Abgekürzte Multiplikationsformeln (FSU) werden verwendet, um Zahlen und Ausdrücke zu potenzieren und zu multiplizieren. Oft ermöglichen Ihnen diese Formeln, Berechnungen kompakter und schneller durchzuführen.

In diesem Artikel werden wir die wichtigsten Formeln für die abgekürzte Multiplikation auflisten, sie in einer Tabelle gruppieren, Beispiele für die Verwendung dieser Formeln betrachten und auch auf die Prinzipien des Beweises abgekürzter Multiplikationsformeln eingehen.

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Erstmals wird das Thema FSU im Rahmen des Kurses "Algebra" für die 7. Klasse berücksichtigt. Unten sind 7 grundlegende Formeln.

Abgekürzte Multiplikationsformeln

1. Summenquadratformel: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. Differenzquadratformel: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. Summenwürfelformel: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. Differenzwürfelformel: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. Formel für die Differenz der Quadrate: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. Formel für die Summe der Kubikzahlen: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. Würfeldifferenzformel: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Die Buchstaben a, b, c in diesen Ausdrücken können beliebige Zahlen, Variablen oder Ausdrücke sein. Für eine einfache Anwendung ist es besser, die sieben Grundformeln auswendig zu lernen. Wir fassen sie in einer Tabelle zusammen und geben sie unten an, indem wir sie mit einem Kästchen umkreisen.

Mit den ersten vier Formeln können Sie jeweils das Quadrat oder die Kubikzahl der Summe oder Differenz zweier Ausdrücke berechnen.

Die fünfte Formel berechnet die Differenz von Quadraten von Ausdrücken durch Multiplikation ihrer Summe und Differenz.

Die sechste und siebte Formel sind jeweils die Multiplikation der Summe und Differenz von Ausdrücken mit dem unvollständigen Quadrat der Differenz und dem unvollständigen Quadrat der Summe.

Die abgekürzte Multiplikationsformel wird manchmal auch als abgekürzte Multiplikationsidentitäten bezeichnet. Dies ist nicht verwunderlich, da jede Gleichheit eine Identität ist.

Beim Lösen von praktischen Beispielen werden häufig abgekürzte Multiplikationsformeln mit neu angeordneten linken und rechten Teilen verwendet. Dies ist besonders praktisch, wenn ein Polynom faktorisiert wird.

Zusätzliche abgekürzte Multiplikationsformeln

Wir beschränken uns nicht auf den Algebra-Kurs der 7. Klasse und fügen unserer FSU-Tabelle noch ein paar Formeln hinzu.

Betrachten Sie zunächst die Binomialformel von Newton.

ein + b n = C n 0 ein n + C n 1 ein n - 1 b + C n 2 ein n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Hier sind C n k die Binomialkoeffizienten, die in Zeile Nummer n im Pascalschen Dreieck stehen. Binomialkoeffizienten werden nach folgender Formel berechnet:

C nk = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Wie Sie sehen können, ist die FSU für das Quadrat und die dritte Potenz der Differenz und der Summe ein Sonderfall der Newtonschen Binomialformel für n=2 bzw. n=3.

Was aber, wenn es mehr als zwei Terme in der zu potenzierenden Summe gibt? Die Formel für das Quadrat der Summe von drei, vier oder mehr Termen wird nützlich sein.

ein 1 + ein 2 + . . + ein n 2 = ein 1 2 + ein 2 2 + . . + ein n 2 + 2 ein 1 ein 2 + 2 ein 1 ein 3 + . . + 2 ein 1 ein n + 2 ein 2 ein 3 + 2 ein 2 ein 4 + . . + 2 ein 2 ein n + 2 ein n - 1 ein n

Eine andere Formel, die sich als nützlich erweisen kann, ist die Formel für die Differenz der n-ten Potenzen zweier Terme.

ein n - b n = ein - b ein n - 1 + ein n - 2 b + ein n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Diese Formel wird normalerweise in zwei Formeln unterteilt - jeweils für gerade und ungerade Grade.

