Hauptsatz der Analysis

Hauptsatz der Analysis oder Newton-Leibniz-Formel gibt die Beziehung zwischen zwei Operationen an: Nehmen eines bestimmten Integrals und Berechnen der Stammfunktion

Wortlaut

Betrachten Sie das Integral der Funktion j = f(x) innerhalb einer konstanten Zahl a bis auf die Nummer x, die wir als variabel betrachten werden. Wir schreiben das Integral in folgender Form:

Diese Art von Integral wird als Integral mit variabler Obergrenze bezeichnet. Mit dem Mean-in-define-Integralsatz lässt sich leicht zeigen, dass eine gegebene Funktion stetig und differenzierbar ist. Und auch die Ableitung dieser Funktion im Punkt x ist gleich der integrierbaren Funktion selbst. Daraus folgt, dass jede stetige Funktion eine Stammfunktion in Form einer Quadratur hat: . Und da sich die Klasse der Stammfunktionen der Funktion f durch eine Konstante unterscheidet, ist es leicht zu zeigen, dass: das bestimmte Integral der Funktion f gleich der Differenz zwischen den Werten der Stammfunktionen an den Punkten b und a ist

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

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• 6174 (Nummer)

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Newton-Leibniz-Formel

Newton - Leibniz-Formel- Der Hauptsatz der Analyse oder die Newton-Leibniz-Formel gibt die Beziehung zwischen zwei Operationen an: Nehmen eines bestimmten Integrals und Berechnen der Stammfunktion. Formulierung Betrachten Sie das Integral der Funktion y \u003d f (x) im Bereich von einer konstanten Zahl a bis .. ... Wikipedia

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Einmal fuhren mein Vater und ich mit dem Auto weit weg. Und das ist ein guter Grund für ein kluges Gespräch.

Wir sprechen von den "Grundsätzen". Der grundlegende Satz der Arithmetik besagt, dass jede ganze Zahl in ein Produkt von Primzahlen zerlegt werden kann, und zwar auf eindeutige Weise. Der grundlegende Satz der Algebra besagt, dass ein Polynom so viele Wurzeln hat wie sein Grad (obwohl es mit den Formulierungen die Hölle gibt). Und dann ist mir der Hauptsatz der Analysis irgendwie aus dem Kopf geflogen.

Vater schlug vor, dass das grundlegende Theorem der Analysis das Newton-Leibniz-Theorem sei. "Um was geht es hierbei?" Ich habe gefragt. Vater: „Ich erinnere mich nicht an den genauen Wortlaut, aber etwas darüber, dass Integration eine Operation ist, die der Differenzierung entgegengesetzt ist.“

Warten Sie, ist das nicht per Definition?

Wie immer bei diesen fundamentalen Theoremen scheint das, was sie sagen, offensichtlich zu sein, nachdem Sie es bereits durchgegangen sind. Tatsächlich ist es jedoch der Hauptsatz, der es uns erlaubt, Integration und Differentiation als Umkehroperationen zu betrachten. Zutiefst antiwissenschaftliches Denken wird noch weiter gehen, wo jeder Mathematiker 100500 formale Fehler finden wird, aber das ist jetzt nicht wichtig.

Was ist Differenzierung? Dies ist, wenn wir an jedem Punkt der Funktion eine Tangente zeichnen und die Tangente des Winkels finden, in dem sie zum Horizont verläuft, wie folgt:

Ordnet man nun jedem Punkt die gefundene Tangente zu, so erhält man eine neue Funktion, die Ableitung genannt wird. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Nummer e dass die Ableitung der Funktion Ex entspricht Ex, das heißt, an jedem Punkt ist der Tangens des Winkels gerade gleich dem Wert der Funktion selbst.

Was ist Integration? Dies ist das Auffinden der Fläche einer Figur unter der Kurve einer Funktion, die durch einige vertikale Grenzen begrenzt ist a und b und die horizontale Achse:

Wenn Sie durch eine zunehmende Anzahl von Rechtecken teilen und die Grenze der Summe der Flächen betrachten, erhalten Sie nur die Fläche dieser Zahl. Dieser Bereich wird das bestimmte Integral der Funktion genannt j = f(x) auf dem Segment [ a; b] und ist so gekennzeichnet:

Ehrlich gesagt ist es überhaupt nicht offensichtlich, dass der Bullshit über Winkel und der Bullshit über die Fläche im Allgemeinen irgendwie zusammenhängen.

