Reale Nummern. Approximation reeller Zahlen durch endliche Dezimalbrüche.

Eine reelle oder reelle Zahl ist eine mathematische Abstraktion, die aus der Notwendigkeit entstanden ist, die geometrischen und physikalischen Größen der Welt um uns herum zu messen und Operationen wie das Ziehen einer Wurzel, das Berechnen von Logarithmen und das Lösen algebraischer Gleichungen durchzuführen. Wenn beim Zählen natürliche Zahlen entstanden sind, rationale Zahlen - aus der Notwendigkeit, mit Teilen eines Ganzen zu operieren, dann sind reelle Zahlen zur Messung kontinuierlicher Größen gedacht. So hat die Erweiterung des betrachteten Zahlenvorrats zu der Menge der reellen Zahlen geführt, die neben den rationalen Zahlen auch andere sogenannte Elemente enthält irrationale Zahlen .

Absoluter Fehler und seine Grenze.

Angenommen, es gibt einen numerischen Wert, und der ihm zugewiesene numerische Wert wird als genau angesehen, dann unter der Fehler des ungefähren Werts des numerischen Werts (Fehler) verstehen den Unterschied zwischen dem genauen und ungefähren Wert eines Zahlenwerts: . Der Fehler kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Der Wert wird aufgerufen bekannte Annäherung auf den genauen Wert eines numerischen Werts - jede Zahl, die anstelle des genauen Werts verwendet wird. Das einfachste quantitative Fehlermaß ist der absolute Fehler. Absoluter Fehler Annäherungswert heißt der Wert, über den bekannt ist: Relativer Fehler und seine Grenze.

Die Qualität der Annäherung hängt wesentlich von den akzeptierten Maßeinheiten und Größenskalen ab, daher ist es ratsam, den Fehler einer Größe und ihren Wert zu korrelieren, wofür das Konzept des relativen Fehlers eingeführt wird. Relativer Fehler Als ungefährer Wert wird ein Wert bezeichnet, von dem bekannt ist, dass: . Der relative Fehler wird oft in Prozent ausgedrückt. Die Verwendung von relativen Fehlern ist insbesondere deshalb praktisch, weil sie nicht von Mengenskalen und Maßeinheiten abhängen.

Irrationale Gleichungen

Eine Gleichung, in der eine Variable unter dem Vorzeichen der Wurzel enthalten ist, heißt irrational. Beim Lösen irrationaler Gleichungen müssen die erhaltenen Lösungen überprüft werden, da beispielsweise eine falsche Gleichheit beim Quadrieren die richtige Gleichheit ergeben kann. Tatsächlich ergibt eine falsche Gleichheit, wenn sie quadriert wird, die korrekte Gleichheit 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Manchmal ist es bequemer, irrationale Gleichungen mit äquivalenten Übergängen zu lösen.

Lassen Sie uns beide Seiten dieser Gleichung quadrieren; Nach Transformationen kommen wir zu einer quadratischen Gleichung; und lass es uns anziehen.

Komplexe Zahlen. Aktionen auf komplexen Zahlen.

Komplexe Zahlen - eine Erweiterung der Menge reeller Zahlen, die normalerweise bezeichnet wird. Jede komplexe Zahl kann als formale Summe dargestellt werden x + ich, wo x und j- reale Nummern, ich- imaginäre Einheit Komplexe Zahlen bilden einen algebraisch abgeschlossenen Körper - das bedeutet, das Polynom des Grades n mit komplexen Koeffizienten hat genau n komplexe Wurzeln, das heißt, der Fundamentalsatz der Algebra ist wahr. Dies ist einer der Hauptgründe für die weit verbreitete Verwendung komplexer Zahlen in der mathematischen Forschung. Darüber hinaus ermöglicht die Verwendung komplexer Zahlen die bequeme und kompakte Formulierung vieler mathematischer Modelle, die in der mathematischen Physik und den Naturwissenschaften verwendet werden - Elektrotechnik, Hydrodynamik, Kartographie, Quantenmechanik, Schwingungstheorie und viele andere.

Vergleich a + Bi = c + di bedeutet, dass a = c und b = d(Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil gleich sind).

Zusatz ( a + Bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) ich .

Subtraktion ( a + Bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) ich .

Multiplikation

Numerische Funktion. Möglichkeiten, eine Funktion einzustellen

In der Mathematik ist eine Zahlenfunktion eine Funktion, deren Definitionsbereich und Werte Teilmengen von Zahlenmengen sind – im Allgemeinen die Menge der reellen Zahlen oder die Menge der komplexen Zahlen.

Verbal: In natürlicher Sprache entspricht Y dem ganzzahligen Teil von X. Analytisch: Verwendung einer analytischen Formel f (x) = x !

Grafisch Via-Graph Fragment des Funktionsgraphen.

Tabellarisch: Verwendung einer Wertetabelle

Haupteigenschaften der Funktion

1) Funktionsumfang und Funktionsumfang . Funktionsumfang x(Variable x) für die die Funktion y=f(x) definiert.

Funktionsumfang j die die Funktion akzeptiert. In der Elementarmathematik werden Funktionen nur auf der Menge der reellen Zahlen untersucht.2 ) Funktion Null) Monotonie der Funktion . Steigende Funktion Abnehmende Funktion . Gleiche Funktion X f(-x) = f(x). komische Funktion- eine Funktion, deren Definitionsbereich symmetrisch in Bezug auf den Ursprung und für alle ist X f(-x) = -f(x. Die Funktion wird aufgerufen begrenzt unbegrenzt .7) Periodizität der Funktion. Funktion f(x) - Zeitschrift Funktionszeitraum

Funktionsgraphen. Die einfachsten Transformationen von Graphen durch eine Funktion

Funktionsgraph- Menge von Punkten, deren Abszissen gültige Argumentwerte sind x, und die Ordinaten sind die entsprechenden Werte der Funktion j .

Gerade Linie- Graph einer linearen Funktion y=ax+b. Die Funktion y steigt monoton für a > 0 und fällt für a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabel- Graph der quadratischen Trinomialfunktion y \u003d Axt 2 + bx + c. Es hat eine vertikale Symmetrieachse. Wenn a > 0, hat ein Minimum, wenn a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения Axt 2 + bx + c \u003d 0

Hyperbel- Funktionsgraph. Wenn sich a > O in den Vierteln I und III befindet, wenn a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) oder y - x (a< 0).

Logarithmische Funktion y = log a x(a > 0)

trigonometrische Funktionen. Bei der Konstruktion trigonometrischer Funktionen verwenden wir Bogenmaß Maß für Winkel. Dann die Funktion j= Sünde x dargestellt durch ein Diagramm (Abb. 19). Diese Kurve heißt sinusförmig .

Funktionsgraph j= cos x in Abb. gezeigt. 20; es ist auch eine Sinuswelle, die aus der Bewegung des Graphen resultiert j= Sünde x entlang der Achse X links von /2.

