Erinnern wir uns zunächst an die Definition einer Lösung eines Gleichungssystems in zwei Variablen.

Bestimmung 1

Ein Zahlenpaar heißt Lösung eines Gleichungssystems mit zwei Variablen, wenn beim Einsetzen in die Gleichung die richtige Gleichheit erreicht wird.

Im Folgenden betrachten wir Systeme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen.

Existieren vier grundlegende Möglichkeiten, Gleichungssysteme zu lösen: Substitutionsmethode, Additionsmethode, grafische Methode, neue Variablenverwaltungsmethode. Sehen wir uns diese Methoden anhand konkreter Beispiele an. Um das Prinzip der Verwendung der ersten drei Methoden zu beschreiben, betrachten wir ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten:

Substitutionsmethode

Die Substitutionsmethode ist wie folgt: Jede dieser Gleichungen wird genommen und $y$ wird in Form von $x$ ausgedrückt, dann wird $y$ in die Gleichung des Systems eingesetzt, woraus die Variable $x.$ gefunden wird. Danach können wir die Variable $y.$ leicht berechnen

Beispiel 1

Lassen Sie uns aus der zweiten Gleichung $y$ in Form von $x$ ausdrücken:

Ersetzen Sie in der ersten Gleichung, finden Sie $x$:

\ \ \

Finde $y$:

Antworten: $(-2,\ 3)$

Additionsmethode.

Betrachten Sie diese Methode anhand eines Beispiels:

Beispiel 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Multiplizieren Sie die zweite Gleichung mit 3, wir erhalten:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Jetzt addieren wir beide Gleichungen zusammen:

\ \ \

Finde $y$ aus der zweiten Gleichung:

\[-6-y=-9\] \

Antworten: $(-2,\ 3)$

Bemerkung 1

Beachten Sie, dass bei dieser Methode eine oder beide Gleichungen mit solchen Zahlen multipliziert werden müssen, dass beim Hinzufügen einer der Variablen "verschwindet".

Grafischer Weg

Das grafische Verfahren ist wie folgt: Beide Gleichungen des Systems werden auf der Koordinatenebene angezeigt und der Punkt ihres Schnittpunkts wird gefunden.

Beispiel 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Lassen Sie uns $y$ aus beiden Gleichungen durch $x$ ausdrücken:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Lassen Sie uns beide Graphen auf derselben Ebene zeichnen:

Bild 1.

Antworten: $(-2,\ 3)$

Wie man neue Variablen einführt

Wir betrachten diese Methode im folgenden Beispiel:

Beispiel 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Lösung.

Dieses System entspricht dem System

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ Rechts.\]

Seien $2^x=u\ (u>0)$ und $3^y=v\ (v>0)$, wir erhalten:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Wir lösen das resultierende System mit der Additionsmethode. Fügen wir die Gleichungen hinzu:

\ \

Dann bekommen wir das aus der zweiten Gleichung

Zurück zur Ersetzung erhalten wir ein neues System von Exponentialgleichungen:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Wir bekommen:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Zuverlässiger als die im vorherigen Absatz besprochene grafische Methode.

Substitutionsmethode

Wir haben diese Methode in der 7. Klasse verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Der in der 7. Klasse entwickelte Algorithmus eignet sich gut zum Lösen von Systemen aus zwei beliebigen (nicht unbedingt linearen) Gleichungen mit zwei Variablen x und y (natürlich können die Variablen mit anderen Buchstaben bezeichnet werden, was keine Rolle spielt). Tatsächlich haben wir diesen Algorithmus im vorherigen Absatz verwendet, als das Problem einer zweistelligen Zahl zu einem mathematischen Modell führte, das ein Gleichungssystem ist. Wir haben dieses Gleichungssystem oben mit der Substitutionsmethode gelöst (siehe Beispiel 1 aus § 4).

Algorithmus zur Anwendung der Substitutionsmethode beim Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen x, y.

1. Drücken Sie y durch x aus einer Gleichung des Systems aus.
2. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck anstelle von y in eine andere Gleichung des Systems ein.
3. Lösen Sie die resultierende Gleichung nach x auf.
4. Setze der Reihe nach jede der Wurzeln der im dritten Schritt gefundenen Gleichung anstelle von x in den im ersten Schritt erhaltenen Ausdruck y bis x ein.
5. Schreiben Sie die Antwort in Form von Wertepaaren (x; y) auf, die im dritten bzw. vierten Schritt gefunden wurden.

4) Ersetzen Sie wiederum jeden der gefundenen Werte von y in die Formel x \u003d 5 - Zy. Wenn, dann
5) Paare (2; 1) und Lösungen eines gegebenen Gleichungssystems.

Antwort: (2; 1);

Algebraische Additionsmethode

Diese Methode ist Ihnen ebenso wie die Substitutionsmethode aus dem Algebrakurs der 7. Klasse bekannt, wo sie zur Lösung von linearen Gleichungssystemen verwendet wurde. Wir erinnern uns an das Wesen der Methode im folgenden Beispiel.

Beispiel 2 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Wir multiplizieren alle Terme der ersten Gleichung des Systems mit 3 und lassen die zweite Gleichung unverändert:
Subtrahiere die zweite Gleichung des Systems von seiner ersten Gleichung:

Als Ergebnis der algebraischen Addition zweier Gleichungen des ursprünglichen Systems wurde eine Gleichung erhalten, die einfacher ist als die erste und die zweite Gleichung des gegebenen Systems. Mit dieser einfacheren Gleichung haben wir das Recht, jede Gleichung eines gegebenen Systems zu ersetzen, zum Beispiel die zweite. Dann wird das gegebene Gleichungssystem durch ein einfacheres System ersetzt:

Dieses System kann durch die Substitutionsmethode gelöst werden. Aus der zweiten Gleichung finden wir. Setzen wir diesen Ausdruck anstelle von y in die erste Gleichung des Systems ein, erhalten wir

Es bleibt übrig, die gefundenen Werte von x in die Formel einzusetzen

Wenn x = 2 dann

Somit haben wir zwei Lösungen für das System gefunden:

Verfahren zur Einführung neuer Variablen

Die Methode der Einführung einer neuen Variablen beim Lösen rationaler Gleichungen mit einer Variablen haben Sie im Algebrakurs der 8. Klasse kennengelernt. Die Essenz dieser Methode zum Lösen von Gleichungssystemen ist die gleiche, aber aus technischer Sicht gibt es einige Besonderheiten, die wir in den folgenden Beispielen besprechen werden.

Beispiel 3 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Führen wir eine neue Variable ein Dann lässt sich die erste Gleichung des Systems in einfacherer Form umschreiben: Lösen wir diese Gleichung nach der Variablen t:

Diese beiden Werte erfüllen die Bedingung und sind daher die Wurzeln einer rationalen Gleichung mit der Variablen t. Aber das bedeutet entweder, wo wir finden, dass x = 2y, oder
Mit Hilfe der Methode der Einführung einer neuen Variablen konnten wir also die erste Gleichung des Systems, die recht komplex erscheint, sozusagen in zwei einfachere Gleichungen „stratifizieren“:

x = 2y; j - 2x.

