Wenn die Determinante eines homogenen Systems gleich Null ist, dann. Die Determinante auf eine Dreiecksform bringen

Cramers Methode basiert auf der Verwendung von Determinanten beim Lösen von linearen Gleichungssystemen. Dies beschleunigt den Lösungsprozess erheblich.

Das Cramer-Verfahren kann verwendet werden, um ein System aus so vielen linearen Gleichungen zu lösen, wie es in jeder Gleichung Unbekannte gibt. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, kann das Cramer-Verfahren zur Lösung verwendet werden, ist sie gleich Null, dann nicht. Darüber hinaus kann das Cramer-Verfahren verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, die eine eindeutige Lösung haben.

Definition. Die aus den Koeffizienten der Unbekannten zusammengesetzte Determinante wird Determinante des Systems genannt und mit (delta) bezeichnet.

Determinanten

erhält man, indem man die Koeffizienten an den entsprechenden Unbekannten durch freie Terme ersetzt:

;

Satz von Cramer. Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, hat das lineare Gleichungssystem eine einzige Lösung, und die Unbekannte ist gleich dem Verhältnis der Determinanten. Der Nenner enthält die Determinante des Systems, und der Zähler enthält die Determinante, die man aus der Determinante des Systems erhält, indem man die Koeffizienten durch die Unbekannten durch freie Terme ersetzt. Dieser Satz gilt für ein System linearer Gleichungen beliebiger Ordnung.

Beispiel 1 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:

Entsprechend Satz von Cramer wir haben:

Also, die Lösung von System (2):

Online-Rechner, Lösungsverfahren nach Cramer.

Drei Fälle beim Lösen von linearen Gleichungssystemen

Wie aus hervorgeht Cramers Theoreme, beim Lösen eines linearen Gleichungssystems können drei Fälle auftreten:

Erster Fall: Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung

(das System ist konsistent und eindeutig)

Zweiter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen

(das System ist konsistent und unbestimmt)

** ,

jene. die Koeffizienten der Unbekannten und der freien Terme sind proportional.

Dritter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösungen

(systeminkonsistent)

Also das System m lineare Gleichungen mit n Variablen aufgerufen wird unvereinbar wenn es keine Lösungen hat, und gemeinsam wenn es mindestens eine Lösung gibt. Ein gemeinsames Gleichungssystem, das nur eine Lösung hat, wird aufgerufen sicher, und mehr als eine unsicher.

Beispiele für das Lösen linearer Gleichungssysteme nach der Cramer-Methode

Lassen Sie das System

Basierend auf dem Satz von Cramer

………….
,

wo
-

Systemkennung. Die restlichen Determinanten erhält man, indem man die Spalte mit den Koeffizienten der entsprechenden Variablen (unbekannt) durch freie Mitglieder ersetzt:

Beispiel 2

Daher ist das System definitiv. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten

Nach Cramers Formeln finden wir:

Also ist (1; 0; -1) die einzige Lösung des Systems.

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

Wenn es in einer oder mehreren Gleichungen keine Variablen im linearen Gleichungssystem gibt, dann sind in der Determinante die ihnen entsprechenden Elemente gleich Null! Dies ist das nächste Beispiel.

Beispiel 3 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:

Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:

Schauen Sie sich das Gleichungssystem und die Determinante des Systems genau an und wiederholen Sie die Antwort auf die Frage, in welchen Fällen ein oder mehrere Elemente der Determinante gleich Null sind. Die Determinante ist also nicht gleich Null, also ist das System definitiv. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten für die Unbekannten

Nach Cramers Formeln finden wir:

Die Lösung des Systems ist also (2; -1; 1).

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

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Wir lösen weiterhin gemeinsam Systeme nach der Cramer-Methode

Wenn, wie bereits erwähnt, die Determinante des Systems gleich Null ist und die Determinanten für die Unbekannten ungleich Null sind, ist das System inkonsistent, d. h. es hat keine Lösungen. Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:

Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:

Die Determinante des Systems ist gleich Null, daher ist das lineare Gleichungssystem entweder inkonsistent und eindeutig oder inkonsistent, dh es hat keine Lösungen. Zur Verdeutlichung berechnen wir die Determinanten für die Unbekannten

Die Determinanten für die Unbekannten sind ungleich Null, daher ist das System inkonsistent, dh es hat keine Lösungen.

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

Bei Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen gibt es auch solche, bei denen neben den Buchstaben für Variablen auch andere Buchstaben vorkommen. Diese Buchstaben stehen für eine Zahl, meistens eine reelle Zahl. In der Praxis führen solche Gleichungen und Gleichungssysteme zu Problemen, die allgemeinen Eigenschaften beliebiger Phänomene und Objekte zu finden. Das heißt, Sie haben ein neues Material oder Gerät erfunden, und um seine Eigenschaften zu beschreiben, die unabhängig von der Größe oder Anzahl der Kopien üblich sind, müssen Sie ein System linearer Gleichungen lösen, in dem anstelle einiger Koeffizienten für Variablen Buchstaben stehen. Sie müssen nicht lange nach Beispielen suchen.

Das nächste Beispiel bezieht sich auf ein ähnliches Problem, nur dass die Anzahl der Gleichungen, Variablen und Buchstaben, die eine reelle Zahl bezeichnen, zunimmt.

Beispiel 8 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:

Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:

Determinanten für Unbekannte finden

System von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten ein System der Form genannt

wo aij und b ich (ich=1,…,m; b=1,…,n) sind einige bekannte Zahlen, und x 1 ,…,x n- Unbekannt. In der Notation der Koeffizienten aij erster Index ich bezeichnet die Nummer der Gleichung, und die zweite j ist die Zahl der Unbekannten, bei der dieser Koeffizient steht.

Die Koeffizienten für die Unbekannten werden in Form einer Matrix geschrieben , die wir anrufen werden Systemmatrix.

Die Zahlen auf der rechten Seite der Gleichungen b 1 ,…,b m namens freie Mitglieder.

Aggregat n Zahlen c 1 ,…,c n namens Entscheidung dieses Systems, wenn jede Gleichung des Systems eine Gleichheit wird, nachdem Zahlen darin eingesetzt wurden c 1 ,…,c n anstelle der entsprechenden Unbekannten x 1 ,…,x n.

Unsere Aufgabe wird es sein, Lösungen für das System zu finden. In diesem Fall können drei Situationen auftreten:

Ein lineares Gleichungssystem, das mindestens eine Lösung hat, heißt gemeinsam. Ansonsten, d.h. hat das System keine Lösungen, so wird es aufgerufen unvereinbar.

Überlegen Sie, wie Sie Lösungen für das System finden können.

MATRIX-METHODE ZUM LÖSEN VON SYSTEMEN VON LINEAREN GLEICHUNGEN

Matrizen ermöglichen es, ein lineares Gleichungssystem kurz aufzuschreiben. Gegeben sei ein System aus 3 Gleichungen mit drei Unbekannten:

Betrachten Sie die Matrix des Systems und Matrixspalten von unbekannten und freien Mitgliedern

Lassen Sie uns das Produkt finden

jene. als Ergebnis des Produkts erhalten wir die linken Seiten der Gleichungen dieses Systems. Dann kann dieses System unter Verwendung der Definition der Matrixgleichheit geschrieben werden als

oder kürzer EIN∙X=B.

