Unter der ganzen Vielfalt der logarithmischen Ungleichungen werden Ungleichungen mit variabler Basis separat untersucht. Sie werden nach einer speziellen Formel gelöst, die aus irgendeinem Grund selten in der Schule gelehrt wird. Die Präsentation präsentiert Lösungen zu Aufgaben C3 USE - 2014 in Mathematik.

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Logarithmische Ungleichungen lösen, die eine Variable an der Basis des Logarithmus enthalten: Methoden, Techniken, äquivalente Übergänge Mathematiklehrer MBOU Sekundarschule Nr. 143 Knyazkina T.V.

Unter der ganzen Vielfalt der logarithmischen Ungleichungen werden Ungleichungen mit variabler Basis separat untersucht. Sie werden mit einer speziellen Formel gelöst, die aus irgendeinem Grund selten in der Schule gelehrt wird: log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) ( k ( x) − 1) ∨ 0 Anstelle des Kontrollkästchens „∨“ können Sie ein beliebiges Ungleichheitszeichen setzen: mehr oder weniger. Die Hauptsache ist, dass bei beiden Ungleichungen die Vorzeichen gleich sind. Also werden wir Logarithmen los und reduzieren das Problem auf eine rationale Ungleichung. Letzteres ist viel einfacher zu lösen, aber wenn Logarithmen verworfen werden, können zusätzliche Wurzeln erscheinen. Um sie abzuschneiden, genügt es, den Bereich der zulässigen Werte zu finden. Vergessen Sie nicht die ODZ des Logarithmus! Alles, was sich auf den Bereich akzeptabler Werte bezieht, muss separat ausgeschrieben und gelöst werden: f (x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k (x) ≠ 1. Diese vier Ungleichungen bilden ein System und müssen gleichzeitig erfüllt werden. Wenn der Bereich akzeptabler Werte gefunden ist, muss er noch mit der Lösung einer rationalen Ungleichung gekreuzt werden - und die Antwort ist fertig.

Lösen Sie die Ungleichung: Lösung Schreiben wir zunächst die ODZ des Logarithmus aus, die ersten beiden Ungleichungen werden automatisch ausgeführt, die letzte muss gemalt werden. Da das Quadrat einer Zahl genau dann gleich Null ist, wenn die Zahl selbst gleich Null ist, gilt: x 2 + 1 ≠ 1; x2 ≠ 0; x ≠ 0 . Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus alle Zahlen außer Null sind: x ∈ (−∞0)∪(0 ;+ ∞). Nun lösen wir die Hauptungleichung: Wir führen den Übergang von der logarithmischen Ungleichung zur rationalen durch. In der ursprünglichen Ungleichung gibt es ein „kleiner als“-Zeichen, also sollte die resultierende Ungleichheit auch ein „kleiner als“-Zeichen haben.

Wir haben: (10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)

Konvertieren logarithmischer Ungleichungen Oftmals unterscheidet sich die ursprüngliche Ungleichung von der obigen. Dies lässt sich leicht mit den Standardregeln für die Arbeit mit Logarithmen beheben. Nämlich: Jede Zahl kann als Logarithmus mit einer gegebenen Basis dargestellt werden; Summe und Differenz von Logarithmen mit gleicher Basis können durch einen einzigen Logarithmus ersetzt werden. Unabhängig davon möchte ich Sie an den Bereich akzeptabler Werte erinnern. Da die ursprüngliche Ungleichung mehrere Logarithmen enthalten kann, ist es erforderlich, den DPV von jedem von ihnen zu finden. Somit ist das allgemeine Schema zum Lösen logarithmischer Ungleichungen wie folgt: Finde die ODZ für jeden Logarithmus, der in der Ungleichung enthalten ist; Reduzieren Sie die Ungleichung auf die Standardungleichung, indem Sie die Formeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen verwenden. Lösen Sie die resultierende Ungleichung nach obigem Schema.

Lösen Sie die Ungleichung: Lösung Finden wir den Definitionsbereich (ODZ) des ersten Logarithmus: Wir lösen mit der Methode der Intervalle. Finden Sie die Nullstellen des Zählers: 3 x − 2 = 0; x = 2/3. Dann - Nenner Nullen: x − 1 = 0; x = 1. Wir markieren Nullen und Vorzeichen auf der Koordinatenlinie:

Wir erhalten x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; +∞). Der zweite Logarithmus der ODZ ist derselbe. Wenn Sie mir nicht glauben, können Sie es überprüfen. Nun formen wir den zweiten Logarithmus so um, dass an der Basis eine Zwei steht: Wie man sieht, wurden die Tripel an der Basis und vor dem Logarithmus gekürzt. Bilde zwei Logarithmen mit derselben Basis. Addiere sie: log 2 (x − 1) 2

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)

Wir interessieren uns für den Schnittpunkt von Mengen, also wählen wir die Intervalle, die auf beiden Pfeilen schattiert sind. Wir erhalten: x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - alle Punkte sind punktiert. Antwort: x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)

Lösen von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens 2014 Typ C3

Lösen Sie das System der Ungleichungen Lösung. ODZ:  1) 2)

Lösen Sie das Ungleichungssystem 3) -7 -3 - 5 x -1 + + + − − (Fortsetzung)

Lösen Sie das Ungleichungssystem 4) Allgemeine Lösung: und -7 -3 - 5 x -1 -8 7 log 2 129 (Fortsetzung)

Lösen Sie die Ungleichung (Fortsetzung) -3 3 -1 + - + - x 17 + -3 3 -1 x 17 -4

Lösen Sie die Ungleichung Lösung. ODZ: 

Lösen Sie die Ungleichung (Fortsetzung)

Lösen Sie die Ungleichung Lösung. ODZ:  -2 1 -1 + - + - x + 2 -2 1 -1 x 2

Die Lösung der einfachsten logarithmischen Ungleichungen und Ungleichungen, bei denen die Basis des Logarithmus fest ist, haben wir in der letzten Lektion betrachtet.

