Erwarteter Wert. mathematische Erwartung diskrete Zufallsvariable X, die eine endliche Anzahl von Werten annimmt Xich mit Wahrscheinlichkeiten Rich, heißt die Summe:

mathematische Erwartung stetige Zufallsvariable X heißt das Integral des Produkts seiner Werte X auf der Wahrf(x):

(6b)

Unechtes Integral (6 b) wird als absolut konvergent angenommen (andernfalls sagen wir, dass der Erwartungswert M(X) existiert nicht). Die mathematische Erwartung charakterisiert mittlere Bedeutung zufällige Variable X. Seine Dimension stimmt mit der Dimension einer Zufallsvariablen überein.

Eigenschaften der mathematischen Erwartung:

Streuung. Streuung zufällige Variable X Nummer heißt:

Die Streuung ist Streucharakteristik Werte einer Zufallsvariablen X relativ zu seinem Durchschnittswert M(X). Die Dimension der Varianz ist gleich der quadrierten Dimension der Zufallsvariablen. Basierend auf den Definitionen von Varianz (8) und mathematischem Erwartungswert (5) für eine diskrete Zufallsvariable und (6) für eine kontinuierliche Zufallsvariable erhalten wir ähnliche Ausdrücke für die Varianz:

(9)

Hier m = M(X).

Dispersionseigenschaften:

Standardabweichung:

(11)

Da die Dimension der Standardabweichung dieselbe ist wie die einer Zufallsvariablen, wird sie häufiger als die Varianz als Streuungsmaß verwendet.

Verteilungsmomente. Die Konzepte des mathematischen Erwartungswerts und der Varianz sind Sonderfälle eines allgemeineren Konzepts für die numerischen Eigenschaften von Zufallsvariablen - Verteilungsmomente. Die Verteilungsmomente einer Zufallsvariablen werden als mathematische Erwartungen einiger einfacher Funktionen einer Zufallsvariablen eingeführt. Also der Moment der Bestellung k relativ zum Punkt X 0 heißt Erwartung M(X–X 0 )k. Momente relativ zum Ursprung X= 0 aufgerufen werden erste Momente und sind gekennzeichnet:

(12)

Das Anfangsmoment der ersten Ordnung ist das Verteilungszentrum der betrachteten Zufallsvariablen:

(13)

Momente relativ zum Verteilzentrum X= m namens zentrale Punkte und sind gekennzeichnet:

(14)

Aus (7) folgt, dass das zentrale Moment erster Ordnung immer gleich Null ist:

Die zentralen Momente hängen nicht vom Ursprung der Werte der Zufallsvariablen ab, da bei einer Verschiebung um einen konstanten Wert Mit sein Verteilungsschwerpunkt ist um den gleichen Wert verschoben Mit, und die Abweichung vom Mittelpunkt ändert sich nicht: X – m = (X – Mit) – (m – Mit).
Nun ist das offensichtlich Streuung- Das zentrales Moment zweiter Ordnung:

Asymmetrie. Zentrales Moment der dritten Ordnung:

(17)

dient der Auswertung Verteilungsschiefe. Wenn die Verteilung symmetrisch um den Punkt ist X= m, dann ist das zentrale Moment dritter Ordnung gleich Null (sowie alle zentralen Momente ungerader Ordnung). Wenn also das zentrale Moment dritter Ordnung von Null verschieden ist, kann die Verteilung nicht symmetrisch sein. Die Größe der Asymmetrie wird unter Verwendung eines Dimensionslosen geschätzt Asymmetriekoeffizient:

(18)

Das Vorzeichen des Asymmetriekoeffizienten (18) zeigt rechtsseitige oder linksseitige Asymmetrie an (Abb. 2).

Reis. 2. Arten der Asymmetrie von Verteilungen.

Überschuss. Zentrales Moment der vierten Ordnung:

(19)

dient der Auswertung der sog Kurtosis, der den Grad der Steilheit (Spitzigkeit) der Verteilungskurve in der Nähe des Verteilungszentrums in Bezug auf die Normalverteilungskurve bestimmt. Da für eine Normalverteilung die als Kurtosis angenommene Menge ist:

(20)

Auf Abb. 3 zeigt Beispiele von Verteilungskurven mit unterschiedlichen Werten der Kurtosis. Für eine Normalverteilung E= 0. Kurven mit stärkeren Spitzen als die normale haben eine positive Kurtosis, und solche mit flacheren Spitzen haben eine negative Kurtosis.

