Anweisung

Bevor Sie mit dem Beweis beginnen, vergewissern Sie sich, dass die Linien in der gleichen Ebene liegen und darauf gezeichnet werden können. Die einfachste Beweismethode ist das Messen mit einem Lineal. Messen Sie dazu mit einem Lineal den Abstand zwischen den Geraden an mehreren möglichst weit voneinander entfernten Stellen. Wenn der Abstand gleich bleibt, sind die angegebenen Linien parallel. Diese Methode ist jedoch nicht genau genug, daher ist es besser, andere Methoden zu verwenden.

Zeichnen Sie eine dritte Linie so, dass sie beide parallelen Linien schneidet. Es bildet mit ihnen vier Außen- und vier Innenecken. Betrachten Sie Innenecken. Diejenigen, die durch die Sekantenlinie liegen, werden als Kreuzlagen bezeichnet. Diejenigen, die auf einer Seite liegen, werden als einseitig bezeichnet. Messen Sie mit einem Winkelmesser die beiden inneren diagonalen Ecken. Wenn sie gleich sind, sind die Linien parallel. Messen Sie im Zweifelsfall einseitige Innenwinkel und addieren Sie die resultierenden Werte. Linien sind parallel, wenn die Summe der einseitigen Innenwinkel gleich 180º ist.

Wenn Sie keinen Winkelmesser haben, verwenden Sie ein 90º-Winkel. Verwenden Sie es, um eine Senkrechte zu einer der Linien zu konstruieren. Setzen Sie danach diese Senkrechte so fort, dass sie eine andere Gerade schneidet. Überprüfen Sie mit demselben Quadrat, in welchem ​​​​Winkel diese Senkrechte es schneidet. Wenn dieser Winkel ebenfalls gleich 90º ist, dann sind die Linien parallel zueinander.

Falls die Linien im kartesischen Koordinatensystem angegeben sind, finden Sie ihre Hilfslinien oder Normalenvektoren. Wenn diese Vektoren jeweils kollinear zueinander sind, dann sind die Linien parallel. Bringen Sie die Liniengleichung auf eine allgemeine Form und finden Sie die Koordinaten des Normalenvektors jeder der Linien. Seine Koordinaten sind gleich den Koeffizienten A und B. Falls das Verhältnis der entsprechenden Koordinaten der Normalenvektoren gleich ist, sind sie kollinear und die Linien parallel.

Beispielsweise sind gerade Linien durch die Gleichungen 4x-2y+1=0 und x/1=(y-4)/2 gegeben. Die erste Gleichung ist von allgemeiner Form, die zweite ist kanonisch. Bringen Sie die zweite Gleichung auf eine allgemeine Form. Verwenden Sie dazu die Proportionsumrechnungsregel, und Sie erhalten am Ende 2x=y-4. Nach Reduktion auf eine allgemeine Form erhält man 2x-y + 4 = 0. Da die allgemeine Gleichung für jede Zeile Ax + Vy + C = 0 geschrieben ist, gilt für die erste Zeile: A = 4, B = 2 und für die zweite Zeile A = 2, B = 1. Für die erste direkte Koordinate des Normalenvektors (4;2) und für die zweite - (2;1). Finde das Verhältnis der entsprechenden Koordinaten der Normalenvektoren 4/2=2 und 2/1=2. Diese Zahlen sind gleich, was bedeutet, dass die Vektoren kollinear sind. Da die Vektoren kollinear sind, sind die Linien parallel.

In diesem Artikel geht es um parallele Linien und um parallele Linien. Zuerst wird die Definition von parallelen Linien in der Ebene und im Raum gegeben, die Notation eingeführt, Beispiele und grafische Darstellungen von parallelen Linien gegeben. Außerdem werden die Zeichen und Bedingungen der Parallelität von geraden Linien analysiert. Abschließend werden Lösungen für typische Probleme des Parallelitätsnachweises von Geraden gezeigt, die durch einige Geradengleichungen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem in einer Ebene und im dreidimensionalen Raum gegeben sind.

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Parallele Linien - grundlegende Informationen.

Definition.

Zwei Linien in einer Ebene werden aufgerufen parallel wenn sie keine gemeinsamen Punkte haben.

Definition.

Zwei Linien in drei Dimensionen werden genannt parallel wenn sie in der gleichen Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.

Beachten Sie, dass die Klausel "wenn sie in derselben Ebene liegen" in der Definition paralleler Linien im Raum sehr wichtig ist. Lassen Sie uns diesen Punkt klarstellen: Zwei gerade Linien im dreidimensionalen Raum, die keine gemeinsamen Punkte haben und nicht in derselben Ebene liegen, sind nicht parallel, sondern schief.

Hier sind einige Beispiele für parallele Linien. Die gegenüberliegenden Ränder des Notizbuchblattes liegen auf parallelen Linien. Die geraden Linien, entlang derer die Ebene der Hauswand die Ebenen der Decke und des Bodens schneidet, sind parallel. Bahngleise in der Ebene können auch als parallele Linien betrachtet werden.

Das Symbol "" wird verwendet, um parallele Linien zu bezeichnen. Das heißt, wenn die Linien a und b parallel sind, dann kannst du kurz ein b schreiben.

Beachten Sie, dass wenn die Linien a und b parallel sind, wir sagen können, dass Linie a parallel zu Linie b ist, und dass Linie b parallel zu Linie a ist.

Lassen Sie uns eine Aussage äußern, die beim Studium paralleler Linien in der Ebene eine wichtige Rolle spielt: Durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, verläuft die einzige Parallele zu der gegebenen. Diese Aussage wird als Tatsache akzeptiert (sie kann nicht auf der Grundlage der bekannten Axiome der Planimetrie bewiesen werden) und wird das Axiom der parallelen Linien genannt.

Für den Fall im Raum gilt der Satz: Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, geht eine einzige Gerade parallel zu der gegebenen. Dieser Satz lässt sich leicht mit dem obigen Axiom der parallelen Linien beweisen (Sie finden seinen Beweis im Geometrielehrbuch Klasse 10-11, das am Ende des Artikels in der Bibliographie aufgeführt ist).

Für den Fall im Raum gilt der Satz: Durch jeden Punkt im Raum, der nicht auf einer gegebenen Geraden liegt, geht eine einzige Gerade parallel zu der gegebenen. Dieser Satz lässt sich leicht mit dem oben angegebenen Parallelenaxiom beweisen.

Parallelität von Linien - Zeichen und Bedingungen der Parallelität.

Ein Zeichen für parallele Linien ist eine hinreichende Bedingung für parallele Linien, also eine solche Bedingung, deren Erfüllung parallele Linien garantiert. Mit anderen Worten, die Erfüllung dieser Bedingung reicht aus, um die Tatsache auszusagen, dass die Linien parallel sind.