Grundlegende Eigenschaften von Funktionen. Monotonie, Gleichmäßigkeit, Ungeradheit, Periodizität von Funktionen.

Funktionsumfang und Funktionsumfang . Funktionsumfang ist die Menge aller gültigen gültigen Werte des Arguments x(Variable x) für die die Funktion y=f(x) definiert.

Funktionsumfang ist die Menge aller reellen Werte j die die Funktion akzeptiert.

In der Elementarmathematik werden Funktionen nur auf der Menge der reellen Zahlen untersucht.2 ) Funktion Null- ist der Wert des Arguments, bei dem der Wert der Funktion gleich Null ist.3 ) Intervalle der Konstanz der Funktion- diejenigen Sätze von Argumentwerten, bei denen die Funktionswerte nur positiv oder nur negativ sind.4 ) Monotonie der Funktion .

Steigende Funktion(in irgendeinem Intervall) - eine Funktion, bei der der größere Wert des Arguments aus diesem Intervall dem größeren Wert der Funktion entspricht.

Abnehmende Funktion(in einem Intervall) - eine Funktion, bei der ein größerer Wert des Arguments aus diesem Intervall einem kleineren Wert der Funktion entspricht.5 ) Gerade (ungerade) Funktionen . Gleiche Funktion- eine Funktion, deren Definitionsbereich symmetrisch in Bezug auf den Ursprung und für alle ist X aus dem Definitionsbereich die Gleichheit f(-x) = f(x). Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur y-Achse. komische Funktion- eine Funktion, deren Definitionsbereich symmetrisch in Bezug auf den Ursprung und für alle ist X aus dem Definitionsbereich die Gleichheit f(-x) = -f(x). Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.6 ) Eingeschränkte und unbegrenzte Funktionen. Die Funktion wird aufgerufen begrenzt, wenn es eine positive Zahl M gibt, so dass |f (x) | ≤ M für alle Werte von x. Wenn keine solche Zahl existiert, dann ist die Funktion unbegrenzt .7) Periodizität der Funktion. Funktion f(x) - Zeitschrift, wenn es eine solche von Null verschiedene Zahl T gibt, dass für jedes x aus dem Definitionsbereich der Funktion gilt: f (x+T) = f (x). Diese kleinste Zahl wird aufgerufen Funktionszeitraum. Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch. (Trigonometrische Formeln).

Periodische Funktionen. Regeln zum Auffinden der Hauptperiode einer Funktion.

Periodische Funktion ist eine Funktion, die ihre Werte nach einer Periode ungleich Null wiederholt, d. h. ihren Wert nicht ändert, wenn dem Argument eine feste Zahl ungleich Null (Punkt) hinzugefügt wird. Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch. Sind falsch Aussagen über die Summe von periodischen Funktionen: Die Summe von 2 Funktionen mit gleicher (selbst grundlegender) Periode T 1 und T 2 ist eine Funktion mit Periode LCM ( T 1 ,T 2). Die Summe zweier stetiger Funktionen mit inkommensurablen (sogar Grund-)Perioden ist eine nichtperiodische Funktion. Es gibt keine periodischen Funktionen, die nicht gleich einer Konstanten sind, deren Perioden inkommensurable Zahlen sind.

Potenzfunktionen zeichnen.

Power-Funktion. Das ist die Funktion: y = ax n, wo ein- dauerhaft. Beim n= 1 erhalten wir direkte Proportionalität : j =Axt; beim n = 2 - quadratische Parabel; beim n = 1 - umgekehrte Proportionalität oder Hyperbel. Somit sind diese Funktionen Sonderfälle einer Potenzfunktion. Wir wissen, dass die Nullpotenz jeder Zahl außer Null gleich 1 ist, also wann n= 0 wird die Potenzfunktion konstant: j =a, d.h. sein Graph ist eine gerade Linie parallel zur Achse X, ohne den Ursprung der Koordinaten (bitte erläutern Sie warum?). Alle diese Fälle (mit a= 1) sind in Abb. 13 ( n 0) und Abb.14 ( n < 0). Отрицательные значения x werden hier nicht betrachtet, weil dann einige Funktionen:

Umkehrfunktion

Umkehrfunktion- eine Funktion, die die durch diese Funktion ausgedrückte Abhängigkeit umkehrt. Die Funktion ist umgekehrt zur Funktion, wenn die folgenden Identitäten gelten: for all für alle

Grenzwert einer Funktion an einem Punkt. Grundlegende Eigenschaften der Grenze.

Die Wurzel des n-ten Grades und ihre Eigenschaften.

Die n-te Wurzel einer Zahl a ist eine Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

Definition: Die arithmetische Wurzel des n-ten Grades der Zahl a ist eine nicht negative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

Die Haupteigenschaften der Wurzeln:

Grad mit beliebigem reellen Exponenten und seine Eigenschaften.

Gegeben sei eine positive Zahl und eine beliebige reelle Zahl. Die Zahl heißt Grad, die Zahl ist die Basis des Grades, die Zahl ist der Exponent.

Per Definition wird angenommen:

Wenn und positive Zahlen und beliebige reelle Zahlen sind, dann sind die folgenden Eigenschaften wahr:

.

.

Potenzfunktion, ihre Eigenschaften und Graphen

Power-Funktion komplexe Variable f (z) = z n mit ganzzahligem Exponenten wird durch analytische Fortsetzung einer ähnlichen Funktion eines reellen Arguments bestimmt. Dazu wird die Exponentialschreibweise komplexer Zahlen verwendet. Eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten ist in der gesamten komplexen Ebene als Produkt einer endlichen Anzahl von Instanzen der Identitätsabbildung analytisch f (z) = z. Nach dem Eindeutigkeitssatz genügen diese beiden Kriterien für die Eindeutigkeit der resultierenden analytischen Fortsetzung. Aus dieser Definition können wir sofort schließen, dass die Potenzfunktion einer komplexen Variablen signifikante Unterschiede zu ihrem realen Gegenstück aufweist.

Dies ist eine Funktion der Form , . Folgende Fälle werden betrachtet:

a). Wenn, dann . Dann , ; wenn die Zahl gerade ist, dann ist die Funktion gerade (d.h. für alle ); Wenn die Zahl ungerade ist, dann ist die Funktion ungerade (d. h. für alle).

Die Exponentialfunktion, ihre Eigenschaften und Graphen

Exponentialfunktion- mathematische Funktion.

Im reellen Fall ist die Basis des Grades eine nicht negative reelle Zahl, und das Argument der Funktion ist ein reeller Exponent.

In der Theorie komplexer Funktionen wird ein allgemeinerer Fall betrachtet, in dem eine beliebige komplexe Zahl ein Argument und ein Exponent sein kann.

Ganz allgemein - du v, eingeführt von Leibniz im Jahr 1695.

Besonders hervorgehoben wird der Fall, dass die Zahl e als Basis des Grades fungiert. Eine solche Funktion heißt Exponent (reell oder komplex).

Eigenschaften ; ; .