Hier Matrizen EIN und B bekannt sind, und die Matrix X Unbekannt. Sie muss gefunden werden, weil. seine Elemente sind die Lösung dieses Systems. Diese Gleichung heißt Matrixgleichung.

Die Matrixdeterminante sei von Null verschieden | EIN| ≠ 0. Dann wird die Matrixgleichung wie folgt gelöst. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung auf der linken Seite mit der Matrix A-1, die Inverse der Matrix EIN: . Soweit A -1 A = E und E∙X=X, dann erhalten wir die Lösung der Matrixgleichung in der Form X = A -1 B .

Beachten Sie, dass, da die inverse Matrix nur für quadratische Matrizen gefunden werden kann, die Matrixmethode nur solche Systeme lösen kann, in denen Die Anzahl der Gleichungen ist gleich der Anzahl der Unbekannten. Allerdings ist auch die Matrixschreibweise des Systems möglich, falls die Anzahl der Gleichungen ungleich der Anzahl der Unbekannten ist, dann die Matrix EIN ist nicht quadratisch und daher ist es unmöglich, eine Lösung für das System in der Form zu finden X = A -1 B.

Beispiele. Gleichungssysteme lösen.

CRAMERS REGEL

Stellen Sie sich ein System aus 3 linearen Gleichungen mit drei Unbekannten vor:

Determinante dritter Ordnung entsprechend der Matrix des Systems, d.h. zusammengesetzt aus Koeffizienten bei Unbekannten,

namens Systemdeterminante.

Wir setzen drei weitere Determinanten wie folgt zusammen: Wir ersetzen nacheinander 1, 2 und 3 Spalten in der Determinante D durch eine Spalte mit freien Elementen

Dann können wir folgendes Ergebnis beweisen.

Satz (Cramers Regel). Wenn die Determinante des Systems Δ ≠ 0 ist, dann hat das betrachtete System genau eine Lösung, und

Nachweisen. Stellen Sie sich also ein System von 3 Gleichungen mit drei Unbekannten vor. Multipliziere die 1. Gleichung des Systems mit dem algebraischen Komplement Eine 11 Element eine 11, 2. Gleichung - an A21 und 3. - auf A 31:

Fügen wir diese Gleichungen hinzu:

Betrachten Sie jede der Klammern und die rechte Seite dieser Gleichung. Durch den Satz über die Erweiterung der Determinante nach den Elementen der 1. Spalte

Ebenso kann gezeigt werden, dass und .

Schließlich ist es leicht zu sehen

Damit erhalten wir die Gleichheit: .

Somit, .

Die Gleichheiten und werden auf ähnliche Weise hergeleitet, woraus die Behauptung des Satzes folgt.

Wir stellen also fest, dass, wenn die Determinante des Systems Δ ≠ 0 ist, das System eine eindeutige Lösung hat und umgekehrt. Wenn die Determinante des Systems gleich Null ist, dann hat das System entweder eine unendliche Menge von Lösungen oder keine Lösungen, d.h. unvereinbar.

Beispiele. Lösen Sie ein Gleichungssystem

GAUSS-METHODE

Mit den bisher betrachteten Methoden können nur solche Systeme gelöst werden, bei denen die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt und die Determinante des Systems von Null verschieden sein muss. Das Gaußsche Verfahren ist universeller und eignet sich für Systeme mit beliebig vielen Gleichungen. Es besteht in der sukzessiven Eliminierung von Unbekannten aus den Gleichungen des Systems.

Betrachten wir wieder ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten:

Wir lassen die erste Gleichung unverändert, und von der 2. und 3. schließen wir die enthaltenden Terme aus x 1. Dazu dividieren wir die zweite Gleichung durch a 21 und multipliziere mit - a 11 und addiere dann mit der 1. Gleichung. In ähnlicher Weise teilen wir die dritte Gleichung in a 31 und multipliziere mit - a 11 und füge es dann dem ersten hinzu. Als Ergebnis wird das ursprüngliche System die Form annehmen:

Nun eliminieren wir aus der letzten Gleichung den Term enthaltend x2. Teilen Sie dazu die dritte Gleichung durch , multiplizieren Sie mit und addieren Sie sie zur zweiten. Dann haben wir ein Gleichungssystem:

Daher ist es aus der letzten Gleichung leicht zu finden x 3, dann aus der 2. Gleichung x2 und schließlich vom 1. - x 1.

Bei Anwendung der Gauß-Methode können die Gleichungen ggf. vertauscht werden.

Anstatt ein neues Gleichungssystem zu schreiben, beschränken sie sich oft darauf, die erweiterte Matrix des Systems zu schreiben:

und dann durch elementare Transformationen in eine Dreiecks- oder Diagonalform bringen.

Zu elementare Transformationen Matrizen enthalten die folgenden Transformationen:

Permutation von Zeilen oder Spalten;
Multiplizieren einer Zeichenfolge mit einer Zahl ungleich Null;
Zu einer Zeile weitere Zeilen hinzufügen.

Beispiele: Lösen Sie Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.

Das System hat also unendlich viele Lösungen.

Gegeben ist ein System von N linearen algebraischen Gleichungen (SLAE) mit Unbekannten, deren Koeffizienten die Elemente der Matrix und die freien Glieder die Zahlen sind

Der erste Index neben den Koeffizienten gibt an, in welcher Gleichung sich der Koeffizient befindet, und der zweite - bei welcher der Unbekannten er sich befindet.

Wenn die Matrixdeterminante ungleich Null ist

dann hat das lineare algebraische Gleichungssystem eine eindeutige Lösung.

Die Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen ist eine solche geordnete Menge von Zahlen, die jede der Gleichungen des Systems in eine korrekte Gleichheit umwandelt.

Wenn die rechten Seiten aller Gleichungen des Systems gleich Null sind, dann heißt das Gleichungssystem homogen. In dem Fall, wenn einige von ihnen ungleich Null sind, ungleichmäßig

Wenn ein System linearer algebraischer Gleichungen mindestens eine Lösung hat, dann heißt es kompatibel, andernfalls ist es inkompatibel.

Ist die Lösung des Systems eindeutig, so heißt das lineare Gleichungssystem definit. Wenn die Lösung des gemeinsamen Systems nicht eindeutig ist, heißt das Gleichungssystem unbestimmt.

Zwei lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent (oder äquivalent), wenn alle Lösungen des einen Systems Lösungen des zweiten sind und umgekehrt. Äquivalente (oder äquivalente) Systeme werden durch äquivalente Transformationen erhalten.

Äquivalente Transformationen von SLAE

1) Umordnung von Gleichungen;

2) Multiplikation (oder Division) von Gleichungen mit einer Zahl ungleich Null;

3) Hinzufügen einer anderen Gleichung zu irgendeiner Gleichung, multipliziert mit einer willkürlichen Zahl ungleich Null.