Reis. 3. Verteilungskurven mit unterschiedlicher Steilheit (Kurtosis).

Momente höherer Ordnung werden in technischen Anwendungen der mathematischen Statistik normalerweise nicht verwendet.

Mode diskret Zufallsvariable ist ihr wahrscheinlichster Wert. Mode kontinuierlich eine Zufallsvariable ist ihr Wert, bei dem die Wahrscheinlichkeitsdichte maximal ist (Abb. 2). Hat die Verteilungskurve ein Maximum, so heißt die Verteilung unimodal. Wenn die Verteilungskurve mehr als ein Maximum hat, wird die Verteilung aufgerufen polymodal. Manchmal gibt es Verteilungen, deren Kurven kein Maximum, sondern ein Minimum haben. Solche Distributionen werden aufgerufen antimodal. Im allgemeinen Fall stimmen Modus und mathematischer Erwartungswert einer Zufallsvariablen nicht überein. Im Einzelfall, z modal, d.h. mit einem Modus, einer symmetrischen Verteilung, und vorausgesetzt, dass es eine mathematische Erwartung gibt, fällt letztere mit dem Modus und dem Symmetriezentrum der Verteilung zusammen.

Median zufällige Variable X ist seine Bedeutung Mir, für die Gleichheit gilt: d.h. es ist ebenso wahrscheinlich, dass die Zufallsvariable X wird weniger oder mehr sein Mir. Geometrisch Median ist die Abszisse des Punktes, an dem die Fläche unter der Verteilungskurve halbiert wird (Abb. 2). Bei einer symmetrischen Modalverteilung sind Median, Modus und Mittelwert gleich.

Neben der mathematischen Erwartung und Streuung werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Reihe numerischer Merkmale verwendet, die bestimmte Merkmale der Verteilung widerspiegeln.

Definition. Modus Mo(X) einer Zufallsvariablen X ist ihr wahrscheinlichster Wert(Wofür die Wahrscheinlichkeit r r oder Wahrscheinlichkeitsdichte

Erreicht die Wahrscheinlichkeit oder Wahrscheinlichkeitsdichte nicht an einem, sondern an mehreren Punkten ein Maximum, spricht man von einer Verteilung polymodal(Abb. 3.13).

Mode Moos), bei der die Wahrscheinlichkeit R ( oder die Wahrscheinlichkeitsdichte (p(x) erreicht ein globales Maximum) heißt wahrscheinlichster Wert Zufallsvariable (in Abb. 3.13 diese Mo(X)2).

Definition. Der Median Me(X) einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X ist ihr Wert, wofür

jene. die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X nimmt einen Wert an, der kleiner als der Median ist Pelz) oder größer als es, gleich und gleich 1/2. Geometrisch vertikale Linie X = Pelz) durch einen Punkt mit einer Abszisse gleich Pelz), teilt die Fläche der Abbildung der Verteilungskurve in zwei gleiche Teile (Abb. 3.14). Offensichtlich an der Stelle X = Pelz) die Verteilungsfunktion ist gleich 1/2, d.h. P(Me(X))= 1/2 (Abb. 3.15).

Beachten Sie eine wichtige Eigenschaft des Medians einer Zufallsvariablen: die mathematische Erwartung des Betrags der Abweichung der Zufallsvariablen X vom konstanten Wert C ist dann minimal, wenn diese Konstante C gleich dem Median Me(X) = m ist, d.h.

(Die Eigenschaft ähnelt der Eigenschaft (3.10") der Minimalität des mittleren Quadrats der Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung).

O Beispiel 3.15. Finden Sie Modus, Median und Mittelwert einer Zufallsvariablen Xs Wahrscheinlichkeitsdichte φ(x) = 3x 2 für xx.

Entscheidung. Die Verteilungskurve ist in Abb. 1 dargestellt. 3.16. Offensichtlich ist die Wahrscheinlichkeitsdichte φ(x) bei maximal X= Mo(X) = 1.

Median Pelz) = b wir finden aus Bedingung (3.28):

wo

Der mathematische Erwartungswert wird nach der Formel (3.25) berechnet:

Gegenseitige Anordnung von Punkten M(X) > Me(X) und Moos) in aufsteigender Reihenfolge der Abszisse ist in Abb. 1 gezeigt. 3.16. ?

Neben den oben erwähnten numerischen Merkmalen wird das Konzept der Quantile und Prozentpunkte verwendet, um eine Zufallsvariable zu beschreiben.

