Der Kurs verwendet geometrische Sprache, bestehend aus Notationen und Symbolen, die im Mathematikunterricht (insbesondere im neuen Geometriekurs in der High School) übernommen wurden.
Die ganze Vielfalt an Bezeichnungen und Symbolen sowie die Verbindungen zwischen ihnen lassen sich in zwei Gruppen einteilen:
Gruppe I - Bezeichnungen geometrischer Figuren und Beziehungen zwischen ihnen;
Gruppe II Bezeichnungen logischer Operationen, die die syntaktische Grundlage der geometrischen Sprache bilden.
Das Folgende ist eine vollständige Liste der mathematischen Symbole, die in diesem Kurs verwendet werden. Besonderes Augenmerk wird auf die Symbole gelegt, die zur Bezeichnung der Projektionen geometrischer Formen verwendet werden.
Gruppe I
SYMBOLE BESTIMMTEN GEOMETRISCHE FIGUREN UND BEZIEHUNGEN ZWISCHEN IHNEN
A. Bezeichnung geometrischer Formen
1. Die geometrische Figur wird mit - F bezeichnet.
2. Punkte werden durch Großbuchstaben des lateinischen Alphabets oder arabische Ziffern gekennzeichnet:
A, B, C, D, ... , L, M, N, ...
1,2,3,4,...,12,13,14,...
3. Linien, die willkürlich in Bezug auf die Projektionsebenen angeordnet sind, werden durch Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets gekennzeichnet:
a, b, c, d, ... , l, m, n, ...
Nivellierlinien sind angegeben: h - horizontal; f- frontal.
Für gerade Linien wird auch folgende Notation verwendet:
(AB) - eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft;
[AB) - ein Strahl mit dem Anfang bei Punkt A;
[AB] - ein gerades Liniensegment, das von den Punkten A und B begrenzt wird.
4. Oberflächen werden mit Kleinbuchstaben des griechischen Alphabets bezeichnet:
α, β, γ, δ,...,ζ,η,ν,...
Um die Art und Weise hervorzuheben, wie die Oberfläche definiert ist, sollten Sie die geometrischen Elemente angeben, durch die sie definiert wird, zum Beispiel:
α(a || b) - Ebene α wird durch parallele Linien a und b bestimmt;
β(d 1 d 2 gα) - die Fläche β wird durch die Führungen d 1 und d 2 , die Erzeugende g und die Parallelitätsebene α bestimmt.
5. Winkel werden angezeigt:
∠ABC - Winkel mit Scheitel im Punkt B, sowie ∠α°, ∠β°, ... , ∠φ°, ...
6. Winkel: Der Wert (Gradmaß) wird durch das Zeichen angezeigt, das über dem Winkel platziert ist:
Der Wert des Winkels ABC;
Der Wert des Winkels φ.
Ein rechter Winkel wird durch ein Quadrat mit einem Punkt darin gekennzeichnet
7. Abstände zwischen geometrischen Figuren werden durch zwei vertikale Segmente angezeigt - ||.
Zum Beispiel:
|AB| - Abstand zwischen den Punkten A und B (Länge des Segments AB);
|Aa| - Abstand von Punkt A zu Linie a;
|Aα| - Entfernungen von Punkt A zur Oberfläche α;
|ab| - Abstand zwischen den Linien a und b;
|αβ| Abstand zwischen den Flächen α und β.
8. Für Projektionsebenen werden die folgenden Bezeichnungen akzeptiert: π 1 und π 2, wobei π 1 die horizontale Projektionsebene ist;
π 2 -fryuntale Projektionsebene.
Wenn Projektionsebenen ersetzt oder neue Ebenen eingeführt werden, bezeichnen letztere π 3, π 4 usw.
9. Projektionsachsen sind bezeichnet mit: x, y, z, wobei x die x-Achse ist; y ist die y-Achse; z - Anwendungsachse.
Die konstante Linie des Monge-Diagramms ist mit k bezeichnet.
10. Projektionen von Punkten, Linien, Flächen und jeder geometrischen Figur werden durch die gleichen Buchstaben (oder Zahlen) wie das Original gekennzeichnet, wobei ein hochgestelltes Zeichen hinzugefügt wird, das der Projektionsebene entspricht, auf der sie erhalten wurden:
A", B", C", D", ... , L", M", N", horizontale Projektionen von Punkten; A", B", C", D", ... , L", M " , N", ... Frontalprojektionen von Punkten; a" , b" , c" , d" , ... , l", m" , n" , - horizontale Projektionen von Linien; a" ,b" , c" , d" , ... , l" , m " , n" , ... Frontalprojektionen von Linien; α", β", γ", δ",...,ζ",η",ν",... Horizontalprojektionen von Flächen; α", β", γ", δ",...,ζ " ,η",ν",... Frontalprojektionen von Flächen.
11. Spuren von Ebenen (Flächen) werden mit den gleichen Buchstaben wie die Horizontale oder Frontal mit dem Zusatz 0α bezeichnet, wodurch betont wird, dass diese Linien in der Projektionsebene liegen und zur Ebene (Oberfläche) α gehören.
Also: h 0α - horizontale Spur der Ebene (Oberfläche) α;
f 0α - frontale Spur der Ebene (Oberfläche) α.
12. Spuren von geraden Linien (Linien) werden durch Großbuchstaben angezeigt, die Wörter beginnen, die den Namen (in lateinischer Transkription) der Projektionsebene definieren, die die Linie kreuzt, mit einem Index, der die Zugehörigkeit zu der Linie anzeigt.
Zum Beispiel: H a - horizontale Spur einer geraden Linie (Linie) a;
F a - frontale Spur einer geraden Linie (Linie) a.
13. Die Folge von Punkten, Linien (jeder Figur) ist mit den Indizes 1,2,3,..., n gekennzeichnet:
A 1, A 2, A 3, ..., A n;
a 1 , a 2 , a 3 ,..., ein n ;
&agr; 1 , &agr; 2 , &agr; 3 , ..., &agr; n ;
F 1 , F 2 , F 3 ,..., F n usw.
Die Hilfsprojektion des Punktes, die man als Ergebnis der Transformation erhält, um den tatsächlichen Wert der geometrischen Figur zu erhalten, wird mit dem gleichen Buchstaben mit dem Index 0 bezeichnet:
A 0 , B 0 , C 0 , D 0 , ...
Axonometrische Projektionen
14. Axonometrische Projektionen von Punkten, Linien, Flächen werden durch die gleichen Buchstaben wie die Natur mit dem Zusatz der hochgestellten 0 gekennzeichnet:
A 0, B 0, C 0, D 0, ...
1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , ...
a 0 , b 0 , c 0 , d 0 , ...
α 0 , β 0 , γ 0 , δ 0 , ...
15. Sekundäre Projektionen werden durch Hinzufügen einer hochgestellten 1 angezeigt:
A 1 0 , B 1 0 , C 1 0 , D 1 0 , ...
1 1 0 , 2 1 0 , 3 1 0 , 4 1 0 , ...
a 1 0 , b 1 0 , c 1 0 , d 1 0 , ...
α 1 0 , β 1 0 , γ 1 0 , δ 1 0 , ...
Um das Lesen der Zeichnungen im Lehrbuch zu erleichtern, wurden bei der Gestaltung des Bildmaterials mehrere Farben verwendet, die jeweils eine bestimmte semantische Bedeutung haben: Schwarze Linien (Punkte) zeigen die Ausgangsdaten an; grüne Farbe wird für Linien von grafischen Hilfskonstruktionen verwendet; rote Linien (Punkte) zeigen die Ergebnisse von Konstruktionen oder jene geometrischen Elemente, denen besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden sollte.
| nein. | Bezeichnung | Inhalt | Beispiel für symbolische Notation |
|---|---|---|---|
| 1 | ≡ | Spiel | (AB) ≡ (CD) - eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft, fällt mit der Linie zusammen, die durch die Punkte C und D verläuft |
| 2 | ≅ | Kongruent | ∠ABC≅∠MNK - Winkel ABC ist kongruent zu Winkel MNK |
| 3 | ∼ | Ähnlich | ΔABS∼ΔMNK - Dreiecke ABC und MNK sind ähnlich |
| 4 | || | Parallel | α||β - Ebene α ist parallel zur Ebene β |
| 5 | ⊥ | Aufrecht | a⊥b - Linien a und b sind senkrecht |
| 6 | kreuzen | mit d - Linien c und d schneiden | |
| 7 | Tangenten | t l - Linie t tangiert Linie l. βα - Ebene β tangential zur Oberfläche α |
|
| 8 | → | Sind angezeigt | F 1 → F 2 - die Figur F 1 wird auf die Figur F 2 abgebildet |
| 9 | S | Projektionszentrum. Wenn das Projektionszentrum kein richtiger Punkt ist, seine Position ist durch einen Pfeil gekennzeichnet, zeigt die Projektionsrichtung an | - |
| 10 | s | Projektionsrichtung | - |
| 11 | P | Parallelprojektion | p s α Parallelprojektion - Parallelprojektion zur Ebene α in Richtung s |
| nein. | Bezeichnung | Inhalt | Beispiel für symbolische Notation | Ein Beispiel für symbolische Notation in der Geometrie |
|---|---|---|---|---|
| 1 | M, N | Sets | - | - |
| 2 | ABC,... | Elemente festlegen | - | - |
| 3 | { ... } | Besteht aus... | F(A,B,C,... ) | Ф(A, B, C,...) - Figur Ф besteht aus den Punkten A, B, C, ... |
| 4 | ∅ | Leeres Set | L - ∅ - die Menge L ist leer (enthält keine Elemente) | - |
| 5 | ∈ | Gehört zu, ist ein Element | 2∈N (wobei N die Menge der natürlichen Zahlen ist) - die Zahl 2 gehört zur Menge N | A ∈ a - Punkt A gehört zur Geraden a (Punkt A liegt auf Linie a) |
| 6 | ⊂ | Beinhaltet, enthält | N⊂M - die Menge N ist ein Teil (Teilmenge) der Menge M aller rationalen Zahlen | a⊂α - Linie a gehört zur Ebene α (verstanden im Sinne von: die Menge der Punkte der Geraden a ist eine Teilmenge der Punkte der Ebene α) |
| 7 | ∪ | Union | C \u003d A U B - Menge C ist eine Vereinigung von Mengen A und B; (1, 2, 3, 4,5) = (1,2,3)∪(4,5) | ABCD = ∪ [BC] ∪ - gestrichelte Linie, ABCD ist Vereinigung der Segmente [AB], [BC], |
| 8 | ∩ | Schnittmenge von vielen | М=К∩L - die Menge М ist der Schnittpunkt der Mengen К und L (enthält Elemente, die sowohl zur Menge K als auch zur Menge L gehören). M ∩ N = ∅- Durchschnitt der Mengen M und N ist die leere Menge (Mengen M und N haben keine gemeinsamen Elemente) | a = α ∩ β - Linie a ist der Schnittpunkt Ebenen α und β und ∩ b = ∅ - Linien a und b schneiden sich nicht (haben keine gemeinsamen Punkte) |
| nein. | Bezeichnung | Inhalt | Beispiel für symbolische Notation |
|---|---|---|---|
| 1 | ∧ | Konjunktion von Sätzen; entspricht der Vereinigung "und". Satz (p∧q) ist genau dann wahr, wenn p und q beide wahr sind | α∩β = ( K:K∈α∧K∈β) Der Schnittpunkt der Flächen α und β ist eine Punktmenge (Gerade), bestehend aus all jenen und nur jenen Punkten K, die sowohl zur Fläche α als auch zur Fläche β gehören |
| 2 | ∨ | Disjunktion von Sätzen; entspricht der Vereinigung "oder". Satz (p∨q) wahr, wenn mindestens einer der Sätze p oder q wahr ist (d. h. entweder p oder q oder beide). | - |
| 3 | ⇒ | Implikation ist eine logische Konsequenz. Der Satz p⇒q bedeutet: „wenn p, dann q“ | (a||c∧b||c)⇒a||b. Wenn zwei Geraden parallel zu einer dritten sind, dann sind sie parallel zueinander. |
| 4 | ⇔ | Der Satz (p⇔q) wird im Sinne von „wenn p, dann q; wenn q, dann p“ verstanden. | À∈α⇔À∈l⊂α. Ein Punkt gehört zu einer Ebene, wenn er zu einer Linie gehört, die zu dieser Ebene gehört. Auch die Umkehrung gilt: Wenn ein Punkt zu einer Geraden gehört, zum Flugzeug gehört, dann gehört es auch zum Flugzeug selbst. |
| 5 | ∀ | Der allgemeine Quantifizierer lautet: für alle, für alle, für alle. Der Ausdruck ∀(x)P(x) bedeutet: „für jedes x: Eigenschaft P(x)“ | ∀(ΔABC)( = 180°) Für jedes (für jedes) Dreieck die Summe der Werte seiner Winkel an den Scheitelpunkten beträgt 180° |
| 6 | ∃ | Der Existenzquantor lautet: existiert. Der Ausdruck ∃(x)P(x) bedeutet: „es gibt x, das die Eigenschaft P(x) hat“ | (∀α)(∃a) Zu jeder Ebene α gibt es eine Gerade a, die nicht zur Ebene α gehört und parallel zur Ebene α |
| 7 | ∃1 | Der Eindeutigkeitsquantifizierer der Existenz lautet: Es gibt eine Einzigartigkeit (-th, -th)... Der Ausdruck ∃1(x)(Px) bedeutet: "es gibt ein eindeutiges (nur ein) x, mit der Eigenschaft Rx" | (∀ A, B)(A≠B)(∃1a)(a∋A, B) Für je zwei verschiedene Punkte A und B gibt es eine eindeutige Gerade a, diese Punkte passieren. |
| 8 | (px) | Negation der Aussage P(x) | ab(∃α )(α⊃а, b) Wenn sich die Linien a und b schneiden, gibt es keine Ebene a, die sie enthält |
| 9 | \ | Negatives Zeichen | ≠ - das Segment [AB] ist nicht gleich dem Segment .a? b - die Linie a ist nicht parallel zur Linie b |
Balagin Viktor
Mit der Entdeckung mathematischer Regeln und Theoreme entwickelten Wissenschaftler eine neue mathematische Notation, Zeichen. Mathematische Zeichen sind Symbole zur Aufzeichnung mathematischer Konzepte, Sätze und Berechnungen. In der Mathematik werden spezielle Symbole verwendet, um den Satz zu verkürzen und die Aussage genauer auszudrücken. Neben den Zahlen und Buchstaben verschiedener Alphabete (lateinisch, griechisch, hebräisch) verwendet die mathematische Sprache viele Sonderzeichen, die in den letzten Jahrhunderten erfunden wurden.
