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Beim Lösen vieler Mathe Probleme, insbesondere vor der 10. Klasse, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Solche Probleme umfassen beispielsweise lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, Bruchgleichungen und Gleichungen, die sich auf quadratische reduzieren. Das Prinzip der erfolgreichen Lösung jeder der genannten Aufgaben lautet wie folgt: Es muss festgestellt werden, welche Art von Aufgabe gelöst wird, und sich an die erforderliche Abfolge von Aktionen erinnern, die zum gewünschten Ergebnis führen, d. H. beantworten und diesen Schritten folgen.

Offensichtlich hängt der Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon ab, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird, wie richtig die Reihenfolge aller Schritte ihrer Lösung wiedergegeben wird. In diesem Fall ist es natürlich notwendig, die Fähigkeiten zu haben, identische Transformationen und Berechnungen durchzuführen.

Eine andere Situation tritt auf mit trigonometrische Gleichungen. Es ist nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Schwierigkeiten ergeben sich bei der Bestimmung der Handlungsabfolge, die zur richtigen Antwort führen würde.

Es ist manchmal schwierig, seinen Typ durch das Auftreten einer Gleichung zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um die trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen wir versuchen:

1. Bringe alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf "die gleichen Winkel";
2. Bringe die Gleichung auf "die gleichen Funktionen";
3. faktorisiere die linke Seite der Gleichung usw.

In Betracht ziehen grundlegende Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Drücken Sie die trigonometrische Funktion durch bekannte Komponenten aus.

Schritt 2 Funktionsargument mithilfe von Formeln finden:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ´Z.

Sünde x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3 Finden Sie eine unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösung.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n ä Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n ´ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

II. Variable Substitution

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie die Gleichung bezüglich einer der trigonometrischen Funktionen in eine algebraische Form.

Schritt 2 Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie gegebenenfalls Einschränkungen für t ein).

Schritt 3 Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4 Führen Sie eine umgekehrte Substitution durch.

Schritt 5 Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Lösung.

1) 2(1 - Sünde 2 (x/2)) - 5 Sünde (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2 erfüllt die Bedingung |t| nicht ≤ 1.

4) Sünde (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ´ Z;

x = π + 4πn, n ´ Z.

Antwort: x = π + 4πn, n ´ Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsschema

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare, indem Sie die Formeln zur Leistungsreduzierung verwenden:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos2x + cos2x = 5/4.

Lösung.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ´ Z;

x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung in die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2 Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Schritt 3 Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Lösung.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Sei also tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, also

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k ´ Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n ´ Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Verfahren zum Transformieren einer Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Formeln

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung unter Verwendung aller Arten von trigonometrischen Formeln in eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst werden kann.

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Lösung.

1) (Sünde x + Sünde 3x) + Sünde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) Sünde 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Antwort: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Die Fähigkeit und Fähigkeiten, trigonometrische Gleichungen zu lösen, sind sehr gut wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl auf Seiten des Schülers als auch des Lehrers.

Mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen sind viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. verbunden.Der Prozess der Lösung solcher Probleme enthält sozusagen viele der Kenntnisse und Fähigkeiten, die beim Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen nehmen einen wichtigen Platz im Prozess des Mathematikunterrichts und der Persönlichkeitsentwicklung im Allgemeinen ein.

Haben Sie irgendwelche Fragen? Sie wissen nicht, wie man trigonometrische Gleichungen löst?
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Beim Lösen vieler Mathe Probleme, insbesondere vor der 10. Klasse, ist die Reihenfolge der durchgeführten Aktionen, die zum Ziel führen, klar definiert. Solche Probleme umfassen beispielsweise lineare und quadratische Gleichungen, lineare und quadratische Ungleichungen, Bruchgleichungen und Gleichungen, die sich auf quadratische reduzieren. Das Prinzip der erfolgreichen Lösung jeder der genannten Aufgaben lautet wie folgt: Es muss festgestellt werden, welche Art von Aufgabe gelöst wird, und sich an die erforderliche Abfolge von Aktionen erinnern, die zum gewünschten Ergebnis führen, d. H. beantworten und diesen Schritten folgen.

Offensichtlich hängt der Erfolg oder Misserfolg bei der Lösung eines bestimmten Problems hauptsächlich davon ab, wie richtig die Art der zu lösenden Gleichung bestimmt wird, wie richtig die Reihenfolge aller Schritte ihrer Lösung wiedergegeben wird. In diesem Fall ist es natürlich notwendig, die Fähigkeiten zu haben, identische Transformationen und Berechnungen durchzuführen.

Eine andere Situation tritt auf mit trigonometrische Gleichungen. Es ist nicht schwer festzustellen, dass die Gleichung trigonometrisch ist. Schwierigkeiten ergeben sich bei der Bestimmung der Handlungsabfolge, die zur richtigen Antwort führen würde.

