Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen

Einführung 2

Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen 5

Algebraisch 5

Lösen von Gleichungen unter Verwendung der Gleichheitsbedingung gleichnamiger trigonometrischer Funktionen 7

Factoring 8

Reduktion auf eine homogene Gleichung 10

Einführung des Hilfswinkels 11

Wandeln Sie das Produkt in die Summe 14 um

Universelle Substitution 14

Fazit 17

Einführung

Bis zur zehnten Klasse ist die Handlungsreihenfolge vieler zum Ziel führender Übungen in der Regel eindeutig festgelegt. Zum Beispiel lineare und quadratische Gleichungen und Ungleichungen, Bruchgleichungen und auf quadratische Gleichungen reduzierbare Gleichungen usw. Ohne das Prinzip der Lösung jedes der genannten Beispiele im Detail zu analysieren, bemerken wir die allgemeine Sache, die für ihre erfolgreiche Lösung notwendig ist.

In den meisten Fällen müssen Sie bestimmen, um welche Art von Aufgabe es sich handelt, sich an die Abfolge der Aktionen erinnern, die zum Ziel führen, und diese Aktionen ausführen. Es ist offensichtlich, dass der Erfolg oder Misserfolg des Schülers bei der Beherrschung der Methoden zur Lösung von Gleichungen hauptsächlich davon abhängt, wie sehr er in der Lage sein wird, die Art der Gleichung richtig zu bestimmen und sich an die Abfolge aller Phasen ihrer Lösung zu erinnern. Dies setzt natürlich voraus, dass der Student die Fähigkeiten besitzt, identische Transformationen und Berechnungen durchzuführen.

Eine völlig andere Situation tritt auf, wenn ein Schüler auf trigonometrische Gleichungen trifft. Gleichzeitig ist es nicht schwierig festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Schwierigkeiten treten auf, wenn eine Vorgehensweise gefunden wird, die zu einem positiven Ergebnis führen würde. Und hier steht der Student vor zwei Problemen. Es ist schwierig, den Typ anhand des Aussehens der Gleichung zu bestimmen. Und ohne die Art zu kennen, ist es fast unmöglich, die gewünschte Formel aus den mehreren Dutzend verfügbaren auszuwählen.

Um den Schülern den Weg durch das komplexe Labyrinth der trigonometrischen Gleichungen zu erleichtern, werden sie zunächst in die Gleichungen eingeführt, die nach Einführung einer neuen Variablen auf quadratische Gleichungen reduziert werden. Dann homogene Gleichungen lösen und auf sie reduzieren. Alles endet in der Regel mit Gleichungen, für deren Lösung es notwendig ist, die linke Seite zu faktorisieren und dann jeden der Faktoren mit Null gleichzusetzen.

Der Lehrer erkennt, dass die anderthalb Dutzend Gleichungen, die im Unterricht analysiert werden, eindeutig nicht ausreichen, um den Schüler selbstständig auf dem trigonometrischen „Meer“ segeln zu lassen, und fügt einige weitere Empfehlungen von sich hinzu.

Um die trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen wir versuchen:

Bringen Sie alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf "die gleichen Winkel";

Bringen Sie die Gleichung auf "die gleichen Funktionen";

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung usw.

Aber trotz der Kenntnis der Haupttypen trigonometrischer Gleichungen und mehrerer Prinzipien zum Finden ihrer Lösung finden sich viele Schüler immer noch in einer Sackgasse vor jeder Gleichung wieder, die sich geringfügig von den zuvor gelösten unterscheidet. Es bleibt unklar, was man anstreben soll, wenn man die eine oder andere Gleichung hat, warum man in einem Fall die Doppelwinkelformeln anwenden muss, im anderen - den Halbwinkel und im dritten - die Additionsformeln usw.

Bestimmung 1. Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte unter dem Vorzeichen trigonometrischer Funktionen enthalten ist.

Bestimmung 2. Eine trigonometrische Gleichung hat dieselben Winkel, wenn alle darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen gleiche Argumente haben. Eine trigonometrische Gleichung heißt funktionsgleich, wenn sie nur eine der trigonometrischen Funktionen enthält.

Bestimmung 3. Der Grad eines Monoms, das trigonometrische Funktionen enthält, ist die Summe der Exponenten der Potenzen der darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen.

Bestimmung 4. Eine Gleichung heißt homogen, wenn alle darin enthaltenen Monome den gleichen Grad haben. Dieser Grad wird als Ordnung der Gleichung bezeichnet.