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Vorschau:
MATHEMATISCHE SYMBOLE.
Ich habe die Arbeit gemacht
Schüler der siebten Klasse
GBOU-Sekundarschule Nr. 574
Balagin Viktor
Studienjahr 2012-2013
MATHEMATISCHE SYMBOLE.
- Einführung
Das Wort Mathematik stammt aus dem Altgriechischen, wo μάθημα „lernen“, „Wissen erwerben“ bedeutete. Und wer sagt: „Ich brauche keine Mathematik, ich werde kein Mathematiker“, der irrt. Jeder braucht Mathe. Es enthüllt die erstaunliche Welt der Zahlen um uns herum, lehrt uns, klarer und konsequenter zu denken, entwickelt Denken, Aufmerksamkeit, schult Ausdauer und Willen. M. W. Lomonossow sagte: „Mathematik bringt den Geist in Ordnung.“ Mit einem Wort, die Mathematik lehrt uns zu lernen, wie man sich Wissen aneignet.
Mathematik ist die erste Wissenschaft, die der Mensch beherrschen konnte. Die älteste Aktivität war das Zählen. Einige primitive Stämme zählten die Anzahl der Gegenstände mit ihren Fingern und Zehen. Die bis in unsere Zeit aus der Steinzeit erhaltene Felszeichnung zeigt die Zahl 35 in Form von 35 aneinandergereihten Stäbchen. Wir können sagen, dass 1 Stick das erste mathematische Symbol ist.
Die mathematische „Schrift“, die wir heute verwenden – von der Notation unbekannter Buchstaben x, y, z bis zum Integralzeichen – entwickelte sich allmählich. Die Entwicklung der Symbolik vereinfachte die Arbeit mit mathematischen Operationen und trug zur Entwicklung der Mathematik selbst bei.
Vom altgriechischen „Symbol“ (griech. symbolon - ein Zeichen, ein Zeichen, ein Passwort, ein Emblem) - ein Zeichen, das so mit der von ihm bezeichneten Objektivität verbunden ist, dass die Bedeutung des Zeichens und sein Gegenstand nur durch das Zeichen selbst repräsentiert und nur durch es offenbart werden seine Deutung.
Mit der Entdeckung mathematischer Regeln und Theoreme entwickelten Wissenschaftler eine neue mathematische Notation, Zeichen. Mathematische Zeichen sind Symbole zur Aufzeichnung mathematischer Konzepte, Sätze und Berechnungen. In der Mathematik werden spezielle Symbole verwendet, um den Satz zu verkürzen und die Aussage genauer auszudrücken. Neben den Zahlen und Buchstaben verschiedener Alphabete (lateinisch, griechisch, hebräisch) verwendet die mathematische Sprache viele Sonderzeichen, die in den letzten Jahrhunderten erfunden wurden.
2. Zeichen der Addition, Subtraktion
Die Geschichte der mathematischen Notation beginnt mit dem Paläolithikum. Aus dieser Zeit stammen Steine und Knochen mit Kerben, die zum Zählen verwendet wurden. Das bekannteste Beispiel istIshango-Knochen. Der berühmte Knochen aus Ishango (Kongo), der auf etwa 20.000 Jahre v. Chr. zurückgeht, beweist, dass ein Mensch schon damals recht komplexe mathematische Operationen durchführte. Die Kerben an den Knochen dienten der Addition und wurden in Gruppen angebracht, was die Addition von Zahlen symbolisierte.
Das alte Ägypten hatte bereits ein viel fortschrittlicheres Notationssystem. Zum Beispiel imPapyrus von AhmesAls Symbol für die Addition wird das Bild von zwei Beinen verwendet, die im Text vorwärts gehen, und für die Subtraktion - zwei Beine, die rückwärts gehen.Die alten Griechen bezeichneten die Addition durch Nebeneinanderschreiben, aber von Zeit zu Zeit verwendeten sie dafür den Schrägstrich „/“ und eine halbelliptische Kurve für die Subtraktion.
Die Symbole für die Rechenoperationen Addition (plus „+“) und Subtraktion (minus „-“) sind so gebräuchlich, dass wir fast nie denken, dass es sie nicht schon immer gegeben hat. Der Ursprung dieser Symbole ist unklar. Eine der Versionen ist, dass sie früher im Handel als Zeichen für Gewinn und Verlust verwendet wurden.
Es wird auch angenommen, dass unser Zeichenkommt von einer der Formen des Wortes „et“, was im Lateinischen „und“ bedeutet. Ausdruck a+b so in Latein geschrieben: a und b . Allmählich, durch häufigen Gebrauch, vom Schild " et „bleibt nur“ t ", die sich im Laufe der Zeit zu"+ ". Die erste Person, die das Zeichen möglicherweise benutzt hatals Abkürzung für et, war die Astronomin Nicole d'Orem (Autorin von The Book of the Sky and the World) in der Mitte des vierzehnten Jahrhunderts.
Ende des 15. Jahrhunderts verwendeten der französische Mathematiker Chiquet (1484) und der Italiener Pacioli (1494) „'' oder " '' (bedeutet "plus") für Addition und "'' oder " '' (bedeutet "minus") für die Subtraktion.
Die Subtraktionsnotation war verwirrender, da statt eines einfachen „“ In deutschen, schweizerischen und niederländischen Büchern wurde manchmal das Symbol „÷“ verwendet, mit dem wir jetzt die Division bezeichnen. Mehrere Bücher des siebzehnten Jahrhunderts (z. B. die von Descartes und Mersenne) verwendeten zwei Punkte „∙ ∙“ oder drei Punkte „∙ ∙ ∙“, um die Subtraktion anzuzeigen.
Die erste Verwendung des modernen Vorzeichens „“ bezieht sich auf eine deutsche Handschrift zur Algebra von 1481, die in der Dresdner Bibliothek gefunden wurde. In einer lateinischen Handschrift aus derselben Zeit (ebenfalls aus der Dresdner Bibliothek) kommen beide Schriftzeichen vor: „" und " - " . Die systematische Verwendung der Zeichen "“ und „-“ für Addition und Subtraktion kommt vorJohann Widmann. Der deutsche Mathematiker Johann Widmann (1462-1498) verwendete als erster beide Zeichen zur Kennzeichnung der An- und Abwesenheit von Studierenden in seinen Vorlesungen. Zwar gibt es Hinweise darauf, dass er diese Zeichen von einem wenig bekannten Professor der Universität Leipzig „ausgeliehen“ hat. 1489 veröffentlichte er in Leipzig das erste gedruckte Buch (Handelsarithmetik - „Handelsarithmetik“), in dem beide Zeichen vorhanden waren. und , in dem Werk "Eine schnelle und angenehme Rechnung für alle Kaufleute" (um 1490)
Als historische Kuriosität ist es erwähnenswert, dass dies auch nach der Annahme des Zeichens der Fall istnicht jeder benutzte dieses Symbol. Widman selbst führte es als griechisches Kreuz ein(das Zeichen, das wir heute verwenden), dessen horizontaler Strich manchmal etwas länger ist als der vertikale. Einige Mathematiker wie Record, Harriot und Descartes verwendeten dasselbe Zeichen. Andere (z. B. Hume, Huygens und Fermat) verwendeten das lateinische Kreuz „†“, manchmal horizontal platziert, mit einem Querbalken an dem einen oder anderen Ende. Schließlich verwendeten einige (wie Halley) ein dekorativeres Aussehen " ».
3. Gleichheitszeichen
Das Gleichheitszeichen in der Mathematik und anderen exakten Wissenschaften wird zwischen zwei Ausdrücken gleicher Größe geschrieben. Diophantus war der erste, der das Gleichheitszeichen verwendete. Er bezeichnete die Gleichheit mit dem Buchstaben i (aus dem Griechischen isos - gleich). BEIMAntike und mittelalterliche MathematikGleichheit wurde verbal angegeben, zum Beispiel est egale, oder sie verwendeten die Abkürzung „ae“ aus dem lateinischen aequalis – „gleich“. Andere Sprachen verwendeten auch die Anfangsbuchstaben des Wortes „gleich“, was jedoch nicht allgemein akzeptiert wurde. Das Gleichheitszeichen „=“ wurde 1557 von einem walisischen Arzt und Mathematiker eingeführt.Robert Rekord(Aufzeichnung R., 1510-1558). Das Symbol II diente in einigen Fällen als mathematisches Symbol für Gleichheit. Die Aufzeichnung führte das Symbol "=" mit zwei identischen horizontalen parallelen Linien ein, viel länger als die heute verwendeten. Der englische Mathematiker Robert Record verwendete als erster das Symbol „Gleichheit“ und argumentierte mit den Worten: „Keine zwei Objekte können mehr als zwei parallele Segmente gleich sein.“ Aber auch drinXVII JahrhundertRené Descartesverwendet die Abkürzung "ae".Francois Vietdas Gleichheitszeichen bedeutet Subtraktion. Einige Zeit lang wurde die Verbreitung des Rekordsymbols dadurch behindert, dass dasselbe Symbol verwendet wurde, um parallele Linien anzuzeigen; Am Ende wurde entschieden, das Symbol der Parallelität vertikal zu machen. Das Zeichen wurde erst nach den Werken von Leibniz an der Wende vom 17. zum 18. Jahrhundert verbreitet, dh mehr als 100 Jahre nach dem Tod der Person, die es zuerst dafür verwendet hatRoberta Rekord. Es gibt keine Worte auf seinem Grabstein – nur ein geschnitztes „Gleichheitszeichen“.
Verwandte Symbole für ungefähre Gleichheit "≈" und Identität "≡" sind sehr jung - das erste wurde 1885 von Günther eingeführt, das zweite - 1857Riemann
4. Zeichen der Multiplikation und Division
Das Multiplikationszeichen in Form eines Kreuzes ("x") wurde von einem anglikanischen Priester-Mathematiker eingeführtWilliam Otred in 1631. Vor ihm wurde der Buchstabe M für das Multiplikationszeichen verwendet, obwohl andere Bezeichnungen vorgeschlagen wurden: das Rechtecksymbol (Erigon, ), Sternchen ( Johann Rahn, ).
Später Leibnizdas Kreuz durch einen Punkt ersetzt (end17. Jahrhundert), um nicht mit dem Buchstaben verwechselt zu werden x ; Vor ihm fand sich eine solche Symbolik inRegionmontana (15. Jahrhundert) und ein englischer WissenschaftlerThomas Harriot (1560-1621).
Um die Aktion der Teilung anzuzeigenZweigbevorzugt den Schrägstrich. Colon Division begann zu bezeichnenLeibniz. Vor ihnen wurde auch oft der Buchstabe D verwendet.fibonacci, wird auch das Merkmal des Bruchs verwendet, das auch in arabischen Schriften verwendet wurde. Teilung im Formular Obelus ("÷") wurde von einem Schweizer Mathematiker eingeführtJohann Rahn(um 1660)
5. Prozentzeichen.
Ein Hundertstel eines Ganzen, als Einheit genommen. Das Wort „Prozent“ selbst kommt vom lateinischen „pro centum“, was „hundert“ bedeutet. 1685 wurde Mathieu de la Portes Manual of Commercial Arithmetic (1685) in Paris veröffentlicht. An einer Stelle ging es um Prozentzahlen, was damals „cto“ (kurz für Cento) bedeutete. Der Schriftsetzer verwechselte dieses „cto“ jedoch mit einem Bruch und tippte „%“ ein. Aufgrund eines Tippfehlers kam dieses Zeichen zum Einsatz.
6. Zeichen der Unendlichkeit
Das aktuelle Unendlichkeitssymbol "∞" ist in Gebrauch gekommenJohannes Wallis im Jahr 1655. Johannes Wallisveröffentlichte eine große Abhandlung "Die Arithmetik des Unendlichen" (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, alias Difficiliora Matheos Problemata), wo er das von ihm erfundene Symbol einführteUnendlichkeit. Warum er gerade dieses Zeichen gewählt hat, ist bis heute nicht bekannt. Eine der maßgeblichsten Hypothesen bezieht sich auf den Ursprung dieses Symbols auf den lateinischen Buchstaben „M“, mit dem die Römer die Zahl 1000 darstellten.Das Symbol für Unendlichkeit wird etwa vierzig Jahre später von dem Mathematiker Bernoulli "lemniscus" (lat. Band) genannt.
