Was ist ein Logarithmus?

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Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders - Gleichungen mit Logarithmen.

Das stimmt absolut nicht. Absolut! Glauben Sie nicht? Gut. Nun, für etwa 10 - 20 Minuten:

1. Verstehen was ist ein logarithmus.

2. Lernen Sie, eine ganze Klasse von Exponentialgleichungen zu lösen. Auch wenn Sie noch nie von ihnen gehört haben.

3. Lernen Sie einfache Logarithmen zu berechnen.

Außerdem müssen Sie dazu nur das Einmaleins kennen und wissen, wie eine Zahl potenziert wird ...

Ich spüre, dass Sie zweifeln ... Nun, halten Sie Zeit! Gehen!

Löse zuerst die folgende Gleichung in Gedanken:

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Im Verhältnis zu

Die Aufgabe, eine der drei Zahlen aus den anderen zwei gegebenen Zahlen zu finden, kann eingestellt werden. Gegeben a und dann N wird durch Potenzierung gefunden. Wenn N gegeben sind und dann a gefunden wird, indem die Wurzel aus der Potenz x (oder Potenzierung) gezogen wird. Betrachten Sie nun den Fall, dass es bei gegebenem a und N erforderlich ist, x zu finden.

Sei die Zahl N positiv: die Zahl a ist positiv und ungleich eins: .

Definition. Der Logarithmus der Zahl N zur Basis a ist der Exponent, auf den Sie a erhöhen müssen, um die Zahl N zu erhalten; der Logarithmus wird mit bezeichnet

Somit wird in Gleichung (26.1) der Exponent als Logarithmus von N zur Basis a gefunden. Einträge

haben die gleiche Bedeutung. Gleichheit (26.1) wird manchmal als die grundlegende Identität der Theorie der Logarithmen bezeichnet; Tatsächlich drückt es die Definition des Begriffs des Logarithmus aus. Nach dieser Definition ist die Basis des Logarithmus a immer positiv und von Eins verschieden; die logarithmierbare Zahl N ist positiv. Negative Zahlen und Null haben keinen Logarithmus. Es kann bewiesen werden, dass jede Zahl mit einer gegebenen Basis einen wohldefinierten Logarithmus hat. Daher bedeutet Gleichheit. Beachten Sie, dass die Bedingung hier wesentlich ist, da sonst die Schlussfolgerung nicht gerechtfertigt wäre, da die Gleichheit für beliebige Werte von x und y gilt.

Beispiel 1. Finden

Entscheidung. Um die Zahl zu erhalten, müssen Sie daher die Basis 2 potenzieren.

Sie können beim Lösen solcher Beispiele in folgender Form aufzeichnen:

Beispiel 2. Finden Sie .

Entscheidung. Wir haben

In den Beispielen 1 und 2 haben wir den gesuchten Logarithmus leicht gefunden, indem wir die logarithmierbare Zahl als Basisgrad mit rationalem Exponenten dargestellt haben. Im allgemeinen Fall, z. B. für etc., geht das nicht, da der Logarithmus einen irrationalen Wert hat. Lassen Sie uns auf eine Frage im Zusammenhang mit dieser Aussage achten. In § 12 haben wir den Begriff der Möglichkeit gegeben, jede reale Potenz einer gegebenen positiven Zahl zu bestimmen. Dies war notwendig für die Einführung von Logarithmen, die im Allgemeinen irrationale Zahlen sein können.

Betrachten Sie einige Eigenschaften von Logarithmen.

Eigenschaft 1. Wenn Zahl und Basis gleich sind, dann ist der Logarithmus gleich eins, und umgekehrt, wenn der Logarithmus gleich eins ist, dann sind Zahl und Basis gleich.

Nachweisen. Seien Nach der Definition des Logarithmus haben wir und woher

Umgekehrt sei Then per Definition

Eigenschaft 2. Der Logarithmus der Einheit zu jeder Basis ist gleich Null.

Nachweisen. Durch die Definition des Logarithmus (die Nullpotenz jeder positiven Basis ist gleich Eins, siehe (10.1)). Von hier

Q.E.D.

Die umgekehrte Aussage ist auch wahr: Wenn , dann N = 1. Tatsächlich haben wir .

Bevor wir die folgende Eigenschaft von Logarithmen angeben, stimmen wir der Aussage zu, dass zwei Zahlen a und b auf derselben Seite einer dritten Zahl c liegen, wenn sie beide entweder größer als c oder kleiner als c sind. Wenn eine dieser Zahlen größer als c und die andere kleiner als c ist, dann sagen wir, dass sie auf gegenüberliegenden Seiten von c liegen.

Eigenschaft 3. Wenn Zahl und Basis auf der gleichen Seite der Eins liegen, dann ist der Logarithmus positiv; wenn Zahl und Basis auf gegenüberliegenden Seiten der Eins liegen, dann ist der Logarithmus negativ.

Der Beweis der Eigenschaft 3 basiert darauf, dass der Grad von a größer als eins ist, wenn die Basis größer als eins und der Exponent positiv ist, oder die Basis kleiner als eins und der Exponent negativ ist. Der Grad ist kleiner als eins, wenn die Basis größer als eins und der Exponent negativ ist, oder die Basis kleiner als eins und der Exponent positiv ist.