Und so sind sie verbunden. Die umgekehrte Ableitung einer Funktion heißt Stammfunktion. Stammfunktion von f(x) ist so eine Funktion g(x) dass seine Ableitung g´(x) = f(x). Zum Beispiel die Funktion j = x 2 + 8 Ableitung j = 2x. Also zur Funktion j = x Funktion j = (x 2 / 2) + 4 ist Stammfunktion.

Es ist leicht zu sehen, dass es unendlich viele solcher Funktionen gibt. Zum Beispiel die Ableitung der Funktion j = x 2 + 28 ist auch j = 2x. Also zur Funktion j = x Funktion ( x 2 / 2) + 14 ist auch eine Stammfunktion. Das ist logisch, weil die Ableitung der Winkel an jedem Punkt ist, und es ist natürlich, dass sie sich nicht in Abhängigkeit von der Höhe ändert, auf die wir den gesamten Graphen der Funktion als Ganzes vertikal anheben. Also zur Funktion x primitiv ist x 2 / 2 plus so viel wie du willst.

Es stellt sich also heraus, den Bereich der Figur unter der Funktion zu finden j = f(x) von a Vor b, müssen Sie die Werte eines seiner Stammfunktionen nehmen g(x) an Punkten b und a und voneinander abziehen:

Hier g- Obwohl alle, aber immer noch eine Art Primitiv, daher "so viele Sie möchten" gleich sind, werden sie voneinander subtrahiert und haben keinen Einfluss auf das Ergebnis. Sie können eine einfache Funktion wie z j = 2x, wo die Fläche ohne Integrale leicht im Kopf zu berechnen und zu überprüfen ist. Funktioniert!

Diese Formel wird als Fundamentalsatz der Analysis oder Newton-Leibniz-Theorem bezeichnet. Ist sie bewiesen, so können wir die Feststellung der Stammfunktion bereits Integration nennen und Differenzieren und Integrieren allgemein als wechselseitige Umkehroperationen behandeln.

§ 5. Hauptsatz der Analysis

1. Hauptsatz. Das Konzept der Integration und bis zu einem gewissen Grad auch der Differenzierung war vor den Arbeiten von Newton und Leibniz gut entwickelt. Aber es war absolut notwendig, eine sehr einfache Entdeckung zu machen, um der enormen Entwicklung der neu geschaffenen mathematischen Analyse einen Impuls zu geben. Zwei scheinbar nicht zusammenhängende Begrenzungsprozesse, der eine zur Differenzierung, der andere zur Integration von Funktionen, erwiesen sich als eng miteinander verwandt. Tatsächlich sind sie gegenseitig

				umgekehrte Operationen,
				gut für Operationen wie
				Addition und Subtraktion, intelligent
				Schneiden und Teilen. Unterschied-
				sozial und ganzheitlich
				Zahlen sind
				etwas Einheitliches.
				Die große Leistung von New
				Ton und Leibniz ist
				darin zum ersten Mal sie
Reis. 274. Int als Funktion gespielt oben				aber verstanden und verwendet
				dieses Haupttheorem der Analysis
				hinter. Ohne Zweifel sind sie offen

Krawatte legen n aber der direkte Weg ist wissenschaftliche Entwicklung, und keineswegs überraschend Bemerkenswert, der Unterschied Diese Personen kamen unabhängig voneinander und fast gleichzeitig zu einem klaren Verständnis der oben genannten Umstände.

Um den Hauptsatz präzise zu formulieren, betrachten wir das Integral der Funktion y = f(x) im Bereich von einer konstanten Zahl a bis zu einer Zahl x, die wir als variabel betrachten. Um die obere Integrationsgrenze x nicht mit der unter dem Integralzeichen erscheinenden Variablen zu verwechseln, schreiben wir das Integral in folgender Form (siehe Seite 428):

F(x)=Z

Damit demonstrieren wir unsere Absicht, das Integral als Funktion F(x) seiner Obergrenze zu untersuchen (Abb. 274). Diese Funktion F (x) ist die Fläche unter der Kurve y = f(u) vom Punkt u = a bis zum Punkt u = x. Manchmal wird das Integral F(x) mit variabler Obergrenze als "unbestimmtes Integral" bezeichnet.