Was aber, wenn die Basis des Logarithmus eine Variable ist?

Dann kommen wir zur Rettung Rationalisierung von Ungleichheiten. Um zu verstehen, wie das funktioniert, betrachten wir zum Beispiel die Ungleichung:

$$\log_(2x) x^2 > \log_(2x) x.$$

Beginnen wir erwartungsgemäß mit dem ODZ.

ODZ

$$\left[ \begin(array)(l)x>0,\\ 2x ≠ 1. \end(array)\right.$$

Lösen der Ungleichung

Denken wir so, als würden wir eine Ungleichung mit fester Basis lösen. Wenn die Basis größer als eins ist, werden wir die Logarithmen los, und das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht, wenn es kleiner als eins ist, ändert es sich.

Schreiben wir es als System:

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x>1,\\ x^2 > x; \end(array)\right. \\ \left\ ( \begin(array)(l)2x<1,\\ x^2 < x; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Zur weiteren Überlegung übertragen wir alle rechten Seiten der Ungleichungen auf die linke.

$$\left[ \begin(array)(l) \left\( \begin(array)(l)2x-1>0,\\ x^2 -x>0; \end(array)\right. \ \ \left\( \begin(array)(l)2x-1<0,\\ x^2 -x<0; \end{array}\right. \end{array} \right.$$

Was haben wir bekommen? Es stellte sich heraus, dass die Ausdrücke „2x-1“ und „x^2 - x“ gleichzeitig entweder positiv oder negativ sein müssen. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Ungleichung lösen:

$$(2x-1)(x^2 - x) >0.$$

Diese Ungleichheit ist wie das ursprüngliche System wahr, wenn beide Faktoren entweder positiv oder negativ sind. Es stellt sich heraus, dass es möglich ist, von der logarithmischen Ungleichung zur rationalen zu wechseln (unter Berücksichtigung der ODZ).

Lassen Sie uns formulieren Rationalisierungsverfahren für logarithmische Ungleichungen$$\log_(f(x)) g(x) \vee \log_(f(x)) h(x) \Leftrightarrow (f(x) - 1)(g(x)-h(x)) \ vee 0,$$ wobei `\vee` ein beliebiges Ungleichheitszeichen ist. (Für das `>`-Zeichen haben wir nur die Gültigkeit der Formel überprüft. Für den Rest empfehle ich, es selbst zu überprüfen - so werden Sie es sich besser merken).

Kehren wir zur Lösung unserer Ungleichung zurück. Wenn wir in Klammern expandieren (um die Nullstellen der Funktion besser zu sehen), erhalten wir

$$(2x-1)x(x - 1) >0.$$

Die Intervallmethode ergibt folgendes Bild:

(Da die Ungleichung streng ist und die Enden der Intervalle für uns nicht von Interesse sind, werden sie nicht ausgefüllt.) Wie man sieht, erfüllen die resultierenden Intervalle die ODZ. Bekam die Antwort: `(0,\frac(1)(2)) \cup (1,∞)`.

Zweites Beispiel. Lösung der logarithmischen Ungleichung mit variabler Basis

$$\log_(2-x) 3 \leqslant \log_(2-x) x.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l)2-x > 0,\\ 2-x ≠ 1, \\ x > 0. \end(array)\right.$$

$$\left\(\begin(array)(l)x< 2,\\ x ≠ 1, \\ x >0. \end(array)\right.$$

Lösen der Ungleichung

Nach der Regel, die wir gerade erhalten haben Rationalisierung logarithmischer Ungleichungen, wir erhalten, dass diese Ungleichung (unter Berücksichtigung der ODZ) mit der folgenden identisch ist:

$$(2-x -1) (3-x) \leqslant 0.$$

$$(1-x) (3-x) \leqslant 0.$$

Wenn wir diese Lösung mit der ODZ kombinieren, erhalten wir die Antwort: „(1,2)“.

Drittes Beispiel. Logarithmus eines Bruchs

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant -1.$$

ODZ

$$\left\(\begin(array)(l) \dfrac(4x+5)(6-5x)>0, \\ x>0,\\ x≠ 1.\end(array) \right.$ $

Da das System relativ komplex ist, zeichnen wir gleich die Lösung der Ungleichungen auf dem Zahlenstrahl:

Also ODZ: `(0,1)\cup \left(1,\frac(6)(5)\right)`.

Lösen der Ungleichung

Lassen Sie uns "-1" als Logarithmus mit der Basis "x" darstellen.

$$\log_x\frac(4x+5)(6-5x) \leqslant \log_x x^(-1).$$

Mit Hilfe Rationalisierung der logarithmischen Ungleichung Wir erhalten eine rationale Ungleichung:

$$(x-1)\left(\frac(4x+5)(6-5x) -\frac(1)(x)\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(4x^2+5x - 6+5x)(x(6-5x))\right)\leqslant0,$$

$$(x-1)\left(\frac(2x^2+5x - 3)(x(6-5x))\right)\leqslant0.$$

Glaubst du, dass bis zur Prüfung noch Zeit ist und du Zeit haben wirst, dich vorzubereiten? Vielleicht ist das so. Aber in jedem Fall gilt: Je früher der Student mit der Ausbildung beginnt, desto erfolgreicher besteht er die Prüfungen. Heute haben wir uns entschieden, den logarithmischen Ungleichungen einen Artikel zu widmen. Dies ist eine der Aufgaben, was eine Möglichkeit bedeutet, einen Extrapunkt zu bekommen.

