1. Lassen Sie den Unterraum L = L(A 1 , A 2 , …, und M) , also L– lineare Hülle des Systems A 1 , A 2 , …, und M; Vektoren A 1 , A 2 , …, und M– das System der Generatoren dieses Unterraums. Dann die Basis L ist die Basis des Vektorsystems A 1 , A 2 , …, und M, also die Grundlage des Generatorsystems. Abmessungen L gleich dem Rang des Generatorsystems.

2. Lassen Sie den Unterraum L ist die Summe der Unterräume L 1 und L 2. Ein System zum Erzeugen von Unterräumen für eine Summe kann durch Kombinieren von Systemen zum Erzeugen von Unterräumen erhalten werden, wonach die Basis der Summe gefunden wird. Die Höhe des Betrags wird nach folgender Formel ermittelt:

schwach(L 1 + L 2) = dimL 1 + dimL 2 – schwach(L 1 Ç L 2).

3. Sei die Summe der Unterräume L 1 und L 2 ist gerade, das heißt L = L 1 Å L 2. Dabei L 1 Ç L 2 = {Ö) Und schwach(L 1 Ç L 2) = 0. Die Basis der direkten Summe ist gleich der Vereinigung der Basen der Terme. Die Dimension einer direkten Summe ist gleich der Summe der Dimensionen der Terme.

4. Lassen Sie uns ein wichtiges Beispiel für einen Unterraum und eine lineare Mannigfaltigkeit geben.

Betrachten Sie ein homogenes System M lineare Gleichungen mit N Unbekannt. Viele Lösungen M 0 dieses Systems ist eine Teilmenge der Menge Rn und wird durch Addition von Vektoren und Multiplikation mit einer reellen Zahl abgeschlossen. Das heißt, es gibt viele M 0 – Unterraum des Raumes Rn. Die Basis des Unterraums ist die Grundlösungsmenge eines homogenen Systems; die Dimension des Unterraums ist gleich der Anzahl der Vektoren in der Grundlösungsmenge des Systems.

Ein Haufen M gängige Systemlösungen M lineare Gleichungen mit N Unbekannte sind ebenfalls eine Teilmenge der Menge Rn und gleich der Summe der Menge M 0 und Vektor A, Wo A ist eine bestimmte Lösung des ursprünglichen Systems und der Menge M 0 – Satz von Lösungen für ein homogenes System linearer Gleichungen, die dieses System begleiten (es unterscheidet sich vom Original nur in freien Begriffen),

M = A + M 0 = {A = M, M Î M 0 }.

Das bedeutet, dass viele M ist eine lineare Mannigfaltigkeit des Raumes Rn mit Verschiebungsvektor A und Richtung M 0 .

Beispiel 8.6. Finden Sie die Basis und Dimension des Unterraums, der durch ein homogenes lineares Gleichungssystem definiert ist:

Lösung. Lassen Sie uns eine allgemeine Lösung für dieses System und seine grundlegenden Lösungen finden: Mit 1 = (–21, 12, 1, 0, 0), Mit 2 = (12, –8, 0, 1, 0), Mit 3 = (11, –8, 0, 0, 1).

Die Basis des Unterraums bilden Vektoren Mit 1 , Mit 2 , Mit 3, seine Dimension ist drei.

Feierabend -

Dieses Thema gehört zum Abschnitt:

Lineare Algebra

Staatliche Universität Kostroma, benannt nach N. Nekrasov.

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BBK 22.174ya73-5
M350 Veröffentlicht durch Beschluss des Redaktions- und Verlagsrats der nach ihm benannten KSU. N. A. Nekrasova Rezensent A. V. Cherednikov

BBK 22.174ya73-5
ã T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina 2013 ã KSU benannt nach. N. A. Nekrasova, 2013

Union (oder Summe)
Definition 1.9. Die Vereinigung der Mengen A und B ist eine Menge A È B, die nur aus den dazugehörenden Elementen besteht

Schnittpunkt (oder Produkt)
Definition 1.10. Der Schnittpunkt der Mengen A und B ist eine Menge A Ç B, die aus genau diesen Elementen besteht, die zu derselben gehören

Unterschied
Definition 1.11. Der Unterschied zwischen den Mengen A und B ist die Menge A B, die nur aus den Elementen besteht, die zur Menge A gehören

Kartesisches Produkt (oder direktes Produkt)
Definition 1.14. Ein geordnetes Paar (oder Paar) (a, b) besteht aus zwei Elementen a, b in einer bestimmten Reihenfolge. Paare (a1

Eigenschaften von Mengenoperationen
Die Eigenschaften der Vereinigungs-, Schnitt- und Komplementoperationen werden manchmal als Gesetze der Mengenalgebra bezeichnet. Lassen Sie uns die Haupteigenschaften von Operationen auf Mengen auflisten. Gegeben sei eine universelle Menge U

Methode der mathematischen Induktion
Mit der Methode der mathematischen Induktion werden Aussagen bewiesen, an deren Formulierung der natürliche Parameter n beteiligt ist. Methode der mathematischen Induktion – Methode zum Beweis der Mathematik

Komplexe Zahlen
Der Zahlenbegriff ist eine der wichtigsten Errungenschaften der menschlichen Kultur. Zuerst erschienen natürliche Zahlen N = (1, 2, 3, …, n, …), dann ganze Zahlen Z = (…, –2, –1, 0, 1, 2, …), rationales Q

Geometrische Interpretation komplexer Zahlen
Es ist bekannt, dass negative Zahlen im Zusammenhang mit der Lösung linearer Gleichungen in einer Variablen eingeführt wurden. Bei bestimmten Aufgaben wurde eine negative Antwort als Wert der Richtungsgröße interpretiert (

Trigonometrische Form einer komplexen Zahl
Ein Vektor kann nicht nur durch Koordinaten in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, sondern auch durch Länge und angegeben werden

Operationen mit komplexen Zahlen in trigonometrischer Form
Es ist bequemer, Additionen und Subtraktionen mit komplexen Zahlen in algebraischer Form und Multiplikationen und Divisionen in trigonometrischer Form durchzuführen. 1. Multiplikationen. Es seien zwei k gegeben

Potenzierung
Wenn z = r(cosj + i×sinj), dann zn = rn(cos(nj) + i×sin(nj)), wobei n Î

Exponentialform einer komplexen Zahl
Aus der mathematischen Analyse ist bekannt, dass e = , e eine irrationale Zahl ist. Eile

Beziehungskonzept
Definition 2.1. Eine n-äre (oder n-äre) Relation P auf den Mengen A1, A2, …, An ist eine beliebige Teilmenge

Eigenschaften binärer Beziehungen
Es sei eine binäre Relation P auf einer nichtleeren Menge A definiert, d. h. P Í A2. Definition 2.9. Binäre Beziehung P auf einer Menge