Es sind vier Fälle zu betrachten:

Wir beschränken uns auf die Analyse des ersten von ihnen, den Rest wird der Leser selbst betrachten.

Der Gleichheitsexponent sei also weder negativ noch gleich Null, also positiv, d. h. was zu beweisen war.

Beispiel 3. Finden Sie heraus, welche der folgenden Logarithmen positiv und welche negativ sind:

Lösung, a) da sich die Nummer 15 und die Basis 12 auf der gleichen Seite der Einheit befinden;

b) , da sich 1000 und 2 auf der gleichen Seite der Einheit befinden; gleichzeitig ist es nicht wesentlich, dass die Basis größer als die logarithmische Zahl ist;

c), da 3.1 und 0.8 auf gegenüberliegenden Seiten der Eins liegen;

G) ; Wieso den?

e) ; Wieso den?

Die folgenden Eigenschaften 4-6 werden oft als Logarithmusregeln bezeichnet: Sie ermöglichen es, bei Kenntnis der Logarithmen einiger Zahlen die Logarithmen ihres Produkts, Quotienten und Grads jeder von ihnen zu finden.

Eigenschaft 4 (die Regel für den Logarithmus des Produkts). Der Logarithmus des Produkts mehrerer positiver Zahlen in einer bestimmten Basis ist gleich der Summe der Logarithmen dieser Zahlen in derselben Basis.

Nachweisen. Seien positive Zahlen gegeben.

Für den Logarithmus ihres Produkts schreiben wir die Gleichung (26.1), die den Logarithmus definiert:

Ab hier finden wir

Wenn wir die Exponenten des ersten und des letzten Ausdrucks vergleichen, erhalten wir die erforderliche Gleichheit:

Beachten Sie, dass die Bedingung wesentlich ist; Der Logarithmus des Produkts zweier negativer Zahlen ist sinnvoll, aber in diesem Fall erhalten wir

Wenn das Produkt mehrerer Faktoren positiv ist, ist sein Logarithmus im Allgemeinen gleich der Summe der Logarithmen der Module dieser Faktoren.

Eigenschaft 5 (Quotient-Logarithmus-Regel). Der Logarithmus eines Quotienten positiver Zahlen ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors, genommen in derselben Basis. Nachweisen. Konsequent finden

Q.E.D.

Eigenschaft 6 (Regel des Logarithmus des Grades). Der Logarithmus der Potenz einer beliebigen positiven Zahl ist gleich dem Logarithmus dieser Zahl multipliziert mit dem Exponenten.

Nachweisen. Wir schreiben wieder die Hauptidentität (26.1) für die Zahl :

Q.E.D.

Folge. Der Logarithmus der Wurzel einer positiven Zahl ist gleich dem Logarithmus der Wurzelzahl dividiert durch den Exponenten der Wurzel:

Wir können die Gültigkeit dieses Korollars beweisen, indem wir zeigen, wie und wie Eigenschaft 6 verwendet wird.

Beispiel 4. Logarithmus zur Basis a:

a) (es wird angenommen, dass alle Werte b, c, d, e positiv sind);

b) (es wird angenommen, dass ).

Lösung, a) Es ist bequem, diesen Ausdruck auf gebrochene Potenzen zu übertragen:

Basierend auf den Gleichungen (26.5)-(26.7) können wir nun schreiben:

Wir stellen fest, dass mit den Logarithmen von Zahlen einfachere Operationen durchgeführt werden als mit den Zahlen selbst: Beim Multiplizieren von Zahlen werden ihre Logarithmen addiert, beim Dividieren werden sie subtrahiert usw.

Aus diesem Grund wurden in der Rechenpraxis Logarithmen verwendet (siehe Abschnitt 29).

Die zum Logarithmus inverse Aktion heißt Potenzierung, nämlich: Potenzierung ist die Aktion, durch die diese Zahl selbst durch den gegebenen Logarithmus einer Zahl gefunden wird. Im Wesentlichen ist die Potenzierung keine besondere Aktion: Es läuft darauf hinaus, die Basis mit einer Potenz (gleich dem Logarithmus der Zahl) zu potenzieren. Der Begriff "Potenzierung" kann als Synonym zum Begriff "Potenzierung" angesehen werden.

Beim Potenzieren müssen die zu den Logarithmusregeln umgekehrten Regeln angewendet werden: Ersetzen Sie die Summe der Logarithmen durch den Logarithmus des Produkts, die Differenz der Logarithmen durch den Logarithmus des Quotienten usw. Insbesondere, wenn vorhanden irgendein Faktor vor dem Vorzeichen des Logarithmus, dann muss er beim Potenzieren auf die Indikatorgrade unter dem Vorzeichen des Logarithmus übertragen werden.

Beispiel 5. Finden Sie N, wenn das bekannt ist

Entscheidung. Im Zusammenhang mit der eben genannten Potenzierungsregel werden die Faktoren 2/3 und 1/3, die vor den Vorzeichen von Logarithmen auf der rechten Seite dieser Gleichheit stehen, auf die Exponenten unter den Vorzeichen dieser Logarithmen übertragen; wir bekommen

Jetzt ersetzen wir die Differenz der Logarithmen durch den Logarithmus des Quotienten:

Um den letzten Bruch in dieser Gleichheitskette zu erhalten, haben wir den vorherigen Bruch im Nenner von der Irrationalität befreit (Abschnitt 25).

