G. Glaser,
Akademiker der Russischen Akademie für Pädagogik, Moskau

Über den Satz des Pythagoras und wie man ihn beweist

Die Fläche eines Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf seinen Beinen gebaut sind ...

Dies ist einer der berühmtesten geometrischen Sätze der Antike, der sogenannte Satz des Pythagoras. Es ist immer noch fast jedem bekannt, der sich jemals mit Planimetrie befasst hat. Mir scheint, wenn wir außerirdische Zivilisationen über die Existenz intelligenten Lebens auf der Erde informieren wollen, dann sollten wir ein Bild der pythagoreischen Figur ins All schicken. Ich denke, wenn denkende Wesen diese Informationen akzeptieren können, werden sie ohne komplexe Signaldecodierung verstehen, dass es auf der Erde eine ziemlich entwickelte Zivilisation gibt.

Der berühmte griechische Philosoph und Mathematiker Pythagoras von Samos, nach dem der Satz benannt ist, lebte vor etwa 2,5 Tausend Jahren. Die uns überlieferten biographischen Informationen über Pythagoras sind lückenhaft und alles andere als zuverlässig. Viele Legenden sind mit seinem Namen verbunden. Es ist authentisch bekannt, dass Pythagoras viel in den Ländern des Ostens gereist ist, Ägypten und Babylon besucht hat. In einer der griechischen Kolonien Süditaliens gründete er die berühmte „Pythagoräische Schule“, die im wissenschaftlichen und politischen Leben des antiken Griechenlands eine wichtige Rolle spielte. Pythagoras wird der Beweis des bekannten Satzes der Geometrie zugeschrieben. Basierend auf den Legenden, die von berühmten Mathematikern (Proclus, Plutarch usw.) verbreitet wurden, glaubte man lange Zeit, dass dieser Satz vor Pythagoras nicht bekannt war, daher der Name - der Satz des Pythagoras.

Es besteht jedoch kein Zweifel, dass dieser Satz viele Jahre vor Pythagoras bekannt war. 1500 Jahre vor Pythagoras wussten die alten Ägypter also, dass ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 rechteckig ist, und nutzten diese Eigenschaft (d. h. den Umkehrsatz des Pythagoras), um bei der Planung von Grundstücken und Bauwerken rechte Winkel zu konstruieren. Und noch heute zeichnen ländliche Baumeister und Zimmerleute, die den Grundstein für die Hütte legen und ihre Details herstellen, dieses Dreieck, um einen rechten Winkel zu erhalten. Dasselbe wurde vor Tausenden von Jahren beim Bau prächtiger Tempel in Ägypten, Babylon, China und wahrscheinlich in Mexiko gemacht. Im ältesten uns überlieferten mathematischen und astronomischen Werk Chinas, Zhou-bi, etwa 600 Jahre vor Pythagoras geschrieben, ist neben anderen Vorschlägen zum rechtwinkligen Dreieck auch der Satz des Pythagoras enthalten. Schon früher war dieser Satz den Hindus bekannt. Pythagoras hat diese Eigenschaft eines rechtwinkligen Dreiecks also nicht entdeckt, er hat sie wohl als erster verallgemeinert und bewiesen und damit aus der Praxis in die Wissenschaft übertragen. Wir wissen nicht, wie er das gemacht hat. Einige Mathematikhistoriker gehen davon aus, dass der Beweis des Pythagoras dennoch nicht grundlegend war, sondern nur eine Bestätigung, eine Verifizierung dieser Eigenschaft an einer Reihe besonderer Arten von Dreiecken, beginnend mit einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck, für das sich offensichtlich aus Abb. ein.

Mit Seit der Antike haben Mathematiker immer mehr Beweise für den Satz des Pythagoras gefunden, immer mehr Ideen für seine Beweise. Mehr als anderthalbhundert solcher Beweise - mehr oder weniger streng, mehr oder weniger visuell - sind bekannt, aber der Wunsch, ihre Zahl zu erhöhen, ist erhalten geblieben. Ich denke, dass die unabhängige "Entdeckung" der Beweise des Satzes von Pythagoras für moderne Schulkinder nützlich sein wird.

Lassen Sie uns einige Beispiele von Beweisen betrachten, die die Richtung solcher Durchsuchungen andeuten könnten.

Beweis für Pythagoras

";Ein Quadrat, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebaut ist, ist gleich der Summe der Quadrate, die auf seinen Schenkeln aufgebaut sind. "; Den einfachsten Beweis des Satzes erhält man im einfachsten Fall eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks. Wahrscheinlich begann das Theorem mit ihm. Tatsächlich reicht es aus, sich nur die Kachelung gleichschenkliger rechtwinkliger Dreiecke anzusehen, um zu sehen, dass der Satz wahr ist. Zum Beispiel für DABC: ein Quadrat, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist AU, enthält 4 anfängliche Dreiecke und Quadrate, die zu zweit auf den Beinen aufgebaut sind. Der Satz ist bewiesen.

Beweise basierend auf der Verwendung des Konzepts der gleichen Fläche von Zahlen.

Gleichzeitig können wir Beweise in Betracht ziehen, bei denen das Quadrat, das auf der Hypotenuse eines gegebenen rechtwinkligen Dreiecks aufgebaut ist, aus denselben Figuren „zusammengesetzt“ ist wie die Quadrate, die auf den Beinen aufgebaut sind. Wir können auch solche Beweise in Betracht ziehen, bei denen die Permutation der Terme der Zahlen verwendet wird und eine Reihe neuer Ideen berücksichtigt werden.

Auf Abb. 2 zeigt zwei gleiche Quadrate. Die Seitenlänge jedes Quadrats ist a + b. Jedes der Quadrate ist in Teile unterteilt, die aus Quadraten und rechtwinkligen Dreiecken bestehen. Es ist klar, dass, wenn wir die vierfache Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Beinen a, b von der quadratischen Fläche subtrahieren, gleiche Flächen verbleiben, d.h. c 2 \u003d a 2 + b 2. Die alten Hindus, zu denen diese Argumentation gehört, schrieben sie jedoch meist nicht auf, sondern begleiteten die Zeichnung nur mit einem Wort: „Schau!“ Es ist durchaus möglich, dass Pythagoras den gleichen Beweis erbracht hat.

zusätzliche Beweise.

Diese Beweise basieren auf der Zerlegung der auf den Beinen gebauten Quadrate in Figuren, aus denen man ein auf der Hypotenuse gebautes Quadrat hinzufügen kann.

Hier: ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel C; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Beweisen Sie selbst die paarweise Gleichheit der Dreiecke, die Sie erhalten, indem Sie die auf den Beinen und der Hypotenuse aufgebauten Quadrate teilen.

Beweisen Sie den Satz mit dieser Partition.

 Auf der Grundlage des Beweises von al-Nairiziya wurde eine weitere Zerlegung von Quadraten in paarweise gleiche Zahlen vorgenommen (Abb. 5, hier ist ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel C).

 Ein weiterer Beweis durch die Methode der Zerlegung von Quadraten in gleiche Teile, genannt „Rad mit Klingen“, ist in Abb. 1 dargestellt. 6. Hier: ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel C; O - die Mitte eines Quadrats, das auf einem großen Bein gebaut ist; gestrichelte Linien, die durch den Punkt O verlaufen, sind senkrecht oder parallel zur Hypotenuse.

 Diese Zerlegung von Quadraten ist insofern interessant, als ihre paarweise gleichen Vierecke durch Parallelverschiebung aufeinander abgebildet werden können. Viele andere Beweise des Satzes von Pythagoras können mit der Zerlegung von Quadraten in Zahlen angeboten werden.

Beweise durch Erweiterungsverfahren.

Die Essenz dieser Methode besteht darin, dass gleiche Figuren an den Quadraten, die auf den Beinen gebaut sind, und an dem Quadrat, das auf der Hypotenuse gebaut ist, so angebracht werden, dass gleiche Figuren erhalten werden.

Die Gültigkeit des Satzes des Pythagoras folgt aus der gleichen Größe der Sechsecke AEDFPB und ACBNMQ. Hier CEP teilt die Linie EP das Sechseck AEDFPB in zwei flächengleiche Vierecke, die Linie CM teilt das Sechseck ACBNMQ in zwei flächengleiche Vierecke; eine 90°-Rotation der Ebene um das Zentrum A bildet das Viereck AEPB auf das Viereck ACMQ ab.

Auf Abb. 8 Die pythagoräische Figur wird zu einem Rechteck vervollständigt, dessen Seiten parallel zu den entsprechenden Seiten der Quadrate sind, die auf den Beinen gebaut sind. Lassen Sie uns dieses Rechteck in Dreiecke und Rechtecke aufteilen. Zuerst subtrahieren wir alle Polygone 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 von dem resultierenden Rechteck und lassen ein Quadrat zurück, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist. Dann subtrahieren wir von demselben Rechteck die Rechtecke 5, 6, 7 und die schattierten Rechtecke, wir erhalten Quadrate, die auf den Beinen gebaut sind.

Lassen Sie uns nun beweisen, dass die im ersten Fall subtrahierten Zahlen gleich groß sind wie die im zweiten Fall subtrahierten Zahlen.

KLOA = ACPF = ACED = a 2 ;

LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 ;

AKGB = AKLO + LGBO = c 2 ;

daher c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP=ACLF=ACED=b2;

CBML = CBNQ = a 2 ;

OBMP = ABMF = c 2 ;

OBMP = OCLP + CBML;

c2 = a2 + b2 .

