Lassen Sie ihre Wahrscheinlichkeiten und die entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeiten bekannt sein. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses:

Diese Formel heißt Gesamtwahrscheinlichkeitsformeln. In Lehrbüchern wird es durch einen Satz formuliert, dessen Beweis elementar ist: nach Ereignisalgebra, (Ereignis passiert und oder ein Ereignis ist passiert und danach kam das Ereignis oder ein Ereignis ist passiert und danach kam das Ereignis oder …. oder ein Ereignis ist passiert und Veranstaltung gefolgt). Da die Hypothesen inkompatibel sind, und das Ereignis abhängig ist, dann gem Additionssatz für die Wahrscheinlichkeiten unvereinbarer Ereignisse (erster Schritt) und der Satz der Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten abhängiger Ereignisse (zweiter Schritt):

Wahrscheinlich nehmen viele den Inhalt des ersten Beispiels vorweg =)

Wohin du spuckst - überall die Urne:

Aufgabe 1

Es gibt drei identische Urnen. Die erste Urne enthält 4 weiße und 7 schwarze Kugeln, die zweite Urne enthält nur weiße Kugeln und die dritte Urne enthält nur schwarze Kugeln. Es wird zufällig eine Urne ausgewählt und daraus zufällig eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel schwarz ist?

Entscheidung: Betrachten Sie das Ereignis - eine schwarze Kugel wird aus einer zufällig ausgewählten Urne gezogen. Dieses Ereignis kann als Ergebnis der Umsetzung einer der folgenden Hypothesen auftreten:
– die 1. Urne wird ausgewählt;
– die 2. Urne wird ausgewählt;
– die 3. Urne wird gewählt.

Da die Urne zufällig ausgewählt wird, fällt die Wahl auf eine der drei Urnen gleichermaßen möglich, somit:

Beachten Sie, dass sich die obigen Hypothesen bilden komplette Veranstaltungsreihe, das heißt, je nach Bedingung kann eine schwarze Kugel nur aus diesen Urnen erscheinen und beispielsweise nicht von einem Billardtisch fliegen. Machen wir einen einfachen Zwischencheck:
Okay, machen wir weiter:

Die erste Urne enthält je 4 weiße + 7 schwarze = 11 Kugeln klassische Definition:
ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Kugel zu ziehen gegeben das dass die 1. Urne selektiert wird.

Die zweite Urne enthält also nur weiße Kugeln falls gewählt das Aussehen einer schwarzen Kugel wird unmöglich: .

Und schließlich gibt es in der dritten Urne nur schwarze Kugeln, was bedeutet, dass die entsprechenden bedingte Wahrscheinlichkeit Extraktion der schwarzen Kugel wird sein (Ereignis ist sicher).

ist die Wahrscheinlichkeit, dass aus einer zufällig ausgewählten Urne eine schwarze Kugel gezogen wird.

Antworten:

Das analysierte Beispiel zeigt erneut, wie wichtig es ist, DIE BEDINGUNG ZU VERSTEHEN. Nehmen wir die gleichen Probleme mit Urnen und Kugeln - mit ihrer äußeren Ähnlichkeit können die Lösungsmethoden völlig unterschiedlich sein: Irgendwo muss nur angewendet werden Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit, irgendwo Veranstaltungen unabhängig, irgendwo abhängig, und irgendwo sprechen wir über Hypothesen. Gleichzeitig gibt es kein klares formales Kriterium für die Wahl eines Lösungswegs – man muss fast immer darüber nachdenken. Wie können Sie Ihre Fähigkeiten verbessern? Wir lösen, wir lösen und wir lösen erneut!

Aufgabe 2

Es gibt 5 verschiedene Gewehre im Schießstand. Die Trefferwahrscheinlichkeiten für einen gegebenen Schützen sind jeweils gleich 0,5; 0,55; 0,7; 0,75 und 0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen, wenn der Schütze einen Schuss aus einem zufällig ausgewählten Gewehr abfeuert?

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Bei den meisten thematischen Problemen sind die Hypothesen natürlich nicht gleich wahrscheinlich:

Aufgabe 3

In der Pyramide befinden sich 5 Gewehre, von denen drei mit einem optischen Visier ausgestattet sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft, wenn er von einem Gewehr mit Zielfernrohr abgefeuert wird, beträgt 0,95; für ein Gewehr ohne Zielfernrohr beträgt diese Wahrscheinlichkeit 0,7. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel getroffen wird, wenn der Schütze einen Schuss aus einem zufällig gezogenen Gewehr abfeuert.

Entscheidung: In diesem Problem ist die Anzahl der Gewehre genau die gleiche wie im vorherigen, aber es gibt nur zwei Hypothesen:
- Der Schütze wählt ein Gewehr mit optischem Visier;
- Der Schütze wählt ein Gewehr ohne Zielfernrohr aus.
Von Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit: .
Die Kontrolle:

Betrachten Sie das Ereignis: - Der Schütze trifft das Ziel mit einem zufällig ausgewählten Gewehr.
Nach Bedingung: .

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:

Antworten: 0,85

In der Praxis ist eine verkürzte Art der Aufgabengestaltung, die Sie ebenfalls kennen, durchaus akzeptabel:

Entscheidung: nach der klassischen Definition: sind die Wahrscheinlichkeiten, ein Gewehr mit bzw. ohne optisches Visier zu wählen.

Nach Bedingung, – Trefferwahrscheinlichkeiten mit den jeweiligen Gewehrtypen.

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel mit einem zufällig ausgewählten Gewehr trifft.

Antworten: 0,85

Folgende Aufgabe für eine eigenständige Lösung:

Aufgabe 4

Der Motor arbeitet in drei Modi: normal, forciert und im Leerlauf. Im Leerlauf beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit 0,05, im Normalmodus 0,1 und im erzwungenen Modus 0,7. 70 % der Zeit läuft der Motor im Normalmodus und 20 % im erzwungenen Modus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eines Motorausfalls während des Betriebs?