Was kommt als nächstes? Und dann muss jede der beiden erhaltenen einfachen Gleichungen wiederum in einem System mit der Gleichung x 2 - y 2 \u003d 3 betrachtet werden, an die wir uns noch nicht erinnert haben. Mit anderen Worten reduziert sich das Problem auf die Lösung zweier Gleichungssysteme:

Es ist notwendig, Lösungen für das erste System, das zweite System zu finden und alle resultierenden Wertepaare in die Antwort aufzunehmen. Lösen wir das erste Gleichungssystem:

Wenden wir die Substitutionsmethode an, zumal hier alles dafür bereit ist: Wir setzen den Ausdruck 2y statt x in die zweite Gleichung des Systems ein. Erhalten

Da x \u003d 2y ist, finden wir x 1 \u003d 2 bzw. x 2 \u003d 2. Somit werden zwei Lösungen für das gegebene System erhalten: (2; 1) und (-2; -1). Lösen wir das zweite Gleichungssystem:

Wenden wir wieder die Substitutionsmethode an: Wir ersetzen den Ausdruck 2x anstelle von y in der zweiten Gleichung des Systems. Erhalten

Diese Gleichung hat keine Wurzeln, was bedeutet, dass das Gleichungssystem keine Lösungen hat. Daher sollten nur die Lösungen des ersten Systems in die Antwort aufgenommen werden.

Antwort: (2; 1); (-2;-1).

Die Methode der Einführung neuer Variablen beim Lösen von Systemen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen wird in zwei Versionen verwendet. Erste Option: Eine neue Variable wird eingeführt und in nur einer Gleichung des Systems verwendet. Genau das ist in Beispiel 3 passiert. Die zweite Option: Zwei neue Variablen werden eingeführt und gleichzeitig in beiden Gleichungen des Systems verwendet. Dies wird in Beispiel 4 der Fall sein.

Beispiel 4 Lösen Sie ein Gleichungssystem

Lassen Sie uns zwei neue Variablen einführen:

Das lernen wir dann

Dies wird es uns ermöglichen, das gegebene System in einer viel einfacheren Form umzuschreiben, aber in Bezug auf die neuen Variablen a und b:

Da a \u003d 1, finden wir aus der Gleichung a + 6 \u003d 2: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Somit erhalten wir für die Variablen a und b eine Lösung:

Kehren wir zu den Variablen x und y zurück, erhalten wir das Gleichungssystem

Wir wenden die algebraische Additionsmethode an, um dieses System zu lösen:

Seitdem finden wir aus der Gleichung 2x + y = 3:
Somit erhalten wir für die Variablen x und y eine Lösung:

Lassen Sie uns diesen Abschnitt mit einer kurzen, aber ziemlich ernsthaften theoretischen Diskussion abschließen. Sie haben bereits Erfahrung im Lösen verschiedener Gleichungen gesammelt: linear, quadratisch, rational, irrational. Sie wissen, dass die Hauptidee beim Lösen einer Gleichung darin besteht, allmählich von einer Gleichung zu einer anderen zu wechseln, die einfacher, aber der gegebenen entspricht. Im vorigen Abschnitt haben wir den Begriff der Äquivalenz für Gleichungen mit zwei Variablen eingeführt. Dieses Konzept wird auch für Gleichungssysteme verwendet.

Definition.

Zwei Gleichungssysteme mit den Variablen x und y heißen äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen haben oder wenn beide Systeme keine Lösungen haben.

Alle drei Methoden (Substitution, algebraische Addition und Einführung neuer Variablen), die wir in diesem Abschnitt besprochen haben, sind vom Standpunkt der Äquivalenz absolut korrekt. Mit anderen Worten, wir ersetzen mit diesen Methoden ein Gleichungssystem durch ein anderes, einfacheres, aber dem ursprünglichen System gleichwertiges.

Graphisches Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen

Wir haben bereits gelernt, Gleichungssysteme auf so gängige und zuverlässige Weise zu lösen, wie die Methode der Substitution, algebraischen Addition und die Einführung neuer Variablen. Und jetzt erinnern wir uns an die Methode, die Sie bereits in der vorherigen Lektion gelernt haben. Wiederholen wir also, was Sie über die grafische Lösungsmethode wissen.

Das Verfahren zum grafischen Lösen von Gleichungssystemen besteht in der Konstruktion eines Graphen für jede der spezifischen Gleichungen, die in diesem System enthalten sind und sich in derselben Koordinatenebene befinden, und auch dort, wo es erforderlich ist, den Schnittpunkt der Punkte dieser Graphen zu finden . Zur Lösung dieses Gleichungssystems dienen die Koordinaten dieses Punktes (x; y).

Es sollte daran erinnert werden, dass es für ein grafisches Gleichungssystem üblich ist, entweder eine einzige richtige Lösung oder eine unendliche Anzahl von Lösungen oder überhaupt keine Lösungen zu haben.

Sehen wir uns nun jede dieser Lösungen genauer an. Und so kann das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung haben, wenn sich die Linien, die die Graphen der Gleichungen des Systems sind, schneiden. Wenn diese Geraden parallel sind, dann hat ein solches Gleichungssystem absolut keine Lösungen. Wenn die direkten Graphen der Gleichungen des Systems zusammenfallen, können Sie mit einem solchen System viele Lösungen finden.

Schauen wir uns nun den Algorithmus zum Lösen eines Systems aus zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten mit einer grafischen Methode an:

Zunächst erstellen wir zunächst einen Graphen der 1. Gleichung;
Der zweite Schritt besteht darin, einen Graphen zu zeichnen, der sich auf die zweite Gleichung bezieht;
Drittens müssen wir die Schnittpunkte der Graphen finden.
Als Ergebnis erhalten wir die Koordinaten jedes Schnittpunkts, der die Lösung des Gleichungssystems darstellt.

Sehen wir uns diese Methode anhand eines Beispiels genauer an. Gegeben ist ein zu lösendes Gleichungssystem:

Gleichungen lösen

1. Zuerst erstellen wir einen Graphen dieser Gleichung: x2+y2=9.

Aber es sollte beachtet werden, dass dieser Graph von Gleichungen ein Kreis sein wird, dessen Mittelpunkt der Ursprung ist, und sein Radius gleich drei sein wird.

2. Unser nächster Schritt wird sein, eine Gleichung zu zeichnen, wie z. B.: y = x - 3.

In diesem Fall müssen wir eine Linie bauen und die Punkte (0;−3) und (3;0) finden.

3. Mal sehen, was wir haben. Wir sehen, dass die Gerade den Kreis an zwei seiner Punkte A und B schneidet.

Nun suchen wir die Koordinaten dieser Punkte. Wir sehen, dass die Koordinaten (3;0) dem Punkt A und die Koordinaten (0;−3) dem Punkt B entsprechen.

Und was bekommen wir als Ergebnis?

Die am Schnittpunkt einer Geraden mit einem Kreis erhaltenen Zahlen (3;0) und (0;−3) sind genau die Lösungen beider Gleichungen des Systems. Und daraus folgt, dass diese Zahlen auch Lösungen dieses Gleichungssystems sind.

Das heißt, die Antwort dieser Lösung sind die Zahlen: (3;0) und (0;−3).

Das Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen (SLAE) ist zweifellos das wichtigste Thema des Kurses Lineare Algebra. Eine Vielzahl von Problemen aus allen Bereichen der Mathematik werden auf die Lösung linearer Gleichungssysteme reduziert. Diese Faktoren erklären den Grund für die Erstellung dieses Artikels. Das Material des Artikels ist so ausgewählt und strukturiert, dass Sie mit seiner Hilfe können

• Wählen Sie die optimale Methode zur Lösung Ihres Systems linearer algebraischer Gleichungen,
• Studieren Sie die Theorie der gewählten Methode,
• Lösen Sie Ihr lineares Gleichungssystem, nachdem Sie die Lösungen typischer Beispiele und Probleme ausführlich betrachtet haben.

Kurze Beschreibung des Materials des Artikels.