Algebraische Beweismethode.

	Reis. 12 veranschaulicht den Beweis des großen indischen Mathematikers Bhaskari (der berühmte Autor von Lilavati, X 2. Jahrhundert). Die Zeichnung wurde von nur einem Wort begleitet: LOOK! Unter den Beweisen des Satzes von Pythagoras durch die algebraische Methode nimmt der Ähnlichkeitsbeweis den ersten (vielleicht ältesten) Platz ein.
	Stellen wir in einer modernen Präsentation einen solchen Beweis vor, der Pythagoras gehört.

H und Abb. 13 ABC - rechteckig, C - rechter Winkel, CMAB, b 1 - Projektion des Schenkels b auf die Hypotenuse, a 1 - Projektion des Schenkels a auf die Hypotenuse, h - Höhe des zur Hypotenuse gezeichneten Dreiecks.

Aus der Ähnlichkeit von ABC zu ACM folgt

b 2 \u003d cb 1; (ein)

aus der Tatsache, dass ABC ähnlich zu BCM ist, folgt

a 2 = ca 1 . (2)

Wenn wir die Gleichungen (1) und (2) Term für Term addieren, erhalten wir a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 .

Wenn Pythagoras wirklich einen solchen Beweis anbot, dann war er auch mit einer Reihe wichtiger geometrischer Theoreme vertraut, die moderne Mathematikhistoriker normalerweise Euklid zuschreiben.

Möllmanns Beweis (Abb. 14). Die Fläche dieses rechtwinkligen Dreiecks ist einerseits gleich, andererseits ist p der Halbumfang des Dreiecks, r der Radius des darin eingeschriebenen Kreises Wir haben:

woraus folgt, dass c 2 = a 2 + b 2 .

in dieser Sekunde

Durch Gleichsetzen dieser Ausdrücke erhalten wir den Satz des Pythagoras.

Kombinierte Methode

Gleichheit von Dreiecken

c2 = a2 + b2 . (3)

Wenn wir die Beziehungen (3) und (4) vergleichen, erhalten wir das

c 1 2 = c 2 oder c 1 = c.

Somit sind die Dreiecke – gegeben und konstruiert – gleich, da sie drei entsprechend gleiche Seiten haben. Der Winkel C 1 ist recht, also ist auch der Winkel C dieses Dreiecks recht.

Altindische Beweise.

Die Mathematiker des alten Indien bemerkten, dass es ausreicht, das Innere der alten chinesischen Zeichnung zu verwenden, um den Satz des Pythagoras zu beweisen. In der auf Palmblätter geschriebenen Abhandlung „Siddhanta Shiromani“ („Krone des Wissens“) des größten indischen Mathematikers des 20. Jahrhunderts. Bha-skara platzierte eine Zeichnung (Abb. 4)

charakteristisch für indische Beweise l das Wort "look!". Wie Sie sehen, werden hier rechtwinklige Dreiecke mit ihrer Hypotenuse nach außen und dem Quadrat gestapelt mit 2 verschoben auf den "Sessel der Braut" mit 2 -b 2 . Beachten Sie, dass Sonderfälle des Satzes des Pythagoras (z. B. die Konstruktion eines Quadrats, dessen Fläche doppelt so groß ist Abb.4 Bereich dieses Quadrats) finden sich in der altindischen Abhandlung "Sulva";

Sie lösten ein rechtwinkliges Dreieck und auf seinen Beinen aufgebaute Quadrate, also Figuren, die aus 16 identischen gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecken bestehen und daher in ein Quadrat passen. Das ist eine Lilie. ein kleiner Bruchteil des Reichtums, der in der Perle der antiken Mathematik verborgen ist - dem Satz des Pythagoras.

Alte chinesische Beweise.

Mathematische Abhandlungen aus dem alten China sind uns in der Ausgabe des 2. Jahrhunderts überliefert. BC. Tatsache ist, dass im Jahr 213 v. Der chinesische Kaiser Shi Huang-di, der die alten Traditionen beseitigen wollte, befahl, alle alten Bücher zu verbrennen. In Pc. BC. Papier wurde in China erfunden und gleichzeitig begann die Rekonstruktion alter Bücher. Der Schlüssel zu diesem Beweis ist nicht schwer zu finden. Tatsächlich gibt es in der alten chinesischen Zeichnung vier gleichwinklige Dreiecke mit den Beinen a, b und Hypotenuse mit gestapelt G) so dass ihre Außenkontur Fig. 2 ein Quadrat mit Seiten bildet a + b, und das innere ist ein Quadrat mit der Seite c, das auf der Hypotenuse gebaut ist (Abb. 2, b). Schneidet man ein Quadrat mit Seite c aus und legt die restlichen 4 schraffierten Dreiecke in zwei Rechtecke (Abb. 2, in), Es ist klar, dass der resultierende Hohlraum einerseits gleich ist Mit 2 , und andererseits - mit 2 +b 2 , jene. c 2 \u003d  2 + b 2. Der Satz ist bewiesen. Beachten Sie, dass bei einem solchen Beweis die Konstruktionen innerhalb des Quadrats auf der Hypotenuse, die wir in der alten chinesischen Zeichnung sehen (Abb. 2, a), nicht verwendet werden. Anscheinend hatten die alten chinesischen Mathematiker einen anderen Beweis. Gerade wenn in einem Quadrat mit einer Seite mit zwei schraffierte Dreiecke (Abb. 2, b) schneiden Sie die Hypotenusen ab und befestigen Sie sie an den beiden anderen Hypotenusen (Abb. 2, G), das ist leicht zu finden

Die resultierende Figur, die manchmal als "Brautstuhl" bezeichnet wird, besteht aus zwei Quadraten mit Seiten a und b, jene. c 2 == a 2 +b 2 .

H Abbildung 3 gibt eine Zeichnung aus der Abhandlung "Zhou-bi ..." wieder. Hier wird der Satz des Pythagoras für das ägyptische Dreieck mit Beinen 3, 4 und Hypotenuse 5 Einheiten betrachtet. Das Quadrat auf der Hypotenuse enthält 25 Zellen, und das darin eingeschriebene Quadrat auf dem größeren Bein enthält 16. Es ist klar, dass der verbleibende Teil 9 Zellen enthält. Dies wird das Quadrat auf dem kleineren Bein sein.

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Shapovalova LA (Station Egorlykskaya, MBOU ESOSH Nr. 11)

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In diesem akademischen Jahr lernte ich einen interessanten Satz kennen, der, wie sich herausstellte, aus der Antike bekannt war:

"Das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks aufgebaute Quadrat ist gleich der Summe der auf den Schenkeln aufgebauten Quadrate."

Normalerweise wird die Entdeckung dieser Aussage dem antiken griechischen Philosophen und Mathematiker Pythagoras (VI Jahrhundert v. Chr.) Zugeschrieben. Aber das Studium alter Manuskripte zeigte, dass diese Aussage lange vor der Geburt von Pythagoras bekannt war.

Ich fragte mich, warum es in diesem Fall mit dem Namen Pythagoras in Verbindung gebracht wird.

Relevanz des Themas: Der Satz des Pythagoras ist von großer Bedeutung: Er wird in der Geometrie buchstäblich auf Schritt und Tritt verwendet. Ich glaube, dass die Werke von Pythagoras immer noch relevant sind, denn wohin wir auch schauen, überall können wir die Früchte seiner großartigen Ideen sehen, die in verschiedenen Zweigen des modernen Lebens verkörpert sind.

Der Zweck meiner Forschung war: herauszufinden, wer Pythagoras war und welche Beziehung er zu diesem Theorem hat.

Als ich die Geschichte des Theorems studierte, beschloss ich, Folgendes herauszufinden:

Gibt es noch andere Beweise für diesen Satz?

Welche Bedeutung hat dieses Theorem im Leben der Menschen?

Welche Rolle spielte Pythagoras bei der Entwicklung der Mathematik?

Aus der Biographie des Pythagoras

Pythagoras von Samos ist ein großer griechischer Wissenschaftler. Seine Berühmtheit ist mit dem Namen des Satzes des Pythagoras verbunden. Obwohl wir jetzt bereits wissen, dass dieser Satz im alten Babylon 1200 Jahre vor Pythagoras und in Ägypten 2000 Jahre vor ihm ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 bekannt war, nennen wir ihn immer noch mit dem Namen dieses Alten Wissenschaftler.

Über das Leben von Pythagoras ist fast nichts mit Sicherheit bekannt, aber eine große Anzahl von Legenden ist mit seinem Namen verbunden.

Pythagoras wurde 570 v. Chr. auf der Insel Samos geboren.

Pythagoras hatte ein hübsches Aussehen, trug einen langen Bart und ein goldenes Diadem auf dem Kopf. Pythagoras ist kein Name, sondern ein Spitzname, den der Philosoph erhielt, weil er wie ein griechisches Orakel immer richtig und überzeugend sprach. (Pythagoras - "überzeugende Rede").

550 v. Chr. trifft Pythagoras eine Entscheidung und geht nach Ägypten. So tut sich vor Pythagoras ein unbekanntes Land und eine unbekannte Kultur auf. Pythagoras war hierzulande sehr erstaunt und überrascht, und nach einigen Beobachtungen des Lebens der Ägypter erkannte Pythagoras, dass der Weg zum Wissen, geschützt durch die Priesterkaste, über die Religion führt.