Eigenschaft 7. Wenn die Basis größer als eins ist, dann hat die größere Zahl einen größeren Logarithmus (und die kleinere einen kleineren), wenn die Basis kleiner als eins ist, dann hat die größere Zahl einen kleineren Logarithmus (und die kleinere einer hat einen größeren).

Diese Eigenschaft wird auch als Regel für den Logarithmus von Ungleichungen formuliert, deren beide Anteile positiv sind:

Bei der Logarithmierung von Ungleichheiten zur Basis größer als eins bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten, bei der Logarithmierung zur Basis kleiner als eins wird das Vorzeichen der Ungleichheit umgekehrt (siehe auch Punkt 80).

Der Beweis basiert auf den Eigenschaften 5 und 3. Betrachten Sie den Fall, wenn Wenn , dann und Logarithmiert wird, erhalten wir

(a und N/M liegen auf der gleichen Seite der Eins). Von hier

Fall a folgt, der Leser wird es selbst herausfinden.

Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen Sie kennen - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log a x und protokollieren a j. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

1. Protokoll a x+log a j= anmelden a (x · j);
2. Protokoll a x−log a j= anmelden a (x : j).

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen Ihnen, den logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:

Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
Log 7 49 6 = 6 Log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

[Bilderüberschrift]

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Wir haben:

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Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben dieselbe Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Lass den Logarithmus loggen a x. Dann für eine beliebige Zahl c so dass c> 0 und c≠ 1 gilt die Gleichheit:

[Bilderüberschrift]

Insbesondere, wenn wir setzen c = x, wir bekommen:

[Bilderüberschrift]

Aus der zweiten Formel folgt, dass es möglich ist, die Basis und das Argument des Logarithmus zu vertauschen, aber in diesem Fall wird der gesamte Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

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Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

[Bilderüberschrift]

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

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Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

Im ersten Fall die Nummer n wird zum Exponenten des Arguments. Anzahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es wird die grundlegende logarithmische Identität genannt.

In der Tat, was wird passieren, wenn die Nummer b damit an die Macht erheben b insofern ergibt sich eine Zahl a? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.

Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

[Bilderüberschrift]

Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

[Bilderüberschrift]

Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Prüfungsaufgabe :)

Logarithmische Einheit und logarithmische Null

Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

1. Protokoll a a= 1 ist die logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
2. Protokoll a 1 = 0 ist logarithmisch Null. Base a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Weil a 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.

Definition von Logarithmus

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist der Exponent, auf den du a erhöhen musst, um b zu erhalten.

Die Zahl E In der Mathematik ist es üblich, die Grenze anzugeben, zu der der Ausdruck tendiert

Zahl z ist ein irrationale Zahl- eine mit eins inkommensurable Zahl, die weder als Ganzes noch als Bruch genau ausgedrückt werden kann rational Anzahl.

Buchstabe e- der erste Buchstabe eines lateinischen Wortes entlasten- zur Schau stellen, daher der Name in der Mathematik exponentiell- Exponentialfunktion.

Anzahl e ist in der Mathematik und in allen Wissenschaften weit verbreitet und verwendet auf die eine oder andere Weise mathematische Berechnungen für ihre Bedürfnisse.

Logarithmen. Eigenschaften von Logarithmen

Definition: Der Basislogarithmus einer positiven Zahl b ist der Exponent c, mit dem die Zahl a erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Logarithmische Grundidentität:

7) Formel für den Übergang zu einer neuen Basis:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

Aufgaben und Tests zum Thema „Logarithmen. Eigenschaften von Logarithmen»

• Logarithmen - Wichtige Themen zur Wiederholung der Klausur in Mathematik

Um Aufgaben zu diesem Thema erfolgreich abzuschließen, müssen Sie die Definition des Logarithmus, die Eigenschaften von Logarithmen, die grundlegende logarithmische Identität, die Definitionen von Dezimal- und natürlichen Logarithmen kennen. Die Haupttypen von Aufgaben zu diesem Thema sind Aufgaben zum Berechnen und Umwandeln von logarithmischen Ausdrücken. Betrachten wir ihre Lösung anhand der folgenden Beispiele.

Entscheidung: Unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen erhalten wir

Entscheidung: Unter Verwendung der Eigenschaften des Grades erhalten wir

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Eigenschaften von Logarithmen, Formulierungen und Beweise.

Logarithmen haben eine Reihe charakteristischer Eigenschaften. In diesem Artikel werden wir die wichtigsten analysieren Eigenschaften von Logarithmen. Hier geben wir ihre Formulierungen an, schreiben die Eigenschaften von Logarithmen in Form von Formeln, zeigen Anwendungsbeispiele und geben auch Beweise für die Eigenschaften von Logarithmen.

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Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen, Formeln

Zur Erleichterung des Erinnerns und Verwendens präsentieren wir grundlegende Eigenschaften von Logarithmen als Formelliste. Im nächsten Abschnitt geben wir ihre Formulierungen, Beweise, Anwendungsbeispiele und notwendige Erklärungen.

Unit-Log-Eigenschaft: log a 1=0 für alle a>0 , a≠1 .