Für gerade Exponenten 2m:

ein 2 m - b 2 m = ein 2 - b 2 ein 2 m - 2 + ein 2 m - 4 b 2 + ein 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Für ungerade Exponenten 2m+1:

ein 2 m + 1 - b 2 m + 1 = ein 2 - b 2 ein 2 m + ein 2 m - 1 b + ein 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Die Formeln für die Differenz von Quadraten und die Differenz von Kubikzahlen, Sie haben es erraten, sind Spezialfälle dieser Formel für n = 2 bzw. n = 3. Für die Differenz von Kubikzahlen wird b ebenfalls durch - b ersetzt.

Wie liest man abgekürzte Multiplikationsformeln?

Zu jeder Formel geben wir die entsprechenden Formulierungen an, beschäftigen uns aber zunächst mit dem Prinzip des Formellesens. Am einfachsten geht das anhand eines Beispiels. Nehmen wir die allererste Formel für das Quadrat der Summe zweier Zahlen.

ein + b 2 = ein 2 + 2 ein b + b 2 .

Sie sagen: Das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke a und b ist gleich der Summe des Quadrats des ersten Ausdrucks, das Doppelte des Produkts der Ausdrücke und des Quadrats des zweiten Ausdrucks.

Alle anderen Formeln werden ähnlich gelesen. Für die quadrierte Differenz a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 schreiben wir:

das Quadrat der Differenz zweier Ausdrücke a und b ist gleich der Summe der Quadrate dieser Ausdrücke minus dem Doppelten des Produkts des ersten und zweiten Ausdrucks.

Lesen wir die Formel a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Die Kubik der Summe zweier Ausdrücke a und b ist gleich der Summe der Kuben dieser Ausdrücke, dreimal das Produkt des Quadrats des ersten Ausdrucks und des zweiten und dreimal das Produkt des Quadrats des zweiten Ausdrucks und der erste Ausdruck.

Wir fahren mit dem Lesen der Formel für die Differenz der Würfel a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 fort. Die Kubik der Differenz zweier Ausdrücke a und b ist gleich der Kubik des ersten Ausdrucks minus dem Dreifachen des Quadrats des ersten und des zweiten Ausdrucks plus dem Dreifachen des Quadrats des zweiten Ausdrucks und des ersten Ausdrucks minus der Kubik des zweiten Ausdrucks.

Die fünfte Formel a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (Differenz der Quadrate) lautet wie folgt: Die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz und der Summe der beiden Ausdrücke.

Ausdrücke wie a 2 + a b + b 2 und a 2 - a b + b 2 werden der Einfachheit halber als das unvollständige Quadrat der Summe bzw. das unvollständige Quadrat der Differenz bezeichnet.

Vor diesem Hintergrund lesen sich die Formeln für die Summe und die Differenz von Kubikzahlen wie folgt:

Die Summe der Kubikzahlen zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt aus der Summe dieser Ausdrücke und dem unvollständigen Quadrat ihrer Differenz.

Die Differenz der Kuben zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz dieser Ausdrücke durch das unvollständige Quadrat ihrer Summe.

FSU-Nachweis

Der Nachweis der FSU ist ganz einfach. Basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation führen wir die Multiplikation der Teile der Formeln in Klammern durch.

Betrachten Sie zum Beispiel die Formel für das Quadrat der Differenz.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Um einen Ausdruck in die zweite Potenz zu erheben, muss der Ausdruck mit sich selbst multipliziert werden.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Erweitern wir die Klammern:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

Die Formel hat sich bewährt. Die anderen FSOs werden ähnlich bewiesen.