Nur für den Fall, lassen Sie mich Sie daran erinnern - um die Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, müssen die Prozentsätze durch 100 geteilt werden. Seien Sie sehr vorsichtig! Nach meinen Beobachtungen wird oft versucht, die Problembedingungen für die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel zu verwechseln; und ich habe ausdrücklich ein solches Beispiel gewählt. Ich verrate dir ein Geheimnis - ich wäre selbst fast verwirrt =)

Lösung am Ende der Stunde (kurz formuliert)

Probleme für Bayes-Formeln

Das Material ist eng mit dem Inhalt des vorherigen Absatzes verbunden. Lassen Sie das Ereignis als Ergebnis der Umsetzung einer der Hypothesen eintreten . Wie kann man die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass eine bestimmte Hypothese stattgefunden hat?

Angesichts dessen dieses Ereignis Schon passiert, Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen überschätzt nach den Formeln, die den Namen des englischen Priesters Thomas Bayes erhielten:

- die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese eingetreten ist;
- die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese eingetreten ist;
…
ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese wahr war.

Auf den ersten Blick erscheint es wie eine völlige Absurdität - warum die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen neu berechnen, wenn sie bereits bekannt sind? Aber tatsächlich gibt es einen Unterschied:

- Das a priori(geschätzt Vor Tests) Wahrscheinlichkeiten.

- Das A posteriori(geschätzt gemäß Tests) die Wahrscheinlichkeiten der gleichen Hypothesen, neu berechnet im Zusammenhang mit "neu entdeckten Umständen" - unter Berücksichtigung der Tatsache, dass das Ereignis passiert.

Schauen wir uns diesen Unterschied an einem konkreten Beispiel an:

Aufgabe 5

Das Lager erhielt 2 Chargen von Produkten: die erste - 4000 Stück, die zweite - 6000 Stück. Der durchschnittliche Prozentsatz von nicht standardmäßigen Produkten in der ersten Charge beträgt 20% und in der zweiten - 10%. Nach dem Zufallsprinzip aus dem Lager genommen, entpuppte sich das Produkt als Standard. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es: a) aus der ersten Charge, b) aus der zweiten Charge stammt.

Erster Teil Lösungen besteht darin, die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel zu verwenden. Mit anderen Worten, die Berechnungen werden unter der Annahme durchgeführt, dass der Test noch nicht produziert und Veranstaltung "Das Produkt stellte sich als Standard heraus" bis es kommt.

Betrachten wir zwei Hypothesen:
- ein zufällig entnommenes Produkt stammt aus der 1. Charge;
- Ein zufällig entnommenes Produkt stammt aus der 2. Charge.

Gesamt: 4000 + 6000 = 10000 Artikel auf Lager. Nach der klassischen Definition:
.

Die Kontrolle:

Betrachten Sie das abhängige Ereignis: – ein zufällig aus dem Lager entnommener Artikel Wille Standard.

In der ersten Charge 100 % - 20 % = 80 % Standardprodukte, daher: gegeben das dass es der 1. Partei gehört.

Ebenso in der zweiten Charge 100 % - 10 % = 90 % Standardprodukte und ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Artikel im Lager ein Standardartikel ist gegeben das dass es der 2. Partei gehört.

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus dem Lager ausgewähltes Produkt ein Standardprodukt ist.

Zweiter Teil. Angenommen, ein zufällig aus dem Lager genommenes Produkt hat sich als Standardprodukt herausgestellt. Dieser Satz steht direkt in der Bedingung und gibt die Tatsache an, dass das Ereignis passiert.

Nach den Formeln von Bayes:

a) - die Wahrscheinlichkeit, dass das ausgewählte Standardprodukt zur 1. Charge gehört;

b) - die Wahrscheinlichkeit, dass das ausgewählte Standardprodukt zur 2. Charge gehört.

Gemäß Aufwertung Hypothesen bilden sich natürlich immer noch volle Gruppe:
(Untersuchung;-))

Antworten:

Ivan Vasilyevich, der seinen Beruf erneut wechselte und Direktor des Werks wurde, wird uns helfen, die Bedeutung der Neubewertung von Hypothesen zu verstehen. Er weiß, dass heute das 1. Geschäft 4000 Artikel an das Lager geliefert hat und das 2. Geschäft - 6000 Produkte, und er kommt, um dies sicherzustellen. Angenommen, alle Produkte sind vom gleichen Typ und befinden sich im gleichen Behälter. Natürlich hat Ivan Vasilyevich zuvor berechnet, dass das Produkt, das er jetzt zur Überprüfung entfernen wird, höchstwahrscheinlich von der ersten Werkstatt und mit Wahrscheinlichkeit von der zweiten hergestellt wird. Aber nachdem sich der ausgewählte Artikel als Standard herausstellt, ruft er aus: „Was für ein cooler Bolzen! - es wurde eher von der 2. Werkstatt freigegeben. Somit wird die Wahrscheinlichkeit der zweiten Hypothese zum Besseren überschätzt und die Wahrscheinlichkeit der ersten Hypothese unterschätzt: . Und diese Überschätzung ist nicht unvernünftig – schließlich hat die 2. Werkstatt nicht nur mehr Produkte produziert, sondern auch 2 mal besser gearbeitet!