Nach elf Jahren Studium in Ägypten geht Pythagoras in seine Heimat, wo er unterwegs in babylonische Gefangenschaft gerät. Dort lernt er die babylonische Wissenschaft kennen, die weiter entwickelt war als die ägyptische. Die Babylonier wussten, wie man lineare, quadratische und einige Arten von kubischen Gleichungen löst. Nachdem er aus der Gefangenschaft geflohen war, konnte er aufgrund der dort herrschenden Atmosphäre von Gewalt und Tyrannei nicht lange in seiner Heimat bleiben. Er beschloss, nach Kroton (eine griechische Kolonie in Norditalien) zu ziehen.

In Kroton beginnt die glorreichste Zeit im Leben des Pythagoras. Dort gründete er so etwas wie eine religiös-ethische Bruderschaft oder einen geheimen Mönchsorden, dessen Mitglieder verpflichtet waren, die sogenannte pythagoräische Lebensweise zu führen.

Pythagoras und die Pythagoräer

Pythagoras organisierte in der griechischen Kolonie im Süden der Apenninenhalbinsel eine religiöse und ethische Bruderschaft, etwa einen Mönchsorden, der später Pythagoreische Union genannt wurde. Die Mitglieder der Vereinigung mussten sich an bestimmte Grundsätze halten: erstens nach dem Schönen und Herrlichen streben, zweitens nützlich sein und drittens nach hohem Vergnügen streben.

Das System moralischer und ethischer Regeln, das Pythagoras seinen Schülern vermachte, wurde zu einer Art Moralkodex der pythagoräischen „Goldenen Verse“ zusammengefasst, die in der Epoche der Antike, des Mittelalters und der Renaissance sehr beliebt waren.

Das pythagoräische Studiensystem bestand aus drei Abschnitten:

Lehren über Zahlen - Arithmetik,

Lehren über Figuren - Geometrie,

Lehren über den Aufbau des Universums - Astronomie.

Das von Pythagoras festgelegte Bildungssystem überdauerte viele Jahrhunderte.

Die Schule des Pythagoras hat viel dazu beigetragen, der Geometrie den Charakter einer Wissenschaft zu geben. Das Hauptmerkmal der pythagoreischen Methode war die Kombination von Geometrie mit Arithmetik.

Pythagoras beschäftigte sich viel mit Proportionen und Verläufen und wahrscheinlich auch mit der Ähnlichkeit von Figuren, da ihm die Lösung des Problems zugeschrieben wird: „Konstruieren Sie eine dritte, gleich groß wie eine der Daten und ähnlich der zweiten, basierend auf den gegeben zweistellig.“

Pythagoras und seine Schüler führten das Konzept der polygonalen, freundlichen, vollkommenen Zahlen ein und untersuchten ihre Eigenschaften. Arithmetik als Rechenpraxis interessierte Pythagoras nicht, und er erklärte stolz, dass er "die Arithmetik über die Interessen des Kaufmanns stelle".

Mitglieder der Pythagoräischen Union lebten in vielen Städten Griechenlands.

Die Pythagoräer nahmen auch Frauen in ihre Gesellschaft auf. Die Union blühte mehr als zwanzig Jahre lang auf, und dann begann die Verfolgung ihrer Mitglieder, viele der Studenten wurden getötet.

Es gab viele verschiedene Legenden über den Tod von Pythagoras selbst. Aber die Lehren von Pythagoras und seinen Schülern lebten weiter.

Aus der Entstehungsgeschichte des Satzes des Pythagoras

Es ist derzeit bekannt, dass dieser Satz nicht von Pythagoras entdeckt wurde. Einige glauben jedoch, dass es Pythagoras war, der als erster seinen vollen Beweis erbrachte, während andere ihm dieses Verdienst absprechen. Einige schreiben Pythagoras den Beweis zu, den Euklid im ersten Buch seiner Elemente gibt. Andererseits behauptet Proclus, dass der Beweis in den Elementen Euklid selbst zu verdanken ist. Wie wir sehen können, hat die Geschichte der Mathematik fast keine zuverlässigen konkreten Daten über das Leben von Pythagoras und seine mathematische Tätigkeit.

Beginnen wir unseren historischen Rückblick auf den Satz des Pythagoras mit dem alten China. Hier zieht das mathematische Buch von Chu-pei besondere Aufmerksamkeit auf sich. Dieser Aufsatz sagt Folgendes über das pythagoräische Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5:

"Wenn ein rechter Winkel in seine Bestandteile zerlegt wird, dann ist die Linie, die die Enden seiner Seiten verbindet, 5, wenn die Basis 3 und die Höhe 4 ist."

Es ist sehr einfach, ihre Bauweise zu reproduzieren. Nehmen Sie ein 12 m langes Seil und binden Sie es entlang eines farbigen Streifens in einem Abstand von 3 m daran fest. von einem Ende und 4 Meter vom anderen. Zwischen 3 und 4 Meter langen Seiten wird ein rechter Winkel eingeschlossen.

Die Geometrie war bei den Hindus eng mit dem Kult verbunden. Es ist sehr wahrscheinlich, dass der Hypotenuse-Quadrat-Satz bereits um das 8. Jahrhundert v. Chr. in Indien bekannt war. Neben rein rituellen Vorschriften gibt es Werke geometrisch-theologischer Natur. In diesen Schriften aus dem 4. oder 5. Jahrhundert v. Chr. begegnen wir der Konstruktion eines rechten Winkels aus einem Dreieck mit den Seiten 15, 36, 39.

Im Mittelalter definierte der Satz des Pythagoras die Grenze, wenn nicht des größtmöglichen, so doch zumindest guten mathematischen Wissens. Die charakteristische Zeichnung des Satzes des Pythagoras, die heute manchmal von Schulkindern zum Beispiel in einen Zylinder in einer Robe eines Professors oder eines Mannes verwandelt wird, wurde damals oft als Symbol der Mathematik verwendet.

Abschließend präsentieren wir verschiedene Formulierungen des Satzes des Pythagoras, übersetzt aus dem Griechischen, Lateinischen und Deutschen.

Der Satz von Euklid lautet (wörtliche Übersetzung):

"In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Seiten, die den rechten Winkel überspannen, gleich den Quadraten auf den Seiten, die den rechten Winkel einschließen."

Wie Sie sehen können, gibt es in verschiedenen Ländern und verschiedenen Sprachen unterschiedliche Versionen der Formulierung des bekannten Theorems. Sie wurden zu verschiedenen Zeiten und in verschiedenen Sprachen erstellt und spiegeln die Essenz eines mathematischen Musters wider, dessen Beweis auch mehrere Optionen hat.

Fünf Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen

alte chinesische Beweise

In einer alten chinesischen Zeichnung werden vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Beinen a, b und Hypotenuse c so übereinander gestapelt, dass ihre äußere Kontur ein Quadrat mit der Seite a + b und die innere ein Quadrat mit der Seite c bildet, die darauf aufgebaut ist Hypotenuse

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Beweis von J. Gardfield (1882)

Ordnen wir zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke so an, dass der Schenkel des einen eine Fortsetzung des anderen ist.

Die Fläche des betrachteten Trapezes ergibt sich als Produkt aus der halben Summe der Grundflächen und der Höhe

Andererseits ist die Fläche des Trapezes gleich der Summe der Flächen der erhaltenen Dreiecke:

Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir:

Der Beweis ist einfach

Dieser Beweis wird im einfachsten Fall eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks geführt.

Wahrscheinlich begann das Theorem mit ihm.

Tatsächlich reicht es aus, sich nur die Kachelung gleichschenkliger rechtwinkliger Dreiecke anzusehen, um zu sehen, dass der Satz wahr ist.

Zum Beispiel für das Dreieck ABC: Das auf der Hypotenuse AC aufgebaute Quadrat enthält 4 Anfangsdreiecke, und die auf den Schenkeln aufgebauten Quadrate enthalten zwei. Der Satz ist bewiesen.

Beweis der alten Hindus

Ein Quadrat mit einer Seite (a + b) kann entweder wie in Abb. 12. a, oder wie in fig. 12b. Es ist klar, dass die Teile 1, 2, 3, 4 in beiden Figuren gleich sind. Und wenn Gleiche von Gleichen (Flächen) subtrahiert werden, dann bleiben Gleiche übrig, d.h. c2 = a2 + b2.

Euklids Beweis

Zwei Jahrtausende lang war der Beweis des von Euklid erfundenen Satzes des Pythagoras am gebräuchlichsten. Es ist in seinem berühmten Buch "Beginnings" platziert.

Euklid senkte die Höhe BH vom Scheitelpunkt des rechten Winkels zur Hypotenuse und bewies, dass seine Verlängerung das auf der Hypotenuse fertiggestellte Quadrat in zwei Rechtecke teilt, deren Flächen gleich den Flächen der entsprechenden Quadrate sind, die auf den Beinen gebaut sind.

Die zum Beweis dieses Satzes verwendete Zeichnung wird scherzhaft "Pythagoräische Hose" genannt. Lange Zeit galt er als eines der Symbole der mathematischen Wissenschaft.