Exponentialgleichungen.

Gehen wir direkt zu den Exponentialgleichungen über. Um eine Exponentialgleichung zu lösen, muss folgender Satz verwendet werden: Wenn die Grade gleich und die Basen gleich, positiv und von Eins verschieden sind, dann sind auch ihre Exponenten gleich. Beweisen wir diesen Satz: Sei a>1 und a x = a y .

Beweisen wir, dass in diesem Fall x=y. Nehmen Sie das Gegenteil von dem an, was bewiesen werden muss, d.h. Nehmen wir an, dass x>y oder dass x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х a y . Beide Ergebnisse widersprechen der Hypothese des Theorems. Also x = y, was bewiesen werden musste.

Der Satz ist auch für den Fall bewiesen, dass 0 ist 0 und a≠1.

exponentielle Ungleichungen

Ungleichungen der Form (oder kleiner) für a(x) > 0 und werden basierend auf den Eigenschaften der Exponentialfunktion gelöst: z 0 < а (х) < 1 beim vergleichen f(x) und g(x) das Vorzeichen der Ungleichheit wechselt und wann a(x) > 1- ist gespeichert. Der schwierigste Fall für Axt)< 0 . Hier können wir nur einen groben Hinweis geben: bei welchen Werten X Indikatoren f(x) und g(x) Seien ganze Zahlen, und wähle aus ihnen diejenigen aus, die die Bedingung erfüllen. Schließlich, wenn die ursprüngliche Ungleichung gilt a(x) = 0 oder a(x) = 1(z. B. wenn die Ungleichungen nicht streng sind), müssen diese Fälle ebenfalls berücksichtigt werden.

Logarithmen und ihre Eigenschaften

Logarithmus einer Zahl b aus grund a (aus dem Griechischen λόγος – „Wort“, „Beziehung“ und ἀριθμός – „Zahl“) wird als Indikator für den Grad definiert, um den die Basis angehoben werden muss a um die Nummer zu bekommen b. Bezeichnung: . Aus der Definition folgt, dass die Einträge und äquivalent sind. Beispiel: weil . Eigenschaften

Logarithmische Grundidentität:

Logarithmische Funktion, ihre Eigenschaften und Graphen.

Eine logarithmische Funktion ist eine Funktion der Form f (x) = Protokoll ein x, definiert bei

Domain:

Wertebereich:

Der Graph jeder logarithmischen Funktion geht durch den Punkt (1; 0)

Die Ableitung der logarithmischen Funktion ist:

Logarithmische Gleichungen

Eine Gleichung, die eine Variable unter dem Vorzeichen des Logarithmus enthält, heißt logarithmische Gleichung. Das einfachste Beispiel einer logarithmischen Gleichung ist die Gleichung log a x \u003d b (wobei a > 0 und 1). Seine Entscheidung x = ein b .

Lösen von Gleichungen basierend auf der Definition des Logarithmus, zum Beispiel der Gleichung log a x \u003d b (a\u003e 0, aber 1) hat eine Lösung x = ein b .

Potenzierungsmethode. Unter Potenzierung versteht man den Übergang von einer Gleichheit, die Logarithmen enthält, zu einer Gleichheit, die sie nicht enthält:

Wenn log a f (x) = log a g (x), dann f(x) = g(x), f(x) > 0 ,g(x) > 0 ,a > 0 , eine 1 .

Verfahren zum Reduzieren einer logarithmischen Gleichung auf eine quadratische.

Die Methode, beide Teile der Gleichung zu logarithmieren.

Verfahren zum Reduzieren von Logarithmen auf die gleiche Basis.

Logarithmische Ungleichungen.

Eine Ungleichung, die eine Variable nur unter dem Vorzeichen des Logarithmus enthält, heißt logarithmisch: log a f (x) > log a g (x).

Bei der Lösung logarithmischer Ungleichungen sollten die allgemeinen Eigenschaften von Ungleichungen, die Eigenschaft der Monotonie der logarithmischen Funktion und ihr Definitionsbereich berücksichtigt werden. Ungleichheit log a f (x) > log a g (x) ist gleichbedeutend mit einem System f (x) > g (x) > 0 für a > 1 und System 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Bogenmaß von Winkeln und Bögen. Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens.

Grad messen. Hier ist die Maßeinheit Grad ( Bezeichnung ) - ist die Drehung des Strahls um 1/360 einer vollen Umdrehung. Somit beträgt eine volle Drehung des Strahls 360. Ein Grad besteht aus 60 Protokoll ( ihre Bezeichnung „); eine Minute - jeweils von 60 Sekunden ( markiert mit ").

Bogenmaß. Wie wir aus der Planimetrie kennen (siehe Abschnitt „Bogenlänge“ im Abschnitt „Ortskurven. Kreis und Kreis“), die Länge des Bogens Ich, Radius r und der zugehörige Mittelpunktswinkel stehen in Beziehung zu: = l / r.

Diese Formel liegt der Definition des Bogenmaßes von Winkeln zugrunde. Also wenn l = r, dann = 1, und wir sagen, dass der Winkel  gleich 1 Radiant ist, was bezeichnet wird als: = 1 froh. Somit haben wir die folgende Definition des Bogenmaßes:

Das Bogenmaß ist der Zentriwinkel, dessen Bogenlänge und Radius gleich sind(EIN m B = AO, Abb. 1). So, Das Bogenmaß eines Winkels ist das Verhältnis der Länge eines Bogens, der von einem beliebigen Radius gezeichnet und zwischen den Seiten dieses Winkels eingeschlossen ist, zum Radius des Bogens.

Die trigonometrischen Funktionen spitzer Winkel können als Verhältnis der Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks definiert werden.

Sinus:

Kosinus:

Tangente:

Kotangens:

Trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments

Definition .

Der Sinus von x ist die Zahl, die dem Sinus des Winkels in x Bogenmaß entspricht. Der Kosinus einer Zahl x ist die Zahl, die gleich dem Kosinus des Winkels in x Bogenmaß ist .

Andere trigonometrische Funktionen eines numerischen Arguments werden ähnlich definiert X .

Geisterformeln.

Additionsformeln. Formeln mit doppeltem und halbem Argument.

Doppelt.

( ; .

Trigonometrische Funktionen und ihre Graphen. Grundlegende Eigenschaften trigonometrischer Funktionen.

Trigonometrische Funktionen- Art von elementaren Funktionen. Sie werden in der Regel angesprochen Sinus (Sünde x), Kosinus (cos x), Tangente (tg x), Kotangens (ctg x), Trigonometrische Funktionen werden normalerweise geometrisch definiert, aber sie können analytisch als Summen von Reihen oder als Lösungen bestimmter Differentialgleichungen definiert werden, was es uns ermöglicht, den Definitionsbereich dieser Funktionen auf komplexe Zahlen auszudehnen.