Die SLAE-Lösung kann auf verschiedene Arten gefunden werden.

CRAMERS METHODE

CRAMERS THEOREM. Wenn die Determinante eines Systems linearer algebraischer Gleichungen mit Unbekannten von Null verschieden ist, dann hat dieses System eine eindeutige Lösung, die durch die Cramer-Formeln gefunden wird:

sind Determinanten, die durch Ersetzen der i-ten Spalte durch eine Spalte freier Mitglieder gebildet werden.

Wenn und mindestens einer von nicht Null ist, dann hat SLAE keine Lösungen. Ob , dann hat die SLAE viele Lösungen. Betrachten Sie Beispiele mit Cramers Methode.

—————————————————————

Gegeben ist ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten. Lösen Sie das System nach Cramers Methode

Finden Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix für Unbekannte

Da , dann ist das gegebene Gleichungssystem konsistent und hat eine eindeutige Lösung. Lassen Sie uns die Determinanten berechnen:

Unter Verwendung von Cramers Formeln finden wir die Unbekannten

So die einzige Lösung für das System.

Gegeben ist ein System aus vier linearen algebraischen Gleichungen. Lösen Sie das System nach Cramers Methode.

Lassen Sie uns die Determinante der Koeffizientenmatrix für die Unbekannten finden. Dazu erweitern wir es um die erste Zeile.

Finden Sie die Komponenten der Determinante:

Setzen Sie die gefundenen Werte in die Determinante ein

Die Determinante, also das Gleichungssystem, ist konsistent und hat eine eindeutige Lösung. Wir berechnen die Determinanten mit Cramers Formeln:

Lassen Sie uns jede der Determinanten um die Spalte erweitern, in der mehr Nullen sind.

Durch Cramers Formeln finden wir

Systemlösung

Dieses Beispiel kann mit einem mathematischen Taschenrechner gelöst werden YukhymCALC. Ein Fragment des Programms und die Ergebnisse der Berechnungen sind unten gezeigt.

——————————

C R A M E R-METHODE

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= zehn

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1 +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70,0000/10,0000=7,0000

x2=Dx2/D=-80,0000/10,0000=-8,0000

x3=Dx3/D=-50,0000/10,0000=-5,0000

x4=Dx4/D=60,0000/10,0000=6,0000

Materialien ansehen:

(jkommentare zu)

Im allgemeinen Fall ist die Regel zur Berechnung von Determinanten ter Ordnung ziemlich umständlich. Für Determinanten zweiter und dritter Ordnung gibt es rationale Möglichkeiten, sie zu berechnen.

Berechnungen von Determinanten zweiter Ordnung

Um die Determinante der Matrix zweiter Ordnung zu berechnen, muss das Produkt der Elemente der Nebendiagonale vom Produkt der Elemente der Hauptdiagonale abgezogen werden:

Beispiel

Die Übung. Determinante zweiter Ordnung berechnen

Entscheidung.

Antworten.

Methoden zur Berechnung von Determinanten dritter Ordnung

Es gibt Regeln für die Berechnung von Determinanten dritter Ordnung.

Dreiecksregel

Schematisch lässt sich diese Regel wie folgt darstellen:

Das Produkt von Elementen in der ersten Determinante, die durch Linien verbunden sind, wird mit einem Pluszeichen genommen; ähnlich werden für die zweite Determinante die entsprechenden Produkte mit einem Minuszeichen genommen, d.h.

Beispiel

Die Übung. Determinante berechnen Dreiecksmethode.

Entscheidung.

Antworten.

Sarrus-Regel

Rechts von der Determinante werden die ersten beiden Spalten hinzugefügt und die Produkte der Elemente auf der Hauptdiagonalen und auf den dazu parallelen Diagonalen mit einem Pluszeichen genommen; und die Produkte der Elemente der Nebendiagonale und der dazu parallelen Diagonalen mit Minuszeichen:

Beispiel

Die Übung. Determinante berechnen mit der Sarrus-Regel.

Entscheidung.

Antworten.

Zeilen- oder Spaltenerweiterung der Determinante

Die Determinante ist gleich der Summe der Produkte der Elemente der Reihe der Determinante und ihrer algebraischen Komplemente.

Wählen Sie in der Regel die Zeile/Spalte, in der Nullen stehen. Die Zeile oder Spalte, in der die Zerlegung durchgeführt wird, wird durch einen Pfeil angezeigt.

Beispiel

Die Übung. Erweitern Sie die erste Zeile und berechnen Sie die Determinante

Entscheidung.

Antworten.

Mit dieser Methode lässt sich die Berechnung der Determinante auf die Berechnung einer Determinante niedrigerer Ordnung reduzieren.

Beispiel

Die Übung. Determinante berechnen

Entscheidung. Führen wir die folgenden Transformationen an den Zeilen der Determinante durch: Von der zweiten Zeile subtrahieren wir die ersten vier und von der dritten Zeile die erste Zeile multipliziert mit sieben, als Ergebnis erhalten wir gemäß den Eigenschaften der Determinante a Determinante gleich der gegebenen.

Die Determinante ist Null, da die zweite und dritte Zeile proportional sind.

Antworten.

Um die Determinanten der vierten Ordnung und höher zu berechnen, wird entweder eine Zeilen- / Spaltenerweiterung oder eine Reduktion auf eine Dreiecksform oder die Verwendung des Laplace-Theorems verwendet.

Zerlegung der Determinante nach den Elementen einer Zeile oder Spalte

Beispiel

Die Übung. Determinante berechnen , zerlegt es durch die Elemente einer Zeile oder einer Spalte.

Entscheidung. Führen wir zunächst elementare Transformationen an den Zeilen der Determinante durch, indem wir entweder in einer Zeile oder in einer Spalte so viele Nullen wie möglich machen. Dazu subtrahieren wir zunächst neun Drittel von der ersten Zeile, fünf Drittel von der zweiten und drei Drittel von der vierten, wir erhalten:

Wir erweitern die resultierende Determinante um die Elemente der ersten Spalte:

Die resultierende Determinante dritter Ordnung wird ebenfalls um die Elemente der Zeile und Spalte erweitert, die beispielsweise in der ersten Spalte zuvor Nullen erhalten haben.

Dazu subtrahieren wir zwei zweite Zeilen von der ersten Zeile und die zweite von der dritten:

Antworten.

Kommentar

Die letzte und vorletzte Determinante konnten nicht berechnet werden, schließen aber sofort, dass sie gleich Null sind, da sie proportionale Zeilen enthalten.

Die Determinante auf eine Dreiecksform bringen

Mit Hilfe elementarer Transformationen über Zeilen oder Spalten wird die Determinante auf eine Dreiecksform reduziert, und dann ist ihr Wert gemäß den Eigenschaften der Determinante gleich dem Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonale.

Beispiel

Die Übung. Determinante berechnen bringt es in eine dreieckige Form.

Entscheidung. Zuerst machen wir Nullen in der ersten Spalte unter der Hauptdiagonale.