Sie sagen, purer Subjektivismus? Teilweise - ja, außerdem hat Bayes selbst interpretiert A posteriori Wahrscheinlichkeiten als Vertrauens Stufe. Allerdings ist nicht alles so einfach – es gibt eine objektive Körnung im Bayesianischen Ansatz. Immerhin die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt Standard sein wird (0,8 und 0,9 für den 1. bzw. 2. Laden) Das vorläufige(a priori) und Mittel Schätzungen. Aber, philosophisch gesprochen, alles fließt, alles ändert sich, einschließlich Wahrscheinlichkeiten. Das ist durchaus möglich zum Zeitpunkt des Studiums erfolgreicherer 2nd Shop erhöhte den Anteil an Standardprodukten (und/oder der 1. Shop reduziert), und wenn Sie mehr oder alle 10.000 Artikel auf Lager überprüfen, werden die überschätzten Werte der Wahrheit viel näher kommen.

Übrigens, wenn Ivan Vasilyevich ein nicht standardmäßiges Teil extrahiert, dann umgekehrt - er wird den 1. Laden immer weniger "verdächtigen" - den zweiten. Ich schlage vor, Sie prüfen es selbst:

Aufgabe 6

Das Lager erhielt 2 Chargen von Produkten: die erste - 4000 Stück, die zweite - 6000 Stück. Der durchschnittliche Prozentsatz von nicht standardmäßigen Produkten in der ersten Charge beträgt 20%, in der zweiten - 10%. Es stellte sich heraus, dass es sich um ein zufällig aus dem Lager entnommenes Produkt handelte nicht Standard. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es: a) aus der ersten Charge, b) aus der zweiten Charge stammt.

Die Bedingung wird durch zwei Buchstaben gekennzeichnet, die ich fett markiert habe. Das Problem kann von Grund auf gelöst werden, oder Sie können die Ergebnisse früherer Berechnungen verwenden. Im Beispiel habe ich eine Komplettlösung durchgeführt, aber um eine formale Überlagerung mit Aufgabe Nr. 5, dem Event, zu vermeiden „Ein Produkt, das zufällig aus dem Lager genommen wird, ist kein Standard“ markiert mit .

Das Bayessche Schema der Neubewertung von Wahrscheinlichkeiten ist überall zu finden und wird auch von verschiedenen Arten von Betrügern aktiv ausgenutzt. Stellen Sie sich eine Aktiengesellschaft mit drei Buchstaben vor, die zu einem bekannten Namen geworden ist, die Einlagen der Bevölkerung anzieht, sie angeblich irgendwo anlegt, regelmäßig Dividenden zahlt usw. Was ist los? Tag für Tag, Monat für Monat vergeht und immer mehr Fakten, die durch Werbung und Mundpropaganda vermittelt werden, erhöhen nur das Vertrauen in die Finanzpyramide (nachgelagerte bayessche Neubewertung aufgrund vergangener Ereignisse!). Das heißt, in den Augen der Einleger steigt die Wahrscheinlichkeit, dass „Das ist ein seriöses Büro“; während die Wahrscheinlichkeit der gegenteiligen Hypothese („Das sind normale Betrüger“), nimmt natürlich ab und ab. Der Rest, denke ich, ist klar. Es ist bemerkenswert, dass der verdiente Ruf den Organisatoren Zeit gibt, sich erfolgreich vor Ivan Vasilyevich zu verstecken, der nicht nur ohne eine Menge Schrauben, sondern auch ohne Hosen zurückgelassen wurde.

Wir werden etwas später auf nicht weniger interessante Beispiele zurückkommen, aber jetzt ist der vielleicht häufigste Fall mit drei Hypothesen der nächste an der Reihe:

Aufgabe 7

Elektrische Lampen werden in drei Fabriken hergestellt. Das 1. Werk produziert 30% der Gesamtzahl der Lampen, das 2. - 55% und das 3. - den Rest. Die Produkte des 1. Werks enthalten 1% defekte Lampen, das 2. - 1,5%, das 3. - 2%. Das Geschäft erhält Produkte aus allen drei Fabriken. Die von mir gekaufte Lampe war defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es von Werk 2 produziert wurde?

Beachten Sie, dass bei Problemen mit Bayes-Formeln in der Bedingung Notwendig etwas was ist passiert ein Ereignis, in diesem Fall der Kauf einer Lampe.

Die Veranstaltungen haben zugenommen und Entscheidung Es ist bequemer, in einem "schnellen" Stil zu arrangieren.

Der Algorithmus ist genau derselbe: Im ersten Schritt finden wir die Wahrscheinlichkeit, dass die gekaufte Lampe wird wird sein defekt.

Anhand der Ausgangsdaten übersetzen wir die Prozentsätze in Wahrscheinlichkeiten:
sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die Lampe von der 1., 2. bzw. 3. Fabrik hergestellt wird.
Die Kontrolle:

Ebenso: - die Herstellungswahrscheinlichkeiten einer defekten Lampe für die jeweiligen Fabriken.

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:

- die Wahrscheinlichkeit, dass die gekaufte Lampe defekt sein wird.

Schritt zwei. Lassen Sie die gekaufte Lampe defekt sein (das Ereignis ist eingetreten)

Nach der Bayes-Formel:
- die Wahrscheinlichkeit, dass die gekaufte defekte Lampe von der zweiten Fabrik hergestellt wird

Antworten:

Warum hat sich die Anfangswahrscheinlichkeit der 2. Hypothese nach der Neubewertung erhöht? Immerhin produziert das zweite Werk Lampen von durchschnittlicher Qualität (das erste ist besser, das dritte schlechter). Warum hat es also zugenommen? A posteriori die Wahrscheinlichkeit, dass die defekte Lampe aus der 2. Fabrik stammt? Das liegt nicht mehr am „Ruf“, sondern an der Größe. Da Werk Nr. 2 die meisten Lampen produzierte, geben sie ihm (zumindest subjektiv) die Schuld: „höchstwahrscheinlich stammt diese defekte Lampe von dort“.

Interessant ist, dass die Wahrscheinlichkeiten der 1. und 3. Hypothese in die erwartete Richtung überschätzt wurden und gleich wurden:

Die Kontrolle: , was zu überprüfen war.