Funktion y sinx seine Eigenschaften und Graph

Eigenschaften:

2. E (y) \u003d [-1; ein].

3. Die Funktion y \u003d sinx ist ungerade, da per Definition der Sinus eines trigonometrischen Winkels Sünde(- x)= - j/R = - Sünde, wobei R der Radius des Kreises ist, y die Ordinate des Punktes (Abb.).

4. T \u003d 2n - die kleinste positive Periode. Wirklich,

sin(x+p) = sinx.

mit Ochsenachse: Sünde= 0; x = pn, nОZ;

mit der y-Achse: wenn x = 0, dann y = 0,6. Konstanzintervalle:

sin x > 0, wenn x¾ (2pn; p + 2pn), n¾Z;

Sünde< 0 , wenn x¾ (p + 2pn; 2p+pn), n¾Z.

Sinuszeichen in Vierteln

y > 0 für Winkel a des ersten und zweiten Viertels.

beim< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Intervalle der Monotonie:

y= Sünde steigt auf jedem der Intervalle [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nнz und verringert sich in jedem der Intervalle , nнz.

8. Extrempunkte und Extrempunkte der Funktion:

xmax= p/2 + 2pn, níz; j max = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, níz; ymin = - 1.

Funktionseigenschaften y= cos und ihr Zeitplan:

Eigenschaften:

2. E (y) \u003d [-1; ein].

3. Funktion y= cos- gerade, weil per Definition der Kosinus des trigonometrischen Winkels cos (-a) = x/R = cosa auf dem trigonometrischen Kreis (Reis)

4. T \u003d 2p - die kleinste positive Periode. Wirklich,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Schnittpunkte mit Koordinatenachsen:

mit der Ox-Achse: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nОZ;

mit der y-Achse: wenn x = 0, dann y = 1.

6. Intervalle der Vorzeichenkonstanz:

cos > 0, wenn x¾ (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), n¾Z;

cos< 0 , wenn x¾ (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), n¾Z.

Dies wird auf einem trigonometrischen Kreis bewiesen (Abb.). Kosinuszeichen in Vierteln:

x > 0 für Winkel a des ersten und vierten Quadranten.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Intervalle der Monotonie:

y= cos steigt bei jedem der Intervalle [-p + 2pn; 2pn],

nнz und verringert sich in jedem der Intervalle , nнz.

Funktionseigenschaften y= tgx und sein Grundstück: Eigenschaften -

1. D (y) = (x¹R, x ¹ p/2 + pn, n¹Z).

3. Funktion y = tgx - ungerade

tx > 0

tgx< 0 für xí (-p/2 + pn; pn), níZ.

Siehe die Abbildung für die Vorzeichen der Tangente in Vierteln.

6. Intervalle der Monotonie:

y= tgx erhöht sich in jedem Intervall

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Extrempunkte und Extrempunkte der Funktion:

8. x = p/2 + pn, níz - vertikale Asymptoten

Funktionseigenschaften y= ctgx und ihr Zeitplan:

Eigenschaften:

1. D (y) = (x¹R, x ¹ pn, n¹Z). 2. E(y)=R.

3. Funktion y= ctgx- seltsam.

4. T \u003d p - die kleinste positive Periode.

5. Intervalle der Vorzeichenkonstanz:

ctx > 0 für x¾ (pn; p/2 + pn;), n¾Z;

ctgx< 0 für xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Kotangenszeichen für Viertel, siehe Abbildung.

6. Funktion beim= ctx steigt auf jedem der Intervalle (pn; p + pn), nОZ.

7. Extrempunkte und Extrema einer Funktion y= ctgx Nein.

8. Funktionsgraph y= ctgx ist ein Tangente, erhalten durch Diagrammverschiebung y=tgx entlang der Ox-Achse nach links um p/2 und multiplizieren mit (-1) (Abb.)

Inverse trigonometrische Funktionen, ihre Eigenschaften und Graphen

Inverse trigonometrische Funktionen (kreisförmige Funktionen , Bogenfunktionen) sind mathematische Funktionen, die invers zu trigonometrischen Funktionen sind. Inverse trigonometrische Funktionen umfassen normalerweise sechs Funktionen: Arkussinus , Arkuskosinus , Bogentangente ,arccotanges. Der Name der inversen trigonometrischen Funktion wird aus dem Namen der entsprechenden trigonometrischen Funktion gebildet, indem das Präfix „ark-“ (von lat. Bogen- Bogen). Dies liegt daran, dass geometrisch der Wert der inversen trigonometrischen Funktion der Länge des Bogens eines Einheitskreises (oder dem Winkel, der diesen Bogen begrenzt) zugeordnet werden kann, der dem einen oder anderen Segment entspricht. Gelegentlich werden in der ausländischen Literatur Bezeichnungen wie sin −1 für den Arkussinus usw. verwendet; Dies wird als nicht ganz richtig angesehen, da eine Verwechslung mit dem Potenzieren einer Funktion mit −1 möglich ist. Grundverhältnis

Funktion y=arcsinX, ihre Eigenschaften und Graphen.

Arkussinus Zahlen m dieser Winkel heißt x für welche Funktion j= Sünde x j= arcsin x ist streng steigend. (Funktion ist ungerade).

Funktion y=arccosX, ihre Eigenschaften und Graphen.

Arkuskosinus Zahlen m dieser Winkel heißt x, wofür

Funktion j= cos x kontinuierlich und entlang seiner gesamten Zahlengeraden begrenzt. Funktion j= arccos x ist streng abnehmend. cos (arkkos x) = x beim Arccos (Cos j) = j beim D(Arckos x) = [− 1; 1], (Domäne), E(Arckos x) = . (Wertebereich). Eigenschaften der arccos-Funktion (die Funktion ist zentralsymmetrisch zum Punkt

Funktion y=arctgX, ihre Eigenschaften und Graphen.

Arkustangens Zahlen m Ein Winkel α wird so genannt, dass die Funktion stetig und auf ihrer gesamten reellen Linie beschränkt ist. Die Funktion ist streng steigend.

beim

arctg-Funktionseigenschaften

,

.

Funktion y=arcctg, ihre Eigenschaften und Graphen.

Bogentangente Zahlen m dieser Winkel heißt x, wofür

Die Funktion ist stetig und auf ihrer gesamten reellen Linie beschränkt.

Die Funktion ist streng fallend. bei bei 0< j < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки für alle x .

.

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Definition. Wada-Gleichungen Sünde x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctgx = a, wo x

Sonderfälle trigonometrischer Gleichungen

Definition. Wada-Gleichungen Sünde x = a ; cos x = a ; tan x = a ; ctgx = a, wo x- Variable, aR, aufgerufen werden einfache trigonometrische Gleichungen.

Trigonometrische Gleichungen

Axiome der Stereometrie und Konsequenzen daraus

Grundfiguren im Raum: Punkte, Linien und Ebenen. Die Haupteigenschaften von Punkten, Linien und Ebenen bezüglich ihrer gegenseitigen Anordnung werden in Axiomen ausgedrückt.

