Für a=b=R die Gleichung (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 beschreibt einen Kreis mit Radius R, dessen Mittelpunkt der Punkt O"(x_0,y_0) ist.

Parametergleichung einer Ellipse

Parametergleichung einer Ellipse im kanonischen Koordinatensystem hat die Form

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Tatsächlich erhalten wir durch Einsetzen dieser Ausdrücke in Gleichung (3.49) die grundlegende trigonometrische Identität \cos^2t+\sin^2t=1 .

Beispiel 3.20. Ellipse zeichnen \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 im kanonischen Koordinatensystem Oxy . Finden Sie Halbachsen, Brennweite, Exzentrizität, Seitenverhältnis, Fokusparameter, Directrix-Gleichungen.

Entscheidung. Wenn wir die gegebene Gleichung mit der kanonischen vergleichen, bestimmen wir die Halbachsen: a=2 - die große Halbachse, b=1 - die kleine Halbachse der Ellipse. Wir bauen das Hauptrechteck mit den Seiten 2a=4,~2b=2 im Ursprung zentriert (Abb.3.39). Angesichts der Symmetrie der Ellipse passen wir sie in das Hauptrechteck ein. Bei Bedarf bestimmen wir die Koordinaten einiger Punkte der Ellipse. Wenn wir zum Beispiel x=1 in die Ellipsengleichung einsetzen, erhalten wir

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ Quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Daher Punkte mit Koordinaten \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- zu einer Ellipse gehören.

Berechnen Sie das Kompressionsverhältnis k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Brennweite 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); Exzentrizität e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); Fokusparameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Wir bilden die Directrix-Gleichungen: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Definition 7.1. Die Menge aller Punkte auf der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F 1 und F 2 eine gegebene Konstante ist, wird genannt Ellipse.

Die Definition einer Ellipse gibt die folgende Möglichkeit, sie geometrisch zu konstruieren. Wir fixieren zwei Punkte F 1 und F 2 auf der Ebene und bezeichnen einen nicht negativen konstanten Wert mit 2a. Der Abstand zwischen den Punkten F 1 und F 2 sei gleich 2c. Stellen Sie sich vor, dass ein undehnbarer Faden der Länge 2a beispielsweise an den Punkten F 1 und F 2 mit Hilfe von zwei Nadeln fixiert wird. Es ist klar, dass dies nur für a ≥ c möglich ist. Ziehen Sie den Faden mit einem Bleistift und zeichnen Sie eine Linie, die eine Ellipse sein wird (Abb. 7.1).

Die beschriebene Menge ist also nicht leer, falls a ≥ c. Wenn a = c, ist die Ellipse ein Segment mit den Enden F 1 und F 2, und wenn c = 0, d. h. fallen die in der Definition einer Ellipse angegebenen Fixpunkte zusammen, handelt es sich um einen Kreis mit Radius a. Abgesehen von diesen entarteten Fällen nehmen wir weiterhin in der Regel an, dass a > c > 0 ist.

Die Fixpunkte F 1 und F 2 in Definition 7.1 der Ellipse (siehe Abb. 7.1) werden genannt Ellipsentricks, der Abstand zwischen ihnen, bezeichnet mit 2c, - Brennweite, und die Segmente F 1 M und F 2 M, die einen beliebigen Punkt M auf der Ellipse mit seinen Brennpunkten verbinden, - Fokusradien.

Die Form der Ellipse wird vollständig durch die Brennweite |F 1 F 2 | bestimmt = 2с und Parameter a und seine Position in der Ebene - durch ein Paar Punkte F 1 und F 2 .

Aus der Definition einer Ellipse folgt, dass sie symmetrisch zu einer geraden Linie ist, die durch die Brennpunkte F 1 und F 2 verläuft, sowie zu einer geraden Linie, die das Segment F 1 F 2 in zwei Hälften teilt und senkrecht dazu steht (Abb 7.2, a). Diese Zeilen werden aufgerufen Ellipsenachsen. Der Punkt O ihres Schnittpunkts ist das Symmetriezentrum der Ellipse und heißt das Zentrum der Ellipse, und die Schnittpunkte der Ellipse mit den Symmetrieachsen (Punkte A, B, C und D in Abb. 7.2, a) - die Eckpunkte der Ellipse.