Weißt du schon, was ein Logarithmus (log) ist? Wir hoffen es sehr. Aber auch wenn Sie auf diese Frage keine Antwort haben, ist das kein Problem. Es ist sehr einfach zu verstehen, was ein Logarithmus ist.

Warum genau 4? Sie müssen die Zahl 3 zu einer solchen Potenz erheben, um 81 zu erhalten. Wenn Sie das Prinzip verstanden haben, können Sie mit komplexeren Berechnungen fortfahren.

Sie haben die Ungleichheiten vor ein paar Jahren durchgemacht. Und seitdem begegnet man ihnen ständig in der Mathematik. Wenn Sie Probleme beim Lösen von Ungleichungen haben, sehen Sie sich den entsprechenden Abschnitt an.
Jetzt, wenn wir die Begriffe gesondert kennengelernt haben, werden wir zu ihrer Betrachtung im Allgemeinen übergehen.

Die einfachste logarithmische Ungleichung.

Die einfachsten logarithmischen Ungleichungen sind nicht auf dieses Beispiel beschränkt, es gibt noch drei weitere, nur mit unterschiedlichen Vorzeichen. Warum wird das benötigt? Um besser zu verstehen, wie man Ungleichungen mit Logarithmen löst. Jetzt geben wir ein anwendbareres Beispiel, immer noch recht einfach, wir verschieben komplexe logarithmische Ungleichungen auf später.

Wie man es löst? Alles beginnt mit ODZ. Sie sollten mehr darüber wissen, wenn Sie jede Ungleichung immer einfach lösen möchten.

Was ist ODZ? DPV für logarithmische Ungleichungen

Die Abkürzung steht für den Bereich der gültigen Werte. In Aufgaben für die Prüfung taucht diese Formulierung oft auf. DPV hilft Ihnen nicht nur bei logarithmischen Ungleichungen.

Betrachten Sie noch einmal das obige Beispiel. Wir werden die ODZ darauf basierend betrachten, damit Sie das Prinzip verstehen und die Lösung logarithmischer Ungleichungen keine Fragen aufwirft. Aus der Definition des Logarithmus folgt, dass 2x+4 größer als Null sein muss. In unserem Fall bedeutet dies Folgendes.

Diese Zahl muss per Definition positiv sein. Lösen Sie die oben dargestellte Ungleichung. Dies kann sogar mündlich erfolgen, hier ist klar, dass X nicht kleiner als 2 sein kann. Die Lösung der Ungleichung wird die Definition des Bereichs akzeptabler Werte sein.
Kommen wir nun zur Lösung der einfachsten logarithmischen Ungleichung.

Wir verwerfen die Logarithmen selbst von beiden Teilen der Ungleichung. Was bleibt uns dabei übrig? einfache Ungleichheit.

Es ist einfach zu lösen. X muss größer als -0,5 sein. Jetzt kombinieren wir die beiden erhaltenen Werte in das System. Auf diese Weise,

Dies ist der Bereich zulässiger Werte für die betrachtete logarithmische Ungleichung.

Warum wird ODZ überhaupt benötigt? Dies ist eine Gelegenheit, falsche und unmögliche Antworten auszusortieren. Wenn die Antwort nicht im Bereich akzeptabler Werte liegt, ergibt die Antwort einfach keinen Sinn. Daran sollte man sich lange erinnern, da in der Prüfung oft nach ODZ gesucht werden muss und es sich nicht nur um logarithmische Ungleichungen handelt.

Algorithmus zur Lösung der logarithmischen Ungleichung

Die Lösung besteht aus mehreren Schritten. Zuerst ist es notwendig, den Bereich akzeptabler Werte zu finden. Es wird zwei Werte im ODZ geben, das haben wir oben berücksichtigt. Der nächste Schritt besteht darin, die Ungleichung selbst zu lösen. Die Lösungsmethoden sind wie folgt:

• Multiplikator-Ersetzungsverfahren;
• Zersetzung;
• Rationalisierungsmethode.

Je nach Situation sollte eine der oben genannten Methoden verwendet werden. Kommen wir direkt zur Lösung. Wir werden die beliebteste Methode aufzeigen, die in fast allen Fällen zur Lösung von USE-Aufgaben geeignet ist. Als nächstes betrachten wir die Zerlegungsmethode. Es kann hilfreich sein, wenn Sie auf eine besonders "knifflige" Ungleichung stoßen. Also der Algorithmus zur Lösung der logarithmischen Ungleichung.

Lösungsbeispiele :

Es ist nicht umsonst, dass wir genau eine solche Ungleichheit genommen haben! Achten Sie auf die Basis. Denken Sie daran: Wenn es größer als eins ist, bleibt das Vorzeichen beim Finden des Bereichs gültiger Werte gleich; Andernfalls muss das Ungleichheitszeichen geändert werden.

Als Ergebnis erhalten wir die Ungleichung:

Nun bringen wir die linke Seite auf die Form der Gleichung gleich Null. Anstelle des „kleiner als“-Zeichens setzen wir „gleich“, wir lösen die Gleichung. So finden wir die ODZ. Wir hoffen, dass Sie keine Probleme haben, eine so einfache Gleichung zu lösen. Die Antworten sind -4 und -2. Das ist nicht alles. Sie müssen diese Punkte auf dem Diagramm anzeigen, indem Sie "+" und "-" platzieren. Was muss dafür getan werden? Ersetzen Sie Zahlen aus den Intervallen in den Ausdruck. Wo die Werte positiv sind, setzen wir dort "+".