Der Logarithmus einer Zahl gleich der Basis: log a a=1 für a>0 , a≠1 .

Eigenschaft des Basisgradlogarithmus: log a a p = p , wobei a>0 , a≠1 und p eine beliebige reelle Zahl ist.

Der Logarithmus des Produkts zweier positiver Zahlen: log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 ,
und die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts von n positiven Zahlen: log a (x 1 x 2 ... x n) \u003d log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n, a>0, a≠1 , x1 >0, x2 >0, …, xn >0 .

Private Logarithmus-Eigenschaft: , wobei a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .

Logarithmus der Potenz einer Zahl: log a b p = p log a |b| , wobei a > 0 , a ≠ 1 , b und p solche Zahlen sind, dass der Grad von b p sinnvoll und b p > 0 ist.

Folge: , wobei a>0 , a≠1 , n eine natürliche Zahl größer als eins ist, b>0 .

Folge 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Folge 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p und q sind reelle Zahlen, q≠0 insbesondere für b=a gilt .

Aussagen und Eigenschaftsnachweise

Wir gehen zur Formulierung und zum Beweis der aufgezeichneten Eigenschaften von Logarithmen über. Alle Eigenschaften von Logarithmen werden anhand der Definition des Logarithmus und der daraus folgenden logarithmischen Grundidentität sowie der Gradeigenschaften bewiesen.

Lass uns beginnen mit Eigenschaften des Logarithmus der Einheit. Seine Formulierung lautet wie folgt: Der Logarithmus der Einheit ist gleich Null, das heißt, log eine 1=0 für jedes a>0 , a≠1 . Der Beweis ist einfach: Da a 0 =1 für jedes a, das die obigen Bedingungen a>0 und a≠1 erfüllt, folgt aus der Definition des Logarithmus sofort die bewiesene Gleichheit log a 1=0.

Lassen Sie uns Beispiele für die Anwendung der betrachteten Eigenschaft geben: log 3 1=0 , lg1=0 und .

Kommen wir zur nächsten Eigenschaft: Der Logarithmus einer Zahl gleich der Basis ist gleich eins, also, log a a = 1 für a>0 , a≠1 . In der Tat, da a 1 = a für jedes a , dann ist nach der Definition des Logarithmus log a a = 1 .

Beispiele für die Verwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen sind log 5 5=1 , log 5.6 5.6 und lne=1 .

Der Logarithmus der Potenz einer Zahl gleich der Basis des Logarithmus ist gleich dem Exponenten. Diese Eigenschaft des Logarithmus entspricht einer Formel der Form log a a p = p, wobei a>0 , a≠1 und p eine beliebige reelle Zahl ist. Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition des Logarithmus. Beachten Sie, dass Sie den Wert des Logarithmus sofort angeben können. Wenn es möglich ist, die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus als Grad der Basis darzustellen, werden wir im Artikel Logarithmen berechnen mehr darüber sprechen.

Zum Beispiel log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 und .

Logarithmus des Produkts zweier positiver Zahlen x und y ist gleich dem Produkt der Logarithmen dieser Zahlen: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Beweisen wir die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts. Aufgrund der Eigenschaften des Grades a log a x + log a y =a log a x a log a y , und da nach der logarithmischen Hauptidentität a log a x =x und a log a y =y , dann ist a log a x a log a y =x y . Also a log a x+log a y = x y , woraus die geforderte Gleichheit durch die Definition des Logarithmus folgt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Verwendung der Eigenschaft des Logarithmus des Produkts zeigen: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 und .

Die Eigenschaft des Produktlogarithmus lässt sich verallgemeinern auf das Produkt einer endlichen Zahl n positiver Zahlen x 1 , x 2 , …, x n as log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Diese Gleichheit lässt sich leicht mit der Methode der mathematischen Induktion beweisen.

Beispielsweise kann der natürliche Logarithmus eines Produkts durch die Summe dreier natürlicher Logarithmen der Zahlen 4 , e , und ersetzt werden.

Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen x und y sind gleich der Differenz zwischen den Logarithmen dieser Zahlen. Die Eigenschaft des Quotientenlogarithmus entspricht einer Formel der Form , wobei a>0 , a≠1 , x und y einige positive Zahlen sind. Die Gültigkeit dieser Formel wird wie die Formel für den Logarithmus des Produkts bewiesen: seit , dann durch die Definition des Logarithmus .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft des Logarithmus: .

Lass uns weitergehen zu Eigenschaft des Gradlogarithmus. Der Logarithmus eines Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus des Basismoduls dieses Grades. Wir schreiben diese Eigenschaft des Gradlogarithmus in Form einer Formel: log a b p = p log a |b|, wobei a > 0 , a ≠ 1 , b und p solche Zahlen sind, dass der Grad von b p sinnvoll und b p > 0 ist.

Wir beweisen diese Eigenschaft zunächst für positives b . Die grundlegende logarithmische Identität erlaubt es uns, die Zahl b als a log a b darzustellen, dann ist b p =(a log a b) p , und der resultierende Ausdruck ist aufgrund der Potenzeigenschaft gleich a p log a b . Wir kommen also zur Gleichung b p = a p log a b , woraus wir durch die Definition des Logarithmus schließen, dass log a b p = p log a b .