Die Nummer a wird aufgerufen große Halbachse einer Ellipse, und b = √ (a 2 - c 2) - seine kleine Halbachse. Es ist leicht zu sehen, dass für c > 0 die große Halbachse a gleich dem Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zu den Scheitelpunkten ist, die auf derselben Achse wie die Brennpunkte der Ellipse liegen (Eckpunkte A und B in Abb 7.2, a), und die kleine Halbachse b ist gleich dem Abstand von der mittleren Ellipse zu ihren beiden anderen Scheitelpunkten (Eckpunkte C und D in Abb. 7.2, a).

Ellipsengleichung. Betrachten Sie eine Ellipse in der Ebene mit Brennpunkten an den Punkten F 1 und F 2 , Hauptachse 2a. Sei 2c die Brennweite, 2c = |F 1 F 2 |

Wir wählen ein rechteckiges Koordinatensystem Oxy in der Ebene so, dass sein Ursprung mit dem Mittelpunkt der Ellipse zusammenfällt und die Brennpunkte ein sind Abszisse(Abb. 7.2, b). Dieses Koordinatensystem heißt kanonisch für die betrachtete Ellipse und die entsprechenden Variablen sind kanonisch.

Im ausgewählten Koordinatensystem haben Brennpunkte die Koordinaten F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Unter Verwendung der Formel für den Abstand zwischen Punkten schreiben wir die Bedingung |F 1 M| + |F 2 M| = 2a in Koordinaten:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Diese Gleichung ist unbequem, weil sie zwei Quadratradikale enthält. Also verwandeln wir es. Wir übertragen das zweite Radikal in Gleichung (7.2) auf die rechte Seite und quadrieren es:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Nach Öffnen der Klammern und Kürzen gleicher Terme erhalten wir

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

wobei ε = c/a. Wir wiederholen die Quadrierung, um auch das zweite Radikal zu entfernen: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, oder, wenn der Wert des eingegebenen Parameters ε gegeben ist, (a 2 - c 2 ) x 2 / ein 2 + y 2 = ein 2 - c 2 . Da a 2 - c 2 = b 2 > 0, dann

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Gleichung (7.4) wird durch die Koordinaten aller auf der Ellipse liegenden Punkte erfüllt. Bei der Ableitung dieser Gleichung wurden jedoch nicht äquivalente Transformationen der ursprünglichen Gleichung (7.2) verwendet - zwei Quadrierungen, die quadratische Radikale entfernen. Das Quadrieren einer Gleichung ist eine äquivalente Transformation, wenn beide Seiten Größen mit demselben Vorzeichen enthalten, aber wir haben dies in unseren Transformationen nicht überprüft.

Wir dürfen die Äquivalenz von Transformationen nicht überprüfen, wenn wir das Folgende betrachten. Ein Punktepaar F 1 und F 2 , |F 1 F 2 | = 2c, auf der Ebene definiert eine Familie von Ellipsen mit Brennpunkten an diesen Punkten. Jeder Punkt der Ebene, mit Ausnahme der Punkte des Segments F 1 F 2 , gehört zu irgendeiner Ellipse der angegebenen Familie. Dabei schneiden sich keine zwei Ellipsen, da die Summe der Brennradien eine bestimmte Ellipse eindeutig bestimmt. Die beschriebene Familie von Ellipsen ohne Schnittpunkte deckt also die gesamte Ebene ab, mit Ausnahme der Punkte der Strecke F 1 F 2 . Betrachten Sie eine Menge von Punkten, deren Koordinaten die Gleichung (7.4) mit einem gegebenen Wert des Parameters a erfüllen. Kann diese Menge auf mehrere Ellipsen verteilt werden? Einige der Punkte der Menge gehören zur Ellipse mit der großen Halbachse a. Es gebe einen Punkt in dieser Menge, der auf einer Ellipse mit einer großen Halbachse a liegt. Dann gehorchen die Koordinaten dieses Punktes der Gleichung

jene. Gleichungen (7.4) und (7.5) haben gemeinsame Lösungen. Es ist jedoch leicht zu überprüfen, ob das System

für ã ≠ a hat keine Lösungen. Dazu genügt es, beispielsweise x aus der ersten Gleichung auszuschließen:

was nach Umformungen zur Gleichung führt

keine Lösungen für ã ≠ a haben, weil . (7.4) ist also die Gleichung einer Ellipse mit der großen Halbachse a > 0 und der kleinen Halbachse b = √ (a 2 - c 2) > 0. Sie heißt die kanonische Gleichung der Ellipse.