A1. Durch je drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, geht eine Ebene, und zwar nur eine. A2. Wenn zwei Punkte einer Geraden in einer Ebene liegen, dann liegen alle Punkte der Geraden in dieser Ebene.

Kommentar. Wenn eine Gerade und eine Ebene nur einen gemeinsamen Punkt haben, dann sagt man, sie schneiden sich.

A3. Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt haben, dann haben sie eine gemeinsame Linie, auf der alle gemeinsamen Punkte dieser Ebenen liegen.

	A und schneiden sich entlang der Linie a.

Folge 1. Durch eine Linie und einen nicht darauf liegenden Punkt geht eine Ebene, und zwar nur eine. Folge 2. Eine Ebene geht durch zwei sich schneidende Geraden, und zwar nur durch eine.

Gegenseitige Anordnung zweier Linien im Raum

Zwei durch Gleichungen gegebene Geraden

in einem Punkt schneiden.

Parallelität einer Linie und einer Ebene.

Definition 2.3 Eine Gerade und eine Ebene heißen parallel, wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben. Wenn die Linie a parallel zur Ebene α ist, dann schreibe a || a. Satz 2.4 Vorzeichen der Parallelität einer Geraden und einer Ebene. Wenn eine Linie außerhalb einer Ebene parallel zu einer Linie in der Ebene ist, dann ist diese Linie auch parallel zur Ebene selbst. Beweis Seien b α, a || b und a α (Zeichnung 2.2.1). Wir werden durch Widerspruch beweisen. Sei a nicht parallel zu α, dann schneidet die Gerade a die Ebene α an einem Punkt A. Außerdem ist A b, da a || b. Gemäß dem Kriterium der schiefen Linien sind die Linien a und b schief. Wir sind auf einen Widerspruch gestoßen. Satz 2.5 Wenn die Ebene β durch die Linie a parallel zur Ebene α verläuft und diese Ebene entlang der Linie b schneidet, dann ist b || a. Beweis In der Tat sind die Geraden a und b nicht schief, da sie in der Ebene β liegen. Außerdem haben diese Linien keine gemeinsamen Punkte, da ein || a. Definition 2.4 Die Linie b wird manchmal als Spur der Ebene β auf der Ebene α bezeichnet.

Gerade Linien kreuzen. Zeichen sich kreuzender Linien

Geraden heißen schneidend, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Wenn wir uns vorstellen, dass eine der Geraden zu einer beliebigen Ebene gehört, dann wird die andere Gerade diese Ebene an einem Punkt schneiden, der nicht zur ersten Geraden gehört. Mit anderen Worten, zwei Linien im dreidimensionalen euklidischen Raum schneiden sich, wenn es keine Ebene gibt, die sie enthält. Einfach ausgedrückt, zwei Linien im Raum, die keine gemeinsamen Punkte haben, aber nicht parallel sind.

Satz (1): Wenn eine der beiden Geraden in einer bestimmten Ebene liegt und die andere Gerade diese Ebene an einem Punkt schneidet, der nicht auf der ersten Geraden liegt, dann sind diese Geraden schief.

Satz (2): Durch jede der beiden sich schneidenden Geraden geht eine zur anderen Geraden parallele Ebene, und zwar nur eine.

Satz (3): Wenn die Seiten zweier Winkel jeweils gleich gerichtet sind, dann sind diese Winkel gleich.

Parallelität der Linien. Eigenschaften paralleler Ebenen.

Parallele (manchmal - gleichschenklige) gerade Linien sogenannte Geraden, die in derselben Ebene liegen und entweder zusammenfallen oder sich nicht schneiden. In einigen Schuldefinitionen werden zusammenfallende Linien nicht als parallel angesehen; eine solche Definition wird hier nicht berücksichtigt. Eigenschaften Parallelität ist eine binäre Äquivalenzrelation und teilt daher den gesamten Satz von Linien in Klassen von Linien, die parallel zueinander sind. Durch jeden gegebenen Punkt kann es genau eine Parallele zu dem gegebenen geben. Dies ist eine charakteristische Eigenschaft der euklidischen Geometrie, in anderen Geometrien wird die Zahl 1 durch andere ersetzt (in der Geometrie von Lobachevsky gibt es mindestens zwei solcher Linien) 2 parallele Linien im Raum liegen in derselben Ebene. b Am Schnittpunkt von 2 parallelen Linien durch eine dritte, genannt Sekante: Die Sekante schneidet zwangsläufig beide Geraden. Beim Überqueren werden 8 Ecken gebildet, von denen einige charakteristische Paare besondere Namen und Eigenschaften haben: Kreuz liegend Winkel sind gleich. Jeweilig Winkel sind gleich. Einseitig die Winkel addieren sich zu 180°.

Rechtwinkligkeit einer Linie und einer Ebene.

Eine Gerade, die eine Ebene schneidet, heißt aufrecht diese Ebene, wenn sie senkrecht zu jeder Geraden steht, die in der gegebenen Ebene liegt und durch den Schnittpunkt geht.

Zeichen der Rechtwinkligkeit einer Linie und einer Ebene.

Wenn eine Gerade, die eine Ebene schneidet, senkrecht auf zwei Geraden in dieser Ebene steht, die durch den Schnittpunkt der gegebenen Geraden und der Ebene gehen, dann steht sie senkrecht auf der Ebene.

1. EIGENTUM Senkrechter Linien und Ebenen .

Steht eine Ebene senkrecht auf einer von zwei parallelen Geraden, so steht sie auch senkrecht auf der anderen.

2. EIGENSCHAFT DER Senkrechten Linien und Ebenen .

Zwei Geraden, die senkrecht auf derselben Ebene stehen, sind parallel.

Satz von drei Senkrechten

Lassen AB- senkrecht zur Ebene α, AC- schräg und c- eine gerade Linie in der Ebene α, die durch den Punkt verläuft C und senkrechte Projektion BC. Lassen Sie uns eine gerade Linie ziehen CK parallel zu einer Geraden AB. Gerade CK senkrecht zur Ebene α (weil sie parallel ist zu AB), und daher jede Linie dieser Ebene, daher CK senkrecht zur Linie c AB und CK Ebene β (parallele Linien definieren eine Ebene, und nur eine). Gerade c steht senkrecht auf zwei in der Ebene β liegenden Schnittgeraden, diese BC nach Zustand u CK konstruktionsbedingt, was bedeutet, dass sie senkrecht zu jeder zu dieser Ebene gehörenden Linie steht, was bedeutet, dass sie auch senkrecht zu einer Linie steht AC .

Umkehrung des Satzes der drei Senkrechten

Wenn eine in einer Ebene durch die Basis einer schiefen Linie gezogene Gerade senkrecht zur schiefen Linie steht, dann steht sie auch senkrecht zu ihrer Projektion.