Bestimmung 5. Trigonometrische Gleichung, die nur Funktionen enthält Sünde und cos, heißt homogen, wenn alle Monome bezüglich trigonometrischer Funktionen denselben Grad haben, und die trigonometrischen Funktionen selbst gleiche Winkel haben und die Anzahl der Monome um 1 größer ist als die Ordnung der Gleichung.

Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

Die Lösung trigonometrischer Gleichungen besteht aus zwei Schritten: der Transformation der Gleichung, um ihre einfachste Form zu erhalten, und der Lösung der resultierenden einfachsten trigonometrischen Gleichung. Es gibt sieben grundlegende Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

ich. algebraische Methode. Dieses Verfahren ist aus der Algebra bekannt. (Methode der Ersetzung von Variablen und Substitution).

Gleichungen lösen.

1)

Führen wir die Notation ein x=2 Sünde3 t, wir bekommen

Lösen wir diese Gleichung, erhalten wir:
oder

jene. kann geschrieben werden

Beim Schreiben der Lösung aufgrund des Vorhandenseins von Zeichen erhalten Grad
es hat keinen sinn zu schreiben.

Antworten:

Bezeichnen

Wir erhalten eine quadratische Gleichung
. Seine Wurzeln sind Zahlen
und
. Daher reduziert sich diese Gleichung auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen
und
. Wenn wir sie lösen, finden wir das
oder
.

Antworten:
;
.

Bezeichnen

erfüllt die Bedingung nicht

Meint

Antworten:

Transformieren wir die linke Seite der Gleichung:

Somit kann diese Anfangsgleichung geschrieben werden als:

, d.h.

Bezeichnung
, wir bekommen
Wenn wir diese quadratische Gleichung lösen, haben wir:

erfüllt die Bedingung nicht

Wir schreiben die Lösung der ursprünglichen Gleichung auf:

Antworten:

Auswechslung
reduziert diese Gleichung auf eine quadratische Gleichung
. Seine Wurzeln sind Zahlen
und
. Als
, dann hat die gegebene Gleichung keine Wurzeln.

Antwort: keine Wurzeln.

II. Lösung von Gleichungen unter Verwendung der Gleichheitsbedingung der gleichnamigen trigonometrischen Funktionen.

a)
, Wenn

b)
, Wenn

in)
, Wenn

Betrachten Sie unter Verwendung dieser Bedingungen die Lösung der folgenden Gleichungen:

6)

Mit dem, was in Punkt a) gesagt wurde, finden wir, dass die Gleichung genau dann eine Lösung hat, wenn
.

Lösen wir diese Gleichung, finden wir
.

Wir haben zwei Gruppen von Lösungen:

.

7) Lösen Sie die Gleichung:
.

Unter Verwendung der Bedingung von Teil b) leiten wir das ab
.

Lösen wir diese quadratischen Gleichungen, erhalten wir:

.

8) Lösen Sie die Gleichung
.

Aus dieser Gleichung leiten wir das ab. Wenn wir diese quadratische Gleichung lösen, finden wir das

.

III. Faktorisierung.

Wir betrachten diese Methode anhand von Beispielen.

9) Lösen Sie die Gleichung
.

Entscheidung. Verschieben wir alle Terme der Gleichung nach links: .

Wir transformieren und faktorisieren den Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung:
.

.

.

1)
2)

weil
und
nehmen Sie nicht den Wert null

gleichzeitig, dann trennen wir beide Teile

Gleichungen für
,

Antworten:

10) Lösen Sie die Gleichung:

Entscheidung.

oder

Antworten:

11) Lösen Sie die Gleichung

Entscheidung:

1)
2)
3)

,

Antworten:

IV. Reduktion auf eine homogene Gleichung.

Um eine homogene Gleichung zu lösen, benötigen Sie:

Verschieben Sie alle seine Mitglieder auf die linke Seite;

Setzen Sie alle gemeinsamen Faktoren aus Klammern;

Alle Faktoren und Klammern gleich Null setzen;

Mit Null gleichgesetzte Klammern ergeben eine homogene Gleichung geringeren Grades, die durch dividiert werden sollte
(oder
) im höheren Studiengang;

Lösen Sie die resultierende algebraische Gleichung nach
.

Betrachten Sie Beispiele:

12) Lösen Sie die Gleichung:

Entscheidung.