Es gibt auch notwendige und hinreichende Bedingungen für parallele Linien in der Ebene und im dreidimensionalen Raum.

Lassen Sie uns die Bedeutung des Ausdrucks "notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien" erklären.

Die hinreichende Bedingung für parallele Linien haben wir bereits behandelt. Und was ist die "notwendige Bedingung für parallele Leitungen"? Durch den Namen "notwendig" wird deutlich, dass die Erfüllung dieser Bedingung notwendig ist, damit die Linien parallel sind. Mit anderen Worten, wenn die notwendige Bedingung für parallele Linien nicht erfüllt ist, dann sind die Linien nicht parallel. Auf diese Weise, notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien ist eine Bedingung, deren Erfüllung für Parallelleitungen sowohl notwendig als auch hinreichend ist. Das heißt, dies ist einerseits ein Zeichen für parallele Linien und andererseits eine Eigenschaft, die parallele Linien haben.

Bevor wir die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien angeben, ist es nützlich, einige Hilfsdefinitionen in Erinnerung zu rufen.

Sekantenlinie ist eine Gerade, die jede der beiden gegebenen nicht übereinstimmenden Geraden schneidet.

Am Schnittpunkt zweier Sekantenlinien werden acht nicht eingesetzte Linien gebildet. Die sogenannte querliegend, korrespondierend und einseitige Ecken. Lassen Sie uns sie auf der Zeichnung zeigen.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene von einer Sekante geschnitten werden, dann ist es für ihre Parallelität notwendig und ausreichend, dass die kreuzweise liegenden Winkel gleich sind oder die entsprechenden Winkel gleich sind oder die Summe der einseitigen Winkel gleich 180 Grad ist.

Lassen Sie uns diese notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien in der Ebene grafisch veranschaulichen.

Beweise für diese Bedingungen für parallele Linien finden Sie in Geometrie-Lehrbüchern für die Klassen 7-9.

Beachten Sie, dass diese Bedingungen auch im dreidimensionalen Raum verwendet werden können - Hauptsache, die beiden Geraden und die Sekante liegen in derselben Ebene.

Hier sind ein paar weitere Sätze, die oft beim Beweis der Parallelität von Linien verwendet werden.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene parallel zu einer dritten Geraden sind, dann sind sie parallel. Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus dem Axiom der Parallelen.

Eine ähnliche Bedingung gilt für parallele Linien im dreidimensionalen Raum.

Satz.

Wenn zwei Linien im Raum parallel zu einer dritten Linie sind, dann sind sie parallel. Der Nachweis dieser Eigenschaft wird im Geometrieunterricht der 10. Klasse berücksichtigt.

Lassen Sie uns die stimmhaften Theoreme veranschaulichen.

Geben wir noch einen Satz an, mit dem wir die Parallelität von Linien in der Ebene beweisen können.

Satz.

Wenn zwei Geraden in einer Ebene senkrecht zu einer dritten Geraden stehen, dann sind sie parallel.

Es gibt einen ähnlichen Satz für Linien im Raum.

Satz.

Stehen zwei Linien im dreidimensionalen Raum senkrecht auf derselben Ebene, dann sind sie parallel.

Lassen Sie uns Bilder zeichnen, die diesen Sätzen entsprechen.

Alle oben formulierten Sätze, Vorzeichen und notwendigen und hinreichenden Bedingungen sind hervorragend geeignet, um die Parallelität von Geraden mit Methoden der Geometrie zu beweisen. Das heißt, um die Parallelität zweier gegebener Geraden zu beweisen, muss man zeigen, dass sie parallel zur dritten Geraden sind, oder die Gleichheit von sich kreuzenden Winkeln zeigen usw. Viele dieser Probleme werden im Geometrieunterricht in der High School gelöst. Es sollte jedoch beachtet werden, dass es in vielen Fällen bequem ist, die Koordinatenmethode zu verwenden, um die Parallelität von Linien in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum zu beweisen. Formulieren wir die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Parallelität von Geraden, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben sind.

Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem.

In diesem Abschnitt des Artikels werden wir formulieren notwendige und hinreichende Bedingungen für Parallelleitungen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, abhängig von der Art der Gleichungen, die diese Linien bestimmen, und wir werden auch detaillierte Lösungen für typische Probleme geben.

Beginnen wir mit der Bedingung der Parallelität zweier Geraden in der Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy . Sein Beweis basiert auf der Definition des Richtungsvektors der Linie und der Definition des Normalenvektors der Linie auf der Ebene.

Satz.

Damit zwei nicht zusammenfallende Geraden in einer Ebene parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren dieser Geraden kollinear sind oder die Normalenvektoren dieser Geraden kollinear sind oder der Richtungsvektor einer Geraden senkrecht zur Normalen steht Vektor der zweiten Zeile.

Offensichtlich reduziert sich die Bedingung der Parallelität zweier Linien in der Ebene auf (Richtungsvektoren von Linien oder Normalenvektoren von Linien) oder auf (Richtungsvektor einer Linie und Normalenvektor der zweiten Linie). Also, wenn und sind die Richtungsvektoren der Linien a und b, und und die Normalenvektoren der Geraden a bzw. b sind, dann kann die notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Geraden a und b geschrieben werden als , oder , oder , wobei t eine reelle Zahl ist. Aus den bekannten Geradengleichungen werden wiederum die Koordinaten der Richtungs- und (oder) Normalenvektoren der Geraden a und b ermittelt.

Insbesondere wenn die Linie a im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy auf der Ebene definiert, definiert die allgemeine Liniengleichung die Form , und die Gerade b - , dann haben die Normalenvektoren dieser Linien die Koordinaten bzw. und die Bedingung der Parallelität der Linien a und b wird geschrieben als .

Entspricht die Gerade a der Gleichung der Geraden mit dem Steigungsbeiwert der Form . Wenn daher gerade Linien in einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem parallel sind und durch Gleichungen von geraden Linien mit Steigungskoeffizienten gegeben werden können, dann sind die Steigungskoeffizienten der Linien gleich. Und umgekehrt: Wenn durch die Geradengleichungen mit gleichem Steigungskoeffizienten nicht deckungsgleiche Geraden auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben werden können, dann sind solche Geraden parallel.

Wenn die Linie a und die Linie b in einem rechtwinkligen Koordinatensystem die kanonischen Gleichungen der Linie auf der Ebene der Form definieren und , oder parametrische Gleichungen einer geraden Linie auf einer Ebene der Form und dann haben die Richtungsvektoren dieser Linien die Koordinaten und , und die Parallelitätsbedingung für die Linien a und b wird als geschrieben.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Sind die Linien parallel? und ?