Der Hauptsatz der Analysis lautet wie folgt:

Die Ableitung des unbestimmten Integrals (1) nach seiner Obergrenze x ist gleich dem Wert der Funktion f(u) an der Stelle u = x:

F0 (x) = f(x).

HAUPTSATZ DER ANALYSE

Mit anderen Worten, der Integrationsprozess, der von der Funktion f(x) zu der Funktion F(x) führt, wird durch den umgekehrten Differentiationsprozess, der auf die Funktion F(x) angewendet wird, "zerstört".

Auf intuitiver Basis ist der Beweis dieses Satzes nicht schwierig. Sie basiert auf der Interpretation des Integrals F(x) als Fläche und würde unverständlich werden, wenn wir versuchen würden, die Funktion F(x) zu zeichnen und die Ableitung F0(x) als entsprechende Steigung zu interpretieren. Abgesehen von der zuvor etablierten geometrischen Interpretation der Ableitung behalten wir die geometrische Interpretation des Integrals F (x) als Fläche bei und werden zu einer analytischen Methode zur Ableitung der Funktion F (x). Unterschied

F (x1 ) − F (x)

ist einfach die Fläche unter der Kurve y = f(u) zwischen den Grenzen u = x1 und u = x (Abb. 275), und es ist leicht zu verstehen, dass der Zahlenwert dieser Fläche zwischen den Zahlen (x1 − x )m und (x1 − x)M:

(x1 − x)m 6 F (x1 ) − F (x) 6 (x1 − x)M,

wobei M und m jeweils die größten und kleinsten Werte der Funktion f(u) im Intervall von u = x bis u = x1 sind. Tatsächlich geben diese Produkte die Flächen zweier Rechtecke an, von denen eines den betrachteten krummlinigen Bereich enthält und das andere darin enthalten ist.

Reis. 275. Über den Beweis des Hauptsatzes

dies impliziert

m 6 F (x1 ) − F (x) 6 M. x1 − x

Nehmen wir an, die Funktion f(u) sei stetig, so dass, wenn x1 gegen x strebt, beide Größen M und m an der Stelle u = x gegen den Wert der Funktion f(u) streben, also gegen den Wert von f(x). In diesem Fall kann man überlegen

468 MATHEMATISCHE ANALYSE Kap. VIII

das bewiesen
F 0 (x) = lim	F (x1 ) − F (x)
x1→x	x1 − x

Die intuitive Bedeutung dieses Ergebnisses ist, dass die Änderungsrate der Fläche unter der Kurve y = f(x) mit zunehmender Größe gleich der Höhe der Kurve bei x ist.

In einigen Handbüchern wird der Inhalt dieses Hauptsatzes aufgrund einer schlecht gewählten Terminologie undeutlich gemacht. Viele Autoren führen nämlich zuerst den Begriff der Ableitung ein und definieren dann das "unbestimmte Integral" einfach als Ergebnis der Umkehroperation bezüglich der Differentiation: Sie sagen, die Funktion G(x) sei ein unbestimmtes Integral der Funktion f (x) wenn

G0 (x) = f(x).

Somit verbindet diese Darstellungsweise die Differenzierung direkt mit dem Wort „integral“. Erst später wird der Begriff „bestimmtes Integral“ eingeführt, als Fläche oder als Grenze einer Summenfolge behandelt und nicht genügend betont, dass das Wort „Integral“ jetzt etwas ganz anderes bedeutet als früher. Und jetzt stellt sich heraus, dass das Wichtigste, was in der Theorie enthalten ist, nur heimlich erworben wird - durch die Hintertür, und der Student stößt bei seinen Bemühungen, das Wesentliche der Sache zu verstehen, auf ernsthafte Schwierigkeiten. Wir nennen lieber Funktionen G(x), für die G0 (x) = f(x) keine „unbestimmten Integrale“, sondern Stammfunktionen der Funktion f(x). Dann lässt sich der Hauptsatz wie folgt formulieren:

Die Funktion F (x), die ein Integral der Funktion f(x) mit einer konstanten unteren und einer variablen oberen Grenze x ist, ist eine der Stammfunktionen der Funktion f(x).