4. Eigenschaften von Determinanten. Determinante des Produkts von Matrizen.

Alle Transformationen sind einfacher durchzuführen, wenn das Element gleich 1 ist. Dazu vertauschen wir die erste und zweite Spalte der Determinante, wodurch sie je nach Eigenschaften der Determinante das Vorzeichen in das Gegenteil ändert :

Als nächstes erhalten wir Nullen in der zweiten Spalte anstelle der Elemente unter der Hauptdiagonale. Und wieder, wenn das Diagonalelement gleich ist, dann werden die Berechnungen einfacher. Dazu vertauschen wir die zweite und dritte Zeile (und wechseln gleichzeitig auf das entgegengesetzte Vorzeichen der Determinante):

Antworten.

Satz von Laplace

Beispiel

Die Übung. Berechnen Sie die Determinante mit dem Satz von Laplace

Entscheidung. Wir wählen zwei Zeilen in dieser Determinante fünfter Ordnung - die zweite und die dritte, dann erhalten wir (wir lassen die Terme weg, die gleich Null sind):

Antworten.

LINEARE GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN I

§ 31 Der Fall, wenn die Hauptdeterminante eines Gleichungssystems gleich Null ist und mindestens eine der Nebendeterminanten von Null verschieden ist

Satz.Ist die Hauptdeterminante des Gleichungssystems

(1)

gleich Null ist und mindestens eine der Hilfsdeterminanten von Null verschieden ist, dann ist das System inkonsistent.

Formal ist der Beweis dieses Satzes nicht schwer durch Widerspruch zu führen. Nehmen wir an, das Gleichungssystem (1) hat eine Lösung ( x 0 , j 0). Während, wie im vorherigen Absatz gezeigt,

Δ x 0 = Δ x , Δ j 0 = Δ j (2)

Aber nach Bedingung Δ = 0 und mindestens eine der Determinanten Δ x und Δ j von Null verschieden. Somit können Gleichheiten (2) nicht gleichzeitig gelten. Der Satz ist bewiesen.

Es erscheint jedoch interessant, näher zu klären, warum das Gleichungssystem (1) im betrachteten Fall widersprüchlich ist.

bedeutet, dass die Koeffizienten der Unbekannten im Gleichungssystem (1) proportional sind. Lassen Sie zum Beispiel

a 1 = Ka 2 ,b 1 = KB 2 .

bedeutet, dass die Koeffizienten beim und die freien Terme der Gleichungen des Systems (1) sind nicht proportional. Soweit b 1 = KB 2 dann c 1 =/= kc 2 .

Damit lässt sich das Gleichungssystem (1) in folgender Form schreiben:

In diesem System sind die Koeffizienten für die Unbekannten jeweils proportional, aber die Koeffizienten für beim (oder wann X ) und die kostenlosen Bedingungen sind nicht proportional. Ein solches System ist natürlich widersprüchlich. In der Tat, wenn sie eine Lösung hätte ( x 0 , j 0), dann die numerischen Gleichheiten

k (a 2 x 0 + b 2 j 0) = c 1

a 2 x 0 + b 2 j 0 = c 2 .

Aber eine dieser Gleichheiten widerspricht der anderen: Immerhin c 1 =/= kc 2 .

Wir haben nur den Fall betrachtet, wann Δ x =/= 0. In ähnlicher Weise können wir den Fall betrachten, wenn Δ j =/= 0."

Der bewiesene Satz kann wie folgt formuliert werden.

Wenn die Koeffizienten für die Unbekannten X und beim im Gleichungssystem (1) proportional sind und die Koeffizienten irgendeiner dieser Unbekannten und freien Terme nicht proportional sind, dann ist dieses Gleichungssystem inkonsistent.

Es ist zum Beispiel leicht zu überprüfen, ob jedes dieser Systeme inkonsistent ist:

Cramers Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Cramers Formeln

Cramers Methode basiert auf der Verwendung von Determinanten beim Lösen von linearen Gleichungssystemen. Dies beschleunigt den Lösungsprozess erheblich.

Das Cramer-Verfahren kann verwendet werden, um ein System aus so vielen linearen Gleichungen zu lösen, wie es in jeder Gleichung Unbekannte gibt.

Cramers Methode. Anwendung für lineare Gleichungssysteme

Wenn die Determinante des Systems ungleich Null ist, kann das Cramer-Verfahren zur Lösung verwendet werden, ist sie gleich Null, dann nicht. Darüber hinaus kann das Cramer-Verfahren verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, die eine eindeutige Lösung haben.

Definition. Die aus den Koeffizienten der Unbekannten zusammengesetzte Determinante wird Determinante des Systems genannt und mit (delta) bezeichnet.

Determinanten

erhält man, indem man die Koeffizienten an den entsprechenden Unbekannten durch freie Terme ersetzt:

;

Beispiel 1 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem:

Entsprechend Satz von Cramer wir haben:

Also, die Lösung von System (2):

Drei Fälle beim Lösen von linearen Gleichungssystemen

Wie aus hervorgeht Cramers Theoreme, beim Lösen eines linearen Gleichungssystems können drei Fälle auftreten:

Erster Fall: Das lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung

(das System ist konsistent und eindeutig)

Zweiter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen

(das System ist konsistent und unbestimmt)

**
,

jene. die Koeffizienten der Unbekannten und der freien Terme sind proportional.

Dritter Fall: Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösungen

(systeminkonsistent)

Beispiele für das Lösen linearer Gleichungssysteme nach der Cramer-Methode

Lassen Sie das System

Basierend auf dem Satz von Cramer

………….
,

wo
—

Systemkennung. Die restlichen Determinanten erhält man, indem man die Spalte mit den Koeffizienten der entsprechenden Variablen (unbekannt) durch freie Mitglieder ersetzt:

Beispiel 2

Daher ist das System definitiv. Um seine Lösung zu finden, berechnen wir die Determinanten

Nach Cramers Formeln finden wir:

Also ist (1; 0; -1) die einzige Lösung des Systems.

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

Beispiel 3 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:

Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:

Nach Cramers Formeln finden wir:

Die Lösung des Systems ist also (2; -1; 1).

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

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Beispiel 4 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:

Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:

Die Determinanten für die Unbekannten sind ungleich Null, daher ist das System inkonsistent, dh es hat keine Lösungen.

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

Das nächste Beispiel bezieht sich auf ein ähnliches Problem, nur dass die Anzahl der Gleichungen, Variablen und Buchstaben, die eine reelle Zahl bezeichnen, zunimmt.

Beispiel 6 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:

Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:

Determinanten für Unbekannte finden

Nach Cramers Formeln finden wir:

Und schließlich ein System aus vier Gleichungen mit vier Unbekannten.

Beispiel 7 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem nach Cramers Methode:

Beachtung! Methoden zur Berechnung von Determinanten vierter Ordnung werden hier nicht erläutert. Danach - zum entsprechenden Abschnitt der Website. Aber es wird einige Kommentare geben. Entscheidung. Wir finden die Determinante des Systems:

Ein kleiner Kommentar. In der ursprünglichen Determinante wurden die Elemente der vierten Reihe von den Elementen der zweiten Reihe subtrahiert, die Elemente der vierten Reihe mit 2 multipliziert, von den Elementen der dritten Reihe die Elemente der ersten Reihe mit 2 multipliziert , aus den Elementen der vierten Reihe Die Transformationen der Anfangsdeterminanten mit den ersten drei Unbekannten erfolgten nach dem gleichen Schema. Determinanten für Unbekannte finden

Bei Transformationen der Determinante mit der vierten Unbekannten wurden die Elemente der vierten Reihe von den Elementen der ersten Reihe subtrahiert.