Anwendung des Satzes des Pythagoras

Die Bedeutung des Satzes des Pythagoras liegt darin, dass die meisten Sätze der Geometrie aus ihm oder mit seiner Hilfe abgeleitet und viele Probleme gelöst werden können. Darüber hinaus besteht die praktische Bedeutung des Satzes des Pythagoras und seines Umkehrsatzes darin, dass sie verwendet werden können, um die Längen von Segmenten zu ermitteln, ohne die Segmente selbst zu messen. Dies öffnet gleichsam den Weg von einer geraden Linie zu einer Ebene, von einer Ebene zu einem volumetrischen Raum und darüber hinaus. Aus diesem Grund ist der Satz des Pythagoras so wichtig für die Menschheit, die danach strebt, weitere Dimensionen zu entdecken und Technologien in diesen Dimensionen zu schaffen.

Fazit

Der Satz des Pythagoras ist so berühmt, dass es schwierig ist, sich eine Person vorzustellen, die noch nichts davon gehört hat. Ich habe gelernt, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Ich studierte eine Reihe historischer und mathematischer Quellen, einschließlich Informationen im Internet, und stellte fest, dass der Satz des Pythagoras nicht nur wegen seiner Geschichte interessant ist, sondern auch, weil er einen wichtigen Platz im Leben und in der Wissenschaft einnimmt. Dies wird durch die verschiedenen Interpretationen des Textes dieses Theorems, die ich in diesem Aufsatz gegeben habe, und die Art und Weise seiner Beweise belegt.

Der Satz des Pythagoras ist also einer der wichtigsten und, könnte man sagen, der wichtigste Satz der Geometrie. Seine Bedeutung liegt darin, dass die meisten Sätze der Geometrie aus ihm oder mit seiner Hilfe abgeleitet werden können. Der Satz des Pythagoras ist auch insofern bemerkenswert, als er an sich überhaupt nicht offensichtlich ist. Beispielsweise sind die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks direkt auf der Zeichnung ersichtlich. Aber egal, wie oft Sie sich ein rechtwinkliges Dreieck ansehen, Sie werden nie sehen, dass es eine einfache Beziehung zwischen seinen Seiten gibt: c2 = a2 + b2. Daher wird häufig Visualisierung verwendet, um dies zu beweisen. Das Verdienst von Pythagoras war, dass er einen vollständigen wissenschaftlichen Beweis dieses Theorems lieferte. Interessant ist die Persönlichkeit des Wissenschaftlers selbst, dessen Gedächtnis nicht zufällig durch dieses Theorem bewahrt wird. Pythagoras ist ein wunderbarer Redner, Lehrer und Erzieher, der Organisator seiner Schule, die sich auf die Harmonie von Musik und Zahlen, Güte und Gerechtigkeit, Wissen und einen gesunden Lebensstil konzentriert. Er mag uns, fernen Nachfahren, als Vorbild dienen.

Bibliographischer Link

Tumanova S.V. MEHRERE MÖGLICHKEITEN, DEN SATZ DES PYTHAGORISCHEN ZU BEWEISEN // Beginnen Sie in der Wissenschaft. - 2016. - Nr. 2. - S. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (Zugriffsdatum: 28.02.2020).

Der Text der Arbeit wird ohne Bilder und Formeln platziert.
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Einführung

Im Schulkurs Geometrie werden nach dem Satz des Pythagoras nur mathematische Probleme gelöst. Leider wird die Frage der praktischen Anwendung des Satzes des Pythagoras nicht berücksichtigt.

In dieser Hinsicht war das Ziel meiner Arbeit, den Anwendungsbereich des Satzes des Pythagoras herauszufinden.

Gegenwärtig wird allgemein anerkannt, dass der Erfolg der Entwicklung vieler Bereiche der Wissenschaft und Technologie von der Entwicklung verschiedener Bereiche der Mathematik abhängt. Eine wichtige Voraussetzung für die Steigerung der Produktionseffizienz ist die breite Einführung mathematischer Methoden in Technik und Volkswirtschaft, was die Schaffung neuer, effektiver Methoden der qualitativen und quantitativen Forschung zur Lösung von Problemen der Praxis beinhaltet.

Ich werde Beispiele für die praktische Anwendung des Satzes des Pythagoras betrachten. Ich werde nicht versuchen, alle Beispiele für die Verwendung des Theorems zu geben - es wäre kaum möglich. Der Anwendungsbereich des Theorems ist recht umfangreich und kann im Allgemeinen nicht mit ausreichender Vollständigkeit angegeben werden.

Hypothese:

Mit dem Satz des Pythagoras können Sie nicht nur mathematische Probleme lösen.

Für diese Forschungsarbeit wird folgendes Ziel definiert:

Finden Sie den Geltungsbereich des Satzes des Pythagoras heraus.

Basierend auf dem oben genannten Ziel wurden die folgenden Aufgaben identifiziert:

Sammeln Sie Informationen zur praktischen Anwendung des Satzes des Pythagoras in verschiedenen Quellen und bestimmen Sie die Anwendungsgebiete des Satzes.

Erfahren Sie einige historische Informationen über Pythagoras und seinen Satz.

Zeigen Sie die Anwendung des Theorems bei der Lösung historischer Probleme.

Verarbeiten Sie die gesammelten Daten zum Thema.

Ich war mit der Suche und Sammlung von Informationen beschäftigt - ich habe gedrucktes Material studiert, mit Material im Internet gearbeitet und die gesammelten Daten verarbeitet.

Forschungsmethodik:

Das Studium des theoretischen Materials.

Das Studium der Forschungsmethoden.

Praktische Durchführung der Studie.

Kommunikativ (Meßmethode, Befragung).

Projekttyp: Informationsrecherche. Die Arbeit wurde in meiner Freizeit gemacht.

Über Pythagoras.

Pythagoras ist ein altgriechischer Philosoph, Mathematiker und Astronom. Er begründete viele Eigenschaften geometrischer Figuren, entwickelte die mathematische Theorie der Zahlen und ihrer Proportionen. Er leistete einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung der Astronomie und Akustik. Autor der „Goldenen Verse“, Gründer der pythagoräischen Schule in Kroton.

Der Legende nach wurde Pythagoras um 580 v. Chr. geboren. e. auf der Insel Samos in einer wohlhabenden Kaufmannsfamilie. Seine Mutter Pythasis erhielt ihren Namen zu Ehren der Pythia, der Priesterin des Apollo. Die Pythia sagte Mnesarchus und seiner Frau die Geburt eines Sohnes voraus, der Sohn wurde ebenfalls nach der Pythia benannt. Laut vielen alten Zeugnissen war der Junge sagenhaft gutaussehend und zeigte bald seine herausragenden Fähigkeiten. Seine ersten Kenntnisse erhielt er von seinem Vater Mnearchus, einem Juwelier und Edelsteinschnitzer, der davon träumte, dass sein Sohn seine Arbeit fortsetzen würde. Aber das Leben hat anders geurteilt. Der zukünftige Philosoph zeigte eine große Begabung für die Wissenschaften. Unter den Lehrern von Pythagoras waren Pherekides von Syros und der ältere Germodamant. Die erste weckte in dem Jungen die Liebe zur Wissenschaft und die zweite zur Musik, Malerei und Poesie. Anschließend traf Pythagoras den berühmten Philosophen - Mathematiker Thales von Milet und ging auf seinen Rat hin nach Ägypten - dem Zentrum der damaligen Wissenschafts- und Forschungsaktivitäten. Nachdem er 22 Jahre in Ägypten und 12 Jahre in Babylon gelebt hatte, kehrte er auf die Insel Samos zurück, verließ sie dann aus unbekannten Gründen und zog in die süditalienische Stadt Kroton. Hier gründete er die Pythagoräische Schule (Union), die verschiedene Themen der Philosophie und Mathematik studierte. Im Alter von etwa 60 Jahren heiratete Pythagoras Theano, einen seiner Schüler. Sie haben drei Kinder, und alle werden Anhänger ihres Vaters. Die historischen Verhältnisse jener Zeit sind geprägt von einer breiten Bewegung des Demos gegen die Macht der Aristokraten. Auf der Flucht vor den Wellen des Volkszorns zogen Pythagoras und seine Schüler in die Stadt Tarentum. Einer Version zufolge kam Kilon, ein reicher und böser Mann, zu ihm, um sich betrunken der Bruderschaft anzuschließen. Nachdem er abgelehnt worden war, begann Cylon einen Kampf mit Pythagoras. Während des Feuers retteten die Schüler auf ihre Kosten das Leben des Lehrers. Pythagoras bekam Heimweh und beging bald Selbstmord.

Es sei darauf hingewiesen, dass dies eine der Varianten seiner Biographie ist. Die genauen Daten seiner Geburt und seines Todes sind nicht bekannt, viele Fakten seines Lebens sind widersprüchlich. Aber eines ist klar: Dieser Mann lebte und hinterließ seinen Nachkommen ein großes philosophisches und mathematisches Erbe.

Satz des Pythagoras.

Der Satz des Pythagoras ist die wichtigste Aussage der Geometrie. Der Satz wird wie folgt formuliert: Die Fläche eines Quadrats, das auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gebaut ist, ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate, die auf seinen Beinen gebaut sind.

Die Entdeckung dieser Aussage wird Pythagoras von Samos (12. Jahrhundert v. Chr.) zugeschrieben.

Das Studium babylonischer Keilschrifttafeln und alter chinesischer Manuskripte (Kopien noch älterer Manuskripte) zeigte, dass der berühmte Satz lange vor Pythagoras bekannt war, vielleicht mehrere Jahrtausende vor ihm.