Anwendungsbeispiele von BFS

Der Zweck der Verwendung reduzierter Multiplikationsformeln besteht darin, Ausdrücke schnell und prägnant zu multiplizieren und zu potenzieren. Dies ist jedoch nicht der gesamte Aufgabenbereich des BFS. Sie werden häufig zum Reduzieren von Ausdrücken, zum Reduzieren von Brüchen und zum Faktorisieren von Polynomen verwendet. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel 1. BFS

Vereinfachen wir den Ausdruck 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Wende die Quadratsummenformel an und erhalte:

9 Jahre – (1 + 3 Jahre) 2 = 9 Jahre – (1 + 6 Jahre + 9 Jahre 2) = 9 Jahre – 1 – 6 Jahre – 9 Jahre 2 = 3 Jahre – 1 – 9 Jahre 2

Beispiel 2. BFS

Kürze den Bruch 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Wir stellen fest, dass der Ausdruck im Zähler die Differenz von Kubikzahlen und im Nenner die Differenz von Quadraten ist.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Wir reduzieren und erhalten:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSUs helfen auch bei der Berechnung der Werte von Ausdrücken. Die Hauptsache ist, zu erkennen, wo die Formel anzuwenden ist. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.

Lassen Sie uns die Zahl 79 quadrieren. Statt umständlicher Berechnungen schreiben wir:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Es scheint, dass eine komplexe Berechnung nur mit der Verwendung von abgekürzten Multiplikationsformeln und einer Multiplikationstabelle schnell durchgeführt wurde.

Ein weiterer wichtiger Punkt ist die Wahl des Quadrats der Binomialzahl. Der Ausdruck 4 x 2 + 4 x - 3 kann umgewandelt werden in 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Solche Transformationen werden häufig in der Integration verwendet.

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Eines der ersten Themen, die in einem Algebra-Kurs behandelt werden, sind die Formeln für die abgekürzte Multiplikation. In Klasse 7 werden sie in den einfachsten Situationen verwendet, in denen es erforderlich ist, eine der Formeln im Ausdruck zu erkennen und das Polynom zu faktorisieren oder umgekehrt die Summe oder Differenz schnell zu quadrieren oder zu würfeln. In Zukunft wird die FSU verwendet, um Ungleichungen und Gleichungen schnell zu lösen und sogar einige numerische Ausdrücke ohne Taschenrechner zu berechnen.

Wie sieht die Liste der Formeln aus?

Es gibt 7 Grundformeln, mit denen Sie Polynome in Klammern schnell multiplizieren können.

Manchmal enthält diese Liste auch eine Erweiterung vierten Grades, die sich aus den vorgestellten Identitäten ergibt und die Form hat:

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Alle Gleichheiten haben ein Paar (Summe - Differenz), mit Ausnahme der Differenz von Quadraten. Es gibt keine Formel für die Summe der Quadrate.

Die restlichen Gleichheiten sind leicht zu merken.:

Es sollte daran erinnert werden, dass FSOs in jedem Fall und für alle Werte arbeiten. a und b: Es können sowohl beliebige Zahlen als auch ganzzahlige Ausdrücke sein.

In einer Situation, in der Sie sich plötzlich nicht mehr erinnern können, welches Zeichen in der Formel vor dem einen oder anderen Begriff steht, können Sie die Klammern öffnen und erhalten das gleiche Ergebnis wie nach der Verwendung der Formel. Wenn beispielsweise beim Anwenden des FSU des Differenzwürfels ein Problem aufgetreten ist, müssen Sie den ursprünglichen Ausdruck und schreiben Führen Sie die Multiplikation einzeln durch:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Als Ergebnis wurde nach dem Reduzieren all dieser Terme das gleiche Polynom wie in der Tabelle erhalten. Die gleichen Manipulationen können mit allen anderen FSOs durchgeführt werden.

Anwendung von FSO zur Lösung von Gleichungen

Zum Beispiel müssen Sie eine Gleichung lösen, die enthält Polynom 3. Grades:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Der Schullehrplan berücksichtigt keine universellen Techniken zum Lösen kubischer Gleichungen, und solche Aufgaben werden meistens mit einfacheren Methoden (z. B. Faktorisierung) gelöst. Wenn Sie bemerken, dass die linke Seite der Identität dem Würfel der Summe ähnelt, kann die Gleichung in einer einfacheren Form geschrieben werden:

(x + 1)³ = 0.