Es ist manchmal schwierig, seinen Typ durch das Auftreten einer Gleichung zu bestimmen. Und ohne die Art der Gleichung zu kennen, ist es fast unmöglich, aus mehreren Dutzend trigonometrischen Formeln die richtige auszuwählen.

Um die trigonometrische Gleichung zu lösen, müssen wir versuchen:

1. Bringe alle in der Gleichung enthaltenen Funktionen auf "die gleichen Winkel";
2. Bringe die Gleichung auf "die gleichen Funktionen";
3. faktorisiere die linke Seite der Gleichung usw.

In Betracht ziehen grundlegende Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen.

I. Reduktion auf die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Drücken Sie die trigonometrische Funktion durch bekannte Komponenten aus.

Schritt 2 Funktionsargument mithilfe von Formeln finden:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ´Z.

Sünde x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Schritt 3 Finden Sie eine unbekannte Variable.

Beispiel.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Lösung.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n ä Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n ´ Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

Antwort: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n ´ Z.

II. Variable Substitution

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie die Gleichung bezüglich einer der trigonometrischen Funktionen in eine algebraische Form.

Schritt 2 Bezeichnen Sie die resultierende Funktion mit der Variablen t (führen Sie gegebenenfalls Einschränkungen für t ein).

Schritt 3 Schreiben Sie die resultierende algebraische Gleichung auf und lösen Sie sie.

Schritt 4 Führen Sie eine umgekehrte Substitution durch.

Schritt 5 Lösen Sie die einfachste trigonometrische Gleichung.

Beispiel.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Lösung.

1) 2(1 - Sünde 2 (x/2)) - 5 Sünde (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Sei sin (x/2) = t, wobei |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 oder e = -3/2 erfüllt die Bedingung |t| nicht ≤ 1.

4) Sünde (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n ´ Z;

x = π + 4πn, n ´ Z.

Antwort: x = π + 4πn, n ´ Z.

III. Methode zur Reduktion der Gleichungsreihenfolge

Lösungsschema

Schritt 1. Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine lineare, indem Sie die Formeln zur Leistungsreduzierung verwenden:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit den Methoden I und II.

Beispiel.

cos2x + cos2x = 5/4.

Lösung.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n ´ Z;

x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

Antwort: x = ±π/6 + πn, n ´ Z.

IV. Homogene Gleichungen

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung in die Form

a) a sin x + b cos x = 0 (homogene Gleichung ersten Grades)

oder zur Aussicht

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (homogene Gleichung zweiten Grades).

Schritt 2 Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

und erhalte die Gleichung für tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Schritt 3 Lösen Sie die Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Lösung.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Sei also tg x = t

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 oder t = -4, also

tg x = 1 oder tg x = -4.

Aus der ersten Gleichung x = π/4 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = -arctg 4 + πk, k ´ Z.

Antwort: x = π/4 + πn, n ´ Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Verfahren zum Transformieren einer Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Formeln

Lösungsschema

Schritt 1. Bringen Sie diese Gleichung unter Verwendung aller Arten von trigonometrischen Formeln in eine Gleichung, die mit den Methoden I, II, III, IV gelöst werden kann.

Schritt 2 Lösen Sie die resultierende Gleichung mit bekannten Methoden.

Beispiel.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Lösung.

1) (Sünde x + Sünde 3x) + Sünde 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) Sünde 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 oder 2cos x + 1 = 0;

Aus der ersten Gleichung 2x = π/2 + πn, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung cos x = -1/2.

Es gilt x = π/4 + πn/2, n ´ Z; aus der zweiten Gleichung x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Als Ergebnis x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Antwort: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k ´ Z.

Die Fähigkeit und Fähigkeiten, trigonometrische Gleichungen zu lösen, sind sehr gut wichtig, ihre Entwicklung erfordert erhebliche Anstrengungen, sowohl auf Seiten des Schülers als auch des Lehrers.

Mit der Lösung trigonometrischer Gleichungen sind viele Probleme der Stereometrie, Physik usw. verbunden.Der Prozess der Lösung solcher Probleme enthält sozusagen viele der Kenntnisse und Fähigkeiten, die beim Studium der Elemente der Trigonometrie erworben werden.

Trigonometrische Gleichungen nehmen einen wichtigen Platz im Prozess des Mathematikunterrichts und der Persönlichkeitsentwicklung im Allgemeinen ein.

Haben Sie irgendwelche Fragen? Sie wissen nicht, wie man trigonometrische Gleichungen löst?
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Komplexere trigonometrische Gleichungen

Gleichungen

Sünde x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

sind die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. In diesem Abschnitt werden wir anhand konkreter Beispiele komplexere trigonometrische Gleichungen betrachten. Ihre Lösung reduziert sich in der Regel auf die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen.

Beispiel 1 . löse die Gleichung

Sünde 2 X= cos X Sünde 2 x.