Entscheidung.

Wir schreiben die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten in Form einer allgemeinen Gleichung einer geraden Linie um: . Jetzt können wir sehen, dass das der Normalenvektor der Geraden ist , und ist der Normalenvektor der Geraden. Diese Vektoren sind nicht kollinear, da es keine reelle Zahl t gibt, für die die Gleichheit ( ). Folglich ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien in der Ebene nicht erfüllt, daher sind die gegebenen Linien nicht parallel.

Antworten:

Nein, die Linien sind nicht parallel.

Beispiel.

Sind Geraden und Parallelen?

Entscheidung.

Wir bringen die kanonische Geradengleichung auf die Geradengleichung mit Steigung: . Offensichtlich sind die Gleichungen der Linien und nicht gleich (in diesem Fall wären die gegebenen Linien gleich) und die Steigungen der Linien sind gleich, daher sind die ursprünglichen Linien parallel.

Die zweite Lösung.

Lassen Sie uns zunächst zeigen, dass die ursprünglichen Linien nicht zusammenfallen: Nehmen Sie einen beliebigen Punkt der Linie, zum Beispiel (0, 1) , die Koordinaten dieses Punktes erfüllen die Gleichung der Linie nicht, daher fallen die Linien nicht zusammen. Prüfen wir nun die Erfüllung der Bedingung der Parallelität dieser Linien. Der Normalenvektor der Linie ist der Vektor und der Richtungsvektor der Linie ist der Vektor . Rechnen wir und: . Folglich stehen die Vektoren und senkrecht, was bedeutet, dass die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität der gegebenen Linien erfüllt ist. Die Linien sind also parallel.

Antworten:

Die angegebenen Geraden sind parallel.

Um die Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum zu beweisen, wird die folgende notwendige und hinreichende Bedingung verwendet.

Satz.

Damit nicht zusammenfallende Linien im dreidimensionalen Raum parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass ihre Richtungsvektoren kollinear sind.

Wenn also die Liniengleichungen in einem rechteckigen Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum bekannt sind und Sie die Frage beantworten müssen, ob diese Linien parallel sind oder nicht, müssen Sie die Koordinaten der Richtungsvektoren dieser Linien finden und überprüfen die Erfüllung der Bedingung der Kollinearität der Richtungsvektoren. Mit anderen Worten, wenn und - Richtungsvektoren von Geraden gegebene Linien haben Koordinaten und . Als , dann . Somit ist die notwendige und hinreichende Bedingung erfüllt, dass zwei Linien im Raum parallel sind. Dies beweist die Parallelität der Linien und .

Referenzliste.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Klassen 7 - 9: ein Lehrbuch für Bildungseinrichtungen.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Lehrbuch für 10-11 Klassen der High School.
• Pogorelov A. V., Geometrie. Lehrbuch für die Klassen 7-11 von Bildungseinrichtungen.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Höhere Mathematik. Erster Band: Elemente der linearen Algebra und analytischen Geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytische Geometrie.

In diesem Artikel werden wir über parallele Linien sprechen, Definitionen geben, die Zeichen und Bedingungen der Parallelität bezeichnen. Zur Verdeutlichung des theoretischen Materials verwenden wir Illustrationen und die Lösung typischer Beispiele.

Bestimmung 1

Parallele Linien in der Ebene sind zwei gerade Linien in der Ebene, die keine gemeinsamen Punkte haben.

Bestimmung 2

Parallele Linien im 3D-Raum- zwei gerade Linien im dreidimensionalen Raum, die in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben.

Es sei darauf hingewiesen, dass zur Bestimmung paralleler Linien im Raum die Präzisierung „in derselben Ebene liegend“ äußerst wichtig ist: Zwei Linien im dreidimensionalen Raum, die keine gemeinsamen Punkte haben und nicht in derselben Ebene liegen, sind es nicht parallel, aber überschneidend.

Um parallele Linien zu bezeichnen, ist es üblich, das Symbol ∥ zu verwenden. Das heißt, wenn die gegebenen Linien a und b parallel sind, sollte diese Bedingung kurz wie folgt geschrieben werden: a ‖ b . Verblich wird die Parallelität von Linien wie folgt angegeben: Linien a und b sind parallel, oder Linie a ist parallel zu Linie b, oder Linie b ist parallel zu Linie a.

Lassen Sie uns eine Aussage formulieren, die im untersuchten Thema eine wichtige Rolle spielt.

Axiom

Durch einen Punkt, der nicht zu einer gegebenen Geraden gehört, gibt es nur eine Gerade parallel zu der gegebenen Geraden. Diese Aussage lässt sich anhand der bekannten Axiome der Planimetrie nicht beweisen.

Für den Raum gilt der Satz:

Satz 1

Durch jeden Punkt im Raum, der nicht zu einer gegebenen Geraden gehört, gibt es nur eine Parallele zur gegebenen Geraden.

Dieser Satz ist anhand des obigen Axioms (Geometrieprogramm für die Klassen 10-11) leicht zu beweisen.

Das Zeichen der Parallelität ist eine hinreichende Bedingung, unter der Parallelität garantiert ist. Mit anderen Worten, die Erfüllung dieser Bedingung reicht aus, um die Tatsache der Parallelität zu bestätigen.

Insbesondere gibt es notwendige und hinreichende Bedingungen für die Parallelität von Linien in der Ebene und im Raum. Zur Erläuterung: Notwendig bedeutet die Bedingung, deren Erfüllung für parallele Linien notwendig ist; wenn es nicht erfüllt ist, sind die Linien nicht parallel.

Zusammenfassend ist die notwendige und hinreichende Bedingung für die Parallelität von Linien eine solche Bedingung, deren Einhaltung notwendig und ausreichend ist, damit die Linien parallel zueinander sind. Dies ist einerseits ein Zeichen für Parallelität, andererseits eine Eigenschaft paralleler Linien.

Bevor wir eine genaue Formulierung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen geben, erinnern wir an einige weitere zusätzliche Konzepte.

Bestimmung 3

Sekantenlinie ist eine Gerade, die jede der beiden gegebenen nicht übereinstimmenden Geraden schneidet.

Die Sekante schneidet zwei gerade Linien und bildet acht nicht erweiterte Winkel. Um die notwendige und hinreichende Bedingung zu formulieren, verwenden wir Winkeltypen wie kreuzend, korrespondierend und einseitig. Lassen Sie uns sie in der Abbildung demonstrieren:

Satz 2

Wenn zwei Geraden in einer Ebene eine Sekante schneiden, dann ist es für die Parallelität der gegebenen Geraden notwendig und ausreichend, dass die kreuzweise liegenden Winkel gleich oder die entsprechenden Winkel gleich oder die Summe der einseitigen Winkel gleich 180 ist Grad.