(Aber es gibt eine Vermutung, dass Pythagoras ihr einen vollständigen Beweis gegeben hat)

Aber es gibt eine andere Meinung: In der pythagoreischen Schule war es ein wunderbarer Brauch, Pythagoras alle Verdienste zuzuschreiben und sich den Ruhm der Entdecker etwas nicht anzueignen, außer vielleicht in einigen wenigen Fällen.

(Jamblichus – syrisch-griechischsprachiger Schriftsteller, Autor der Abhandlung „Das Leben des Pythagoras.“ (2. Jh. n. Chr.)

So glaubt der deutsche Mathematikhistoriker Kantor, dass die Gleichheit 3 ​​2 + 4 2= 5 2 war

den Ägyptern um 2300 v. Chr. bekannt. e. während der Zeit von König Amenechmet (nach Papyrus 6619 des Berliner Museums). Einige glauben, dass Pythagoras den Satz vollständig bewiesen hat, während andere ihm dieses Verdienst absprechen.

Einige schreiben Pythagoras den Beweis zu, den Euklid in seinen Elementen gegeben hat. Andererseits behauptet Proklos (Mathematiker, 5. Jahrhundert), dass der Beweis in den "Prinzipien" Euklid selbst gehörte, dh die Geschichte der Mathematik hat fast keine zuverlässigen Daten über die mathematische Aktivität von Pythagoras bewahrt. In der Mathematik gibt es vielleicht keinen anderen Satz, der alle Arten von Vergleichen verdient.

In einigen Listen der "Anfänge" von Euklid wurde dieser Satz wegen der Ähnlichkeit der Zeichnung mit einer Biene, einem Schmetterling ("Schmetterlingssatz"), der auf Griechisch Nymphe genannt wurde, als "Nymphensatz" bezeichnet. Die Griechen nannten dieses Wort auch einige andere Göttinnen sowie junge Frauen und Bräute. Der arabische Übersetzer achtete nicht auf die Zeichnung und übersetzte das Wort „Nymphe“ als „Braut“. So entstand der liebevolle Name „The Bride’s Theorem“. Es gibt eine Legende, dass Pythagoras von Samos, als er seinen Satz bewies, den Göttern dankte, indem er 100 Stiere opferte. Daher ein anderer Name - "Satz von hundert Bullen".

Im englischsprachigen Raum hieß es: "Windmill", "peacock tail", "bride's chair", "donkey bridge" (wenn der Schüler sie nicht "überqueren" konnte, dann war er ein echter "Esel")

Im vorrevolutionären Russland wurde die Zeichnung des Satzes des Pythagoras für den Fall eines gleichschenkligen Dreiecks "Pythagoreische Hose" genannt.

Diese "Hosen" entstehen, wenn auf jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks Quadrate nach außen gebaut werden.

Wie viele verschiedene Beweise für den Satz des Pythagoras gibt es?

Seit der Zeit von Pythagoras sind mehr als 350 davon erschienen, der Satz wurde in das Guinness-Buch der Rekorde aufgenommen. Wenn wir die Beweise des Theorems analysieren, verwenden sie wenige grundlegend unterschiedliche Ideen.

Anwendungsbereiche des Theorems.

Es wird häufig beim Lösen verwendet geometrisch Aufgaben.

Mit seiner Hilfe können Sie die Werte der Quadratwurzeln von ganzen Zahlen geometrisch finden:

Dazu bauen wir ein rechtwinkliges Dreieck AOB (Winkel A ist 90°) mit Einheitsschenkeln. Dann ist seine Hypotenuse √2. Dann bauen wir ein einzelnes Segment BC, BC steht senkrecht auf OB, die Länge der Hypotenuse OS=√3 usw.

(Diese Methode findet sich bei Euklid und F. Kirensky).

Aufgaben im Kurs Physik Abitur erfordern Kenntnisse des Satzes des Pythagoras.

Dies sind Aufgaben, die sich auf die Addition von Geschwindigkeiten beziehen.

Achten Sie auf die Folie: eine Aufgabe aus einem Physiklehrbuch der 9. Klasse. Im praktischen Sinne kann es wie folgt formuliert werden: In welchem ​​Winkel zur Flussströmung sollte sich ein Boot mit Passagieren zwischen den Piers bewegen, um den Fahrplan einzuhalten? (Die Piers befinden sich an gegenüberliegenden Ufern des Flusses)

Wenn ein Biathlet auf eine Scheibe schießt, nimmt er eine „Windkorrektur“ vor. Wenn der Wind von rechts weht und der Athlet in einer geraden Linie schießt, geht die Kugel nach links. Um das Ziel zu treffen, müssen Sie das Visier um die Distanz der Geschossverschiebung nach rechts bewegen. Für sie wurden spezielle Tabellen zusammengestellt (basierend auf den Folgen von Genosse Pythagoras). Der Biathlet weiß, in welchem ​​Winkel er das Visier bei bekannter Windgeschwindigkeit verschieben muss.

Astronomie - auch ein breites Anwendungsgebiet des Theorems Weg des Lichtstrahls. Die Abbildung zeigt den Weg eines Lichtstrahls aus EIN nach B und zurück. Der Strahlengang ist zur Verdeutlichung mit einem gekrümmten Pfeil dargestellt, tatsächlich ist der Lichtstrahl gerade.

Wie ist der Strahlengang? Licht bewegt sich auf dem gleichen Weg hin und her. Was ist der halbe Weg, den der Strahl zurücklegt? Wenn wir das Segment markieren AB Symbol l, die Hälfte der Zeit als t, und bezeichnet auch die Lichtgeschwindigkeit durch den Buchstaben c, dann nimmt unsere Gleichung die Form an

c*t=l

Dies ist das Produkt der für die Geschwindigkeit aufgewendeten Zeit!

Versuchen wir nun, dasselbe Phänomen aus einem anderen Bezugsrahmen zu betrachten, beispielsweise von einem Raumfahrzeug, das mit einer Geschwindigkeit an einem Wanderstrahl vorbeifliegt v. Bei einer solchen Beobachtung ändern sich die Geschwindigkeiten aller Körper, und die stationären Körper beginnen sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit zu bewegen v In die andere Richtung. Angenommen, das Schiff bewegt sich nach links. Dann bewegen sich die beiden Punkte, zwischen denen der Hase läuft, mit der gleichen Geschwindigkeit nach rechts. Außerdem, während der Hase seinen Weg läuft, der Ausgangspunkt EIN verschiebt sich und der Strahl kehrt zu einem neuen Punkt zurück C.

Frage: Wie lange wird sich der Punkt bewegen (um sich in Punkt C zu verwandeln), während der Lichtstrahl wandert? Genauer gesagt: was entspricht der Hälfte dieses Offsets? Wenn wir die halbe Laufzeit des Strahls mit dem Buchstaben bezeichnen t", und die halbe Strecke AC Buchstabe d, dann erhalten wir unsere Gleichung in der Form:

v * t" = d

Buchstabe v gibt die Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs an.

Eine andere Frage: Welchen Weg wird der Lichtstrahl in diesem Fall zurücklegen?(Genau genommen, was ist die Hälfte dieses Weges? Wie weit ist das unbekannte Objekt entfernt?)

Wenn wir die halbe Länge des Lichtweges mit dem Buchstaben s bezeichnen, erhalten wir die Gleichung:

c * t" = s

Hier c ist die Lichtgeschwindigkeit, und t" ist die gleiche Zeit wie oben diskutiert.

Betrachten Sie nun das Dreieck ABC. Es ist ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Höhe ist l, die wir eingeführt haben, als wir den Prozess von einem festen Standpunkt aus betrachteten. Da die Bewegung senkrecht ist l, dann konnte es ihr nichts anhaben.

Dreieck ABC bestehend aus zwei Hälften - identische rechtwinklige Dreiecke, deren Hypotenusen AB und BC müssen mit den Beinen verbunden sein nach dem Satz des Pythagoras. Eines der Beine ist d, die wir gerade berechnet haben, und das zweite Bein ist s, durch das das Licht geht, und das wir auch berechnet haben. Wir erhalten die Gleichung:

s 2 = l 2 +d 2

Das ist Satz des Pythagoras!

Phänomen stellare Aberration, 1729 entdeckt, liegt darin begründet, dass alle Sterne der Himmelskugel Ellipsen beschreiben. Die große Halbachse dieser Ellipsen wird von der Erde aus in einem Winkel von 20,5 Grad beobachtet. Dieser Winkel ist mit der Bewegung der Erde um die Sonne mit einer Geschwindigkeit von 29,8 km/h verbunden. Um einen Stern von einer sich bewegenden Erde aus zu beobachten, muss der Teleskoptubus entlang der Bewegung des Sterns nach vorne geneigt werden, da sich das Okular zusammen mit der Erde vorwärts bewegt, während das Licht die Länge des Teleskops durchläuft. Die Addition der Lichtgeschwindigkeiten und der Erde erfolgt vektoriell unter Verwendung der sog.

Pythagoras. U 2 \u003d C 2 + V 2

C ist die Lichtgeschwindigkeit

V-Grundgeschwindigkeit

Teleskoprohr

Ende des 19. Jahrhunderts wurden verschiedene Annahmen über die Existenz menschenähnlicher Marsbewohner gemacht, dies war das Ergebnis der Entdeckungen des italienischen Astronomen Schiaparelli (er öffnete Kanäle auf dem Mars, die lange Zeit als künstlich galten) . Natürlich sorgte die Frage, ob es möglich ist, mit Hilfe von Lichtsignalen mit diesen hypothetischen Wesen zu kommunizieren, für lebhafte Diskussionen. Die Pariser Akademie der Wissenschaften setzte sogar einen Preis von 100.000 Francs für die erste Person fest, die Kontakt mit einem Bewohner eines anderen Himmelskörpers aufnahm; diese Auszeichnung wartet noch auf den Glücklichen. Als Witz, wenn auch nicht völlig unvernünftig, wurde beschlossen, den Bewohnern des Mars in Form des Satzes des Pythagoras ein Signal zu senden.