Nach Cramers Formeln finden wir:

Die Lösung des Systems ist also (1; 1; -1; -1).

Um die Lösungen der Gleichungssysteme 3 x 3 und 4 x 4 zu überprüfen, können Sie den Online-Rechner, die Cramer-Lösungsmethode, verwenden.

Die Aufmerksamsten haben wahrscheinlich bemerkt, dass der Artikel keine Beispiele zur Lösung unbestimmter Systeme linearer Gleichungen enthielt. Und nur weil es unmöglich ist, solche Systeme mit der Cramer-Methode zu lösen, können wir nur sagen, dass das System unbestimmt ist. Lösungen solcher Systeme werden durch das Gauß-Verfahren angegeben.

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Rechner - Gleichungssysteme online lösen

Programmatische Implementierung der Methode von Cramer in C++

Lösen linearer Gleichungssysteme nach der Substitutionsmethode und der Additionsmethode

Lösung linearer Gleichungssysteme nach der Gauß-Methode

Bedingung der Kompatibilität des linearen Gleichungssystems.

Satz von Kronecker-Capelli

Lösen linearer Gleichungssysteme nach der Matrixmethode (inverse Matrix)

Systeme linearer Ungleichungen und konvexe Punktmengen

Der Beginn des Themas "Lineare Algebra"

Determinanten

In diesem Artikel lernen wir einen sehr wichtigen Begriff aus dem Bereich der linearen Algebra kennen, der als Determinante bezeichnet wird.

Einen wichtigen Punkt möchte ich gleich anmerken: Das Konzept einer Determinante gilt nur für quadratische Matrizen (Anzahl Zeilen = Anzahl Spalten), andere Matrizen haben es nicht.

Determinante einer quadratischen Matrix(Determinante) — numerische Eigenschaft der Matrix.

Bezeichnung der Determinanten: |A|, det A, ∆ A.

bestimmend"n"-Ordnung heißt die algebraische Summe aller möglichen Produkte ihrer Elemente, die die folgenden Anforderungen erfüllen:

1) Jedes solche Produkt enthält genau "n" Elemente (d. h. die Determinante zweiter Ordnung besteht aus 2 Elementen).

2) In jedem Produkt gibt es für jede Zeile und jede Spalte einen Repräsentanten als Faktor.

3) Zwei beliebige Faktoren in jedem Produkt können nicht zur selben Zeile oder Spalte gehören.

Das Vorzeichen des Produkts wird durch die Reihenfolge des Wechsels der Spaltennummern bestimmt, wenn die Elemente im Produkt in aufsteigender Reihenfolge der Zeilennummern angeordnet sind.

Betrachten Sie einige Beispiele zum Ermitteln der Determinante einer Matrix:

Für eine Matrix erster Ordnung (d.h.

Lineare Gleichungen. Lineare Gleichungssysteme lösen. Cramers Methode.

es gibt nur 1 Element), die Determinante ist gleich diesem Element:

2. Betrachten Sie eine quadratische Matrix zweiter Ordnung:

3. Betrachten Sie eine quadratische Matrix dritter Ordnung (3×3):

4. Und nun betrachten wir Beispiele mit reellen Zahlen:

Dreiecksregel.

Die Dreiecksregel ist eine Möglichkeit, die Determinante einer Matrix zu berechnen, wobei sie nach folgendem Schema zu finden ist:

Wie Sie bereits verstanden haben, wurde die Methode Dreiecksregel genannt, da die multiplizierten Matrixelemente eigenartige Dreiecke bilden.

Um dies besser zu verstehen, nehmen wir ein Beispiel:

Und nun betrachten wir die Berechnung der Determinante einer Matrix mit reellen Zahlen nach der Dreiecksregel:

Um den behandelten Stoff zu festigen, lösen wir ein weiteres praktisches Beispiel:

Eigenschaften von Determinanten:

1. Wenn die Elemente einer Zeile oder Spalte gleich Null sind, dann ist die Determinante gleich Null.

2. Die Determinante ändert das Vorzeichen, wenn 2 Zeilen oder Spalten vertauscht werden. Schauen wir uns das an einem kleinen Beispiel an:

3. Die Determinante der transponierten Matrix ist gleich der Determinante der ursprünglichen Matrix.

4. Die Determinante ist Null, wenn die Elemente einer Zeile gleich den entsprechenden Elementen einer anderen Zeile sind (auch für Spalten). Das einfachste Beispiel für diese Eigenschaft von Determinanten ist:

5. Die Determinante ist Null, wenn ihre 2 Zeilen proportional sind (auch für Spalten). Beispiel (Zeile 1 und 2 sind proportional):

6. Der gemeinsame Teiler einer Zeile (Spalte) kann aus dem Vorzeichen der Determinante entnommen werden.

7) Die Determinante ändert sich nicht, wenn die Elemente einer beliebigen Zeile (Spalte) zu den entsprechenden Elementen einer anderen Zeile (Spalte) addiert und mit demselben Wert multipliziert werden. Schauen wir uns das an einem Beispiel an:

Minor- und algebraisches Komplement

Addition und Subtraktion von Matrizen anhand von Beispielen

Aktionen mit Matrizen

Das Konzept der "Matrix"

Die Determinante (auch Determinante (Determinante) genannt) kommt nur in quadratischen Matrizen vor. Die Determinante ist nichts anderes als ein Wert, der alle Elemente einer Matrix kombiniert, die beim Transponieren von Zeilen oder Spalten erhalten bleibt. Sie kann als det(A), |A|, Δ(A), Δ bezeichnet werden, wobei A sowohl eine Matrix als auch ein sie bezeichnender Buchstabe sein kann. Sie können es auf verschiedene Arten finden:

Alle oben vorgeschlagenen Methoden werden an Matrizen der Größe drei oder mehr analysiert. Die Determinante einer zweidimensionalen Matrix wird unter Verwendung von drei elementaren mathematischen Operationen gefunden, daher fällt das Finden der Determinante einer zweidimensionalen Matrix nicht unter eine der Methoden. Na ja, außer als Ergänzung, aber dazu später mehr.

Finden Sie die Determinante einer 2x2-Matrix:

Um die Determinante unserer Matrix zu finden, ist es erforderlich, das Produkt der Zahlen einer Diagonale von der anderen zu subtrahieren, nämlich

Beispiele zum Finden der Determinante von Matrizen zweiter Ordnung

Zeilen-/Spaltenzerlegung

Eine beliebige Zeile oder Spalte in der Matrix wird ausgewählt. Jede Zahl in der ausgewählten Zeile wird mit (-1) i+j multipliziert, wobei (i,j die Zeilen- und Spaltennummer dieser Zahl ist) und mit der Determinante zweiter Ordnung multipliziert, die sich aus den verbleibenden Elementen nach dem Löschen von i - Zeile und zusammensetzt j - Spalte. Werfen wir einen Blick auf die Matrix

Wählen Sie eine Zeile/Spalte aus

Nehmen Sie zum Beispiel die zweite Zeile.