Lassen Sie uns die notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien in der Ebene grafisch veranschaulichen:

Der Nachweis dieser Voraussetzungen liegt im Geometrieprogramm für die Klassen 7-9 vor.

Im Allgemeinen gelten diese Bedingungen auch für den dreidimensionalen Raum, sofern die beiden Geraden und die Sekante zur selben Ebene gehören.

Lassen Sie uns auf einige weitere Sätze hinweisen, die häufig verwendet werden, um die Tatsache zu beweisen, dass Linien parallel sind.

Satz 3

In einer Ebene sind zwei Geraden parallel zu einer dritten parallel zueinander. Dieses Merkmal wird auf der Grundlage des oben erwähnten Parallelitätsaxioms bewiesen.

Satz 4

Im dreidimensionalen Raum sind zwei Linien parallel zu einer dritten parallel zueinander.

Der Beweis des Attributs wird im Geometrieprogramm der 10. Klasse studiert.

Wir veranschaulichen diese Sätze:

Lassen Sie uns ein weiteres Satzpaar angeben, das die Parallelität von Linien beweist.

Satz 5

In einer Ebene sind zwei zu einer dritten senkrecht stehende Geraden parallel zueinander.

Lassen Sie uns eine ähnliche für einen dreidimensionalen Raum formulieren.

Satz 6

Im dreidimensionalen Raum sind zwei Linien senkrecht zu einer dritten parallel zueinander.

Lassen Sie uns veranschaulichen:

Alle oben genannten Sätze, Zeichen und Bedingungen ermöglichen es, die Parallelität von Linien bequem mit den Methoden der Geometrie zu beweisen. Das heißt, um die Parallelität von Linien zu beweisen, kann man zeigen, dass die entsprechenden Winkel gleich sind, oder die Tatsache zeigen, dass zwei gegebene Linien senkrecht zur dritten sind, und so weiter. Wir stellen jedoch fest, dass es oft bequemer ist, die Koordinatenmethode zu verwenden, um die Parallelität von Linien in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum zu beweisen.

Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem

In einem gegebenen rechteckigen Koordinatensystem wird eine gerade Linie durch die Gleichung einer geraden Linie auf einer Ebene eines der möglichen Typen bestimmt. In ähnlicher Weise entspricht eine gerade Linie, die in einem rechteckigen Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum gegeben ist, einigen Gleichungen einer geraden Linie im Raum.

Schreiben wir die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Parallelität von Geraden in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf, abhängig von der Art der Gleichung, die die gegebenen Geraden beschreibt.

Beginnen wir mit der Bedingung paralleler Linien in der Ebene. Sie basiert auf den Definitionen des Richtungsvektors der Linie und des Normalenvektors der Linie in der Ebene.

Satz 7

Damit zwei nicht zusammenfallende Linien in einer Ebene parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren der gegebenen Linien kollinear sind oder die Normalenvektoren der gegebenen Linien kollinear sind oder der Richtungsvektor einer Linie kollinear ist senkrecht zum Normalenvektor der anderen Geraden.

Es wird deutlich, dass die Bedingung paralleler Linien in der Ebene auf der Bedingung kollinearer Vektoren oder der Bedingung der Rechtwinkligkeit zweier Vektoren beruht. Das heißt, wenn a → = (a x , a y) und b → = (b x , b y) die Richtungsvektoren der Linien a und b sind;

und n b → = (n b x , n b y) Normalenvektoren der Geraden a und b sind, dann schreiben wir die obige notwendige und hinreichende Bedingung wie folgt: a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y oder n a → = t n b → ⇔ n a x = t n b x n a y = t n b y oder a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0 , wobei t eine reelle Zahl ist. Die Koordinaten der Richt- oder Direktvektoren werden durch die gegebenen Geradengleichungen bestimmt. Betrachten wir die wichtigsten Beispiele.

1. Die Gerade a in einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird durch die allgemeine Geradengleichung bestimmt: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; Linie b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Dann haben die Normalenvektoren der gegebenen Linien jeweils die Koordinaten (A 1 , B 1 ) und (A 2 , B 2 ). Wir schreiben die Parallelitätsbedingung wie folgt:

EIN 1 = t EIN 2 B 1 = t B 2

1. Die Gerade a wird durch die Geradengleichung mit einer Steigung der Form y = k 1 x + b 1 beschrieben. Gerade b - y \u003d k 2 x + b 2. Dann haben die Normalenvektoren der gegebenen Linien die Koordinaten (k 1 , - 1) bzw. (k 2 , - 1), und wir schreiben die Parallelitätsbedingung wie folgt:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Wenn also parallele Linien auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch Gleichungen mit Steigungskoeffizienten gegeben sind, dann sind die Steigungskoeffizienten der gegebenen Linien gleich. Und die umgekehrte Aussage ist wahr: Wenn nicht zusammenfallende Linien auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch die Gleichungen einer Linie mit denselben Steigungskoeffizienten bestimmt werden, dann sind diese gegebenen Linien parallel.

1. Die Linien a und b in einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind durch die kanonischen Gleichungen der Linie in der Ebene gegeben: x - x 1 a x = y - y 1 a y und x - x 2 b x = y - y 2 b y oder die parametrischen Gleichungen der Linie in der Ebene: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y und x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y .

Dann sind die Richtungsvektoren der gegebenen Linien: a x , a y bzw. b x , b y, und wir schreiben die Parallelitätsbedingung wie folgt:

a x = t b x a y = t b y

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel 1

Gegeben seien zwei Zeilen: 2 x - 3 y + 1 = 0 und x 1 2 + y 5 = 1 . Sie müssen feststellen, ob sie parallel sind.

Entscheidung

Wir schreiben die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten in Form einer allgemeinen Gleichung:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Wir sehen, dass n a → = (2 , - 3) der Normalenvektor der Geraden 2 x - 3 y + 1 = 0 ist und n b → = 2 , 1 5 der Normalenvektor der Geraden x 1 2 + y 5 ist = 1 .

Die resultierenden Vektoren sind nicht kollinear, weil es gibt keinen solchen Wert von t, für den die Gleichheit gilt:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Somit ist die notwendige und hinreichende Bedingung der Parallelität von Linien in der Ebene nicht erfüllt, was bedeutet, dass die gegebenen Linien nicht parallel sind.

Antworten: gegebene Geraden sind nicht parallel.