Übrigens, über unterschätzt und überschätzt:

Aufgabe 8

In der Schülergruppe haben 3 Personen ein hohes Ausbildungsniveau, 19 Personen ein durchschnittliches Niveau und 3 Personen ein niedriges Niveau. Die Wahrscheinlichkeiten, die Prüfung erfolgreich zu bestehen, betragen für diese Studierenden jeweils: 0,95; 0,7 und 0,4. Es ist bekannt, dass einige Schüler die Prüfung bestanden haben. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass:

a) er war sehr gut vorbereitet;
b) war mäßig vorbereitet;
c) war schlecht vorbereitet.

Führen Sie Berechnungen durch und analysieren Sie die Ergebnisse der Neubewertung von Hypothesen.

Die Aufgabenstellung ist realitätsnah und besonders plausibel für eine Gruppe von Teilzeitstudierenden, bei denen der Lehrer die Fähigkeiten dieses oder jenes Schülers praktisch nicht kennt. In diesem Fall kann das Ergebnis ziemlich unerwartete Folgen haben. (insbesondere für Prüfungen im 1. Semester). Wenn ein schlecht vorbereiteter Schüler das Glück hat, ein Ticket zu bekommen, wird der Lehrer ihn wahrscheinlich als guten Schüler oder sogar als starken Schüler betrachten, was in Zukunft gute Dividenden bringen wird (natürlich müssen Sie die Messlatte höher legen und Ihr Image pflegen). Wenn ein Student 7 Tage und 7 Nächte studiert, gepaukt, wiederholt, aber einfach Pech hatte, dann kann sich das weitere Geschehen auf die denkbar schlechteste Art und Weise entwickeln – mit zahlreichen Wiederholungen und Balancieren am Rande der Abreise.

Reputation ist natürlich das wichtigste Kapital, nicht umsonst tragen viele Unternehmen die Namen ihrer Gründerväter, die das Unternehmen vor 100-200 Jahren führten und für ihren tadellosen Ruf berühmt wurden.

Ja, der Bayesianische Ansatz ist bis zu einem gewissen Grad subjektiv, aber ... so funktioniert das Leben!

Konsolidieren wir das Material mit einem abschließenden Industriebeispiel, in dem ich auf die technischen Feinheiten der Lösung eingehen werde, die noch nicht aufgetreten sind:

Aufgabe 9

Drei Werkstätten des Werks produzieren gleichartige Teile, die in einem gemeinsamen Container für die Montage zusammengebaut werden. Es ist bekannt, dass das erste Geschäft 2-mal mehr Teile produziert als das zweite Geschäft und 4-mal mehr Teile als das dritte Geschäft. In der ersten Werkstatt beträgt der Defekt 12%, in der zweiten - 8%, in der dritten - 4%. Zur Kontrolle wird ein Teil aus dem Behälter entnommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es defekt ist? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das entnommene defekte Teil aus der 3. Werkstatt stammt?

Taki Ivan Vasilyevich ist wieder zu Pferd =) Der Film muss ein Happy End haben =)

Entscheidung: Im Gegensatz zu den Aufgaben Nr. 5-8 wird hier explizit eine Frage gestellt, die mit der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel gelöst wird. Aber auf der anderen Seite ist die Bedingung ein wenig „verschlüsselt“, und die Fähigkeit der Schule, die einfachsten Gleichungen zu erstellen, wird uns helfen, diesen Rebus zu lösen. Für "x" ist es zweckmäßig, den kleinsten Wert zu nehmen:

Sei der Anteil der von der dritten Werkstatt produzierten Teile.

Je nach Bedingung produziert die 1. Werkstatt 4 mal mehr als die 3. Werkstatt, also beträgt der Anteil der 1. Werkstatt .

Darüber hinaus produziert die erste Werkstatt 2-mal mehr Produkte als die zweite Werkstatt, was bedeutet, dass der Anteil der letzteren: .

Lassen Sie uns die Gleichung aufstellen und lösen:

Also: - die Wahrscheinlichkeiten, dass das aus dem Container entnommene Teil von der 1., 2. bzw. 3. Werkstätte freigegeben wurde.

Die Kontrolle: . Außerdem ist es nicht überflüssig, sich den Satz noch einmal anzusehen „Es ist bekannt, dass die erste Werkstatt 2-mal mehr Produkte produziert als die zweite Werkstatt und 4-mal mehr als die dritte Werkstatt“ und stellen Sie sicher, dass die erhaltenen Wahrscheinlichkeiten wirklich dieser Bedingung entsprechen.

Für „X“ war es zunächst möglich, den Anteil des 1. oder den Anteil des 2. Ladens zu nehmen – die Wahrscheinlichkeiten werden gleich ausfallen. Aber so oder so, der schwierigste Abschnitt ist überwunden, und die Lösung ist auf dem richtigen Weg:

Aus der Bedingung finden wir:
- die Wahrscheinlichkeit, ein defektes Teil für die entsprechenden Werkstätten herzustellen.

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel:
ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus dem Behälter entnommenes Teil nicht dem Standard entspricht.

Frage zwei: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das entnommene defekte Teil von der 3. Werkstatt produziert wurde? Bei dieser Frage wird davon ausgegangen, dass das Teil bereits ausgebaut und als defekt befunden wurde. Wir bewerten die Hypothese mit der Bayes-Formel neu:
ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Durchaus zu erwarten – schließlich produziert die dritte Werkstatt nicht nur den kleinsten Teileanteil, sondern ist auch qualitativ führend!

In diesem Fall musste ich Vereinfachen Sie den vierstöckigen Bruch, was bei Problemen mit Bayes-Formeln ziemlich oft gemacht werden muss. Aber für diese Lektion habe ich irgendwie versehentlich Beispiele aufgeschnappt, in denen viele Berechnungen ohne gewöhnliche Brüche durchgeführt werden können.