Es ist nicht bekannt, wie dies zu tun ist; aber es ist für jeden offensichtlich, dass die mathematische Tatsache, die durch den Satz des Pythagoras ausgedrückt wird, überall stattfindet, und deshalb sollten Bewohner einer anderen Welt wie wir ein solches Signal verstehen.

Mobilfunk

Wer in der heutigen Welt benutzt kein Handy? Jeder Mobilfunkteilnehmer ist an seiner Qualität interessiert. Und die Qualität wiederum hängt von der Höhe der Antenne des Mobilfunkanbieters ab. Um zu berechnen, in welchem ​​Radius eine Übertragung empfangen werden kann, verwenden wir der Satz des Pythagoras.

Wie hoch darf die Antenne des Mobilfunkanbieters maximal sein, um eine Übertragung im Umkreis von R=200 km zu empfangen? (Der Radius der Erde beträgt 6380 km.)

Entscheidung:

Lassen AB=x , BC=R=200 km , OC = r = 6380 km.

OB=OA+ABOB=r+x.

Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir Antwort: 2,3 km.

Beim Bau von Häusern und Hütten stellt sich oft die Frage nach der Länge der Sparren für das Dach, wenn die Balken bereits hergestellt wurden. Zum Beispiel: Es ist geplant, ein Satteldach in einem Haus (Querschnittsform) zu bauen. Welche Länge sollten die Sparren haben, wenn die Balken AC=8 m und AB=BF sind.

Entscheidung:

Das Dreieck ADC ist gleichschenklig AB = BC = 4 m., BF = 4 m. Wenn wir annehmen, dass FD = 1,5 m. dann:

A) Vom Dreieck DBC: DB=2,5 m.

B) Aus dem Dreieck ABF:

Fenster

In Gebäuden Gotischer und romanischer Stil Die oberen Teile der Fenster sind durch Steinrippen unterteilt, die nicht nur die Rolle eines Ornaments spielen, sondern auch zur Festigkeit der Fenster beitragen. Die Abbildung zeigt ein einfaches Beispiel für ein solches Fenster im gotischen Stil. Die Konstruktionsmethode ist sehr einfach: Aus der Abbildung lassen sich leicht die Mittelpunkte von sechs Kreisbögen ermitteln, deren Radien gleich sind

Fensterbreite (b) für Außenbögen

halbe Breite, (b/2) für interne Lichtbögen

Es gibt immer noch einen vollständigen Kreis, der die vier Bögen berührt. Da es zwischen zwei konzentrischen Kreisen eingeschlossen ist, ist sein Durchmesser gleich dem Abstand zwischen diesen Kreisen, d.h. b / 2 und daher ist der Radius gleich b / 4. Und dann wird es klar

die Position seines Zentrums.

BEIM Romanische Architektur das in der Abbildung gezeigte Motiv ist oft zu finden. Wenn b immer noch die Breite des Fensters bezeichnet, dann sind die Radien der Halbkreise gleich R = b / 2 und r = b / 4. Der Radius p des inneren Kreises kann aus dem rechtwinkligen Dreieck in Abb. 2 berechnet werden. gepunktete Linie. Die Hypotenuse dieses Dreiecks, die durch den Tangentenpunkt der Kreise verläuft, ist gleich b/4+p, ein Bein ist gleich b/4 und das andere ist b/2-p. Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

(b/4+p) 2 = (b/4) 2 + (b/4-p) 2

b 2 / 16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4 - bp / 2 + p 2,

Teilen durch b und Bringen gleicher Terme erhalten wir:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

In der Forstwirtschaft: Für den Baubedarf werden Stämme zu Bauholz gesägt, wobei die Hauptaufgabe darin besteht, so wenig Abfall wie möglich zu erhalten. Die kleinste Abfallmenge entsteht, wenn der Balken das größte Volumen hat. Was sollte in der Rubrik stehen? Wie aus der Lösung ersichtlich, muss der Querschnitt quadratisch sein, und Satz des Pythagoras und andere Überlegungen lassen eine solche Schlussfolgerung zu.

Bar mit dem größten Volumen

Aufgabe

Aus einem zylindrischen Baumstamm muss ein rechteckiger Balken mit dem größten Volumen geschnitten werden. Welche Form sollte sein Querschnitt haben (Abb. 23)?

Entscheidung

Wenn die Seiten eines rechteckigen Abschnitts x und y sind, dann nach dem Satz des Pythagoras

x 2 + y 2 \u003d d 2,

wobei d der Durchmesser des Stammes ist. Das Volumen des Holzes ist am größten, wenn seine Querschnittsfläche am größten ist, d.h. wenn xy seinen größten Wert erreicht. Aber wenn xy am größten ist, dann wird auch das Produkt x 2 y 2 am größten sein. Da die Summe x 2 + y 2 unverändert bleibt, ist nach dem, was früher bewiesen wurde, das Produkt x 2 y 2 am größten, wenn

x 2 \u003d y 2 oder x \u003d y.

Der Querschnitt des Balkens sollte also quadratisch sein.

Transportaufgaben(die sogenannten Optimierungsaufgaben; Aufgaben, deren Lösung es erlaubt, die Frage zu beantworten: wie man über Mittel verfügt, um großen Nutzen zu erzielen)

Auf den ersten Blick nichts besonderes: Höhe vom Boden bis zur Decke an mehreren Stellen messen, einige Zentimeter abziehen, damit der Schrank nicht an der Decke anliegt. Danach können beim Zusammenbau von Möbeln Schwierigkeiten auftreten. Schließlich bauen Möbelhersteller den Rahmen zusammen, indem sie den Schrank in eine horizontale Position bringen, und wenn der Rahmen zusammengebaut ist, heben sie ihn in eine vertikale Position. Betrachten Sie die Seitenwand des Schranks. Die Höhe des Schranks sollte 10 cm geringer sein als der Abstand vom Boden zur Decke, sofern dieser Abstand 2500 mm nicht überschreitet. Und die Tiefe des Schranks beträgt 700 mm. Warum 10 cm und nicht 5 cm oder 7, und was hat der Satz des Pythagoras damit zu tun?

Also: Seitenwand 2500-100=2400(mm) - die maximale Höhe der Struktur.

Die Seitenwand muss beim Anheben des Rahmens sowohl in der Höhe als auch diagonal frei passieren. Von der Satz des Pythagoras

AC \u003d √ AB 2 + BC 2

AC= √ 2400 2 + 700 2 = 2500 (mm)

Was passiert, wenn die Schrankhöhe um 50 mm reduziert wird?

AC= √ 2450 2 + 700 2 = 2548 (mm)

Diagonale 2548 mm. Sie können also keinen Schrank aufstellen (Sie können die Decke ruinieren).

Blitzableiter.

Es ist bekannt, dass ein Blitzableiter alle Gegenstände vor Blitzen schützt, deren Abstand von seiner Basis seine doppelte Höhe nicht überschreitet. Es ist notwendig, die optimale Position des Blitzableiters auf einem Satteldach zu bestimmen, indem die niedrigste verfügbare Höhe bereitgestellt wird.

Nach dem Satz des Pythagoras h 2 ≥ ein 2 +b 2 bedeutet h≥(a 2 +b 2) 1/2

In ihrem Sommerhaus muss dringend ein Gewächshaus für Setzlinge gebaut werden.

Von den Brettern ein Quadrat 1m1m niedergeschlagen. Es gibt Reste einer Folie von 1,5m1,5m. Auf welcher Höhe in der Mitte des Quadrats soll die Schiene befestigt werden, damit die Folie sie vollständig abdeckt?

1) Diagonale des Gewächshauses d == 1,4;0,7

2) Filmdiagonale d 1= 2,12 1,06

3) Schienenhöhe x= 0,7

Fazit

Als Ergebnis der Recherche habe ich einige Anwendungsgebiete des Satzes des Pythagoras herausgefunden. Zu diesem Thema habe ich viel Material aus literarischen Quellen und dem Internet gesammelt und aufbereitet. Ich habe einige historische Informationen über Pythagoras und seinen Satz studiert. Ja, mit dem Satz des Pythagoras lassen sich nicht nur mathematische Probleme lösen. Der Satz des Pythagoras hat seine Anwendung im Bauwesen und in der Architektur, im Mobilfunk und in der Literatur gefunden.

Studium und Analyse von Informationsquellen zum Satz des Pythagoras

zeigte, dass:

a) Die ausschließliche Aufmerksamkeit von Mathematikern und Mathematikern für den Satz beruht auf seiner Einfachheit, Schönheit und Bedeutung;

b) der Satz des Pythagoras dient seit vielen Jahrhunderten als Antrieb für interessante und wichtige mathematische Entdeckungen (Satz von Fermat, Relativitätstheorie von Einstein);

in) der Satz des Pythagoras - ist die Verkörperung der universellen Sprache der Mathematik, die auf der ganzen Welt gültig ist;

G) der Anwendungsbereich des Theorems ist recht umfangreich und kann im Allgemeinen nicht mit ausreichender Vollständigkeit angegeben werden;

d) begeistern die Geheimnisse des Satzes des Pythagoras die Menschheit weiterhin, und daher erhält jeder von uns die Chance, an ihrer Enthüllung beteiligt zu sein.