Eine andere Version besagt, dass die Zeichnung der "Acht" die Haupteigenschaft des Begriffs "Unendlichkeit" vermittelt: Bewegung ohne Ende . Entlang der Linien der Zahl 8 können Sie sich endlos fortbewegen, wie auf einem Radweg. Um das eingeführte Zeichen nicht mit der Zahl 8 zu verwechseln, entschieden sich die Mathematiker, es horizontal zu platzieren. Passiert. Diese Notation ist zum Standard für die gesamte Mathematik geworden, nicht nur für die Algebra. Warum wird die Unendlichkeit nicht mit Null bezeichnet? Die Antwort liegt auf der Hand: Egal wie Sie die Zahl 0 drehen, sie ändert sich nicht. Daher fiel die Wahl auf den 8.
Eine andere Möglichkeit ist eine Schlange, die ihren Schwanz verschlingt, was anderthalbtausend Jahre v. Chr. in Ägypten verschiedene Prozesse symbolisierte, die keinen Anfang und kein Ende haben.
Viele glauben, dass das Möbiusband der Vorläufer des Symbols istUnendlichkeit, da das Unendlichkeitszeichen nach der Erfindung des "Möbiusbandes" (benannt nach dem Mathematiker Möbius aus dem 19. Jahrhundert) patentiert wurde. Möbiusband - ein an den Enden gebogener und verbundener Papierstreifen, der zwei räumliche Flächen bildet. Nach verfügbaren historischen Informationen wurde das Unendlichkeitssymbol jedoch zwei Jahrhunderte vor der Entdeckung des Möbiusbandes verwendet, um die Unendlichkeit darzustellen.
7. Zeichen Kohle ein und aufrecht sti
Symbole " Injektion" und " aufrecht» kam auf 1634Französischer MathematikerPierre Erigon. Sein senkrechtes Symbol stand auf dem Kopf und ähnelte dem Buchstaben T. Das Winkelsymbol erinnerte an das Symbol, gab ihm eine moderne FormWilliam Otred ().
8. Unterschreiben Parallelität und
Symbol " Parallelität» Seit der Antike bekannt, wurde es verwendetReiher und Pappus von Alexandria. Anfangs ähnelte das Symbol dem aktuellen Gleichheitszeichen, aber mit dem Aufkommen des letzteren wurde das Symbol vertikal gedreht, um Verwirrung zu vermeiden (Zweig(1677), Kersey (John Kersey ) und andere Mathematiker des 17. Jahrhunderts)
9. Pi
Die allgemein akzeptierte Notation für eine Zahl gleich dem Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser (3,1415926535 ...) wurde zuerst gebildetWilliam Jones in 1706, wobei der erste Buchstabe der griechischen Wörter περιφέρεια genommen wird -Kreis und περίμετρος - Umfang, das ist der Umfang eines Kreises. Gefällt mir diese AbkürzungEuler, dessen Werke die Bezeichnung endgültig fixierten.
10. Sinus und Kosinus
Interessant ist das Aussehen von Sinus und Cosinus.
Sinus aus dem Lateinischen - Sinus, Hohlraum. Aber dieser Name hat eine lange Geschichte. Indische Mathematiker haben in der Region des 5. Jahrhunderts große Fortschritte in der Trigonometrie gemacht. Das Wort "Trigonometrie" selbst existierte nicht, es wurde 1770 von Georg Klugel eingeführt.) Was wir heute Sinus nennen, entspricht ungefähr dem, was die Indianer ardha-jiya nannten, übersetzt als halbe Bogensehne (d.h. halber Akkord). Der Kürze halber nannten sie es einfach - Jiya (Bogensehne). Als die Araber die Werke der Hindus aus dem Sanskrit übersetzten, übersetzten sie die „Schnur“ nicht ins Arabische, sondern transkribierten das Wort einfach in arabische Buchstaben. Es stellte sich als Fock heraus. Aber da kurze Vokale in der arabischen Silbenschrift nicht angegeben sind, bleibt wirklich j-b, was einem anderen arabischen Wort ähnlich ist - jaib (Depression, Sinus). Als Gerard von Cremona im 12. Jahrhundert die Araber ins Lateinische übersetzte, übersetzte er dieses Wort mit sinus, was im Lateinischen auch sinus, Vertiefung bedeutet.
Der Kosinus erschien automatisch, weil die Hindus nannten ihn koti-jiya oder kurz ko-jiya. Koti ist das gebogene Ende eines Bogens in Sanskrit.Moderne Abkürzungen und eingeführt William Ouhtredund im Werk fixiert Euler.
Die Bezeichnungen Tangens/Kotangens sind viel späteren Ursprungs (das englische Wort tangens kommt vom lateinischen tangere, berühren). Und bis heute gibt es keine einheitliche Bezeichnung - in einigen Ländern wird häufiger die Bezeichnung tan verwendet, in anderen - tg
11. Abkürzung „Was zu beweisen war“ (ch.t.d.)
Quod erat demonstrandum » (kwol erat lamonstranlum).
Der griechische Ausdruck bedeutet "was bewiesen werden musste" und der lateinische - "was gezeigt werden musste". Diese Formel beendet jede mathematische Argumentation des großen griechischen Mathematikers des antiken Griechenlands, Euklid (III. Jahrhundert v. Chr.). Aus dem Lateinischen übersetzt - was zum Nachweis erforderlich war. In mittelalterlichen wissenschaftlichen Abhandlungen wurde diese Formel oft in abgekürzter Form geschrieben: QED.
12. Mathematische Notation.
Symbole | Symbolgeschichte |
Die Plus- und Minuszeichen wurden offenbar in der deutschen mathematischen Schule der „Kossisten“ (also Algebraiker) erfunden. Sie werden in Johann Widmanns 1489 veröffentlichter Arithmetik verwendet. Zuvor wurde die Addition mit dem Buchstaben p (Plus) oder dem lateinischen Wort et (Konjunktion "und") und die Subtraktion mit dem Buchstaben m (Minus) bezeichnet. Bei Widman ersetzt das Pluszeichen nicht nur die Addition, sondern auch die Vereinigung „und“. Der Ursprung dieser Symbole ist unklar, aber höchstwahrscheinlich wurden sie früher im Handel als Zeichen für Gewinn und Verlust verwendet. Beide Symbole wurden fast sofort in Europa verbreitet - mit Ausnahme von Italien. |
|
× ∙ | Das Multiplikationszeichen wurde 1631 von William Ootred (England) in Form eines schrägen Kreuzes eingeführt. Vor ihm verwendete man den Buchstaben M. Später ersetzte Leibniz das Kreuz durch einen Punkt (spätes 17. Jahrhundert), um es nicht mit dem Buchstaben x zu verwechseln; vor ihm fand sich eine solche Symbolik bei Regiomontanus (XV Jahrhundert) und dem englischen Wissenschaftler Thomas Harriot (1560-1621). |
/ : ÷ | Owtred bevorzugte den Schrägstrich. Die Doppelpunktteilung begann, Leibniz zu bezeichnen. Vor ihnen wurde auch oft der Buchstabe D verwendet. In England und den Vereinigten Staaten verbreitete sich das Symbol ÷ (Obelus), das Mitte des 17. Jahrhunderts von Johann Rahn und John Pell vorgeschlagen wurde. |
= | Das Gleichheitszeichen wurde 1557 von Robert Record (1510-1558) vorgeschlagen. Er erklärte, dass es auf der Welt nichts Gleicheres gibt als zwei parallele Segmente gleicher Länge. In Kontinentaleuropa wurde das Gleichheitszeichen von Leibniz eingeführt. |
Vergleichszeichen wurden von Thomas Harriot in seinem Werk eingeführt, das 1631 posthum veröffentlicht wurde. Vor ihm schrieben sie in Worten: mehr, weniger. |
|
% | Das Prozentzeichen taucht Mitte des 17. Jahrhunderts in mehreren Quellen gleichzeitig auf, seine Herkunft ist unklar. Es gibt eine Hypothese, dass es aus einem Fehler eines Schriftsetzers entstanden ist, der die Abkürzung cto (Cento, Hundertstel) als 0/0 getippt hat. Wahrscheinlicher ist, dass es sich um ein kursives Handelsabzeichen handelt, das etwa 100 Jahre früher entstanden ist. |
√ | Das Wurzelzeichen wurde erstmals 1525 von dem deutschen Mathematiker Christoph Rudolph aus der kossistischen Schule verwendet. Dieses Zeichen stammt aus dem stilisierten Anfangsbuchstaben des Wortes Radix (Wurzel). Die Linie über dem radikalen Ausdruck fehlte zunächst; es wurde später von Descartes für einen anderen Zweck eingeführt (anstelle von Klammern), und dieses Merkmal verschmolz bald mit dem Wurzelzeichen. |
ein | Potenzierung. Die moderne Notation für den Exponenten wurde von Descartes in seiner Geometrie (1637) eingeführt, allerdings nur für natürliche Potenzen größer als 2. Newton erweiterte diese Form der Notation später auf negative und gebrochene Exponenten (1676). |
() | Klammern erschienen in Tartaglia (1556) für den radikalen Ausdruck, aber die meisten Mathematiker zogen es vor, den hervorgehobenen Ausdruck anstelle von Klammern zu unterstreichen. Leibniz führte Klammern in den allgemeinen Gebrauch ein. |
Das Summenzeichen wurde 1755 von Euler eingeführt. |
|
Das Produktzeichen wurde 1812 von Gauß eingeführt. |
|
ich | Der Buchstabe i als Code für die imaginäre Einheit:vorgeschlagen von Euler (1777), der dafür den Anfangsbuchstaben des Wortes imaginarius (imaginär) nahm. |
π | Die allgemein akzeptierte Bezeichnung für die Zahl 3.14159 ... wurde 1706 von William Jones gebildet, der den ersten Buchstaben der griechischen Wörter περιφέρεια - Umfang und περίμετρος - Perimeter, also den Umfang eines Kreises, nahm. |
Leibniz leitete die Notation für das Integral aus dem Anfangsbuchstaben des Wortes „Summa“ (Summa) ab. |
|
ja" | Die Kurzbezeichnung der Ableitung mit einem Strich geht auf Lagrange zurück. |
Das Symbol der Grenze erschien 1787 mit Simon Lhuillier (1750-1840). |
|
Das Unendlichkeitszeichen wurde von Wallis erfunden und 1655 veröffentlicht. |
13. Fazit
Die mathematische Wissenschaft ist für eine zivilisierte Gesellschaft notwendig. Mathematik findet sich in allen Wissenschaften. Die mathematische Sprache vermischt sich mit der Sprache der Chemie und Physik. Aber wir verstehen es trotzdem. Wir können sagen, dass wir beginnen, die Sprache der Mathematik zusammen mit unserer Muttersprache zu lernen. Mathematik ist aus unserem Leben nicht mehr wegzudenken. Dank der mathematischen Entdeckungen der Vergangenheit schaffen Wissenschaftler neue Technologien. Die erhaltenen Entdeckungen ermöglichen die Lösung komplexer mathematischer Probleme. Und die alte mathematische Sprache ist uns klar, und Entdeckungen sind für uns interessant. Dank der Mathematik entdeckten Archimedes, Platon und Newton physikalische Gesetze. Wir studieren sie in der Schule. Auch in der Physik gibt es Symbole, Begriffe, die der Naturwissenschaft innewohnen. Aber die mathematische Sprache geht nicht unter den physikalischen Formeln verloren. Im Gegenteil, diese Formeln können ohne mathematische Kenntnisse nicht geschrieben werden. Durch die Geschichte werden Wissen und Fakten für zukünftige Generationen bewahrt. Für neue Entdeckungen ist ein weiteres Studium der Mathematik notwendig. Um die Vorschau von Präsentationen zu verwenden, erstellen Sie ein Google-Konto (Konto) und melden Sie sich an: https://accounts.google.com
Beschriftungen der Folien:
Mathematische Symbole Die Arbeit wurde von einem Schüler der 7. Klasse der Schule Nr. 574 Balagin Viktor durchgeführt
Ein Symbol (griechisch symbolon – ein Zeichen, ein Zeichen, ein Passwort, ein Emblem) ist ein Zeichen, das mit der von ihm bezeichneten Objektivität verbunden ist, sodass die Bedeutung des Zeichens und sein Gegenstand nur durch das Zeichen selbst repräsentiert und offenbart werden nur durch seine Deutung. Zeichen sind mathematische Konventionen zur Aufzeichnung mathematischer Konzepte, Sätze und Berechnungen.
Knochen von Ishango Teil des Papyrus von Ahmes
+ − Plus- und Minuszeichen. Die Addition wurde mit dem Buchstaben p (Plus) oder dem lateinischen Wort et (Konjunktion „und“) bezeichnet, die Subtraktion mit dem Buchstaben m (Minus). Der Ausdruck a + b wurde auf Latein so geschrieben: a et b.
Subtraktionsnotation. ÷ ∙ ∙ oder ∙ ∙ ∙ René Descartes Marin Mersenne
Eine Seite aus dem Buch von Johann Widmann. 1489 veröffentlichte Johann Widmann das erste gedruckte Buch in Leipzig (Handelsarithmetik – „Handelsarithmetik“), in dem sowohl + als auch – Zeichen vorhanden waren.
Additionsnotation. Christian Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley
Gleichheitszeichen Diophantus war der erste, der das Gleichheitszeichen verwendete. Er bezeichnete die Gleichheit mit dem Buchstaben i (aus dem Griechischen isos - gleich).