Beispiel 2

Gegebene Linien y = 2 x + 1 und x 1 = y - 4 2 . Sind sie parallel?

Entscheidung

Lassen Sie uns die kanonische Gleichung der geraden Linie x 1 \u003d y - 4 2 in die Gleichung einer geraden Linie mit einer Steigung umwandeln:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Wir sehen, dass die Gleichungen der Geraden y = 2 x + 1 und y = 2 x + 4 nicht gleich sind (andernfalls wären die Geraden gleich) und die Steigungen der Geraden gleich sind, was bedeutet, dass die angegebenen Geraden sind parallel.

Versuchen wir, das Problem anders zu lösen. Zuerst prüfen wir, ob die gegebenen Linien übereinstimmen. Wir verwenden einen beliebigen Punkt der Linie y \u003d 2 x + 1, zum Beispiel (0, 1) , die Koordinaten dieses Punktes entsprechen nicht der Gleichung der Linie x 1 \u003d y - 4 2, was bedeutet, dass die Linien stimmen nicht überein.

Der nächste Schritt besteht darin, die Erfüllung der Parallelitätsbedingung für die gegebenen Linien zu bestimmen.

Der Normalenvektor der Geraden y = 2 x + 1 ist der Vektor n a → = (2 , - 1) , und der Richtungsvektor der zweiten gegebenen Geraden ist b → = (1 , 2) . Das Skalarprodukt dieser Vektoren ist Null:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Die Vektoren sind also senkrecht: Dies zeigt uns die Erfüllung der notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Parallelität der ursprünglichen Linien. Jene. gegebene Geraden sind parallel.

Antworten: diese Linien sind parallel.

Um die Parallelität von Linien in einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums zu beweisen, wird die folgende notwendige und hinreichende Bedingung verwendet.

Satz 8

Damit zwei nicht zusammenfallende Linien im dreidimensionalen Raum parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren dieser Linien kollinear sind.

Jene. für gegebene Liniengleichungen im dreidimensionalen Raum wird die Antwort auf die Frage: Sind sie parallel oder nicht, gefunden, indem die Koordinaten der Richtungsvektoren der gegebenen Linien bestimmt werden, sowie die Bedingung ihrer Kollinearität überprüft wird. Mit anderen Worten, wenn a → = (a x, a y, a z) und b → = (b x, b y, b z) die Richtungsvektoren der Linien a bzw. b sind, dann müssen sie parallel sein, die Existenz einer solchen reellen Zahl t ist notwendig, damit Gleichheit gilt:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Beispiel 3

Gegebene Linien x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 und x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ . Es ist notwendig, die Parallelität dieser Linien zu beweisen.

Entscheidung

Die Bedingungen des Problems sind die kanonischen Gleichungen einer geraden Linie im Raum und die parametrischen Gleichungen einer anderen geraden Linie im Raum. Richtungsvektoren ein → und b → gegebene Linien haben Koordinaten: (1 , 0 , - 3) und (2 , 0 , - 6) .

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , dann a → = 1 2 b → .

Damit ist die notwendige und hinreichende Bedingung für parallele Linien im Raum erfüllt.

Antworten: die Parallelität der gegebenen Geraden ist bewiesen.

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Parallele Linien. Eigenschaften und Zeichen paralleler Linien

1. Axiom der Parallele. Durch einen gegebenen Punkt kann höchstens eine gerade Linie parallel zu dem gegebenen gezogen werden.

2. Wenn zwei Geraden parallel zur gleichen Geraden verlaufen, dann sind sie parallel zueinander.

3. Zwei Linien, die senkrecht auf derselben Linie stehen, sind parallel.

4. Wenn zwei parallele Geraden von einer dritten geschnitten werden, so sind die gleichzeitig gebildeten inneren kreuzenden Winkel gleich; entsprechende Winkel sind gleich; innere einseitige Winkel addieren sich zu 180°.

5. Bildet am Schnittpunkt zweier Geraden die dritte gleich große, kreuzweise liegende Innenwinkel, so sind die Geraden parallel.

6. Wenn am Schnittpunkt zweier Geraden die dritte gleiche Winkel bildet, dann sind die Geraden parallel.

7. Wenn am Schnittpunkt zweier Linien der dritten die Summe der einseitigen Innenwinkel 180 ° beträgt, sind die Linien parallel.

Satz von Thales. Wenn gleiche Segmente auf einer Seite des Winkels ausgelegt werden und parallele gerade Linien durch ihre Enden gezogen werden, die die zweite Seite des Winkels schneiden, dann werden gleiche Segmente auch auf der zweiten Seite des Winkels abgelegt.

Satz über proportionale Segmente. Parallele gerade Linien, die die Seiten des Winkels schneiden, schneiden proportionale Segmente darauf.

Dreieck. Zeichen der Gleichheit von Dreiecken.

1. Sind zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines Dreiecks jeweils gleich zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen eines anderen Dreiecks, dann sind die Dreiecke kongruent.

2. Wenn die Seite und zwei daran angrenzende Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei daran angrenzenden Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke kongruent.

3. Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke kongruent.

Zeichen der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke

1. Auf zwei Beinen.

2. Entlang des Beins und der Hypotenuse.

3. Durch Hypotenuse und spitzen Winkel.

4. Entlang des Beins und einem spitzen Winkel.

Der Satz über die Winkelsumme eines Dreiecks und seine Folgen

1. Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 180°.

2. Der Außenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe zweier nicht benachbarter Innenwinkel.

3. Die Summe der Innenwinkel eines konvexen n-Ecks ist

4. Die Summe der Außenwinkel eines Ga-Gons beträgt 360°.

5. Winkel mit zueinander senkrechten Seiten sind gleich, wenn sie beide spitz oder beide stumpf sind.

6. Der Winkel zwischen den Winkelhalbierenden benachbarter Winkel beträgt 90°.

7. Die Winkelhalbierenden von einseitigen Innenwinkeln mit parallelen Linien und einer Sekante sind senkrecht.

Die wichtigsten Eigenschaften und Zeichen eines gleichschenkligen Dreiecks

1. Die Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich.

2. Wenn zwei Winkel eines Dreiecks gleich sind, dann ist es gleichschenklig.

3. In einem gleichschenkligen Dreieck sind Mittellinie, Winkelhalbierende und zur Basis gezogene Höhe gleich.

4. Wenn ein Paar von Segmenten aus dem Tripel - Median, Winkelhalbierende, Höhe - in einem Dreieck zusammenfällt, dann ist es gleichschenklig.

Die Dreiecksungleichung und ihre Folgen

1. Die Summe zweier Seiten eines Dreiecks ist größer als seine dritte Seite.

2. Die Summe der Glieder der unterbrochenen Linie ist größer als das Segment, das den Anfang verbindet

das erste Glied mit dem Ende des letzten.