Ellipsenansicht. Die oben diskutierte geometrische Methode zur Konstruktion einer Ellipse gibt eine ausreichende Vorstellung vom Aussehen einer Ellipse. Aber auch die Form einer Ellipse kann mit Hilfe ihrer kanonischen Gleichung (7.4) untersucht werden. Wenn Sie zum Beispiel y ≥ 0 berücksichtigen, können Sie y durch x ausdrücken: y = b√(1 - x 2 /a 2) und, nachdem Sie diese Funktion untersucht haben, ihren Graphen erstellen. Es gibt eine andere Möglichkeit, eine Ellipse zu konstruieren. Ein Kreis mit Radius a, dessen Mittelpunkt der Ursprung des kanonischen Koordinatensystems der Ellipse (7.4) ist, wird durch die Gleichung x 2 + y 2 = a 2 beschrieben. Wird mit dem Koeffizienten a/b > 1 zusammen gestaucht y-Achse, dann erhalten Sie eine Kurve, die durch die Gleichung x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2 beschrieben wird, d.h. eine Ellipse.

Bemerkung 7.1. Wird derselbe Kreis mit dem Koeffizienten a/b gestaucht

Exzentrizität der Ellipse. Das Verhältnis der Brennweite einer Ellipse zu ihrer Hauptachse heißt Ellipsenexzentrizität und mit ε bezeichnet. Für eine gegebene Ellipse

kanonische Gleichung (7.4), ε = 2c/2a = с/a. Wenn in (7.4) die Parameter a und b durch die Ungleichung a zusammenhängen

Für c = 0, wenn sich die Ellipse in einen Kreis verwandelt, und ε = 0. In anderen Fällen 0

Gleichung (7.3) ist äquivalent zu Gleichung (7.4), da die Gleichungen (7.4) und (7.2) äquivalent sind. Daher ist (7.3) auch eine Ellipsengleichung. Außerdem ist die Beziehung (7.3) insofern interessant, als sie eine einfache radikalfreie Formel für die Länge |F 2 M| liefert einer der Brennradien des Punktes M(x; y) der Ellipse: |F 2 M| = a + εx.

Eine ähnliche Formel für den zweiten Fokusradius erhält man aus Symmetrieüberlegungen oder durch wiederholte Berechnungen, bei denen vor dem Quadrieren von Gleichung (7.2) das erste Radikal auf die rechte Seite übertragen wird und nicht das zweite. Also gilt für jeden Punkt M(x; y) auf der Ellipse (siehe Abb. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

und jede dieser Gleichungen ist eine Ellipsengleichung.

Beispiel 7.1. Lassen Sie uns die kanonische Gleichung einer Ellipse mit der großen Halbachse 5 und der Exzentrizität 0,8 finden und konstruieren.

Wenn wir die große Halbachse der Ellipse a = 5 und die Exzentrizität ε = 0,8 kennen, finden wir ihre kleine Halbachse b. Da b \u003d √ (a 2 - c 2) und c \u003d εa \u003d 4, dann b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Die kanonische Gleichung hat also die Form x 2 / 5 2 + y 2 / 3 2 \u003d 1. Um eine Ellipse zu konstruieren, ist es zweckmäßig, ein Rechteck zu zeichnen, das am Ursprung des kanonischen Koordinatensystems zentriert ist und dessen Seiten parallel zu den Symmetrieachsen der Ellipse und gleich ihrer sind entsprechenden Achsen (Abb. 7.4). Dieses Rechteck schneidet sich mit

die Achsen der Ellipse an ihren Ecken A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), und die Ellipse selbst ist darin eingeschrieben. Auf Abb. 7.4 zeigt auch die Brennpunkte F 1.2 (±4; 0) der Ellipse.

Geometrische Eigenschaften einer Ellipse. Schreiben wir die erste Gleichung in (7.6) um als |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Beachten Sie, dass der Wert von a / ε – x für a > c positiv ist, da der Brennpunkt F 1 nicht zur Ellipse gehört. Dieser Wert ist der Abstand zur vertikalen Linie d: x = a/ε vom Punkt M(x; y) links von dieser Linie. Die Ellipsengleichung kann geschrieben werden als

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Das bedeutet, dass diese Ellipse aus den Punkten M (x; y) der Ebene besteht, für die das Verhältnis der Länge des Brennradius F 1 M zum Abstand von der Geraden d ein konstanter Wert gleich ε ist (Abb. 7.5).