Gleichheitszeichen Vorgeschlagen 1557 vom englischen Mathematiker Robert Record „Keine zwei Objekte können mehr als zwei parallele Segmente zueinander gleich sein.“ In Kontinentaleuropa wurde das Gleichheitszeichen von Leibniz eingeführt
× ∙ Multiplikationszeichen Eingeführt 1631 von William Oughtred (England) in Form eines schrägen Kreuzes. Leibniz ersetzte das Kreuz durch einen Punkt (Ende 17. Jahrhundert), um es nicht mit dem Buchstaben x zu verwechseln. William Otred Gottfried Wilhelm Leibniz
Prozent. Matthäus de la Porte (1685). Ein Hundertstel eines Ganzen, als Einheit genommen. "Prozent" - "pro Centum", was bedeutet - "einhundert". „cto“ (kurz für cento). Der Schriftsetzer verwechselte „cto“ mit einem Bruch und tippte „%“ ein.
Unendlichkeit. John Wallis John Wallis führte das Symbol ein, das er 1655 erfunden hatte. Die Schlange, die ihren Schwanz verschlingt, symbolisierte verschiedene Prozesse, die keinen Anfang und kein Ende haben.
Das Symbol für Unendlichkeit wurde zwei Jahrhunderte vor der Entdeckung des Möbiusbandes verwendet, um die Unendlichkeit darzustellen. Ein Möbiusband ist ein Papierstreifen, der gekrümmt und an seinen Enden verbunden ist, um zwei räumliche Flächen zu bilden. August Ferdinand Möbius
Winkel und Senkrechte. Symbole wurden 1634 von dem französischen Mathematiker Pierre Erigon erfunden. Erigons Winkelsymbol ähnelte einer Ikone. Das senkrechte Symbol wurde umgekehrt und ähnelt dem Buchstaben T . Diese Zeichen erhielten ihre moderne Form von William Oughtred (1657).
Parallelität. Das Symbol wurde von Heron von Alexandria und Pappus von Alexandria verwendet. Anfangs ähnelte das Symbol dem aktuellen Gleichheitszeichen, aber mit dem Aufkommen des letzteren wurde das Symbol vertikal gedreht, um Verwirrung zu vermeiden. Reiher von Alexandria
Pi. π ≈ 3.1415926535... William Jones im Jahr 1706 π εριφέρεια - Umfang und π ερίμετρος - Perimeter, dh der Umfang des Kreises. Diese Reduktion gefiel Euler, dessen Werke die Bezeichnung vollständig fixierten. William Jones
sin Sinus und Cosinus cos Sinus (aus dem Lateinischen) - Sinus, Hohlraum. koti-jiya oder kurz ko-jiya. Koti - das gebogene Ende des Bogens Moderne Kurzbezeichnungen wurden von William Otred eingeführt und in den Werken von Euler fixiert. "arha-jiva" - unter den Indianern - "Half-String" Leonard Euler William Otred
Was erforderlich war, um "Quod erat demonstrandum" QED zu beweisen (ch.t.d.). Diese Formel beendet jede mathematische Argumentation des großen Mathematikers des antiken Griechenlands, Euklid (III. Jahrhundert v. Chr.).
Wir verstehen die alte mathematische Sprache. Auch in der Physik gibt es Symbole, Begriffe, die der Naturwissenschaft innewohnen. Aber die mathematische Sprache geht nicht unter den physikalischen Formeln verloren. Im Gegenteil, diese Formeln können ohne mathematische Kenntnisse nicht geschrieben werden.
von zwei), 3 > 2 (drei ist größer als zwei) usw.Die Entwicklung der mathematischen Symbolik war eng verbunden mit der allgemeinen Entwicklung der Begriffe und Methoden der Mathematik. Zuerst Mathematische Zeichen es gab Schilder zur Darstellung von Zahlen - Zahlen, deren Entstehung offenbar dem Schreiben vorausging. Die ältesten Zahlensysteme – babylonisch und ägyptisch – erschienen bereits 3 1/2 Jahrtausende vor Christus. e.
Zuerst Mathematische Zeichen denn willkürliche Werte tauchten viel später (ab dem 5.-4. Jahrhundert v. Chr.) In Griechenland auf. Größen (Fläche, Volumen, Winkel) wurden als Segmente und das Produkt zweier beliebiger homogener Größen als Rechteck dargestellt, das auf den entsprechenden Segmenten aufgebaut ist. In "Anfänge" Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.) Mengen werden durch zwei Buchstaben angegeben - den Anfangs- und Endbuchstaben des entsprechenden Segments und manchmal sogar einen. Beim Archimedes (3. Jahrhundert v. Chr.) Die letztere Methode wird üblich. Eine solche Bezeichnung enthielt die Möglichkeiten zur Entwicklung des wörtlichen Kalküls. In der klassischen antiken Mathematik wurde jedoch kein wörtlicher Kalkül erstellt.
Die Anfänge der Buchstabendarstellung und des Infinitesimalrechnens entstehen in späthellenistischer Zeit durch die Befreiung der Algebra von der geometrischen Form. Diophant (wahrscheinlich 3. Jahrhundert) schrieb einen unbekannten ( X) und seine Abschlüsse mit folgenden Vorzeichen:
[ - vom griechischen Begriff dunamiV (dynamis - Stärke), der das Quadrat des Unbekannten bezeichnet, - vom griechischen cuboV (k_ybos) - Würfel]. Rechts neben dem Unbekannten oder seinen Graden schrieb Diophantus die Koeffizienten, zum Beispiel wurde 3x5 dargestellt
(wobei = 3). Beim Addieren ordnete Diophantus Terme einander zu, beim Subtrahieren verwendete er ein Sonderzeichen; Diophantus bezeichnete die Gleichheit mit dem Buchstaben i [aus dem Griechischen isoV (isos) - gleich]. Zum Beispiel die Gleichung
(x 3 + 8x) - (5x 2 + 1) =X
Diophantus würde es so schreiben:
(hier
bedeutet, dass die Einheit keinen Multiplikator in Form einer Potenz des Unbekannten hat).
Einige Jahrhunderte später führten die Indianer verschiedene ein Mathematische Zeichen für mehrere Unbekannte (Abkürzungen für die Namen von Farben, die Unbekannte bezeichnen), Quadrat, Quadratwurzel, subtrahierte Zahl. Also die Gleichung
3X 2 + 10x - 8 = x 2 + 1
Bei der Aufnahme Brahmagupta (7. Jahrhundert) würde so aussehen:
Ya va 3 ya 10 ru 8
Ya va 1 ya 0 ru 1
(ya - von yavat - tawat - unbekannt, va - von varga - Quadratzahl, ru - von rupa - Rupienmünze - ein freies Mitglied, ein Punkt über der Zahl bedeutet die zu subtrahierende Zahl).
Die Entstehung der modernen algebraischen Symbolik geht auf das 14. bis 17. Jahrhundert zurück; sie wurde durch die Erfolge der praktischen Arithmetik und des Studiums der Gleichungen bestimmt. In verschiedenen Ländern treten spontan auf Mathematische Zeichen für einige Aktionen und für Kräfte von unbekannter Größe. Viele Jahrzehnte und sogar Jahrhunderte vergehen, bis das eine oder andere praktische Symbol entwickelt wird. Also, am Ende des 15. und. N. Shuke und ich. Pacioli verwendete Additions- und Subtraktionszeichen
(von lat. plus und minus) führten deutsche Mathematiker das moderne + (wahrscheinlich eine Abkürzung von lat. et) und - ein. Zurück im 17. Jahrhundert kann ungefähr zehn zählen Mathematische Zeichen für die Multiplikationsoperation.
waren anders u Mathematische Zeichen unbekannt und seine Grade. Im 16. - frühen 17. Jahrhundert. allein um das Quadrat des Unbekannten wetteiferten beispielsweise mehr als zehn Notationen se(von census - ein lateinischer Begriff, der als Übersetzung des griechischen dunamiV diente, Q(von quadratum), , A (2), , Aii, äh, eine 2 usw. Also die Gleichung
x 3 + 5 x = 12
der italienische Mathematiker G. Cardano (1545) hätte die Form:
vom deutschen Mathematiker M. Stiefel (1544):
vom italienischen Mathematiker R. Bombelli (1572):
Französischer Mathematiker F. Vieta (1591):
vom englischen Mathematiker T. Harriot (1631):
Im 16. und frühen 17. Jahrhundert Gleichheitszeichen und Klammern kommen zum Einsatz: Quadrat (R. Bombelli , 1550), rund (N. Tartaglia, 1556), lockig (F. viet, 1593). Im 16. Jahrhundert Die moderne Form verwendet die Notation von Brüchen.
Ein bedeutender Fortschritt in der Entwicklung der mathematischen Symbolik war die Einführung von Vieta (1591) Mathematische Zeichen für beliebige Konstanten in Form von Großbuchstaben des lateinischen Alphabets B, D, was es ihm erstmals ermöglichte, algebraische Gleichungen mit beliebigen Koeffizienten aufzuschreiben und mit ihnen zu operieren. Unbekannte Viet dargestellt Vokale in Großbuchstaben A, E, ... Zum Beispiel die Aufzeichnung Vieta
In unseren Symbolen sieht es so aus:
x 3 + 3bx = d.
Viet war der Schöpfer algebraischer Formeln. R. Descartes (1637) gab den Zeichen der Algebra ein modernes Aussehen und bezeichnete Unbekannte mit den letzten Buchstaben von lat. Alphabet x, y, z, und beliebige Mengenangaben - in Anfangsbuchstaben a, b, c. Er besitzt auch die aktuelle Urkunde des Abschlusses. Die Notation von Descartes hatte einen großen Vorteil gegenüber allen vorherigen. Daher erhielten sie bald allgemeine Anerkennung.
Weitere Entwicklung Mathematische Zeichen war eng verbunden mit der Entstehung der Infinitesimalanalyse, für deren Entwicklung die Symbolik bereits weitgehend in der Algebra vorbereitet war.
Daten des Auftretens einiger mathematischer Zeichen
| Schild | Bedeutung | Wer eingeführt | Bei Einführung |
| Zeichen einzelner Objekte | |||
| ¥ | Unendlichkeit | J. Wallis | 1655 |
| e | Basis natürlicher Logarithmen | L.Euler | 1736 |
| p | Verhältnis von Umfang zu Durchmesser | W. Jones L.Euler | 1706 |
| ich | Quadratwurzel von -1 | L.Euler | 1777 (im Druck 1794) |
| ich j k | Einheitsvektoren, ort | W.Hamilton | 1853 |
| P (ein) | Winkel der Parallelität | N.I. Lobatschewski | 1835 |
| Zeichen variabler Objekte | |||
| x, y, z | Unbekannte oder Variablen | R. Descartes | 1637 |
| r | Vektor | O. Koshy | 1853 |
| Zeichen einzelner Operationen | |||
| + | Zusatz | Deutsche Mathematiker | Ende des 15. Jahrhunderts |
| – | Subtraktion |
||
| ´ | Multiplikation | W. Outred | 1631 |
| × | Multiplikation | G. Leibniz | 1698 |
| : | Aufteilung | G. Leibniz | 1684 |
| a 2 , a 3 ,…, ein n | Grad | R. Descartes | 1637 |
| I. Newton | 1676 |
||
| | Wurzeln | K. Rudolf | 1525 |
| A. Girard | 1629 |
||
| Protokoll | Logarithmus | I. Kepler | 1624 |
| Protokoll | B. Cavalieri | 1632 |
|
| Sünde | Sinus | L.Euler | 1748 |
| cos | Kosinus |
||
| tg | Tangente | L.Euler | 1753 |
| Bogensünde | Arkussinus | J.Lagrange | 1772 |
Sch | hyperbolischer Sinus | V. Riccati | 1757 |
CH | hyperbolischer Kosinus |
||
| dx, ddx, … | Differential | G. Leibniz | 1675 (im Druck 1684) |
d2x, d3x, … |
|||
| | Integral- | G. Leibniz | 1675 (im Druck 1686) |
| | Derivat | G. Leibniz | 1675 |
| ¦¢x | Derivat | J.Lagrange | 1770, 1779 |
| du |
|||
| ¦¢(x) |
|||
| Dx | Unterschied | L.Euler | 1755 |
| | partielle Ableitung | A. Legendre | 1786 |
| | bestimmtes Integral | J. Fourier | 1819-22 |
| | Summe | L.Euler | 1755 |
| P | Arbeit | K. Gauß | 1812 |
| ! | Fakultät | K. Crump | 1808 |
| |x| | Modul | K. Weierstraß | 1841 |
| lim | Grenze | W.Hamilton, viele Mathematiker | 1853, frühes 20. Jahrhundert |
| lim |
|||
| n = ¥ |
|||
| lim |
|||
| n ® ¥ |
|||
| x | Zeta-Funktion | B. Riemann | 1857 |
| G | Gamma-Funktion | A. Legendre | 1808 |
| BEIM | Beta-Funktion | J. Binet | 1839 |
| D | Delta (Laplace-Operator) | R. Murphy | 1833 |
| Ñ | Nabla (Hamilton-Operator) | W.Hamilton | 1853 |
| Zeichen variabler Operationen | |||
| jx | Funktion | I. Bernoulli | 1718 |
| f(x) | L.Euler | 1734 |
|
| Zeichen individueller Beziehungen | |||
| = | Gleichberechtigung | R. Rekord | 1557 |
| > | mehr | T. Harriot | 1631 |
| < | kleiner |
||
| º | Vergleichbarkeit | K. Gauß | 1801 |
| | Parallelität | W. Outred | 1677 |
| ^ | Rechtwinkligkeit | P. Erigon | 1634 |
UND. Newton führte in seiner Methode der Flüsse und Ströme (1666 und folgende Jahre) Zeichen für aufeinanderfolgende Flüsse (Ableitungen) der Größe (in der Form
und für ein unendlich kleines Inkrement Ö. Etwas früher J. Wallis (1655) schlug das Unendlichkeitszeichen ¥ vor.