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Der Satz des Pythagoras sagt:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Quadrat der Hypotenuse:

a 2 + b 2 = c 2,

• a und b- Beine bilden einen rechten Winkel.
• mit ist die Hypotenuse des Dreiecks.

Formeln des Satzes des Pythagoras

• a = \sqrt(c^(2) - b^(2))
• b = \sqrt (c^(2) - a^(2))
• c = \sqrt (a^(2) + b^(2))

Beweis des Satzes des Pythagoras

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks wird nach folgender Formel berechnet:

S = \frac(1)(2)ab

Um die Fläche eines beliebigen Dreiecks zu berechnen, lautet die Flächenformel:

• p- Halbperimeter. p=\frac(1)(2)(a+b+c) ,
• r ist der Radius des Inkreises. Für ein Rechteck gilt r=\frac(1)(2)(a+b-c).

Dann setzen wir die rechten Seiten beider Formeln für die Fläche eines Dreiecks gleich:

\frac(1)(2) ab = \frac(1)(2)(a+b+c) \frac(1)(2)(a+b-c)

2 ab = (a+b+c) (a+b-c)

2 ab = \left((a+b)^(2) -c^(2) \right)

2ab = a^(2)+2ab+b^(2)-c^(2)

0=a^(2)+b^(2)-c^(2)

c^(2) = a^(2)+b^(2)

Satz des umgekehrten Pythagoras:

Wenn das Quadrat einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten ist, dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck. Das heißt, für jedes Tripel positiver Zahlen ein, b und c, so dass

a 2 + b 2 = c 2,

Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen a und b und Hypotenuse c.

Satz des Pythagoras- einer der grundlegenden Sätze der euklidischen Geometrie, der die Beziehung zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks festlegt. Es wurde von dem Wissenschaftler Mathematiker und Philosoph Pythagoras bewiesen.

Die Bedeutung des Theorems, dass es verwendet werden kann, um andere Theoreme zu beweisen und Probleme zu lösen.

Zusätzliches Material:

In einer Sache können Sie hundertprozentig sicher sein, dass jeder Erwachsene auf die Frage, was das Quadrat der Hypotenuse ist, mutig antworten wird: „Die Summe der Quadrate der Beine.“ Dieses Theorem ist in den Köpfen jeder gebildeten Person fest verankert, aber es reicht aus, jemanden zu bitten, es zu beweisen, und dann können Schwierigkeiten auftreten. Erinnern wir uns daher und betrachten verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen.

Kurzer Überblick über die Biographie

Der Satz des Pythagoras ist fast jedem bekannt, aber aus irgendeinem Grund ist die Biografie der Person, die ihn erstellt hat, nicht so beliebt. Wir werden es reparieren. Bevor Sie also die verschiedenen Möglichkeiten zum Beweis des Satzes des Pythagoras studieren, müssen Sie sich kurz mit seiner Persönlichkeit vertraut machen.

Pythagoras - ein Philosoph, Mathematiker, Denker, ursprünglich aus Heute ist es sehr schwierig, seine Biographie von den Legenden zu unterscheiden, die sich in Erinnerung an diesen großen Mann entwickelt haben. Aber wie aus den Schriften seiner Anhänger hervorgeht, wurde Pythagoras von Samos auf der Insel Samos geboren. Sein Vater war ein gewöhnlicher Steinmetz, aber seine Mutter stammte aus einer Adelsfamilie.

Der Legende nach wurde die Geburt von Pythagoras von einer Frau namens Pythia vorhergesagt, zu deren Ehren der Junge benannt wurde. Nach ihrer Vorhersage sollte ein geborener Junge der Menschheit viele Vorteile und Gutes bringen. Was er tatsächlich tat.

Die Geburt eines Theorems

In seiner Jugend zog Pythagoras nach Ägypten, um dort die berühmten ägyptischen Weisen zu treffen. Nach einem Treffen mit ihnen wurde er zum Studium zugelassen, wo er alle großen Errungenschaften der ägyptischen Philosophie, Mathematik und Medizin lernte.

Wahrscheinlich ließ sich Pythagoras in Ägypten von der Majestät und Schönheit der Pyramiden inspirieren und schuf seine große Theorie. Dies mag die Leser schockieren, aber moderne Historiker glauben, dass Pythagoras seine Theorie nicht bewiesen hat. Aber er gab sein Wissen nur an seine Anhänger weiter, die später alle notwendigen mathematischen Berechnungen anstellten.

Wie dem auch sei, heute ist nicht eine Technik zum Beweis dieses Satzes bekannt, sondern gleich mehrere. Heute können wir nur vermuten, wie genau die alten Griechen ihre Berechnungen anstellten, daher werden wir hier verschiedene Möglichkeiten zum Beweis des Satzes des Pythagoras betrachten.

Satz des Pythagoras

Bevor Sie mit Berechnungen beginnen, müssen Sie herausfinden, welche Theorie Sie beweisen wollen. Der Satz des Pythagoras lautet: „In einem Dreieck, in dem einer der Winkel 90° beträgt, ist die Summe der Quadrate der Schenkel gleich dem Quadrat der Hypotenuse.“

Insgesamt gibt es 15 verschiedene Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Dies ist eine ziemlich große Anzahl, also achten wir auf die beliebtesten von ihnen.

Methode eins

Lassen Sie uns zuerst definieren, was wir haben. Diese Daten gelten auch für andere Möglichkeiten, den Satz des Pythagoras zu beweisen, also sollten Sie sich sofort alle verfügbaren Notationen merken.

Angenommen, ein rechtwinkliges Dreieck ist gegeben, mit Beinen a, b und Hypotenuse gleich c. Die erste Beweismethode basiert darauf, dass aus einem rechtwinkligen Dreieck ein Quadrat gezogen werden muss.

Dazu müssen Sie ein dem Bein entsprechendes Segment in die Beinlänge a einzeichnen und umgekehrt. Es sollten also zwei gleiche Seiten des Quadrats herauskommen. Es bleiben nur noch zwei parallele Linien zu zeichnen, und das Quadrat ist fertig.

Innerhalb der resultierenden Figur müssen Sie ein weiteres Quadrat mit einer Seite zeichnen, die der Hypotenuse des ursprünglichen Dreiecks entspricht. Dazu müssen Sie von den Eckpunkten ac und sv zwei parallele Segmente gleich c zeichnen. So erhalten wir drei Seiten des Quadrats, von denen eine die Hypotenuse des ursprünglichen rechtwinkligen Dreiecks ist. Es bleibt nur noch das vierte Segment zu zeichnen.

Anhand der resultierenden Abbildung können wir schließen, dass die Fläche des äußeren Quadrats (a + b) 2 ist. Wenn Sie in die Figur hineinschauen, sehen Sie, dass sie neben dem inneren Quadrat vier rechtwinklige Dreiecke hat. Die Fläche von jedem ist 0,5 av.

Daher ist die Fläche: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Daher (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Und daher mit 2 \u003d a 2 + in 2

Der Satz ist bewiesen.

Methode zwei: ähnliche Dreiecke

Diese Formel zum Beweis des Satzes des Pythagoras wurde aufgrund einer Aussage aus dem Abschnitt Geometrie über ähnliche Dreiecke hergeleitet. Es besagt, dass das Bein eines rechtwinkligen Dreiecks der Mittelwert ist, der proportional zu seiner Hypotenuse und dem Hypotenuse-Segment ist, das von der Spitze eines Winkels von 90 ° ausgeht.

Die Ausgangsdaten bleiben gleich, also fangen wir gleich mit dem Beweis an. Zeichnen wir eine Strecke CD senkrecht zur Seite AB. Basierend auf der obigen Aussage sind die Beine der Dreiecke gleich:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Um die Frage zu beantworten, wie der Satz des Pythagoras zu beweisen ist, muss der Beweis durch Quadrieren beider Ungleichungen geführt werden.

AC 2 \u003d AB * HÖLLE und SV 2 \u003d AB * DV

Jetzt müssen wir die resultierenden Ungleichungen addieren.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), wobei AD + DV \u003d AB

Es stellt sich heraus, dass:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Und deshalb:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Der Beweis des Satzes des Pythagoras und verschiedene Lösungsansätze erfordern eine vielseitige Herangehensweise an dieses Problem. Diese Option ist jedoch eine der einfachsten.

Eine andere Berechnungsmethode

Die Beschreibung verschiedener Möglichkeiten zum Beweis des Satzes von Pythagoras sagt vielleicht nichts aus, bis Sie anfangen, selbst zu üben. Viele Methoden beinhalten nicht nur mathematische Berechnungen, sondern auch die Konstruktion neuer Figuren aus dem ursprünglichen Dreieck.

In diesem Fall muss ein weiteres rechtwinkliges Dreieck VSD vom Bein des Flugzeugs aus vervollständigt werden. Somit gibt es jetzt zwei Dreiecke mit einem gemeinsamen Bein BC.