Die Linie d hat ein "Doppel" - eine vertikale Linie d", symmetrisch zu d in Bezug auf die Mitte der Ellipse, die durch die Gleichung x \u003d -a / ε gegeben ist. In Bezug auf d" ist die Ellipse wie in Bezug auf d beschrieben. Beide Zeilen d und d" werden aufgerufen Ellipsenleitlinien. Die Leitlinien der Ellipse stehen senkrecht auf der Symmetrieachse der Ellipse, auf der sich ihre Brennpunkte befinden, und sind vom Mittelpunkt der Ellipse um einen Abstand a / ε = a 2 / c getrennt (siehe Abb. 7.5).

Der Abstand p von der Leitlinie zum ihm am nächsten liegenden Brennpunkt wird genannt Fokusparameter der Ellipse. Dieser Parameter ist gleich

p \u003d a / ε - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Die Ellipse hat noch eine weitere wichtige geometrische Eigenschaft: Die Brennradien F 1 M und F 2 M bilden mit der Tangente an die Ellipse im Punkt M gleiche Winkel (Abb. 7.6).

Diese Eigenschaft hat eine klare physikalische Bedeutung. Befindet sich eine Lichtquelle im Brennpunkt F1, so verläuft der aus diesem Brennpunkt austretende Strahl nach der Reflexion an der Ellipse entlang des zweiten Brennradius, da er nach der Reflexion im gleichen Winkel zur Kurve steht wie vor der Reflexion . Somit werden alle den Fokus F 1 verlassenden Strahlen im zweiten Fokus F 2 konzentriert und umgekehrt. Basierend auf dieser Interpretation wird diese Eigenschaft aufgerufen optische Eigenschaft einer Ellipse.

Linien zweiter Ordnung.
Ellipse und ihre kanonische Gleichung. Kreis

Nach gründlichem Studium gerade Linien in der Ebene Wir studieren weiterhin die Geometrie der zweidimensionalen Welt. Die Einsätze werden verdoppelt und ich lade Sie ein, die malerische Galerie der Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln zu besuchen, die typische Vertreter von sind Linien zweiter Ordnung. Der Rundgang hat bereits begonnen, und zunächst eine kurze Information über die gesamte Ausstellung auf verschiedenen Etagen des Museums:

Das Konzept einer algebraischen Linie und ihre Ordnung

Eine Linie in einer Ebene wird aufgerufen algebraisch, wenn drin affines Koordinatensystem seine Gleichung hat die Form , wobei ein Polynom ist, das aus Termen der Form besteht ( ist eine reelle Zahl, sind nicht negative ganze Zahlen).

Wie Sie sehen können, enthält die Gleichung einer algebraischen Linie keine Sinus-, Kosinus-, Logarithmus- und andere funktionale Schönheit. Nur "x" und "y" drin Ganzzahl nicht negativ Grad.

Zeilenreihenfolge gleich dem Maximalwert der darin enthaltenen Terme ist.

Nach dem entsprechenden Satz hängen sowohl der Begriff einer algebraischen Linie als auch ihre Ordnung nicht von der Wahl ab affines Koordinatensystem , daher gehen wir der Einfachheit halber davon aus, dass alle nachfolgenden Berechnungen in stattfinden Kartesischen Koordinaten .

Allgemeine Gleichung die Zeile zweiter Ordnung hat die Form , wo sind beliebige reelle Zahlen (es ist üblich, mit einem Multiplikator zu schreiben - "zwei"), und die Koeffizienten sind nicht gleichzeitig gleich Null.

Wenn , dann vereinfacht sich die Gleichung zu , und wenn die Koeffizienten nicht gleichzeitig gleich Null sind, dann ist dies genau so allgemeine Gleichung einer "flachen" Geraden , was darstellt erste Ordnungslinie.

Viele haben die Bedeutung der neuen Begriffe verstanden, aber um das Material zu 100% aufzunehmen, stecken wir unsere Finger in die Steckdose. Um die Zeilenreihenfolge zu bestimmen, iterieren Sie über alle Begriffe seine Gleichungen und für jeden von ihnen finden Summe der Kräfte eingehende Variablen.

Zum Beispiel:

der Begriff enthält „x“ bis zum 1. Grad;
der Begriff enthält „Y“ bis zum 1. Grad;
Es gibt keine Variablen im Term, also ist die Summe ihrer Potenzen Null.

Lassen Sie uns nun herausfinden, warum die Gleichung die Linie setzt zweite Befehl:

der Begriff enthält „x“ 2. Grades;
der Term hat die Summe der Grade der Variablen: 1 + 1 = 2;
der Begriff enthält „y“ im 2. Grad;
alle anderen Begriffe - geringer Grad.