Antworten: x kann nicht größer als -4 und kleiner als -2 sein.

Wir haben den Bereich der gültigen Werte nur für die linke Seite gefunden, jetzt müssen wir den Bereich der gültigen Werte für die rechte Seite finden. Das ist keineswegs einfacher. Antwort: -2. Wir schneiden beide empfangenen Bereiche.

Und erst jetzt beginnen wir, die Ungleichung selbst zu lösen.

Vereinfachen wir es so weit wie möglich, um die Entscheidung zu erleichtern.

Bei der Lösung verwenden wir wieder die Intervallmethode. Überspringen wir die Berechnungen, bei ihm ist bereits alles aus dem vorherigen Beispiel klar. Antworten.

Aber diese Methode ist geeignet, wenn die logarithmische Ungleichung die gleichen Basen hat.

Das Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen mit unterschiedlichen Basen erfordert eine anfängliche Reduktion auf eine Basis. Verwenden Sie dann die obige Methode. Aber es gibt auch einen komplizierteren Fall. Betrachten Sie eine der komplexesten Arten von logarithmischen Ungleichungen.

Logarithmische Ungleichungen mit variabler Basis

Wie löst man Ungleichungen mit solchen Merkmalen? Ja, und solche können in der Prüfung gefunden werden. Das Lösen von Ungleichheiten auf folgende Weise wird sich auch positiv auf Ihren Bildungsprozess auswirken. Sehen wir uns das Problem im Detail an. Lassen Sie die Theorie beiseite und gehen Sie direkt in die Praxis. Um logarithmische Ungleichungen zu lösen, genügt es, sich einmal mit dem Beispiel vertraut zu machen.

Um die logarithmische Ungleichung der dargestellten Form zu lösen, ist es notwendig, die rechte Seite auf den Logarithmus mit derselben Basis zu reduzieren. Das Prinzip ähnelt äquivalenten Übergängen. Als Ergebnis sieht die Ungleichung so aus.

Eigentlich bleibt es, ein System von Ungleichungen ohne Logarithmen zu schaffen. Mit der Rationalisierungsmethode gelangen wir zu einem äquivalenten Ungleichungssystem. Sie werden die Regel selbst verstehen, wenn Sie die entsprechenden Werte ersetzen und ihre Änderungen verfolgen. Das System weist die folgenden Ungleichungen auf.

Wenn Sie die Rationalisierungsmethode verwenden, müssen Sie beim Lösen von Ungleichungen Folgendes beachten: Sie müssen eins von der Basis subtrahieren, x wird per Definition des Logarithmus von beiden Teilen der Ungleichung (rechts von links) subtrahiert zwei Ausdrücke werden multipliziert und unter dem ursprünglichen Vorzeichen relativ zu Null gesetzt.

Die weitere Lösung erfolgt nach der Intervallmethode, hier ist alles einfach. Es ist wichtig, dass Sie die Unterschiede in den Lösungsmethoden verstehen, dann wird alles leicht funktionieren.

Es gibt viele Nuancen in logarithmischen Ungleichungen. Die einfachsten von ihnen sind leicht genug zu lösen. Wie schafft man es, jeden von ihnen ohne Probleme zu lösen? Alle Antworten haben Sie bereits in diesem Artikel erhalten. Jetzt haben Sie eine lange Übung vor sich. Üben Sie ständig, verschiedene Probleme innerhalb der Prüfung zu lösen, und Sie werden in der Lage sein, die höchste Punktzahl zu erzielen. Viel Erfolg bei Ihrer schwierigen Arbeit!

Bei ihnen sind Logarithmen drinnen.

Beispiele:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

So lösen Sie logarithmische Ungleichungen:

Jede logarithmische Ungleichung sollte auf die Form \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) reduziert werden (Symbol \(˅\) bedeutet irgendeines von ). Diese Form ermöglicht es uns, Logarithmen und ihre Basen loszuwerden, indem wir zur Ungleichung von Ausdrücken unter Logarithmen übergehen, dh zur Form \(f(x) ˅ g(x)\).

Aber bei diesem Übergang gibt es eine sehr wichtige Feinheit:
\(-\) wenn - eine Zahl und größer als 1 - das Ungleichheitszeichen beim Übergang gleich bleibt,
\(-\) ist die Basis eine Zahl größer als 0, aber kleiner als 1 (zwischen null und eins), dann muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden, d.h.

Beispiele:

\(\log_2⁡((8-x))<1\) ODZ: \(8-x>0\) \(-x>-8\) \(x<8\) Entscheidung: \(\log\)\(_2\) \((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\) \(8-x\)\(<\) \(2\) \(8-2\(x>6\) Antwort: \((6;8)\)

\(\log\)\(_(0.5⁡)\) \((2x-4)\)≥\(\log\)\(_(0.5)\) ⁡\(((x+ eins))\) ODZ: \(\begin(cases)2x-4>0\\x+1 > 0\end(cases)\) \(\begin(cases)2x>4\\x > -1\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x>2\\x > -1\end(cases) \) \(\Leftrightarrow\) \(x\in(2;\infty)\) Entscheidung: \(2x-4\)\(≤\)\(x+1\) \(2x-x≤4+1\) \(x≤5\) Antwort: \((2;5]\)

Sehr wichtig! Bei jeder Ungleichung kann der Übergang von der Form \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) zum Vergleich von Ausdrücken unter Logarithmen nur erfolgen, wenn:

Beispiel . Lösen Sie die Ungleichung: \(\log\)\(≤-1\)