Zuerst geben wir alle notwendigen Definitionen, Konzepte und führen einige Notationen ein.

Als nächstes betrachten wir Methoden zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die eine eindeutige Lösung haben. Konzentrieren wir uns erstens auf das Cramer-Verfahren, zweitens zeigen wir das Matrixverfahren zur Lösung solcher Gleichungssysteme und drittens analysieren wir das Gauß-Verfahren (das Verfahren der sukzessiven Eliminierung unbekannter Variablen). Um die Theorie zu festigen, werden wir auf jeden Fall mehrere SLAEs auf verschiedene Arten lösen.

Danach wenden wir uns dem Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form zu, bei denen die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt oder die Hauptmatrix des Systems entartet ist. Wir formulieren das Kronecker-Capelli-Theorem, mit dem wir die Kompatibilität von SLAEs feststellen können. Analysieren wir die Lösung von Systemen (im Falle ihrer Kompatibilität) unter Verwendung des Konzepts des Basisminor einer Matrix. Wir werden auch das Gauß-Verfahren betrachten und die Lösungen der Beispiele ausführlich beschreiben.

Achten Sie darauf, sich mit der Struktur der allgemeinen Lösung homogener und inhomogener Systeme linearer algebraischer Gleichungen zu befassen. Lassen Sie uns das Konzept eines fundamentalen Lösungssystems angeben und zeigen, wie die allgemeine Lösung der SLAE unter Verwendung der Vektoren des fundamentalen Lösungssystems geschrieben wird. Schauen wir uns zum besseren Verständnis einige Beispiele an.

Abschließend betrachten wir auf lineare reduzierte Gleichungssysteme sowie verschiedene Probleme, bei deren Lösung SLAEs entstehen.

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Definitionen, Begriffe, Bezeichnungen.

Wir betrachten Systeme von p linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen (p kann gleich n sein) der Form

Unbekannte Variablen, - Koeffizienten (einige reelle oder komplexe Zahlen), - freie Glieder (ebenfalls reelle oder komplexe Zahlen).

Diese Form von SLAE heißt Koordinate.

BEI Matrixform Dieses Gleichungssystem hat die Form
wo - die Hauptmatrix des Systems, - die Matrix-Spalte der unbekannten Variablen, - die Matrix-Spalte der freien Mitglieder.

Fügen wir der Matrix A als (n + 1)-te Spalte die Matrix-Spalte der freien Terme hinzu, dann erhalten wir die sog erweiterte Matrix Systeme linearer Gleichungen. Normalerweise wird die erweiterte Matrix mit dem Buchstaben T bezeichnet, und die Spalte der freien Elemente ist durch eine vertikale Linie von den übrigen Spalten getrennt, dh

Durch Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen eine Menge von Werten unbekannter Variablen genannt , die alle Gleichungen des Systems in Identitäten umwandelt. Die Matrixgleichung für die gegebenen Werte der unbekannten Variablen wird auch zu einer Identität.

Hat ein Gleichungssystem mindestens eine Lösung, so heißt es gemeinsam.

Hat das Gleichungssystem keine Lösungen, so heißt es unvereinbar.

Wenn eine SLAE eine eindeutige Lösung hat, wird sie aufgerufen sicher; wenn es mehr als eine Lösung gibt, dann - unsicher.

Wenn die freien Terme aller Gleichungen des Systems gleich Null sind , dann wird das System aufgerufen homogen, sonst - heterogen.

Lösung elementarer Systeme linearer algebraischer Gleichungen.

Wenn die Anzahl der Systemgleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante ihrer Hauptmatrix ungleich Null ist, nennen wir solche SLAEs elementar. Solche Gleichungssysteme haben eine eindeutige Lösung, und im Falle eines homogenen Systems sind alle unbekannten Variablen gleich Null.

Wir haben angefangen, solche SLAE in der High School zu studieren. Als wir sie lösten, nahmen wir eine Gleichung, drückten eine unbekannte Variable durch andere aus und setzten sie in die verbleibenden Gleichungen ein, dann nahmen wir die nächste Gleichung, drückten die nächste unbekannte Variable aus und setzten sie in andere Gleichungen ein und so weiter. Oder sie verwendeten die Additionsmethode, das heißt, sie fügten zwei oder mehr Gleichungen hinzu, um einige unbekannte Variablen zu eliminieren. Wir werden auf diese Verfahren nicht im Detail eingehen, da sie im Wesentlichen Modifikationen des Gauß-Verfahrens sind.

Die wichtigsten Methoden zur Lösung elementarer linearer Gleichungssysteme sind die Cramer-Methode, die Matrix-Methode und die Gauß-Methode. Sortieren wir sie aus.

Lösen linearer Gleichungssysteme nach Cramers Methode.

Lassen Sie uns ein System linearer algebraischer Gleichungen lösen

in der die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der Unbekannten ist und die Determinante der Hauptmatrix des Systems von Null verschieden ist, also .

Sei die Determinante der Hauptmatrix des Systems und sind Determinanten von Matrizen, die aus A durch Ersetzen gewonnen werden 1., 2., …, n Spalte bzw. zur Spalte der freien Mitglieder:

Bei einer solchen Notation werden die unbekannten Variablen nach den Formeln des Cramer-Verfahrens wie berechnet . Auf diese Weise wird die Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen durch das Cramer-Verfahren gefunden.

Beispiel.

Cramer-Methode .

Lösung.

Die Hauptmatrix des Systems hat die Form . Berechnen Sie seine Determinante (falls erforderlich, siehe Artikel):

Da die Determinante der Hauptmatrix des Systems nicht Null ist, hat das System eine eindeutige Lösung, die durch das Cramer-Verfahren gefunden werden kann.

Stellen Sie die notwendigen Determinanten zusammen und berechnen Sie sie (Die Determinante erhält man, indem man die erste Spalte in Matrix A durch eine Spalte mit freien Mitgliedern ersetzt, die Determinante - indem man die zweite Spalte durch eine Spalte mit freien Mitgliedern ersetzt, - indem man die dritte Spalte von Matrix A durch eine Spalte mit freien Mitgliedern ersetzt ):

Unbekannte Variablen mit Formeln finden :

Antworten:

Der Hauptnachteil des Cramer-Verfahrens (wenn es als Nachteil bezeichnet werden kann) ist die Komplexität der Berechnung der Determinanten, wenn die Anzahl der Systemgleichungen mehr als drei beträgt.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit der Matrixmethode (unter Verwendung der inversen Matrix).

Das System linearer algebraischer Gleichungen sei in Matrixform gegeben, wobei die Matrix A die Dimension n mal n hat und ihre Determinante ungleich Null ist.

Da , dann ist die Matrix A invertierbar, das heißt, es gibt eine inverse Matrix . Wenn wir beide Teile der Gleichheit mit links multiplizieren, erhalten wir eine Formel zum Auffinden der Spaltenmatrix der unbekannten Variablen. Wir haben also die Lösung des Systems linearer algebraischer Gleichungen durch die Matrixmethode erhalten.

Beispiel.

Lineares Gleichungssystem lösen Matrix-Methode.

Lösung.

Schreiben wir das Gleichungssystem in Matrixform um:

Als

dann kann die SLAE mit der Matrixmethode gelöst werden. Unter Verwendung der inversen Matrix kann die Lösung für dieses System gefunden werden als .

