j (x) = e x, deren Ableitung gleich der Funktion selbst ist.

Der Exponent wird als , oder bezeichnet.

e-Nummer

Die Basis des Grades des Exponenten ist e-Nummer. Das ist eine irrationale Zahl. Es ist ungefähr gleich
e ≈ 2,718281828459045...

Die Zahl e wird durch den Grenzwert der Folge bestimmt. Diese sog zweite wunderbare Grenze:
.

Auch die Zahl e kann als Reihe dargestellt werden:
.

Ausstellerkarte

Exponentendiagramm, y = e x .

Die Grafik zeigt den Exponenten, e soweit X.
j (x) = e x
Der Graph zeigt, dass der Exponent monoton wächst.

Formeln

Die Grundformeln sind die gleichen wie bei der Exponentialfunktion mit einer Basis vom Grad e.

;
;
;

Ausdruck einer Exponentialfunktion mit beliebiger Basis vom Grad a durch den Exponenten:
.

Private Werte

Lassen Sie y (x) = e x. Dann
.

Exponenteneigenschaften

Der Exponent hat die Eigenschaften einer Exponentialfunktion mit Gradbasis e > 1 .

Definitionsbereich, Wertemenge

Exponent y (x) = e x für alle x definiert.
Sein Geltungsbereich ist:
- ∞ < x + ∞ .
Sein Satz von Bedeutungen:
0 < y < + ∞ .

Extreme, Zunahme, Abnahme

Der Exponent ist eine monoton steigende Funktion, hat also keine Extrema. Seine Haupteigenschaften sind in der Tabelle dargestellt.

Umkehrfunktion

Der Kehrwert des Exponenten ist der natürliche Logarithmus.
;
.

Ableitung des Exponenten

Derivat e soweit X entspricht e soweit X :
.
Ableitung n-ter Ordnung:
.
Ableitung von Formeln > > >

Integral

Komplexe Zahlen

Operationen mit komplexen Zahlen werden mit ausgeführt Euler-Formeln:
,
wo ist die imaginäre einheit:
.

Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen

; ;
.

Ausdrücke in Bezug auf trigonometrische Funktionen

; ;
;
.

Erweiterung der Potenzreihen

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Beachtung!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Was "quadratische Ungleichung"? Keine Frage!) Wenn Sie nehmen irgendein quadratische Gleichung und ändere das Vorzeichen darin "=" (gleich) zu einem beliebigen Ungleichheitssymbol ( > ≥ < ≤ ≠ ) erhalten wir eine quadratische Ungleichung. Zum Beispiel:

1. x2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Nun, Sie haben die Idee ...)

Ich habe hier wissentlich Gleichungen und Ungleichungen verknüpft. Tatsache ist, dass der erste Schritt zur Lösung irgendein quadratische Ungleichung - Lösen Sie die Gleichung, aus der diese Ungleichung besteht. Aus diesem Grund - die Unfähigkeit, quadratische Gleichungen zu lösen, führt automatisch zu einem vollständigen Versagen bei Ungleichungen. Ist der Hinweis klar?) Wenn überhaupt, sehen Sie sich an, wie man quadratische Gleichungen löst. Dort ist alles detailliert. Und in dieser Lektion werden wir uns mit Ungleichheiten befassen.

Die lösungsbereite Ungleichung hat die Form: links - quadratisches Trinom Axt 2 +bx+c, rechts - null. Das Ungleichheitszeichen kann absolut alles sein. Die ersten beiden Beispiele sind hier sind bereit für eine Entscheidung. Das dritte Beispiel muss noch vorbereitet werden.

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Seit der Antike ist es notwendig, Werte und Mengen zu vergleichen, um praktische Probleme zu lösen. Gleichzeitig erschienen Wörter wie mehr und weniger, höher und niedriger, leichter und schwerer, leiser und lauter, billiger und teurer usw., die die Ergebnisse des Vergleichs homogener Mengen bezeichnen.

Die Begriffe Mehr und Weniger entstanden im Zusammenhang mit dem Zählen von Gegenständen, dem Messen und Vergleichen von Mengen. Die Mathematiker des antiken Griechenlands wussten zum Beispiel, dass die Seite eines jeden Dreiecks kleiner ist als die Summe der beiden anderen Seiten und dass die größere Seite des Dreiecks dem größeren Winkel gegenüberliegt. Archimedes fand bei der Berechnung des Umfangs eines Kreises heraus, dass der Umfang jedes Kreises gleich dem Dreifachen des Durchmessers ist, mit einem Überschuss, der weniger als ein Siebtel des Durchmessers, aber mehr als zehn Einundsiebzigsten des Durchmessers beträgt.

Schreiben Sie Beziehungen zwischen Zahlen und Mengen symbolisch mit den Zeichen > und b. Einträge, bei denen zwei Zahlen durch eines der Zeichen: > (größer als) verbunden sind, stießen Sie auch in Grundschulnoten auf numerische Ungleichheiten. Sie wissen, dass Ungleichheiten wahr sein können oder nicht. Beispielsweise ist \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) eine gültige numerische Ungleichung, 0,23 > 0,235 ist eine ungültige numerische Ungleichung.

Ungleichungen, die Unbekannte enthalten, können für einige Werte der Unbekannten wahr und für andere falsch sein. Beispielsweise ist die Ungleichung 2x+1>5 wahr für x = 3, aber falsch für x = -3. Für eine Ungleichung mit einer Unbekannten können Sie die Aufgabe stellen: Lösen Sie die Ungleichung. Probleme der Lösung von Ungleichungen werden in der Praxis nicht weniger häufig gestellt und gelöst als Probleme der Lösung von Gleichungen. Beispielsweise werden viele ökonomische Probleme auf das Studium und die Lösung von Systemen linearer Ungleichungen reduziert. In vielen Zweigen der Mathematik sind Ungleichungen häufiger als Gleichungen.