Es bleibt diese Eigenschaft für negatives b zu beweisen. Hier bemerken wir, dass der Ausdruck log a b p für negatives b nur für gerade Exponenten p sinnvoll ist (da der Wert des Grads b p größer als Null sein muss, sonst macht der Logarithmus keinen Sinn), und in diesem Fall b p = |b| p . Dann ist b p = |b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , woher log a b p = p log a |b| .

Zum Beispiel, und ln(–3) 4 =4 ln|–3|=4 ln3 .

Es folgt aus der vorherigen Eigenschaft Eigenschaft des Logarithmus von der Wurzel: der Logarithmus der Wurzel n-ten Grades ist gleich dem Produkt aus dem Bruch 1/n und dem Logarithmus des Wurzelausdrucks, d. h. wobei a>0, a≠1, n eine natürliche Zahl größer als eins ist, b>0.

Der Beweis basiert auf einer Gleichheit (siehe Exponentendefinition mit gebrochenem Exponenten), die für jedes positive b gilt, und der Eigenschaft des Gradlogarithmus: .

Hier ist ein Beispiel für die Verwendung dieser Eigenschaft: .

Jetzt beweisen wir es Umrechnungsformel zur neuen Basis des Logarithmus nett . Dazu genügt es, die Gültigkeit der Gleichheit log c b=log a b log c a zu beweisen. Die grundlegende logarithmische Identität erlaubt es uns, die Zahl b als log a b darzustellen, dann log c b=log c a log a b . Es bleibt die Eigenschaft des Logarithmus des Grades zu verwenden: log c a log a b = log a b log c a . Damit ist die Gleichheit log c b=log a b log c a bewiesen, womit auch die Formel für den Übergang auf eine neue Basis des Logarithmus bewiesen ist .

Lassen Sie uns ein paar Beispiele für die Anwendung dieser Eigenschaft von Logarithmen zeigen: und .

Die Formel für den Wechsel zu einer neuen Basis ermöglicht es Ihnen, mit Logarithmen zu arbeiten, die eine „bequeme“ Basis haben. Beispielsweise kann damit auf natürliche oder dezimale Logarithmen umgeschaltet werden, um den Wert des Logarithmus aus einer Logarithmentabelle zu berechnen. Die Formel für den Übergang zu einer neuen Basis des Logarithmus ermöglicht es in einigen Fällen auch, den Wert eines bestimmten Logarithmus zu finden, wenn die Werte einiger Logarithmen mit anderen Basen bekannt sind.

Häufig wird ein Sonderfall der Übergangsformel zu einer neuen Basis des Logarithmus für c=b der Form verwendet. Dies zeigt, dass log a b und log b a zueinander inverse Zahlen sind. Z.B, .

Die Formel wird auch oft verwendet, was praktisch ist, um Logarithmuswerte zu finden. Um unsere Worte zu bestätigen, zeigen wir, wie der Wert des Logarithmus des Formulars damit berechnet wird. Wir haben . Zum Beweis der Formel genügt es, die Übergangsformel zur neuen Basis des Logarithmus a zu verwenden: .

Es bleibt noch, die Vergleichseigenschaften von Logarithmen zu beweisen.

Wenden wir die umgekehrte Methode an. Angenommen, dass für a 1 >1 , a 2 >1 und a 1 2 und für 0 1 log a 1 b ≤ log a 2 b wahr ist. Durch die Eigenschaften von Logarithmen können diese Ungleichungen umgeschrieben werden als und und daraus folgt, dass log b a 1 ≤ log b a 2 bzw. log b a 1 ≥ log b a 2 ist. Dann müssen aufgrund der Eigenschaften von Potenzen mit gleichen Basen die Gleichungen b log b a 1 ≥ b log b a 2 und b log b a 1 ≥ b log b a 2 erfüllt sein, dh a 1 ≥ a 2 . Damit sind wir bei einem Widerspruch zur Bedingung a 1 2 angelangt. Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

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Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.

Diese Regeln müssen bekannt sein - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.

Addition und Subtraktion von Logarithmen

Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log a x und log a y . Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:

Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!

Diese Formeln helfen bei der Berechnung des logarithmischen Ausdrucks, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an - und sehen Sie:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 6 4 + log 6 9.

Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.

Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.

Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.

Entfernen des Exponenten vom Logarithmus

Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

• log a x n = n log a x ;
• 
• 

Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.

All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .

Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
Log 7 49 6 = 6 Log 7 49 = 6 2 = 12

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:

[Bilderüberschrift]

Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Wir haben:

[Bilderüberschrift]

Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.

Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben dieselbe Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.

Übergang in eine neue Stiftung

In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?

Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:

Gegeben sei der Logarithmus log a x. Dann gilt für jede Zahl c mit c > 0 und c ≠ 1 die Gleichheit:

[Bilderüberschrift]

Insbesondere wenn wir c = x setzen, erhalten wir:

[Bilderüberschrift]

Aus der zweiten Formel folgt, dass es möglich ist, die Basis und das Argument des Logarithmus zu vertauschen, aber in diesem Fall wird der gesamte Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.

Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.

Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:

Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.

Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:

[Bilderüberschrift]

Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.

Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:

[Bilderüberschrift]

Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:

[Bilderüberschrift]

Grundlegende logarithmische Identität

Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:

1. n = log ein ein n

2. Im ersten Fall wird die Zahl n zum Exponenten im Argument. Die Zahl n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.

   Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es wird die grundlegende logarithmische Identität genannt.

   Was passiert in der Tat, wenn die Zahl b so potenziert wird, dass die Zahl b mit dieser Potenz die Zahl a ergibt? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Zahl a . Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele "hängen" daran.

   Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.

   [Bilderüberschrift]

   Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 - nehmen Sie einfach das Quadrat der Basis und das Argument des Logarithmus. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:

   [Bilderüberschrift]

   Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Aufgabe vom Einheitlichen Staatsexamen 🙂

   Logarithmische Einheit und logarithmische Null

   Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.

   1. log a a = 1 ist die logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: Der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
   2. log a 1 = 0 ist logarithmisch Null. Die Basis a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Denn eine 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.

   Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Lade den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucke ihn aus – und löse die Aufgaben.

   Logarithmus. Eigenschaften des Logarithmus (Addition und Subtraktion).

   Eigenschaften des Logarithmus aus seiner Definition folgen. Und damit der Logarithmus der Zahl b aus grund a definiert als der Exponent, zu dem eine Zahl erhöht werden muss a um die Nummer zu bekommen b(Der Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).

   Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x=log a b, ist äquivalent zum Lösen der Gleichung ax=b. Zum Beispiel, Protokoll 2 8 = 3 weil 8 = 2 3 . Die Formulierung des Logarithmus ermöglicht es, das zu begründen, wenn b=a c, dann der Logarithmus der Zahl b aus grund a gleich mit. Klar ist auch, dass das Thema Logarithmus eng mit dem Thema der Potenz einer Zahl zusammenhängt.

   Mit Logarithmen kannst du, wie mit allen Zahlen, durchführen Addition, Subtraktionsoperationen und auf jede erdenkliche Weise umwandeln. Aber in Anbetracht der Tatsache, dass Logarithmen keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gelten hier eigene Sonderregeln, die genannt werden Grundeigenschaften.

   Addition und Subtraktion von Logarithmen.

   Nimm zwei Logarithmen mit derselben Basis: Protokoll x und log a y. Dann ist es möglich, Additions- und Subtraktionsoperationen durchzuführen:

   Wie wir sehen, Summe der Logarithmen gleich dem Logarithmus des Produkts, und Unterschied Logarithmen- der Logarithmus des Quotienten. Und das ist wahr, wenn die Zahlen a, X und beim positiv u a ≠ 1.

   Es ist wichtig zu beachten, dass der Hauptaspekt in diesen Formeln die gleichen Basen sind. Weichen die Basen voneinander ab, gelten diese Regeln nicht!

   Die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen mit gleichen Basen werden nicht nur von links nach rechts gelesen, sondern auch umgekehrt. Als Ergebnis haben wir die Sätze für den Logarithmus des Produkts und den Logarithmus des Quotienten.

   Logarithmus des Produkts zwei positive Zahlen ist gleich der Summe ihrer Logarithmen ; Wenn wir diesen Satz umschreiben, erhalten wir Folgendes, wenn die Zahlen a, x und beim positiv u a ≠ 1, dann:

   Logarithmus des Quotienten zweier positiver Zahlen ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors. Mit anderen Worten, wenn die Zahlen a, X und beim positiv u a ≠ 1, dann:

   Zur Lösung wenden wir die obigen Sätze an Beispiele:

   Wenn Zahlen x und beim sind dann negativ Produkt Logarithmus Formel wird bedeutungslos. Es ist also verboten zu schreiben:

   da die Ausdrücke log 2 (-8) und log 2 (-4) überhaupt nicht definiert sind (die logarithmische Funktion beim= Protokoll 2 X nur für positive Werte des Arguments definiert X).

   Produktsatz gilt nicht nur für zwei, sondern für eine unbegrenzte Anzahl von Faktoren. Das bedeutet für jeden Naturmenschen k und alle positiven Zahlen x 1 , x 2 , . . . ,x n Es gibt eine Identität:

   Aus Quotienten-Logarithmus-Theoreme Eine weitere Eigenschaft des Logarithmus kann erhalten werden. Es ist bekannt, dass log a 1 = 0, also

   Es gibt also eine Gleichheit:

   Logarithmen zweier reziproker Zahlen auf der gleichen Basis unterscheiden sich nur im Vorzeichen. So:

   Logarithmus. Eigenschaften von Logarithmen

   Logarithmus. Eigenschaften von Logarithmen

   Denken Sie an Gleichberechtigung. Nennen Sie uns die Werte und und wir wollen den Wert von finden.

   Das heißt, wir suchen nach einem Exponenten, zu dem Sie einen Hahn bekommen müssen.

   Lassen die Variable jeden realen Wert annehmen kann, dann werden den Variablen die folgenden Einschränkungen auferlegt: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   Wenn wir die Werte von und kennen und vor der Aufgabe stehen, das Unbekannte zu finden, wird zu diesem Zweck eine mathematische Operation eingeführt, die aufgerufen wird Logarithmus.

   Um den Wert zu finden, nehmen wir Logarithmus einer Zahl An Stiftung :

   Der Logarithmus einer Zahl zur Basis ist der Exponent, auf den Sie erhöhen müssen, um zu erhalten.