Lassen Sie uns eine inverse Matrix erstellen, indem wir eine Matrix aus algebraischen Komplementen der Elemente der Matrix A verwenden (siehe ggf. den Artikel):

Es bleibt zu berechnen - die Matrix der unbekannten Variablen durch Multiplikation der inversen Matrix auf der Matrix-Spalte der freien Mitglieder (ggf. siehe Artikel):

Antworten:

oder in einer anderen Schreibweise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Das Hauptproblem beim Auffinden von Lösungen für Systeme linearer algebraischer Gleichungen durch die Matrixmethode ist die Komplexität des Auffindens der inversen Matrix, insbesondere für quadratische Matrizen mit einer höheren Ordnung als der dritten.

Lösen linearer Gleichungssysteme nach der Gauß-Methode.

Angenommen, wir müssen eine Lösung für ein System von n linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen finden
die Determinante der Hauptmatrix davon von Null verschieden ist.

Die Essenz der Gauß-Methode besteht im sukzessiven Ausschluss unbekannter Variablen: zuerst wird x 1 aus allen Gleichungen des Systems ausgeschlossen, beginnend mit der zweiten, dann wird x 2 aus allen Gleichungen ausgeschlossen, beginnend mit der dritten, und so weiter, bis nur noch die unbekannte Variable x n bleibt in der letzten Gleichung. Ein solcher Prozess der Transformation der Gleichungen des Systems zur sukzessiven Eliminierung unbekannter Variablen wird als bezeichnet direkte Gauss-Methode. Nachdem der Vorwärtslauf des Gauß-Verfahrens abgeschlossen ist, wird x n aus der letzten Gleichung gefunden, x n-1 wird aus der vorletzten Gleichung mit diesem Wert berechnet und so weiter, x 1 wird aus der ersten Gleichung gefunden. Der Prozess der Berechnung unbekannter Variablen beim Übergang von der letzten Gleichung des Systems zur ersten wird aufgerufen Reverse-Gauß-Methode.

Lassen Sie uns kurz den Algorithmus zum Eliminieren unbekannter Variablen beschreiben.

Wir nehmen das an, da wir dies immer erreichen können, indem wir die Gleichungen des Systems umstellen. Wir schließen die unbekannte Variable x 1 aus allen Gleichungen des Systems aus, beginnend mit der zweiten. Dazu addieren Sie die erste Gleichung multipliziert mit zur zweiten Gleichung des Systems, addieren die erste multipliziert mit zur dritten Gleichung und so weiter, addieren die erste multipliziert mit zur n-ten Gleichung. Das Gleichungssystem nimmt nach solchen Transformationen die Form an

wo ein .

Wir würden zu dem gleichen Ergebnis kommen, wenn wir x 1 durch andere unbekannte Variablen in der ersten Gleichung des Systems ausdrücken und den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen einsetzen würden. Damit ist die Variable x 1 ab der zweiten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes gehen wir ähnlich vor, aber nur mit einem Teil des resultierenden Systems, der in der Abbildung markiert ist

Dazu addieren Sie die zweite Gleichung multipliziert mit zur dritten Gleichung des Systems, addieren die zweite multipliziert mit zur vierten Gleichung und so weiter, addieren die zweite multipliziert mit zur n-ten Gleichung. Das Gleichungssystem nimmt nach solchen Transformationen die Form an

wo ein . Damit ist die Variable x 2 ab der dritten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes fahren wir mit der Eliminierung des Unbekannten x 3 fort, während wir ähnlich mit dem in der Abbildung markierten Teil des Systems verfahren

Wir setzen also den direkten Weg der Gauß-Methode fort, bis das System die Form annimmt

Von diesem Moment an beginnen wir mit dem umgekehrten Verlauf der Gauß-Methode: Wir berechnen x n aus der letzten Gleichung als , unter Verwendung des erhaltenen Werts von x n finden wir x n-1 aus der vorletzten Gleichung und so weiter, wir finden x 1 aus der erste Gleichung.

Beispiel.

Lineares Gleichungssystem lösen Gaußsche Methode.

Lösung.

Lassen Sie uns die unbekannte Variable x 1 aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems ausschließen. Dazu addieren wir zu beiden Teilen der zweiten und dritten Gleichung die entsprechenden Teile der ersten Gleichung, multipliziert mit bzw. mit:

Jetzt schließen wir x 2 aus der dritten Gleichung aus, indem wir zu seinem linken und rechten Teil den linken und rechten Teil der zweiten Gleichung addieren, multipliziert mit:

Damit ist der Vorwärtsgang der Gauß-Methode abgeschlossen, wir beginnen mit dem Rückwärtsgang.

Aus der letzten Gleichung des resultierenden Gleichungssystems finden wir x 3:

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir .

Aus der ersten Gleichung finden wir die verbleibende unbekannte Variable und vervollständigen damit den umgekehrten Verlauf der Gauß-Methode.

Antworten:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

Im allgemeinen Fall stimmt die Anzahl der Gleichungen des Systems p nicht mit der Anzahl der Unbekannten n überein:

Solche SLAEs können keine Lösungen, eine einzige Lösung oder unendlich viele Lösungen haben. Diese Aussage gilt auch für Gleichungssysteme, deren Hauptmatrix quadratisch und entartet ist.

Satz von Kronecker-Capelli.

Bevor eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem gefunden wird, muss dessen Kompatibilität festgestellt werden. Die Antwort auf die Frage, wann SLAE kompatibel ist, und wann es inkompatibel ist, gibt Satz von Kronecker-Capelli:
damit ein System von p Gleichungen mit n Unbekannten (p kann gleich n sein) konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der Hauptmatrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, d. h. Rang( A)=Rang(T) .

Betrachten wir als Beispiel die Anwendung des Kronecker-Cappelli-Theorems zur Bestimmung der Kompatibilität eines linearen Gleichungssystems.

Beispiel.

Finden Sie heraus, ob das lineare Gleichungssystem gilt Lösungen.

Lösung.

. Wenden wir die Methode der Begrenzung von Minderjährigen an. Moll zweiter Ordnung von Null verschieden. Gehen wir die umgebenden Minderjährigen dritter Ordnung durch:

Da alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null sind, ist der Rang der Hauptmatrix zwei.

Im Gegenzug der Rang der erweiterten Matrix gleich drei ist, da der Moll dritter Ordnung ist

von Null verschieden.

Auf diese Weise, Rang(A) , daher können wir nach dem Kronecker-Capelli-Theorem schließen, dass das ursprüngliche lineare Gleichungssystem inkonsistent ist.

Antworten:

Es gibt kein Lösungssystem.

Wir haben also gelernt, die Inkonsistenz des Systems mit dem Kronecker-Capelli-Theorem festzustellen.

Aber wie findet man die Lösung des SLAE, wenn dessen Kompatibilität festgestellt wird?

Dazu benötigen wir den Begriff der Basis Minor einer Matrix und den Satz über den Rang einer Matrix.

Der Minor höchster Ordnung der Matrix A, außer Null, wird aufgerufen Basic.

Aus der Definition der Basis Minor folgt, dass ihre Ordnung gleich dem Rang der Matrix ist. Für eine von Null verschiedene Matrix A kann es mehrere Basis-Minoren geben, es gibt immer eine Basis-Minor.

Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix .

Alle Minoren dritter Ordnung dieser Matrix sind gleich Null, da die Elemente der dritten Zeile dieser Matrix die Summe der entsprechenden Elemente der ersten und zweiten Zeile sind.

Die folgenden Minderjährigen zweiter Ordnung sind basisch, da sie von Null verschieden sind

Minderjährige sind nicht basisch, da sie gleich Null sind.

Matrix-Rangsatz.