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch
,

Einführung in die Notation
, Name

Die Wurzeln dieser Gleichung sind:

ab hier 1)
2)

Antworten:

13) Löse die Gleichung:

Entscheidung. Unter Verwendung der Doppelwinkelformeln und der grundlegenden trigonometrischen Identität reduzieren wir diese Gleichung auf ein halbes Argument:

Nach Reduzierung gleicher Terme haben wir:

Dividieren der homogenen letzten Gleichung durch
, wir bekommen

Ich werde benennen
, erhalten wir die quadratische Gleichung
, deren Wurzeln Zahlen sind

Auf diese Weise

Ausdruck
verschwindet bei
, d.h. beim
,
.

Unsere Lösung der Gleichung enthält diese Zahlen nicht.

Antworten:
, .

v. Einführung eines Hilfswinkels.

Betrachten Sie eine Gleichung der Form

Woher a, b, c- Koeffizienten, x- Unbekannt.

Teilen Sie beide Seiten dieser Gleichung durch

Jetzt haben die Koeffizienten der Gleichung die Eigenschaften von Sinus und Kosinus, nämlich: Der Modul von jedem von ihnen überschreitet nicht eins und die Summe ihrer Quadrate ist gleich 1.

Dann können wir sie entsprechend beschriften
(hier - Hilfswinkel) und unsere Gleichung hat die Form: .

Dann

Und seine Entscheidung

Beachten Sie, dass die eingeführte Notation austauschbar ist.

14) Löse die Gleichung:

Entscheidung. Hier
, also teilen wir beide Seiten der Gleichung durch

Antworten:

15) Lösen Sie die Gleichung

Entscheidung. Als
, dann ist diese Gleichung äquivalent zur Gleichung

Als
, dann gibt es einen solchen Winkel
,
(jene.
).

Wir haben

Als
, dann erhalten wir endlich:

.

Beachten Sie, dass eine Gleichung der Form genau dann eine Lösung hat, wenn

16) Löse die Gleichung:

Um diese Gleichung zu lösen, gruppieren wir trigonometrische Funktionen mit denselben Argumenten

Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch zwei

Wir transformieren die Summe trigonometrischer Funktionen in ein Produkt:

Antworten:

VI. Produkt in Summe umwandeln.

Hier werden die entsprechenden Formeln verwendet.

17) Löse die Gleichung:

Entscheidung. Wandeln wir die linke Seite in eine Summe um:

VII.Universelle Substitution.

,

Diese Formeln gelten für alle

Auswechslung
universal genannt.

18) Löse die Gleichung:

Lösung: Ersetzen Sie und
zu ihrem Ausdruck durch
und bezeichnen
.

Wir erhalten eine rationale Gleichung
, die in ein Quadrat umgewandelt wird
.

Die Wurzeln dieser Gleichung sind die Zahlen
.

Daher wurde das Problem auf die Lösung von zwei Gleichungen reduziert
.

Wir glauben, dass
.

Wert anzeigen
erfüllt nicht die ursprüngliche Gleichung, was durch Überprüfung verifiziert wird - Ersetzen des gegebenen Werts t zur ursprünglichen Gleichung.

Antworten:
.

Kommentar. Gleichung 18 könnte auf andere Weise gelöst werden.

Teilen Sie beide Seiten dieser Gleichung durch 5 (d.h. durch
):
.

Als
, dann gibt es eine Zahl
, was
und
. Daher wird die Gleichung:
oder
. Ab hier finden wir das
wo
.

19) Lösen Sie die Gleichung
.

Entscheidung. Da die Funktionen
und
den größten Wert gleich 1 haben, dann ist ihre Summe gleich 2, wenn
und
, gleichzeitig, das ist
.

Antworten:
.

Beim Lösen dieser Gleichung wurde die Beschränktheit der Funktionen und verwendet.

Fazit.

Bei der Arbeit am Thema „Lösungen trigonometrischer Gleichungen“ ist es für jeden Lehrer sinnvoll, die folgenden Empfehlungen zu beachten:

Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen systematisieren.

Wählen Sie selbst die Schritte zur Durchführung der Analyse der Gleichung und die Anzeichen für die Zweckmäßigkeit der Verwendung der einen oder anderen Lösungsmethode.

Über Möglichkeiten der Selbstkontrolle der Tätigkeit nach der Durchführung der Methode nachzudenken.