Einige Ungleichungen dienen als einzige Hilfsmittel, um die Existenz eines bestimmten Objekts zu beweisen oder zu widerlegen, zum Beispiel die Wurzel einer Gleichung.

Numerische Ungleichungen

Sie können ganze Zahlen und Dezimalzahlen vergleichen. Kennen Sie die Regeln für den Vergleich gewöhnlicher Brüche mit denselben Nennern, aber unterschiedlichen Zählern; mit gleichen Zählern, aber unterschiedlichen Nennern. Hier lernst du, wie man zwei beliebige Zahlen vergleicht, indem man das Vorzeichen ihrer Differenz findet.

Der Vergleich von Zahlen ist in der Praxis weit verbreitet. Zum Beispiel vergleicht ein Wirtschaftswissenschaftler geplante Indikatoren mit tatsächlichen, ein Arzt vergleicht die Temperatur eines Patienten mit der normalen, ein Dreher vergleicht die Abmessungen eines bearbeiteten Teils mit einem Standard. In all diesen Fällen werden einige Zahlen verglichen. Durch den Vergleich von Zahlen entstehen numerische Ungleichheiten.

Definition. Die Zahl a ist größer als die Zahl b, wenn die Differenz a-b positiv ist. Die Zahl a ist kleiner als die Zahl b, wenn die Differenz a-b negativ ist.

Wenn a größer als b ist, dann schreiben sie: a > b; ist a kleiner als b, dann schreiben sie: a Die Ungleichung a > b bedeutet also, dass die Differenz a - b positiv ist, d.h. a - b > 0. Ungleichung a Für zwei beliebige Zahlen a und b aus den folgenden drei Relationen a > b, a = b, a Satz. Wenn a > b und b > c, dann a > c.

Satz. Wird auf beiden Seiten der Ungleichung dieselbe Zahl addiert, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht.
Folge. Jeder Term kann von einem Teil der Ungleichung in einen anderen übertragen werden, indem das Vorzeichen dieses Terms in das Gegenteil geändert wird.

Satz. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben negativen Zahl multipliziert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung ins Gegenteil.
Folge. Wenn beide Teile der Ungleichung durch dieselbe positive Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Wenn beide Teile der Ungleichung durch dieselbe negative Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung ins Gegenteil.

Sie wissen, dass numerische Gleichheiten Term für Term addiert und multipliziert werden können. Als Nächstes lernen Sie, wie Sie ähnliche Aktionen mit Ungleichungen ausführen. Die Möglichkeit, Ungleichungen Term für Term zu addieren und zu multiplizieren, wird in der Praxis häufig genutzt. Diese Aktionen helfen Ihnen, die Probleme beim Auswerten und Vergleichen von Ausdruckswerten zu lösen.

Beim Lösen verschiedener Probleme ist es oft notwendig, den linken und rechten Teil von Ungleichungen Term für Term zu addieren oder zu multiplizieren. Es wird manchmal gesagt, dass Ungleichheiten addiert oder multipliziert werden. Wenn zum Beispiel ein Tourist am ersten Tag mehr als 20 km und am zweiten Tag mehr als 25 km gelaufen ist, dann kann man argumentieren, dass er in zwei Tagen mehr als 45 km gelaufen ist. Wenn die Länge eines Rechtecks ​​weniger als 13 cm und die Breite weniger als 5 cm beträgt, kann argumentiert werden, dass die Fläche dieses Rechtecks ​​weniger als 65 cm2 beträgt.

Bei der Betrachtung dieser Beispiele gilt Folgendes Sätze über Addition und Multiplikation von Ungleichungen:

Satz. Wenn wir Ungleichungen mit demselben Vorzeichen addieren, erhalten wir eine Ungleichung mit demselben Vorzeichen: Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d.

Satz. Bei der Multiplikation von Ungleichungen gleichen Vorzeichens, bei denen der linke und rechte Teil positiv sind, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens: Wenn a > b, c > d und a, b, c, d positive Zahlen sind, dann ist ac > bd.

Ungleichungen mit dem Zeichen > (größer als) und 1/2, 3/4 b, c Zusammen mit den strengen Ungleichheitszeichen > und Ebenso bedeutet die Ungleichung \(a \geq b \), dass die Zahl a größer ist als oder gleich b, d.h. und nicht kleiner als b.

Ungleichungen, die das Vorzeichen \(\geq \) oder das Vorzeichen \(\leq \) enthalten, heißen nicht-strikt. Beispielsweise sind \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) keine strikten Ungleichungen.

Alle Eigenschaften strenger Ungleichungen gelten auch für nicht strenge Ungleichungen. Außerdem, wenn man bei strikten Ungleichungen die Vorzeichen > als entgegengesetzt betrachtet, und man weiß, dass man zur Lösung einer Reihe von Anwendungsproblemen ein mathematisches Modell in Form einer Gleichung oder eines Gleichungssystems aufstellen muss. Außerdem werden Sie lernen, dass die mathematischen Modelle zur Lösung vieler Probleme Ungleichungen mit Unbekannten sind. Wir werden das Konzept der Lösung einer Ungleichung einführen und zeigen, wie man überprüft, ob eine gegebene Zahl eine Lösung für eine bestimmte Ungleichung ist.

Ungleichungen der Form
\(ax > b, \quad ax wobei a und b gegebene Zahlen sind und x unbekannt ist, heißt lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten.

Definition. Die Lösung einer Ungleichung mit einer Unbekannten ist der Wert der Unbekannten, für den diese Ungleichung zu einer echten numerischen Ungleichung wird. Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Lösungen zu finden oder festzustellen, dass es keine gibt.