Die Wurzel einer solchen Gleichung wird mündlich berechnet: x=-1.

Ungleichungen werden auf ähnliche Weise gelöst. Zum Beispiel können wir die Ungleichung lösen x³ - 6x² + 9x > 0.

Zunächst ist es notwendig, den Ausdruck in Faktoren zu zerlegen. Zuerst müssen Sie die Klammern herausnehmen x. Danach sollten Sie darauf achten, dass der Ausdruck in Klammern in das Quadrat der Differenz umgewandelt werden kann.

Dann müssen Sie die Punkte finden, an denen der Ausdruck Nullwerte annimmt, und sie auf dem Zahlenstrahl markieren. Im konkreten Fall sind dies 0 und 3. Bestimmen Sie dann mit der Intervallmethode, in welchen Intervallen x die Ungleichheitsbedingung erfüllt.

BFS können bei der Durchführung behilflich sein Einige Berechnungen ohne die Hilfe eines Taschenrechners:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Außerdem können Sie durch Faktorisieren von Ausdrücken ganz einfach Brüche kürzen und verschiedene algebraische Ausdrücke vereinfachen.

Beispielaufgaben für die Klassen 7-8

Abschließend analysieren und lösen wir zwei Aufgaben zur Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln in der Algebra.

Aufgabe 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Entscheidung. In der Aufgabenbedingung ist es erforderlich, den Ausdruck zu vereinfachen, d. h. die Klammern zu öffnen, die Operationen der Multiplikation und Potenzierung durchzuführen und auch alle diese Terme zu bringen. Wir teilen den Ausdruck bedingt in drei Teile (entsprechend der Anzahl der Terme) und öffnen die Klammern nacheinander, wobei wir, wenn möglich, die FSU verwenden.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(Quadratsumme);
• (3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(Differenz der Quadrate);
• Im letzten Term müssen Sie eine Multiplikation durchführen: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Ersetzen Sie die Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Unter Berücksichtigung der Vorzeichen öffnen wir die Klammern und geben ähnliche Begriffe an:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Aufgabe 2. Lösen Sie die Gleichung mit der Unbekannten k hoch 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Entscheidung. In diesem Fall ist es notwendig, das FSO und die Gruppierungsmethode zu verwenden. Wir müssen die letzten und vorletzten Terme auf die rechte Seite der Identität übertragen.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Der gemeinsame Multiplikator wird aus dem rechten und dem linken Teil genommen (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Alles wird auf die linke Seite der Gleichung übertragen, sodass auf der rechten Seite 0 bleibt:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Auch hier müssen Sie den gemeinsamen Faktor herausnehmen:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Aus dem ersten erhaltenen Faktor können wir ableiten k. Gemäß der kurzen Multiplikationsformel wird der zweite Faktor identisch gleich sein (k + 2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Mit der Differenz der Quadrate-Formel:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Da das Produkt gleich 0 ist, wenn mindestens einer seiner Faktoren null ist, wird es nicht schwierig sein, alle Wurzeln der Gleichung zu finden:

1. k = 0;
2. k – 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Anhand von anschaulichen Beispielen kann man verstehen, wie man sich Formeln und ihre Unterschiede merkt, und auch mehrere praktische Probleme mit FSU lösen. Die Aufgaben sind einfach und sollten nicht schwer zu erledigen sein.

Um algebraische Polynome zu vereinfachen, gibt es abgekürzte Multiplikationsformeln. Es gibt nicht so viele von ihnen und sie sind leicht zu merken, aber Sie müssen sich an sie erinnern. Die in Formeln verwendete Notation kann jede Form annehmen (Zahl oder Polynom).

Die erste abgekürzte Multiplikationsformel wird aufgerufen Differenz der Quadrate. Es liegt in der Tatsache, dass vom Quadrat einer Zahl das Quadrat der zweiten Zahl gleich der Differenz zwischen diesen Zahlen sowie ihrem Produkt subtrahiert wird.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Lassen Sie uns zur Klarheit analysieren:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Die zweite Formel über Quadratsumme. Es klingt so, als ob die Summe zweier quadrierter Werte gleich dem Quadrat des ersten Werts ist, das doppelte Produkt des ersten Werts multipliziert mit dem zweiten wird dazu addiert, das Quadrat des zweiten Werts wird dazu addiert.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Dank dieser Formel wird es viel einfacher, das Quadrat einer großen Zahl ohne den Einsatz von Computertechnologie zu berechnen.