Wir sagen „eine der“ Stammfunktionen, weil, wenn G(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, sofort klar ist, dass jede Funktion der Form H(x) = G(x) + c (c - beliebige Konstante) ist ebenfalls eine Stammfunktion, da H0 (x) = G0 (x). Auch die Umkehrung gilt. Zwei Stammfunktionen G(x)

und H(x) können sich nur durch einen konstanten Term voneinander unterscheiden. Tatsächlich hat die Differenz U(x) = G(x) − H(x) U0 (x) = G0 (x) − H0 (x) = f(x) − f(x) = 0 als Ableitung, d.h. , Das heißt, diese Differenz ist konstant, da es offensichtlich ist, dass, wenn der Graph einer Funktion an jedem ihrer Punkte horizontal ist, die Funktion selbst, repräsentiert durch den Graphen, sicherlich konstant sein muss.

Dies führt zu einer sehr wichtigen Regel zur Berechnung des Integrals zwischen a und b – vorausgesetzt, wir kennen eine Stammfunktion G(x) der Funktion f(x). Nach unserer Hauptsache

HAUPTSATZ DER ANALYSE

Satz, Funktion

es gibt auch eine Stammfunktion der Funktion f(x). Also F(x) =

G(x) + c, wobei c eine Konstante ist. Der Wert dieser Konstante wird ermittelt,

wenn wir berücksichtigen, dass F (a) = f(u) du = 0. Daraus folgt:

0 = G(a) + c, also c = −G(a). Dann erfüllt das bestimmte Integral zwischen a und x identisch die Gleichheit

F (x) = f(u) du = G(x) − G(a);

Ersetzen von x durch b führt zur Formel

f(u) du = G(b) − G(a),

unabhängig davon, welche Stammfunktion "gestartet" wurde. Mit anderen Worten: einen bestimmten In-

Integral f(x) dx, es genügt, eine Funktion G(x) zu finden, für die

Schwarm G0 (x) = f(x), und bilde dann die Differenz G(b) − G(a).

2. Erste Anwendungen. Integration der Funktionen xr , cos x, sin x. arctg x-Funktion. Hier ist es unmöglich, eine erschöpfende Vorstellung von der Rolle des Hauptsatzes zu geben, und wir beschränken uns auf einige aussagekräftige Beispiele. Bei Problemen in der Mechanik und Physik oder in der Mathematik selbst ist es sehr oft notwendig, den Zahlenwert eines bestimmten Integrals zu berechnen. Ein direkter Versuch, das Integral als Grenzwert zu finden, kann unüberwindbar schwierig sein. Andererseits ist, wie wir in § 3 gesehen haben, jede Differentiation relativ einfach durchzuführen, und es ist nicht schwierig, eine sehr große Zahl von Differentiationsformeln anzusammeln. Jede solche Formel G0 (x) = f(x) kann umgekehrt als eine Formel betrachtet werden, die die Stammfunktion G(x) der Funktion f(x) definiert.

Formel (3) ermöglicht die Verwendung der bekannten Stammfunktion zur Berechnung des Integrals der Funktion f(x) in einem gegebenen Intervall.

Will man zum Beispiel Integrale von Potenzen x2, x3 oder allgemein xn finden, so geht man am einfachsten wie in § 1 angegeben vor. Nach der Potenzableitungsformel ist die Ableitung von xn gleich nxn−1,

470 MATHEMATISCHE ANALYSE Kap. VIII

also die Ableitung der Funktion

G(x) = nx
	1 (n 6 = -1)

es gibt eine funktion

G0 (x) = n n + + 1 1 xn = xn .

xn+1

In diesem Fall ist die Funktion n + 1 die Stammfunktion

bezüglich der Funktion f(x) = xn , und daher erhalten wir sofort die Formel

x n dx = G(b) − G(a) = b n+1 − ein n+1 . n + 1

Dieses Argument ist ungleich einfacher als das umständliche Verfahren, das Integral direkt als Grenzwert der Summe zu berechnen.

