Aber viele natürliche Zahlen sind durch andere natürliche Zahlen ohne Rest teilbar.

zum Beispiel:

Die Zahl 12 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12;

Die Zahl 36 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36.

Die Zahlen, durch die die Zahl teilbar ist (bei 12 sind es 1, 2, 3, 4, 6 und 12), werden aufgerufen Zahlenteiler. Teiler einer natürlichen Zahl a ist die natürliche Zahl, die die gegebene Zahl teilt a ohne jede Spur. Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, wird aufgerufen zusammengesetzt .

Beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Teiler haben. Dies sind die Zahlen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12. Der gemeinsame Teiler dieser beiden Zahlen a und b ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind a und b.

gemeinsames Vielfaches mehrere Zahlen heißt die Zahl, die durch jede dieser Zahlen teilbar ist. zum Beispiel, die Zahlen 9, 18 und 45 haben ein gemeinsames Vielfaches von 180. Aber 90 und 360 sind auch ihre gemeinsamen Vielfachen. Unter allen gemeinsamen Vielfachen gibt es immer das kleinste, in diesem Fall ist es 90. Diese Zahl heißt am wenigstengemeinsames Vielfaches (LCM).

LCM ist immer eine natürliche Zahl, die größer sein muss als die größte der Zahlen, für die sie definiert ist.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM). Eigenschaften.

Kommutativität:

Assoziativität:

Insbesondere wenn und teilerfremde Zahlen sind, dann gilt:

Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier ganzer Zahlen m und n ein Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen ist m und n. Außerdem die Menge der gemeinsamen Vielfachen m, n fällt mit der Menge der Vielfachen für LCM( m, n).

Die Asymptotik für kann durch einige zahlentheoretische Funktionen ausgedrückt werden.

So, Tschebyscheff-Funktion. Und auch:

Dies folgt aus der Definition und den Eigenschaften der Landau-Funktion g(n).

Was folgt aus dem Verteilungsgesetz der Primzahlen.

Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM).

NOC( ein, b) kann auf verschiedene Arten berechnet werden:

1. Wenn der größte gemeinsame Teiler bekannt ist, können Sie seine Beziehung zum LCM verwenden:

2. Die kanonische Zerlegung beider Zahlen in Primfaktoren sei bekannt:

wo p 1 ,...,p k sind verschiedene Primzahlen, und d 1 ,...,d k und e 1 ,...,ek sind nicht negative ganze Zahlen (sie können Null sein, wenn die entsprechende Primzahl nicht in der Zerlegung enthalten ist).

Dann LCM ( a,b) wird nach folgender Formel berechnet:

Mit anderen Worten, die LCM-Entwicklung enthält alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlenentwicklungen enthalten sind ein, b, und der größte der beiden Exponenten dieses Faktors wird genommen.

Beispiel:

Die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen lässt sich auf mehrere aufeinanderfolgende Berechnungen des LCM zweier Zahlen reduzieren:

Regel. Um das LCM einer Reihe von Zahlen zu finden, benötigen Sie:

- Zahlen in Primfaktoren zerlegen;

- Übertragen Sie die größte Erweiterung auf die Faktoren des gewünschten Produkts (das Produkt der Faktoren der größten Anzahl der gegebenen), und fügen Sie dann Faktoren aus der Erweiterung anderer Zahlen hinzu, die nicht in der ersten Zahl vorkommen oder darin enthalten sind eine geringere Anzahl von Malen;

- Das resultierende Produkt der Primfaktoren ist das LCM der gegebenen Zahlen.

Zwei oder mehr natürliche Zahlen haben ihr eigenes LCM. Wenn die Zahlen keine Vielfachen voneinander sind oder in der Erweiterung nicht die gleichen Faktoren haben, dann ist ihr LCM gleich dem Produkt dieser Zahlen.

Die Primfaktoren der Zahl 28 (2, 2, 7) wurden mit einem Faktor 3 (der Zahl 21) ergänzt, das resultierende Produkt (84) ist die kleinste Zahl, die durch 21 und 28 teilbar ist.

Die Primfaktoren der größten Zahl 30 wurden mit einem Faktor 5 der Zahl 25 ergänzt, das resultierende Produkt 150 ist größer als die größte Zahl 30 und ist ohne Rest durch alle gegebenen Zahlen teilbar. Dies ist das kleinstmögliche Produkt (150, 250, 300...), von dem alle gegebenen Zahlen Vielfache sind.