Wenn der Rang einer Matrix der Ordnung p mal n gleich r ist, dann werden alle Elemente der Zeilen (und Spalten) der Matrix, die nicht den gewählten Basisminor bilden, linear durch die entsprechenden Elemente der Zeilen (und Spalten) ausgedrückt ), die die Basis Minor bilden.

Was liefert uns der Matrix-Rang-Satz?

Wenn wir nach dem Kronecker-Capelli-Theorem die Kompatibilität des Systems festgestellt haben, wählen wir einen beliebigen grundlegenden Minor der Hauptmatrix des Systems (seine Ordnung ist gleich r) und schließen alle Gleichungen aus dem System aus, die dies nicht tun bilden das gewählte Basis-Moll. Die so erhaltene SLAE wird der ursprünglichen äquivalent sein, da die verworfenen Gleichungen immer noch redundant sind (nach dem Matrix-Rang-Theorem sind sie eine Linearkombination der verbleibenden Gleichungen).

Als Ergebnis sind nach dem Verwerfen der überschüssigen Gleichungen des Systems zwei Fälle möglich.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden System gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist, dann ist es eindeutig und die einzige Lösung kann durch das Cramer-Verfahren, das Matrix-Verfahren oder das Gauß-Verfahren gefunden werden.

Beispiel.

.

Lösung.

Rang der Hauptmatrix des Systems gleich zwei ist, da der Moll zweiter Ordnung ist von Null verschieden. Erweiterter Matrixrang ebenfalls gleich zwei ist, da der einzige Moll dritter Ordnung gleich null ist

und der oben betrachtete Moll zweiter Ordnung von Null verschieden ist. Basierend auf dem Satz von Kronecker-Capelli kann man die Kompatibilität des ursprünglichen linearen Gleichungssystems behaupten, da Rank(A)=Rank(T)=2 .

Als Basis Minor nehmen wir . Es wird durch die Koeffizienten der ersten und zweiten Gleichung gebildet:


Die dritte Gleichung des Systems ist nicht an der Bildung des Basisminors beteiligt, daher schließen wir sie basierend auf dem Matrix-Rang-Theorem aus dem System aus:


Damit haben wir ein elementares System linearer algebraischer Gleichungen erhalten. Lösen wir es nach Cramers Methode:


Antworten:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r in der resultierenden SLAE kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen n, dann lassen wir die Terme, die den grundlegenden Minor bilden, in den linken Teilen der Gleichungen und übertragen die verbleibenden Terme in die rechten Teile der Gleichungen von das System mit dem entgegengesetzten Vorzeichen.

Die auf den linken Seiten der Gleichungen verbleibenden unbekannten Variablen (es gibt r davon) werden aufgerufen hauptsächlich.

Unbekannte Variablen (es gibt n - r davon), die auf der rechten Seite gelandet sind, werden aufgerufen frei.

Nun nehmen wir an, dass die freien Unbekannten beliebige Werte annehmen können, während die r Hauptunbekannten auf eindeutige Weise durch die freien Unbekannten ausgedrückt werden. Ihr Ausdruck kann durch Lösen der resultierenden SLAE durch das Cramer-Verfahren, das Matrix-Verfahren oder das Gauß-Verfahren gefunden werden.

Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel.

Lösen Sie das System linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Finde den Rang der Hauptmatrix des Systems nach der Methode der angrenzenden Minderjährigen. Nehmen wir a 1 1 = 1 als einen von Null verschiedenen Minor erster Ordnung. Beginnen wir mit der Suche nach einem Moll zweiter Ordnung ungleich Null, der dieses Moll umgibt:


Wir haben also ein von Null verschiedenes Moll zweiter Ordnung gefunden. Beginnen wir mit der Suche nach einem von Null verschiedenen angrenzenden Moll dritter Ordnung:


Somit ist der Rang der Hauptmatrix drei. Der Rang der erweiterten Matrix ist ebenfalls gleich drei, das heißt, das System ist konsistent.

Der gefundene von null verschiedene Moll dritter Ordnung wird als der grundlegende genommen.

Zur Verdeutlichung zeigen wir die Elemente, die die Basis Moll bilden:


Wir lassen die am Basismoll beteiligten Terme auf der linken Seite der Gleichungen des Systems und übertragen den Rest mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten:


Wir geben freien Unbekannten x 2 und x 5 beliebige Werte, das heißt, wir nehmen , wo sind beliebige Zahlen. In diesem Fall nimmt die SLAE die Form an


Wir lösen das erhaltene elementare System linearer algebraischer Gleichungen nach der Cramer-Methode:


Folglich, .

Vergessen Sie in der Antwort nicht, freie Unbekannte anzugeben.

Antworten:

Wo sind beliebige Zahlen.

Zusammenfassen.

Um ein System linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form zu lösen, finden wir zuerst seine Kompatibilität unter Verwendung des Satzes von Kronecker-Capelli heraus. Wenn der Rang der Hauptmatrix nicht gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, schließen wir daraus, dass das System inkonsistent ist.

Wenn der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, wählen wir den Basis-Minor und verwerfen die Gleichungen des Systems, die nicht an der Bildung des gewählten Basis-Minors beteiligt sind.

Wenn die Ordnung der Basisminor gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist, dann hat die SLAE eine eindeutige Lösung, die mit jedem uns bekannten Verfahren gefunden werden kann.

Wenn die Ordnung des grundlegenden Minors kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen, dann lassen wir auf der linken Seite der Gleichungen des Systems die Terme mit den unbekannten Hauptvariablen, übertragen die restlichen Terme auf die rechten Seiten und weisen beliebige Werte zu zu den freien unbekannten Variablen. Aus dem resultierenden linearen Gleichungssystem finden wir die wichtigsten unbekannten Variablen durch das Cramer-Verfahren, das Matrix-Verfahren oder das Gauß-Verfahren.

Gauß-Verfahren zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

Mit dem Gauß-Verfahren kann man beliebige Systeme linearer algebraischer Gleichungen ohne deren vorherige Untersuchung auf Kompatibilität lösen. Der Prozess des sukzessiven Ausschlusses unbekannter Variablen ermöglicht es, sowohl auf die Kompatibilität als auch auf die Inkonsistenz der SLAE zu schließen und, falls eine Lösung existiert, diese zu finden.

Vom Standpunkt der Berechnungsarbeit ist das Gaußsche Verfahren vorzuziehen.

Siehe die detaillierte Beschreibung und die analysierten Beispiele im Artikel Gauß-Methode zum Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

Erfassung der allgemeinen Lösung homogener und inhomogener linearer algebraischer Systeme mit den Vektoren des Fundamentallösungssystems.

In diesem Abschnitt konzentrieren wir uns auf gemeinsame homogene und inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen, die unendlich viele Lösungen haben.

Beschäftigen wir uns zunächst mit homogenen Systemen.

Grundlegendes Entscheidungssystem Ein homogenes System von p linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen ist ein Satz von (n – r) linear unabhängigen Lösungen dieses Systems, wobei r die Ordnung der Basisminorität der Hauptmatrix des Systems ist.

Wenn wir linear unabhängige Lösungen einer homogenen SLAE als X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , … bezeichnen, sind X (n-r) Matrizenspalten der Dimension n nach 1 ) , dann wird die allgemeine Lösung dieses homogenen Systems als Linearkombination von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems mit beliebigen konstanten Koeffizienten С 1 , С 2 , …, С (n-r), dh dargestellt.

Was bedeutet der Begriff allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen (oroslau)?