Definition. Niveauquantil y-Quantil )

heißt ein solcher Wert x q einer Zufallsvariablen , bei dem seine Verteilungsfunktion einen Wert gleich annimmt sterben.

Einige Quantile haben einen besonderen Namen erhalten. Offensichtlich das oben Median Zufallsvariable ist das 0,5-Niveau-Quantil, d.h. Ich (X) \u003d x 05. Die Quantile dg 0 2 5 und x 075 werden entsprechend benannt niedriger und oberes QuartilK

Eng verwandt mit dem Konzept eines Quantils ist das Konzept Prozentpunkt. Unter YuOuHo-noi-Punkt impliziertes Quantil x x (( , jene. ein solcher Wert einer Zufallsvariablen x, unter welchen

0 Beispiel 3.16. Finden Sie gemäß Beispiel 3.15 das Quantil x 03 und 30 % zufälliger variabler Punkt x.

Entscheidung. Nach Formel (3.23) die Verteilungsfunktion

Das Quantil r 0 z finden wir aus Gleichung (3.29), d.h. x$ 3 \u003d 0,3, von wo aus L "oz -0,67. Finden Sie den 30%-Punkt der Zufallsvariablen x, oder Quantil x 0 7, aus der Gleichung x $ 7 = 0,7, woher x 0 7 "0,89. ?

Unter den numerischen Merkmalen einer Zufallsvariablen sind die Momente - Anfangs- und Zentralmoment - von besonderer Bedeutung.

Definition. Startmomentk-ter Ordnung einer Zufallsvariablen X ist der mathematische Erwartungswert der k-ten Potenz dieser Variablen :

Definition. Zentraler Augenblickk-te Ordnung einer Zufallsvariablen X ist die mathematische Erwartung des k-ten Grades der Abweichung der Zufallsvariablen X von ihrer mathematischen Erwartung:

Formeln zur Berechnung der Momente für diskrete Zufallsvariablen (mit den Werten x 1 mit Wahrscheinlichkeiten p,) und kontinuierlich (mit Wahrscheinlichkeitsdichte cp(x)) sind in Tabelle angegeben. 3.1.

Tabelle 3.1

Es ist leicht zu sehen, wann k = 1 erster Anfangsmoment der Zufallsvariablen X ist seine mathematische Erwartung, d.h. h x \u003d M [X) \u003d a, beim zu= 2 das zweite zentrale Moment ist die Dispersion, d.h. p2 = T)(X).

Die zentralen Momente p A können in Bezug auf die Anfangsmomente unter Verwendung der Formeln ausgedrückt werden:

usw.

Zum Beispiel c3 \u003d M (X-a) * \u003d M (X * -ZaX 2 + Za 2 X-a-\u003e) \u003d M (X *) ~ -ZaM (X 2) + Za 2 M (X) ~ a3 \u003d y 3 -Zy ^ + Zy (y, -y ^ \u003d y 3 - Zy ^ + 2y ^ (bei der Ableitung haben wir das berücksichtigt a = M(X)= V, - nicht zufälliger Wert). ?

Wie oben erwähnt, die mathematische Erwartung M(X), oder das erste Anfangsmoment, charakterisiert den Durchschnittswert oder die Position, das Verteilungszentrum einer Zufallsvariablen X auf dem Zahlenstrahl; Streuung OH), oder das zweite zentrale Moment p 2 , - s t s - Verteilungsstreuung X verhältnismäßig M(X). Momente höherer Ordnung dienen der genaueren Beschreibung der Verteilung.

Dritter zentraler Moment p 3 dient zur Charakterisierung der Asymmetrie der Verteilung (Schiefe). Es hat die Dimension eines Würfels einer Zufallsvariablen. Um einen dimensionslosen Wert zu erhalten, wird er durch etwa 3 geteilt, wobei a die Standardabweichung der Zufallsvariablen ist x. Erhaltener Wert SONDERN namens Asymmetriekoeffizient einer Zufallsvariablen.

Wenn die Verteilung bezüglich der mathematischen Erwartung symmetrisch ist, dann ist der Asymmetriekoeffizient A = 0.

Auf Abb. 3.17 zeigt zwei Verteilungskurven: I und II. Kurve I hat eine positive (rechtsseitige) Asymmetrie (L > 0), und Kurve II hat eine negative (linksseitige) (L

Vierter zentraler Moment p 4 dient zur Charakterisierung der Steilheit (Peak of the Top oder Flat Top - Post) der Verteilung.

Mode() stetige Zufallsvariable ist ihr Wert, der dem Maximalwert ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte entspricht.