Der Schöpfer der modernen Symbolik der Differential- und Integralrechnung ist G. Leibniz. Insbesondere er gehört zu den aktuell Gebräuchlichen Mathematische Zeichen Unterschiede
dx, d 2 x, d 3 x
und integral
Ein großes Verdienst bei der Schaffung der Symbolik der modernen Mathematik gehört L. Euler. Er führte (1734) das erste Zeichen der variablen Operation, nämlich das Vorzeichen der Funktion, in den allgemeinen Gebrauch ein f(x) (von lat. Funktion). Nach Eulers Arbeit erhielten die Zeichen für viele einzelne Funktionen, wie beispielsweise trigonometrische Funktionen, einen einheitlichen Charakter. Euler besitzt die Notation für Konstanten e(Basis natürlicher Logarithmen, 1736), p [wahrscheinlich von griech. perijereia (periphereia) - Umfang, Peripherie, 1736], imaginäre Einheit
(aus dem französischen imaginaire - imaginär, 1777, veröffentlicht 1794).
Im 19. Jahrhundert Die Rolle der Symbolik wächst. Zu diesem Zeitpunkt Vorzeichen des Absolutwertes |x| (ZU. Weierstraß, 1841), Vektor (O. Cauchy, 1853), Bestimmer
(SONDERN. Cayley, 1841) ua Viele im 19. Jahrhundert entstandene Theorien wie die Tensorrechnung konnten ohne entsprechende Symbolik nicht entwickelt werden.
Zusammen mit dem festgelegten Standardisierungsprozess Mathematische Zeichen in der modernen Literatur findet man oft Mathematische Zeichen von einzelnen Autoren nur im Rahmen dieser Studie verwendet.
Aus Sicht der mathematischen Logik, unter Mathematische Zeichen folgende Hauptgruppen lassen sich skizzieren: A) Zeichen von Objekten, B) Zeichen von Operationen, C) Zeichen von Relationen. Beispielsweise stellen die Zeichen 1, 2, 3, 4 Zahlen dar, dh arithmetisch untersuchte Objekte. Das Zusatzzeichen + allein stellt kein Objekt dar; es erhält inhaltlichen Inhalt, wenn angegeben wird, welche Zahlen hinzugefügt werden: Die Notation 1 + 3 stellt die Zahl 4 dar. Das Zeichen > (größer als) ist das Zeichen der Beziehung zwischen Zahlen. Das Zeichen der Relation erhält einen ganz bestimmten Inhalt, wenn angegeben wird, zwischen welchen Objekten die Relation betrachtet wird. Zu den oben genannten drei Hauptgruppen Mathematische Zeichen grenzt an das vierte: D) Hilfszeichen, die die Reihenfolge der Kombination der Hauptzeichen festlegen. Eine ausreichende Vorstellung von solchen Zeichen wird durch Klammern gegeben, die die Reihenfolge angeben, in der Aktionen ausgeführt werden.
Die Zeichen jeder der drei Gruppen A), B) und C) sind von zwei Arten: 1) individuelle Zeichen von wohldefinierten Objekten, Operationen und Beziehungen, 2) allgemeine Zeichen von „sich nicht wiederholenden“ oder „unbekannten“ Objekten , Operationen und Beziehungen.
Beispiele für Zeichen der ersten Art können dienen (siehe auch Tabelle):
A 1) Notation natürlicher Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; transzendente Zahlen e und P; imaginäre Einheit ich.
B 1) Rechenzeichen +, -, ·, ´,:; Wurzelextraktion, Differenzierung
Vorzeichen von Summe (Vereinigung) È und Produkt (Schnitt) Ç von Mengen; dazu gehören auch die Vorzeichen der einzelnen Funktionen sin, tg, log usw.
1) Gleich- und Ungleichheitszeichen =, >,<, ¹, знаки параллельности || и перпендикулярности ^, знаки принадлежности Î элемента некоторому множеству и включения Ì одного множества в другое и т.п.
Zeichen der zweiten Art stellen willkürliche Objekte, Operationen und Beziehungen einer bestimmten Klasse oder Objekte, Operationen und Beziehungen dar, die bestimmten vorbestimmten Bedingungen unterliegen. Zum Beispiel beim Schreiben der Identität ( a + b)(a - b) = a 2 -b 2 Buchstaben a und b bezeichnen willkürliche Zahlen; beim Studium der funktionellen Abhängigkeit beim = X 2 Buchstaben X und ja - beliebige Zahlen, die in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen; beim Lösen der Gleichung
X bezeichnet eine beliebige Zahl, die die gegebene Gleichung erfüllt (durch Lösen dieser Gleichung erfahren wir, dass nur zwei mögliche Werte +1 und -1 dieser Bedingung entsprechen).
Aus logischer Sicht ist es legitim, solche allgemeinen Zeichen Zeichen von Variablen zu nennen, wie es in der mathematischen Logik üblich ist, ohne Angst davor zu haben, dass der „Änderungsbereich“ einer Variablen möglicherweise aus einem einzigen besteht Objekt oder sogar „leer“ (z. B. bei Gleichungen ohne Lösung). Weitere Beispiele für solche Zeichen sind:
A 2) Bezeichnung von Punkten, Linien, Ebenen und komplexeren geometrischen Formen mit Buchstaben in der Geometrie.
B 2) Notation f, , j für Funktionen und Notation der Operatorrechnung, wenn ein Buchstabe L stellen beispielsweise einen beliebigen Operator der Form dar:
Die Notation für „variable Verhältnisse“ ist weniger gebräuchlich und wird nur in der mathematischen Logik verwendet (vgl. Algebra der Logik ) und in relativ abstrakten, meist axiomatischen, mathematischen Studien.
Zündete.: Cajori, Eine Geschichte mathematischer Notationen, v. 1-2, Chi., 1928-29.
Artikel über das Wort Mathematische Zeichen" in der Großen Sowjetischen Enzyklopädie wurde 39767 mal gelesen
Unendlichkeit.J. Wallis (1655).
Zum ersten Mal findet es sich in der Abhandlung des englischen Mathematikers John Valis „On Conic Sections“.
Basis natürlicher Logarithmen. L.Euler (1736).
Mathematische Konstante, transzendente Zahl. Diese Nummer wird manchmal angerufen Nicht-Perov zu Ehren der Schotten Wissenschaftler Napier, Autor der Arbeit "Beschreibung der erstaunlichen Logarithmentabelle" (1614). Zum ersten Mal ist die Konstante stillschweigend im Anhang der englischen Übersetzung des oben genannten Werks von Napier enthalten, die 1618 veröffentlicht wurde. Dieselbe Konstante wurde erstmals von dem Schweizer Mathematiker Jacob Bernoulli im Zuge der Lösung des Problems des Grenzwertes von Zinserträgen berechnet.
2,71828182845904523...
Die erste bekannte Verwendung dieser Konstante, wo sie mit dem Buchstaben bezeichnet wurde b, gefunden in Leibniz' Briefen an Huygens, 1690-1691. Buchstabe e fing 1727 an, Euler zu verwenden, und die erste Veröffentlichung mit diesem Brief war seine Mechanik, oder die Wissenschaft der Bewegung, Angegeben Analytisch, 1736. Bzw, e allgemein genannt Euler-Zahl. Warum wurde der Buchstabe gewählt? e, ist nicht genau bekannt. Vielleicht liegt das daran, dass das Wort damit beginnt exponentiell("exponentiell", "exponentiell"). Eine andere Annahme ist, dass die Buchstaben a, b, c und d bereits weit verbreitet für andere Zwecke, und e war der erste "kostenlose" Brief.
Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. W. Jones (1706), L. Euler (1736).
Mathematische Konstante, irrationale Zahl. Die Zahl "pi", der alte Name ist Ludolfs Zahl. Wie jede irrationale Zahl wird π durch einen unendlichen nicht periodischen Dezimalbruch dargestellt:
π=3.141592653589793...
Die Bezeichnung dieser Zahl mit dem griechischen Buchstaben π wurde erstmals von dem britischen Mathematiker William Jones in dem Buch A New Introduction to Mathematics verwendet und nach den Arbeiten von Leonhard Euler allgemein akzeptiert. Diese Bezeichnung kommt vom Anfangsbuchstaben der griechischen Wörter περιφερεια - Kreis, Umfang und περιμετρος - Umfang. Johann Heinrich Lambert bewies 1761 die Irrationalität von π und Adrien Marie Legendre bewies 1774 die Irrationalität von π 2 . Legendre und Euler nahmen an, dass π transzendent sein könnte, d.h. kann keine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten erfüllen, was schließlich 1882 von Ferdinand von Lindemann bewiesen wurde.
imaginäre Einheit. L. Euler (1777, im Druck - 1794).
Es ist bekannt, dass die Gleichung x 2 \u003d 1 hat zwei Wurzeln: 1 und -1 . Die imaginäre Einheit ist eine der beiden Wurzeln der Gleichung x 2 \u003d -1, gekennzeichnet durch den lateinischen Buchstaben ich, eine andere Wurzel: -ich. Diese Bezeichnung wurde von Leonhard Euler vorgeschlagen, der dafür den Anfangsbuchstaben des lateinischen Wortes nahm Imaginär(imaginär). Er erweiterte auch alle Standardfunktionen auf den komplexen Bereich, d.h. in der Form darstellbare Zahlenmenge a+ib, wo a und b sind reelle Zahlen. Der Begriff „komplexe Zahl“ wurde 1831 vom deutschen Mathematiker Carl Gauß weit verbreitet, obwohl der Begriff zuvor 1803 vom französischen Mathematiker Lazar Carnot im gleichen Sinne verwendet worden war.
Einheitsvektoren. W.Hamilton (1853).
Einheitsvektoren werden häufig den Koordinatenachsen des Koordinatensystems (insbesondere den Achsen des kartesischen Koordinatensystems) zugeordnet. Entlang der Achse gerichteter Einheitsvektor X, bezeichnet ich, ein entlang der Achse gerichteter Einheitsvektor Y, bezeichnet j, und dem entlang der Achse gerichteten Einheitsvektor Z, bezeichnet k. Vektoren ich, j, k werden Orte genannt, sie haben Identitätsmodule. Der Begriff „ort“ wurde von dem englischen Mathematiker und Ingenieur Oliver Heaviside (1892) und der Notation eingeführt ich, j, k Der irische Mathematiker William Hamilton.
Der ganzzahlige Teil einer Zahl, antie. K. Gauß (1808).
Der ganzzahlige Teil der Zahl [x] der Zahl x ist die größte ganze Zahl, die x nicht überschreitet. Also =5, [-3,6]=-4. Die Funktion [x] wird auch "Antier von x" genannt. Das ganzzahlige Teilfunktionssymbol wurde 1808 von Carl Gauß eingeführt. Einige Mathematiker ziehen es vor, stattdessen die 1798 von Legendre vorgeschlagene Notation E(x) zu verwenden.
Winkel der Parallelität. N.I. Lobatschewski (1835).
Auf der Lobachevsky-Ebene - der Winkel zwischen der Liniebdurch den Punkt gehenÖparallel zu einer Geradena, ohne PunktÖ, und senkrecht vonÖ auf der a. α ist die Länge dieser Senkrechten. Wie der Punkt entfernt wirdÖ von gerade ader Parallelitätswinkel nimmt von 90° auf 0° ab. Lobatschewski gab eine Formel für den Winkel der Parallelität anP( α )=2arctg e - α /q , wo q ist eine Konstante, die mit der Krümmung des Lobatschewski-Raums zusammenhängt.
Unbekannte oder variable Mengen. R. Descartes (1637).
In der Mathematik ist eine Variable eine Größe, die durch die Menge von Werten gekennzeichnet ist, die sie annehmen kann. Dies kann sowohl eine reale physikalische Größe bedeuten, die vorübergehend isoliert von ihrem physikalischen Kontext betrachtet wird, als auch eine abstrakte Größe, die keine Entsprechungen in der realen Welt hat. Das Konzept einer Variablen entstand im 17. Jahrhundert. zunächst unter dem Einfluss naturwissenschaftlicher Forderungen, die das Studium von Bewegungen, Prozessen und nicht nur Zuständen in den Vordergrund rückten. Dieses Konzept erforderte neue Ausdrucksformen. Die wörtliche Algebra und die analytische Geometrie von René Descartes waren solche neuen Formen. Das rechtwinklige Koordinatensystem und die Notation x, y wurden erstmals 1637 von Rene Descartes in seinem Werk „Discourse on the method“ eingeführt. Pierre Fermat trug auch zur Entwicklung der Koordinatenmethode bei, seine Arbeit wurde jedoch erst nach seinem Tod veröffentlicht. Descartes und Fermat verwendeten die Koordinatenmethode nur in der Ebene. Die Koordinatenmethode für den dreidimensionalen Raum wurde erstmals von Leonhard Euler bereits im 18. Jahrhundert angewendet.