Lernen Sie, "Ihre" Gleichungen für jede der untersuchten Methoden zu erstellen.

Antrag Nr. 1

Lösen Sie homogene oder reduzierbare Gleichungen.

1.	Rep.
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	Rep.

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Hallo liebe Freunde! Heute betrachten wir die Aufgabe aus Teil C. Dies ist ein System aus zwei Gleichungen. Die Gleichungen sind ziemlich eigenartig. Hier stehen sowohl Sinus als auch Cosinus und sogar Wurzeln zur Verfügung. Sie müssen die Fähigkeit haben, Quadrate zu lösen, und zwar am einfachsten. In der vorgestellten Aufgabe werden ihre detaillierten Lösungen nicht vorgestellt, Sie sollten dies bereits können. Die entsprechenden Theorie- und Praxisaufgaben können Sie über die angegebenen Links einsehen.

Die Hauptschwierigkeit bei solchen Beispielen besteht darin, dass die erhaltenen Lösungen mit dem gefundenen Definitionsbereich verglichen werden müssen, hier kann man sich leicht durch Unaufmerksamkeit irren.

Die Lösung des Systems ist immer ein Zahlenpaar x und y, geschrieben als (x; y).Achten Sie darauf, nach Erhalt einer Antwort noch einmal vorbeizuschauen.Es gibt drei Wege für dich, nein, keine Wege, aber drei Wege der Argumentation, die du gehen kannst. Mir persönlich liegt der dritte am nächsten. Lass uns anfangen:

Lösen Sie das Gleichungssystem:

ERSTER WEG!

Finde den Definitionsbereich der Gleichung. Es ist bekannt, dass der Wurzelausdruck einen nicht negativen Wert hat:

Betrachten Sie die erste Gleichung:

1. Es ist Null bei x = 2 oder bei x = 4, aber 4 Radianten gehören nicht zur Definition des Ausdrucks (3).

* Ein Winkel von 4 Radianten (229,188 0) liegt im dritten Viertel, in dem der Sinuswert negativ ist. So

nur die Wurzel x = 2 bleibt übrig.

Betrachten Sie die zweite Gleichung für x = 2.

Bei diesem Wert von x muss der Ausdruck 2 - y - y 2 gleich Null sein, da

Löse 2 - y - y 2 = 0 erhalten wir y = – 2 oder y = 1.

Beachten Sie, dass für y = – 2 die Wurzel von cos y keine Lösung hat.

* Ein Winkel von -2 Radiant (-114,549 0) liegt im dritten Viertel, und darin ist der Kosinuswert negativ.

Daher bleibt nur y = 1.

Somit wird die Lösung des Systems das Paar (2;1) sein.

2. Die erste Gleichung ist auch für cos y = 0 gleich Null, also z

Aber unter Berücksichtigung des gefundenen Definitionsbereichs (2) erhalten wir:

Betrachten Sie die zweite Gleichung mit y.

Der Ausdruck 2 - y - y 2 mit y \u003d - Pi / 2 ist ungleich Null, was bedeutet, dass die Bedingung erfüllt sein muss, damit er eine Lösung hat:

Wir entscheiden:

Unter Berücksichtigung des gefundenen Definitionsbereichs (1) erhalten wir das

Somit ist die Lösung des Systems ein weiteres Paar:

ZWEITER WEG!

Finden wir den Definitionsbereich für den Ausdruck:

Es ist bekannt, dass der Ausdruck unter der Wurzel einen nicht negativen Wert hat.
Lösen wir die Ungleichung 6x - x 2 + 8 ≥ 0, erhalten wir 2 ≤ x ≤ 4 (2 und 4 sind Bogenmaß).

Betrachten Sie Fall 1:

Sei x = 2 oder x = 4.

Wenn x = 4, dann sündige x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Wenn man bedenkt, dass sin x ≠ 0 ist, stellt sich heraus, dass in diesem Fall in der zweiten Gleichung des Systems 2 - y - y 2 = 0 ist.

Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir, dass y \u003d - 2 oder y \u003d 1.

Wenn wir die erhaltenen Werte analysieren, können wir sagen, dass x \u003d 4 und y \u003d - 2 keine Wurzeln sind, da wir sin x bekommen< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Es ist ersichtlich, dass x = 2 und y = 1 im Definitionsbereich enthalten sind.

Die Lösung ist also das Paar (2;1).