Äquivalenzbeziehung
Definition 2.15. Eine binäre Relation auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Verhältnisäquivalent

Funktionen
Definition 2.20. Eine binäre Beziehung ƒ Í A ´ B heißt Funktion von Menge A zu Menge B, wenn für jedes x

Allgemeine Konzepte
Definition 3.1. Eine Matrix ist eine rechteckige Zahlentabelle mit m Zeilen und n Spalten. Die Zahlen m und n heißen Ordnung (bzw

Addition gleichartiger Matrizen
Es können nur Matrizen desselben Typs hinzugefügt werden. Definition 3.12. Die Summe zweier Matrizen A = (aij) und B = (bij), wobei i = 1,

Eigenschaften der Matrixaddition
1) Kommutativität: „A, B: A + B = B + A; 2) Assoziativität: „A, B, C: (A + B) + C = A

Eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren
Definition 3.13. Das Produkt einer Matrix A = (aij) durch eine reelle Zahl k ist eine Matrix C = (сij), für die

Eigenschaften der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
1) „ A: 1×A = A; 2) „ α, β О R, „ A: (αβ)×A = α×(β×A) = β×

Matrix-Multiplikation
Definieren wir die Multiplikation zweier Matrizen; Dazu ist es notwendig, einige zusätzliche Konzepte einzuführen. Definition 3.14. Die Matrizen A und B heißen konsistent

Eigenschaften der Matrixmultiplikation
1) Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ: A×B ≠ B×A. Diese Eigenschaft kann anhand von Beispielen demonstriert werden. Beispiel 3.6. A)

Transponierende Matrizen
Definition 3.16. Die Matrix At, die aus einer gegebenen Matrix durch Ersetzen jeder ihrer Zeilen durch eine Spalte mit derselben Nummer erhalten wird, wird als auf die gegebene Matrix A transponiert bezeichnet

Determinanten von Matrizen zweiter und dritter Ordnung
Jeder quadratischen Matrix A der Ordnung n ist eine Zahl zugeordnet, die als Determinante dieser Matrix bezeichnet wird. Bezeichnung: D, |A|, det A,

Definition 4.6.
1. Für n = 1 besteht Matrix A aus einer Zahl: |A| = a11. 2. Die Determinante einer Ordnungsmatrix (n – 1) sei bekannt. 3. Definieren

Eigenschaften von Determinanten
Um Determinanten mit Ordnungen größer als 3 zu berechnen, werden die Eigenschaften von Determinanten und der Satz von Laplace verwendet. Satz 4.1 (Laplace). Determinante einer quadratischen Matrix

Praktische Berechnung von Determinanten
Eine Möglichkeit, Determinanten der Ordnung über drei zu berechnen, besteht darin, sie über eine Spalte oder Zeile auszudehnen. Beispiel 4.4. Berechnen Sie die Determinante D =

Das Konzept des Matrixrangs
Sei A eine Matrix der Dimension m ´ n. Wählen wir willkürlich k Zeilen und k Spalten in dieser Matrix aus, wobei 1 ≤ k ≤ min(m, n).

Ermitteln des Rangs einer Matrix mithilfe der Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen
Eine der Methoden zur Ermittlung des Rangs einer Matrix ist die Methode zur Aufzählung von Minderjährigen. Diese Methode basiert auf der Bestimmung des Rangs der Matrix. Der Kern der Methode ist wie folgt. Wenn es mindestens ein Element gibt, ma

Ermitteln des Rangs einer Matrix mithilfe elementarer Transformationen
Betrachten wir eine andere Möglichkeit, den Rang einer Matrix zu ermitteln. Definition 5.4. Die folgenden Transformationen werden Elementartransformationen einer Matrix genannt: 1. Multiplizieren

Das Konzept einer inversen Matrix und Methoden, um sie zu finden
Gegeben sei eine quadratische Matrix A. Definition 5.7. Matrix A–1 heißt die Umkehrung von Matrix A, wenn A×A–1

Algorithmus zum Finden der inversen Matrix
Betrachten wir eine der Möglichkeiten, die inverse Matrix einer gegebenen Matrix mithilfe algebraischer Additionen zu finden. Gegeben sei eine quadratische Matrix A. 1. Finden Sie die Determinante der Matrix |A|. EU

Finden der inversen Matrix mithilfe elementarer Transformationen
Betrachten wir eine andere Möglichkeit, die inverse Matrix mithilfe elementarer Transformationen zu finden. Lassen Sie uns die notwendigen Konzepte und Theoreme formulieren. Definition 5.11. Matrix Nach Namen

Cramer-Methode
Betrachten wir ein System linearer Gleichungen, in dem die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist, also m = n, und das System die Form hat:

Methode der inversen Matrix
Die Methode der inversen Matrix ist auf lineare Gleichungssysteme anwendbar, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist und die Determinante der Hauptmatrix ungleich Null ist. Matrixform der Systemnotation

Gauß-Methode
Zur Beschreibung dieser Methode, die zur Lösung beliebiger linearer Gleichungssysteme geeignet ist, sind einige neue Konzepte erforderlich. Definition 6.7. Gleichung der Form 0×

Beschreibung der Gauß-Methode
Die Gauß-Methode – eine Methode zur sequentiellen Eliminierung von Unbekannten – besteht darin, dass mit Hilfe elementarer Transformationen das ursprüngliche System auf ein äquivalentes System von schrittweisen oder t-Methoden reduziert wird

Studium eines Systems linearer Gleichungen
Ein System linearer Gleichungen zu untersuchen bedeutet, ohne das System zu lösen, die Frage zu beantworten: Ist das System konsistent oder nicht, und wenn es konsistent ist, wie viele Lösungen hat es? Antworten Sie hierauf in

Homogene Systeme linearer Gleichungen
Definition 6.11. Ein System linearer Gleichungen heißt homogen, wenn seine freien Terme gleich Null sind. Homogenes System von m linearen Gleichungen

Eigenschaften von Lösungen eines homogenen Systems linearer Gleichungen
1. Wenn der Vektor a = (a1, a2, …, an) eine Lösung für ein homogenes System ist, dann ist der Vektor k×a = (k×a1, k&t

Grundlegender Lösungssatz für ein homogenes System linearer Gleichungen
Sei M0 die Menge der Lösungen des homogenen Systems (4) linearer Gleichungen. Definition 6.12. Vektoren c1, c2, ..., c

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit eines Vektorsystems
Seien a1, a2, …, am eine Menge von m n-dimensionalen Vektoren, die üblicherweise als Vektorsystem bezeichnet wird, und k1