Lassen AB- senkrecht zur Ebene a , AC- schräg und mit- Gerade in der Ebene a durch den Fuß des Abhangs führen Mit. Lassen Sie uns eine gerade Linie ziehen SC, parallel zur Linie AB. Gerade SC senkrecht zur Ebene a(nach diesem Satz, da es parallel ist AB), und daher jede Linie dieser Ebene, daher SC senkrecht zur Linie mit. Ziehe durch parallele Linien AB und SC Flugzeug b(parallele Linien definieren eine Ebene, und nur eine). Gerade mit senkrecht zu zwei in einer Ebene liegenden Geraden b, Das AC nach Zustand u SC konstruktionsbedingt bedeutet es, dass es senkrecht zu jeder zu dieser Ebene gehörenden Linie steht, was bedeutet, dass es auch senkrecht zu einer Linie steht Sonne. Mit anderen Worten: Projektion Sonne senkrecht zur Linie mit im Flugzeug liegen a .

Senkrecht und schräg.

Aufrecht, die von einem gegebenen Punkt auf eine gegebene Ebene abgesenkt wird, nennt man eine Strecke, die einen gegebenen Punkt mit einem Punkt in der Ebene verbindet und auf einer geraden Linie senkrecht zur Ebene liegt. Das in einer Ebene liegende Ende dieses Segments wird genannt die Basis der Senkrechten .

schräg, gezeichnet von einem gegebenen Punkt zu einer gegebenen Ebene, ist jede Strecke, die den gegebenen Punkt mit einem Punkt in der Ebene verbindet, der nicht senkrecht zur Ebene steht. Das Ende einer Strecke, die in einer Ebene liegt, heißt die Basis der geneigten. Das Segment, das die Basen der Senkrechten der geneigten Linie verbindet, die vom selben Punkt aus gezeichnet wird, wird genannt schräge Projektion .

Bestimmung 1. Eine Senkrechte zu einer gegebenen Linie ist ein Liniensegment, das senkrecht zu einer gegebenen Linie steht und eines seiner Enden an ihrem Schnittpunkt hat. Das Ende einer Strecke, das auf einer gegebenen Geraden liegt, heißt Basis der Senkrechten.

Bestimmung 2. Eine schräge Linie, die von einem gegebenen Punkt zu einer gegebenen Linie gezogen wird, ist ein Segment, das den gegebenen Punkt mit einem beliebigen Punkt auf der Linie verbindet, der nicht die Basis der Senkrechten ist, die von demselben Punkt auf die gegebene Linie fällt. AB - senkrecht zur Ebene α.

AC - schräg, CB - Projektion.

C - die Basis der Neigung, B - die Basis der Senkrechten.

Der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene.

Winkel zwischen Linie und Ebene Jeder Winkel zwischen einer geraden Linie und ihrer Projektion auf diese Ebene wird als bezeichnet.

Diederwinkel.

Diederwinkel- eine räumliche geometrische Figur, die aus zwei Halbebenen besteht, die von einer geraden Linie ausgehen, sowie einem von diesen Halbebenen begrenzten Raumteil. Halbe Flugzeuge werden genannt Gesichter Diederwinkel und ihre gemeinsame Gerade - Kante. Diederwinkel werden durch einen linearen Winkel gemessen, dh den Winkel, der durch den Schnittpunkt eines Diederwinkels mit einer Ebene senkrecht zu seiner Kante gebildet wird. Jeder Polyeder, ob regelmäßig oder unregelmäßig, konvex oder konkav, hat an jeder Kante einen Diederwinkel.

Rechtwinkligkeit zweier Ebenen.

ZEICHEN DER FLÄCHENRECHTWEITIGKEIT.

Wenn eine Ebene durch eine Linie geht, die senkrecht zu einer anderen Ebene steht, dann sind diese Ebenen senkrecht.

Veröffentlichungsdatum: 2016-03-23

Kurzbeschreibung: ...

BEISPIELE ZUR LÖSUNG VON GLEICHUNGEN MIT EINIGEN URSPRÜNGLICHEN TECHNIKEN.

1
. Lösung irrationaler Gleichungen.

1. Substitutionsmethode.

1.1.1 Lösen Sie die Gleichung .

Beachten Sie, dass die Vorzeichen von x unter dem Radikal unterschiedlich sind. Wir führen die Notation ein

, .

Dann,

Führen wir eine Term-für-Term-Addition beider Teile der Gleichung durch.

Und wir haben ein Gleichungssystem

weil a + b = 4, dann

Z lautet: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. Antwort: x \u003d 1.

1.1.2. Löse die Gleichung .

Wir führen die Notation ein: , ; , .

Meint:

Wenn wir die linke und rechte Seite der Gleichungen Term für Term addieren, haben wir .

Und wir haben ein Gleichungssystem

a + b = 2, , , ,

Kommen wir zurück zum Gleichungssystem:

, .

Nachdem wir die Gleichung für (ab) gelöst haben, haben wir ab = 9, ab = -1 (-1 Fremdwurzel, weil , .).

Dieses System hat keine Lösungen, was bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung auch keine Lösung hat.

Antwort: keine Lösungen.

1. 1. Löse die Gleichung: .

Wir führen die Notation ein, wobei . Dann , .

, ,

Betrachten Sie drei Fälle:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1  [ 0; 1). [ ein ; 2). a = 2.

Lösung: [ 1 ; 2].

Wenn ein , dann , , .

Antworten: .

1.2. Methode zur Bewertung des linken und rechten Teils (Majorantenmethode).

Die Majorantenmethode ist eine Methode zum Finden der Beschränktheit einer Funktion.

Majorisierung - Finden der Einschränkungspunkte der Funktion. M ist der Majorant.

Wenn f(x) = g(x) ist und die ODZ bekannt ist, und wenn

, , dann

1. 1. Löse die Gleichung: .

ODZ: .

Betrachten Sie die rechte Seite der Gleichung.

Lassen Sie uns eine Funktion einführen. Der Graph ist eine Parabel mit Scheitelpunkt A(3 ; 2).

Der kleinste Wert der Funktion y(3) = 2, also .

Betrachten Sie die linke Seite der Gleichung.

Lassen Sie uns eine Funktion einführen. Mit Hilfe der Ableitung ist es einfach, das Maximum einer Funktion zu finden, die auf x  (2 ; 4) differenzierbar ist.

Beim ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Wir haben .

Als Ergebnis dann

Stellen wir ein Gleichungssystem auf, das auf den obigen Bedingungen basiert:

Wenn wir die erste Gleichung des Systems lösen, haben wir x = 3. Indem wir diesen Wert in die zweite Gleichung einsetzen, stellen wir sicher, dass x = 3 die Lösung des Systems ist.

Antwort: x = 3.

1.3. Anwendung der Funktionsmonotonie.

1.3.1. Löse die Gleichung:

Über DZ: , da  .

Es ist bekannt, dass die Summe steigender Funktionen eine steigende Funktion ist.

Die linke Seite ist eine steigende Funktion. Die rechte Seite ist eine lineare Funktion (k=0). Die grafische Interpretation legt nahe, dass die Wurzel eindeutig ist. Wir finden es durch Auswahl, wir haben x = 1.