Als allgemeineren Fall haben wir in § 3 festgestellt, dass für jedes rationale s, sowohl positiv als auch negativ, die Ableitung der Funktion xs gleich sxs−1 ist und daher für s = r + 1 die Funktion

xr+1

hat eine Ableitung f(x) = G0 (x) = xr (wir nehmen an, dass r 6= −1,

xr+1

d.h. das ist 6= 0). Die Funktion r + 1 ist also die Stammfunktion, oder

"unbestimmtes Integral" von xr , und wir erhalten (für positives a und b und für r 6= −1) die Formel

xr dx =	b r+1 − ein r+1

In Formel (4) muss man davon ausgehen, dass die Funktion xr unter dem Integral definiert und stetig im Integrationsintervall ist, also muss der Punkt x = 0 ausgeschlossen werden, wenn r< 0. Вот потому мы и вынуждены допустить, что в этом случае a и b положительны.

Setzen wir G(x) = − cos x, so erhalten wir G0 (x) = sin x, und damit entsteht die Beziehung

sin xdx = -(cos a - cos 0) = 1 - cos a.

Ebenso, wenn G(x) = sin x, dann G0 (x) = cos x, und daher

cos xdx \u003d Sünde a - Sünde 0 \u003d Sünde a.

§ 5 HAUPTSATZ DER ANALYSE 471

Ein besonders interessantes Ergebnis ergibt sich aus der Formel zum Ableiten der Funktion arctg x:

	Da die Funktion arctg x Stammfunktion bezüglich der Funktion ist
							1+x2

dann können wir basierend auf Formel (3) schreiben

arctan b − arctan 0 = Z 0	1 + x2dx.

Aber arctan 0 = 0 (ein Nullwert der Tangente entspricht einem Nullwert des Winkels). Also haben wir

arctg b = Z 0

1+x2

Insbesondere,

Bedeutung

Tangente,

1, übereinstimmen

bei 45◦, was im Bogenmaß entspricht

setzt p. Also wir

wir bekommen

wunderbar

1 + x2dx.

zeigt an

welcher Bereich

Plan

1 + x 2 im Bereich von x = 0 bis x =

1 entspricht einem Viertel der Fläche der Einheit

276. Bereich unter dem Cree

kein Kreis.

innerhalb

3. Formel

Leibniz

1+x2

führt

für P . Letztes Ergebnis

von den schönsten

mathematische Formeln, die im 17. Jahrhundert entdeckt wurden - zu einer Vorzeichenvariablen

zur Leibniz-Reihe, die die Berechnung von p ermöglicht:

4 p = 1 1 − 3 1 + 5 1 − 7 1 + 9 1 − 11 1 + . . .

+ Symbol. . . ist in dem Sinne zu verstehen, dass die Folge von endlichen "Teilsummen" erhalten wird, wenn die rechte Seite der

von Gleichheiten, nur n Terme der Summe genommen werden, strebt gegen den Grenzwert p an

unbegrenzte Steigerung von n.

MATHEMATISCHE ANALYSE

Um diese bemerkenswerte Formel zu beweisen, brauchen wir uns nur an die Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Folge zu erinnern

1 − qn = 1 + q + q2 + . . . + qn−1 ,

wobei der "Restterm" Rn durch die Formel ausgedrückt wird

Rn = (−1)n x 2n 2 .

Gleichheit (8) kann im Bereich von 0 bis 1 integriert werden. Nach Regel a) aus § 3 müssen wir die Summe der Integrale der einzelnen Terme auf der rechten Seite bilden. Aufgrund von (4) wissen wir das

xm dx =

bm+1

− am+1

insbesondere bekommen wir

xm dx =

von wo, nach

1+x2

1 − 3 +

Und folglich,

− 7

+ . . . + (−1)n−1

2n − 1 + Tn ,

pR0

1+x2

Tn = (

Gemäß Formel (5) ist die linke Seite des Formulars

ly (9 ) ist

Unterschied zwischen

und Privatsumme

(−1)n−1

Sn = 1 -

− Sn = Tn . Es bleibt zu beweisen, dass Tn gegen Null strebt

zunehmend n. Wir haben eine Ungleichheit

x 2n 6 x2n .