Höchstwert: 2

Wenn wir zusätzlich zu unserer Gleichung hinzufügen, sagen wir, , dann wird es bereits bestimmen dritte Ordnungslinie. Es ist offensichtlich, dass die allgemeine Form der Liniengleichung 3. Ordnung einen „vollständigen Satz“ von Termen enthält, deren Summe der Grade der Variablen gleich drei ist:
, wobei die Koeffizienten nicht gleichzeitig gleich Null sind.

Für den Fall, dass ein oder mehrere passende Begriffe hinzugefügt werden, die enthalten , dann reden wir darüber Linien 4. Ordnung, usw.

Insbesondere mit algebraischen Geraden 3., 4. und höherer Ordnung werden wir uns beim Kennenlernen mehr als einmal befassen müssen Polarkoordinatensystem .

Kehren wir jedoch zur allgemeinen Gleichung zurück und erinnern uns an ihre einfachsten Schulvarianten. Beispiele sind die Parabel, deren Gleichung leicht auf eine allgemeine Form gebracht werden kann, und die Hyperbel mit einer äquivalenten Gleichung. Allerdings ist nicht alles so glatt ....

Ein wesentlicher Nachteil der allgemeinen Gleichung besteht darin, dass fast immer nicht klar ist, welche Linie sie definiert. Selbst im einfachsten Fall werden Sie nicht sofort erkennen, dass dies eine Übertreibung ist. Solche Layouts sind nur bei einer Maskerade gut, daher wird im Verlauf der analytischen Geometrie ein typisches Problem betrachtet Reduktion der Liniengleichung 2. Ordnung auf die kanonische Form .

Was ist die kanonische Form einer Gleichung?

Dies ist die allgemein akzeptierte Standardform der Gleichung, wenn in Sekundenschnelle klar wird, welches geometrische Objekt sie definiert. Darüber hinaus ist die kanonische Form sehr praktisch, um viele praktische Aufgaben zu lösen. Also zum Beispiel nach der kanonischen Gleichung "flach" gerade , ist erstens sofort klar, dass es sich um eine Gerade handelt, und zweitens sind der zugehörige Punkt und der Richtungsvektor einfach sichtbar.

Offensichtlich irgendwelche 1. Ordnungszeile stellt eine Gerade dar. Im zweiten Stock wartet kein Hausmeister mehr auf uns, sondern eine viel vielfältigere Gesellschaft von neun Statuen:

Klassifizierung von Linien zweiter Ordnung

Mit Hilfe einer speziellen Reihe von Aktionen wird jede Liniengleichung zweiter Ordnung auf einen der folgenden Typen reduziert:

( und sind positive reelle Zahlen)

1) ist die kanonische Gleichung der Ellipse;

2) ist die kanonische Gleichung der Hyperbel;

3) ist die kanonische Gleichung der Parabel;

4) – imaginär Ellipse;

5) - ein Paar sich kreuzender Linien;

6) - Paar imaginär sich schneidende Linien (mit dem einzigen wirklichen Schnittpunkt im Ursprung);

7) - ein Paar paralleler Linien;

8) - Paar imaginär parallele Linien;

9) ist ein Paar zusammenfallender Linien.

Einige Leser könnten den Eindruck gewinnen, dass die Liste unvollständig ist. Beispielsweise legt die Gleichung in Absatz Nummer 7 das Paar fest Direkte , parallel zur Achse, und es stellt sich die Frage: Wo ist die Gleichung, die die Linien parallel zur y-Achse bestimmt? Antwort: es nicht als Kanon angesehen. Die Geraden stellen denselben um 90 Grad gedrehten Standardfall dar, und ein zusätzlicher Eintrag in der Klassifikation ist überflüssig, da er nichts grundlegend Neues enthält.

Somit gibt es neun und nur neun verschiedene Arten von Linien 2. Ordnung, aber in der Praxis sind die häufigsten Ellipse, Hyperbel und Parabel .

Schauen wir uns zuerst die Ellipse an. Wie üblich konzentriere ich mich auf die Punkte, die für die Lösung von Problemen von großer Bedeutung sind, und wenn Sie eine detaillierte Herleitung von Formeln, Beweisen von Theoremen benötigen, lesen Sie beispielsweise das Lehrbuch von Bazylev / Atanasyan oder Aleksandrov.