Wenn wir alle Terme dieser Gleichung auf die linke Seite übertragen und den resultierenden Ausdruck in Faktoren zerlegen, erhalten wir:

Sünde 2 X(1 - cos X) = 0.

Das Produkt zweier Ausdrücke ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist und der andere einen beliebigen numerischen Wert annimmt, sofern er definiert ist.

Wenn ein Sünde 2 X = 0 , dann 2 X=n π ; X = π / 2n.

Wenn 1 - cos X = 0 , dann cos X = 1; X = 2kπ .

Wir haben also zwei Gruppen von Wurzeln: X = π / 2n; X = 2kπ . Die zweite Gruppe von Wurzeln ist offensichtlich in der ersten enthalten, da für n = 4k der Ausdruck X = π / 2n wird
X = 2kπ .

Daher kann die Antwort in einer Formel geschrieben werden: X = π / 2n, wo n-jede ganze Zahl.

Beachten Sie, dass diese Gleichung nicht durch Reduktion um sin 2 gelöst werden konnte x. In der Tat würden wir nach der Reduktion 1 - cos x = 0 erhalten, woher X= 2k π . So würden wir zum Beispiel einige Wurzeln verlieren π / 2 , π , 3π / 2 .

BEISPIEL 2. löse die Gleichung

Ein Bruch ist nur dann Null, wenn sein Zähler Null ist.
Deshalb Sünde 2 X = 0 , woher 2 X=n π ; X = π / 2n.

Aus diesen Werten X Als irrelevant sollten diejenigen Werte verworfen werden, für die SündeX verschwindet (Brüche mit Nullnenner sind bedeutungslos: Division durch Null ist nicht definiert). Diese Werte sind Zahlen, die Vielfache von sind π . In der Formel
X = π / 2n sie werden sogar erhalten n. Daher sind die Wurzeln dieser Gleichung die Zahlen

X = π / 2 (2k + 1),

wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.

Beispiel 3 . löse die Gleichung

2 Sünde 2 X+ 7 cos x - 5 = 0.

Äußern Sünde 2 X durch cosx : Sünde 2 X = 1 - cos 2x . Dann kann diese Gleichung umgeschrieben werden als

2 (1 - cos 2 x) + 7 cos x - 5 = 0 , oder

2 cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

bezeichnet cosx durch bei, kommen wir zur quadratischen Gleichung

2 Jahre 2 - 7 Jahre + 3 = 0,

deren Wurzeln die Zahlen 1 / 2 und 3 sind. Daher entweder cos x= 1 / 2 oder cos X= 3. Letzteres ist jedoch unmöglich, da der Absolutwert des Kosinus eines beliebigen Winkels 1 nicht überschreitet.

Das bleibt anzuerkennen cos x = 1 / 2 , wo

x = ± 60° + 360° k.

Beispiel 4 . löse die Gleichung

2 Sünde X+ 3 cos x = 6.

Weil Sünde x und cos x 1 im absoluten Wert nicht überschreiten, dann der Ausdruck
2 Sünde X+ 3 cos x kann keine Werte größer als annehmen 5 . Daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Beispiel 5 . löse die Gleichung

Sünde X+ cos x = 1

Indem wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, erhalten wir:

Sünde 2 X+ 2 Sünde x cos x+ cos2 x = 1,

aber Sünde 2 X + cos 2 x = 1 . Deshalb 2 Sünde x cos x = 0 . Wenn ein Sünde x = 0 , dann X = nπ ; wenn
cos x , dann X = π / 2 + kπ . Diese beiden Gruppen von Lösungen können in einer Formel geschrieben werden:

X = π / 2n

Da wir beide Teile dieser Gleichung quadriert haben, ist die Möglichkeit nicht ausgeschlossen, dass unter den erhaltenen Wurzeln Fremde sind. Aus diesem Grund ist in diesem Beispiel im Gegensatz zu allen vorherigen eine Überprüfung erforderlich. Alle Werte

X = π / 2n lässt sich in 4 Gruppen einteilen

	1) X = 2kπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2kπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2kπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2kπ .	(n=4k+3)

Bei X = 2kπ Sünde x+ cos x= 0 + 1 = 1. Daher gilt X = 2kπ sind die Wurzeln dieser Gleichung.

Bei X = π / 2 + 2kπ. Sünde x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2kπ sind auch die Wurzeln dieser Gleichung.

Bei X = π + 2kπ Sünde x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Daher die Werte X = π + 2kπ sind keine Wurzeln dieser Gleichung. Ebenso wird das gezeigt X = 3π / 2 + 2kπ. sind keine Wurzeln.

Somit hat diese Gleichung die folgenden Wurzeln: X = 2kπ und X = π / 2 + 2mπ., wo k und m- beliebige ganze Zahlen.