Betrachten Sie eine quadratische Gleichung.

Lassen Sie uns seine Wurzeln definieren.

Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat -1 ist. Aber wenn die Formel den Operator definiert ich als imaginäre Einheit, dann kann die Lösung dieser Gleichung in die Form geschrieben werden . Dabei und - komplexe Zahlen, bei denen -1 der Realteil, 2 oder im zweiten Fall -2 der Imaginärteil ist. Der Imaginärteil ist auch eine reelle (reelle) Zahl. Der Imaginärteil multipliziert mit der Imaginäreinheit bedeutet schon imaginäre Zahl.

Im Allgemeinen hat eine komplexe Zahl die Form

z = x + ich ,

wo x, y reelle Zahlen sind, ist eine imaginäre Einheit. In einigen angewandten Wissenschaften, beispielsweise in der Elektrotechnik, Elektronik, Signaltheorie, wird die imaginäre Einheit mit bezeichnet j. Reale Nummern x = Re(z) und y=Ich bin(z) genannt Real- und Imaginärteil Zahlen z. Der Ausdruck wird aufgerufen algebraische Form Notation einer komplexen Zahl.

Jede reelle Zahl ist ein Spezialfall einer komplexen Zahl in der Form . Eine imaginäre Zahl ist auch ein Spezialfall einer komplexen Zahl. .

Definition der Menge der komplexen Zahlen C

Dieser Ausdruck lautet wie folgt: set AUS, bestehend aus Elementen wie x und j gehören zur Menge der reellen Zahlen R und ist die imaginäre Einheit. Beachten Sie, dass usw.

Zwei komplexe Zahlen und sind genau dann gleich, wenn ihre Real- und Imaginärteile gleich sind, d.h. und .

Komplexe Zahlen und Funktionen werden in Wissenschaft und Technologie häufig verwendet, insbesondere in der Mechanik, Analyse und Berechnung von Wechselstromkreisen, analoger Elektronik, Signaltheorie und -verarbeitung, Theorie der automatischen Steuerung und anderen angewandten Wissenschaften.

1. Arithmetik komplexer Zahlen

Die Addition zweier komplexer Zahlen besteht darin, ihre Real- und Imaginärteile zu addieren, d.h.

Dementsprechend ist die Differenz zweier komplexer Zahlen

Komplexe Zahl genannt Komplex konjugieren Nummer z=x +i.y.

Die konjugiert komplexen Zahlen z und z* unterscheiden sich in den Vorzeichen des Imaginärteils. Es ist klar, dass

.

Jede Gleichheit zwischen komplexen Ausdrücken bleibt gültig, wenn in dieser Gleichheit überall ich ersetzt durch - ich, d.h. gehe zur Gleichheit konjugierter Zahlen. Zahlen ich und – ich sind algebraisch nicht unterscheidbar, weil .

Das Produkt (Multiplikation) zweier komplexer Zahlen kann wie folgt berechnet werden:

Division zweier komplexer Zahlen:

Beispiel:

1. Komplexes Flugzeug

Eine komplexe Zahl kann in einem rechtwinkligen Koordinatensystem grafisch dargestellt werden. Legen wir ein rechteckiges Koordinatensystem in der Ebene fest (x, y).

auf Achse Ochse Wir werden die echten Teile arrangieren x, es wird genannt reelle (echte) Achse, auf der Achse Ey– Imaginäre Teile j komplexe Zahlen. Sie trägt den Namen imaginäre Achse. Außerdem entspricht jede komplexe Zahl einem bestimmten Punkt der Ebene, und eine solche Ebene wird genannt komplexe Ebene. Punkt ABER die komplexe Ebene entspricht dem Vektor OA.

Nummer x genannt Abszisse komplexe Zahl, Zahl j – Ordinate.

Ein Paar komplexer konjugierter Zahlen wird als Punkte angezeigt, die symmetrisch um die reelle Achse angeordnet sind.

Wenn ins Flugzeug gesetzt Polarkoordinatensystem, dann jede komplexe Zahl z durch Polarkoordinaten bestimmt. Dabei Modul Zahlen ist der Polarradius des Punktes und der Winkel - sein Polarwinkel- oder komplexes Zahlenargument z.

Komplexer Zahlenmodul immer nicht negativ. Das Argument einer komplexen Zahl ist nicht eindeutig definiert. Der Hauptwert des Arguments muss die Bedingung erfüllen . Jeder Punkt der komplexen Ebene entspricht auch dem Gesamtwert des Arguments. Argumente, die sich um ein Vielfaches von 2π unterscheiden, gelten als gleich. Das Zahlenargument Null ist nicht definiert.

Der Hauptwert des Arguments wird durch die Ausdrücke bestimmt:

Es ist klar, dass

Dabei
, .