3. Gegenüber dem größeren Winkel des Dreiecks liegt die größere Seite.

4. Gegen die größere Seite des Dreiecks liegt ein größerer Winkel.

5. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist größer als das Bein.

6. Wenn Senkrecht und Schräg von einem Punkt zu einer Geraden gezogen werden, dann

1) die Senkrechte ist kürzer als die Schrägen;

2) eine größere Neigung entspricht einer größeren Projektion und umgekehrt.

Die Mittellinie des Dreiecks.

Die Strecke, die die Mittelpunkte der beiden Seiten eines Dreiecks verbindet, wird als Mittellinie des Dreiecks bezeichnet.

Dreiecksmittelliniensatz.

Die Mittellinie des Dreiecks ist parallel zur Seite des Dreiecks und gleich der Hälfte davon.

Dreiecksmediansätze

1. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich an einem Punkt und teilen es im Verhältnis 2: 1, von oben gezählt.

2. Wenn die Seitenhalbierende eines Dreiecks gleich der Hälfte der Seite ist, zu der es gezeichnet wird, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

3. Die Seitenhalbierende eines rechtwinkligen Dreiecks, das von der Spitze des rechten Winkels gezogen wird, ist gleich der Hälfte der Hypotenuse.

Eigenschaft von Mittelsenkrechten zu den Seiten eines Dreiecks. Die Mittelsenkrechten zu den Seiten des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der der Mittelpunkt des um das Dreieck umschriebenen Kreises ist.

Dreieckshöhensatz. Die Höhenlinien des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

Satz der Dreieckshalbierenden. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der der Mittelpunkt des in das Dreieck eingeschriebenen Kreises ist.

Winkeleigenschaft eines Dreiecks. Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt seine Seite in Abschnitte, die proportional zu den anderen beiden Seiten sind.

Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken

1. Wenn zwei Winkel eines Dreiecks jeweils zwei Winkeln eines anderen Dreiecks entsprechen, dann sind die Dreiecke ähnlich.

2. Wenn zwei Seiten eines Dreiecks jeweils proportional zu zwei Seiten eines anderen Dreiecks sind und die zwischen diesen Seiten eingeschlossenen Winkel gleich sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

3. Wenn die drei Seiten eines Dreiecks jeweils proportional zu den drei Seiten eines anderen sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Bereiche ähnlicher Dreiecke

1. Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten.

2. Wenn zwei Dreiecke gleiche Winkel haben, dann verhalten sich ihre Flächen als Produkte der Seiten, die diese Winkel einschließen.

In einem rechtwinkligen Dreieck

1. Der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und dem Sinus des gegenüberliegenden oder dem Kosinus des an diesen Schenkel angrenzenden spitzen Winkels.

2. Das Bein eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem anderen Bein multipliziert mit der Tangente des gegenüberliegenden oder dem Kotangens des spitzen Winkels neben diesem Bein.

3. Der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks, der einem Winkel von 30 ° gegenüberliegt, entspricht der Hälfte der Hypotenuse.

4. Wenn der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der Hälfte der Hypotenuse ist, dann beträgt der Winkel gegenüber diesem Schenkel 30°.

5. R = ; g \u003d, wobei a, b Beine und c die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks sind; r und R sind die Radien der eingeschriebenen bzw. umschriebenen Kreise.

Der Satz des Pythagoras und die Umkehrung des Satzes des Pythagoras

1. Das Quadrat der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel.

2. Wenn das Quadrat einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate seiner beiden anderen Seiten ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Mittlere Proportionen in einem rechtwinkligen Dreieck.

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks, gezeichnet von der Spitze des rechten Winkels, ist der Durchschnitt proportional zu den Projektionen der Beine auf die Hypotenuse, und jedes Bein ist der Durchschnitt proportional zur Hypotenuse und ihrer Projektion auf die Hypotenuse.

Metrische Verhältnisse in einem Dreieck

1. Kosinussatz. Das Quadrat einer Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten, ohne das Produkt dieser Seiten mal dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu verdoppeln.

2. Folgerung aus dem Kosinussatz. Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate aller seiner Seiten.

3. Formel für den Median eines Dreiecks. Wenn m der Median des Dreiecks ist, das zur Seite c gezogen wird, dann ist m = wobei a und b die restlichen Seiten des Dreiecks sind.

4. Sinussatz. Die Seiten eines Dreiecks sind proportional zu den Sinus der gegenüberliegenden Winkel.

5. Verallgemeinerter Sinussatz. Das Verhältnis einer Seite eines Dreiecks zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist gleich dem Durchmesser des Kreises, der das Dreieck umschreibt.

Dreiecksflächenformeln

1. Die Fläche eines Dreiecks ist das halbe Produkt aus Grundfläche und Höhe.

2. Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts seiner beiden Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.

3. Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem Produkt aus seinem Halbumfang und dem Radius des einbeschriebenen Kreises.

4. Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem Produkt seiner drei Seiten geteilt durch den vierfachen Radius des umschriebenen Kreises.

5. Heron-Formel: S=, wobei p der Halbumfang ist; a, b, c - Seiten des Dreiecks.

Elemente eines gleichseitigen Dreiecks. Seien h, S, r, R die Höhe, die Fläche und die Radien der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seite a. Dann
Vierecke

Parallelogramm. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten paarweise parallel sind.

Eigenschaften und Merkmale eines Parallelogramms.

1. Die Diagonale teilt das Parallelogramm in zwei gleiche Dreiecke.

2. Gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind paarweise gleich.

3. Gegenüberliegende Winkel eines Parallelogramms sind paarweise gleich.

4. Die Diagonalen des Parallelogramms schneiden und halbieren den Schnittpunkt.

5. Wenn die gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise gleich sind, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.

6. Wenn zwei gegenüberliegende Seiten eines Vierecks gleich und parallel sind, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.

7. Wenn die Diagonalen eines Vierecks durch den Schnittpunkt halbiert werden, dann ist dieses Viereck ein Parallelogramm.

Eigenschaft der Mittelpunkte der Seiten eines Vierecks. Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks sind die Eckpunkte eines Parallelogramms, dessen Fläche die Hälfte der Fläche des Vierecks ist.

Rechteck. Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel.

Eigenschaften und Zeichen eines Rechtecks.

1. Die Diagonalen eines Rechtecks ​​sind gleich.

2. Wenn die Diagonalen eines Parallelogramms gleich sind, dann ist dieses Parallelogramm ein Rechteck.

Quadrat. Ein Quadrat ist ein Rechteck, dessen Seiten alle gleich sind.