Entscheidung:

\(\Protokoll\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Lassen Sie uns die ODZ ausschreiben.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Wir öffnen die Klammern, geben .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Wir multiplizieren die Ungleichung mit \(-1\) und denken daran, das Vergleichszeichen umzukehren.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Wir bauen einen Zahlenstrahl und markieren darauf die Punkte \(\frac(7)(3)\) und \(\frac(3)(2)\). Beachten Sie, dass der Punkt vom Nenner punktiert wird, obwohl die Ungleichung nicht streng ist. Tatsache ist, dass dieser Punkt keine Lösung sein wird, da er uns beim Einsetzen in eine Ungleichung zur Division durch Null führen wird.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Nun zeichnen wir die ODZ auf derselben numerischen Achse auf und schreiben als Antwort das Intervall auf, das in die ODZ fällt.
	Schreiben Sie die endgültige Antwort auf.

Antworten: \(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)

Beispiel . Lösen Sie die Ungleichung: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Entscheidung:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Lassen Sie uns die ODZ ausschreiben.
ODZ: \(x>0\)	Kommen wir zur Lösung.
Lösung: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Vor uns liegt eine typische quadratisch-logarithmische Ungleichung. Wir tun es.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Erweitern Sie die linke Seite der Ungleichung zu .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Jetzt müssen Sie zur ursprünglichen Variablen - x - zurückkehren. Dazu gehen wir zu über, das dieselbe Lösung hat, und führen die umgekehrte Substitution durch.
\(\left[ \begin(gesammelt) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformiere \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(gathered) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Kommen wir zum Vergleich von Argumenten. Die Basen von Logarithmen sind größer als \(1\), also ändert sich das Vorzeichen der Ungleichungen nicht.
\(\left[ \begin(gesammelt) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Kombinieren wir die Lösung der Ungleichung und die ODZ in einer Figur.
	Schreiben wir die Antwort auf.

Antworten: \((0; \frac(1)(3))∪(9;∞)\)

LOGARITHMISCHE UNGLEICHHEITEN IN DER VERWENDUNG

Sechin Michail Alexandrowitsch

Kleine Akademie der Wissenschaften für Studenten der Republik Kasachstan "Seeker"

MBOU "Sowjetisches Gymnasium Nr. 1", Klasse 11, Stadt. Sowjetischer Sowjetbezirk

Gunko Lyudmila Dmitrievna, Lehrerin der MBOU „Sowjetische Sekundarschule Nr. 1“

Sowjetischer Bezirk

Zielsetzung: Untersuchung des Mechanismus zur Lösung von C3-logarithmischen Ungleichungen mit nicht standardmäßigen Methoden, die interessante Fakten über den Logarithmus aufdecken.

Gegenstand der Studie:

3) Lernen Sie, spezifische logarithmische C3-Ungleichungen mit nicht standardmäßigen Methoden zu lösen.

Ergebnisse:

Inhalt

Einführung …………………………………………………………………………… .4

Kapitel 1. Hintergrund ………………………………………………………...5

Kapitel 2. Sammlung logarithmischer Ungleichungen ………………………… 7

2.1. Äquivalente Übergänge und die verallgemeinerte Methode der Intervalle …………… 7

2.2. Rationalisierungsmethode ………………………………………………… 15

2.3. Außergewöhnliche Substitution …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.4. Aufgaben mit Fallen …………………………………………………… 27

Fazit …………………………………………………………………… 30

Literatur……………………………………………………………………. 31

Einführung

Ich gehe in die 11. Klasse und beabsichtige, eine Universität zu besuchen, in der Mathematik ein Kernfach ist. Und deshalb arbeite ich viel mit den Aufgaben von Teil C. In Aufgabe C3 müssen Sie eine nicht standardmäßige Ungleichung oder ein System von Ungleichungen lösen, die normalerweise mit Logarithmen verbunden sind. Bei der Prüfungsvorbereitung stieß ich auf das Problem fehlender Methoden und Techniken zur Lösung der in C3 angebotenen Prüfung logarithmische Ungleichungen. Die Methoden, die im Schullehrplan zu diesem Thema studiert werden, bieten keine Grundlage für die Lösung von C3-Aufgaben. Die Mathelehrerin hat vorgeschlagen, dass ich die C3-Aufgaben unter ihrer Anleitung alleine erarbeite. Außerdem interessierte mich die Frage: Gibt es Logarithmen in unserem Leben?

Vor diesem Hintergrund wurde das Thema gewählt:

"Logarithmische Ungleichungen in der Klausur"

Zielsetzung: Untersuchung des Mechanismus zur Lösung von C3-Problemen mit nicht standardmäßigen Methoden, wobei interessante Fakten über den Logarithmus enthüllt werden.

Gegenstand der Studie:

1) Finden Sie die notwendigen Informationen über nicht standardmäßige Methoden zum Lösen logarithmischer Ungleichungen.

2) Finden Sie zusätzliche Informationen über Logarithmen.

3) Lernen Sie, spezifische C3-Probleme mit nicht standardmäßigen Methoden zu lösen.

Ergebnisse:

Die praktische Bedeutung liegt in der Erweiterung des Apparates zur Problemlösung C3. Dieses Material kann in einigen Unterrichtsstunden verwendet werden, um Kreise zu leiten, optionale Klassen in Mathematik.

Das Projektprodukt wird die Sammlung "Logarithmische C3-Ungleichungen mit Lösungen" sein.