Betrachten Sie Fall 2:

Lass jetzt 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Daraus können wir schließen, dass in der ersten Gleichung cos y gleich Null sein muss.

Wir lösen die Gleichung, wir erhalten:

In der zweiten Gleichung beim Ermitteln des Gültigkeitsbereichs des Ausdrucks:

Wir bekommen:

2 – y – y 2 ≥ 0

– 2 ≤ y ≤ 1

Von allen Lösungen der Gleichung cos y = 0 gilt nur:

Für einen gegebenen Wert von y ist der Ausdruck 2 - y - y 2 ≠ 0. Daher ist in der zweiten Gleichung sin x gleich Null, wir erhalten:

Von allen Lösungen dieser Gleichung ist das Intervall 2< х < 4 принадлежит только

Die Lösung des Systems wird also ein paar mehr sein:

*Der Definitionsbereich für alle Ausdrücke im System wurde nicht sofort gefunden, wir haben den Ausdruck aus der ersten Gleichung (2 Fälle) betrachtet und dann nebenbei die Übereinstimmung der gefundenen Lösungen mit dem festgelegten Definitionsbereich bestimmt. Meiner Meinung nach ist es nicht sehr praktisch, irgendwie stellt es sich als verwirrt heraus.

DRITTER WEG!

Es ist ähnlich wie das erste, aber es gibt Unterschiede. Außerdem wird der Bereich für Ausdrücke zuerst gefunden. Dann werden die erste und die zweite Gleichung getrennt gelöst, dann wird die Lösung des Systems gefunden.

Finden wir den Definitionsbereich. Es ist bekannt, dass der Wurzelausdruck einen nicht negativen Wert hat:

Durch Lösen der Ungleichung 6x - x 2 + 8 ≥ 0 erhalten wir 2 ≤ x ≤ 4 (1).

Die Werte 2 und 4 sind Radiant, 1 Radiant ist bekanntlich ≈ 57,297 0

In Grad können wir ungefähr 114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0 schreiben.

Durch Lösen der Ungleichung 2 – y – y 2 ≥ 0 erhalten wir – 2 ≤ y ≤ 1 (2).

In Grad können wir schreiben - 114,549 0 ≤ y ≤ 57,297 0 .

Lösen wir die Ungleichung sin x ≥ 0, bekommen wir das

Lösen wir die Ungleichung cos y ≥ 0, erhalten wir das

Es ist bekannt, dass das Produkt gleich Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist (und die anderen ihre Bedeutung nicht verlieren).

Betrachten Sie die erste Gleichung:

Meint

Die Lösung cos y = 0 ist:

Entscheidung 6x - x 2 + 8 = 0 sind x = 2 und x = 4.

Betrachten Sie die zweite Gleichung:

Meint

Die Lösung sin x = 0 ist:

Die Lösung der Gleichung 2 - y - y 2 = 0 lautet y = - 2 oder y = 1.

Unter Berücksichtigung des Definitionsbereichs analysieren wir nun

empfangene Werte:

Da 114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0 gilt, enthält dieses Segment nur eine Lösung der Gleichung sin x = 0, das ist x = pi.

Da – 114,549 0 ≤ у ≤ 57,297 0 , enthält dieses Segment nur eine Lösung der Gleichung cos y = 0, das ist

Betrachten Sie die Wurzeln x = 2 und x = 4.

Recht!

Somit besteht die Lösung des Systems aus zwei Zahlenpaaren:

*Hier haben wir unter Berücksichtigung des gefundenen Definitionsbereichs alle erhaltenen Werte, die nicht dazu gehören, ausgeschlossen und sind dann alle Optionen für mögliche Paare durchgegangen. Als nächstes haben wir überprüft, welche davon die Lösung des Systems sind.

Ich empfehle gleich zu Beginn des Lösens von Gleichungen, Ungleichungen und ihren Systemen, wenn es Wurzeln, Logarithmen, trigonometrische Funktionen gibt, ist es unerlässlich, den Definitionsbereich zu finden. Natürlich gibt es solche Beispiele, bei denen es einfacher ist, gleich zu lösen und dann einfach die Lösung zu überprüfen, aber so eine relative Minderheit.

Das ist alles. Viel Glück!