Sie haben die Gleichungen gelöst, indem Sie sie auf die einfachsten Gleichungen reduziert haben. Ebenso neigt man beim Lösen von Ungleichungen dazu, sie mit Hilfe von Eigenschaften auf die Form einfachster Ungleichungen zu reduzieren.

Lösung von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen

Ungleichungen der Form
\(ax^2+bx+c >0 \) und \(ax^2+bx+c wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und \(a \neq 0 \) aufgerufen werden Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen.

Lösen der Ungleichung
\(ax^2+bx+c >0 \) oder \(ax^2+bx+c \) kann als Finden von Lücken betrachtet werden, wo die Funktion \(y= ax^2+bx+c \) positiv wird oder negative Werte Dazu genügt es zu analysieren, wie sich der Graph der Funktion \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) in der Koordinatenebene befindet: Wo die Zweige der Parabel gerichtet sind - nach oben oder unten , ob die Parabel die x-Achse schneidet und wenn ja, an welchen Stellen.

Algorithmus zum Lösen von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen:
1) Finden Sie die Diskriminante des quadratischen Trinoms \(ax^2+bx+c\) und finden Sie heraus, ob das Trinom Wurzeln hat;
2) wenn das Trinom Wurzeln hat, dann markiere diese auf der x-Achse und zeichne schematisch eine Parabel durch die markierten Punkte, deren Äste bei a > 0 nach oben oder bei einer 0 nach unten oder bei a 3) unten gerichtet sind Lücken auf der x-Achse, für die die Punkteparabeln oberhalb der x-Achse (wenn sie die Ungleichung \(ax^2+bx+c >0 \) lösen) oder unterhalb der x-Achse (wenn sie die Ungleichung lösen) liegen
\(ax^2+bx+c Lösung von Ungleichungen nach der Methode der Intervalle

Betrachten Sie die Funktion
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge aller Zahlen. Die Nullstellen der Funktion sind die Zahlen -2, 3, 5. Sie unterteilen den Definitionsbereich der Funktion in Intervalle \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) und \( (5; +\infty)\)

Lassen Sie uns herausfinden, was die Zeichen dieser Funktion in jedem der angegebenen Intervalle sind.

Der Ausdruck (x + 2)(x - 3)(x - 5) ist das Produkt aus drei Faktoren. Das Vorzeichen jedes dieser Faktoren in den betrachteten Intervallen ist in der Tabelle angegeben:

Im Allgemeinen sei die Funktion durch die Formel gegeben
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
wobei x eine Variable ist und x 1 , x 2 , ..., x n ungleiche Zahlen sind. Die Zahlen x 1 , x 2 , ..., x n sind die Nullstellen der Funktion. In jedem der Intervalle, in die der Definitionsbereich durch die Nullstellen der Funktion unterteilt wird, bleibt das Vorzeichen der Funktion erhalten, und beim Nulldurchgang ändert sich ihr Vorzeichen.

Diese Eigenschaft wird verwendet, um Ungleichungen der Form zu lösen
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) wobei x 1 , x 2 , ..., x n ungleiche Zahlen sind

Überlegte Methode Das Lösen von Ungleichungen wird Intervallmethode genannt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Lösung von Ungleichungen mit der Intervallmethode geben.

Lösen Sie die Ungleichung:

\(x(0.5-x)(x+4) Offensichtlich sind die Nullstellen der Funktion f(x) = x(0.5-x)(x+4) die Punkte \frac(1)(2) , \; x=-4 \)

Wir zeichnen die Nullstellen der Funktion auf der reellen Achse und berechnen das Vorzeichen für jedes Intervall:

Wir wählen die Intervalle aus, in denen die Funktion kleiner oder gleich Null ist, und schreiben das Ergebnis auf.

Antworten:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Einfach ausgedrückt handelt es sich dabei um Gemüse, das nach einem speziellen Rezept in Wasser gekocht wird. Ich werde zwei Anfangskomponenten (Gemüsesalat und Wasser) und das Endergebnis - Borschtsch - betrachten. Geometrisch kann dies als Rechteck dargestellt werden, bei dem eine Seite Salat und die andere Seite Wasser bedeutet. Die Summe dieser beiden Seiten ergibt Borschtsch. Die Diagonale und die Fläche eines solchen "Borschtsch"-Rechtecks ​​sind rein mathematische Konzepte und werden in Borschtsch-Rezepten niemals verwendet.

Wie wird Salat und Wasser mathematisch gesehen zu Borschtsch? Wie kann aus der Summe zweier Segmente Trigonometrie werden? Um dies zu verstehen, benötigen wir lineare Winkelfunktionen.

In Mathematiklehrbüchern findet man nichts über lineare Winkelfunktionen. Aber ohne sie gibt es keine Mathematik. Die Gesetze der Mathematik funktionieren wie die Naturgesetze unabhängig davon, ob wir wissen, dass sie existieren oder nicht.

Lineare Winkelfunktionen sind die Additionsgesetze. Sehen Sie, wie sich Algebra in Geometrie und Geometrie in Trigonometrie verwandelt.

Kann man auf lineare Winkelfunktionen verzichten? Sie können, denn Mathematiker kommen immer noch ohne sie aus. Der Trick der Mathematiker liegt darin, dass sie uns immer nur über die Probleme erzählen, die sie selbst lösen können, und niemals über die Probleme, die sie nicht lösen können. Sehen. Wenn wir das Ergebnis der Addition und eines Terms kennen, verwenden wir die Subtraktion, um den anderen Term zu finden. Alles. Andere Probleme kennen wir nicht und können sie auch nicht lösen. Was tun, wenn wir nur das Ergebnis der Addition und nicht beide Terme kennen? In diesem Fall muss das Additionsergebnis mit linearen Winkelfunktionen in zwei Terme zerlegt werden. Außerdem wählen wir selbst aus, was ein Term sein kann, und die linearen Winkelfunktionen zeigen, was der zweite Term sein sollte, damit das Ergebnis der Addition genau das ist, was wir brauchen. Es kann unendlich viele solcher Begriffspaare geben. Im Alltag kommen wir sehr gut ohne Zerlegung der Summe aus, uns reicht die Subtraktion. Aber in wissenschaftlichen Studien der Naturgesetze kann die Erweiterung der Summe in Terme sehr nützlich sein.