Da es in der Bedingung keine „a“- und „be“-Punkte gibt, ist es besser, die Antwort mit Textkommentaren zu versehen:

Antworten: - die Wahrscheinlichkeit, dass das aus dem Behälter entfernte Teil defekt ist; - die Wahrscheinlichkeit, dass das entnommene defekte Teil von der 3. Werkstatt freigegeben wurde.

Wie Sie sehen können, sind die Probleme bei der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel und den Bayes-Formeln ziemlich einfach und versuchen wahrscheinlich aus diesem Grund so oft, die Bedingung zu verkomplizieren, die ich bereits am Anfang des Artikels erwähnt habe.

Weitere Beispiele befinden sich in der Datei mit fertige Lösungen für F.P.V. und Bayes-Formeln, außerdem gibt es wahrscheinlich diejenigen, die sich in anderen Quellen mit diesem Thema vertiefen möchten. Und das Thema ist wirklich sehr interessant - was ist es alleine wert Bayes-Paradoxon, was den alltäglichen Rat untermauert, dass bei einer Diagnose einer seltenen Krankheit eine zweite und sogar zwei wiederholte unabhängige Untersuchungen für ihn sinnvoll sind. Es scheint, dass sie es nur aus Verzweiflung tun ... - aber nein! Aber reden wir nicht über traurige Dinge.

ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Student die Prüfung besteht.
Lassen Sie den Schüler die Prüfung bestehen. Nach den Formeln von Bayes:
a) - die Wahrscheinlichkeit, dass der Student, der die Prüfung bestanden hat, sehr gut vorbereitet war. Die objektive Anfangswahrscheinlichkeit wird überschätzt, da fast immer einige „Durchschnittliche“ bei Fragen Glück haben und diese sehr stark antworten, was den irrigen Eindruck einer tadellosen Vorbereitung erweckt.
b) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student, der die Prüfung bestanden hat, mäßig vorbereitet war. Die anfängliche Wahrscheinlichkeit erweist sich als leicht überschätzt, weil Schüler mit einem durchschnittlichen Vorbereitungsniveau sind in der Regel die Mehrheit, außerdem wird der Lehrer hier erfolglos beantwortete „ausgezeichnete Schüler“ einbeziehen, und gelegentlich einen leistungsschwachen Schüler, der großes Glück mit einem Ticket hatte.
in) - die Wahrscheinlichkeit, dass der Student, der die Prüfung bestanden hat, schlecht vorbereitet war. Die anfängliche Wahrscheinlichkeit wurde zum Schlechteren überschätzt. Kein Wunder.
Untersuchung:
Antworten :

Die logische Folge beider Hauptsätze – dem Wahrscheinlichkeitsadditionssatz und dem Wahrsc– ist die sogenannte Gesamtwahrscheinlichkeitsformel.

Es sei erforderlich, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen, das zusammen mit einem der Ereignisse auftreten kann:

bilden eine vollständige Gruppe von inkompatiblen Ereignissen. Wir werden diese Ereignisse Hypothesen nennen.

Lassen Sie uns das in diesem Fall beweisen

, (3.4.1)

jene. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird als Summe der Produkte aus der Wahrscheinlichkeit jeder Hypothese und der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unter dieser Hypothese berechnet.

Formel (3.4.1) wird als Gesamtwahrscheinlichkeitsformel bezeichnet.

Nachweisen. Da die Hypothesen eine vollständige Gruppe bilden, kann das Ereignis nur in Kombination mit einer dieser Hypothesen auftreten:

Da die Hypothesen widersprüchlich sind, werden die Kombinationen auch inkompatibel; Wenden wir den Additionssatz auf sie an, erhalten wir:

Wenden wir den Multiplikationssatz auf das Ereignis an, erhalten wir:

,

Q.E.D.

Beispiel 1. Es gibt drei identisch aussehende Urnen; die erste Urne enthält zwei weiße und eine schwarze Kugel; im zweiten - drei weiße und ein schwarzes; im dritten - zwei weiße und zwei schwarze Kugeln. Jemand wählt zufällig eine der Urnen aus und zieht daraus eine Kugel. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball weiß ist.

Entscheidung. Betrachten wir drei Hypothesen:

Wahl der ersten Urne,

Wahl der zweiten Urne,

Wahl der dritten Urne

und das Ereignis ist das Erscheinen einer weißen Kugel.

Denn die Hypothesen sind, je nach Problemstellung, gleich wahrscheinlich

.

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses unter diesen Hypothesen sind jeweils gleich:

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel

.

Beispiel 2. Drei Einzelschüsse werden auf ein Flugzeug abgefeuert. Die Wahrscheinlichkeit, mit dem ersten Schuss zu treffen, beträgt 0,4, mit dem zweiten 0,5 und mit dem dritten 0,7. Drei Treffer reichen sicherlich aus, um ein Flugzeug zu deaktivieren; bei einem Treffer versagt das Flugzeug mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2, bei zwei Treffern mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug durch drei Schüsse außer Gefecht gesetzt wird.

Entscheidung. Betrachten wir vier Hypothesen:

Keine einzige Granate traf das Flugzeug,

Eine Granate traf das Flugzeug

Das Flugzeug wurde von zwei Granaten getroffen.

Drei Granaten trafen das Flugzeug.

Unter Verwendung der Additions- und Multiplikationstheoreme finden wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Hypothesen:

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses (Flugzeugausfall) unter diesen Hypothesen sind:

Wenden wir die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel an, erhalten wir:

Beachten Sie, dass die erste Hypothese nicht berücksichtigt werden konnte, da der entsprechende Term in der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel verschwindet. Dies geschieht normalerweise bei der Anwendung der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel, wobei nicht die vollständige Gruppe inkonsistenter Hypothesen berücksichtigt wird, sondern nur diejenigen von ihnen, unter denen ein bestimmtes Ereignis möglich ist.