Die Bedeutung ist einfach: Die Formel definiert alle möglichen Lösungen des ursprünglichen SLAE, mit anderen Worten, indem sie einen beliebigen Satz von Werten beliebiger Konstanten C 1 , C 2 , ..., C (n-r) gemäß der Formel we nimmt erhält eine der Lösungen der ursprünglichen homogenen SLAE.

Wenn wir also ein fundamentales System von Lösungen finden, dann können wir alle Lösungen dieser homogenen SLAE als setzen.

Lassen Sie uns den Prozess der Konstruktion eines grundlegenden Lösungssystems für eine homogene SLAE zeigen.

Wir wählen den Basis-Minor des ursprünglichen linearen Gleichungssystems, schließen alle anderen Gleichungen aus dem System aus und übertragen auf die rechte Seite der Gleichungen des Systems mit entgegengesetzten Vorzeichen alle Terme, die freie Unbekannte enthalten. Geben wir den freien Unbekannten die Werte 1,0,0,…,0 und berechnen die Hauptunbekannten, indem wir das resultierende elementare lineare Gleichungssystem auf beliebige Weise lösen, beispielsweise nach dem Cramer-Verfahren. Somit wird X (1) erhalten - die erste Lösung des Fundamentalsystems. Geben wir den freien Unbekannten die Werte 0,1,0,0,…,0 und berechnen die Hauptunbekannten, dann erhalten wir X (2) . Usw. Geben wir den freien Unbekannten die Werte 0,0,…,0,1 und berechnen die Hauptunbekannten, dann erhalten wir X(n-r) . Auf diese Weise wird das grundlegende Lösungssystem der homogenen SLAE konstruiert und seine allgemeine Lösung kann in der Form geschrieben werden.

Für inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen wird die allgemeine Lösung als dargestellt

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel.

Finden Sie das fundamentale Lösungssystem und die allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Der Rang der Hauptmatrix homogener linearer Gleichungssysteme ist immer gleich dem Rang der erweiterten Matrix. Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix durch die Methode des Einsäumens von Minoren finden. Als einen von Null verschiedenen Minor erster Ordnung nehmen wir das Element a 1 1 = 9 der Hauptmatrix des Systems. Finden Sie den angrenzenden Moll zweiter Ordnung ungleich Null:

Es wird ein von Null verschiedener Minor zweiter Ordnung gefunden. Lassen Sie uns die angrenzenden Nebenwerte dritter Ordnung auf der Suche nach einem Nicht-Null-Wert durchgehen:

Alle angrenzenden Minoren dritter Ordnung sind gleich Null, daher ist der Rang der Haupt- und erweiterten Matrix zwei. Nehmen wir das grundlegende Moll. Der Klarheit halber notieren wir die Elemente des Systems, die es bilden:

Die dritte Gleichung des ursprünglichen SLAE ist nicht an der Bildung des grundlegenden Minors beteiligt, daher kann sie ausgeschlossen werden:

Wir lassen die Terme mit den Hauptunbekannten auf den rechten Seiten der Gleichungen und übertragen die Terme mit freien Unbekannten auf die rechten Seiten:

Konstruieren wir ein fundamentales Lösungssystem für das ursprüngliche homogene System linearer Gleichungen. Das grundlegende Lösungssystem dieses SLAE besteht aus zwei Lösungen, da das ursprüngliche SLAE vier unbekannte Variablen enthält und die Ordnung seines grundlegenden Minors zwei ist. Um X (1) zu finden, geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, dann finden wir die Hauptunbekannten aus dem Gleichungssystem
.

Gleichungssysteme werden in der Wirtschaftsbranche häufig zur mathematischen Modellierung verschiedener Prozesse verwendet. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen der Produktionssteuerung und -planung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur auf dem Gebiet der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie verwendet, wenn es um die Lösung von Problemen zur Bestimmung der Populationsgröße geht.

Ein lineares Gleichungssystem ist ein Begriff für zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, für die alle Gleichungen wahre Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineare Gleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Das Lösen der Gleichung durch Auftragen ihres Graphen sieht aus wie eine gerade Linie, deren alle Punkte die Lösung des Polynoms sind.

Arten von Systemen linearer Gleichungen

Die einfachsten sind Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Lösen Sie ein Gleichungssystem - es bedeutet, solche Werte (x, y) zu finden, für die das System eine echte Gleichheit wird, oder festzustellen, dass es keine geeigneten Werte von x und y gibt.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Punktkoordinaten, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn die Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder es keine Lösung gibt, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System nicht homogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei sein, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Angesichts von Systemen gehen Schulkinder davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, aber dem ist nicht so. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es kann beliebig viele davon geben.

Einfache und komplexe Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen

Es gibt keinen allgemeinen analytischen Weg, um solche Systeme zu lösen, alle Methoden basieren auf numerischen Lösungen. Der Schulmathematikkurs beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution, sowie die graphische und Matrizenmethode, die Lösung nach Gauß.

Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache ist nicht, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Anwendung einer bestimmten Methode zu verstehen.

Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme der 7. Klasse des allgemeinbildenden Schulprogramms ist recht einfach und wird ausführlich erklärt. In jedem mathematischen Lehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Methode von Gauß und Cramer wird in den ersten Kursen der Hochschulen näher untersucht.

Lösung von Systemen nach der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine einzelne Variablenform reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir ein Beispiel für ein System linearer Gleichungen der 7. Klasse nach der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die 2. Gleichung des Systems eingesetzt wurde, half dabei, eine Variable Y in der 2. Gleichung zu erhalten . Die Lösung dieses Beispiels bereitet keine Schwierigkeiten und ermöglicht es Ihnen, den Y-Wert zu erhalten.Der letzte Schritt besteht darin, die erhaltenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und der Ausdruck der Variablen in Bezug auf die zweite Unbekannte wird für weitere Berechnungen zu umständlich sein. Bei mehr als 3 Unbekannten im System ist die Substitutionslösung ebenfalls unpraktisch.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach einer Lösung für Systeme nach der Additionsmethode werden Term-für-Term-Additionen und Multiplikationen von Gleichungen mit verschiedenen Zahlen durchgeführt. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung mit einer Variablen.

Die Anwendung dieser Methode erfordert Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode mit der Anzahl der Variablen 3 oder mehr zu lösen. Die algebraische Addition ist nützlich, wenn die Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsaktionsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation muss einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsverfahren durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System eine Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen finden muss, die Anzahl der Unbekannten sollte auch nicht mehr als zwei betragen.

Das Verfahren wird verwendet, um eine der Gleichungen zu vereinfachen, indem eine neue Variable eingeführt wird. Die neue Gleichung wird bezüglich der eingegebenen Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird verwendet, um die ursprüngliche Variable zu bestimmen.

Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass es durch Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf ein quadratisches Standardtrinom zu reduzieren. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante finden.

Es ist notwendig, den Wert der Diskriminante mit der bekannten Formel zu finden: D = b2 - 4*a*c, wobei D die gesuchte Diskriminante ist, b, a, c die Multiplikatoren des Polynoms sind. Im gegebenen Beispiel ist a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann gibt es nur eine Lösung: x= -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Eine visuelle Methode zum Lösen von Systemen

Geeignet für Systeme mit 3 Gleichungen. Das Verfahren besteht darin, Graphen jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse aufzuzeichnen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.