Die Zahlen 2,3,11,37 sind Primzahlen, also ist ihr LCM gleich dem Produkt der gegebenen Zahlen.

Regel. Um das LCM von Primzahlen zu berechnen, müssen Sie alle diese Zahlen miteinander multiplizieren.

Andere Option:

Um das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) mehrerer Zahlen zu finden, benötigen Sie:

1) Stellen Sie jede Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren dar, zum Beispiel:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) Schreiben Sie die Potenzen aller Primfaktoren auf:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) Schreiben Sie alle Primteiler (Multiplikatoren) jeder dieser Zahlen auf;

4) wähle den größten Grad von jeder von ihnen, der in allen Erweiterungen dieser Zahlen gefunden wird;

5) multipliziere diese Kräfte.

Beispiel. Finden Sie das LCM der Zahlen: 168, 180 und 3024.

Entscheidung. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wir schreiben die größten Potenzen aller Primteiler aus und multiplizieren sie:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Aber viele natürliche Zahlen sind durch andere natürliche Zahlen ohne Rest teilbar.

zum Beispiel:

Die Zahl 12 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12;

Die Zahl 36 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36.

Die Zahlen, durch die die Zahl teilbar ist (bei 12 sind es 1, 2, 3, 4, 6 und 12), werden aufgerufen Zahlenteiler. Teiler einer natürlichen Zahl a ist die natürliche Zahl, die die gegebene Zahl teilt a ohne jede Spur. Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, wird aufgerufen zusammengesetzt .

Beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Teiler haben. Dies sind die Zahlen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12. Der gemeinsame Teiler dieser beiden Zahlen a und b ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar sind a und b.

gemeinsames Vielfaches mehrere Zahlen heißt die Zahl, die durch jede dieser Zahlen teilbar ist. zum Beispiel, die Zahlen 9, 18 und 45 haben ein gemeinsames Vielfaches von 180. Aber 90 und 360 sind auch ihre gemeinsamen Vielfachen. Unter allen gemeinsamen Vielfachen gibt es immer das kleinste, in diesem Fall ist es 90. Diese Zahl heißt am wenigstengemeinsames Vielfaches (LCM).

LCM ist immer eine natürliche Zahl, die größer sein muss als die größte der Zahlen, für die sie definiert ist.

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM). Eigenschaften.

Kommutativität:

Assoziativität:

Insbesondere wenn und teilerfremde Zahlen sind, dann gilt:

Kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier ganzer Zahlen m und n ein Teiler aller anderen gemeinsamen Vielfachen ist m und n. Außerdem die Menge der gemeinsamen Vielfachen m, n fällt mit der Menge der Vielfachen für LCM( m, n).

Die Asymptotik für kann durch einige zahlentheoretische Funktionen ausgedrückt werden.

So, Tschebyscheff-Funktion. Und auch:

Dies folgt aus der Definition und den Eigenschaften der Landau-Funktion g(n).

Was folgt aus dem Verteilungsgesetz der Primzahlen.

Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM).

NOC( ein, b) kann auf verschiedene Arten berechnet werden:

1. Wenn der größte gemeinsame Teiler bekannt ist, können Sie seine Beziehung zum LCM verwenden:

2. Die kanonische Zerlegung beider Zahlen in Primfaktoren sei bekannt:

wo p 1 ,...,p k sind verschiedene Primzahlen, und d 1 ,...,d k und e 1 ,...,ek sind nicht negative ganze Zahlen (sie können Null sein, wenn die entsprechende Primzahl nicht in der Zerlegung enthalten ist).

Dann LCM ( a,b) wird nach folgender Formel berechnet:

Mit anderen Worten, die LCM-Entwicklung enthält alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlenentwicklungen enthalten sind ein, b, und der größte der beiden Exponenten dieses Faktors wird genommen.

Beispiel:

Die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mehrerer Zahlen lässt sich auf mehrere aufeinanderfolgende Berechnungen des LCM zweier Zahlen reduzieren:

Regel. Um das LCM einer Reihe von Zahlen zu finden, benötigen Sie:

- Zahlen in Primfaktoren zerlegen;

- Übertragen Sie die größte Erweiterung auf die Faktoren des gewünschten Produkts (das Produkt der Faktoren der größten Anzahl der gegebenen), und fügen Sie dann Faktoren aus der Erweiterung anderer Zahlen hinzu, die nicht in der ersten Zahl vorkommen oder darin enthalten sind eine geringere Anzahl von Malen;

- Das resultierende Produkt der Primfaktoren ist das LCM der gegebenen Zahlen.