Eigenschaften der linearen Abhängigkeit eines Vektorsystems
1) Das Vektorsystem, das den Nullvektor enthält, ist linear abhängig. 2) Ein Vektorsystem ist linear abhängig, wenn eines seiner Teilsysteme linear abhängig ist. Folge. Wenn ja

Einheitsvektorsystem
Definition 7.13. Ein System von Einheitsvektoren im Raum Rn ist ein System von Vektoren e1, e2, …, en

Zwei Sätze über lineare Abhängigkeit
Satz 7.1. Wenn ein größeres Vektorsystem linear durch ein kleineres ausgedrückt wird, dann ist das größere System linear abhängig. Lassen Sie uns diesen Satz detaillierter formulieren: Sei a1

Basis und Rang des Vektorsystems
Sei S ein Vektorsystem im Raum Rn; es kann entweder endlich oder unendlich sein. S" ist ein Teilsystem des Systems S, S" Ì S. Geben wir zwei an

Rang des Vektorsystems
Geben wir zwei äquivalente Definitionen des Rangs eines Vektorsystems. Definition 7.16. Der Rang eines Vektorsystems ist die Anzahl der Vektoren in einer beliebigen Basis dieses Systems.

Praktische Bestimmung des Rangs und der Basis eines Vektorsystems
Aus diesem Vektorsystem erstellen wir eine Matrix und ordnen die Vektoren als Zeilen dieser Matrix an. Wir reduzieren die Matrix auf Staffelform, indem wir elementare Transformationen über die Zeilen dieser Matrix verwenden. Bei

Definition eines Vektorraums über einem beliebigen Körper
Sei P ein beliebiger Körper. Beispiele für uns bekannte Felder sind das Feld der rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Definition 8.1. Die Menge V wird aufgerufen

Die einfachsten Eigenschaften von Vektorräumen
1) o – Nullvektor (Element), eindeutig definiert in einem beliebigen Vektorraum über dem Feld. 2) Für jeden Vektor a О V gibt es ein Eindeutiges

Unterräume. Lineare Mannigfaltigkeiten
Sei V ein Vektorraum, L М V (L ist eine Teilmenge von V). Definition 8.2. Teilmenge L von Vektor pro

Schnittpunkt und Summe der Unterräume
Sei V ein Vektorraum über dem Feld P, L1 und L2 seine Unterräume. Definition 8.3. Durch das Überqueren der Unterquest

Lineare Mannigfaltigkeiten
Sei V ein Vektorraum, L ein Unterraum, a ein beliebiger Vektor aus dem Raum V. Definition 8.6. Lineare Mannigfaltigkeit

Endlichdimensionale Vektorräume
Definition 8.7. Ein Vektorraum V heißt n-dimensional, wenn er ein linear unabhängiges Vektorsystem bestehend aus n Vektoren enthält und für

Basis eines endlichdimensionalen Vektorraums
V ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über dem Feld P, S ist ein System von Vektoren (endlich oder unendlich). Definition 8.10. Die Basis des Systems S

Vektorkoordinaten relativ zu einer bestimmten Basis
Betrachten Sie einen endlichdimensionalen Vektorraum V der Dimension n, dessen Basis die Vektoren e1, e2, …, en bilden. Lass a ein Produkt sein

Vektorkoordinaten in verschiedenen Basen
Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, in dem zwei Basen gegeben sind: e1, e2, …, en – alte Basis, e"1, e

Euklidische Vektorräume
Gegeben sei ein Vektorraum V über dem Körper der reellen Zahlen. Dieser Raum kann entweder ein endlichdimensionaler Vektorraum der Dimension n oder ein unendlichdimensionaler sein

Skalarprodukt in Koordinaten
Im euklidischen Vektorraum V der Dimension n ist die Basis e1, e2, …, en gegeben. Die Vektoren x und y werden in Vektoren zerlegt

Metrische Konzepte
In euklidischen Vektorräumen können wir vom eingeführten Skalarprodukt zu den Konzepten der Vektornorm und des Winkels zwischen Vektoren übergehen. Definition 8.16. Norma (

Eigenschaften der Norm
1) ||a|| = 0 Û a = o. 2) ||la|| = |l|×||a||, weil ||la|| =

Orthonormalbasis des euklidischen Vektorraums
Definition 8.21. Eine Basis eines euklidischen Vektorraums heißt orthogonal, wenn die Basisvektoren paarweise orthogonal sind, also wenn a1, a

Orthogonalisierungsprozess
Satz 8.12. In jedem n-dimensionalen euklidischen Raum gibt es eine Orthonormalbasis. Nachweisen. Sei a1, a2

Skalarprodukt auf orthonormaler Basis
Gegeben sei eine Orthonormalbasis e1, e2, …, en des euklidischen Raums V. Da (ei, ej) = 0 für i

Orthogonales Komplement des Unterraums
V ist ein euklidischer Vektorraum, L ist sein Unterraum. Definition 8.23. Ein Vektor a heißt orthogonal zum Unterraum L, wenn der Vektor

Beziehung zwischen den Koordinaten eines Vektors und den Koordinaten seines Bildes
Ein linearer Operator j ist im Raum V gegeben und seine Matrix M(j) befindet sich in einer Basis e1, e2, …, en. Lassen Sie dies die Grundlage sein

Ähnliche Matrizen
Betrachten wir die Menge Рn´n quadratischer Matrizen der Ordnung n mit Elementen aus einem beliebigen Körper P. Auf dieser Menge führen wir die Beziehung ein

Eigenschaften von Matrixähnlichkeitsbeziehungen
1. Reflexivität. Jede Matrix ist sich selbst ähnlich, d. h. A ~ A. 2. Symmetrie. Wenn Matrix A B ähnlich ist, dann ist B A ähnlich, d. h.

Eigenschaften von Eigenvektoren
1. Jeder Eigenvektor gehört nur zu einem Eigenwert. Nachweisen. Sei x ein Eigenvektor mit zwei Eigenwerten

Charakteristisches Polynom einer Matrix
Gegeben sei eine Matrix A О Рn´n (oder A О Rn´n). Definieren

Bedingungen, unter denen eine Matrix einer Diagonalmatrix ähnlich ist
Sei A eine quadratische Matrix. Wir können davon ausgehen, dass dies eine Matrix eines linearen Operators ist, der auf einer bestimmten Basis definiert ist. Es ist bekannt, dass in einer anderen Basis die Matrix des linearen Operators

Jordan Normalform
Definition 10.5. Eine Jordan-Zelle der Ordnung k bezogen auf die Zahl l0 ist eine Matrix der Ordnung k, 1 ≤ k ≤ n,

Reduzieren einer Matrix auf die Jordan-Form (Normalform).
Satz 10.3. Die Jordan-Normalform wird für eine Matrix bis zur Reihenfolge der Anordnung der Jordan-Zellen auf der Hauptdiagonale eindeutig bestimmt. Usw