Beispiel 3. Der Motorbetrieb wird von zwei Reglern gesteuert. Betrachtet wird ein bestimmter Zeitraum, in dem ein störungsfreier Betrieb des Motors sichergestellt werden soll. Wenn beide Regler vorhanden sind, fällt der Motor mit Wahrscheinlichkeit aus, wenn nur der erste funktioniert, mit Wahrscheinlichkeit, wenn nur der zweite funktioniert, wenn beide Regler ausfallen, mit Wahrscheinlichkeit. Der erste der Regler hat Zuverlässigkeit, der zweite -. Alle Elemente fallen unabhängig voneinander aus. Ermitteln Sie die Gesamtzuverlässigkeit (Wahrscheinlichkeit eines störungsfreien Betriebs) des Motors.

Veranstaltungsformular volle Gruppe, wenn mindestens einer von ihnen notwendigerweise als Ergebnis des Experiments auftritt und paarweise inkonsistent ist.

Nehmen wir an, dass das Ereignis EIN können nur zusammen mit einem von mehreren paarweise inkompatiblen Ereignissen auftreten, die eine vollständige Gruppe bilden. Nennen wir die Ereignisse ich= 1, 2,…, n) Hypothesen zusätzliche Erfahrung (a priori). Die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses A wird durch die Formel bestimmt volle Wahrscheinlichkeit :

Beispiel 16 Es gibt drei Urnen. Die erste Urne enthält 5 weiße und 3 schwarze Kugeln, die zweite Urne enthält 4 weiße und 4 schwarze Kugeln und die dritte Urne enthält 8 weiße Kugeln. Eine der Urnen wird zufällig ausgewählt (das kann zum Beispiel bedeuten, dass eine Auswahl aus einer Hilfsurne getroffen wird, die drei Kugeln mit den Nummern 1, 2 und 3 enthält). Aus dieser Urne wird zufällig eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es schwarz wird?

Entscheidung. Vorfall EIN– Schwarze Kugel wird gezogen. Wenn bekannt wäre, aus welcher Urne die Kugel gezogen wird, dann könnte die gesuchte Wahrscheinlichkeit nach der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit berechnet werden. Lassen Sie uns Annahmen (Hypothesen) darüber einführen, welche Urne ausgewählt wird, um die Kugel zu extrahieren.

Die Kugel kann entweder aus der ersten Urne (Hypothese ) oder aus der zweiten (Hypothese ) oder aus der dritten (Hypothese ) gezogen werden. Da gibt es also gleiche Chancen, eine der Urnen zu wählen .

Daraus folgt das

Beispiel 17. Elektrische Lampen werden in drei Fabriken hergestellt. Das erste Werk produziert 30% der Gesamtzahl der elektrischen Lampen, das zweite - 25%,
und der dritte für den Rest. Die Produkte der ersten Anlage enthalten 1% defekte elektrische Lampen, die zweite - 1,5%, die dritte - 2%. Das Geschäft erhält Produkte aus allen drei Fabriken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine im Laden gekaufte Lampe defekt ist?

Entscheidung. Es müssen Vermutungen eingetragen werden, in welchem ​​Werk die Glühbirne hergestellt wurde. Wenn wir dies wissen, können wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass es defekt ist. Lassen Sie uns die Notation für Ereignisse einführen: EIN– sich herausstellte, dass die gekaufte elektrische Lampe defekt war, – die Lampe von der ersten Fabrik hergestellt wurde, – die Lampe von der zweiten Fabrik hergestellt wurde,
– Die Lampe wird von der dritten Fabrik hergestellt.

Die gewünschte Wahrscheinlichkeit wird durch die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel gefunden:

Bayes-Formel. Sei eine vollständige Gruppe von paarweise inkompatiblen Ereignissen (Hypothesen). SONDERN ist ein zufälliges Ereignis. Dann,

Die letzte Formel, mit der Sie die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen überschätzen können, nachdem das Ergebnis des Tests bekannt geworden ist, wodurch das Ereignis A aufgetreten ist, wird aufgerufen Bayes-Formel .

Beispiel 18. Durchschnittlich 50 % der Patienten mit der Krankheit werden in einem spezialisierten Krankenhaus aufgenommen Zu, 30 % mit Krankheit L, 20 % –
mit Krankheit M. Die Wahrscheinlichkeit einer vollständigen Heilung der Krankheit K entspricht 0,7 für Krankheiten L und M diese Wahrscheinlichkeiten betragen 0,8 bzw. 0,9. Der ins Krankenhaus eingelieferte Patient wurde gesund entlassen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Patient die Krankheit hatte K.

Entscheidung. Wir stellen Hypothesen vor: - Der Patient litt an einer Krankheit Zu L, litt der Patient an der Krankheit M.

Dann haben wir aufgrund der Bedingung des Problems . Lassen Sie uns eine Veranstaltung vorstellen SONDERN Der ins Krankenhaus eingelieferte Patient wurde gesund entlassen. Nach Zustand

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel erhalten wir:

Bayes-Formel.

Beispiel 19. Seien fünf Kugeln in der Urne und alle Vermutungen über die Anzahl der weißen Kugeln sind gleich wahrscheinlich. Aus der Urne wird zufällig eine Kugel entnommen, die sich als weiß herausstellt. Was ist die wahrscheinlichste Annahme über die ursprüngliche Zusammensetzung der Urne?

Entscheidung. Lassen Sie die Hypothese sein, dass in der Urne weiße Kugeln sind , d. h. es können sechs Annahmen getroffen werden. Dann haben wir aufgrund der Bedingung des Problems .

Lassen Sie uns eine Veranstaltung vorstellen SONDERN Eine zufällig gezogene weiße Kugel. Lass uns rechnen. Da gilt nach der Bayes-Formel:

Damit ist die Hypothese am wahrscheinlichsten, da .