Vektor. O. Koshi (1853).
Unter einem Vektor wird von vornherein ein Objekt verstanden, das einen Betrag, eine Richtung und (optional) einen Angriffspunkt hat. Die Anfänge der Vektorrechnung tauchten zusammen mit dem geometrischen Modell der komplexen Zahlen bei Gauß (1831) auf. Fortgeschrittene Operationen an Vektoren wurden von Hamilton als Teil seines Quaternion-Kalküls veröffentlicht (die imaginären Komponenten eines Quaternions bildeten einen Vektor). Hamilton hat den Begriff geprägt Vektor(vom lateinischen Wort Vektor, Träger) und beschrieb einige Vektoranalyseoperationen. Dieser Formalismus wurde von Maxwell in seinen Arbeiten zum Elektromagnetismus verwendet, wodurch die Aufmerksamkeit der Wissenschaftler auf den neuen Kalkül gelenkt wurde. Gibbs' Elemente der Vektoranalyse (1880er Jahre) folgten bald, und dann gab Heaviside (1903) der Vektoranalyse ihr modernes Aussehen. Das Vektorzeichen selbst wurde 1853 vom französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy eingeführt.
Addition Subtraktion. J. Widman (1489).
Die Plus- und Minuszeichen wurden offenbar in der deutschen mathematischen Schule der „Kossisten“ (also Algebraiker) erfunden. Sie werden in Jan (Johannes) Widmanns Lehrbuch A Quick and Pleasant Count for All Merchants verwendet, das 1489 veröffentlicht wurde. Zuvor wurde die Addition durch den Buchstaben gekennzeichnet p(aus dem Lateinischen Plus"mehr") oder das lateinische Wort et(Konjunktion "und") und Subtraktion - per Buchstabe m(aus dem Lateinischen Minus-„weniger, weniger“). Bei Widman ersetzt das Pluszeichen nicht nur die Addition, sondern auch die Vereinigung „und“. Der Ursprung dieser Symbole ist unklar, aber höchstwahrscheinlich wurden sie früher im Handel als Zeichen für Gewinn und Verlust verwendet. Beide Symbole verbreiteten sich bald in Europa – mit Ausnahme Italiens, das etwa ein Jahrhundert lang die alten Bezeichnungen verwendete.
Multiplikation. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).
Das Multiplikationszeichen in Form eines schrägen Kreuzes wurde 1631 von dem Engländer William Outred eingeführt. Vor ihm der am häufigsten verwendete Buchstabe M, obwohl auch andere Bezeichnungen vorgeschlagen wurden: das Symbol eines Rechtecks (französischer Mathematiker Erigon, 1634), ein Sternchen (schweizerischer Mathematiker Johann Rahn, 1659). Später ersetzte Gottfried Wilhelm Leibniz das Kreuz durch einen Punkt (Ende 17. Jahrhundert), um nicht mit dem Buchstaben verwechselt zu werden x; Vor ihm wurde eine solche Symbolik von dem deutschen Astronomen und Mathematiker Regiomontanus (XV Jahrhundert) und dem englischen Wissenschaftler Thomas Harriot (1560 -1621) gefunden.
Aufteilung. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).
William Outred verwendete den Schrägstrich / als Trennzeichen. Die Doppelpunktteilung begann Gottfried Leibniz zu bezeichnen. Vor ihnen wurde auch oft der Buchstabe verwendet D. Ausgehend von Fibonacci wird auch der horizontale Bruchstrich verwendet, der von Heron, Diophantus und in arabischen Schriften verwendet wurde. In England und den Vereinigten Staaten verbreitete sich das Symbol ÷ (Obelus), das 1659 von Johann Rahn (möglicherweise unter Beteiligung von John Pell) vorgeschlagen wurde. Ein Versuch des American National Committee on Mathematical Standards ( Nationales Komitee für mathematische Anforderungen), den Obelus aus der Praxis zu entfernen (1923), war nicht schlüssig.
Prozent. Herr de la Porte (1685).
Ein Hundertstel eines Ganzen, als Einheit genommen. Das Wort „Prozent“ selbst kommt vom lateinischen „pro centum“, was „hundert“ bedeutet. 1685 erschien in Paris das Buch Manual of Commercial Arithmetic von Mathieu de la Porte. An einer Stelle ging es um Prozentzahlen, was damals „cto“ (kurz für Cento) bedeutete. Der Schriftsetzer verwechselte dieses „cto“ jedoch mit einem Bruch und tippte „%“ ein. Aufgrund eines Tippfehlers kam dieses Zeichen zum Einsatz.
Grad. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).
Die moderne Notation für den Exponenten wurde von René Descartes in seinem „ Geometrien„(1637), jedoch nur für natürliche Potenzen mit Exponenten größer als 2. Später erweiterte Isaac Newton diese Form der Notation auf negative und gebrochene Exponenten (1676), deren Interpretation zu diesem Zeitpunkt bereits vorgeschlagen worden war: der flämische Mathematiker und Ingenieur Simon Stevin, der englische Mathematiker John Vallis und der französische Mathematiker Albert Girard.
arithmetische Wurzel n Potenz einer reellen Zahl a≥0, - nicht negative Zahl n-ten Grades gleich ist a. Die Rechenwurzel 2. Grades heißt Quadratwurzel und kann ohne Gradangabe geschrieben werden: √. Die arithmetische Wurzel dritten Grades heißt Kubikwurzel. Mittelalterliche Mathematiker (zum Beispiel Cardano) bezeichneten die Quadratwurzel mit dem Symbol R x (aus dem Lateinischen Radix, Wurzel). Die moderne Bezeichnung wurde erstmals 1525 von dem deutschen Mathematiker Christoph Rudolf aus der kossistischen Schule verwendet. Dieses Symbol stammt aus dem stilisierten Anfangsbuchstaben desselben Wortes Wurzel. Die Linie über dem radikalen Ausdruck fehlte zunächst; es wurde später von Descartes (1637) für einen anderen Zweck (anstelle von Klammern) eingeführt, und dieses Merkmal verschmolz bald mit dem Zeichen der Wurzel. Die Kubikwurzel wurde im 16. Jahrhundert wie folgt bezeichnet: R x .u.cu (von lat. Radix universaliscubica). Albert Girard (1629) begann, die übliche Notation für die Wurzel eines beliebigen Grads zu verwenden. Dieses Format wurde dank Isaac Newton und Gottfried Leibniz etabliert.
Logarithmus, Dezimallogarithmus, natürlicher Logarithmus. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).
Der Begriff „Logarithmus“ gehört dem schottischen Mathematiker John Napier ( "Beschreibung der erstaunlichen Logarithmentafel", 1614); es entstand aus einer Kombination der griechischen Wörter λογος (Wort, Relation) und αριθμος (Zahl). Der Logarithmus von J. Napier ist eine Hilfszahl zur Messung des Verhältnisses zweier Zahlen. Die moderne Definition des Logarithmus wurde erstmals von dem englischen Mathematiker William Gardiner (1742) gegeben. Per Definition der Logarithmus einer Zahl b aus grund a (a ≠ 1, a > 0) - Exponent m, auf die die Zahl erhöht werden sollte a(als Basis des Logarithmus bezeichnet) zu erhalten b. Bezeichnet Log ein b. So, m = log a b, Wenn ein m = b.
Die ersten Tabellen von Dezimallogarithmen wurden 1617 von Oxford-Mathematikprofessor Henry Briggs veröffentlicht. Daher werden Dezimallogarithmen im Ausland oft als Brigs bezeichnet. Der Begriff "natürlicher Logarithmus" wurde von Pietro Mengoli (1659) und Nicholas Mercator (1668) eingeführt, obwohl der Londoner Mathematiklehrer John Spidell bereits 1619 eine Tabelle natürlicher Logarithmen erstellte.
Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts gab es keine allgemein akzeptierte Schreibweise für den Logarithmus, die Basis a links und über dem Symbol angegeben Protokoll, dann drüber. Letztendlich kamen die Mathematiker zu dem Schluss, dass der bequemste Platz für die Basis unterhalb der Linie nach dem Symbol ist Protokoll. Das Vorzeichen des Logarithmus – das Ergebnis der Kürzung des Wortes „Logarithmus“ – tritt in verschiedenen Formen etwa gleichzeitig mit dem Erscheinen der ersten Logarithmentafeln auf Protokoll- I. Kepler (1624) und G. Briggs (1631), Protokoll- B. Cavalieri (1632). Bezeichnung ln für den natürlichen Logarithmus wurde von dem deutschen Mathematiker Alfred Pringsheim (1893) eingeführt.
Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens. W. Outred (Mitte 17. Jahrhundert), I. Bernoulli (18. Jahrhundert), L. Euler (1748, 1753).
Die Kurzschreibweise für Sinus und Cosinus wurde Mitte des 17. Jahrhunderts von William Outred eingeführt. Abkürzungen für Tangens und Kotangens: tg, ctg Im 18. Jahrhundert von Johann Bernoulli eingeführt, verbreiteten sie sich in Deutschland und Russland. In anderen Ländern werden die Namen dieser Funktionen verwendet. Bräune, Kinderbett bereits zu Beginn des 17. Jahrhunderts von Albert Girard vorgeschlagen. Leonhard Euler (1748, 1753) hat die Theorie der trigonometrischen Funktionen in ihre moderne Form gebracht, und wir verdanken ihm auch die Festigung der realen Symbolik.Der Begriff „trigonometrische Funktionen“ wurde 1770 von dem deutschen Mathematiker und Physiker Georg Simon Klugel eingeführt.
Die Sinuslinie wurde ursprünglich von indischen Mathematikern genannt "arha jiva"("Halbsaite", also die Hälfte des Akkords), dann das Wort "archa" wurde verworfen und die Sinuslinie wurde einfach aufgerufen "jiva". Arabische Übersetzer haben das Wort nicht übersetzt "jiva" Arabisches Wort "Vater", was die Bogensehne und den Akkord bezeichnet, und in arabische Buchstaben transkribiert und begann, die Sinuslinie zu nennen "jiba". Da kurze Vokale im Arabischen nicht angezeigt werden und lange "und" im Wort "jiba" In gleicher Weise wie der Halbvokal "y" bezeichnet, begannen die Araber, den Namen der Sinuslinie auszusprechen "halse", was wörtlich "hohl", "Busen" bedeutet. Bei der Übersetzung arabischer Werke ins Lateinische übersetzten europäische Übersetzer das Wort "halse" Lateinisches Wort Sinus, die gleiche Bedeutung haben.Der Begriff „Tangente“ (von lat.Tangenten- berührend) wurde vom dänischen Mathematiker Thomas Fincke in seiner Geometrie der Runde (1583) eingeführt.
Arkussinus. K. Scherfer (1772), J. Lagrange (1772).
Inverse trigonometrische Funktionen sind mathematische Funktionen, die die Inverse trigonometrischer Funktionen sind. Der Name der inversen trigonometrischen Funktion wird aus dem Namen der entsprechenden trigonometrischen Funktion gebildet, indem das Präfix „Bogen“ (von lat. Bogen- Bogen).Inverse trigonometrische Funktionen umfassen normalerweise sechs Funktionen: Arkussinus (arcsin), Arkuskosinus (arccos), Arkustangens (arctg), Arkuskotangens (arcctg), Arkussekans (arcsec) und Arkkosekans (arccosec). Spezielle Symbole für inverse trigonometrische Funktionen wurden erstmals von Daniel Bernoulli (1729, 1736) verwendet.Art, inverse trigonometrische Funktionen mit einem Präfix zu notieren Bogen(von lat. Bogen, arc) erschien beim österreichischen Mathematiker Karl Scherfer und fasste dank des französischen Mathematikers, Astronomen und Mechanikers Joseph Louis Lagrange Fuß. Es war gemeint, dass Sie beispielsweise mit dem üblichen Sinus den Akkord finden können, der ihm entlang eines Kreisbogens gegenüberliegt, und die Umkehrfunktion das entgegengesetzte Problem löst. Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts boten die englischen und deutschen mathematischen Schulen eine andere Schreibweise an: Sünde -1 und 1/sin, aber sie sind nicht weit verbreitet.
Hyperbolischer Sinus, hyperbolischer Kosinus. W. Riccati (1757).
Historiker entdeckten das erste Auftreten hyperbolischer Funktionen in den Schriften des englischen Mathematikers Abraham de Moivre (1707, 1722). Die moderne Definition und detaillierte Untersuchung von ihnen wurde 1757 vom Italiener Vincenzo Riccati in der Arbeit "Opusculorum" durchgeführt, er schlug auch ihre Bezeichnungen vor: Sch,CH. Riccati ging von der Betrachtung einer einzigen Hyperbel aus. Eine unabhängige Entdeckung und weitere Untersuchung der Eigenschaften hyperbolischer Funktionen wurde von dem deutschen Mathematiker, Physiker und Philosophen Johann Lambert (1768) durchgeführt, der eine breite Parallelität zwischen den Formeln der gewöhnlichen und hyperbolischen Trigonometrie feststellte. N.I. Lobachevsky verwendete später diesen Parallelismus und versuchte, die Konsistenz der nichteuklidischen Geometrie zu beweisen, in der gewöhnliche Trigonometrie durch hyperbolische ersetzt wird.