Bilineare Formen
Definition 11.1. Eine bilineare Form ist eine Funktion (Abbildung) f: V ´ V ® R (oder C), wobei V ein beliebiger Vektor ist

Eigenschaften bilinearer Formen
Jede bilineare Form kann als Summe symmetrischer und schiefsymmetrischer Formen dargestellt werden. Mit der gewählten Basis e1, e2, …, en im Vektor

Transformation einer Matrix bilinearer Form beim Übergang zu einer neuen Basis. Rang der bilinearen Form
Seien zwei Basen e = (e1, e2, …, en) und f = (f1, f2,

Quadratische Formen
Sei A(x, y) eine symmetrische bilineare Form, die auf dem Vektorraum V definiert ist. Definition 11.6. Quadratische Form

Reduzieren einer quadratischen Form auf eine kanonische Form
Gegeben sei die quadratische Form (2) A(x, x) = , wobei x = (x1

Trägheitsgesetz quadratischer Formen
Es wurde festgestellt, dass die Anzahl der von Null verschiedenen kanonischen Koeffizienten einer quadratischen Form gleich ihrem Rang ist und nicht von der Wahl einer nicht entarteten Transformation abhängt, mit deren Hilfe die Form A(x

Notwendige und hinreichende Bedingung für das Vorzeichen einer quadratischen Form
Erklärung 11.1. Damit die im n-dimensionalen Vektorraum V definierte quadratische Form A(x, x) vorzeichenbestimmt ist, ist Folgendes erforderlich

Notwendige und hinreichende Bedingung für quasialternierende quadratische Form
Erklärung 11.3. Damit die quadratische Form A(x, x), definiert im n-dimensionalen Vektorraum V, quasi vorzeichenalternierend ist (d. h.

Sylvester-Kriterium für das eindeutige Vorzeichen einer quadratischen Form
Die Form A(x, x) in der Basis e = (e1, e2, …, en) sei durch die Matrix A(e) = (aij) bestimmt

Abschluss
Lineare Algebra ist ein obligatorischer Bestandteil jedes höheren Mathematikprogramms. Jeder andere Abschnitt setzt das Vorhandensein von Kenntnissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten voraus, die während des Unterrichts dieser Disziplin entwickelt wurden

Literaturverzeichnis
Burmistrova E. B., Lobanov S. G. Lineare Algebra mit Elementen der analytischen Geometrie. – M.: HSE Publishing House, 2007. Beklemishev D.V. Kurs für analytische Geometrie und lineare Algebra.

Lineare Algebra
Pädagogisches und methodisches Handbuch Herausgeber und Korrektor G. D. Neganova Computertypisierung von T. N. Matytsina, E. K. Korzhevina

Eine Teilmenge eines linearen Raums bildet einen Unterraum, wenn er durch Addition von Vektoren und Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen wird.

Beispiel 6.1. Bildet ein Unterraum in einer Ebene eine Menge von Vektoren, deren Enden: a) im ersten Viertel liegen; b) auf einer Geraden durch den Ursprung? (Die Ursprünge der Vektoren liegen im Koordinatenursprung)

Lösung.

a) Nein, da die Menge bei Multiplikation mit einem Skalar nicht abgeschlossen ist: Bei Multiplikation mit einer negativen Zahl fällt das Ende des Vektors in das dritte Viertel.

b) ja, denn wenn Vektoren addiert und mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden, bleiben ihre Enden auf derselben Geraden.

Übung 6.1. Bilden die folgenden Teilmengen der entsprechenden linearen Räume einen Unterraum:

a) eine Menge ebener Vektoren, deren Enden im ersten oder dritten Viertel liegen;

b) eine Menge ebener Vektoren, deren Enden auf einer geraden Linie liegen, die nicht durch den Ursprung geht;

c) eine Menge von Koordinatenlinien ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 0);

d) Satz von Koordinatenlinien ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 + x 2 + x 3 = 1);

e) eine Menge von Koordinatenlinien ((x 1, x 2, x 3)ï x 1 = x 2 2).

Die Dimension eines linearen Raums L ist die Anzahl dim L der Vektoren, die in einer seiner Basis enthalten sind.

Die Dimensionen der Summe und der Schnittmenge von Unterräumen hängen durch die Relation zusammen

dim (U + V) = dim U + dim V – dim (U Ç V).

Beispiel 6.2. Finden Sie die Basis und Dimension der Summe und Schnittmenge der Unterräume, die von den folgenden Vektorsystemen aufgespannt werden:

Lösung: Jedes der Vektorsysteme, die die Unterräume U und V erzeugen, ist linear unabhängig, das heißt, es ist eine Basis des entsprechenden Unterraums. Lassen Sie uns aus den Koordinaten dieser Vektoren eine Matrix erstellen, sie in Spalten anordnen und ein System durch eine Linie vom anderen trennen. Lassen Sie uns die resultierende Matrix auf eine schrittweise Form reduzieren.

~ ~ ~ .

Die Basis U + V bilden die Vektoren , , , denen die führenden Elemente in der Stufenmatrix entsprechen. Daher ist dim (U + V) = 3. Dann

dim (UÇV) = dim U + dim V – dim (U + V) = 2 + 2 – 3 = 1.

Der Schnittpunkt von Unterräumen bildet eine Menge von Vektoren, die die Gleichung erfüllen (die auf der linken und rechten Seite dieser Gleichung stehen). Die Schnittbasis erhalten wir unter Verwendung des fundamentalen Lösungssystems des dieser Vektorgleichung entsprechenden linearen Gleichungssystems. Die Matrix dieses Systems wurde bereits auf eine Stufenform reduziert. Daraus schließen wir, dass y 2 eine freie Variable ist, und setzen y 2 = c. Dann ist 0 = y 1 – y 2, y 1 = c,. und der Schnittpunkt von Unterräumen bildet eine Menge von Vektoren der Form = c (3, 6, 3, 4). Folglich bildet die Basis UÇV den Vektor (3, 6, 3, 4).

Anmerkungen. 1. Wenn wir das System weiter lösen und die Werte der Variablen x ermitteln, erhalten wir x 2 = c, x 1 = c und auf der linken Seite der Vektorgleichung erhalten wir einen Vektor, der dem oben erhaltenen entspricht .

2. Mit der angegebenen Methode können Sie die Basis der Summe erhalten, unabhängig davon, ob die erzeugenden Vektorsysteme linear unabhängig sind. Die Schnittbasis wird jedoch nur dann korrekt erhalten, wenn zumindest das System, das den zweiten Unterraum erzeugt, linear unabhängig ist.