Beispiel 20. Zwei von drei unabhängig arbeitenden Elementen des Rechengeräts fielen aus. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das erste und zweite Element ausgefallen sind, wenn die Ausfallwahrscheinlichkeiten des ersten, zweiten und dritten Elements jeweils gleich 0,2 sind; 0,4 und 0,3.

Entscheidung. Bezeichne mit SONDERN Ereignis - zwei Elemente fehlgeschlagen. Folgende Hypothesen können aufgestellt werden:

- das erste und das zweite Element ausgefallen sind und das dritte Element funktionsfähig ist. Da die Elemente unabhängig voneinander arbeiten, gilt der Multiplikationssatz:

Beispiel 1. Ein Computerhersteller bezieht die gleichen Teile von drei Lieferanten. Der erste liefert 50 % aller Komponenten, der zweite - 20 %, der dritte - 30 % der Teile.
Es ist bekannt, dass die Qualität der gelieferten Teile unterschiedlich ist, und bei den Produkten des ersten Lieferanten beträgt der Prozentsatz der Mängel 4%, beim zweiten - 5%, beim dritten - 2%. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus allen eingegangenen Teil ausgewähltes Teil defekt ist.

Entscheidung. Bezeichnen wir die Ereignisse: A - "das ausgewählte Teil ist defekt", H i - "das ausgewählte Teil wurde vom i-ten Lieferanten erhalten", i = 1, 2, 3 Hypothesen H 1 , H 2 , H 3 bilden a vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse. Nach Zustand
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H3) = 0,3
P(A|H1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H3) = 0,02

Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel (1.11) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A gleich
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0,5 0,04 + 0,2 0,05 + 0,3 0,02 = 0,036
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil defekt ist, beträgt 0,036.

Unter den Bedingungen des vorherigen Beispiels sei Ereignis A bereits eingetreten: Das ausgewählte Teil hat sich als defekt herausgestellt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es vom ersten Lieferanten stammt? Die Antwort auf diese Frage liefert die Bayes-Formel.
Wir haben die Analyse von Wahrscheinlichkeiten mit nur vorläufigen a priori-Werten der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen begonnen. Dann wurde ein Experiment gemacht (ein Teil wurde ausgewählt) und wir erhielten zusätzliche Informationen über das für uns interessante Ereignis. Mit diesen neuen Informationen können wir die Werte der vorherigen Wahrscheinlichkeiten verfeinern. Die neuen Werte der Wahrscheinlichkeiten der gleichen Ereignisse werden bereits a posteriori (postexperimentelle) Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen sein (Abb. 1.5).

Hypothesen-Neubewertungsschema
Ereignis A trete nur zusammen mit einer der Hypothesen H 1 , H 2 , …, H n (vollständige Gruppe unvereinbarer Ereignisse) ein. Wir bezeichnen A-priori-Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen mit P(H i) bedingte Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Wenn das Experiment bereits durchgeführt wurde und infolgedessen das Ereignis A eingetreten ist, dann sind die A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(H i |A), i = 1, 2,…, n. In der Notation des vorherigen Beispiels ist P(H 1 |A) die Wahrscheinlichkeit, dass das ausgewählte Teil, das sich als fehlerhaft herausgestellt hat, vom ersten Lieferanten erhalten wurde.
Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses H k |A Betrachten Sie das gemeinsame Auftreten der Ereignisse H k und A, also des Ereignisses AH k . Seine Wahrscheinlichkeit kann auf zwei Arten unter Verwendung der Multiplikationsformeln (1.5) und (1.6) ermittelt werden:
P(AHk) = P(Hk)P(A|Hk);
P(AHk) = P(A)P(Hk |A).

Gleichen Sie die rechten Seiten dieser Formeln
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

daher ist die spätere Wahrscheinlichkeit der Hypothese H k

Der Nenner ist die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses A. Setzen wir anstelle von P(A) seinen Wert gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel (1.11) ein, erhalten wir:
(1.12)
Formel (1.12) wird aufgerufen Bayes-Formel und wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen neu zu bewerten.
In den Bedingungen des vorherigen Beispiels finden wir die Wahrscheinlichkeit, dass das fehlerhafte Teil vom ersten Lieferanten stammt. Fassen wir in einer Tabelle die a priori Wahrscheinlichkeiten der uns durch die Bedingung bekannten Hypothesen P(H i), die bedingten Wahrscheinlichkeiten P(A|H i) die bei der Lösung von P(AH i) = berechneten gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten zusammen P(H i) P(A|H i) und berechnet nach Formel (1.12) a posteriori Wahrscheinlichkeiten P(H k |A), i, k = 1, 2,…, n (Tab. 1.3).

Tabelle 1.3 – Neubewertung von Hypothesen

Hypothesen Hi	Wahrscheinlichkeiten
	Vorher P(H i)	Bedingtes P(A|H i)	Gelenk P(AH i)	A posteriori P(H i |A)
1	2	3	4	5
H 1 - vom ersten Lieferanten erhaltenes Teil	0.5	0.04	0.02
H 2 - Teil erhalten von einem zweiten Lieferanten	0.2	0.05	0.01
H 3 - Teil erhalten von einem dritten Lieferanten	0.3	0.02	0.006
Summe	1.0	-	0.036	1

Betrachten Sie die letzte Zeile dieser Tabelle. Die zweite Spalte enthält die Summe der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse H 1 , H 2 , H 3 , die eine vollständige Gruppe bilden:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
In der vierten Spalte wird der Wert in jeder Zeile (gemeinsame Wahrscheinlichkeiten) durch die Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten erhalten, indem die entsprechenden Werte in der zweiten und dritten Spalte multipliziert werden, und in der letzten Zeile ist 0,036 die Gesamtwahrscheinlichkeit von Ereignis A (durch die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel).
In Spalte 5 werden die A-Posteriori-Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen nach der Bayes-Formel (1.12) berechnet:

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten P(H 2 |A) und P(H 3 |A) werden ähnlich berechnet, wobei der Zähler des Bruchs die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten sind, die in den entsprechenden Zeilen von Spalte 4 aufgezeichnet sind, und der Nenner die Gesamtwahrscheinlichkeit von ist Ereignis A in der letzten Zeile von Spalte 4 aufgezeichnet.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen nach dem Experiment ist gleich 1 und wird in die letzte Zeile der fünften Spalte geschrieben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das defekte Teil vom ersten Lieferanten stammt, beträgt also 0,555. Die postexperimentelle Wahrscheinlichkeit ist größer als die a priori (aufgrund des großen Angebotsvolumens). Die postexperimentelle Wahrscheinlichkeit, dass das fehlerhafte Teil vom zweiten Lieferanten stammt, beträgt 0,278 und ist ebenfalls größer als die vorexperimentelle (aufgrund der hohen Ausschussquote). Die postexperimentelle Wahrscheinlichkeit, dass ein defektes Teil von einem Drittlieferanten bezogen wurde, beträgt 0,167.

Beispiel #3. Es gibt drei identische Urnen; die erste Urne enthält zwei weiße und eine schwarze Kugel; im zweiten drei Weiße und ein Schwarzes; im dritten - zwei weiße und zwei schwarze Kugeln. Für das Experiment wird zufällig eine Urne ausgewählt und daraus eine Kugel entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball weiß ist.
Entscheidung. Betrachten wir drei Hypothesen: H 1 – die erste Urne wird gewählt, H 2 – die zweite Urne wird gewählt, H 3 – die dritte Urne wird gewählt und Ereignis A – die weiße Kugel wird herausgenommen.
Da die Hypothesen durch die Bedingung des Problems gleich wahrscheinlich sind, dann

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten des Ereignisses A unter diesen Hypothesen sind jeweils gleich:
Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel

Beispiel Nr. 4. Es gibt 19 Gewehre in der Pyramide, 3 davon mit optischem Visier. Der Schütze, der aus einem Gewehr mit optischem Visier schießt, kann das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,81 treffen und aus einem Gewehr ohne optisches Visier mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,46 schießen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel trifft, indem er aus einem zufällig ausgewählten Gewehr schießt.
Entscheidung. Hier ist der erste Test eine zufällige Auswahl des Gewehrs, der zweite das Scheibenschießen. Betrachten Sie die folgenden Ereignisse: A - der Schütze trifft das Ziel; H 1 - der Schütze nimmt ein Gewehr mit einem optischen Visier; H 2 - Der Schütze nimmt ein Gewehr ohne optisches Visier. Wir verwenden die Gesamtwahrscheinlichkeitsformel. Wir haben

Wenn man bedenkt, dass Gewehre einzeln ausgewählt werden und die klassische Wahrscheinlichkeitsformel verwendet wird, erhalten wir: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind in der Aufgabenstellung angegeben: P(A|H 1) = 0;81 und P(A|H 2) = 0;46. Somit,

Beispiel Nummer 5. Aus einer Urne mit 2 weißen und 3 schwarzen Kugeln werden zufällig zwei Kugeln gezogen und 1 weiße Kugel in die Urne gelegt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Kugel weiß ist.
Entscheidung. Das Ereignis „eine weiße Kugel wird gezogen“ wird mit A bezeichnet. Das Ereignis H 1 – zwei weiße Kugeln werden zufällig gezogen; H 2 - zwei schwarze Kugeln wurden zufällig gezogen; H 3 - eine weiße Kugel und eine schwarze Kugel wurden gezogen. Dann die Wahrscheinlichkeiten der aufgestellten Hypothesen

Die bedingten Wahrscheinlichkeiten unter diesen Hypothesen sind jeweils gleich: P(A|H 1) = 1/4 - die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, wenn derzeit eine weiße und drei schwarze Kugeln in der Urne sind, P(A|H 2) = 3/ 4 - Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, wenn derzeit drei weiße und eine schwarze Kugel in der Urne sind, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, falls vorhanden zwei weiße und eine schwarze Kugel in der Urne im Moment zwei schwarze Kugeln. Nach der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel

Beispiel Nummer 6. Es werden zwei Schüsse auf das Ziel abgegeben. Die Wahrscheinlichkeit, mit dem ersten Schuss zu treffen, beträgt 0,2, mit dem zweiten - 0,6. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Treffer zu zerstören, beträgt 0,3, mit zwei - 0,9. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Ziel zerstört wird.
Entscheidung. Lassen Sie Ereignis A sein, das Ziel wird zerstört. Dazu reicht es aus, mit einem von zwei Schüssen zu treffen oder das Ziel mit zwei Schüssen hintereinander ohne Fehlschuss zu treffen. Lassen Sie uns Hypothesen aufstellen: H 1 - beide Schüsse treffen das Ziel. Dann ist P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0;12. H 2 - entweder das erste Mal oder das zweite Mal, dass ein Fehler gemacht wurde. Dann P (H 2) \u003d 0,2 0,4 + 0,8 0,6 \u003d 0,56. Die Hypothese H 3 - beide Schüsse waren Fehlschüsse - wird nicht berücksichtigt, da die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu zerstören, null ist. Dann sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten jeweils gleich: Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel unter der Bedingung beider erfolgreicher Schüsse zu zerstören, ist P(A|H 1) = 0,9, und die Wahrscheinlichkeit, das Ziel unter der Bedingung nur eines erfolgreichen Schusses zu zerstören, ist P( A|H 2) = 0,3. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, das Ziel gemäß der Gesamtwahrscheinlichkeitsformel zu zerstören, gleich.