Die grafische Methode hat eine Reihe von Nuancen. Betrachten Sie einige Beispiele für die visuelle Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden in der Grafik markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Im folgenden Beispiel soll eine grafische Lösung für das lineare Gleichungssystem gefunden werden: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer ganzen Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, aber wenn sie konstruiert sind, wird es offensichtlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte daran erinnert werden, dass es nicht immer möglich ist zu sagen, ob das System eine Lösung hat oder nicht, es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Matrix und seine Sorten

Matrizen werden verwendet, um ein lineares Gleichungssystem kurz niederzuschreiben. Eine Matrix ist eine spezielle Art von Tabelle, die mit Zahlen gefüllt ist. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrix-Vektor ist eine einspaltige Matrix mit unendlich vielen Zeilen. Eine Matrix mit Einheiten entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird als Identität bezeichnet.

Eine inverse Matrix ist eine solche Matrix, bei deren Multiplikation die ursprüngliche zu einer Einheit wird, eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische.

Regeln zur Transformation eines Gleichungssystems in eine Matrix

Bei Gleichungssystemen werden die Koeffizienten und freien Glieder der Gleichungen als Zahlen der Matrix geschrieben, eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn sich also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterscheidet, muss anstelle der fehlenden Unbekannten Null eingegeben werden.

Die Spalten der Matrix müssen genau den Variablen entsprechen. Dies bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, die Koeffizienten der Unbekannten y - nur in die zweite.

Beim Multiplizieren einer Matrix werden alle Matrixelemente nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Finden der inversen Matrix ist ganz einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 die inverse Matrix und |K| ist - Matrixdeterminante. |K| nicht gleich Null sein muss, dann hat das System eine Lösung.

Für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix lässt sich die Determinante leicht berechnen, es müssen nur die Elemente diagonal miteinander multipliziert werden. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ein 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich daran erinnern, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element nehmen müssen, damit sich die Spalten- und Zeilennummern der Elemente im Produkt nicht wiederholen.

Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Matrixmethode

Das Matrixverfahren zur Lösungsfindung ermöglicht es, umständliche Eingaben beim Lösen von Systemen mit vielen Variablen und Gleichungen zu reduzieren.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor x n sind die Variablen und b n sind die freien Terme.

Lösung von Systemen nach der Gauß-Methode

In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess, eine Lösung für Systeme zu finden, wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um die Variablen von Systemen mit einer großen Anzahl linearer Gleichungen zu finden.

Die Gaußsche Methode ist Substitutions- und algebraischen Additionslösungen sehr ähnlich, aber systematischer. Im Schulkurs wird die Gaußsche Lösung für 3er- und 4er-Gleichungssysteme verwendet. Der Zweck des Verfahrens besteht darin, das System in die Form eines umgekehrten Trapezes zu bringen. Durch algebraische Transformationen und Substitutionen wird der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems gefunden. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten und 3 und 4 - mit 3 bzw. 4 Variablen.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf das sequentielle Einsetzen bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

In Schulbüchern für die 7. Klasse wird ein Beispiel für eine Gaußsche Lösung wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten, 3 x 3 - 2 x 4 = 11 und 3 x 3 + 2 x 4 = 7. Die Lösung einer der Gleichungen ermöglicht es Ihnen, eine der Variablen x n herauszufinden.

Satz 5, der im Text erwähnt wird, besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch dem ursprünglichen äquivalent sein wird.

Die Gaußsche Methode ist für Mittelschüler schwer verständlich, aber eine der interessantesten Möglichkeiten, den Einfallsreichtum von Kindern im Aufbaustudiengang im Mathematik- und Physikunterricht zu entwickeln.

Zur Erleichterung der Aufzeichnung von Berechnungen ist es üblich, Folgendes zu tun:

Gleichungskoeffizienten und freie Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten Seite. Römische Ziffern bezeichnen die Anzahl der Gleichungen im System.

Zuerst schreiben sie die Matrix auf, mit der sie arbeiten, dann alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem "Pfeil" -Zeichen geschrieben und führt die erforderlichen algebraischen Operationen fort, bis das Ergebnis erreicht ist.

Als Ergebnis sollte eine Matrix erhalten werden, in der eine der Diagonalen 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, dh die Matrix wird auf eine einzige Form reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, mit den Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung zu rechnen.

Diese Notation ist weniger umständlich und lässt Sie nicht durch die Auflistung zahlreicher Unbekannter abgelenkt werden.

Die freie Anwendung jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und ein gewisses Maß an Erfahrung. Nicht alle Methoden werden angewendet. Einige Wege, Lösungen zu finden, sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Aktivität vorzuziehen, während andere zum Zweck des Lernens existieren.

Das Material dieses Artikels ist für die erste Bekanntschaft mit Gleichungssystemen bestimmt. Hier führen wir die Definition eines Gleichungssystems und seiner Lösungen ein und betrachten auch die gebräuchlichsten Arten von Gleichungssystemen. Wie üblich geben wir erläuternde Beispiele.

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Was ist ein Gleichungssystem?

Wir nähern uns schrittweise der Definition des Gleichungssystems. Lassen Sie uns zunächst sagen, dass es bequem ist, es anzugeben, und auf zwei Punkte hinweisen: erstens die Art der Aufzeichnung und zweitens die in diese Aufzeichnung eingebettete Bedeutung. Lassen Sie uns der Reihe nach auf sie eingehen und dann die Argumentation auf die Definition von Gleichungssystemen verallgemeinern.

Lassen Sie uns einige davon vor uns haben. Nehmen wir zum Beispiel zwei Gleichungen 2 x+y=−3 und x=5 . Wir schreiben sie untereinander und vereinen sie links mit einer geschweiften Klammer:

Datensätze dieser Art, bei denen es sich um mehrere in einer Spalte angeordnete und links mit einer geschweiften Klammer verbundene Gleichungen handelt, sind Datensätze von Gleichungssystemen.

Was bedeuten solche Aufzeichnungen? Sie definieren die Menge aller solcher Lösungen der Gleichungen des Systems, die die Lösung jeder Gleichung sind.

Es schadet nicht, es mit anderen Worten zu beschreiben. Angenommen, einige Lösungen der ersten Gleichung sind Lösungen aller anderen Gleichungen des Systems. Und so bezeichnet sie auch der Systemrekord.

Jetzt sind wir bereit, die Definition eines Gleichungssystems angemessen zu akzeptieren.

Definition.

Gleichungssysteme werden Datensätze genannt, das sind Gleichungen, die untereinander angeordnet sind und links durch eine geschweifte Klammer verbunden sind, die die Menge aller Lösungen von Gleichungen bezeichnen, die gleichzeitig Lösungen für jede Gleichung des Systems sind.

Eine ähnliche Definition findet sich im Lehrbuch, aber dort nicht für den allgemeinen Fall, sondern für zwei rationale Gleichungen mit zwei Variablen.

Haupttypen

Es ist klar, dass es unendlich viele verschiedene Gleichungen gibt. Natürlich lassen sich damit auch unendlich viele Gleichungssysteme erstellen. Um das Studium und die Arbeit mit Gleichungssystemen zu vereinfachen, ist es daher sinnvoll, sie nach ähnlichen Merkmalen in Gruppen zu unterteilen und dann mit der Betrachtung von Gleichungssystemen einzelner Typen fortzufahren.

Die erste Unterteilung bietet sich durch die Anzahl der im System enthaltenen Gleichungen an. Wenn es zwei Gleichungen gibt, dann haben wir ein System aus zwei Gleichungen, wenn es drei gibt, dann ein System aus drei Gleichungen usw. Es ist klar, dass es keinen Sinn macht, von einem System aus einer Gleichung zu sprechen, da wir es in diesem Fall tatsächlich mit der Gleichung selbst und nicht mit dem System zu tun haben.