Zwei oder mehr natürliche Zahlen haben ihr eigenes LCM. Wenn die Zahlen keine Vielfachen voneinander sind oder in der Erweiterung nicht die gleichen Faktoren haben, dann ist ihr LCM gleich dem Produkt dieser Zahlen.

Die Primfaktoren der Zahl 28 (2, 2, 7) wurden mit einem Faktor 3 (der Zahl 21) ergänzt, das resultierende Produkt (84) ist die kleinste Zahl, die durch 21 und 28 teilbar ist.

Die Primfaktoren der größten Zahl 30 wurden mit einem Faktor 5 der Zahl 25 ergänzt, das resultierende Produkt 150 ist größer als die größte Zahl 30 und ist ohne Rest durch alle gegebenen Zahlen teilbar. Dies ist das kleinstmögliche Produkt (150, 250, 300...), von dem alle gegebenen Zahlen Vielfache sind.

Die Zahlen 2,3,11,37 sind Primzahlen, also ist ihr LCM gleich dem Produkt der gegebenen Zahlen.

Regel. Um das LCM von Primzahlen zu berechnen, müssen Sie alle diese Zahlen miteinander multiplizieren.

Andere Option:

Um das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) mehrerer Zahlen zu finden, benötigen Sie:

1) Stellen Sie jede Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren dar, zum Beispiel:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) Schreiben Sie die Potenzen aller Primfaktoren auf:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) Schreiben Sie alle Primteiler (Multiplikatoren) jeder dieser Zahlen auf;

4) wähle den größten Grad von jeder von ihnen, der in allen Erweiterungen dieser Zahlen gefunden wird;

5) multipliziere diese Kräfte.

Beispiel. Finden Sie das LCM der Zahlen: 168, 180 und 3024.

Entscheidung. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wir schreiben die größten Potenzen aller Primteiler aus und multiplizieren sie:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) und des größten gemeinsamen Teilers (ggT) natürlicher Zahlen.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Wir schreiben die in der Entwicklung der ersten dieser Zahlen enthaltenen Faktoren aus und ergänzen sie um den fehlenden Faktor 5 aus der Entwicklung der zweiten Zahl. Wir erhalten: 2*2*3*5*5=300. NOC gefunden, d.h. diese Summe = 300. Vergessen Sie nicht die Dimension und schreiben Sie die Antwort:
Antwort: Mama gibt jeweils 300 Rubel.

Definition von GCD: Größter gemeinsamer Teiler (ggT) natürliche Zahlen a und in Nennen Sie die größte natürliche Zahl c, wozu und a, und b ohne Rest geteilt. Jene. c ist die kleinste natürliche Zahl, für die und a und b sind Vielfache.

Erinnerung: Es gibt zwei Ansätze zur Definition natürlicher Zahlen

• Nummern verwendet in: Aufzählung (Nummerierung) von Elementen (erstes, zweites, drittes, ...); - in der Regel in Schulen.
• Angabe der Anzahl der Gegenstände (kein Pokemon - null, ein Pokemon, zwei Pokemon, ...).

Negative und nicht ganzzahlige (rationale, reelle, ...) Zahlen sind nicht natürlich. Einige Autoren nehmen die Null in die Menge der natürlichen Zahlen auf, andere nicht. Die Menge aller natürlichen Zahlen wird üblicherweise mit dem Symbol bezeichnet N

Erinnerung: Teiler einer natürlichen Zahl a ruf die nummer an b, zu welchem a ohne Rest geteilt. Vielfache der natürlichen Zahl b eine natürliche Zahl genannt a, die geteilt wird durch b ohne jede Spur. Wenn Zahl b- Zahlenteiler a, dann a mehrere von b. Beispiel: 2 ist ein Teiler von 4 und 4 ist ein Vielfaches von 2. 3 ist ein Teiler von 12 und 12 ist ein Vielfaches von 3.
Erinnerung: Natürliche Zahlen heißen Primzahlen, wenn sie nur durch sich selbst und durch 1 ohne Rest teilbar sind. Teilerfremde sind Zahlen, die nur einen gemeinsamen Teiler gleich 1 haben.