Die Verwendung von Gleichungen ist in unserem Leben weit verbreitet. Sie werden in vielen Berechnungen, Konstruktionen und sogar im Sport verwendet. Gleichungen werden seit der Antike vom Menschen verwendet, und seitdem hat ihre Verwendung nur zugenommen. Trigonometrische Gleichungen sind alle Gleichungen, die eine Variable enthalten, die unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion steht. Zum Beispiel: \[\sin x= a, \cos x = b\]. Die Lösung trigonometrischer Gleichungen reduziert sich auf folgende Teilaufgaben:

* Lösung der Gleichung;

* Auswahl der Wurzeln.

Die Antwort in solchen Gleichungen ist geschrieben in:

Grad;

Bogenmaß.

Um diese Art von Gleichung zu lösen, ist es notwendig, die Gleichung in eine/mehrere trigonometrische Grundgleichungen umzuwandeln: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] Und die Lösung solcher Grundgleichungen besteht darin, die Umrechnungstabelle zu verwenden oder nach den Positionen \[x\] auf dem Einheitskreis zu suchen.

Zum Beispiel gegebene trigonometrische Gleichungen, gelöst mit einer Umrechnungstabelle, der folgenden Form:

\[\tan(x - \pi/4) = 0\]

Antworten: \

\[\cot2x = 1,732\]

Antwort: x = \[\pi /12 + \pi n\]

\[\sin x = 0,866\]

Antwort: \[ x = \pi/3 \]

Wo kann ich kostenlos ein trigonometrisches Gleichungssystem online lösen?

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Lektionen 54-55. Systeme trigonometrischer Gleichungen (optional)

09.07.2015 9315 915

Ziel: Betrachten Sie die typischsten Systeme trigonometrischer Gleichungen und Wege, sie zu lösen.

I. Vermittlung von Thema und Zielen des Unterrichts

II. Wiederholung und Vertiefung des behandelten Stoffes

1. Antworten auf Fragen zu Hausaufgaben (Analyse ungelöster Probleme).

2. Überwachung der Assimilation des Materials (selbstständige Arbeit).

Variante 1

Lösen Sie die Ungleichung:

Option 2

Lösen Sie die Ungleichung:

III. Neues Material lernen

In Prüfungen sind trigonometrische Gleichungssysteme viel seltener als trigonometrische Gleichungen und Ungleichungen. Es gibt keine klare Klassifizierung von Systemen trigonometrischer Gleichungen. Daher teilen wir sie bedingt in Gruppen ein und überlegen, wie diese Probleme gelöst werden können.

1. Die einfachsten Gleichungssysteme

Dazu gehören Systeme, bei denen entweder eine der Gleichungen linear ist oder die Gleichungen des Systems unabhängig voneinander gelöst werden können.

Beispiel 1

Lösen wir das Gleichungssystem

Da die erste Gleichung linear ist, drücken wir die Variable daraus ausund in die zweite Gleichung einsetzen:Wir verwenden die Reduktionsformel und die grundlegende trigonometrische Identität. Wir bekommen die Gleichung oder Lassen Sie uns eine neue Variable einführen t = Sünde j. Wir haben eine quadratische Gleichung 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, dessen Wurzeln t 1 \u003d 1/3 und t 2 = 2 (nicht geeignet, weil Sünde y ≤ 1). Gehen wir zurück zum alten Unbekannten und erhalten die Gleichung siny = 1/3, dessen LösungJetzt ist es einfach, das Unbekannte zu finden:Das Gleichungssystem hat also Lösungen wobei n ∈ Z .

Beispiel 2

Lösen wir das Gleichungssystem

Die Systemgleichungen sind unabhängig. Daher ist es möglich, die Lösungen jeder Gleichung aufzuschreiben. Wir bekommen:Wir addieren und subtrahieren die Gleichungen dieses linearen Gleichungssystems Term für Term und finden:wo

Beachten wir, dass aufgrund der Unabhängigkeit der Gleichungen bei der Bestimmung von x - y und x + y unterschiedliche ganze Zahlen angegeben werden müssen n und k. Wenn anstelle von k wurde auch geliefert n , dann sähen die Lösungen so aus:In diesem Fall würde eine unendliche Menge von Lösungen verloren gehen und zusätzlich würde ein Zusammenhang zwischen den Variablen entstehen x und y: x = 3y (was nicht wirklich der Fall ist). Zum Beispiel ist es leicht zu überprüfen, dass dieses System eine Lösung x = 5π und y = n hat (gemäß den erhaltenen Formeln), die, wenn k = n unmöglich zu finden. Also sei vorsichtig.