Rhombus. Eine Raute ist ein Viereck, dessen Seiten alle gleich sind.

Eigenschaften und Zeichen einer Raute.

1. Die Diagonalen der Raute sind senkrecht.

2. Die Diagonalen einer Raute halbieren ihre Ecken.

3. Wenn die Diagonalen eines Parallelogramms senkrecht stehen, dann ist dieses Parallelogramm eine Raute.

4. Wenn die Diagonalen eines Parallelogramms seine Winkel halbieren, dann ist dieses Parallelogramm eine Raute.

Trapez. Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem nur zwei gegenüberliegende Seiten (Grundseiten) parallel sind. Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte von nicht parallelen Seiten (Seitenseiten) verbindet.

1. Die Mittellinie des Trapezes ist parallel zu den Basen und gleich ihrer Halbsumme.

2. Das Segment, das die Mittelpunkte der Diagonalen des Trapezes verbindet, ist gleich der halben Differenz der Basen.

Bemerkenswerte Eigenschaft eines Trapezes. Der Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes, der Schnittpunkt der Verlängerungen der Seiten und die Mittelpunkte der Basen liegen auf derselben Geraden.

Gleichschenkliges Trapez. Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn seine Seiten gleich sind.

Eigenschaften und Zeichen eines gleichschenkligen Trapezes.

1. Die Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Trapezes sind gleich.

2. Die Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes sind gleich.

3. Wenn die Winkel an der Basis des Trapezes gleich sind, dann ist es gleichschenklig.

4. Wenn die Diagonalen eines Trapezes gleich sind, dann ist es gleichschenklig.

5. Die Projektion der Seitenfläche eines gleichschenkligen Trapezes auf die Grundfläche ist gleich der halben Differenz der Grundflächen, und die Projektion der Diagonalen ist gleich der Halbsumme der Grundflächen.

Formeln für die Fläche eines Vierecks

1. Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe.

2. Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt seiner benachbarten Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.

3. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt seiner beiden benachbarten Seiten.

4. Die Fläche einer Raute ist das halbe Produkt ihrer Diagonalen.

5. Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der Hälfte der Summe der Basen und der Höhe.

6. Die Fläche eines Vierecks ist gleich dem halben Produkt seiner Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen.

7. Herons Formel für ein Viereck, um das ein Kreis beschrieben werden kann:

S \u003d, wobei a, b, c, d die Seiten dieses Vierecks sind, p der Halbumfang und S die Fläche ist.

Ähnliche Zahlen

1. Das Verhältnis der entsprechenden linearen Elemente ähnlicher Figuren ist gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten.

2. Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Figuren ist gleich dem Quadrat des Ähnlichkeitskoeffizienten.

regelmäßiges Vieleck.

Sei a n die Seite eines regelmäßigen n-Ecks und r n und R n die Radien der einbeschriebenen und umschriebenen Kreise. Dann

Kreis.

Ein Kreis ist der Ort von Punkten in einer Ebene, die denselben positiven Abstand von einem bestimmten Punkt haben, der als Mittelpunkt des Kreises bezeichnet wird.

Grundlegende Eigenschaften eines Kreises

1. Der Durchmesser senkrecht zur Sehne teilt die Sehne und die Bögen, die er subtrahiert, in zwei Hälften.

2. Ein Durchmesser, der durch die Mitte einer Sehne verläuft, die kein Durchmesser ist, steht senkrecht zu dieser Sehne.

3. Die Mittellinie senkrecht zur Sehne verläuft durch den Mittelpunkt des Kreises.

4. Gleiche Sehnen werden in gleichen Abständen vom Mittelpunkt des Kreises entfernt.

5. Die vom Zentrum gleich weit entfernten Sehnen eines Kreises sind gleich.

6. Der Kreis ist in Bezug auf jeden seiner Durchmesser symmetrisch.

7. Kreisbögen, die zwischen parallelen Sehnen eingeschlossen sind, sind gleich.

8. Von den beiden Akkorden ist derjenige größer, der weniger von der Mitte entfernt ist.

9. Durchmesser ist die größte Sehne eines Kreises.

Tangente zum Kreis. Eine Gerade, die einen einzigen Punkt mit einem Kreis gemeinsam hat, heißt Tangente an den Kreis.

1. Die Tangente steht senkrecht auf dem zum Berührungspunkt gezogenen Radius.

2. Wenn die Linie a, die durch einen Punkt auf dem Kreis verläuft, senkrecht zu dem Radius ist, der zu diesem Punkt gezogen wird, dann ist die Linie a eine Tangente an den Kreis.

3. Wenn die durch den Punkt M verlaufenden Geraden den Kreis an den Punkten A und B berühren, dann ist MA = MB und ﮮAMO = ﮮBMO, wobei Punkt O der Mittelpunkt des Kreises ist.

4. Der Mittelpunkt eines einem Winkel einbeschriebenen Kreises liegt auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels.

Tangentenkreis. Zwei Kreise sollen sich berühren, wenn sie einen einzigen gemeinsamen Punkt (Tangentenpunkt) haben.

1. Der Berührungspunkt zweier Kreise liegt auf ihrer Mittelpunktslinie.

2. Kreise der Radien r und R mit den Mittelpunkten O 1 und O 2 berühren sich extern genau dann, wenn R + r \u003d O 1 O 2.

3. Kreise mit den Radien r und R (r

4. Kreise mit den Mittelpunkten O 1 und O 2 berühren sich extern am Punkt K. Eine gerade Linie berührt diese Kreise an verschiedenen Punkten A und B und schneidet sich mit einer gemeinsamen Tangente, die durch Punkt K an Punkt C verläuft. Dann ﮮAK B \u003d 90 ° und ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °.

5. Das Segment der gemeinsamen äußeren Tangente an zwei Tangentenkreise mit den Radien r und R ist gleich dem Segment der gemeinsamen inneren Tangente, die zwischen den gemeinsamen äußeren eingeschlossen ist. Beide Segmente sind gleich.

Winkel, die einem Kreis zugeordnet sind

1. Der Wert des Kreisbogens ist gleich dem Wert des darauf basierenden Zentriwinkels.

2. Ein einbeschriebener Winkel ist gleich der halben Winkelgröße des Bogens, auf dem er ruht.

3. Einbeschriebene Winkel, die auf demselben Bogen basieren, sind gleich.

4. Der Winkel zwischen sich schneidenden Sehnen ist gleich der Hälfte der Summe der gegenüberliegenden Bögen, die von den Sehnen geschnitten werden.

5. Der Winkel zwischen zwei Sekanten, die sich außerhalb des Kreises schneiden, ist gleich der halben Differenz der Bögen, die von den Sekanten auf dem Kreis geschnitten werden.