So wie der trigonometrische Sinus und Cosinus die Koordinaten eines Punktes auf einem Koordinatenkreis sind, sind der hyperbolische Sinus und Cosinus die Koordinaten eines Punktes auf einer Hyperbel. Hyperbolische Funktionen werden in Form eines Exponenten ausgedrückt und sind eng mit trigonometrischen Funktionen verwandt: sh(x)=0,5(z x-e-x) , ch(x)=0,5(e x + e – x). In Analogie zu trigonometrischen Funktionen werden hyperbolischer Tangens und Kotangens als Verhältnisse von hyperbolischem Sinus und Cosinus bzw. Cosinus und Sinus definiert.
Differential. G. Leibniz (1675, im Druck 1684).
Der lineare Hauptteil des Funktionsinkrements.Wenn die Funktion y=f(x) eine Variable x hat bei x=x0Ableitung und InkrementΔy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)Funktionen f(x) darstellen kann alsΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , wo Mitglied R unendlich klein im Vergleich zuΔx. Erstes Mitglieddy = f"(x 0 )Δxin dieser Entwicklung heißt das Differential der Funktion f(x) am Punktx0. BEIM Werke von Gottfried Leibniz, Jacob und Johann Bernoulli Wort"Unterschied"im Sinne von "Inkrement" verwendet wurde, I. Bernoulli bezeichnete es mit Δ. G. Leibniz (1675, veröffentlicht 1684) verwendete die Notation für „unendlich kleine Differenz“d- der erste Buchstabe des Wortes"Differential", von ihm aus gebildet"Unterschied".
Unbestimmtes Integral. G. Leibniz (1675, im Druck 1686).
Das Wort "Integral" wurde erstmals von Jacob Bernoulli (1690) im Druck verwendet. Vielleicht leitet sich der Begriff aus dem Lateinischen ab ganze Zahl- ganz. Nach einer anderen Annahme war die Grundlage das lateinische Wort integrieren- wiederherstellen, wiederherstellen. Das Zeichen ∫ wird in der Mathematik zur Bezeichnung eines Integrals verwendet und ist eine stilisierte Darstellung des Anfangsbuchstabens eines lateinischen Wortes summa- Summe. Es wurde erstmals Ende des 17. Jahrhunderts vom deutschen Mathematiker Gottfried Leibniz, dem Begründer der Differential- und Integralrechnung, verwendet. Ein anderer der Begründer der Differential- und Integralrechnung, Isaac Newton, bot in seinen Werken keine alternative Symbolik des Integrals an, obwohl er verschiedene Möglichkeiten ausprobierte: einen vertikalen Balken über einer Funktion oder ein quadratisches Symbol, das vor einer Funktion steht oder grenzt daran. Unbestimmtes Integral für eine Funktion y=f(x) ist die Sammlung aller Stammfunktionen der gegebenen Funktion.
Bestimmtes Integral. J. Fourier (1819-1822).
Bestimmtes Integral einer Funktion f(x) mit Untergrenze a und Obergrenze b kann als Differenz definiert werden F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , wo F(x)- einige Stammfunktion f(x) . Bestimmtes Integral ein ∫ b f(x)dx numerisch gleich der Fläche der Figur, die durch die x-Achse begrenzt ist, gerade Linien x=a und x=b und Funktionsgraph f(x). Der Entwurf eines bestimmten Integrals in der uns bekannten Form wurde Anfang des 19. Jahrhunderts von dem französischen Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph Fourier vorgeschlagen.
Derivat. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).
Ableitung - das Grundkonzept der Differentialrechnung, das die Änderungsrate einer Funktion charakterisiert f(x) wenn sich das Argument ändert x . Es ist definiert als die Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement ihres Arguments, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null geht, falls eine solche Grenze existiert. Eine Funktion, die irgendwann eine endliche Ableitung hat, heißt an dieser Stelle differenzierbar. Den Vorgang der Berechnung der Ableitung nennt man Differentiation. Der umgekehrte Vorgang ist die Integration. In der klassischen Differentialrechnung wird die Ableitung meistens durch die Konzepte der Grenzwerttheorie definiert, historisch gesehen erschien die Grenzwerttheorie jedoch später als die Differentialrechnung.
Der Begriff "Derivat" wurde 1797 von Joseph Louis Lagrange eingeführt; dy/dx— Gottfried Leibniz 1675. Die Bezeichnung der zeitlichen Ableitung mit einem Punkt über dem Buchstaben stammt von Newton (1691).Der russische Begriff „Ableitung einer Funktion“ wurde erstmals von einem russischen Mathematiker verwendetWassilij Iwanowitsch Wiskowatow (1779-1812).
Privates Derivat. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).
Für Funktionen vieler Variablen werden partielle Ableitungen definiert - Ableitungen in Bezug auf eines der Argumente, berechnet unter der Annahme, dass die verbleibenden Argumente konstant sind. Notation ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ j 1786 vom französischen Mathematiker Adrien Marie Legendre eingeführt; fx",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ x ∂ j- partielle Ableitungen zweiter Ordnung - deutscher Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).
Unterschied, Zuwachs. I. Bernoulli (spätes 17. Jahrhundert - erste Hälfte 18. Jahrhundert), L. Euler (1755).
Die Bezeichnung des Inkrements mit dem Buchstaben Δ wurde erstmals von dem Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli verwendet. Das Symbol "Delta" wurde nach der Arbeit von Leonhard Euler im Jahr 1755 allgemein üblich.
Summe. L.Euler (1755).
Die Summe ist das Ergebnis der Addition von Werten (Zahlen, Funktionen, Vektoren, Matrizen usw.). Um die Summe von n Zahlen a 1, a 2, ..., a n zu bezeichnen, wird der griechische Buchstabe "Sigma" Σ verwendet: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 ein ich . Das Summenzeichen Σ wurde 1755 von Leonhard Euler eingeführt.
Arbeit. K. Gauß (1812).
Das Produkt ist das Ergebnis der Multiplikation. Um das Produkt von n Zahlen a 1, a 2, ..., a n zu bezeichnen, wird der griechische Buchstabe "pi" Π verwendet: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Beispiel: 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). Das Symbol Π für das Produkt wurde 1812 vom deutschen Mathematiker Carl Gauß eingeführt. In der russischen mathematischen Literatur begegnete Leonty Filippovich Magnitsky erstmals 1703 dem Begriff „Arbeit“.
Fakultät. K. Krump (1808).
Die Fakultät einer Zahl n (bezeichnet als n!, ausgesprochen "en Fakultät") ist das Produkt aller natürlichen Zahlen bis einschließlich n: n! = 1 2 3 ... k. Zum Beispiel 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Per Definition 0! = 1. Die Fakultät ist nur für nicht negative ganze Zahlen definiert. Die Fakultät einer Zahl n ist gleich der Anzahl der Permutationen von n Elementen. Zum Beispiel 3! = 6, in der Tat,
♣ ♦
♣ ♦
♣ ♦
♦ ♣
♦ ♣
♦ ♣
Alle sechs und nur sechs Permutationen von drei Elementen.
Der Begriff „Fakultät“ wurde von dem französischen Mathematiker und Politiker Louis Francois Antoine Arbogast (1800) eingeführt, die Bezeichnung n! - Der französische Mathematiker Christian Kramp (1808).
Modul, Absolutwert. K. Weierstrass (1841).
Modul, der Absolutwert der reellen Zahl x - eine nicht negative Zahl, die wie folgt definiert ist: |x| = x für x ≥ 0 und |x| = -x für x ≤ 0. Zum Beispiel |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modul einer komplexen Zahl z = a + ib ist eine reelle Zahl gleich √(a 2 + b 2).
Es wird angenommen, dass der Begriff "Modul" von dem englischen Mathematiker und Philosophen, einem Schüler von Newton, Roger Cotes, vorgeschlagen wurde. Auch Gottfried Leibniz verwendete diese Funktion, die er „Modul“ nannte und bezeichnete: mol x. Die allgemein akzeptierte Notation für den Absolutwert wurde 1841 von dem deutschen Mathematiker Karl Weierstraß eingeführt. Für komplexe Zahlen wurde dieses Konzept Anfang des 19. Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Augustin Cauchy und Jean Robert Argan eingeführt. 1903 verwendete der österreichische Wissenschaftler Konrad Lorenz dieselbe Symbolik für die Länge eines Vektors.
Norm. E.Schmidt (1908).
Eine Norm ist eine Funktion, die auf einem Vektorraum definiert ist und das Konzept der Länge eines Vektors oder des Betrags einer Zahl verallgemeinert. Das Zeichen „Norm“ (vom lateinischen Wort „norma“ – „Regel“, „Probe“) wurde 1908 von dem deutschen Mathematiker Erhard Schmidt eingeführt.
Grenze. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), viele Mathematiker (bis Anfang des 20. Jahrhunderts)
Limit - eines der Grundkonzepte der mathematischen Analyse, was bedeutet, dass sich ein variabler Wert im Verlauf seiner betrachteten Änderung einem bestimmten konstanten Wert auf unbestimmte Zeit nähert. Der Grenzwertbegriff wurde bereits in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts von Isaac Newton, aber auch von Mathematikern des 18. Jahrhunderts wie Leonhard Euler und Joseph Louis Lagrange intuitiv verwendet. Die ersten strengen Definitionen des Grenzwerts einer Folge wurden 1816 von Bernard Bolzano und 1821 von Augustin Cauchy gegeben. Das Symbol lim (die ersten 3 Buchstaben des lateinischen Wortes limes - Grenze) erschien 1787 mit dem Schweizer Mathematiker Simon Antoine Jean Lhuillier, aber seine Verwendung ähnelte noch nicht der modernen. Der Ausdruck lim in einer uns geläufigeren Form wurde erstmals 1853 von dem irischen Mathematiker William Hamilton verwendet.Weierstraß führte eine Bezeichnung ein, die der modernen nahe kommt, aber anstelle des üblichen Pfeils verwendete er das Gleichheitszeichen. Der Pfeil tauchte Anfang des 20. Jahrhunderts gleich bei mehreren Mathematikern auf – zum Beispiel 1908 beim englischen Mathematiker Godfried Hardy.
Zeta-Funktion, d Riemannsche Zetafunktion. B. Riemann (1857).
Analytische Funktion der komplexen Variablen s = σ + it, für σ > 1, bestimmt durch die absolut gleichmäßig konvergente Dirichlet-Reihe:
ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .
Für σ > 1 gilt die Darstellung in Form des Euler-Produkts:
ζ(s) = Π p (1-p -s) -s ,
wobei das Produkt über alle Primzahlen p genommen wird. Die Zeta-Funktion spielt in der Zahlentheorie eine große Rolle.Als Funktion einer reellen Variablen wurde die Zeta-Funktion 1737 (veröffentlicht 1744) von L. Euler eingeführt, der ihre Zerlegung in ein Produkt angab. Dann wurde diese Funktion vom deutschen Mathematiker L. Dirichlet und besonders erfolgreich vom russischen Mathematiker und Mechaniker P.L. Tschebyscheff bei der Untersuchung des Verteilungsgesetzes der Primzahlen. Die grundlegendsten Eigenschaften der Zeta-Funktion wurden jedoch später entdeckt, nach der Arbeit des deutschen Mathematikers Georg Friedrich Bernhard Riemann (1859), wo die Zeta-Funktion als Funktion einer komplexen Variablen betrachtet wurde; 1857 führte er auch den Namen "Zeta-Funktion" und die Notation ζ (s) ein.
Gamma-Funktion, Euler-Γ-Funktion. A. Legendre (1814).
Die Gammafunktion ist eine mathematische Funktion, die den Begriff der Fakultät auf den Bereich der komplexen Zahlen ausdehnt. Üblicherweise mit Γ(z) bezeichnet. Die z-Funktion wurde erstmals 1729 von Leonhard Euler eingeführt; es wird durch die Formel definiert:
Γ(z) = limn→∞ n!nz /z(z+1)...(z+n).
Eine große Anzahl von Integralen, unendlichen Produkten und Reihensummen werden durch die G-Funktion ausgedrückt. Weit verbreitet in der analytischen Zahlentheorie. Der Name „Gamma-Funktion“ und die Notation Γ(z) wurden 1814 vom französischen Mathematiker Adrien Marie Legendre vorgeschlagen.
Beta-Funktion, B-Funktion, Euler-B-Funktion. J. Binet (1839).
Eine Funktion zweier Variablen p und q, definiert für p>0, q>0 durch die Gleichheit:
B(p,q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.
Die Beta-Funktion kann durch die Γ-Funktion ausgedrückt werden: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).So wie die Gammafunktion für ganze Zahlen eine Verallgemeinerung der Fakultät ist, ist die Betafunktion gewissermaßen eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten.
Viele Eigenschaften werden mit der Beta-Funktion beschrieben.Elementarteilchen teilnehmen an starke Interaktion. Diese Eigenschaft ist dem italienischen theoretischen Physiker aufgefallenGabriele Veneziano im Jahr 1968. Es begann Stringtheorie.
Der Name „Beta-Funktion“ und die Notation B(p, q) wurden 1839 von dem französischen Mathematiker, Mechaniker und Astronomen Jacques Philippe Marie Binet eingeführt.
Laplace-Operator, Laplace-Operator. R. Murphy (1833).
Linearer Differenzialoperator Δ, der den Funktionen φ (x 1, x 2, ..., x n) aus n Variablen x 1, x 2, ..., x n die Funktion zuordnet:
Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.
Insbesondere stimmt für eine Funktion φ(x) einer Variablen der Laplace-Operator mit dem Operator der 2. Ableitung überein: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Die Gleichung Δφ = 0 wird üblicherweise als Laplace-Gleichung bezeichnet; daher kommen die Namen „Laplace-Operator“ oder „Laplace-Operator“. Die Notation Δ wurde 1833 vom englischen Physiker und Mathematiker Robert Murphy eingeführt.