Ellipse und ihre kanonische Gleichung

Rechtschreibung ... bitte wiederholen Sie nicht die Fehler einiger Yandex-Benutzer, die sich für "wie man eine Ellipse baut", "den Unterschied zwischen einer Ellipse und einem Oval" und "Elebs-Exzentrizität" interessiert.

Die kanonische Gleichung einer Ellipse hat die Form , wobei positive reelle Zahlen sind, und . Ich werde die Definition einer Ellipse später formulieren, aber jetzt ist es an der Zeit, eine Pause vom Reden einzulegen und ein häufiges Problem zu lösen:

Wie baut man eine Ellipse?

Ja, nimm es und zeichne es einfach. Die Aufgabe ist üblich, und ein erheblicher Teil der Schüler kommt mit der Zeichnung nicht ganz so gut zurecht:

Beispiel 1

Konstruieren Sie eine durch die Gleichung gegebene Ellipse

Entscheidung: zuerst bringen wir die Gleichung auf die kanonische Form:

Warum mitbringen? Einer der Vorteile der kanonischen Gleichung ist, dass Sie damit sofort bestimmen können Ellipsenecken, die an den Punkten sind . Es ist leicht zu sehen, dass die Koordinaten jedes dieser Punkte die Gleichung erfüllen.

In diesem Fall :


Liniensegment namens Hauptachse Ellipse;
Liniensegment – Nebenachse;
Anzahl namens große Halbachse Ellipse;
Anzahl – kleine Halbachse.
in unserem Beispiel: .

Um sich schnell vorzustellen, wie diese oder jene Ellipse aussieht, schauen Sie sich einfach die Werte von "a" und "be" ihrer kanonischen Gleichung an.

Alles ist in Ordnung, ordentlich und schön, aber es gibt eine Einschränkung: Ich habe die Zeichnung fertiggestellt mit dem Programm. Und Sie können mit jeder Anwendung zeichnen. Doch in der harten Realität liegt ein kariertes Stück Papier auf dem Tisch und Mäuse tanzen um unsere Hände. Menschen mit künstlerischem Talent können natürlich argumentieren, aber Sie haben auch Mäuse (wenn auch kleinere). Nicht umsonst hat die Menschheit ein Lineal, einen Zirkel, einen Winkelmesser und andere einfache Zeichengeräte erfunden.

Aus diesem Grund ist es unwahrscheinlich, dass wir eine Ellipse genau zeichnen können, wenn wir nur die Eckpunkte kennen. Immer noch in Ordnung, wenn die Ellipse klein ist, zum Beispiel mit Halbachsen. Alternativ können Sie den Maßstab und damit auch die Maße der Zeichnung verkleinern. Aber im allgemeinen Fall ist es sehr wünschenswert, zusätzliche Punkte zu finden.

Es gibt zwei Ansätze zum Konstruieren einer Ellipse - geometrisch und algebraisch. Ich mag es nicht, mit Zirkel und Lineal zu bauen, wegen des kurzen Algorithmus und der erheblichen Unordnung der Zeichnung. Im Notfall konsultieren Sie bitte das Lehrbuch, aber in Wirklichkeit ist es viel vernünftiger, die Werkzeuge der Algebra zu verwenden. Aus der Ellipsengleichung auf dem Entwurf drücken wir schnell aus:

Die Gleichung wird dann in zwei Funktionen aufgeteilt:
– definiert den oberen Bogen der Ellipse;
– definiert den unteren Bogen der Ellipse.

Die durch die kanonische Gleichung gegebene Ellipse ist sowohl bezüglich der Koordinatenachsen als auch bezüglich des Ursprungs symmetrisch. Und das ist großartig - Symmetrie ist fast immer ein Vorbote eines Werbegeschenks. Offensichtlich reicht es aus, sich mit dem 1. Koordinatenviertel zu befassen, also brauchen wir eine Funktion . Es schlägt vor, zusätzliche Punkte mit Abszissen zu finden . Wir treffen drei SMS auf dem Rechner:

Erfreulich ist natürlich auch, dass ein grober Fehler bei der Berechnung sofort beim Bau auffällt.

Markieren Sie Punkte auf der Zeichnung (rote Farbe), symmetrische Punkte auf den anderen Bögen (blaue Farbe) und verbinden Sie das gesamte Unternehmen sorgfältig mit einer Linie:


Es ist besser, die erste Skizze dünn und dünn zu zeichnen und erst dann Druck auf den Stift auszuüben. Das Ergebnis sollte eine ziemlich anständige Ellipse sein. Möchten Sie übrigens wissen, was diese Kurve ist?