   Also grundlegende logarithmische Identität:

   o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

   ist im Wesentlichen eine mathematische Notation Logarithmus Definitionen.

   Die mathematische Operation Logarithmus ist also die Umkehrung der Potenzierung Eigenschaften von Logarithmen sind eng mit den Eigenschaften des Grades verbunden.

   Wir listen die wichtigsten auf Eigenschaften von Logarithmen:

   (o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=“d1″/>

   4.

   5.

   Die folgende Gruppe von Eigenschaften ermöglicht es Ihnen, den Exponenten des Ausdrucks unter dem Vorzeichen des Logarithmus darzustellen oder an der Basis des Logarithmus als Koeffizient vor dem Vorzeichen des Logarithmus zu stehen:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Die nächste Gruppe von Formeln ermöglicht es Ihnen, von einem Logarithmus mit einer bestimmten Basis zu einem Logarithmus mit einer beliebigen Basis zu gehen, und wird aufgerufen Übergangsformeln auf eine neue Basis:

   10.

   12. (Folge aus Eigenschaft 11)

   

   Die folgenden drei Eigenschaften sind nicht sehr bekannt, werden aber häufig beim Lösen von logarithmischen Gleichungen oder beim Vereinfachen von Ausdrücken verwendet, die Logarithmen enthalten:

   13.

   14.

   15.

   Spezialfälle:

   — dezimaler Logarithmus

   — natürlicher Logarithmus

   Bei der Vereinfachung von Ausdrücken, die Logarithmen enthalten, wird ein allgemeiner Ansatz angewendet:

   1. Wir stellen Dezimalbrüche in Form gewöhnlicher Brüche dar.

   2. Wir stellen gemischte Zahlen als unechte Brüche dar.

   3. Die Zahlen an der Basis des Logarithmus und unter dem Vorzeichen des Logarithmus werden in Primfaktoren zerlegt.

   4. Wir versuchen, alle Logarithmen auf dieselbe Basis zu bringen.

   5. Wende die Eigenschaften von Logarithmen an.

   Schauen wir uns Beispiele für die Vereinfachung von Ausdrücken an, die Logarithmen enthalten.

   Beispiel 1

   Berechnung:

   Vereinfachen wir alle Exponenten: Unsere Aufgabe ist es, sie in Logarithmen zu bringen, deren Basis dieselbe Zahl ist wie die Basis des Exponenten.

   ==(durch Eigenschaft 7)=(durch Eigenschaft 6) =

   Setzen Sie die erhaltenen Indikatoren in den ursprünglichen Ausdruck ein. Wir bekommen:

   Antwort: 5.25

   Beispiel 2 Berechnen:

   

   Wir bringen alle Logarithmen zur Basis 6 (in diesem Fall „wandern“ die Logarithmen vom Nenner des Bruchs zum Zähler):

   Zerlegen wir die Zahlen unter dem Vorzeichen des Logarithmus in Primfaktoren:

   Eigenschaften 4 und 6 anwenden:

   Wir stellen den Ersatz vor

   Wir bekommen:

   Antwort 1

   Logarithmus . Grundlegende logarithmische Identität.

   Eigenschaften von Logarithmen. Dezimaler Logarithmus. natürlicher Logarithmus.

   Logarithmus positive Zahl N in der Basis (b > 0, b 1) wird der Exponent x genannt, auf den Sie b erhöhen müssen, um N zu erhalten .

   Dieser Eintrag entspricht dem Folgenden: b x = N .

   BEISPIELE: log 3 81 = 4 seit 3 ​​4 = 81 ;

   Protokoll 1/3 27 = – 3 weil (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

   Die obige Definition des Logarithmus kann als Identität geschrieben werden:

   

   Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen.

   2) log 1 = 0 weil b 0 = 1 .

   3) Der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren:

   4) Der Logarithmus des Quotienten ist gleich der Differenz zwischen den Logarithmen des Dividenden und des Divisors:

   5) Der Logarithmus des Grades ist gleich dem Produkt aus dem Exponenten und dem Logarithmus seiner Basis:

   Die Konsequenz dieser Eigenschaft ist die folgende: Log-Root ist gleich dem Logarithmus der Wurzelzahl dividiert durch die Potenz der Wurzel:

   

   6) Wenn die Basis des Logarithmus eine Potenz ist, dann der Wert der Kehrwert des Exponenten kann aus dem Reimlogzeichen entnommen werden:

   

   Die letzten beiden Eigenschaften können zu einer kombiniert werden:

   

   7) Die Formel für den Übergangsmodul (also den Übergang von einer Basis des Logarithmus zu einer anderen Basis):

   

   Im Einzelfall wann N = ein wir haben:

   

   Dezimaler Logarithmus namens Basislogarithmus 10. Es wird mit lg bezeichnet, d.h. Protokoll 10 N= anmelden N. Logarithmen der Zahlen 10, 100, 1000, . p sind jeweils 1, 2, 3, …, d.h. habe so viel positives

   Einheiten, wie viele Nullen sind in der Logarithmuszahl nach eins. Logarithmen der Zahlen 0,1, 0,01, 0,001, . p sind jeweils –1, –2, –3, …, d.h. so viele negative Einsen haben, wie es Nullen in der Logarithmuszahl vor der Eins gibt (einschließlich ganzer Nullen). Die Logarithmen der restlichen Zahlen haben einen Bruchteil namens Mantisse. Der ganzzahlige Teil des Logarithmus wird aufgerufen charakteristisch. Für praktische Anwendungen sind dezimale Logarithmen am bequemsten.