Hamilton-Operator, Nabla-Operator, Hamilton-Operator. O. Heaviside (1892).
Vektordifferentialoperator der Form
∇ = ∂/∂x ich+ ∂/∂y j+ ∂/∂z k,
wo ich, j, und k- Koordinatenvektoren. Durch den Nabla-Operator werden die Grundoperationen der Vektoranalyse sowie der Laplace-Operator auf natürliche Weise ausgedrückt.
1853 führte der irische Mathematiker William Rowan Hamilton diesen Operator ein und prägte dafür das Symbol ∇ in Form eines umgekehrten griechischen Buchstabens Δ (Delta). Bei Hamilton zeigte die Spitze des Symbols nach links, später, in den Werken des schottischen Mathematikers und Physikers Peter Guthrie Tate, erhielt das Symbol ein modernes Aussehen. Hamilton nannte dieses Symbol das Wort "atled" (das Wort "delta" rückwärts gelesen). Später begannen englische Gelehrte, darunter Oliver Heaviside, dieses Symbol "Nabla" zu nennen, nach dem Namen des Buchstabens ∇ im phönizischen Alphabet, wo es vorkommt. Der Ursprung des Buchstabens wird mit einem Musikinstrument wie der Harfe in Verbindung gebracht, ναβλα (nabla) bedeutet im Altgriechischen „Harfe“. Der Operator wurde Hamilton-Operator oder Nabla-Operator genannt.
Funktion. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).
Ein mathematisches Konzept, das die Beziehung zwischen Elementen von Mengen widerspiegelt. Wir können sagen, dass eine Funktion ein „Gesetz“ ist, eine „Regel“, nach der jedem Element einer Menge (als Definitionsbereich bezeichnet) ein Element einer anderen Menge (als Wertebereich bezeichnet) zugewiesen wird. Das mathematische Konzept einer Funktion drückt eine intuitive Vorstellung davon aus, wie eine Größe den Wert einer anderen Größe vollständig bestimmt. Oft bedeutet der Begriff "Funktion" eine numerische Funktion; das heißt, eine Funktion, die einige Zahlen mit anderen in Einklang bringt. Mathematiker haben lange Zeit Argumente ohne Klammern gegeben, zum Beispiel so - φх. Diese Notation wurde erstmals 1718 vom Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli verwendet.Klammern wurden nur verwendet, wenn es viele Argumente gab oder wenn das Argument ein komplexer Ausdruck war. Echos dieser Zeiten sind weit verbreitet und jetzt RekordeSünde x, lg xusw. Aber allmählich wurde die Verwendung von Klammern f(x) zur allgemeinen Regel. Und das Hauptverdienst daran gebührt Leonhard Euler.
Gleichberechtigung. R. Aufzeichnung (1557).
Das Gleichheitszeichen wurde 1557 vom walisischen Arzt und Mathematiker Robert Record vorgeschlagen; Der Umriss des Charakters war viel länger als der aktuelle, da er das Bild zweier paralleler Segmente imitierte. Der Autor erklärte, dass es auf der Welt nichts Gleicheres gibt als zwei parallele Segmente gleicher Länge. Davor wurde Gleichheit in der antiken und mittelalterlichen Mathematik verbal bezeichnet (z. egal). Rene Descartes begann im 17. Jahrhundert, æ (von lat. gleich), und er verwendete das moderne Gleichheitszeichen, um anzuzeigen, dass der Koeffizient negativ sein könnte. François Viète bezeichnete die Subtraktion mit einem Gleichheitszeichen. Das Symbol des Rekords verbreitete sich nicht sofort. Die Verbreitung des Rekordsymbols wurde durch die Tatsache behindert, dass seit der Antike dasselbe Symbol verwendet wurde, um die Parallelität von Linien anzuzeigen; Am Ende wurde entschieden, das Symbol der Parallelität vertikal zu machen. In Kontinentaleuropa wurde das Zeichen „=“ erst an der Wende vom 17. zum 18. Jahrhundert von Gottfried Leibniz eingeführt, also mehr als 100 Jahre nach dem Tod von Robert Record, der es erstmals dafür verwendete.
Ungefähr gleich, ungefähr gleich. A. Günther (1882).
Schild " ≈" wurde 1882 vom deutschen Mathematiker und Physiker Adam Wilhelm Sigmund Günther als Symbol für die Beziehung "ungefähr gleich" eingeführt.
Mehr weniger. T. Harriot (1631).
Diese beiden Zeichen wurden 1631 vom englischen Astronomen, Mathematiker, Ethnographen und Übersetzer Thomas Harriot in Gebrauch genommen, davor wurden die Wörter „mehr“ und „weniger“ verwendet.
Vergleichbarkeit. K. Gauß (1801).
Vergleich - das Verhältnis zwischen zwei ganzen Zahlen n und m, was bedeutet, dass die Differenz n-m dieser Zahlen durch eine bestimmte ganze Zahl a geteilt wird, die als Vergleichsmodul bezeichnet wird; es steht geschrieben: n≡m(mod a) und lautet „Zahlen n und m sind vergleichbar modulo a“. Zum Beispiel 3≡11(mod 4), da 3-11 durch 4 teilbar ist; die Zahlen 3 und 11 sind kongruent modulo 4. Vergleiche haben viele ähnliche Eigenschaften wie Gleichheiten. So kann der Term in einem Teil des Vergleichs mit entgegengesetztem Vorzeichen auf einen anderen Teil übertragen werden, und Vergleiche mit demselben Modul können addiert, subtrahiert, multipliziert, beide Teile des Vergleichs mit derselben Zahl multipliziert werden usw. Zum Beispiel,
3≡9+2(mod 4) und 3-2≡9(mod 4)
Gleichzeitig echte Vergleiche. Und aus einem Paar wahrer Vergleiche 3≡11(mod 4) und 1≡5(mod 4) folgt die Korrektheit des Folgenden:
3+1≡11+5(mod 4)
3-1≡11-5 (Mod 4)
3 1≡11 5 (mod 4)
3 2 ≡11 2 (mod 4)
3 23≡11 23 (Mod 4)
In der Zahlentheorie werden Methoden zur Lösung verschiedener Vergleiche betrachtet, d.h. Methoden zum Finden ganzer Zahlen, die Vergleiche der einen oder anderen Art erfüllen. Modulo-Vergleiche wurden erstmals von dem deutschen Mathematiker Carl Gauß in seinem Buch Arithmetische Untersuchungen von 1801 verwendet. Zum Vergleich schlug er auch die in der Mathematik etablierte Symbolik vor.
Identität. B. Riemann (1857).
Identität - die Gleichheit zweier analytischer Ausdrücke, gültig für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Buchstaben. Die Gleichheit a+b = b+a gilt für alle Zahlenwerte von a und b, ist also eine Identität. Zur Aufzeichnung von Identitäten wird in einigen Fällen seit 1857 das Zeichen "≡" verwendet (gelesen "identisch gleich"), dessen Autor in dieser Verwendung der deutsche Mathematiker Georg Friedrich Bernhard Riemann ist. Kann geschrieben werden a+b ≡ b+a.
Rechtwinkligkeit. P. Erigon (1634).
Rechtwinkligkeit - die relative Position zweier gerader Linien, Ebenen oder einer geraden Linie und einer Ebene, in der diese Figuren einen rechten Winkel bilden. Das Zeichen ⊥ zur Bezeichnung der Rechtwinkligkeit wurde 1634 vom französischen Mathematiker und Astronomen Pierre Erigon eingeführt. Das Konzept der Rechtwinkligkeit hat eine Reihe von Verallgemeinerungen, aber alle werden in der Regel von dem Zeichen ⊥ begleitet.
Parallelität. W. Outred (posthume Ausgabe von 1677).
Parallelität - die Beziehung zwischen einigen geometrischen Formen; zum Beispiel gerade Linien. Je nach Geometrie unterschiedlich definiert; zum Beispiel in der Geometrie von Euklid und in der Geometrie von Lobachevsky. Das Zeichen der Parallelität ist seit der Antike bekannt, es wurde von Heron und Pappus von Alexandria verwendet. Anfangs ähnelte das Symbol dem aktuellen Gleichheitszeichen (nur länger), aber mit dem Aufkommen des letzteren wurde das Symbol vertikal gedreht, um Verwirrung zu vermeiden ||. Sie erschien in dieser Form erstmals 1677 in einer posthumen Ausgabe der Werke des englischen Mathematikers William Outred.
Kreuzung, Vereinigung. J. Peano (1888).
Eine Schnittmenge von Mengen ist eine Menge, die genau die Elemente enthält, die gleichzeitig zu allen gegebenen Mengen gehören. Die Vereinigung von Mengen ist eine Menge, die alle Elemente der ursprünglichen Mengen enthält. Schnitt und Vereinigung werden auch Mengenoperationen genannt, die bestimmten Mengen nach den obigen Regeln neue Mengen zuweisen. Mit ∩ bzw. ∪ bezeichnet. Zum Beispiel, wenn
A= (♠ ♣) und B= (♣ ♦ ),
Dass
A∩B= {♣ }
A∪B= {♠ ♣ ♦ } .
Enthält, enthält. E. Schröder (1890).
Wenn A und B zwei Mengen sind und es in A keine Elemente gibt, die nicht zu B gehören, dann sagen sie, dass A in B enthalten ist. Sie schreiben A⊂B oder B⊃A (B enthält A). Zum Beispiel,
{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }
{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }
Die Symbole „enthält“ und „enthält“ tauchten 1890 mit dem deutschen Mathematiker und Logiker Ernst Schröder auf.
Zugehörigkeit. J. Peano (1895).
Wenn a ein Element der Menge A ist, dann schreibe a∈A und lese "a gehört zu A". Wenn a kein Element von A ist, schreibe a∉A und lies „a gehört nicht zu A“. Anfangs wurden die Relationen „enthalten“ und „gehören“ („ist ein Element“) nicht unterschieden, aber im Laufe der Zeit erforderten diese Konzepte eine Unterscheidung. Das Zugehörigkeitszeichen ∈ wurde erstmals 1895 vom italienischen Mathematiker Giuseppe Peano verwendet. Das Symbol ∈ kommt vom Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes εστι – sein.
Der universelle Quantor, der Existenzquantor. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).
Ein Quantor ist eine allgemeine Bezeichnung für logische Operationen, die den Wahrheitsbereich eines Prädikats (mathematische Aussage) angeben. Philosophen haben lange auf logische Operationen geachtet, die den Umfang der Wahrheit eines Prädikats einschränken, sie jedoch nicht als separate Klasse von Operationen herausgegriffen. Obwohl quantorenlogische Konstruktionen sowohl in der Wissenschaft als auch in der Alltagssprache weit verbreitet sind, erfolgte ihre Formalisierung erst 1879 in dem Buch des deutschen Logikers, Mathematikers und Philosophen Friedrich Ludwig Gottlob Frege „Die Kalkül der Begriffe“. Freges Notation sah aus wie umständliche grafische Konstruktionen und wurde nicht akzeptiert. In der Folge wurden viele weitere erfolgreiche Symbole vorgeschlagen, aber die Notation ∃ für den existenziellen Quantor (sprich „existiert“, „es gibt“), die 1885 vom amerikanischen Philosophen, Logiker und Mathematiker Charles Pierce vorgeschlagen wurde, und ∀ für den universellen Quantor ( gelesen "any", "each", "any"), gebildet von dem deutschen Mathematiker und Logiker Gerhard Karl Erich Gentzen 1935 in Analogie zum Existenzquantorensymbol (den vertauschten Anfangsbuchstaben der englischen Wörter Existence (existence) und Any ( irgendein)). Zum Beispiel der Eintrag
(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)
lautet wie folgt: „Für jedes ε>0 gibt es δ>0, sodass für alle x ungleich x 0 und die Ungleichung |x-x 0 | erfüllen<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".
Leeres Set. N. Bourbaki (1939).
Eine Menge, die kein Element enthält. Das Leerzeichen wurde 1939 in den Büchern von Nicolas Bourbaki eingeführt. Bourbaki ist das kollektive Pseudonym einer 1935 gegründeten Gruppe französischer Mathematiker. Einer der Mitglieder der Bourbaki-Gruppe war Andre Weil, der Autor des Ø-Symbols.
Q.E.D. D. Knuth (1978).
In der Mathematik versteht man unter einem Beweis eine auf bestimmten Regeln beruhende Folge von Argumenten, die zeigen, dass eine bestimmte Aussage wahr ist. Seit der Renaissance wird das Ende eines Beweises von Mathematikern mit „Q.E.D.“ bezeichnet, nach dem lateinischen Ausdruck „Quod Erat Demonstrandum“ – „Was zu beweisen war“. Bei der Erstellung des Computerlayoutsystems ΤΕΧ im Jahr 1978 verwendete der amerikanische Informatikprofessor Donald Edwin Knuth ein Symbol: ein gefülltes Quadrat, das sogenannte "Halmos-Symbol", benannt nach dem amerikanischen Mathematiker ungarischer Herkunft Paul Richard Halmos. Heute wird die Fertigstellung eines Proofs üblicherweise mit dem Halmos-Symbol gekennzeichnet. Alternativ werden andere Zeichen verwendet: ein leeres Quadrat, ein rechtwinkliges Dreieck, // (zwei Schrägstriche) sowie die russische Abkürzung "ch.t.d.".