3. Wenn festgestellt wird, dass die Dimension des Schnittpunkts 0 ist, hat der Schnittpunkt keine Basis und es besteht keine Notwendigkeit, danach zu suchen.

Übung 6.2. Finden Sie die Basis und Dimension der Summe und Schnittmenge der Unterräume, die von den folgenden Vektorsystemen aufgespannt werden:

A)

B)

Euklidischer Raum

Der euklidische Raum ist ein linearer Raum über einem Körper R, in dem eine Skalarmultiplikation definiert ist, die jedem Vektorpaar einen Skalar zuweist und die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

2) (a + b) = a() + b();

3) ¹Þ > 0.

Das Standardskalarprodukt wird anhand der Formeln berechnet

(a 1 , … , a n) (b 1 , … , b n) = a 1 b 1 + … + a n b n.

Vektoren und heißen orthogonal und werden ^ geschrieben, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist.

Ein Vektorsystem heißt orthogonal, wenn die darin enthaltenen Vektoren paarweise orthogonal sind.

Ein orthogonales Vektorsystem ist linear unabhängig.

Der Prozess der Orthogonalisierung eines Vektorsystems , ... , besteht aus dem Übergang zu einem äquivalenten Orthogonalsystem , ... , der gemäß den Formeln durchgeführt wird:

, wobei , k = 2, … , n.

Beispiel 7.1. Orthogonalisieren Sie ein Vektorsystem

= (1, 2, 2, 1), = (3, 2, 1, 1), = (4, 1, 3, -2).

Lösung. Wir haben = = (1, 2, 2, 1);

, = = = 1;

= (3, 2, 1, 1) – (1, 2, 2, 1) = (2, 0, -1, 0).

, = = =1;

= =1;

= (4, 1, 3, -2) – (1, 2, 2, 1) – (2, 0, -1, 0) = (1, -1, 2, -3).

Übung 7.1. Vektorsysteme orthogonalisieren:

a) = (1, 1, 0, 2), = (3, 1, 1, 1), = (-1, -3, 1, -1);

b) = (1, 2, 1, 1), = (3, 4, 1, 1), = (0, 3, 2, -1).

Beispiel 7.2. Vollständiges Vektorsystem = (1, -1, 1, -1),

= (1, 1, -1, -1), zur orthogonalen Basis des Raums.

Lösung: Das ursprüngliche System ist orthogonal, daher ist das Problem sinnvoll. Da die Vektoren im vierdimensionalen Raum vorliegen, müssen wir zwei weitere Vektoren finden. Der dritte Vektor = (x 1, x 2, x 3, x 4) wird aus den Bedingungen = 0, = 0 bestimmt. Diese Bedingungen ergeben ein Gleichungssystem, dessen Matrix aus den Koordinatenlinien der Vektoren und gebildet wird . Wir lösen das System:

~ ~ .

Den freien Variablen x 3 und x 4 können beliebige Werte außer Null zugewiesen werden. Wir nehmen zum Beispiel x 3 = 0, x 4 = 1 an. Dann ist x 2 = 0, x 1 = 1 und = (1, 0, 0, 1).

Ebenso finden wir = (y 1, y 2, y 3, y 4). Dazu fügen wir der oben erhaltenen Stufenmatrix eine neue Koordinatenlinie hinzu und reduzieren sie auf die Stufenform:

~ ~ .

Für die freie Variable y 3 setzen wir y 3 = 1. Dann ist y 4 = 0, y 2 = 1, y 1 = 0 und = (0, 1, 1, 0).

Die Norm eines Vektors im euklidischen Raum ist eine nicht negative reelle Zahl.

Ein Vektor heißt normalisiert, wenn seine Norm 1 ist.

Um einen Vektor zu normalisieren, muss er durch seine Norm geteilt werden.

Ein orthogonales System normalisierter Vektoren heißt Orthonormal.

Übung 7.2. Vervollständigen Sie das Vektorsystem zu einer Orthonormalbasis des Raumes:

a) = (1/2, 1/2, 1/2, 1/2), = (-1/2, 1/2, -1/2, 1/2);

b) = (1/3, -2/3, 2/3).

Lineare Abbildungen

Seien U und V lineare Räume über dem Körper F. Eine Abbildung f: U ® V heißt linear if and .

Beispiel 8.1. Sind Transformationen des dreidimensionalen Raums linear:

a) f(x 1, x 2, x 3) = (2x 1, x 1 – x 3, 0);

b) f(x 1, x 2, x 3) = (1, x 1 + x 2, x 3).

Lösung.

a) Es gilt f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3)) = f(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3) =

= (2(x 1 + y 1), (x 1 + y 1) – (x 3 + y 3), 0) = (2x 1, x 1 – x 3, 0) + (2y 1, y 1 - y 3 , 0) =

F((x 1, x 2, x 3) + f(y 1, y 2, y 3));

f(l(x 1 , x 2 , x 3)) = f(lx 1 , lx 2 , lx 3) = (2lx 1 , lx 1 – lx 3 , 0) = l(2x 1 , x 1 – x 3 , 0) =

L f(x 1, x 2, x 3).

Daher ist die Transformation linear.

b) Es gilt f((x 1 , x 2 , x 3) + (y 1 , y 2 , y 3)) = f(x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3) =

= (1, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3);

f((x 1 , x 2 , x 3) + f(y 1 , y 2 , y 3)) = (1, x 1 + x 2 , x 3) + (1, y 1 + y 2 , y 3 ) =

= (2, (x 1 + y 1) + (x 2 + y 2), x 3 + y 3) ¹ f((x 1, x 2, x 3) + (y 1, y 2, y 3) ).

Daher ist die Transformation nicht linear.

Das Bild einer linearen Abbildung f: U ® V ist die Menge der Bilder von Vektoren aus U, das heißt

Im (f) = (f() ï О U). + … + ein m1

Übung 8.1. Finden Sie den Rang, den Defekt, die Basen des Bildes und den Kern der linearen Abbildung f, die durch die Matrix gegeben ist:

a) A = ; b) A = ; c) A = .

Systeme linearer homogener Gleichungen

Formulierung des Problems. Finden Sie eine Basis und bestimmen Sie die Dimension des linearen Lösungsraums des Systems

Lösungsplan.

1. Notieren Sie die Systemmatrix:

und mit Hilfe elementarer Transformationen transformieren wir die Matrix in eine Dreiecksform, d.h. zu einer solchen Form, wenn alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale gleich Null sind. Der Rang der Systemmatrix ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen, d. h. in unserem Fall der Anzahl der Zeilen, in denen Nicht-Null-Elemente verbleiben:

Die Dimension des Lösungsraums beträgt . Wenn , dann hat ein homogenes System eine einzige Nulllösung, wenn , dann hat das System unendlich viele Lösungen.