   natürlicher Logarithmus namens Basislogarithmus e. Es wird mit ln bezeichnet, d.h. Protokoll e N=ln N. Anzahl e irrational ist, ist sein ungefährer Wert 2,718281828. Es ist die Grenze, auf die die Zahl (1 + 1 / n) n mit unbegrenzter Steigerung n(cm. erste wunderbare Grenze auf der Seite Nummernkreislimits).
   So seltsam es scheinen mag, natürliche Logarithmen haben sich als sehr praktisch erwiesen, wenn verschiedene Operationen im Zusammenhang mit der Analyse von Funktionen durchgeführt wurden. Basislogarithmen berechnen e viel schneller als jede andere Basis.

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lass es uns einfacher erklären. Beispielsweise ist \(\log_(2)(8)\) gleich der Potenz, mit der \(2\) potenziert werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Beispiele:		\(\log_(5)(25)=2\)		da \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		da \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		da \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende "Anatomie":

Das Argument des Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt geschrieben, näher am Vorzeichen des Logarithmus. Und dieser Eintrag wird so gelesen: "der Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis von fünf."

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Um wie viel muss die Basis angehoben werden, um das Argument zu erhalten?

zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Mit welcher Potenz muss \(4\) potenziert werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das Zweite. So:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(5)\) potenziert werden, um \(1\) zu erhalten? Und welcher Grad macht eine beliebige Zahl zu einer Einheit? Null natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Mit welcher Potenz muss \(\sqrt(7)\) potenziert werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Im ersten - jede Zahl im ersten Grad ist gleich sich selbst.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Mit welcher Potenz muss \(3\) potenziert werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Von wir wissen, dass dies eine gebrochene Potenz ist, und daher ist die Quadratwurzel die Potenz von \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechne den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Entscheidung :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Wir müssen den Wert des Logarithmus finden, bezeichnen wir ihn als x. Lassen Sie uns nun die Definition des Logarithmus verwenden: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Was verbindet \(4\sqrt(2)\) und \(8\)? Zwei, weil beide Zahlen durch Zweien dargestellt werden können: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Links verwenden wir die Gradeigenschaften: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) und \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Die Grundlagen sind gleich, wir fahren mit der Gleichheit der Indikatoren fort
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(\frac(2)(5)\)
		Die resultierende Wurzel ist der Wert des Logarithmus

Antworten : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichheit funktioniert. Natürlich \(x=2\).

Löse nun die Gleichung: \(3^(x)=8\) Wozu ist x gleich? Das ist der Punkt.

Die Genialsten werden sagen: "X ist etwas kleiner als zwei." Wie genau ist diese Zahl zu schreiben? Um diese Frage zu beantworten, haben sie sich den Logarithmus ausgedacht. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass sowohl \(\log_(3)(8)\), als auch Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es als Dezimalzahl schreiben wollten, würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Löse die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Entscheidung :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) und \(10\) können nicht auf dieselbe Basis reduziert werden. Hier kommt man also nicht ohne den Logarithmus aus. Verwenden wir die Definition des Logarithmus: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Drehe die Gleichung um, sodass x links steht
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Vor uns. Bewegen Sie \(4\) nach rechts. Und haben Sie keine Angst vor dem Logarithmus, behandeln Sie ihn wie eine normale Zahl.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Teilen Sie die Gleichung durch 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Hier ist unsere Wurzel. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber die Antwort ist nicht gewählt.

Antworten : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimal und natürlicher Logarithmus

Wie in der Definition des Logarithmus angegeben, kann seine Basis jede positive Zahl außer Eins \((a>0, a\neq1)\) sein. Und unter all den möglichen Basen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: Ein Logarithmus, dessen Basis die Euler-Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimaler Logarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Eine davon heißt "Basic Logarithmic Identity" und sieht so aus:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie genau diese Formel aussah.

Erinnern Sie sich an die kurze Definition des Logarithmus:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir \(\log_(a)(c)\) statt \(b\) in die Formel \(a^(b)=c\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) - die wichtigste logarithmische Identität.

Sie können den Rest der Eigenschaften von Logarithmen finden. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen vereinfachen und berechnen, die direkt schwer zu berechnen sind.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Entscheidung :

Antworten : \(25\)

Wie schreibt man eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Auch die Umkehrung gilt: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Zum Beispiel wissen wir, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie statt zwei auch \(\log_(2)(4)\) schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), also kannst du auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben. Ähnlich mit \(\log_(5)(25)\), und mit \(\log_(9)(81)\), usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Daher können wir bei Bedarf die beiden als Logarithmus mit jeder Basis irgendwo schreiben (sogar in einer Gleichung, sogar in einem Ausdruck, sogar in einer Ungleichung) - schreiben Sie einfach die quadrierte Basis als Argument.

Dasselbe gilt für ein Tripel – es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\), oder als \(\log_(4)( 64) \) ... Hier schreiben wir die Basis in den Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie den Wert eines Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Entscheidung :

Antworten : \(1\)