Nachweisen:

Angenommen, es gibt eine Wurzel x 1 größer als 1, dann

weil x 1 > 1,

.Wir schließen daraus, dass es keine Wurzeln größer als eins gibt.

Ebenso kann man beweisen, dass es keine Wurzeln kleiner als eins gibt.

Also ist x=1 die einzige Wurzel.

Antwort: x = 1.

1.3.2. Löse die Gleichung:

Über DZ: [ 0,5 ; + ), weil jene. .

Lassen Sie uns die Gleichung umwandeln,

Die linke Seite ist eine steigende Funktion (das Produkt steigender Funktionen), die rechte Seite eine lineare Funktion (k = 0). Die geometrische Interpretation zeigt, dass die ursprüngliche Gleichung eine einzelne Wurzel haben muss, die durch Anpassen gefunden werden kann, x = 7.

Untersuchung:

Es kann bewiesen werden, dass es keine anderen Wurzeln gibt (siehe obiges Beispiel).

Antwort: x = 7.

2. Logarithmische Gleichungen.

1. Verfahren zum Schätzen des linken und rechten Teils.

2.1.1. Lösen Sie die Gleichung: log 2 (2x-x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Lassen Sie uns die linke Seite der Gleichung abschätzen.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

Dann log 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Lassen Sie uns die rechte Seite der Gleichung abschätzen.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4  4.

Die ursprüngliche Gleichung kann nur eine Lösung haben, wenn beide Seiten gleich vier sind.

Meint

Antwort: x = 1.

Für selbstständiges Arbeiten.

2.1.2. log 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 Antwort: x \u003d 3.

2.1.3. log 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 Antwort: x \u003d 6.

2.1.4. log 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Antwort: x \u003d 1.

2.1.5. log 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Antwort: x \u003d 3.

2.2. Unter Verwendung der Monotonie der Funktion die Auswahl der Wurzeln.

2.2.1. Lösen Sie die Gleichung: log 2 (2x-x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Nehmen wir die Änderung 2x - x 2 + 15 = t, t>0 vor. Dann x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, dann

log 2 t = 20 - t .

Die Funktion y = log 2 t nimmt zu, und die Funktion y = 20 - t fällt ab. Die geometrische Interpretation macht uns verständlich, dass die ursprüngliche Gleichung eine einzige Wurzel hat, die nicht schwer zu finden ist, indem man t = 16 wählt.

Wenn wir die Gleichung 2x - x 2 + 15 = 16 lösen, finden wir, dass x = 1.

Prüfen, ob der gewählte Wert korrekt ist.

Antwort: x = 1.

2.3. Einige „interessante“ logarithmische Gleichungen.

2.3.1. Löse die Gleichung .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Kommen wir zur Gleichung

, , ,

Kommen wir zur äquivalenten Gleichung

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0 oder cos 2 x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 oder cos x = -1,

x=2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Lassen Sie uns die gefundenen Werte überprüfen, indem wir sie in die ODZ einsetzen.

1) wenn x = 15 , dann (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 ist falsch.

x = 15 - ist nicht die Wurzel der Gleichung.

2) wenn x = 2  k, k Z, dann (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, beachten Sie, dass 15  5 . Wir haben

k > 2,5, k Z,

k = 3, 4, 5, … .

3) wenn x =  + 2 l, l Z, dann ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2 l< 15,

2l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Wir haben: l< 2,

l = 1, 0 , -1, -2,… .

Antwort: x = 2 k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 \u003d 1,0, -1, - 2, ...).

3. Trigonometrische Gleichungen.

3.1. Methode zum Schätzen des linken und rechten Teils der Gleichung.

4.1.1. Lösen Sie die Gleichung cos3x cos2x = -1.

Erster Weg..

0,5 (cos x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

Weil cos x - 1 , cos 5 x - 1, schließen wir daraus, dass cos x+ cos 5 x> -2, also

folgt dem Gleichungssystem

cos x = -1,

kostet 5 x = - 1.

Lösen der Gleichung cos x= -1 erhalten wir X=  + 2 k, wobei k Z.

Diese Werte X sind auch Lösungen der Gleichung cos 5 x= -1, weil

kostet 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Auf diese Weise, X=  + 2 k, wobei k Z alle Lösungen des Systems und damit die ursprüngliche Gleichung sind.

Antworten: X=  (2k + 1), k Z.

Der zweite Weg.

Es kann gezeigt werden, dass die Menge der Systeme aus der ursprünglichen Gleichung folgt

cos 2 x = - 1,

kostet 3 x = 1.

cos 2 x = 1,

kostet 3 x = - 1.

Beim Lösen jedes Gleichungssystems finden wir die Vereinigung der Wurzeln.

Antwort: x = (2  bis + 1), k Z.

Für selbstständiges Arbeiten.

Lösen Sie die Gleichungen:

3.1.2. 2 gegen 3x + 4 sin x/2 = 7. Antwort: keine Lösungen.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Antwort: keine Lösungen.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Antwort: x = 2 zu, k Z.

3.1.5. Sünde x Sünde 3 x = -1. Antwort: x = /2 +  zu, k Z.

3.1.6. cos 8 x + Sünde 7 x = 1. Antwort: x = m, m Z; x= /2 + 2  n, n Z.

1.1 Irrationale Gleichungen

Irrationale Gleichungen werden häufig bei Aufnahmeprüfungen in Mathematik angetroffen, da mit ihrer Hilfe Kenntnisse über Konzepte wie äquivalente Transformationen, Definitionsbereich und andere leicht diagnostiziert werden können. Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen basieren in der Regel auf der Möglichkeit, eine irrationale Gleichung (mit Hilfe einiger Transformationen) durch eine rationale zu ersetzen, die entweder der ursprünglichen irrationalen Gleichung entspricht oder deren Folge ist. Meistens werden beide Seiten der Gleichung gleich potenziert. Die Äquivalenz wird nicht verletzt, wenn beide Teile mit einer ungeraden Potenz erhoben werden. Andernfalls ist es erforderlich, die gefundenen Lösungen zu überprüfen oder das Vorzeichen beider Gleichungsteile abzuschätzen. Aber es gibt andere Tricks, die beim Lösen irrationaler Gleichungen effektiver sein können. Zum Beispiel die trigonometrische Substitutionsmethode.

Beispiel 1: Lösen Sie die Gleichung

Seit damals . Daher kann man setzen . Die Gleichung nimmt die Form an

Legen wir also fest, wo

.

.

Antworten: .

Algebraische Lösung

Seit damals . Meint, , sodass Sie das Modul erweitern können

.

Antworten: .

Das Lösen einer Gleichung auf algebraischem Weg erfordert eine gute Fähigkeit, identische Transformationen durchzuführen, und einen kompetenten Umgang mit äquivalenten Übergängen. Aber im Allgemeinen sind beide Ansätze gleichwertig.