Definition einer Ellipse. Ellipsenbrennpunkte und Ellipsenexzentrizität

Eine Ellipse ist ein Sonderfall eines Ovals. Das Wort „Oval“ ist nicht im spießbürgerlichen Sinne zu verstehen („das Kind zeichnete ein Oval“ etc.). Dies ist ein mathematischer Begriff mit einer detaillierten Formulierung. Der Zweck dieser Lektion besteht nicht darin, die Theorie der Ovale und ihrer verschiedenen Typen zu betrachten, die im Standardkurs der analytischen Geometrie praktisch nicht behandelt werden. Und in Übereinstimmung mit aktuelleren Bedürfnissen gehen wir sofort zur strengen Definition einer Ellipse über:

Ellipse- dies ist die Menge aller Punkte der Ebene, die Summe der Abstände zu jedem von zwei gegebenen Punkten, genannt Tricks Ellipse, ist ein konstanter Wert, der numerisch gleich der Länge der Hauptachse dieser Ellipse ist: .
In diesem Fall ist der Abstand zwischen den Brennpunkten kleiner als dieser Wert: .

Jetzt wird es klarer:

Stellen Sie sich vor, dass der blaue Punkt auf einer Ellipse „reitet“. Also, egal welchen Punkt der Ellipse wir nehmen, die Summe der Längen der Segmente wird immer gleich sein:

Stellen wir sicher, dass in unserem Beispiel der Wert der Summe wirklich gleich acht ist. Setzen Sie den Punkt "em" im Geiste auf den rechten Eckpunkt der Ellipse, dann: , was überprüft werden musste.

Eine andere Möglichkeit, eine Ellipse zu zeichnen, basiert auf der Definition einer Ellipse. Höhere Mathematik ist manchmal die Ursache für Anspannung und Stress, also ist es Zeit für eine weitere Entlastungssitzung. Nehmen Sie bitte ein Blatt Papier oder einen großen Bogen Pappe und heften Sie es mit zwei Nägeln an den Tisch. Das werden Tricks sein. Binden Sie einen grünen Faden an die hervorstehenden Nagelköpfe und ziehen Sie ihn mit einem Bleistift ganz durch. Der Hals des Bleistifts wird an einem Punkt sein, der zur Ellipse gehört. Beginnen Sie nun, den Stift über das Blatt Papier zu führen, wobei Sie den grünen Faden sehr straff halten. Setzen Sie den Vorgang fort, bis Sie zum Ausgangspunkt zurückkehren ... ausgezeichnet ... die Zeichnung kann zur Überprüfung durch den Arzt beim Lehrer eingereicht werden =)

Wie finde ich den Fokus einer Ellipse?

Im obigen Beispiel habe ich "fertige" Fokuspunkte dargestellt, und jetzt lernen wir, wie man sie aus den Tiefen der Geometrie extrahiert.

Wenn die Ellipse durch die kanonische Gleichung gegeben ist, dann haben ihre Brennpunkte Koordinaten , wo ist es Abstand von jedem der Brennpunkte zum Symmetriezentrum der Ellipse.

Berechnungen sind einfacher als mit gedämpften Rüben:

! Mit der Bedeutung "ce" ist es unmöglich, die spezifischen Koordinaten von Tricks zu identifizieren! Ich wiederhole, das ist ABSTAND von jedem Fokus zum Zentrum(die im allgemeinen Fall nicht genau am Ursprung liegen muss).
Und daher kann der Abstand zwischen den Brennpunkten auch nicht an die kanonische Position der Ellipse gebunden werden. Mit anderen Worten, die Ellipse kann an eine andere Stelle verschoben werden und der Wert bleibt unverändert, während die Brennpunkte natürlich ihre Koordinaten ändern. Bitte beachten Sie dies, wenn Sie sich weiter mit dem Thema befassen.

Die Exzentrizität einer Ellipse und ihre geometrische Bedeutung

Die Exzentrizität einer Ellipse ist ein Verhältnis, das Werte innerhalb annehmen kann.

In unserem Fall:

Lassen Sie uns herausfinden, wie die Form einer Ellipse von ihrer Exzentrizität abhängt. Dafür Fixieren Sie die linken und rechten Eckpunkte der betrachteten Ellipse, d. h. der Wert der großen Halbachse bleibt konstant. Dann nimmt die Exzentrizitätsformel die Form an: .