Kapitel 1. Hintergrund

Im 16. Jahrhundert nahm die Zahl der Näherungsrechnungen vor allem in der Astronomie rapide zu. Die Verbesserung der Instrumente, das Studium der Planetenbewegungen und andere Arbeiten erforderten kolossale, manchmal viele Jahre dauernde Berechnungen. Die Astronomie lief Gefahr, in unerfüllten Berechnungen zu ertrinken. Auch in anderen Bereichen traten Schwierigkeiten auf, beispielsweise wurden im Versicherungsgeschäft Zinseszinstabellen für verschiedene Prozentwerte benötigt. Die Hauptschwierigkeit war Multiplikation, Division von mehrstelligen Zahlen, insbesondere trigonometrischen Größen.

Die Entdeckung der Logarithmen basierte auf den bekannten Eigenschaften von Progressionen Ende des 16. Jahrhunderts. Archimedes sprach über die Verbindung zwischen den Gliedern der geometrischen Folge q, q2, q3, ... und der arithmetischen Folge ihrer Indikatoren 1, 2, 3, ... im Psalmiten. Eine weitere Voraussetzung war die Erweiterung des Gradbegriffs auf negative und gebrochene Exponenten. Viele Autoren haben darauf hingewiesen, dass Multiplikation, Division, Potenzieren und Wurzelziehen in der Arithmetik – in derselben Reihenfolge – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division exponentiell entsprechen.

Hier war die Idee des Logarithmus als Exponent.

In der Entwicklungsgeschichte der Logarithmenlehre sind mehrere Etappen vergangen.

Stufe 1

Logarithmen wurden spätestens 1594 unabhängig vom schottischen Baron Napier (1550-1617) und zehn Jahre später vom Schweizer Mechaniker Burgi (1552-1632) erfunden. Beide wollten ein neues bequemes Mittel für arithmetische Berechnungen bereitstellen, obwohl sie dieses Problem auf unterschiedliche Weise angingen. Napier drückte die logarithmische Funktion kinematisch aus und betrat damit ein neues Gebiet der Funktionstheorie. Bürgi blieb aufgrund der Betrachtung von diskreten Verläufen bestehen. Die Definition des Logarithmus für beide ähnelt jedoch nicht der modernen. Der Begriff "Logarithmus" (logarithmus) gehört zu Napier. Es entstand aus einer Kombination der griechischen Wörter: logos – „Beziehung“ und ariqmo – „Zahl“, was „Anzahl der Beziehungen“ bedeutete. Anfangs verwendete Napier einen anderen Begriff: Numeri Artificiales – „künstliche Zahlen“, im Gegensatz zu Numeri Naturalts – „natürliche Zahlen“.

1615 schlug Napier in einem Gespräch mit Henry Briggs (1561-1631), einem Professor für Mathematik am Gresh College in London, vor, Null für den Logarithmus von eins und 100 für den Logarithmus von zehn zu nehmen, oder was dasselbe ergibt , nur 1. So wurden dezimale Logarithmen und die ersten logarithmischen Tabellen gedruckt. Später wurden die Briggs-Tafeln durch den holländischen Buchhändler und Mathematiker Andrian Flakk (1600-1667) ergänzt. Napier und Briggs, obwohl sie vor allen anderen zum Logarithmus kamen, veröffentlichten ihre Tabellen später als andere – im Jahr 1620. Die Zeichen log und Log wurden 1624 von I. Kepler eingeführt. Der Begriff "natürlicher Logarithmus" wurde 1659 von Mengoli eingeführt, gefolgt von N. Mercator 1668, und der Londoner Lehrer John Spadel veröffentlichte Tabellen natürlicher Logarithmen von Zahlen von 1 bis 1000 unter dem Namen "New Logarithms".

Auf Russisch wurden die ersten Logarithmentafeln 1703 veröffentlicht. Aber in allen logarithmischen Tabellen wurden Fehler in der Berechnung gemacht. Die ersten unverwechselbaren Tafeln entstanden 1857 in Berlin in der Bearbeitung des deutschen Mathematikers K. Bremiker (1804-1877).

Stufe 2

Die Weiterentwicklung der Theorie der Logarithmen ist mit einer breiteren Anwendung der analytischen Geometrie und der Infinitesimalrechnung verbunden. Zu dieser Zeit war der Zusammenhang zwischen der Quadratur einer gleichseitigen Hyperbel und dem natürlichen Logarithmus hergestellt. Die Theorie der Logarithmen dieser Zeit ist mit den Namen einer Reihe von Mathematikern verbunden.

Der deutsche Mathematiker, Astronom und Ingenieur Nikolaus Mercator in seinem Aufsatz

"Logarithmotechnics" (1668) gibt eine Reihe an, die die Entwicklung von ln(x + 1) in Bezug auf angibt

Potenzen x:

Dieser Ausdruck entspricht genau seinem Gedankengang, obwohl er natürlich nicht die Zeichen d, ... verwendet hat, sondern umständlichere Symbole. Mit der Entdeckung der logarithmischen Reihe änderte sich die Technik zur Berechnung von Logarithmen: Sie wurden mit unendlichen Reihen bestimmt. In seinen 1907-1908 gelesenen Vorlesungen "Elementare Mathematik von einem höheren Standpunkt aus" schlug F. Klein vor, die Formel als Ausgangspunkt für den Aufbau der Logarithmentheorie zu verwenden.

Stufe 3

Definition einer logarithmischen Funktion als Funktion der Inversen

Exponential, Logarithmus als Exponent einer gegebenen Basis

wurde nicht sofort formuliert. Das Werk von Leonhard Euler (1707-1783)

Als weitere diente „Einführung in die Analyse der Infinitesimalzahlen“ (1748).