Ein weiteres Additionsgesetz, über das Mathematiker nicht gerne sprechen (ein weiterer Trick von ihnen), erfordert, dass die Terme dieselbe Maßeinheit haben. Bei Salat, Wasser und Borschtsch können dies Gewichts-, Volumen-, Kosten- oder Maßeinheiten sein.

Die Abbildung zeigt zwei Niveaus der Differenz für Mathematik. Die erste Ebene sind die Unterschiede im Bereich der Zahlen, die angezeigt werden a, b, c. Das machen Mathematiker. Die zweite Ebene sind die Unterschiede im Bereich der Maßeinheiten, die in eckigen Klammern dargestellt und durch den Buchstaben gekennzeichnet sind U. Das machen Physiker. Wir können die dritte Ebene verstehen - die Unterschiede im Umfang der beschriebenen Objekte. Unterschiedliche Objekte können dieselbe Anzahl derselben Maßeinheiten haben. Wie wichtig das ist, sehen wir am Beispiel der Borschtsch-Trigonometrie. Wenn wir dieselbe Notation für die Maßeinheiten verschiedener Objekte um Indizes ergänzen, können wir genau sagen, welche mathematische Größe ein bestimmtes Objekt beschreibt und wie es sich im Laufe der Zeit oder in Verbindung mit unseren Handlungen verändert. Buchstabe W Ich werde das Wasser mit dem Buchstaben markieren S Ich werde den Salat mit dem Buchstaben markieren B- Borschtsch. So würden die linearen Winkelfunktionen für Borschtsch aussehen.

Wenn wir einen Teil des Wassers und einen Teil des Salats nehmen, wird daraus eine Portion Borschtsch. Hier schlage ich vor, dass Sie eine kleine Pause vom Borschtsch machen und sich an Ihre ferne Kindheit erinnern. Erinnerst du dich, wie uns beigebracht wurde, Hasen und Enten zusammenzusetzen? Es war notwendig herauszufinden, wie viele Tiere sich herausstellen werden. Was wurde uns dann beigebracht? Uns wurde beigebracht, Einheiten von Zahlen zu trennen und Zahlen zu addieren. Ja, jede Nummer kann zu jeder anderen Nummer hinzugefügt werden. Dies ist ein direkter Weg zum Autismus der modernen Mathematik – wir verstehen nicht was, es ist nicht klar warum, und wir verstehen sehr schlecht, wie dies mit der Realität zusammenhängt, wegen der drei Ebenen der Differenz operieren Mathematiker nur auf einer. Es ist richtiger zu lernen, wie man von einer Maßeinheit zu einer anderen wechselt.

Und Hasen und Enten und kleine Tiere können in Stücken gezählt werden. Eine gemeinsame Maßeinheit für verschiedene Objekte ermöglicht es uns, sie zu addieren. Dies ist eine Kinderversion des Problems. Schauen wir uns ein ähnliches Problem für Erwachsene an. Was bekommst du, wenn du Hasen und Geld hinzufügst? Hier gibt es zwei mögliche Lösungen.

Erste Wahl. Wir ermitteln den Marktwert der Hasen und addieren ihn zum verfügbaren Bargeld. Wir haben den Gesamtwert unseres Vermögens in Geld ausgedrückt.

Zweite Option. Sie können die Anzahl der Hasen zu der Anzahl der Banknoten hinzufügen, die wir haben. Wir erhalten den Betrag des beweglichen Vermögens in Stücken.

Wie Sie sehen, können Sie mit demselben Additionsgesetz unterschiedliche Ergebnisse erhalten. Es hängt alles davon ab, was genau wir wissen wollen.

Aber zurück zu unserem Borschtsch. Jetzt können wir sehen, was für verschiedene Werte des Winkels der linearen Winkelfunktionen passieren wird.

Der Winkel ist Null. Wir haben Salat, aber kein Wasser. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist ebenfalls null. Das bedeutet keineswegs, dass null Borschtsch gleich null Wasser ist. Null Borschtsch kann auch Null Salat sein (rechter Winkel).

Für mich persönlich ist dies der wichtigste mathematische Beweis dafür, dass . Null ändert die Zahl nicht, wenn sie hinzugefügt wird. Das liegt daran, dass die Addition selbst unmöglich ist, wenn es nur einen Term gibt und der zweite Term fehlt. Sie können sich darauf beziehen, wie Sie möchten, aber denken Sie daran - alle mathematischen Operationen mit Null wurden von Mathematikern selbst erfunden, also verwerfen Sie Ihre Logik und stopfen Sie die von Mathematikern erfundenen Definitionen dumm zusammen: "Division durch Null ist unmöglich", "jede Zahl multipliziert mit Null". gleich Null", "hinter der Komma Null" und anderen Unsinn. Es genügt, sich einmal daran zu erinnern, dass die Null keine Zahl ist, und Sie werden nie die Frage haben, ob die Null eine natürliche Zahl ist oder nicht, weil eine solche Frage im Allgemeinen jeden Sinn verliert: Wie kann man eine Zahl als das betrachten, was keine Zahl ist? . Es ist, als würde man fragen, welcher Farbe eine unsichtbare Farbe zugeschrieben werden soll. Das Addieren von Null zu einer Zahl ist wie Malen mit Farbe, die es nicht gibt. Sie schwenkten einen trockenen Pinsel und sagten allen, dass "wir gemalt haben". Aber ich schweife ein wenig ab.