Wenn man weiß, dass die Flächen ähnlicher Figuren ein Verhältnis haben wie die Quadrate ihrer ähnlichen linearen Abmessungen, dann:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (von 2 bis 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

von 2 bis 2 \u003d eine 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Da diese Variante aus verschiedenen Methoden zum Beweis des Satzes des Pythagoras für die Klasse 8 kaum geeignet ist, können Sie die folgende Technik anwenden.

Der einfachste Weg, den Satz des Pythagoras zu beweisen. Bewertungen

Historiker glauben, dass diese Methode erstmals im antiken Griechenland zum Beweis eines Satzes verwendet wurde. Es ist das einfachste, da es absolut keine Berechnungen erfordert. Wenn Sie ein Bild richtig zeichnen, ist der Beweis für die Aussage, dass a 2 + b 2 \u003d c 2 deutlich sichtbar ist.

Die Bedingungen für diese Methode unterscheiden sich geringfügig von der vorherigen. Um den Satz zu beweisen, nehmen wir an, dass das rechtwinklige Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Wir nehmen die Hypotenuse AC als Seite des Quadrats und zeichnen seine drei Seiten. Außerdem müssen im resultierenden Quadrat zwei diagonale Linien gezeichnet werden. So erhalten Sie darin vier gleichschenklige Dreiecke.

Zu den Beinen AB und CB müssen Sie auch ein Quadrat zeichnen und in jedes eine diagonale Linie zeichnen. Wir zeichnen die erste Linie vom Scheitelpunkt A, die zweite - von C.

Jetzt müssen Sie sich das resultierende Bild genau ansehen. Da es vier Dreiecke auf der Hypotenuse AC gibt, die gleich der ursprünglichen sind, und zwei auf den Beinen, zeigt dies die Richtigkeit dieses Theorems.

Übrigens, dank dieser Methode, den Satz des Pythagoras zu beweisen, wurde der berühmte Satz geboren: "Pythagoreische Hosen sind in alle Richtungen gleich."

Beweis von J. Garfield

James Garfield ist der 20. Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika. Er hat nicht nur als Herrscher der Vereinigten Staaten seine Spuren in der Geschichte hinterlassen, sondern war auch ein begabter Autodidakt.

Zu Beginn seiner Karriere war er gewöhnlicher Lehrer an einer Volksschule, wurde aber bald Direktor einer der höheren Bildungseinrichtungen. Der Wunsch nach Selbstentwicklung erlaubte ihm, eine neue Beweistheorie des Satzes des Pythagoras anzubieten. Der Satz und ein Beispiel seiner Lösung lauten wie folgt.

Zuerst müssen Sie zwei rechtwinklige Dreiecke auf ein Blatt Papier zeichnen, sodass das Bein eines von ihnen eine Fortsetzung des zweiten ist. Die Ecken dieser Dreiecke müssen verbunden werden, um ein Trapez zu erhalten.

Wie Sie wissen, ist die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt aus der Hälfte der Summe seiner Grundflächen und der Höhe.

S=a+b/2 * (a+b)

Wenn wir das resultierende Trapez als eine Figur betrachten, die aus drei Dreiecken besteht, kann seine Fläche wie folgt ermittelt werden:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Jetzt müssen wir die beiden ursprünglichen Ausdrücke ausgleichen

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + in 2

Über den Satz des Pythagoras und wie man ihn beweist, kann man mehr als einen Band eines Lehrbuchs schreiben. Aber macht es Sinn, wenn dieses Wissen nicht in die Praxis umgesetzt werden kann?

Praktische Anwendung des Satzes des Pythagoras

Leider sehen moderne Schullehrpläne die Verwendung dieses Theorems nur bei geometrischen Problemen vor. Absolventen verlassen bald die Schulmauern, ohne zu wissen, wie sie ihr Wissen und Können in der Praxis anwenden können.

Tatsächlich kann jeder den Satz des Pythagoras in seinem täglichen Leben anwenden. Und das nicht nur bei beruflichen Tätigkeiten, sondern auch bei der normalen Hausarbeit. Betrachten wir mehrere Fälle, in denen der Satz des Pythagoras und die Methoden seines Beweises äußerst notwendig sein können.

Zusammenhang von Theorem und Astronomie

Es scheint, wie Sterne und Dreiecke auf Papier verbunden werden können. Tatsächlich ist die Astronomie ein wissenschaftliches Gebiet, in dem der Satz des Pythagoras weit verbreitet ist.

Betrachten Sie zum Beispiel die Bewegung eines Lichtstrahls im Raum. Wir wissen, dass sich Licht in beide Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreitet. Wir nennen die Flugbahn AB, entlang der sich der Lichtstrahl bewegt l. Und die Hälfte der Zeit, die das Licht braucht, um von Punkt A nach Punkt B zu gelangen, sagen wir mal t. Und die Strahlgeschwindigkeit - c. Es stellt sich heraus, dass: c*t=l

Wenn Sie genau diesen Strahl von einer anderen Ebene aus betrachten, beispielsweise von einem Raumschiff, das sich mit einer Geschwindigkeit v bewegt, dann ändert sich bei einer solchen Beobachtung der Körper ihre Geschwindigkeit. In diesem Fall bewegen sich auch stationäre Elemente mit einer Geschwindigkeit v in die entgegengesetzte Richtung.

Nehmen wir an, der Comic-Liner segelt nach rechts. Dann bewegen sich die Punkte A und B, zwischen denen der Strahl eilt, nach links. Wenn sich der Strahl von Punkt A nach Punkt B bewegt, hat Punkt A außerdem Zeit, sich zu bewegen, und dementsprechend kommt das Licht bereits an einem neuen Punkt C an. Um die halbe Entfernung zu finden, um die sich Punkt A verschoben hat, müssen Sie die multiplizieren Geschwindigkeit des Liners um die halbe Laufzeit des Strahls (t").

Und um herauszufinden, wie weit ein Lichtstrahl in dieser Zeit reisen könnte, müssen Sie den halben Weg der neuen Buche s bezeichnen und erhalten den folgenden Ausdruck:

Wenn wir uns vorstellen, dass die Lichtpunkte C und B sowie der Raumliner die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks sind, dann wird das Segment von Punkt A zum Liner es in zwei rechtwinklige Dreiecke teilen. Daher können Sie dank des Satzes des Pythagoras die Entfernung ermitteln, die ein Lichtstrahl zurücklegen könnte.

Dieses Beispiel ist natürlich nicht das erfolgreichste, da nur wenige das Glück haben, es in der Praxis auszuprobieren. Daher betrachten wir profanere Anwendungen dieses Theorems.

Reichweite der mobilen Signalübertragung

Smartphones sind aus dem modernen Leben nicht mehr wegzudenken. Aber was würden sie nützen, wenn sie die Teilnehmer nicht per Mobilfunk verbinden könnten?!

Die Qualität der Mobilfunkkommunikation hängt direkt von der Höhe ab, in der sich die Antenne des Mobilfunkbetreibers befindet. Um zu berechnen, wie weit von einem Mobilfunkmast entfernt ein Telefon ein Signal empfangen kann, können Sie den Satz des Pythagoras anwenden.

Angenommen, Sie müssen die ungefähre Höhe eines stationären Turms ermitteln, damit er ein Signal in einem Umkreis von 200 Kilometern ausbreiten kann.

AB (Turmhöhe) = x;

BC (Radius der Signalübertragung) = 200 km;

OS (Globusradius) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Unter Anwendung des Satzes des Pythagoras finden wir heraus, dass die Mindesthöhe des Turms 2,3 Kilometer betragen sollte.

Satz des Pythagoras im Alltag

Seltsamerweise kann der Satz des Pythagoras auch in alltäglichen Angelegenheiten nützlich sein, wie zum Beispiel bei der Bestimmung der Höhe eines Schranks. Auf den ersten Blick erübrigt sich eine derart aufwändige Berechnung, da Sie einfach mit einem Maßband Maß nehmen können. Viele sind jedoch überrascht, warum gewisse Probleme während des Montageprozesses auftreten, wenn alle Messungen mehr als genau durchgeführt wurden.

Tatsache ist, dass der Kleiderschrank in horizontaler Position montiert wird und sich erst dann erhebt und an der Wand installiert wird. Daher muss die Seitenwand des Schranks beim Anheben der Struktur sowohl entlang der Höhe als auch diagonal des Raums frei verlaufen.

Angenommen, es gibt einen Kleiderschrank mit einer Tiefe von 800 mm. Abstand vom Boden zur Decke - 2600 mm. Ein erfahrener Möbelbauer wird sagen, dass die Höhe des Schranks 126 mm geringer sein sollte als die Höhe des Raums. Aber warum genau 126 mm? Schauen wir uns ein Beispiel an.

Lassen Sie uns bei idealen Abmessungen des Schranks die Funktion des Satzes des Pythagoras überprüfen:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - alles läuft zusammen.

Nehmen wir an, die Höhe des Schranks beträgt nicht 2474 mm, sondern 2505 mm. Dann:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Daher ist dieser Schrank nicht für die Installation in diesem Raum geeignet. Denn beim Anheben in eine senkrechte Position kann es zu Schäden am Körper kommen.

Vielleicht können wir, nachdem wir verschiedene Möglichkeiten zum Beweis des Satzes von Pythagoras durch verschiedene Wissenschaftler betrachtet haben, zu dem Schluss kommen, dass er mehr als wahr ist. Jetzt können Sie die erhaltenen Informationen in Ihrem täglichen Leben verwenden und absolut sicher sein, dass alle Berechnungen nicht nur nützlich, sondern auch korrekt sind.