällen verwendet, in denen es notwendig ist, den am häufigsten vorkommenden Wert eines Merkmals zu charakterisieren. Wenn es beispielsweise erforderlich ist, in diesen den gängigsten Lohnsatz im Unternehmen, den Marktpreis, zu dem die meisten Waren verkauft wurden, die Schuhgröße, die bei den Verbrauchern am meisten nachgefragt wird, usw. herauszufinden Fälle greifen auf Mode zurück.

Der Median ist insofern interessant, als er die quantitative Grenze des Wertes des variablen Merkmals anzeigt, die von der Hälfte der Bevölkerungsmitglieder erreicht wurde. Lassen Sie das Durchschnittsgehalt der Bankangestellten 650.000 Rubel betragen. im Monat. Dieses Merkmal kann ergänzt werden, wenn wir sagen, dass die Hälfte der Arbeiter ein Gehalt von 700.000 Rubel erhielt. und höher, d.h. Nehmen wir den Median. Modus und Median sind typische Merkmale in Fällen, in denen die Populationen homogen und zahlenmäßig groß sind.

2. Ermitteln des Modus und Medians in einer diskreten Variationsreihe

Es ist nicht sehr schwierig, den Modus und den Median in einer Variationsreihe zu finden, bei der die Attributwerte durch bestimmte Zahlen angegeben werden. Betrachten Sie Tabelle 1. mit der Verteilung der Familien nach der Anzahl der Kinder.

Tabelle 1. Verteilung der Familien nach Anzahl der Kinder

Offensichtlich wird in diesem Beispiel die Mode eine Familie mit zwei Kindern sein, da dieser Wert der Optionen der größten Anzahl von Familien entspricht. Es kann Verteilungen geben, bei denen alle Varianten gleich häufig sind, in diesem Fall gibt es keine Mode, oder mit anderen Worten, alle Varianten können als gleich modal bezeichnet werden. In anderen Fällen können nicht eine, sondern zwei Optionen die höchste Frequenz sein. Dann wird es zwei Modi geben, die Verteilung wird bimodal sein. Bimodale Verteilungen können die qualitative Heterogenität der Population gemäß dem untersuchten Merkmal anzeigen.

Um den Median in einer diskreten Variationsreihe zu finden, müssen Sie die Summe der Häufigkeiten halbieren und ½ zum Ergebnis addieren. Bei der Verteilung von 185 Familien nach der Anzahl der Kinder beträgt der Median also: 185/2 + ½ = 93, d.h. Die 93. Option, die die geordnete Reihe in zwei Hälften teilt. Was bedeutet die 93. Option? Um dies herauszufinden, müssen Sie die Häufigkeiten akkumulieren, beginnend mit den kleinsten Optionen. Die Summe der Häufigkeiten der 1. und 2. Option beträgt 40. Es ist klar, dass es hier keine 93 Optionen gibt. Wenn wir die Häufigkeit der 3. Option zu 40 addieren, erhalten wir die Summe von 40 + 75 = 115. Daher entspricht die 93. Option dem dritten Wert des Variablenattributs, und der Median ist eine Familie mit zwei Kindern .

Modus und Median fielen in diesem Beispiel zusammen. Wenn wir eine gerade Summe von Häufigkeiten hätten (z. B. 184), dann erhalten wir durch Anwendung der obigen Formel die Anzahl der Medianoptionen, 184/2 + ½ = 92,5. Da es keine Teiloptionen gibt, zeigt das Ergebnis an, dass der Median in der Mitte zwischen 92 und 93 Optionen liegt.

3. Berechnung von Modus und Median in der Intervallvariationsreihe

Der beschreibende Charakter von Modus und Median beruht darauf, dass sie individuelle Abweichungen nicht kompensieren. Sie entsprechen immer einer bestimmten Variante. Daher erfordern der Modus und der Median keine Berechnungen, um sie zu finden, wenn alle Werte des Merkmals bekannt sind. In den Intervallvariationsreihen werden jedoch Berechnungen verwendet, um den ungefähren Wert des Modus und des Medians innerhalb eines bestimmten Intervalls zu finden.

Um einen bestimmten Wert des modalen Werts eines in einem Intervall eingeschlossenen Zeichens zu berechnen, wird die folgende Formel verwendet:

M o \u003d X Mo + i Mo * (f Mo - f Mo-1) / ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

Wobei X Mo die Mindestgrenze des modalen Intervalls ist;

i Mo ist der Wert des modalen Intervalls;

f Mo ist die Frequenz des modalen Intervalls;

f Mo-1 - die Frequenz des Intervalls, das dem Modal vorangeht;

f Mo+1 ist die Frequenz des Intervalls nach dem Modal.

Wir zeigen die Berechnung des Modus anhand des Beispiels in Tabelle 2.

Tabelle 2. Verteilung der Arbeitnehmer des Unternehmens nach der Umsetzung von Produktionsstandards

Um den Modus zu finden, bestimmen wir zuerst das modale Intervall der gegebenen Reihe. Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass die höchste Frequenz dem Intervall entspricht, in dem die Variante im Bereich von 100 bis 105 liegt. Dies ist das modale Intervall. Der Wert des modalen Intervalls ist 5.

Setzen wir die Zahlenwerte aus Tabelle 2. in die obige Formel ein, erhalten wir:

Mo \u003d 100 + 5 * (104 -12) / ((104 - 12) + (104 - 98)) \u003d 108,8

Die Bedeutung dieser Formel ist wie folgt: Der Wert des Teils des modalen Intervalls, der zu seiner minimalen Grenze hinzugefügt werden muss, wird in Abhängigkeit von der Größe der Frequenzen der vorherigen und nachfolgenden Intervalle bestimmt. In diesem Fall addieren wir 8,8 zu 100, also mehr als die Hälfte des Intervalls, da die Häufigkeit des vorherigen Intervalls geringer ist als die Häufigkeit des nachfolgenden Intervalls.

Lassen Sie uns jetzt den Median berechnen. Um den Median in der Intervallvariationsreihe zu finden, bestimmen wir zuerst das Intervall, in dem er sich befindet (das Medianintervall). Ein solches Intervall ist eines, dessen kumulative Häufigkeit gleich oder größer als die Hälfte der Summe der Häufigkeiten ist. Summenhäufigkeiten werden durch allmähliche Summierung von Häufigkeiten gebildet, beginnend mit dem Intervall mit dem kleinsten Merkmalswert. Die halbe Summe der Frequenzen, die wir haben, ist 250 (500:2). Daher wird gemäß Tabelle 3 das Medianintervall das Intervall mit einem Lohnwert von 350.000 Rubel sein. bis zu 400.000 Rubel.

Tabelle 3. Berechnung des Medians in der Intervallvariationsreihe

Vor diesem Intervall betrug die Summe der akkumulierten Häufigkeiten 160. Um den Wert des Medians zu erhalten, müssen daher weitere 90 Einheiten (250 - 160) hinzugefügt werden.