Der Winkel ist größer als Null, aber kleiner als fünfundvierzig Grad. Wir haben viel Salat, aber wenig Wasser. Als Ergebnis bekommen wir einen dicken Borschtsch.

Der Winkel beträgt fünfundvierzig Grad. Wir haben gleiche Mengen Wasser und Salat. Das ist der perfekte Borschtsch (mögen mir die Köche verzeihen, es ist nur Mathe).

Der Winkel ist größer als fünfundvierzig Grad, aber kleiner als neunzig Grad. Wir haben viel Wasser und wenig Salat. Nimm flüssigen Borschtsch.

Rechter Winkel. Wir haben Wasser. An den Salat bleiben nur Erinnerungen, während wir weiterhin den Winkel von der Linie messen, die einst den Salat markierte. Wir können keinen Borschtsch kochen. Die Menge an Borschtsch ist null. In diesem Fall halte durch und trinke Wasser, solange es verfügbar ist)))

Hier. Irgendwie so. Ich kann hier andere Geschichten erzählen, die hier mehr als angebracht sein werden.

Die beiden Freunde hatten ihre Anteile an dem gemeinsamen Geschäft. Nach dem Mord an einem von ihnen ging alles an den anderen.

Die Entstehung der Mathematik auf unserem Planeten.

All diese Geschichten werden in der Sprache der Mathematik anhand linearer Winkelfunktionen erzählt. Ein andermal werde ich Ihnen den wirklichen Platz dieser Funktionen in der Struktur der Mathematik zeigen. Kehren wir in der Zwischenzeit zur Trigonometrie von Borschtsch zurück und betrachten Projektionen.

Samstag, 26. Oktober 2019

Ich habe mir ein interessantes Video darüber angesehen Grandis Reihe Eins minus eins plus eins minus eins - Numberphile. Mathematiker lügen. Sie haben in ihrer Argumentation keinen Gleichheitstest durchgeführt.

Das deckt sich mit meiner Argumentation bzgl.

Schauen wir uns die Anzeichen dafür, dass Mathematiker uns betrügen, genauer an. Ganz am Anfang der Argumentation sagen Mathematiker, dass die Summe der Folge davon ABHÄNGIG ist, ob die Anzahl der Elemente darin gerade ist oder nicht. Dies ist eine objektiv feststehende Tatsache. Was passiert als nächstes?

Als nächstes subtrahieren Mathematiker die Folge von Eins. Wozu führt das? Dadurch ändert sich die Anzahl der Elemente in der Folge – eine gerade Zahl wird zu einer ungeraden Zahl, eine ungerade Zahl zu einer geraden Zahl. Immerhin haben wir der Folge ein Element gleich eins hinzugefügt. Bei aller äußerlichen Ähnlichkeit ist die Abfolge vor der Transformation nicht gleich der Abfolge nach der Transformation. Auch wenn wir von einer unendlichen Folge sprechen, müssen wir bedenken, dass eine unendliche Folge mit einer ungeraden Anzahl von Elementen nicht gleich einer unendlichen Folge mit einer geraden Anzahl von Elementen ist.

Mathematiker setzen ein Gleichheitszeichen zwischen zwei Sequenzen, die sich in der Anzahl der Elemente unterscheiden, und behaupten, dass die Summe der Sequenz NICHT von der Anzahl der Elemente in der Sequenz abhängt, was einer objektiv festgestellten Tatsache widerspricht. Weitere Überlegungen zur Summe einer unendlichen Folge sind falsch, weil sie auf einer falschen Gleichheit beruhen.

Wenn Sie sehen, dass Mathematiker im Verlauf von Beweisen Klammern setzen, die Elemente eines mathematischen Ausdrucks neu anordnen, etwas hinzufügen oder entfernen, seien Sie sehr vorsichtig, höchstwahrscheinlich versuchen sie, Sie zu täuschen. Wie Kartenzauberer lenken Mathematiker Ihre Aufmerksamkeit mit verschiedenen Manipulationen des Ausdrucks ab, um Ihnen schließlich ein falsches Ergebnis zu liefern. Wenn Sie den Kartentrick nicht wiederholen können, ohne das Geheimnis des Betrugs zu kennen, ist in der Mathematik alles viel einfacher: Sie ahnen nicht einmal etwas vom Betrug, aber wenn Sie alle Manipulationen mit einem mathematischen Ausdruck wiederholen, können Sie andere davon überzeugen Korrektheit des Ergebnisses, genauso wie wenn Sie überzeugt haben.

Frage aus dem Publikum: Und unendlich (als Anzahl der Elemente in der Folge S), ist es gerade oder ungerade? Wie kann man die Parität von etwas ändern, das keine Parität hat?

Die Unendlichkeit für Mathematiker ist wie das Himmelreich für Priester - niemand war jemals dort, aber jeder weiß genau, wie alles dort funktioniert))) Ich stimme zu, nach dem Tod wird es Ihnen absolut egal sein, ob Sie eine gerade oder eine ungerade Anzahl von Tagen gelebt haben , aber ... Wenn Sie nur einen Tag zu Beginn Ihres Lebens hinzufügen, erhalten wir eine völlig andere Person: sein Nachname, sein Vorname und sein Patronym sind genau gleich, nur das Geburtsdatum ist völlig anders - er wurde als einer geboren Tag vor dir.