6. Der Winkel zwischen der Tangente und der vom Berührungspunkt gezogenen Sehne ist gleich dem halben Winkelwert des Bogens, der von dieser Sehne auf dem Kreis geschnitten wird.

Eigenschaften von Kreisakkorden

1. Die Mittelpunktslinie zweier sich schneidender Kreise steht senkrecht auf ihrer gemeinsamen Sehne.

2. Die Produkte der Längen der Segmente der Akkorde AB und CD des Kreises, der sich am Punkt E schneidet, sind gleich, dh AE EB \u003d CE ED.

Eingeschriebene und umschriebene Kreise

1. Die Mittelpunkte der eingeschriebenen und umschriebenen Kreise eines regelmäßigen Dreiecks fallen zusammen.

2. Der Mittelpunkt eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises ist der Mittelpunkt der Hypotenuse.

3. Wenn einem Viereck ein Kreis eingeschrieben werden kann, dann sind die Summen seiner gegenüberliegenden Seiten gleich.

4. Wenn einem Kreis ein Viereck einbeschrieben werden kann, dann beträgt die Summe seiner gegenüberliegenden Winkel 180°.

5. Wenn die Summe der gegenüberliegenden Winkel eines Vierecks 180° beträgt, dann lässt sich ein Kreis darum herum beschreiben.

6. Lässt sich einem Trapez ein Kreis einschreiben, so ist die laterale Seite des Trapezes im rechten Winkel vom Kreismittelpunkt aus sichtbar.

7. Wenn einem Trapez ein Kreis eingeschrieben werden kann, dann ist der Radius des Kreises der Durchschnitt proportional zu den Segmenten, in die der Tangentenpunkt die laterale Seite teilt.

8. Wenn ein Kreis in ein Polygon eingeschrieben werden kann, dann ist seine Fläche gleich dem Produkt aus dem Halbumfang des Polygons und dem Radius dieses Kreises.

Der Tangenten- und Sekantensatz und seine Folgerung

1. Wenn eine Tangente und eine Sekante von einem Punkt an den Kreis gezogen werden, dann ist das Produkt der gesamten Sekante mit ihrem äußeren Teil gleich dem Quadrat der Tangente.

2. Das Produkt der gesamten Sekante mit ihrem äußeren Teil für einen gegebenen Punkt und einen gegebenen Kreis ist konstant.

Der Umfang eines Kreises mit Radius R ist C= 2πR

KAPITEL III.
PARALLELE LINIEN

§ 35. Zeichen der Parallelität zweier direkter Linien.

Der Satz, dass zwei Senkrechte zu einer Geraden parallel sind (§ 33), gibt ein Zeichen dafür, dass zwei Geraden parallel sind. Es ist möglich, allgemeinere Zeichen der Parallelität zweier Linien abzuleiten.

1. Das erste Zeichen der Parallelität.

Sind am Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die einander gegenüberliegenden Innenwinkel gleich groß, so sind diese Geraden parallel.

Lassen Sie die Linien AB und CD die Linie EF und schneiden / 1 = / 2. Nehmen Sie den Punkt O - die Mitte des Segments KL der Sekante EF (Abb. 189).

Lassen Sie uns das senkrechte OM vom Punkt O auf die Linie AB fallen lassen und es fortsetzen, bis es die Linie CD schneidet, AB_|_MN. Lassen Sie uns beweisen, dass CD_|_MN.
Betrachten Sie dazu zwei Dreiecke: MOE und NOK. Diese Dreiecke sind einander gleich. Tatsächlich: / 1 = / 2 durch die Bedingung des Theorems; OK = OL - konstruktionsbedingt;
/ Mol = / NOK als senkrechte Ecken. Somit sind die Seite und zwei daran angrenzende Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei daran angrenzenden Winkel eines anderen Dreiecks; somit, /\ Mol = /\ NOK, und daher
/ LMO = / weiß aber / LMO ist direkt, daher und / KNO ist auch direkt. Die Geraden AB und CD stehen also senkrecht auf derselben Geraden MN, sind also parallel (§ 33), was zu beweisen war.

Notiz. Der Schnittpunkt der Geraden MO und CD lässt sich ermitteln, indem man das Dreieck MOL um 180° um den Punkt O dreht.

2. Das zweite Zeichen der Parallelität.

Mal sehen, ob die Linien AB und CD parallel sind, wenn am Schnittpunkt ihrer dritten Linie EF die entsprechenden Winkel gleich sind.

Einige entsprechende Winkel seien zum Beispiel gleich / 3 = / 2 (Entwicklung 190);
/ 3 = / 1, da die Ecken vertikal sind; meint, / 2 werden gleich sein / 1. Aber die Winkel 2 und 1 sind innere kreuzweise liegende Winkel, und wir wissen bereits, dass, wenn am Schnittpunkt zweier Geraden mit einer dritten die inneren querliegenden Winkel gleich sind, diese Geraden parallel sind. Daher AB || CD.

Wenn am Schnittpunkt zweier Linien der dritten die entsprechenden Winkel gleich sind, dann sind diese beiden Linien parallel.

Auf dieser Eigenschaft basiert die Konstruktion paralleler Linien mit Hilfe eines Lineals und eines Zeichendreiecks. Dies geschieht wie folgt.

Lassen Sie uns das Dreieck wie in Zeichnung 191 gezeigt am Lineal befestigen. Wir verschieben das Dreieck so, dass eine seiner Seiten entlang des Lineals gleitet, und zeichnen mehrere gerade Linien entlang jeder anderen Seite des Dreiecks. Diese Linien werden parallel sein.

3. Das dritte Zeichen der Parallelität.

Lassen Sie uns wissen, dass am Schnittpunkt der beiden Linien AB und CD mit der dritten Linie die Summe aller einseitigen Innenwinkel gleich 2 ist d(oder 180°). Werden die Linien AB und CD in diesem Fall parallel sein (Abb. 192).

Lassen / 1 und / 2 einseitige Innenwinkel und addieren sich zu 2 d.
Aber / 3 + / 2 = 2d als Nebenwinkel. Somit, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Von hier / 1 = / 3, und diese Ecken liegen innen quer. Daher AB || CD.

Wenn am Schnittpunkt zweier Geraden eine dritte liegt, ist die Summe der inneren einseitigen Winkel gleich 2 d, dann sind die beiden Geraden parallel.

Eine Übung.

Beweisen Sie, dass die Geraden parallel sind:
a) wenn die äußeren kreuzenden Winkel gleich sind (Abb. 193);
b) wenn die Summe der äußeren einseitigen Winkel 2 ist d(Teufel 194).