Entwicklung der Theorie der logarithmischen Funktion. Auf diese Weise,

134 Jahre sind vergangen, seit Logarithmen erstmals eingeführt wurden

(gezählt ab 1614), bevor die Mathematiker eine Definition fanden

das Konzept des Logarithmus, das heute Grundlage des Schulkurses ist.

Kapitel 2. Sammlung logarithmischer Ungleichungen

2.1. Äquivalente Übergänge und die verallgemeinerte Methode der Intervalle.

Äquivalente Übergänge

wenn a > 1

wenn 0 < а < 1

Verallgemeinerte Intervallmethode

Diese Methode ist die universellste zum Lösen von Ungleichungen fast aller Art. Das Lösungsschema sieht wie folgt aus:

1. Bringen Sie die Ungleichung in eine solche Form, bei der die Funktion auf der linken Seite steht
, und 0 auf der rechten Seite.

2. Suchen Sie den Umfang der Funktion
.

3. Finden Sie die Nullstellen einer Funktion
, also die Gleichung lösen
(und das Lösen einer Gleichung ist normalerweise einfacher als das Lösen einer Ungleichung).

4. Zeichnen Sie den Definitionsbereich und die Nullstellen der Funktion auf eine reelle Linie.

5. Bestimmen Sie die Vorzeichen der Funktion
in den empfangenen Intervallen.

6. Wählen Sie die Intervalle aus, in denen die Funktion die erforderlichen Werte annimmt, und schreiben Sie die Antwort auf.

Beispiel 1

Entscheidung:

Wende die Intervallmethode an

wo

Für diese Werte sind alle Ausdrücke unter dem Vorzeichen von Logarithmen positiv.

Antworten:

Beispiel 2

Entscheidung:

1 Weg . ODZ wird durch die Ungleichung bestimmt x> 3. Logarithmieren für solche x in Basis 10 erhalten wir

Die letzte Ungleichung könnte durch Anwendung der Zerlegungsregeln gelöst werden, d.h. Faktoren mit Null vergleichen. In diesem Fall ist es jedoch einfach, die Konstanzintervalle der Funktion zu bestimmen

Daher kann die Intervallmethode angewendet werden.

Funktion f(x) = 2x(x- 3,5)lgǀ x- 3ǀ ist kontinuierlich für x> 3 und verschwindet punktuell x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Damit bestimmen wir die Konstanzintervalle der Funktion f(x):

Antworten:

2. Weg . Wenden wir die Ideen der Intervallmethode direkt auf die ursprüngliche Ungleichung an.

Dazu erinnern wir uns, dass die Ausdrücke a b- a c und ( a - 1)(b- 1) haben ein Zeichen. Dann ist unsere Ungleichung für x> 3 entspricht der Ungleichung

oder

Die letzte Ungleichung wird mit der Intervallmethode gelöst

Antworten:

Beispiel 3

Entscheidung:

Wende die Intervallmethode an

Antworten:

Beispiel 4

Entscheidung:

Seit 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 für alle reell x, dann

Um die zweite Ungleichung zu lösen, verwenden wir die Intervallmethode

In der ersten Ungleichung nehmen wir die Änderung vor

dann kommen wir zur Ungleichung 2y 2 - j - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те j, die die Ungleichung -0,5 erfüllen< j < 1.

Woher, weil

wir bekommen die Ungleichung

was mit durchgeführt wird x, dafür 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Unter Berücksichtigung der Lösung der zweiten Ungleichung des Systems erhalten wir schließlich

Antworten:

Beispiel 5

Entscheidung:

Ungleichheit ist gleichbedeutend mit einer Reihe von Systemen

oder

Wende die Intervallmethode an oder

Antworten:

Beispiel 6

Entscheidung:

Ungleichheit ist gleichbedeutend mit einem System

Lassen

dann j > 0,

und die erste Ungleichung

System nimmt die Form an

oder erweitern

Quadrattrinom zu Faktoren,

Anwenden der Intervallmethode auf die letzte Ungleichung,

wir sehen, dass seine Lösungen die Bedingung erfüllen j> 0 wird alles sein j > 4.

Somit ist die ursprüngliche Ungleichung äquivalent zu dem System:

Also sind die Lösungen der Ungleichung alle

2.2. Rationalisierungsmethode.

Zuvor war die Methode der Rationalisierung der Ungleichheit nicht gelöst, sie war nicht bekannt. Dies ist "eine neue moderne effektive Methode zur Lösung exponentieller und logarithmischer Ungleichungen" (Zitat aus dem Buch von Kolesnikova S.I.)
Und selbst wenn der Lehrer ihn kannte, gab es eine Befürchtung - aber kennt ihn der USE-Experte und warum geben sie ihn nicht in der Schule? Es gab Situationen, in denen der Lehrer zum Schüler sagte: "Wo hast du es her? Setz dich hin - 2."
Jetzt wird die Methode überall beworben. Und für Experten gibt es Richtlinien, die mit dieser Methode verbunden sind, und in "Die vollständigsten Ausgaben von Standardoptionen ..." in Lösung C3 wird diese Methode verwendet.
DIE METHODE IST SUPER!

"Magischer Tisch"

In anderen Quellen

Wenn a > 1 und b > 1, dann log a b > 0 und (a – 1)(b – 1) > 0;

Wenn a >1 und 0

wenn 0<a<1 и b >1, dann log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

wenn 0<a<1 и 00 und (a – 1)(b – 1) > 0.

Die obige Begründung ist einfach, vereinfacht aber merklich die Lösung logarithmischer Ungleichungen.

Beispiel 4

Protokoll x (x 2 -3)<0

Entscheidung:

Beispiel 5

log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 +x )

Entscheidung:

Antworten. (0; 0,5) U .