Und jetzt zum Punkt))) Angenommen, eine endliche Folge mit Parität verliert diese Parität, wenn sie ins Unendliche geht. Dann muss auch jedes endliche Segment einer unendlichen Folge die Parität verlieren. Dies beobachten wir nicht. Die Tatsache, dass wir nicht sicher sagen können, ob die Anzahl der Elemente in einer unendlichen Folge gerade oder ungerade ist, bedeutet keineswegs, dass die Parität verschwunden ist. Parität, falls vorhanden, kann nicht spurlos ins Unendliche verschwinden, wie im Ärmel einer schärferen Karte. Für diesen Fall gibt es eine sehr gute Analogie.

Haben Sie schon einmal einen Kuckuck, der in einer Uhr sitzt, gefragt, in welche Richtung sich der Uhrzeiger dreht? Für sie dreht sich der Pfeil in die entgegengesetzte Richtung zu dem, was wir "im Uhrzeigersinn" nennen. Es mag paradox klingen, aber die Drehrichtung hängt allein davon ab, von welcher Seite wir die Drehung beobachten. Wir haben also ein Rad, das sich dreht. Wir können nicht sagen, in welche Richtung die Rotation erfolgt, da wir sie sowohl von einer Seite der Rotationsebene als auch von der anderen beobachten können. Wir können nur bezeugen, dass es eine Rotation gibt. Völlige Analogie mit der Parität einer unendlichen Folge S.

Fügen wir nun ein zweites rotierendes Rad hinzu, dessen Rotationsebene parallel zur Rotationsebene des ersten rotierenden Rads ist. Wir können immer noch nicht genau sagen, in welche Richtung sich diese Räder drehen, aber wir können mit absoluter Sicherheit sagen, ob sich beide Räder in die gleiche Richtung oder in entgegengesetzte Richtungen drehen. Vergleich zweier unendlicher Folgen S und 1-S, habe ich mit Hilfe der Mathematik gezeigt, dass diese Folgen unterschiedliche Paritäten haben und es ein Fehler ist, ein Gleichheitszeichen dazwischen zu setzen. Persönlich glaube ich an Mathematik, ich vertraue Mathematikern nicht))) Übrigens, um die Geometrie der Transformationen unendlicher Folgen vollständig zu verstehen, ist es notwendig, das Konzept einzuführen "Gleichzeitigkeit". Dies muss gezeichnet werden.

Mittwoch, 7. August 2019

Zum Abschluss des Gesprächs über müssen wir eine unendliche Menge betrachten. Gab zu, dass der Begriff „Unendlichkeit“ auf Mathematiker wirkt wie eine Boa Constrictor auf einen Hasen. Der zitternde Schrecken der Unendlichkeit beraubt Mathematiker ihres gesunden Menschenverstandes. Hier ist ein Beispiel:

Die Originalquelle ist lokalisiert. Alpha bezeichnet eine reelle Zahl. Das Gleichheitszeichen in den obigen Ausdrücken zeigt an, dass sich nichts ändert, wenn Sie eine Zahl oder unendlich zu unendlich hinzufügen, das Ergebnis dieselbe Unendlichkeit sein wird. Nehmen wir als Beispiel eine unendliche Menge natürlicher Zahlen, dann lassen sich die betrachteten Beispiele wie folgt darstellen:

Um ihren Fall visuell zu beweisen, haben Mathematiker viele verschiedene Methoden entwickelt. Ich persönlich betrachte all diese Methoden als Tänze von Schamanen mit Tamburinen. Im Kern laufen sie alle darauf hinaus, dass entweder einige der Zimmer nicht belegt sind und neue Gäste darin angesiedelt werden, oder dass ein Teil der Besucher auf den Flur geworfen wird, um den Gästen Platz zu machen (sehr menschlich). Meine Sicht auf solche Entscheidungen habe ich in Form einer fantastischen Geschichte über die Blondine dargestellt. Worauf basiert meine Argumentation? Das Bewegen einer unendlichen Anzahl von Besuchern nimmt unendlich viel Zeit in Anspruch. Nachdem wir das erste Gästezimmer geräumt haben, wird bis zum Ende der Zeit immer einer der Besucher den Korridor entlang von seinem Zimmer zum nächsten gehen. Natürlich kann der Zeitfaktor dummerweise ignoriert werden, aber das wird schon aus der Kategorie "Das Gesetz ist nicht für Dummköpfe geschrieben" fallen. Es hängt alles davon ab, was wir tun: die Realität an mathematische Theorien anpassen oder umgekehrt.

Was ist ein „unendliches Hotel“? Ein Infinity Inn ist ein Gasthaus, das immer beliebig viele Plätze frei hat, egal wie viele Zimmer belegt sind. Wenn alle Räume im endlosen Flur „für Besucher“ belegt sind, gibt es einen weiteren endlosen Flur mit Zimmern für „Gäste“. Es wird unendlich viele solcher Korridore geben. Gleichzeitig hat das „unendliche Hotel“ unendlich viele Stockwerke in unendlich vielen Gebäuden auf unendlich vielen Planeten in unendlich vielen Universen, die von unendlich vielen Göttern erschaffen wurden. Mathematiker dagegen können sich nicht von banalen Alltagsproblemen lösen: Gott-Allah-Buddha ist immer nur einer, das Hotel ist einer, der Korridor ist nur einer. Also versuchen Mathematiker, mit den Seriennummern von Hotelzimmern zu jonglieren, um uns davon zu überzeugen, dass es möglich ist, "das Unaufgeforderte zu schieben".