Definition, wie man den GCD im allgemeinen Fall findet: So finden Sie ggT (größter gemeinsamer Teiler) Es werden mehrere natürliche Zahlen benötigt:
1) Zerlege sie in Primfaktoren. (Die Primzahltabelle kann dabei sehr hilfreich sein.)
2) Schreiben Sie die Faktoren auf, die in der Erweiterung von einem von ihnen enthalten sind.
3) Löschen Sie diejenigen, die nicht in der Erweiterung der verbleibenden Zahlen enthalten sind.
4) Multiplizieren Sie die in Absatz 3) erhaltenen Faktoren.

Aufgabe 2 auf (NIO): Bis zum Jahreswechsel kaufte Kolya Puzatov 48 Hamster und 36 Kaffeekannen in der Stadt. Fekla Dormidontova bekam als ehrlichstes Mädchen der Klasse die Aufgabe, diesen Besitz in möglichst viele Geschenksets für Lehrer aufzuteilen. Wie hoch ist die Anzahl der Sets? Wie ist die Zusammensetzung der Sets?

Beispiel 2.1. Lösung des Problems, GCD zu finden. GCD durch Auswahl finden.
Entscheidung: Jede der Zahlen 48 und 36 muss durch die Anzahl der Geschenke teilbar sein.
1) Schreibe die Teiler 48 auf: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Schreibe die Teiler 36 auf: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Wähle den größten gemeinsamen Teiler. Op-la-la! Gefunden, das ist die Anzahl der Sätze von 12 Stück.
3) Teilen Sie 48 durch 12, wir erhalten 4, teilen Sie 36 durch 12, wir erhalten 3. Vergessen Sie die Dimension nicht und schreiben Sie die Antwort:
Antwort: Sie erhalten 12 Sets mit 4 Hamstern und 3 Kaffeekannen in jedem Set.

Ein Vielfaches einer Zahl ist eine Zahl, die ohne Rest durch eine gegebene Zahl teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) einer Zahlengruppe ist die kleinste Zahl, die durch jede Zahl in der Gruppe ohne Rest teilbar ist. Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen Sie die Primfaktoren der gegebenen Zahlen finden. LCM kann auch mit einer Reihe anderer Methoden berechnet werden, die auf Gruppen von zwei oder mehr Zahlen anwendbar sind.

Schritte

Eine Reihe von Vielfachen

Sehen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode wird am besten verwendet, wenn zwei Zahlen angegeben werden, die jeweils kleiner als 10 sind. Wenn große Zahlen angegeben werden, verwenden Sie eine andere Methode.

• Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 5 und 8. Dies sind kleine Zahlen, daher kann diese Methode verwendet werden.

1. Ein Vielfaches einer Zahl ist eine Zahl, die ohne Rest durch eine gegebene Zahl teilbar ist. Mehrere Zahlen finden Sie im Einmaleins.

   • Zahlen, die ein Vielfaches von 5 sind, sind beispielsweise: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Schreiben Sie eine Reihe von Zahlen auf, die Vielfache der ersten Zahl sind. Tun Sie dies unter Vielfachen der ersten Zahl, um zwei Zahlenreihen zu vergleichen.

   • Zahlen, die ein Vielfaches von 8 sind, sind beispielsweise: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 und 64.

3. Finden Sie die kleinste Zahl, die in beiden Reihen von Vielfachen vorkommt. Möglicherweise müssen Sie lange Reihen von Vielfachen schreiben, um die Gesamtsumme zu finden. Die kleinste Zahl, die in beiden Reihen von Vielfachen vorkommt, ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

   • Die kleinste Zahl, die in der Reihe der Vielfachen von 5 und 8 vorkommt, ist beispielsweise 40. Daher ist 40 das kleinste gemeinsame Vielfache von 5 und 8.

   Primfaktorzerlegung

   1. Sehen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode wird am besten verwendet, wenn zwei Zahlen angegeben werden, die beide größer als 10 sind. Wenn kleinere Zahlen angegeben werden, verwenden Sie eine andere Methode.

      • Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 20 und 84. Jede der Zahlen ist größer als 10, daher kann diese Methode verwendet werden.

   2. Faktorisiere die erste Zahl. Das heißt, Sie müssen solche Primzahlen finden, wenn Sie sie multiplizieren, erhalten Sie eine bestimmte Zahl. Nachdem Sie Primfaktoren gefunden haben, schreiben Sie sie als Gleichheit auf.