1+x2

Unter Hinweis auf die Formel (13) § 1, die die Ungleichung festlegt

f(x) dx 6 g(x) dx für f(x) 6 g(x) und a< b,

Das Konzept der Integration und bis zu einem gewissen Grad auch der Differenzierung war vor den Arbeiten von Newton und Leibniz gut entwickelt. Aber es war absolut notwendig, eine sehr einfache Entdeckung zu machen, um der enormen Entwicklung der neu geschaffenen mathematischen Analyse einen Impuls zu geben. Zwei scheinbar nicht zusammenhängende Begrenzungsprozesse, der eine zur Differenzierung, der andere zur Integration von Funktionen, erwiesen sich als eng miteinander verwandt. Tatsächlich sind sie gegenseitig umgekehrte Operationen, wie solche Operationen wie Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division. Differential- und Integralrechnung sind eine Sache.

Die große Leistung von Newton und Leibniz besteht darin, dass sie dieses grundlegende Theorem der Analysis zum ersten Mal klar erkannt und verwendet haben. Zweifellos lag ihre Entdeckung auf dem direkten Weg der naturwissenschaftlichen Entwicklung, und es ist überhaupt nicht verwunderlich, dass verschiedene Personen unabhängig voneinander und fast gleichzeitig zu einem klaren Verständnis des obigen Sachverhalts gelangten.

Reis. 274. Integral als Funktion der Obergrenze

Um den Hauptsatz präzise zu formulieren, betrachten wir das Integral einer Funktion, die von einer konstanten Zahl a bis zu einer Zahl x reicht, die wir als variabel betrachten werden. Um die obere Integrationsgrenze x nicht mit der unter dem Integralzeichen erscheinenden Variablen zu verwechseln, schreiben wir das Integral in folgender Form (s. S. 459):

Damit demonstrieren wir unsere Absicht, das Integral als Funktion seiner oberen Grenze zu untersuchen (Abb. 274). Diese Funktion stellt die Fläche unter der Kurve von Punkt zu Punkt dar. Manchmal wird ein Integral mit variabler Obergrenze als "unbestimmtes Integral" bezeichnet.

Der Hauptsatz der Analysis lautet wie folgt: Die Ableitung des unbestimmten Integrals (1) nach seiner oberen Grenze x ist gleich dem Wert der Funktion an der Stelle

Mit anderen Worten, der Integrationsprozess, der von Funktion zu Funktion führt, wird durch den umgekehrten Prozess der Differentiation, der auf die Funktion angewendet wird, „zerstört“.

Reis. 275. Über den Beweis des Hauptsatzes

Auf intuitiver Basis ist der Beweis dieses Satzes nicht schwierig. Sie basiert auf der Interpretation des Integrals als Fläche und würde unverständlich werden, wenn wir versuchen würden, die Funktion zu zeichnen und die Ableitung als entsprechende Steigung zu interpretieren. Abgesehen von der zuvor etablierten geometrischen Interpretation der Ableitung behalten wir die geometrische Interpretation des Integrals als Fläche bei und werden zu einer analytischen Methode zum Ableiten einer Funktion. Unterschied

es gibt einfach die Fläche unter der Kurve zwischen den Grenzen (Abb. 275), und es ist nicht schwer zu verstehen, dass der numerische Wert dieser Fläche zwischen den Zahlen eingeschlossen ist

wo sind (bzw. die größten und kleinsten Werte der Funktion im Intervall von bis) Tatsächlich geben diese Produkte die Flächen zweier Rechtecke an, von denen eines den betrachteten krummlinigen Bereich enthält und der andere darin enthalten ist.

Dies impliziert:

Nehmen wir an, die Funktion sei stetig, sodass beide Größen gegen den Wert der Funktion streben

am Punkt , d.h. zum Wert In diesem Fall können wir es als bewiesen betrachten

Die intuitive Bedeutung dieses Ergebnisses ist, dass die Änderungsrate der Fläche unter der Kurve mit zunehmender Größe gleich der Höhe der Kurve bei x ist.