Die nächste Division basiert auf der Anzahl der Variablen, die beim Schreiben der Gleichungen des Systems beteiligt sind. Wenn es eine Variable gibt, dann haben wir es mit einem Gleichungssystem mit einer Variablen zu tun (man sagt auch mit einer Unbekannten), wenn es zwei gibt, dann mit einem Gleichungssystem mit zwei Variablen (mit zwei Unbekannten) usw. Zum Beispiel, ist ein Gleichungssystem mit zwei Variablen x und y .

Dies bezieht sich auf die Anzahl aller unterschiedlichen Variablen, die an dem Datensatz beteiligt sind. Sie müssen nicht alle auf einmal in den Datensatz jeder Gleichung aufgenommen werden, es reicht aus, sie in mindestens einer Gleichung zu haben. Z.B, ist ein Gleichungssystem mit drei Variablen x, y und z. In der ersten Gleichung ist die Variable x explizit vorhanden, während y und z implizit sind (wir können davon ausgehen, dass diese Variablen Null haben), und in der zweiten Gleichung sind x und z vorhanden und die Variable y wird nicht explizit dargestellt. Mit anderen Worten, die erste Gleichung kann als angesehen werden , und die zweite als x+0 y−3 z=0 .

Der dritte Punkt, in dem sich Gleichungssysteme unterscheiden, ist die Form der Gleichungen selbst.

In der Schule beginnt das Studium von Gleichungssystemen mit Systeme von zwei linearen Gleichungen in zwei Variablen. Das heißt, solche Systeme bilden zwei lineare Gleichungen. Hier sind ein paar Beispiele: und . An ihnen werden die Grundlagen der Arbeit mit Gleichungssystemen erlernt.

Bei der Lösung komplexerer Probleme kann man auch auf Systeme aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten stoßen.

In der 9. Klasse werden den Systemen aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen nichtlineare Gleichungen hinzugefügt, meistens ganze Gleichungen zweiten Grades, seltener - höheren Grades. Diese Systeme werden Systeme nichtlinearer Gleichungen genannt, ggf. wird die Anzahl der Gleichungen und Unbekannten angegeben. Lassen Sie uns Beispiele für solche Systeme nichtlinearer Gleichungen zeigen: und .

Und dann in den Systemen gibt es auch zum Beispiel. Sie werden normalerweise einfach als Gleichungssysteme bezeichnet, ohne anzugeben, welche Gleichungen. Hier ist anzumerken, dass sie meistens einfach über ein Gleichungssystem „ein Gleichungssystem“ sagen und Verfeinerungen nur bei Bedarf hinzugefügt werden.

In der High School dringen beim Studium des Materials irrationale, trigonometrische, logarithmische und exponentielle Gleichungen in die Systeme ein: , , .

Wenn Sie sich noch weiter mit dem Programm der ersten Universitätskurse befassen, dann liegt der Schwerpunkt auf dem Studium und der Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen (SLAE), dh Gleichungen, in deren linken Teilen Polynome der ersten Grades und rechts - einige Zahlen. Aber dort werden, anders als in der Schule, nicht schon zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen genommen, sondern eine beliebige Anzahl von Gleichungen mit einer beliebigen Anzahl von Variablen, die oft nicht mit der Anzahl der Gleichungen zusammenfällt.

Was ist die Lösung eines Gleichungssystems?

Der Begriff „Lösung eines Gleichungssystems“ bezieht sich direkt auf Gleichungssysteme. Die Schule gibt eine Definition für das Lösen eines Gleichungssystems mit zwei Variablen :

Definition.

Lösen eines Gleichungssystems mit zwei Variablen Es wird ein Wertepaar dieser Variablen aufgerufen, das jede Gleichung des Systems in die richtige umwandelt, mit anderen Worten, die Lösung für jede Gleichung des Systems ist.

Zum Beispiel ist ein Paar variabler Werte x=5 , y=2 (es kann geschrieben werden als (5, 2) ) per Definition eine Lösung eines Gleichungssystems, da die Gleichungen des Systems, wenn x= 5 , y=2 in sie eingesetzt werden, verwandeln sich in echte numerische Gleichheiten 5+2=7 bzw. 5−2=3. Aber das Wertepaar x=3 , y=0 ist keine Lösung für dieses System, denn wenn diese Werte in die Gleichungen eingesetzt werden, wird der erste von ihnen zu einer falschen Gleichheit 3+0=7 .

Ähnliche Definitionen können für Systeme mit einer Variablen formuliert werden, sowie für Systeme mit drei, vier usw. Variablen.

Definition.

Lösen eines Gleichungssystems mit einer Variablen es wird einen variablen Wert geben, der die Wurzel aller Gleichungen des Systems ist, das heißt, der alle Gleichungen in echte numerische Gleichheiten umwandelt.

Nehmen wir ein Beispiel. Betrachten Sie ein Gleichungssystem mit einer Variablen t der Form . Die Zahl −2 ist ihre Lösung, da sowohl (−2) 2 =4 als auch 5·(−2+2)=0 echte numerische Gleichheiten sind. Und t=1 ist keine Lösung für das System, da die Substitution dieses Werts zwei falsche Gleichheiten ergibt: 1 2 =4 und 5·(1+2)=0 .

Definition.

Die Lösung eines Systems mit drei, vier usw. Variablen heißt Tripel, Quadrupel usw. Werte der Variablen, die alle Gleichungen des Systems in wahre Gleichheiten umwandeln.

Per Definition ist also das Wertetripel der Variablen x=1 , y=2 , z=0 die Lösung des Systems , da 2 1=2 , 5 2=10 und 1+2+0=3 korrekte Zahlengleichungen sind. Und (1, 0, 5) ist keine Lösung für dieses System, denn wenn diese Variablenwerte in die Gleichungen des Systems eingesetzt werden, wird die zweite von ihnen zu einer falschen Gleichheit 5 0=10 und die dritte man ist auch 1+0+5=3 .

Beachten Sie, dass Gleichungssysteme möglicherweise keine Lösungen haben, eine endliche Anzahl von Lösungen haben können, z. B. eine, zwei, ..., oder unendlich viele Lösungen haben können. Sie werden dies sehen, wenn Sie tiefer in das Thema eintauchen.

Unter Berücksichtigung der Definitionen eines Gleichungssystems und seiner Lösungen können wir schlussfolgern, dass die Lösung eines Gleichungssystems der Schnittpunkt der Lösungsmengen aller seiner Gleichungen ist.

Zum Schluss noch ein paar verwandte Definitionen:

Definition.

unvereinbar wenn es keine Lösungen hat, sonst wird das System aufgerufen gemeinsam.

Definition.

Das Gleichungssystem wird aufgerufen unsicher wenn es unendlich viele Lösungen hat, und sicher, wenn es endlich viele Lösungen hat, oder gar keine.

Diese Begriffe werden zum Beispiel in einem Lehrbuch eingeführt, aber sie werden selten in der Schule verwendet, häufiger sind sie in höheren Bildungseinrichtungen zu hören.

Referenzliste.

1. Algebra: Lehrbuch für 7 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 17. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 240 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: Klasse 9: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2009. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkowitsch A. G. Algebra. 7. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 17. Aufl., erg. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkowitsch A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkowitsch A. G. Algebra und Beginn der mathematischen Analysis. Klasse 11. Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen (Profilebene) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra und Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. Aufl.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 S.: Abb.- ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Kurs Höhere Algebra.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytische Geometrie: Lehrbuch: Für Universitäten. – 5. Aufl. – M.: Wissenschaft. Fizmatlit, 1999. - 224 S. – (Kurs Höhere Mathematik und Mathematische Physik). – ISBN 5-02-015234 – X (Ausgabe 3)