2. Wählen Sie grundlegende und freie Variablen aus. Freie Variablen werden mit bezeichnet. Dann drücken wir die Grundvariablen durch freie Variablen aus und erhalten so eine allgemeine Lösung für ein homogenes System linearer Gleichungen.

3. Wir schreiben die Basis des Lösungsraums des Systems, indem wir nacheinander eine der freien Variablen gleich eins und den Rest gleich null setzen. Die Dimension des linearen Lösungsraums des Systems ist gleich der Anzahl der Basisvektoren.

Notiz. Zu den elementaren Matrixtransformationen gehören:

1. Multiplizieren (Dividieren) einer Zeichenfolge mit einem Faktor ungleich Null;

2. Hinzufügen einer weiteren Zeile zu einer beliebigen Zeile, multipliziert mit einer beliebigen Zahl;

3. Neuordnung der Linien;

4. Transformationen 1–3 für Spalten (bei der Lösung linearer Gleichungssysteme werden elementare Transformationen von Spalten nicht verwendet).

Aufgabe 3. Finden Sie eine Basis und bestimmen Sie die Dimension des linearen Lösungsraums des Systems.

Wir schreiben die Matrix des Systems aus und reduzieren sie mithilfe elementarer Transformationen auf die Dreiecksform:

Wir vermuten dann

Als wir die Konzepte eines n-dimensionalen Vektors untersuchten und Operationen für Vektoren einführten, stellten wir fest, dass die Menge aller n-dimensionalen Vektoren einen linearen Raum erzeugt. In diesem Artikel werden wir über die wichtigsten verwandten Konzepte sprechen – die Dimension und Basis eines Vektorraums. Wir werden auch den Satz über die Entwicklung eines beliebigen Vektors in eine Basis und den Zusammenhang zwischen verschiedenen Basen des n-dimensionalen Raums betrachten. Lassen Sie uns die Lösungen typischer Beispiele im Detail untersuchen.

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Das Konzept der Dimension von Vektorraum und Basis.

Die Konzepte der Dimension und Basis eines Vektorraums stehen in direktem Zusammenhang mit dem Konzept eines linear unabhängigen Vektorsystems. Daher empfehlen wir Ihnen bei Bedarf, den Artikel Lineare Abhängigkeit eines Vektorsystems, Eigenschaften linearer Abhängigkeit und Unabhängigkeit zu lesen .

Definition.

Dimension des Vektorraums ist eine Zahl, die der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Raum entspricht.

Definition.

Vektorraumbasis ist eine geordnete Menge linear unabhängiger Vektoren dieses Raums, deren Anzahl gleich der Dimension des Raums ist.

Lassen Sie uns auf der Grundlage dieser Definitionen einige Überlegungen anstellen.

Betrachten Sie den Raum n-dimensionaler Vektoren.

Zeigen wir, dass die Dimension dieses Raumes n ist.

Nehmen wir ein System von n Einheitsvektoren der Form

Nehmen wir diese Vektoren als Zeilen der Matrix A. In diesem Fall ist Matrix A eine Identitätsmatrix der Dimension n mal n. Der Rang dieser Matrix ist n (siehe ggf. Artikel). Daher das Vektorsystem ist linear unabhängig, und diesem System kann kein einziger Vektor hinzugefügt werden, ohne seine lineare Unabhängigkeit zu verletzen. Da die Anzahl der Vektoren im System ist dann gleich n Die Dimension des Raums n-dimensionaler Vektoren ist n und die Einheitsvektoren sind die Grundlage dieses Raumes.

Aus der letzten Aussage und Definition der Basis können wir das schließen Jedes System n-dimensionaler Vektoren, dessen Anzahl weniger als n ist, ist keine Basis.

Lassen Sie uns nun den ersten und zweiten Vektor des Systems vertauschen . Es ist leicht zu zeigen, dass das resultierende Vektorsystem entsteht ist auch eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums. Erstellen wir eine Matrix, indem wir die Vektoren dieses Systems als Zeilen verwenden. Diese Matrix kann aus der Identitätsmatrix durch Vertauschen der ersten und zweiten Zeile erhalten werden, daher ist ihr Rang n. Somit ein System von n Vektoren ist linear unabhängig und die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums.

Wenn wir andere Vektoren des Systems neu anordnen , dann bekommen wir eine andere Basis.

Wenn wir ein linear unabhängiges System von Nicht-Einheitsvektoren nehmen, dann ist es auch die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums.

Auf diese Weise, Ein Vektorraum der Dimension n hat so viele Basen, wie es linear unabhängige Systeme von n n -dimensionalen Vektoren gibt.

Wenn wir von einem zweidimensionalen Vektorraum (also von einer Ebene) sprechen, dann sind seine Basis zwei beliebige nichtkollineare Vektoren. Die Basis des dreidimensionalen Raums sind drei beliebige nichtkoplanare Vektoren.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel.

Sind Vektoren die Basis des dreidimensionalen Vektorraums?

Lösung.

Untersuchen wir dieses Vektorsystem auf lineare Abhängigkeit. Dazu erstellen wir eine Matrix, deren Zeilen die Koordinaten der Vektoren sind, und ermitteln ihren Rang:


Somit sind die Vektoren a, b und c linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums, daher sind sie die Basis dieses Raums.

Antwort:

Ja, sie sind.

Beispiel.

Kann ein Vektorsystem die Basis eines Vektorraums sein?

Lösung.

Dieses Vektorsystem ist linear abhängig, da die maximale Anzahl linear unabhängiger dreidimensionaler Vektoren drei beträgt. Folglich kann dieses Vektorsystem keine Basis eines dreidimensionalen Vektorraums sein (obwohl ein Subsystem des ursprünglichen Vektorsystems eine Basis ist).

Antwort:

Nein, er kann nicht.

Beispiel.

Stellen Sie sicher, dass die Vektoren

kann die Basis eines vierdimensionalen Vektorraums sein.

Lösung.

Erstellen wir eine Matrix, indem wir die Originalvektoren als Zeilen verwenden:

Lass uns finden:

Somit ist das System der Vektoren a, b, c, d linear unabhängig und ihre Anzahl ist gleich der Dimension des Vektorraums, daher sind a, b, c, d seine Basis.

Antwort:

Die ursprünglichen Vektoren sind tatsächlich die Grundlage des vierdimensionalen Raums.

Beispiel.

Bilden Vektoren die Basis eines Vektorraums der Dimension 4?

Lösung.

Auch wenn das ursprüngliche Vektorsystem linear unabhängig ist, reicht die Anzahl der darin enthaltenen Vektoren nicht aus, um die Basis eines vierdimensionalen Raums zu bilden (die Basis eines solchen Raums besteht aus 4 Vektoren).