Komplexe Zahlendarstellung z als

genannt trigonometrische Form komplexe Zahl.

Beispiel.

1. Die Exponentialform komplexer Zahlen

Zersetzung ein Maclaurin-Reihe für reelle Argumentfunktionen sieht aus wie:

Für die Exponentialfunktion eines komplexen Arguments z Zersetzung ist ähnlich

.

Die Erweiterung der Maclaurin-Reihe für die Exponentialfunktion des imaginären Arguments kann dargestellt werden als

Die resultierende Identität wird aufgerufen Euler-Formel.

Für ein negatives Argument sieht es aus

Durch Kombinieren dieser Ausdrücke können wir die folgenden Ausdrücke für Sinus und Cosinus definieren

.

Unter Verwendung der Euler-Formel aus der trigonometrischen Form der Darstellung komplexer Zahlen

verfügbar demonstrativ(exponentielle, polare) Form einer komplexen Zahl, d.h. seine Darstellung im Formular

,

wo - Polarkoordinaten eines Punktes mit rechtwinkligen Koordinaten ( x,j).

Das Konjugierte einer komplexen Zahl wird wie folgt in Exponentialform geschrieben.

Für die Exponentialform lassen sich leicht die folgenden Formeln zur Multiplikation und Division komplexer Zahlen definieren

Das heißt, in Exponentialform ist das Produkt und die Division komplexer Zahlen einfacher als in algebraischer Form. Beim Multiplizieren werden die Module der Faktoren multipliziert und die Argumente addiert. Diese Regel gilt für eine beliebige Anzahl von Faktoren. Insbesondere beim Multiplizieren einer komplexen Zahl z auf der ich Vektor z dreht sich um 90 gegen den Uhrzeigersinn

Bei der Division wird der Zählermodul durch den Nennermodul dividiert, und das Nennerargument wird vom Zählerargument subtrahiert.

Unter Verwendung der Exponentialform komplexer Zahlen kann man Ausdrücke für wohlbekannte trigonometrische Identitäten erhalten. Zum Beispiel von der Identität

Mit der Euler-Formel können wir schreiben

Durch Gleichsetzen von Real- und Imaginärteil in diesem Ausdruck erhalten wir Ausdrücke für den Kosinus und den Sinus der Winkelsumme

1. Potenzen, Wurzeln und Logarithmen komplexer Zahlen

Erhöhen einer komplexen Zahl in eine natürliche Potenz n nach Rezept hergestellt

Beispiel. Berechnen .

Stellen Sie sich eine Zahl vor in trigonometrischer Form

’

Wenden wir die Potenzierungsformel an, erhalten wir

Den Wert in den Ausdruck einfügen r= 1 erhalten wir die sog Die Formel von De Moivre, mit der Sie die Ausdrücke für die Sinus- und Kosinuswerte mehrerer Winkel bestimmen können.

Wurzel n Potenz einer komplexen Zahl z Es hat n unterschiedliche Werte, die durch den Ausdruck bestimmt werden

Beispiel. Lass uns finden .

Dazu drücken wir die komplexe Zahl () in die trigonometrische Form aus

.

Nach der Formel zur Berechnung der Wurzel einer komplexen Zahl erhalten wir

Logarithmus einer komplexen Zahl z ist eine Zahl w, wofür . Der natürliche Logarithmus einer komplexen Zahl hat unendlich viele Werte und wird durch die Formel berechnet

Besteht aus Real- (Cosinus) und Imaginärteil (Sinus). Eine solche Spannung kann als Längenvektor dargestellt werden Äh, Anfangsphase (Winkel), rotierend mit Winkelgeschwindigkeit ω .

Wenn komplexe Funktionen hinzugefügt werden, werden außerdem ihre Real- und Imaginärteile hinzugefügt. Wird eine komplexe Funktion mit einer Konstanten oder einer reellen Funktion multipliziert, so werden ihr Real- und Imaginärteil mit demselben Faktor multipliziert. Die Differentiation/Integration einer solch komplexen Funktion wird auf die Differentiation/Integration des Real- und Imaginärteils reduziert.

Zum Beispiel die Differenzierung des komplexen Stressausdrucks

ist, es mit zu multiplizieren iω ist der Realteil der Funktion f(z), und ist der Imaginärteil der Funktion. Beispiele: .

Bedeutung z wird durch einen Punkt in der komplexen z-Ebene und den entsprechenden Wert dargestellt w- ein Punkt in der komplexen Ebene w. Wenn angezeigt w = f(z) Ebene Linien z in die Linien des Flugzeugs übergehen w, Figuren einer Ebene in Figuren einer anderen, aber die Formen von Linien oder Figuren können sich erheblich ändern.