Notiz: Wenn nicht explizit angegeben ist, mit welcher Zeile die Determinante zu finden ist, wählen Sie die Zeile mit einer Null. Es wird weniger Berechnungen geben.

Verfassen Sie einen Ausdruck

Es ist nicht schwer festzustellen, dass sich das Vorzeichen einer Zahl jedes Mal ändert. Anstelle von Einheiten können Sie sich daher an der folgenden Tabelle orientieren:

Lassen Sie uns das Vorzeichen unserer Zahlen ändern

Lassen Sie uns die Determinanten unserer Matrizen finden

Wir berücksichtigen alles

Die Lösung kann wie folgt geschrieben werden:

Beispiele für das Finden einer Determinante durch Zeilen-/Spaltenerweiterung:

Methode der Reduktion auf eine Dreiecksform (mittels elementarer Transformationen)

Die Determinante wird gefunden, indem man die Matrix in eine dreieckige (gestufte) Form bringt und die Elemente auf der Hauptdiagonale multipliziert

Eine Dreiecksmatrix ist eine Matrix, deren Elemente auf einer Seite der Diagonalen gleich Null sind.

Denken Sie beim Erstellen einer Matrix an drei einfache Regeln:

Jedes Mal, wenn die Saiten vertauscht werden, wechselt die Determinante das Vorzeichen in das Gegenteil.
Wenn Sie eine Zeile mit einer Zahl ungleich Null multiplizieren / dividieren, sollte sie damit dividiert (falls multipliziert) / multipliziert (falls dividiert) wird, oder diese Aktion mit der resultierenden Determinante ausführen.
Beim Addieren einer mit einer Zahl multiplizierten Zeichenfolge zu einer anderen Zeichenfolge ändert sich die Determinante nicht (die multiplizierte Zeichenfolge nimmt ihren ursprünglichen Wert an).

Versuchen wir, in der ersten Spalte Nullen zu bekommen, dann in der zweiten.

Werfen wir einen Blick auf unsere Matrix:

Ta-a-ak. Um die Berechnungen angenehmer zu gestalten, möchte ich die nächstliegende Zahl oben haben. Kannst du lassen, musst du aber nicht. Okay, wir haben eine Zwei in der zweiten Zeile und vier in der ersten.

Lassen Sie uns diese beiden Zeilen vertauschen.

Wir haben die Zeilen vertauscht, jetzt müssen wir entweder das Vorzeichen einer Zeile ändern oder das Vorzeichen der Determinante am Ende ändern.

Determinanten. Bestimmungsgrößen berechnen (S. 2)

Wir machen es später.

Um nun Null in der ersten Zeile zu erhalten, multiplizieren wir die erste Zeile mit 2.

Subtrahiere die 1. Reihe von der zweiten.

Gemäß unserer 3. Regel bringen wir die ursprüngliche Zeichenfolge an die Ausgangsposition zurück.

Jetzt machen wir eine Null in der 3. Zeile. Wir können die erste Zeile mit 1,5 multiplizieren und von der dritten subtrahieren, aber das Arbeiten mit Brüchen macht wenig Freude. Lassen Sie uns daher eine Zahl finden, auf die beide Zeichenfolgen reduziert werden können - dies ist 6.

Multiplizieren Sie die 3. Reihe mit 2.

Jetzt multiplizieren wir die 1. Reihe mit 3 und subtrahieren von der 3. Reihe.

Lassen Sie uns unsere 1. Reihe zurückgeben.

Vergessen Sie nicht, dass wir die 3. Reihe mit 2 multipliziert haben, also teilen wir die Determinante durch 2.

Es gibt eine Spalte. Um jetzt Nullen in die zweite Zeile zu bekommen - vergessen wir die 1. Zeile - arbeiten wir mit der 2. Zeile. Multiplizieren Sie die zweite Zeile mit -3 und addieren Sie sie zur dritten.

Vergessen Sie nicht, die zweite Zeile zurückzugeben.

Also haben wir eine Dreiecksmatrix gebaut. Was bleibt uns? Und es bleibt, die Zahlen auf der Hauptdiagonale zu multiplizieren, was wir tun werden.

Nun, wir müssen uns daran erinnern, dass wir unsere Determinante durch 2 teilen und das Vorzeichen ändern müssen.

Sarrus-Regel (Dreiecksregel)

Die Regel von Sarrus gilt nur für quadratische Matrizen dritter Ordnung.

Die Determinante wird berechnet, indem die ersten beiden Spalten rechts von der Matrix addiert werden, die Elemente der Diagonalen der Matrix multipliziert und addiert werden und die Summe der gegenüberliegenden Diagonalen subtrahiert wird. Subtrahiere Lila von den orangefarbenen Diagonalen.

Die Dreiecksregel ist dieselbe, nur das Bild ist anders.

Satz von Laplace siehe Zeilen-/Spaltenzerlegung

1.1. Systeme aus zwei linearen Gleichungen und Determinanten zweiter Ordnung

Betrachten Sie ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten:

Chancen mit unbekannt und haben zwei Indizes: der erste gibt die Nummer der Gleichung an, der zweite - die Nummer der Variablen.

Cramersche Regel: Die Lösung des Systems wird gefunden, indem die Hilfsdeterminanten durch die Hauptdeterminante des Systems dividiert werden

Bemerkung 1. Die Anwendung der Cramerschen Regel ist möglich, wenn die Determinante des Systems ist nicht gleich null.

Bemerkung 2. Cramers Formeln können auch auf Systeme höherer Ordnung verallgemeinert werden.

Beispiel 1 System lösen:
.

Entscheidung.

;
;

;

Untersuchung:

Fazit: Das System ist richtig:
.

1.2. Systeme aus drei linearen Gleichungen und Determinanten dritter Ordnung

Betrachten Sie ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Unbekannten:

Die Determinante, zusammengesetzt aus den Koeffizienten der Unbekannten, wird genannt System-Qualifizierer oder Master-Qualifizierer:

Wenn ein
dann hat das System eine eindeutige Lösung, die durch die Cramer-Formeln bestimmt wird:

wo sind die Determinanten
heißen Hilfsverben und ergeben sich aus der Determinante indem die erste, zweite oder dritte Spalte durch eine Spalte mit freien Systemmitgliedern ersetzt wird.

Beispiel 2 Löse das System
.