Antwort:

Nein, das ist nicht der Fall.

Zerlegung eines Vektors gemäß der Basis des Vektorraums.

Lassen Sie beliebige Vektoren sind die Basis eines n-dimensionalen Vektorraums. Wenn wir ihnen einen n-dimensionalen Vektor x hinzufügen, ist das resultierende Vektorsystem linear abhängig. Aus den Eigenschaften der linearen Abhängigkeit wissen wir, dass mindestens ein Vektor eines linear abhängigen Systems durch die anderen linear ausgedrückt wird. Mit anderen Worten: Mindestens einer der Vektoren eines linear abhängigen Systems wird in die übrigen Vektoren entwickelt.

Dies bringt uns zu einem sehr wichtigen Satz.

Satz.

Jeder Vektor eines n-dimensionalen Vektorraums kann eindeutig in eine Basis zerlegt werden.

Nachweisen.

Lassen - Basis des n-dimensionalen Vektorraums. Fügen wir diesen Vektoren einen n-dimensionalen Vektor x hinzu. Dann ist das resultierende Vektorsystem linear abhängig und der Vektor x kann linear durch Vektoren ausgedrückt werden : , wo sind einige Zahlen. So haben wir die Entwicklung des Vektors x bezüglich der Basis erhalten. Es bleibt zu beweisen, dass diese Zerlegung einzigartig ist.

Nehmen wir an, dass es eine weitere Zerlegung gibt, wo - einige Zahlen. Subtrahieren wir von der linken und rechten Seite der letzten Gleichung die linke bzw. rechte Seite der Gleichheit:

Seit dem System der Basisvektoren linear unabhängig ist, ist die resultierende Gleichheit nach der Definition der linearen Unabhängigkeit eines Vektorsystems nur dann möglich, wenn alle Koeffizienten gleich Null sind. Daher ist , was die Eindeutigkeit der Vektorzerlegung in Bezug auf die Basis beweist.

Definition.

Die Koeffizienten werden aufgerufen Koordinaten des Vektors x in der Basis .

Nachdem wir uns mit dem Satz über die Zerlegung eines Vektors in eine Basis vertraut gemacht haben, beginnen wir, die Essenz des Ausdrucks „uns wird ein n-dimensionaler Vektor gegeben“ zu verstehen " Dieser Ausdruck bedeutet, dass wir einen Vektor eines x n -dimensionalen Vektorraums betrachten, dessen Koordinaten auf einer bestimmten Basis angegeben sind. Gleichzeitig verstehen wir, dass derselbe Vektor x in einer anderen Basis des n-dimensionalen Vektorraums andere Koordinaten als haben wird.

Betrachten wir das folgende Problem.

Gegeben sei ein System von n linear unabhängigen Vektoren auf einer Basis eines n-dimensionalen Vektorraums

und Vektor . Dann die Vektoren sind auch die Basis dieses Vektorraums.

Wir müssen die Koordinaten des Vektors x in der Basis finden . Bezeichnen wir diese Koordinaten als .

Vektor x in Basis hat eine Idee. Schreiben wir diese Gleichheit in Koordinatenform:

Diese Gleichheit entspricht einem System von n linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen :

Die Hauptmatrix dieses Systems hat die Form

Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben A. Die Spalten der Matrix A stellen Vektoren eines linear unabhängigen Vektorsystems dar , also ist der Rang dieser Matrix n, daher ist ihre Determinante ungleich Null. Diese Tatsache weist darauf hin, dass das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat, die beispielsweise mit jeder Methode oder gefunden werden kann.

Auf diese Weise werden die erforderlichen Koordinaten gefunden Vektor x in der Basis .

Schauen wir uns die Theorie anhand von Beispielen an.

Beispiel.

In einigen Grundlagen des dreidimensionalen Vektorraums sind die Vektoren

Stellen Sie sicher, dass das Vektorsystem auch eine Basis dieses Raums ist und ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors x in dieser Basis.

Lösung.

Damit ein Vektorsystem die Grundlage eines dreidimensionalen Vektorraums bilden kann, muss es linear unabhängig sein. Lassen Sie uns dies herausfinden, indem wir den Rang der Matrix A bestimmen, deren Zeilen Vektoren sind. Lassen Sie uns den Rang mithilfe der Gaußschen Methode ermitteln


daher ist Rang(A) = 3, was die lineare Unabhängigkeit des Vektorsystems zeigt.

Vektoren sind also die Basis. Der Vektor x soll in dieser Basis Koordinaten haben. Dann ist, wie wir oben gezeigt haben, die Beziehung zwischen den Koordinaten dieses Vektors durch das Gleichungssystem gegeben

Wenn wir die aus der Bedingung bekannten Werte in diese einsetzen, erhalten wir

Lösen wir es mit der Cramer-Methode:

Somit hat der Vektor x in der Basis Koordinaten .

Antwort:

Beispiel.

Auf irgendeiner Basis eines vierdimensionalen Vektorraums ist ein linear unabhängiges Vektorsystem gegeben

Es ist bekannt, dass . Finden Sie die Koordinaten des Vektors x in der Basis .

Lösung.

Da das Vektorsystem linear unabhängig durch Bedingung, dann ist es eine Basis des vierdimensionalen Raums. Dann Gleichheit bedeutet, dass der Vektor x in der Basis hat Koordinaten. Bezeichnen wir die Koordinaten des Vektors x in der Basis Wie .

Gleichungssystem, das die Beziehung zwischen den Koordinaten des Vektors x in Basen definiert Und sieht aus wie

Wir setzen darin bekannte Werte ein und finden die erforderlichen Koordinaten:

Antwort:

.

Beziehung zwischen Basen.

Gegeben seien zwei linear unabhängige Vektorsysteme auf einer Basis eines n-dimensionalen Vektorraums

Und

das heißt, sie sind auch die Grundlagen dieses Raumes.

Wenn - Koordinaten des Vektors in der Basis , dann die Koordinatenverbindung Und ist durch ein System linearer Gleichungen gegeben (wir haben darüber im vorherigen Absatz gesprochen):

, was in Matrixform geschrieben werden kann als

Ebenso können wir für einen Vektor schreiben

Die vorherigen Matrixgleichungen können zu einer zusammengefasst werden, die im Wesentlichen die Beziehung zwischen den Vektoren zweier verschiedener Basen definiert

Ebenso können wir alle Basisvektoren ausdrücken durch Basis :

Definition.

Matrix angerufen Übergangsmatrix von der Basis zur Basis , dann ist die Gleichheit wahr

Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichheit von rechts mit

wir bekommen

Lassen Sie uns die Übergangsmatrix finden, aber wir werden uns nicht im Detail mit der Suche nach der Umkehrmatrix und den Multiplikationsmatrizen befassen (siehe Artikel und ggf.):

Es bleibt die Beziehung zwischen den Koordinaten des Vektors x in den gegebenen Basen herauszufinden.