2. Systeme anzeigen

Solche Systeme werden durch Addieren und Subtrahieren von Gleichungen auf das Einfachste reduziert. In diesem Fall bekommen wir Systemeoder Beachten Sie die offensichtliche Einschränkung: und Die eigentliche Lösung solcher Systeme ist nicht schwierig.

Beispiel 3

Lösen wir das Gleichungssystem

Transformieren wir zunächst die zweite Gleichung des Systems mit Hilfe der Gleichheit Wir bekommen: Setze die erste Gleichung in den Zähler dieses Bruchs ein:und ausdrücken Jetzt haben wir ein GleichungssystemLassen Sie uns diese Gleichungen addieren und subtrahieren. Wir haben: oderWir schreiben die Lösungen dieses einfachsten Systems auf:Durch Addieren und Subtrahieren dieser linearen Gleichungen finden wir:

3. Systeme anzeigen

Solche Systeme können als die einfachsten angesehen und entsprechend gelöst werden. Es gibt jedoch einen anderen Weg, es zu lösen: Wandeln Sie die Summe trigonometrischer Funktionen in ein Produkt um und verwenden Sie die verbleibende Gleichung.

Beispiel 4

Lösen wir das Gleichungssystem

Zuerst transformieren wir die erste Gleichung mit der Formel für die Summe der Sinuswinkel. Wir bekommen:Unter Verwendung der zweiten Gleichung haben wir:wo Wir schreiben die Lösungen dieser Gleichung auf:Unter Berücksichtigung der zweiten Gleichung dieses Systems erhalten wir ein lineares GleichungssystemAus diesem System finden wir Es ist zweckmäßig, solche Lösungen in einer rationaleren Form zu schreiben. Für die oberen Zeichen haben wir:für niedrigere Vorzeichen -

4. Systeme anzeigen

Zunächst ist es notwendig, eine Gleichung zu erhalten, die nur eine Unbekannte enthält. Dazu drücken wir beispielsweise aus einer Gleichung aus sin y, von einem anderen - cos j. Wir quadrieren diese Verhältnisse und addieren sie. Dann erhalten wir eine trigonometrische Gleichung, die die Unbekannte x enthält. Lösen wir diese Gleichung. Dann erhalten wir unter Verwendung einer beliebigen Gleichung dieses Systems eine Gleichung zum Auffinden des unbekannten y.

Beispiel 5

Lösen wir das Gleichungssystem

Wir schreiben das System in FormLassen Sie uns jede Gleichung des Systems quadrieren und erhalten:Wir addieren die Gleichungen dieses Systems: oder Unter Verwendung der grundlegenden trigonometrischen Identität schreiben wir die Gleichung in der Form oder Lösungen dieser Gleichung cos x = 1/2 (dann ) und cos x = 1/4 (woher ), wobei n , k ∈ Z . In Anbetracht der Verbindung zwischen den Unbekannten cos y \u003d 1 - 3 cos x erhalten wir: für cos x \u003d 1/2 cos y \u003d -1/2; für cos x = 1/4 cos y = 1/4. Es muss daran erinnert werden, dass beim Lösen des Gleichungssystems eine Quadrierung durchgeführt wurde und diese Operation zum Auftreten von Fremdwurzeln führen könnte. Daher ist es notwendig, die erste Gleichung dieses Systems zu berücksichtigen, aus der folgt, dass die Mengen Sünde x und Sünde muss das gleiche Vorzeichen haben.

Damit erhalten wir Lösungen dieses Gleichungssystemsund wobei n, m, k, l ∈ Z . In diesem Fall werden für unbekannte x und y gleichzeitig entweder oberes oder unteres Vorzeichen gewählt.

Im EinzelfallDas System kann gelöst werden, indem die Summe (oder Differenz) trigonometrischer Funktionen in ein Produkt umgewandelt und die Gleichungen dann Term für Term ineinander dividiert werden.

Beispiel 6

Lösen wir das Gleichungssystem

In jeder Gleichung wandeln wir die Summe und die Differenz der Funktionen in ein Produkt um und teilen jede Gleichung durch 2. Wir erhalten:Da keiner der Faktoren auf der linken Seite der Gleichungen gleich Null ist, teilen wir die Gleichungen Term für Term ineinander (z. B. den zweiten durch den ersten). Wir bekommen:wo Ersetzen Sie den gefundenen WertZum Beispiel in der ersten Gleichung:Das berücksichtigen wir Dann wo

Habe ein System linearer GleichungenDurch Addieren und Subtrahieren der Gleichungen dieses Systems finden wirund wobei n , k ∈ Z .