      • Zum Beispiel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) und 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Die Primfaktoren der Zahl 20 sind also die Zahlen 2, 2 und 5. Schreiben Sie sie als Ausdruck auf: .

   3. Zerlege die zweite Zahl in Primfaktoren. Gehen Sie dabei genauso vor, wie Sie die erste Zahl faktorisiert haben, d. h. finden Sie solche Primzahlen, die multipliziert diese Zahl ergeben.

      • Zum Beispiel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) und 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Die Primfaktoren der Zahl 84 sind also die Zahlen 2, 7, 3 und 2. Schreiben Sie sie als Ausdruck auf: .

   4. Schreiben Sie die Faktoren auf, die beiden Zahlen gemeinsam sind. Schreiben Sie solche Faktoren als Multiplikationsoperation. Wenn Sie jeden Faktor aufschreiben, streichen Sie ihn in beiden Ausdrücken durch (Ausdrücke, die die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren beschreiben).

      • Zum Beispiel ist der gemeinsame Faktor für beide Zahlen 2, also schreibe 2 × (\displaystyle 2\times) und streichen Sie die 2 in beiden Ausdrücken durch.
      • Der gemeinsame Faktor für beide Zahlen ist ein weiterer Faktor von 2, also schreibe 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) und streiche die zweite 2 in beiden Ausdrücken.

   5. Addiere die restlichen Faktoren zur Multiplikationsoperation. Dies sind Faktoren, die in beiden Ausdrücken nicht durchgestrichen sind, also Faktoren, die nicht beiden Zahlen gemeinsam sind.

      • Zum Beispiel im Ausdruck 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) beide Zweier (2) sind durchgestrichen, da es sich um gemeinsame Teiler handelt. Der Faktor 5 ist nicht durchgestrichen, also schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Im Ausdruck 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) beide Zweien (2) sind ebenfalls durchgestrichen. Die Faktoren 7 und 3 sind nicht durchgestrichen, also schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache. Multiplizieren Sie dazu die Zahlen in der schriftlichen Multiplikationsoperation.

      • Zum Beispiel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 84 ist also 420.

   Gemeinsame Teiler finden

   1. Zeichne ein Gitter wie bei einem Tic-Tac-Toe-Spiel. Ein solches Gitter besteht aus zwei parallelen Linien, die sich (im rechten Winkel) mit zwei anderen parallelen Linien schneiden. Dies führt zu drei Zeilen und drei Spalten (das Raster sieht dem #-Zeichen sehr ähnlich). Schreiben Sie die erste Zahl in die erste Reihe und zweite Spalte. Schreiben Sie die zweite Zahl in die erste Zeile und dritte Spalte.

      • Finde zum Beispiel das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30. Schreibe 18 in die erste Zeile und zweite Spalte und 30 in die erste Zeile und dritte Spalte.

   2. Finden Sie den Teiler, der beiden Zahlen gemeinsam ist. Notieren Sie es in der ersten Zeile und der ersten Spalte. Es ist besser, nach Primteilern zu suchen, aber das ist keine Voraussetzung.

      • Zum Beispiel sind 18 und 30 gerade Zahlen, also ist ihr gemeinsamer Teiler 2. Schreibe also 2 in die erste Zeile und erste Spalte.

   3. Teilen Sie jede Zahl durch den ersten Teiler. Schreiben Sie jeden Quotienten unter die entsprechende Zahl. Der Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen.

      • Zum Beispiel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), also schreibe 9 unter 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), also schreibe 15 unter 30.

   4. Finden Sie einen Teiler, der beiden Quotienten gemeinsam ist. Wenn es keinen solchen Divisor gibt, überspringen Sie die nächsten beiden Schritte. Schreibe andernfalls den Divisor in die zweite Zeile und die erste Spalte.

      • Zum Beispiel sind 9 und 15 durch 3 teilbar, also schreibe 3 in die zweite Zeile und erste Spalte.

   5. Teilen Sie jeden Quotienten durch den zweiten Teiler. Schreiben Sie jedes Divisionsergebnis unter den entsprechenden Quotienten.

      • Zum Beispiel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), also schreibe 3 unter 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), also schreibe 5 unter 15.

   6. Ergänzen Sie ggf. das Raster mit weiteren Zellen. Wiederholen Sie die obigen Schritte, bis die Quotienten einen gemeinsamen Teiler haben.