Der Vektor x soll dann Koordinaten in der Basis haben

und in der Basis hat der Vektor x dann Koordinaten

Da die linken Seiten der letzten beiden Gleichungen gleich sind, können wir die rechten Seiten gleichsetzen:

Wenn wir beide Seiten rechts mit multiplizieren

dann bekommen wir


Andererseits

(Finden Sie die inverse Matrix selbst).
Die letzten beiden Gleichungen geben uns die erforderliche Beziehung zwischen den Koordinaten des Vektors x in den Basen und .

Antwort:

Die Übergangsmatrix von Basis zu Basis hat die Form
;
Koordinaten des Vektors x in Basen und sind durch die Beziehungen verbunden

oder
.

Wir untersuchten die Konzepte von Dimension und Basis eines Vektorraums, lernten, einen Vektor in eine Basis zu zerlegen, und entdeckten die Verbindung zwischen verschiedenen Basen des n-dimensionalen Vektorraums durch die Übergangsmatrix.

P Und A– Teilmenge von L. Wenn A selbst bildet einen linearen Raum über dem Feld P bezüglich der gleichen Operationen wie L, Das A wird als Unterraum des Raumes bezeichnet L.

Nach der Definition des linearen Raums also A War ein Unterraum, muss die Machbarkeit geprüft werden A Operationen:

1) :
;

2)
:
;

und überprüfen Sie, ob die Vorgänge ausgeführt werden A unterliegen acht Axiomen. Letzteres wird jedoch redundant sein (aufgrund der Tatsache, dass diese Axiome in L gelten), d. h. Folgendes ist wahr

Satz. Sei L ein linearer Raum über einem Feld P und
. Eine Menge A ist genau dann ein Unterraum von L, wenn die folgenden Anforderungen erfüllt sind:

Stellungnahme. Wenn L – N-dimensionaler linearer Raum und A sein Unterraum also A ist auch ein endlichdimensionaler linearer Raum und seine Dimension überschreitet nicht N.

P Beispiel 1. Ist ein Unterraum des Raums der Segmentvektoren V 2 die Menge S aller Ebenenvektoren, die jeweils auf einer der Koordinatenachsen 0x oder 0y liegen?

Lösung: Lassen
,
Und
,
. Dann
. Daher ist S kein Unterraum .

Beispiel 2. Ist ein linearer Unterraum eines linearen Raums V 2 Es gibt viele ebene Segmentvektoren S alle ebenen Vektoren, deren Anfang und Ende auf einer gegebenen Geraden liegen l dieses Flugzeug?

Lösung.

E Sli-Vektor
mit reeller Zahl multiplizieren k, dann erhalten wir den Vektor
, ebenfalls zu S. If gehörend Und sind dann zwei Vektoren aus S
(gemäß der Regel der Addition von Vektoren auf einer Geraden). Daher ist S ein Unterraum .

Beispiel 3. Ist ein linearer Unterraum eines linearen Raums V 2 ein Haufen A alle ebenen Vektoren, deren Enden auf einer gegebenen Geraden liegen l, (Angenommen, der Ursprung eines Vektors fällt mit dem Koordinatenursprung zusammen)?

R Entscheidung.

In dem Fall, wo die gerade Linie l die Menge geht nicht durch den Ursprung A linearer Unterraum des Raumes V 2 ist nicht, weil
.

In dem Fall, wo die gerade Linie l geht durch den Ursprung, eingestellt A ist ein linearer Unterraum des Raumes V 2 , Weil
und beim Multiplizieren eines beliebigen Vektors
zu einer reellen Zahl α aus dem Bereich R wir bekommen
. Somit ist der lineare Platzbedarf für eine Menge A vollendet.

Beispiel 4. Gegeben sei ein System von Vektoren
aus dem linearen Raum Lüber das Feld P. Beweisen Sie, dass die Menge aller möglichen Linearkombinationen ist
mit Chancen
aus P ist ein Unterraum L(Dies ist ein Unterraum A heißt der von einem System von Vektoren erzeugte Unterraum oder lineare Schale dieses Vektorsystem und wie folgt bezeichnet:
oder
).

Lösung. In der Tat, seitdem, dann für alle Elemente X, jA wir haben:
,
, Wo
,
. Dann

Seit damals
, Deshalb
.

Überprüfen wir, ob die zweite Bedingung des Satzes erfüllt ist. Wenn X– jeder Vektor von A Und T– eine beliebige Zahl von P, Das . Weil das
Und
,, Das
, , Deshalb
. Somit ist nach dem Satz die Menge A– Unterraum des linearen Raums L.

Für endlichdimensionale lineare Räume gilt auch das Umgekehrte.

Satz. Jeder Unterraum A linearer Raum Lüber das Feld ist die lineare Spanne eines Vektorsystems.

Bei der Lösung des Problems, die Basis und Dimension einer linearen Schale zu finden, wird der folgende Satz verwendet.

Satz. Lineare Schalenbasis
stimmt mit der Basis des Vektorsystems überein. Die Dimension der linearen Hülle stimmt mit dem Rang des Vektorsystems überein.

Beispiel 4. Finden Sie die Basis und Dimension des Unterraums
linearer Raum R 3 [ X] , Wenn
,
,
,
.

Lösung. Es ist bekannt, dass Vektoren und ihre Koordinatenzeilen (Spalten) die gleichen Eigenschaften haben (hinsichtlich der linearen Abhängigkeit). Eine Matrix erstellen A=
aus Koordinatenspalten von Vektoren
in der Basis
.

Lassen Sie uns den Rang der Matrix ermitteln A.

. M 3 =
.
.

Daher der Rang R(A)= 3. Der Rang des Vektorsystems ist also 3. Das bedeutet, dass die Dimension des Unterraums S 3 ist und seine Basis aus drei Vektoren besteht
(da im Grundmoll
nur die Koordinaten dieser Vektoren sind enthalten).

Beispiel 5. Beweisen Sie, dass die Menge H arithmetische Raumvektoren
, dessen erste und letzte Koordinate 0 sind, bildet einen linearen Unterraum. Finden Sie seine Grundlage und Dimension.

Lösung. Lassen
.

Dann , und . Somit,
für jeden. Wenn
,
, Das . Somit ist nach dem Satz des linearen Unterraums die Menge H ist ein linearer Unterraum des Raumes. Finden wir die Basis H. Betrachten Sie die folgenden Vektoren von H:
,
, . Dieses Vektorsystem ist linear unabhängig. In der Tat, lass es sein.