In einigen Handbüchern wird der Inhalt dieses Hauptsatzes aufgrund einer schlecht gewählten Terminologie undeutlich gemacht. Viele Autoren führen nämlich zuerst das Konzept einer Ableitung ein und definieren dann das "unbestimmte Integral" einfach als das Ergebnis der Operation, die umgekehrt zur Differenzierung ist: Sie sagen, dass eine Funktion ein unbestimmtes Integral einer Funktion ist, wenn

Somit verbindet diese Darstellungsweise die Differenzierung direkt mit dem Wort „integral“. Erst später wird der Begriff „bestimmtes Integral“ eingeführt, als Fläche oder als Grenze einer Summenfolge behandelt und nicht genügend betont, dass das Wort „Integral“ jetzt etwas ganz anderes bedeutet als früher. Und jetzt stellt sich heraus, dass das Wichtigste, was in der Theorie enthalten ist, nur heimlich erworben wird - durch die Hintertür, und der Student stößt bei seinen Bemühungen, das Wesentliche der Sache zu verstehen, auf ernsthafte Schwierigkeiten. Wir bevorzugen Funktionen, für die wir nicht „unbestimmte Integrale“, sondern Stammfunktionen einer Funktion nennen, dann lässt sich der Hauptsatz wie folgt formulieren:

Eine Funktion, die ein Integral einer Funktion mit einer konstanten unteren und einer variablen oberen Grenze x ist, ist eine der Stammfunktionen der Funktion

Wir sagen „eine der“ Stammfunktionen, weil wenn eine Stammfunktion von ist, sofort klar ist, dass jede Funktion der Form (c ist eine beliebige Konstante) auch eine Stammfunktion ist, da auch die umgekehrte Aussage gilt. Zwei Stammfunktionen können sich nur durch einen konstanten Term voneinander unterscheiden. Tatsächlich hat die Differenz als Ableitung, d.h. dieser Unterschied ist konstant, da es offensichtlich ist, dass wenn der Funktionsgraph in jedem

Das Konzept der Integration und bis zu einem gewissen Grad auch der Differenzierung war vor den Arbeiten von Newton und Leibniz gut entwickelt. Aber es war absolut notwendig, eine sehr einfache Entdeckung zu machen, um der enormen Entwicklung der neu geschaffenen mathematischen Analyse einen Impuls zu geben. Zwei scheinbar nicht zusammenhängende Begrenzungsprozesse, der eine zur Differenzierung, der andere zur Integration von Funktionen, erwiesen sich als eng miteinander verwandt. Tatsächlich sind sie gegenseitig umgekehrte Operationen, wie solche Operationen wie Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division. Differential- und Integralrechnung sind eine Sache.

Die große Leistung von Newton und Leibniz besteht darin, dass sie dies zum ersten Mal klar erkannt und genutzt haben der Hauptsatz der Analysis. Zweifellos lag ihre Entdeckung auf dem direkten Weg der naturwissenschaftlichen Entwicklung, und es ist überhaupt nicht verwunderlich, dass verschiedene Personen unabhängig voneinander und fast gleichzeitig zu einem klaren Verständnis des obigen Sachverhalts gelangten.

Um den Hauptsatz exakt zu formulieren, betrachten wir das Integral der Funktion y=f(x) von einer konstanten Zahl a bis zu einer Zahl x, die wir als variabel betrachten werden. Um die obere Integrationsgrenze x nicht mit der unter dem Integralzeichen erscheinenden Variablen zu verwechseln, schreiben wir das Integral in folgender Form (s. S. 435):

Damit demonstrieren wir unsere Absicht, das Integral als Funktion von F(x) seiner oberen Grenze zu untersuchen (Abb. 274). Diese Funktion F(x) ist die Fläche unter der Kurve y=f(u) von diesem Punkt u = ein auf den Punkt u=x. Manchmal wird das Integral F(x) mit variabler Obergrenze als "unbestimmtes Integral" bezeichnet.

Der Hauptsatz der Analysis lautet wie folgt: Die Ableitung des unbestimmten Integrals (1) nach seiner Obergrenze x ist gleich dem Wert der Funktion f (u) an der Stelle u = x:

F "(x) \u003d f (x).

Mit anderen Worten, der Integrationsprozess, der von der Funktion f(x) zu der Funktion F(x) führt, wird durch den umgekehrten Differentiationsprozess, der auf die Funktion F(x) angewendet wird, "zerstört".