Ich werde Ihnen die Logik meiner Argumentation am Beispiel einer unendlichen Menge natürlicher Zahlen demonstrieren. Zuerst müssen Sie eine sehr einfache Frage beantworten: Wie viele Mengen natürlicher Zahlen gibt es – eine oder viele? Auf diese Frage gibt es keine richtige Antwort, da wir selbst die Zahlen erfunden haben, gibt es in der Natur keine Zahlen. Ja, die Natur weiß, wie man perfekt zählt, aber dafür verwendet sie andere mathematische Werkzeuge, die uns nicht vertraut sind. Wie die Natur denkt, erzähle ich euch ein andermal. Seit wir die Zahlen erfunden haben, werden wir selbst entscheiden, wie viele Mengen natürlicher Zahlen es gibt. Betrachten Sie beide Optionen, wie es sich für einen echten Wissenschaftler gehört.

Option eins. "Lass uns gegeben werden" eine einzelne Menge natürlicher Zahlen, die gelassen auf einem Regal liegt. Wir nehmen dieses Set aus dem Regal. Das war's, es sind keine anderen natürlichen Zahlen mehr im Regal und man kann sie nirgendwo hinbringen. Wir können diesem Set keinen hinzufügen, da wir es bereits haben. Was ist, wenn du es wirklich willst? Kein Problem. Wir können eine Einheit aus dem Set nehmen, das wir bereits genommen haben, und sie ins Regal zurückstellen. Danach können wir eine Einheit aus dem Regal nehmen und zu dem hinzufügen, was wir übrig haben. Als Ergebnis erhalten wir wieder eine unendliche Menge natürlicher Zahlen. Sie können alle unsere Manipulationen so schreiben:

Ich habe die Operationen in algebraischer Notation und in mengentheoretischer Notation aufgeschrieben und die Elemente der Menge im Detail aufgelistet. Der Index zeigt an, dass wir eine einzige Menge natürlicher Zahlen haben. Es stellt sich heraus, dass die Menge der natürlichen Zahlen nur dann unverändert bleibt, wenn eins davon abgezogen und dieselbe Einheit hinzugefügt wird.

Möglichkeit zwei. Wir haben viele verschiedene unendliche Mengen natürlicher Zahlen im Regal. Ich betone - UNTERSCHIEDLICH, obwohl sie praktisch nicht zu unterscheiden sind. Wir nehmen eines dieser Sets. Dann nehmen wir eine aus einer anderen Menge natürlicher Zahlen und fügen sie der Menge hinzu, die wir bereits genommen haben. Wir können sogar zwei Mengen natürlicher Zahlen addieren. Hier ist, was wir bekommen:

Die Indizes „eins“ und „zwei“ zeigen an, dass diese Elemente zu unterschiedlichen Mengen gehörten. Ja, wenn Sie eins zu einer unendlichen Menge hinzufügen, ist das Ergebnis ebenfalls eine unendliche Menge, aber es ist nicht dasselbe wie die ursprüngliche Menge. Wenn eine unendliche Menge zu einer anderen unendlichen Menge hinzugefügt wird, ist das Ergebnis eine neue unendliche Menge, die aus den Elementen der ersten beiden Mengen besteht.

Die Menge der natürlichen Zahlen wird zum Zählen wie ein Lineal zum Messen verwendet. Stellen Sie sich nun vor, Sie hätten dem Lineal einen Zentimeter hinzugefügt. Dies wird bereits eine andere Linie sein, die nicht dem Original entspricht.

Sie können meine Argumentation akzeptieren oder nicht akzeptieren - das ist Ihre eigene Angelegenheit. Aber wenn Sie jemals auf mathematische Probleme stoßen, denken Sie darüber nach, ob Sie sich auf dem Weg des falschen Denkens befinden, der von Generationen von Mathematikern beschritten wird. Schließlich bildet der Mathematikunterricht zunächst ein stabiles Stereotyp des Denkens in uns, und erst dann fügt er uns geistige Fähigkeiten hinzu (oder beraubt uns umgekehrt des freien Denkens).

pozg.ru

Sonntag, 4. August 2019

Ich schrieb ein Nachwort zu einem Artikel über und sah diesen wunderbaren Text auf Wikipedia:

Wir lesen: "... die reichhaltige theoretische Grundlage der Mathematik von Babylon hatte keinen ganzheitlichen Charakter und wurde auf eine Reihe unterschiedlicher Techniken reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisgrundlage."

Wow! Wie schlau wir sind und wie gut wir die Mängel anderer erkennen können. Ist es schwach für uns, die moderne Mathematik im selben Kontext zu betrachten? Wenn ich den obigen Text leicht umschreibe, habe ich persönlich Folgendes erhalten:

Die reichhaltige theoretische Grundlage der modernen Mathematik hat keinen ganzheitlichen Charakter und ist auf eine Reihe disparater Abschnitte reduziert, ohne ein gemeinsames System und eine gemeinsame Beweisgrundlage.

Ich werde nicht weit gehen, um meine Worte zu bestätigen - es hat eine Sprache und Konventionen, die sich von der Sprache und den Konventionen vieler anderer Zweige der Mathematik unterscheiden. Dieselben Namen in verschiedenen Zweigen der Mathematik können unterschiedliche Bedeutungen haben. Den offensichtlichsten Fehlern der modernen Mathematik möchte ich einen ganzen Zyklus von Veröffentlichungen widmen. Bis bald.

Samstag, 3. August 2019

Wie teilt man eine Menge in Teilmengen auf? Dazu müssen Sie eine neue Maßeinheit eingeben, die in einigen Elementen der ausgewählten Menge vorhanden ist. Betrachten Sie ein Beispiel.