Also zum Beispiel: das Quadrat von 112 sein wird
1) Zu Beginn werden wir 112 in Zahlen zerlegen, deren Quadrate uns vertraut sind
112 = 100 + 12
2) Wir tragen das Erhaltene in Klammern quadratisch ein
112 2 = (100+12) 2
3) Durch Anwendung der Formel erhalten wir:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Die dritte Formel ist Differenz zum Quadrat. Was besagt, dass zwei voneinander subtrahierte Werte zum Quadrat gleich der Tatsache sind, dass wir vom ersten Wert zum Quadrat das doppelte Produkt des ersten Werts multipliziert mit dem zweiten subtrahieren und das Quadrat des zweiten Werts dazu addieren .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

wobei (a - b) 2 gleich (b - a) 2 ist. Um dies zu beweisen, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Die vierte abgekürzte Multiplikationsformel wird aufgerufen Summenwürfel. Was so klingt: Zwei Terme des Werts im Würfel sind gleich dem Kubikwert von 1 Wert, das dreifache Produkt von Wert 1 zum Quadrat multipliziert mit dem Wert 2 wird dazu addiert, das Produkt dreifach von Wert 1 multipliziert mit dem Quadrat von 2 Wert wird ihnen hinzugefügt, plus der zweite Wert in Kubikform.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Der fünfte wird, wie Sie bereits verstanden haben, aufgerufen Unterschied Würfel. Was die Unterschiede zwischen den Werten findet, da wir von der ersten Bezeichnung im Würfel das dreifache Produkt der ersten Bezeichnung zum Quadrat multipliziert mit der zweiten subtrahieren, wird das dreifache Produkt der ersten Bezeichnung multipliziert mit dem Quadrat der zweiten Bezeichnung zu ihnen addiert , abzüglich der zweiten Bezeichnung im Würfel.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Der sechste wird gerufen Summe der Würfel. Die Kubiksumme ist gleich dem Produkt zweier Terme multipliziert mit dem unvollständigen Quadrat der Differenz, da es in der Mitte keinen doppelten Wert gibt.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Auf andere Weise können Sie sagen, dass die Summe der Kubikzahlen das Produkt in zwei Klammern genannt werden kann.

Der siebte und letzte wird aufgerufen Unterschied von Würfeln(Es ist leicht, es mit der Differenzwürfelformel zu verwechseln, aber das sind verschiedene Dinge). Die Differenz von Kubikzahlen ist gleich dem Produkt der Differenz zweier Größen multipliziert mit dem unvollständigen Quadrat der Summe, da es in der Mitte keinen doppelten Wert gibt.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

Und so gibt es nur 7 Formeln für die abgekürzte Multiplikation, sie sind einander ähnlich und leicht zu merken, das einzige, was ist, ist nicht in Zeichen zu verwechseln. Sie sind auch so konzipiert, dass sie in umgekehrter Reihenfolge verwendet werden können, und es gibt eine ganze Reihe solcher Aufgaben, die in Lehrbüchern gesammelt sind. Seien Sie vorsichtig und Sie werden erfolgreich sein.

Wenn Sie Fragen zu den Formeln haben, schreiben Sie diese unbedingt in die Kommentare. Wir antworten Ihnen gerne!