5. Systeme, die durch Ersatz von Unbekannten lösbar sind

Wenn das System nur zwei trigonometrische Funktionen enthält oder auf eine solche Form reduziert wird, ist es zweckmäßig, die Änderung von Unbekannten zu verwenden.

Beispiel 7

Lösen wir das Gleichungssystem

Da dieses System nur zwei trigonometrische Funktionen enthält, führen wir neue Variablen a = ein tg x und b = Sünde j. Wir erhalten ein System algebraischer GleichungenAus der ersten Gleichung drücken wir a = aus b + 3 und in die zweite einsetzen:oder Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung b 1 = 1 und b 2 = -4. Die entsprechenden Werte sind a1 = 4 und a2 = -1. Zurück zu den alten Unbekannten. Wir erhalten zwei Systeme der einfachsten trigonometrischen Gleichungen:

a) ihre Entscheidung wobei n , k ∈ Z .

b) hat keine Lösungen, weil siny ≥ -1.

Beispiel 8

Lösen wir das Gleichungssystem

Lassen Sie uns die zweite Gleichung des Systems so umformen, dass sie nur die Funktionen enthält Sünde x und cos j. Dazu verwenden wir die Reduktionsformel. Wir bekommen:(wo ) und (dann ). Die zweite Gleichung des Systems hat die Form: oder Wir haben ein System trigonometrischer GleichungenLassen Sie uns neue Variablen einführen a = sin x und b = cos j. Wir haben ein symmetrisches Gleichungssystem die einzige Lösung für die a = b = 1/2. Gehen wir zurück zu den alten Unbekannten und erhalten das einfachste System trigonometrischer Gleichungen dessen Lösung wobei n , k ∈ Z .

6. Systeme, für die die Singularitäten der Gleichungen wichtig sind

In der Praxis wird beim Lösen eines Gleichungssystems das eine oder andere seiner Merkmale verwendet. Eine der allgemeinsten Methoden zur Lösung eines Systems sind insbesondere identische Transformationen, die es ermöglichen, eine Gleichung zu erhalten, die nur eine Unbekannte enthält. Die Wahl der Transformationen wird natürlich durch die Besonderheiten der Gleichungen des Systems bestimmt.

Beispiel 9

Lassen Sie uns das System lösen

Achten wir zum Beispiel auf die linken Seiten der GleichungenMit den Reduktionsformeln machen wir daraus eine Funktion mit dem Argument π/4 + x. Wir bekommen:Dann hat das Gleichungssystem die Form:Um die Variable x zu eliminieren, multiplizieren wir die Gleichungen Term für Term und erhalten:oder 1 \u003d sin 3 2y, von wo sin 2y \u003d 1. Wir finden und Es ist zweckmäßig, die Fälle von geraden und ungeraden Werten getrennt zu betrachten n. Für gerade n (n = 2 k , wobei k ∈ Z ) Dann erhalten wir aus der ersten Gleichung dieses Systems:wobei m ∈ Z . Für ungerade Dann haben wir aus der ersten Gleichung:Dieses System hat also Lösungen

Wie bei Gleichungen gibt es auch hier recht häufig Gleichungssysteme, bei denen die Beschränktheit der Sinus- und Kosinusfunktionen eine wesentliche Rolle spielt.

Beispiel 10

Lösen wir das Gleichungssystem

Zunächst transformieren wir die erste Gleichung des Systems:oder oder oder oder Unter Berücksichtigung der Beschränktheit der Sinusfunktion sehen wir, dass die linke Seite der Gleichung nicht kleiner als 2 und die rechte Seite nicht größer als 2 ist. Daher entspricht eine solche Gleichung den Bedingungen Sünde 2 2x \u003d 1 und Sünde 2 y \u003d 1.

Wir schreiben die zweite Gleichung des Systems in der Form sin 2 y \u003d 1 - cos 2 z oder sin 2 y \u003d sin 2 z und dann sin 2 z = 1. Wir haben ein System einfacher trigonometrischer Gleichungen erhaltenUnter Verwendung der Leistungsreduktionsformel schreiben wir das System in die Formoder dann

Natürlich müssen beim Lösen anderer Systeme trigonometrischer Gleichungen auch die Merkmale dieser Gleichungen beachtet werden.

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