Auf intuitiver Basis ist der Beweis dieses Satzes nicht schwierig. Es basiert auf der Interpretation des Integrals F(x) als Fläche und würde unverständlich werden, wenn wir versuchen würden, die Funktion F(x) zu zeichnen und die Ableitung F"(x) als die entsprechende Steigung zu interpretieren. Abgesehen vom Vorhergehenden etablierte geometrische Interpretation der Ableitung , werden wir die geometrische Interpretation des Integrals F (x) als Fläche beibehalten und die Funktion F (x) differenzieren wird zu einer analytischen Methode.

F (x 1) - F (x)

ist nur die Fläche unter der Kurve y=f(u) zwischen Grenzen u = x 1 und u=x(Abb. 275), und es ist leicht zu verstehen, dass der Zahlenwert dieser Fläche zwischen den Zahlen eingeschlossen ist (x 1 - x) m und (x 1 - x) M:

(x 1 - x)m ≤ F (x 1) - F (x) ≤ (x 1 - x) M,

wobei M und m jeweils die größten und kleinsten Werte der Funktion f (u) im Intervall von u = x bis u = x 1 sind. Tatsächlich geben diese Produkte die Flächen zweier Rechtecke an, von denen eines den betrachteten krummlinigen Bereich enthält und das andere darin enthalten ist.

Dies impliziert:

Angenommen, die Funktion f (u) ist stetig, sodass, wenn x 1 zu x tendiert, beide Größen M und m zum Wert der Funktion f (u) am Punkt u \u003d x tendieren, d. h. zum Wert von f(x). In diesem Fall kann dies als erwiesen angesehen werden

Die intuitive Bedeutung dieses Ergebnisses ist, dass mit zunehmender Änderungsrate der Fläche unter der Kurve y=f(x) gleich der Höhe der Kurve bei x.

In einigen Handbüchern wird der Inhalt dieses Hauptsatzes durch schlecht gewählte Terminologie verdeckt. Viele Autoren führen nämlich zuerst den Begriff einer Ableitung ein und definieren dann das "unbestimmte Integral" einfach als das Ergebnis der Operation, die der Differenzierung entgegengesetzt ist: Sie sagen, dass die Funktion G (x) ein unbestimmtes Integral der Funktion f (x ) Wenn

G"(x) = f(x).

Somit verbindet diese Darstellungsweise die Differenzierung direkt mit dem Wort „integral“. Erst später wird der Begriff „bestimmtes Integral“ eingeführt, als Fläche oder als Grenze einer Summenfolge behandelt und nicht genügend betont, dass das Wort „Integral“ jetzt etwas ganz anderes bedeutet als früher. Und nun stellt sich heraus, dass das Wichtigste, was in der Theorie enthalten ist, nur heimlich durch die Hintertür erworben wird und der Student bei seinen Bemühungen, das Wesentliche der Sache zu verstehen, auf ernsthafte Schwierigkeiten stößt. Wir bevorzugen Funktionen G(x), für die G "(x) \u003d f (x), nicht "unbestimmte Integrale" nennen, sondern Stammfunktionen aus der Funktion f(x). Dann lässt sich der Hauptsatz wie folgt formulieren:

Die Funktion F (x), die das Integral der Funktion f (x) mit konstanter unterer und variabler oberer Grenze x ist, ist eine der Stammfunktionen der Funktion f (x).

Wir sagen „eine“ der Stammfunktionen, weil, wenn G(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, sofort klar ist, dass jede Funktion der Form H(x) = G(x) + c(c ist eine beliebige Konstante) ist auch eine Stammfunktion, da H "(x) = G" (x). Auch die Umkehrung gilt. Die beiden Stammfunktionen G(x) und H(x) können sich nur durch einen konstanten Term voneinander unterscheiden. In der Tat, der Unterschied U(x) = G(x) - H(x) hat als Derivat U "(x) \u003d G" (x) - H "(x) \u003d f (x) - f (x) \u003d 0, d.h. diese Differenz ist konstant, denn es ist offensichtlich, dass, wenn der Graph einer Funktion an jedem ihrer Punkte horizontal ist, die Funktion selbst, repräsentiert durch den Graphen, sicherlich konstant sein muss.