Beispiel 2: Lösen Sie die Gleichung

.

Lösung mit trigonometrischer Substitution

Der Definitionsbereich der Gleichung ist durch die Ungleichung gegeben, die dann der Bedingung entspricht. Daher können wir setzen. Die Gleichung nimmt die Form an

Seit damals . Lassen Sie uns das interne Modul öffnen

Lasst uns , dann

.

Die Bedingung wird durch zwei Werte und erfüllt.

.

.

Antworten: .

Algebraische Lösung

.

Lassen Sie uns die Gleichung des ersten Mengensystems quadrieren, wir erhalten

Dann lassen Sie . Die Gleichung wird in das Formular umgeschrieben

Durch Überprüfung stellen wir fest, dass dies die Wurzel ist, und durch Dividieren des Polynoms durch das Binom erhalten wir die Zerlegung der rechten Seite der Gleichung in Faktoren

Gehen wir von Variable zu Variable, erhalten wir

.

Zustand zwei Werte erfüllen

.

Wenn wir diese Werte in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die Wurzel.

Wenn wir die Gleichung des zweiten Systems der ursprünglichen Population auf ähnliche Weise lösen, stellen wir fest, dass es sich auch um eine Wurzel handelt.

Antworten: .

Wenn im vorherigen Beispiel die algebraische Lösung und die Lösung mit trigonometrischer Substitution äquivalent waren, dann ist in diesem Fall die Substitutionslösung rentabler. Beim Lösen einer Gleichung mittels Algebra muss man einen Satz von zwei Gleichungen lösen, also zweimal quadrieren. Nach dieser nichtäquivalenten Transformation erhält man zwei Gleichungen vierten Grades mit irrationalen Koeffizienten, die durch die Ersetzung beseitigt werden können. Eine weitere Schwierigkeit ist die Überprüfung der gefundenen Lösungen durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung

.

Lösung mit trigonometrischer Substitution

Seit damals . Beachten Sie, dass ein negativer Wert des Unbekannten keine Lösung des Problems sein kann. Tatsächlich transformieren wir die ursprüngliche Gleichung in die Form

.

Der Faktor in Klammern auf der linken Seite der Gleichung ist positiv, die rechte Seite der Gleichung ist ebenfalls positiv, also kann der Faktor auf der linken Seite der Gleichung nicht negativ sein. Deshalb können Sie also setzen Die ursprüngliche Gleichung wird in das Formular umgeschrieben

Seit , dann und . Die Gleichung nimmt die Form an

Lassen . Gehen wir von der Gleichung zum äquivalenten System über

.

Die Zahlen und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung

.

Algebraische Lösung Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren

Wir stellen den Ersatz vor , dann wird die Gleichung in der Form geschrieben

Die zweite Wurzel ist redundant, also betrachte die Gleichung

.

Seit damals .

In diesem Fall ist die algebraische Lösung technisch einfacher, aber es ist notwendig, die obige Lösung unter Verwendung einer trigonometrischen Substitution zu betrachten. Dies liegt erstens an der Nicht-Standard-Natur der Substitution selbst, die das Stereotyp zerstört, dass die Verwendung der trigonometrischen Substitution nur möglich ist, wenn . Es stellt sich heraus, dass wenn auch die trigonometrische Substitution Anwendung findet. Zweitens gibt es eine gewisse Schwierigkeit beim Lösen der trigonometrischen Gleichung , die durch Einführung einer Änderung in ein Gleichungssystem reduziert wird. In gewissem Sinne kann dieser Ersatz auch als nicht standardmäßig angesehen werden, und wenn Sie damit vertraut sind, können Sie das Arsenal an Tricks und Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen bereichern.

Beispiel 4. Lösen Sie die Gleichung

.

Lösung mit trigonometrischer Substitution

Da eine Variable jeden realen Wert annehmen kann, setzen wir . Dann

,

Als .

Die ursprüngliche Gleichung nimmt unter Berücksichtigung der durchgeführten Transformationen die Form an

Da wir beide Seiten der Gleichung durch dividieren, erhalten wir

Lassen , dann . Die Gleichung nimmt die Form an

.

Angesichts der Substitution , erhalten wir einen Satz von zwei Gleichungen

.

Lassen Sie uns jede Mengengleichung separat lösen.

.

Kann kein Sinuswert sein, wie bei allen Werten des Arguments.

.

Als und die rechte Seite der ursprünglichen Gleichung positiv ist, dann . Daraus folgt das .

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, da .

Die ursprüngliche Gleichung hat also eine einzelne Wurzel

.

Algebraische Lösung

Diese Gleichung lässt sich leicht in eine rationale Gleichung achten Grades „umwandeln“, indem beide Teile der ursprünglichen Gleichung quadriert werden. Die Suche nach den Wurzeln der resultierenden rationalen Gleichung ist schwierig, und die Bewältigung der Aufgabe erfordert ein hohes Maß an Einfallsreichtum. Daher ist es ratsam, eine andere, weniger traditionelle Lösungsmethode zu kennen. Zum Beispiel die von I. F. Sharygin vorgeschlagene Substitution.

Lasst uns , dann

Lassen Sie uns die rechte Seite der Gleichung umformen :

Unter Berücksichtigung der Transformationen ist die Gleichung wird die Form annehmen

.

Dann führen wir einen Ersatz ein

.

Die zweite Wurzel ist also redundant und .

Wenn die Idee zur Lösung der Gleichung nicht im Voraus bekannt ist , dann ist das Lösen auf die übliche Weise durch Quadrieren beider Teile der Gleichung problematisch, da das Ergebnis eine Gleichung achten Grades ist, deren Wurzeln äußerst schwer zu finden sind. Die Lösung mit trigonometrischer Substitution sieht umständlich aus. Es kann schwierig sein, die Wurzeln der Gleichung zu finden, wenn Sie nicht bemerken, dass sie wiederkehrend ist. Die Lösung dieser Gleichung erfolgt mit dem Apparat der Algebra, sodass wir sagen können, dass die vorgeschlagene Lösung kombiniert ist. Darin arbeiten Informationen aus Algebra und Trigonometrie für ein Ziel zusammen - eine Lösung zu finden. Außerdem erfordert die Lösung dieser Gleichung eine sorgfältige Betrachtung von zwei Fällen. Die Substitutionslösung ist technisch einfacher und schöner als eine trigonometrische Substitution. Es ist wünschenswert, dass die Studierenden diese Substitutionsmethode kennen und zur Problemlösung anwenden.

Wir betonen, dass die Verwendung der trigonometrischen Substitution zur Lösung von Problemen bewusst und gerechtfertigt sein sollte. Es ist ratsam, in Fällen, in denen die Lösung auf andere Weise schwieriger oder sogar unmöglich ist, auf Substitution zurückzugreifen. Lassen Sie uns noch ein Beispiel geben, das im Gegensatz zum vorherigen einfacher und schneller auf herkömmliche Weise zu lösen ist.