   7. Kreise die Zahlen in der ersten Spalte und der letzten Reihe des Rasters ein. Schreiben Sie dann die hervorgehobenen Zahlen als Multiplikationsoperation.

      • Zum Beispiel stehen die Zahlen 2 und 3 in der ersten Spalte und die Zahlen 3 und 5 in der letzten Reihe, also schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Finden Sie das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen. Dadurch wird das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden gegebenen Zahlen berechnet.

      • Zum Beispiel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30 ist also 90.

   Euklids Algorithmus

   1. Denken Sie an die mit der Divisionsoperation verbundene Terminologie. Der Dividend ist die Zahl, die geteilt wird. Der Divisor ist die Zahl, durch die geteilt werden soll. Der Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen. Der Rest ist die Zahl, die übrig bleibt, wenn zwei Zahlen geteilt werden.

      • Zum Beispiel im Ausdruck 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) sich ausruhen. 3:
        15 ist das Teilbare
        6 ist der Divisor
        2 ist privat
        3 ist der Rest.

Um zu verstehen, wie das LCM berechnet wird, sollten Sie zunächst die Bedeutung des Begriffs "Multiple" bestimmen.

Ein Vielfaches von A ist eine natürliche Zahl, die ohne Rest durch A teilbar ist, also können 15, 20, 25 usw. als Vielfache von 5 betrachtet werden.

Es kann eine begrenzte Anzahl von Teilern einer bestimmten Zahl geben, aber es gibt unendlich viele Vielfache.

Ein gemeinsames Vielfaches natürlicher Zahlen ist eine Zahl, die ohne Rest durch sie teilbar ist.

So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen

Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) von Zahlen (zwei, drei oder mehr) ist die kleinste natürliche Zahl, die durch alle diese Zahlen ohne Rest teilbar ist.

Um das NOC zu finden, können Sie mehrere Methoden verwenden.

Bei kleinen Zahlen ist es praktisch, alle Vielfachen dieser Zahlen in einer Zeile aufzuschreiben, bis es unter ihnen ein gemeinsames gibt. Vielfache werden im Protokoll mit einem Großbuchstaben K gekennzeichnet.

Vielfache von 4 können beispielsweise so geschrieben werden:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Sie können also sehen, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 4 und 6 die Zahl 24 ist. Diese Eingabe wird wie folgt durchgeführt:

LCM(4, 6) = 24

Wenn die Zahlen groß sind, finden Sie das gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen, dann ist es besser, eine andere Methode zur Berechnung des LCM zu verwenden.

Um die Aufgabe abzuschließen, ist es notwendig, die vorgeschlagenen Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen.

Zuerst müssen Sie die Erweiterung der größten Zahl in einer Zeile und darunter den Rest aufschreiben.

Bei der Erweiterung jeder Zahl kann es eine unterschiedliche Anzahl von Faktoren geben.

Lassen Sie uns zum Beispiel die Zahlen 50 und 20 in Primfaktoren zerlegen.

Bei der Entwicklung der kleineren Zahl sollte man die Faktoren, die bei der Entwicklung der ersten größten Zahl fehlen, unterstreichen und dann ergänzen. Im vorgestellten Beispiel fehlt eine Zwei.

Jetzt können wir das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 50 berechnen.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Somit ist das Produkt der Primfaktoren der größeren Zahl und der Faktoren der zweiten Zahl, die nicht in die Zerlegung der größeren Zahl einbezogen werden, das kleinste gemeinsame Vielfache.

Um das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, sollten alle wie im vorherigen Fall in Primfaktoren zerlegt werden.

Als Beispiel kannst du das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 16, 24, 36 finden.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Nur zwei Zweien aus der Zerlegung von sechzehn (eine ist in der Zerlegung von vierundzwanzig) gingen nicht in die Faktorisierung einer größeren Zahl ein.

Daher müssen sie zur Zerlegung einer größeren Zahl hinzugefügt werden.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Es gibt Sonderfälle bei der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Wenn also eine der Zahlen ohne Rest durch eine andere teilbar ist, dann ist die größere dieser Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache.

Zum Beispiel wären NOCs von zwölf und vierundzwanzig vierundzwanzig.

Wenn es notwendig ist, das kleinste gemeinsame Vielfache von teilerfremden Zahlen zu finden, die nicht dieselben Teiler haben, dann ist ihr LCM gleich ihrem Produkt.

Beispiel: LCM(10, 11) = 110.