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Mathematische Ausdrücke (Formeln) abgekürzte Multiplikation(Quadrat aus Summe und Differenz, Kubik aus Summe und Differenz, Differenz aus Quadraten, Summe und Differenz aus Kubikzahlen) sind in vielen Bereichen der exakten Wissenschaften äußerst unersetzlich. Diese 7-stelligen Eingaben sind unersetzlich beim Vereinfachen von Ausdrücken, Lösen von Gleichungen, Multiplizieren von Polynomen, Kürzen von Brüchen, Lösen von Integralen und vielem mehr. Daher ist es sehr nützlich herauszufinden, wie sie erhalten werden, wozu sie dienen und vor allem, wie man sie sich merkt und sie dann anwendet. Dann bewerben abgekürzte Multiplikationsformeln In der Praxis wird es am schwierigsten sein, zu sehen, was ist X und was haben. Offensichtlich gibt es keine Einschränkungen a und b nein, was bedeutet, dass es sich um einen beliebigen numerischen oder wörtlichen Ausdruck handeln kann.

Und hier sind sie:

Zuerst x 2 - um 2 = (x - y) (x + y).Berechnen Differenz der Quadrate zwei Ausdrücke, ist es notwendig, die Differenzen dieser Ausdrücke mit ihren Summen zu multiplizieren.

Zweite (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2. Finden Summe zum Quadrat zwei Ausdrücke, müssen Sie zum Quadrat des ersten Ausdrucks zweimal das Produkt des ersten Ausdrucks durch den zweiten plus das Quadrat des zweiten Ausdrucks addieren.

Dritter (x-y) 2 = x2 - 2xy + y2. Berechnen Differenz zum Quadrat zwei Ausdrücke, müssen Sie vom Quadrat des ersten Ausdrucks zweimal das Produkt des ersten Ausdrucks durch den zweiten plus das Quadrat des zweiten Ausdrucks subtrahieren.

Vierte (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + um 3. Berechnen Summenwürfel Bei zwei Ausdrücken müssen Sie zum Würfel des ersten Ausdrucks dreimal das Produkt des Quadrats des ersten Ausdrucks und des zweiten addieren, plus dreimal das Produkt des ersten Ausdrucks und des Quadrats des zweiten Ausdrucks plus den Würfel von zweiter Ausdruck.

Fünfte (x-y) 3 = x 3 - 3x 2 j + 3x 2 - um 3. Berechnen Unterschied Würfel zwei Ausdrücke, ist es notwendig, von der Kubik des ersten Ausdrucks dreimal das Produkt des Quadrats des ersten Ausdrucks durch den zweiten plus dreimal das Produkt des ersten Ausdrucks und das Quadrat des zweiten minus der Kubik des zweiten zu subtrahieren Ausdruck.

sechste x 3 +j 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Berechnen Summe der Würfel zwei Ausdrücke, müssen Sie die Summen des ersten und zweiten Ausdrucks mit dem unvollständigen Quadrat der Differenz dieser Ausdrücke multiplizieren.

siebte x 3 - um 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Um eine Berechnung zu machen Würfel Unterschiede zwei Ausdrücke, ist es notwendig, die Differenz des ersten und zweiten Ausdrucks mit dem unvollständigen Quadrat der Summe dieser Ausdrücke zu multiplizieren.

Es ist nicht schwer, sich daran zu erinnern, dass alle Formeln verwendet werden, um Berechnungen in die entgegengesetzte Richtung (von rechts nach links) durchzuführen.

Die Existenz dieser Regelmäßigkeiten war vor etwa 4.000 Jahren bekannt. Sie wurden von den Bewohnern des alten Babylon und Ägypten weit verbreitet. Aber in diesen Epochen wurden sie verbal oder geometrisch ausgedrückt und verwendeten keine Buchstaben in Berechnungen.

Lassen Sie uns analysieren Summenquadrat Beweis(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Das mathematische Regelmäßigkeit wie der antike griechische Wissenschaftler Euklid bewies, der im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria arbeitete, benutzte er dafür die geometrische Methode zum Beweis der Formel, da die Wissenschaftler des antiken Hellas auch keine Buchstaben zur Bezeichnung von Zahlen verwendeten. Sie verwendeten überall nicht „a 2“, sondern „Quadrat auf Segment a“, nicht „ab“, sondern „Rechteck eingeschlossen zwischen Segment a und b“.

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