Mögen wir viele haben SONDERN bestehend aus vier Personen. Diese Menge wird auf der Grundlage von "Menschen" gebildet. Lassen Sie uns die Elemente dieser Menge durch den Buchstaben bezeichnen a, der Index mit einer Zahl gibt die Ordnungszahl jeder Person in dieser Menge an. Führen wir eine neue Maßeinheit "Geschlechtsmerkmal" ein und bezeichnen sie mit dem Buchstaben b. Da allen Menschen sexuelle Merkmale innewohnen, multiplizieren wir jedes Element der Menge SONDERN zum Geschlecht b. Beachten Sie, dass unser „Menschen“-Set jetzt zum „Menschen mit Geschlecht“-Set geworden ist. Danach können wir die Geschlechtsmerkmale in männlich unterteilen bm und Frauen sw Geschlechtsmerkmale. Jetzt können wir einen mathematischen Filter anwenden: Wir wählen eines dieser Geschlechtsmerkmale aus, egal welches männlich oder weiblich ist. Wenn es in einer Person vorhanden ist, multiplizieren wir es mit eins, wenn es kein solches Zeichen gibt, multiplizieren wir es mit Null. Und dann wenden wir die übliche Schulmathematik an. Sehen Sie, was passiert ist.

Nach Multiplikation, Reduktionen und Umordnungen haben wir zwei Teilmengen erhalten: die männliche Teilmenge bm und eine Untergruppe von Frauen sw. Ungefähr genauso argumentieren Mathematiker, wenn sie die Mengenlehre in der Praxis anwenden. Aber sie lassen uns nicht in die Details ein, sondern geben uns das fertige Ergebnis – „viele Menschen bestehen aus einer Untergruppe von Männern und einer Untergruppe von Frauen.“ Natürlich haben Sie vielleicht eine Frage, wie richtig angewandte Mathematik bei den obigen Transformationen? Ich wage zu versichern, dass die Transformationen tatsächlich korrekt durchgeführt werden. Es reicht aus, die mathematische Begründung der Arithmetik, der Booleschen Algebra und anderer Bereiche der Mathematik zu kennen. Was ist das? Ein andermal erzähle ich dir davon.

Bei Obermengen ist es möglich, zwei Mengen zu einer Obermenge zu kombinieren, indem man eine Maßeinheit wählt, die in den Elementen dieser beiden Mengen vorhanden ist.

Wie Sie sehen können, gehören die Mengenlehre durch Maßeinheiten und gängige Mathematik der Vergangenheit an. Ein Zeichen dafür, dass mit der Mengenlehre nicht alles in Ordnung ist, ist, dass Mathematiker ihre eigene Sprache und Notation für die Mengenlehre entwickelt haben. Die Mathematiker taten, was einst die Schamanen taten. Nur Schamanen wissen, wie sie ihr „Wissen“ „richtig“ anwenden. Dieses "Wissen" lehren sie uns.

Abschließend möchte ich Ihnen zeigen, wie Mathematiker manipulieren
Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, in der Achilles diese Strecke läuft, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen werden derzeit fortgesetzt, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, zu einer gemeinsamen Meinung über das Wesen von Paradoxien zu gelangen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt ; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.

Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als ob die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, verlangsamt und vollständig angehalten wird. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.

Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.

Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.

In dieser Aporie wird das logische Paradoxon sehr einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Weltraum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (Sie benötigen natürlich noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). . Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.
Ich werde den Vorgang anhand eines Beispiels zeigen. Wir wählen "roter Körper in einem Pickel" - das ist unser "Ganzes". Gleichzeitig sehen wir, dass diese Dinge mit einem Bogen sind, und es gibt sie ohne Bogen. Danach wählen wir einen Teil des „Ganzen“ aus und bilden ein Set „mit Schleife“. So ernähren sich Schamanen, indem sie ihre Mengenlehre an die Realität binden.

Jetzt machen wir einen kleinen Trick. Nehmen wir "fest in einem Pickel mit Schleife" und vereinen diese "Ganzen" nach Farbe, indem wir rote Elemente auswählen. Wir haben viel "rot". Nun eine knifflige Frage: Sind die erhaltenen Sets "mit Schleife" und "rot" das gleiche Set oder zwei verschiedene Sets? Nur Schamanen kennen die Antwort. Genauer gesagt wissen sie selbst nichts, aber wie sie sagen, sei es so.

Dieses einfache Beispiel zeigt, dass die Mengentheorie in Bezug auf die Realität völlig nutzlos ist. Was ist das Geheimnis? Wir bildeten eine Reihe von "roten festen Pickeln mit Schleife". Die Entstehung erfolgte nach vier verschiedenen Maßeinheiten: Farbe (rot), Stärke (massiv), Rauheit (in einer Beule), Verzierungen (mit Schleife). Nur eine Reihe von Maßeinheiten ermöglicht es, reale Objekte in der Sprache der Mathematik angemessen zu beschreiben. So sieht es aus.

Der Buchstabe „a“ mit unterschiedlichen Indizes bezeichnet unterschiedliche Maßeinheiten. In Klammern sind Maßeinheiten hervorgehoben, nach denen das „Ganze“ im Vorfeld zugeordnet wird. Aus Klammern ist die Maßeinheit herausgenommen, nach der das Set gebildet wird. Die letzte Zeile zeigt das Endergebnis - ein Element der Menge. Wie Sie sehen können, hängt das Ergebnis nicht von der Reihenfolge unserer Aktionen ab, wenn wir Einheiten verwenden, um eine Menge zu bilden. Und das ist Mathematik und nicht die Tänze von Schamanen mit Tamburinen. Schamanen können „intuitiv“ zu demselben Ergebnis kommen und es mit „Offensichtlichkeit“ argumentieren, weil Maßeinheiten nicht in ihrem „wissenschaftlichen“ Arsenal enthalten sind.

Mit Hilfe von Maßeinheiten ist es sehr einfach, einen zu zerlegen oder mehrere Sätze zu einem Obersatz zusammenzufassen. Schauen wir uns die Algebra dieses Prozesses genauer an.