Lassen Sie uns die Haupt- und Hilfsdeterminanten bilden:

Es bleibt noch, die Regeln zur Berechnung von Determinanten dritter Ordnung zu betrachten. Es gibt drei davon: die Spaltenadditionsregel, die Sarrus-Regel und die Dekompositionsregel.

a) Die Regel zum Hinzufügen der ersten beiden Spalten zur Hauptdeterminante:

Die Berechnung wird wie folgt durchgeführt: Mit ihrem Vorzeichen sind die Produkte der Elemente der Hauptdiagonale und entlang der Parallelen dazu, mit dem entgegengesetzten Vorzeichen nehmen sie die Produkte der Elemente der Nebendiagonale und entlang der Parallelen dazu .

b) Sarrus-Regel:

Mit ihrem Vorzeichen nehmen sie die Produkte der Elemente der Hauptdiagonalen und entlang der Parallelen dazu, und das fehlende dritte Element wird aus der gegenüberliegenden Ecke genommen. Mit dem entgegengesetzten Vorzeichen nehmen sie die Produkte der Elemente der Nebendiagonale und entlang der Parallelen dazu wird das dritte Element von der gegenüberliegenden Ecke genommen.

c) Die Erweiterungsregel um die Elemente einer Zeile oder Spalte:

Wenn ein
, dann .

Algebraische Addition ist eine Determinante niedrigerer Ordnung, die durch Löschen der entsprechenden Zeile und Spalte und unter Berücksichtigung des Vorzeichens erhalten wird
, wo - Zeilennummer - Spaltennummer.

Zum Beispiel,

,
,
usw.

Berechnen wir die Hilfsdeterminanten nach dieser Regel und , indem Sie sie um die Elemente der ersten Zeile erweitern.

Nachdem wir alle Determinanten berechnet haben, finden wir die Variablen gemäß der Cramer-Regel:

Untersuchung:

Fazit: Das System ist richtig: .

Grundlegende Eigenschaften von Determinanten

Es muss daran erinnert werden, dass die Determinante ist Anzahl, nach einigen Regeln gefunden. Ihre Berechnung kann vereinfacht werden, wenn wir die grundlegenden Eigenschaften verwenden, die für Determinanten jeder Ordnung gelten.

Eigentum 1. Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn alle ihre Zeilen durch entsprechende Spalten ersetzt werden und umgekehrt.

Der Vorgang des Ersetzens von Zeilen durch Spalten wird Transposition genannt. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass jede Aussage, die für die Zeilen einer Determinante gilt, auch für ihre Spalten gilt.

Eigenschaft 2. Werden in der Determinante zwei Zeilen (Spalten) vertauscht, ändert sich das Vorzeichen der Determinante ins Gegenteil.

Eigenschaft 3. Wenn alle Elemente einer beliebigen Zeile der Determinante gleich 0 sind, dann ist die Determinante gleich 0.

Eigenschaft 4. Wenn die Elemente der Determinantenkette mit einer Zahl multipliziert (dividiert) werden , dann steigt (sinkt) der Wert der Determinante in einmal.

Wenn die Elemente einer Zeile einen gemeinsamen Teiler haben, kann dieser aus dem Determinantenzeichen herausgenommen werden.

Eigenschaft 5. Wenn die Determinante zwei identische oder proportionale Reihen hat, dann ist eine solche Determinante gleich 0.

Eigenschaft 6. Wenn die Elemente einer beliebigen Zeile der Determinante die Summe zweier Terme sind, dann ist die Determinante gleich der Summe der beiden Determinanten.

Eigenschaft 7. Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn die Elemente einer Zeile zu den Elementen einer anderen Zeile addiert und mit derselben Zahl multipliziert werden.

Bei dieser Determinante wurde zuerst die dritte, multipliziert mit 2, zur zweiten Reihe addiert, dann die zweite von der dritten Spalte subtrahiert, danach die zweite Reihe zur ersten und dritten addiert, als Ergebnis haben wir viel bekommen von Nullen und vereinfachte die Berechnung.

Elementar Transformationen Determinante werden aufgrund der Verwendung dieser Eigenschaften als Vereinfachungen bezeichnet.

Beispiel 1 Determinante berechnen

Das direkte Zählen nach einer der obigen Regeln führt zu umständlichen Berechnungen. Daher ist es ratsam, die Eigenschaften zu verwenden:

a) subtrahiere die zweite Zeile, multipliziert mit 2, von der ersten Zeile;

b) Subtrahiere die dritte Reihe von der zweiten Reihe, multipliziert mit 3.

Als Ergebnis erhalten wir:

Erweitern wir diese Determinante in Bezug auf die Elemente der ersten Spalte, die nur ein Element ungleich Null enthält.

Systeme und Determinanten höherer Ordnungen

System lineare Gleichungen mit Unbekannte können wie folgt geschrieben werden:

Auch für diesen Fall ist es möglich, Haupt- und Hilfsdeterminanten zusammenzusetzen und die Unbekannten nach der Cramerschen Regel zu bestimmen. Das Problem besteht darin, dass Determinanten höherer Ordnung nur berechnet werden können, indem die Ordnung verringert und auf Determinanten dritter Ordnung reduziert wird. Dies kann durch direkte Zerlegung in Zeilen- oder Spaltenelemente erfolgen, sowie durch vorläufige elementare Transformationen und weitere Zerlegung.

Beispiel 4 Determinante vierten Grades berechnen

Entscheidung auf zwei Wegen finden:

a) durch direkte Entwicklung über die Elemente der ersten Reihe:

b) durch vorläufige Umwandlungen und weitere Zerlegung

	a) Zeile 3 von Zeile 1 subtrahieren
	b) Zeile II zu Zeile IV hinzufügen

Beispiel 5 Berechnen Sie die Determinante fünfter Ordnung und erhalten Sie Nullen in der dritten Zeile unter Verwendung der vierten Spalte

subtrahiere die zweite von der ersten Reihe, subtrahiere die zweite von der dritten und subtrahiere die zweite multipliziert mit 2 von der vierten.

subtrahiere die dritte von der zweiten Spalte:

subtrahiere die dritte von der zweiten Reihe:

Beispiel 6 System lösen:

Entscheidung. Lassen Sie uns die Determinante des Systems zusammensetzen und unter Anwendung der Eigenschaften der Determinanten berechnen:

(Von der ersten Zeile subtrahieren wir die dritte, und dann in der resultierenden Determinante dritter Ordnung aus der dritten Spalte subtrahieren wir die erste, multipliziert mit 2). Bestimmend
, daher gelten die Formeln von Cramer.

Lassen Sie uns die restlichen Determinanten berechnen:

Die vierte Spalte wird mit 2 multipliziert und vom Rest abgezogen

Die vierte Spalte wurde von der ersten subtrahiert und dann, multipliziert mit 2, von der zweiten und dritten Spalte subtrahiert.

Hier wurden die gleichen Transformationen wie für durchgeführt
.

Wenn gefunden Die erste Spalte wurde mit 2 multipliziert und vom Rest abgezogen.

Nach der Cramerschen Regel gilt:

Nachdem wir die gefundenen Werte in die Gleichungen eingesetzt haben, stellen wir sicher, dass die Lösung des Systems korrekt ist.

2. MATRIXEN UND IHRE VERWENDUNG

BEI DER LÖSUNG VON SYSTEMEN VON LINEAREN GLEICHUNGEN

2.Ist │A│=0, dann ist die Matrix A entartet und die inverse Matrix A -1 existiert nicht.