Beispiel 6

Um diese Ungleichung zu lösen, schreiben wir (x-1-1) (x-1) anstelle des Nenners und das Produkt (x-1) (x-3-9 + x) anstelle des Zählers.

Antworten : (3;6)

Beispiel 7

Beispiel 8

2.3. Nicht standardmäßige Substitution.

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Beispiel 5

Beispiel 6

Beispiel 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Machen wir die Substitution y=3 x -1; dann nimmt diese Ungleichheit Gestalt an

Protokoll 4 Protokoll 0,25
.

Als Protokoll 0,25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , dann schreiben wir die letzte Ungleichung um als 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Machen wir einen Ersatz t =log 4 y und erhalten die Ungleichung t 2 -2t +≥0, deren Lösung die Intervalle - .

Um also die Werte von y zu finden, haben wir einen Satz von zwei einfachen Ungleichungen
Die Lösung dieser Sammlung sind die Intervalle 0<у≤2 и 8≤у<+.

Daher ist die ursprüngliche Ungleichung äquivalent zu der Menge von zwei exponentiellen Ungleichungen,
das heißt Aggregate

Die Lösung der ersten Ungleichung dieser Menge ist das Intervall 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Somit gilt die ursprüngliche Ungleichung für alle Werte von x aus den Intervallen 0<х≤1 и 2≤х<+.

Beispiel 8

Entscheidung:

Ungleichheit ist gleichbedeutend mit einem System

Die Lösung der zweiten Ungleichung, die die ODZ bestimmt, wird die Menge dieser sein x,

wofür x > 0.

Um die erste Ungleichung zu lösen, nehmen wir die Änderung vor

Dann bekommen wir die Ungleichung

oder

Die Menge der Lösungen der letzten Ungleichung wird durch das Verfahren gefunden

Intervalle: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, wir bekommen

oder

Viele davon x, die die letzte Ungleichung erfüllen

gehört zu ODZ ( x> 0), ist also eine Lösung des Systems,

und damit die ursprüngliche Ungleichung.

Antworten:

2.4. Aufgaben mit Fallen.

Beispiel 1

.

Entscheidung. Die ODZ der Ungleichung ist, dass alle x die Bedingung 0 erfüllen . Also alle x aus dem Intervall 0

Beispiel 2

Log 2 (2x +1-x 2) > Log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Der Punkt ist, dass die zweite Zahl offensichtlich größer als ist

Fazit

Es war nicht einfach, spezielle Methoden zur Lösung von C3-Problemen aus einer Vielzahl unterschiedlicher Bildungsquellen zu finden. Im Laufe der geleisteten Arbeit konnte ich nicht standardmäßige Methoden zur Lösung komplexer logarithmischer Ungleichungen studieren. Diese sind: äquivalente Übergänge und die verallgemeinerte Intervallmethode, die Rationalisierungsmethode , Nicht standardmäßige Substitution , Aufgaben mit Fallen auf dem ODZ. Diese Methoden fehlen im Lehrplan der Schule.

Mit verschiedenen Methoden habe ich 27 Ungleichungen gelöst, die bei der USE in Teil C angeboten werden, nämlich C3. Diese methodischen Ungleichungen mit Lösungen bildeten die Grundlage der Sammlung „Logarithmische C3-Ungleichungen mit Lösungen“, die zum Projektprodukt meiner Tätigkeit wurde. Meine zu Beginn des Projekts aufgestellte Hypothese hat sich bestätigt: C3-Probleme lassen sich effektiv lösen, wenn diese Methoden bekannt sind.

Außerdem entdeckte ich interessante Fakten über Logarithmen. Es war interessant für mich, es zu tun. Meine Projektprodukte werden sowohl für Schüler als auch für Lehrer nützlich sein.

Ergebnisse:

Damit ist das Projektziel erreicht, das Problem gelöst. Und ich habe die umfassendste und vielseitigste Erfahrung in Projektaktivitäten in allen Arbeitsphasen gesammelt. Im Laufe der Projektarbeit lagen meine hauptsächlichen Entwicklungswirkungen auf der mentalen Kompetenz, Aktivitäten im Zusammenhang mit logischen mentalen Operationen, der Entwicklung kreativer Kompetenz, Eigeninitiative, Verantwortung, Ausdauer und Aktivität.

Eine Erfolgsgarantie bei der Erstellung eines Forschungsprojekts für Ich wurde: bedeutende Schulerfahrung, die Fähigkeit, Informationen aus verschiedenen Quellen zu extrahieren, ihre Zuverlässigkeit zu überprüfen, sie nach Bedeutung einzustufen.

Neben direkten Fachkenntnissen in Mathematik erweiterte er seine praktischen Fähigkeiten im Bereich Informatik, sammelte neue Kenntnisse und Erfahrungen im Bereich Psychologie, knüpfte Kontakte zu Mitschülern und lernte die Zusammenarbeit mit Erwachsenen. Im Rahmen der Projektaktivitäten wurden organisatorische, intellektuelle und kommunikative allgemeinbildende Fähigkeiten und Fertigkeiten entwickelt.

Literatur

1. Koryanov A. G., Prokofjew A. A. Systeme von Ungleichungen mit einer Variablen (typische Aufgaben C3).

2. Malkova A. G. Vorbereitung auf die Einheitliche Staatsprüfung in Mathematik.

3. S. S. Samarova, Lösung logarithmischer Ungleichungen.

4. Mathematik. Sammlung von Lehrwerken herausgegeben von A.L. Semjonow und I. V. Jaschtschenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 S.-