Beginnen wir damit, den Wert der Exzentrizität auf Eins anzunähern. Dies ist nur möglich, wenn . Was bedeutet das? ... Tricks erinnern . Dies bedeutet, dass die Brennpunkte der Ellipse entlang der Abszissenachse zu den seitlichen Eckpunkten "zerstreut" werden. Und da „die grünen Segmente kein Gummi sind“, wird die Ellipse unweigerlich flacher und verwandelt sich in eine immer dünnere Wurst, die auf einer Achse aufgereiht ist.

Auf diese Weise, je näher die Exzentrizität der Ellipse bei eins liegt, desto länglicher ist die Ellipse.

Lassen Sie uns nun den umgekehrten Vorgang simulieren: die Brennpunkte der Ellipse gingen aufeinander zu und näherten sich der Mitte. Das bedeutet, dass der Wert von „ce“ kleiner wird und dementsprechend die Exzentrizität gegen Null geht: .
In diesem Fall werden die „grünen Segmente“ dagegen „überfüllt“ und beginnen, die Linie der Ellipse nach oben und unten zu „schieben“.

Auf diese Weise, Je näher der Exzentrizitätswert bei Null liegt, desto mehr sieht die Ellipse aus... betrachten Sie den Grenzfall, wenn die Fokusse erfolgreich am Ursprung wiedervereinigt werden:

Ein Kreis ist ein Spezialfall einer Ellipse

Tatsächlich nimmt bei Gleichheit der Halbachsen die kanonische Gleichung der Ellipse die Form an, die sich reflexartig in die bekannte Kreisgleichung aus der Schule mit dem Mittelpunkt im Ursprung des Radius „a“ überführt.

In der Praxis wird häufiger die Schreibweise mit dem „sprechenden“ Buchstaben „er“ verwendet:. Der Radius wird als Länge des Segments bezeichnet, während jeder Punkt des Kreises um den Abstand des Radius vom Mittelpunkt entfernt ist.

Beachten Sie, dass die Definition einer Ellipse völlig korrekt bleibt: Die Brennpunkte passen zusammen, und die Summe der Längen der angepassten Segmente für jeden Punkt auf dem Kreis ist ein konstanter Wert. Da der Abstand zwischen Brennpunkten ist Die Exzentrizität jedes Kreises ist Null.

Ein Kreis ist einfach und schnell aufgebaut, es reicht aus, sich mit einem Kompass zu bewaffnen. Manchmal ist es jedoch notwendig, die Koordinaten einiger seiner Punkte herauszufinden, in diesem Fall gehen wir den bekannten Weg - wir bringen die Gleichung in eine fröhliche Matan-Form:

ist die Funktion des oberen Halbkreises;
ist die Funktion des unteren Halbkreises.

Dann finden wir die gewünschten Werte, differenzierbar , integrieren und andere gute Dinge tun.

Der Artikel dient natürlich nur als Referenz, aber wie kann man ohne Liebe in der Welt leben? Kreative Aufgabe zur eigenständigen Lösung

Beispiel 2

Schreiben Sie die kanonische Gleichung einer Ellipse, wenn einer ihrer Brennpunkte und die kleine Halbachse bekannt sind (der Mittelpunkt liegt im Ursprung). Finde Scheitelpunkte, zusätzliche Punkte und zeichne eine Linie auf der Zeichnung. Berechnen Sie die Exzentrizität.

Lösung und Zeichnung am Ende der Lektion

Lassen Sie uns eine Aktion hinzufügen:

Dreht und verschiebt eine Ellipse

Kehren wir zur kanonischen Gleichung der Ellipse zurück, nämlich zu der Bedingung, deren Rätsel seit der ersten Erwähnung dieser Kurve neugierige Geister quält. Hier haben wir eine Ellipse betrachtet , aber in der Praxis kann die Gleichung nicht ? Immerhin scheint es hier aber auch wie eine Ellipse zu sein!

Eine solche Gleichung ist selten, aber sie kommt vor. Und es definiert eine Ellipse. Lassen Sie uns die Mystik zerstreuen:

Als Ergebnis der Konstruktion wird unsere native Ellipse um 90 Grad gedreht erhalten. Also, - Das nicht-kanonischer Eintrag Ellipse . Aufzeichnung!- Die gleichung spezifiziert keine andere Ellipse, da es keine Punkte (Fokus) auf der Achse gibt, die die Definition einer Ellipse erfüllen würden.