Ist die Determinante der Matrix A ungleich Null, so existiert die inverse Matrix.

3. Finden Sie A T transponiert zu A.

4. Finde die algebraischen Komplemente der Elemente der transponierten Matrix und bilde daraus die adjungierte Matrix. 5. Wir berechnen die inverse Matrix nach der Formel: 6. Überprüfen Sie die Richtigkeit der Berechnung der inversen Matrix anhand ihrer Definition A -1 ∙A = A ∙A -1 = E.

· №28

· In einer m x n-Matrix kann man durch Löschen beliebiger Zeilen und Spalten quadratische Teilmatrizen der k-ten Ordnung auswählen, wobei k ≤ min (m; n). Die Determinanten solcher Untermatrizen werden Minoren k-ter Ordnung der Matrix A genannt.

· Der Rang einer Matrix A ist die höchste Ordnung von Nicht-Null-Minoren dieser Matrix.

· Der Rang einer Matrix A wird mit rang A oder r(A) bezeichnet.

· Aus der Definition folgt:

· 1) der Rang einer Matrix der Größe m x n überschreitet nicht die kleinste ihrer Größen, d.h. r(A) ≤ min(m;n).

· 2) r(A)=0 genau dann, wenn alle Elemente der Matrix gleich Null sind, d.h. A=0.

· 3) Für eine quadratische Matrix n-ter Ordnung gilt r(A) = n genau dann, wenn die Matrix A nichtsingulär ist.

· Im allgemeinen Fall ist die Bestimmung des Rangs einer Matrix durch Aufzählung aller Minoren ziemlich mühsam. Um diese Aufgabe zu erleichtern, werden elementare Transformationen verwendet, die den Rang der Matrix erhalten:

· 1) Ablehnung der Nullzeile (Spalte).

· 2) Multiplikation aller Elemente einer Zeile (Spalte) einer Matrix mit einer Zahl ungleich Null.

· 3) Ändern der Reihenfolge der Zeilen (Spalten) der Matrix.

· 4) Addieren zu jedem Element einer Zeile (Spalte) die entsprechenden Elemente einer anderen Zeile (Spalte), multipliziert mit einer beliebigen Zahl.

· 5) Matrixtransposition.

· Satz. Der Rang einer Matrix ändert sich bei elementaren Transformationen der Matrix nicht.

№31

Die Anzahl der Gleichungen im System (1) sei gleich der Anzahl der Variablen, d.h. m=n. Dann ist die Matrix des Systems quadratisch, und ihre Determinante Δ=│А│ heißt Determinante des Systems.

Angenommen, dass │А│ ungleich Null ist, dann gibt es eine inverse Matrix A -1 .

Multipliziert man die beiden Teile der Matrixgleichheit links mit der inversen Matrix A -1, erhält man:

A -1 (AX) \u003d A -1 B.

Die Lösung des Gleichungssystems nach der inversen Matrixmethode ist die Spaltenmatrix:

X \u003d A -1 B.

(A -1 A)X \u003d EX \u003d X

Satz von Cramer. Sei Δ die Determinante der Matrix des Systems A und Δ j die Determinante der Matrix, die man aus der Matrix erhält, indem man die j-te Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt. Wenn Δ dann nicht gleich Null ist, hat das System eine eindeutige Lösung, die durch die Cramer-Formeln definiert ist:

wobei j=1..n.

№33

Die Gauß-Methode - die Methode der sukzessiven Eliminierung von Variablen - besteht darin, dass das Gleichungssystem mit Hilfe elementarer Transformationen auf ein äquivalentes System in Stufen- oder Dreiecksform reduziert wird.

Betrachten Sie die Matrix:

diese Matrix wird als erweiterte Matrix von System (1) bezeichnet, da sie neben der Matrix von System A zusätzlich eine Spalte mit freien Termen enthält.

№26

Ein N-dimensionaler Vektor ist ein geordneter Satz von n reellen Zahlen, geschrieben als X=(x 1,x 2,...x n) , wobei x i die i-te Komponente des Vektors X ist.

Zwei n-dimensionale Vektoren sind genau dann gleich, wenn ihre jeweiligen Komponenten gleich sind, d.h. X=Y wenn x i = y i , i=1…n.

Der Satz von Vektoren mit reellen Komponenten, in dem die Operationen zum Addieren von Vektoren und zum Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl definiert sind, die die obigen Eigenschaften erfüllen, wird als Vektorraum bezeichnet.

Ein Vektorraum R heißt n-dimensional, wenn es n linear unabhängige Vektoren in ihm gibt und alle n + 1 Vektoren bereits abhängig sind. Die Zahl n heißt Dimension des Vektorraums R und wird mit dim(R) bezeichnet.

№29

Lineare Operatoren

Definition. Wenn ein Gesetz (Regel) gegeben ist, nach dem jedem Vektor x des Raums ein einziger Vektor y des Raums zugeordnet ist

dann sagen sie: dass der Operator (Transformation, Abbildung) A(x) gegeben ist, wirkend von bis und

schreibe y=A(x).

Ein Operator heißt linear, wenn er für beliebige Vektoren x und y des Raums gilt

und jeder Zahl λ gelten die folgenden Beziehungen:

№37

Sei À eine Menge bestehend aus endlich vielen Elementen a 1 , a 2 , a 3 …a n . Aus verschiedenen Elementen der Menge A können Gruppen gebildet werden. Wenn jede Gruppe die gleiche Anzahl von Elementen m (m aus n) enthält, dann sagt man, dass sie Verbindungen von n Elementen mit jeweils m bilden. Es gibt drei Arten von Verbindungen: Platzierungen, Kombinationen und Permutationen.

Verbindungen, die jeweils alle n Elemente der Menge A enthalten und sich daher nur in der Reihenfolge der Elemente voneinander unterscheiden, nennt man Permutationen von n Elementen. Die Anzahl solcher Permutationen wird durch das Symbol Р n bezeichnet.

№35

Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit basiert auf dem Konzept der Äquiwahrscheinlichkeit von Ereignissen.

Äquivalenz von Ereignissen bedeutet, dass es keinen Grund gibt, eines von ihnen anderen vorzuziehen.

Betrachten wir einen Test, bei dem Ereignis A eintreten kann.Jedes Ergebnis, bei dem Ereignis A eintritt, wird als günstiges Ereignis A bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A (bezeichnet mit P(A)) ist das Verhältnis der Anzahl der für das Ereignis A günstigen Ergebnisse (bezeichnet mit k) zur Anzahl aller Testergebnisse – N, d. h. P(A)=k/N.

Aus der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit folgen folgende Eigenschaften:

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen null und eins.

Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist gleich eins.

Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist null

№39, 40

Additionssatz. Wenn A und B inkonsistent sind, dann ist P(A + B) = P(A) + P(B)

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Drei Fälle beim Lösen von linearen Gleichungssystemen

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Kommentar

Die Determinante auf eine Dreiecksform bringen

4. Eigenschaften von Determinanten. Determinante des Produkts von Matrizen.

Satz von Laplace

Cramers Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme

Cramers Formeln

Cramers Methode. Anwendung für lineare Gleichungssysteme

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