Median() Eine kontinuierliche Zufallsvariable ist ihr Wert, der durch die Gleichheit bestimmt wird:

B15. Binomialverteilungsgesetz und seine numerischen Eigenschaften. Binomialverteilung beschreibt wiederholte unabhängige Erfahrungen. Dieses Gesetz bestimmt das Eintreten eines Ereignisses mal in unabhängigen Versuchen, wenn sich die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses in jedem dieser Experimente nicht von Erfahrung zu Erfahrung ändert. Wahrscheinlichkeit:

,

wobei: die bekannte Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses im Experiment ist, die sich von Erfahrung zu Erfahrung nicht ändert;

ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht im Experiment auftritt;

ist die angegebene Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses in den Experimenten;

ist die Anzahl der Kombinationen von Elementen durch .

B15. Gleichverteilungsgesetz, Diagramme der Verteilungsfunktion und Dichte, numerische Kennwerte. Es wird eine kontinuierliche Zufallsvariable betrachtet gleichmäßig verteilt, wenn seine Wahrscheinlichkeitsdichte die Form hat:

Erwarteter Wert Zufallsvariable mit Gleichverteilung:

Streuung lässt sich wie folgt berechnen:

Standardabweichung wird aussehen wie:

.

B17. Das Exponentialgesetz der Verteilung, Diagramme der Funktion und Verteilungsdichte, numerische Eigenschaften. Exponentialverteilung Eine kontinuierliche Zufallsvariable ist eine Verteilung, die durch den folgenden Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsdichte beschrieben wird:

,

wobei ein konstanter positiver Wert ist.

Die Wahrschat in diesem Fall die Form:

Der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen mit Exponentialverteilung ergibt sich aus der allgemeinen Formel unter Berücksichtigung der Tatsache, dass wenn:

.

Wenn wir diesen Ausdruck partiell integrieren, finden wir: .

Die Varianz für die Exponentialverteilung kann mit dem Ausdruck erhalten werden:

.

Setzen wir den Ausdruck für die Wahrscheinlichkeitsdichte ein, finden wir:

Wenn wir das Integral nach Teilen berechnen, erhalten wir: .

B16. Normalverteilungsgesetz, Graphen der Funktion und Verteilungsdichte. Standardnormalverteilung. Reflektierte Normalverteilungsfunktion. Normal man nennt eine solche Verteilung einer Zufallsvariablen, deren Wahrscheinlichkeitsdichte durch die Gaußsche Funktion beschrieben wird:

wo ist die Standardabweichung;

ist die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen.

Ein Normalverteilungsdichtediagramm wird als normale Gaußsche Kurve bezeichnet.

B18. Markovsche Ungleichung. Verallgemeinerte Tschebyscheff-Ungleichung. Wenn für eine Zufallsvariable X existiert, dann für alle Markovsche Ungleichung .

Es stammt von verallgemeinerte Tschebyscheff-Ungleichung: Die Funktion sei monoton steigend und nichtnegativ auf . Wenn für eine Zufallsvariable X existiert, dann für alle die Ungleichheit .

B19. Das Gesetz der großen Zahlen in Form von Tschebyscheff. Es bedeutet. Folge des Gesetzes der großen Zahlen in Form von Chebyshev. Das Gesetz der großen Zahlen in Bernoulli-Form. Unter Gesetz der großen Zahlen In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden eine Reihe von Theoremen verstanden, in denen jeweils die Tatsache einer asymptotischen Annäherung des Durchschnittswerts einer großen Anzahl experimenteller Daten an die mathematische Erwartung einer Zufallsvariablen festgestellt wird. Die Beweise dieser Sätze basieren auf der Chebyshev-Ungleichung. Diese Ungleichung erhält man, indem man eine diskrete Zufallsvariable mit möglichen Werten betrachtet.

Satz. Es gebe eine endliche Folge unabhängige Zufallsvariablen mit demselben mathematischen Erwartungswert und durch dieselbe Konstante begrenzten Varianzen:

Dann, unabhängig von der Zahl , die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

neigt zur Einheit bei .

Der Satz von Chebyshev stellt eine Verbindung zwischen der Wahrscheinlichkeitstheorie her, die die durchschnittlichen Eigenschaften des gesamten Wertesatzes einer Zufallsvariablen berücksichtigt, und der mathematischen Statistik, die mit einem begrenzten Satz von Werten dieser Variablen arbeitet. Es zeigt sich, dass sich bei einer ausreichend großen Anzahl von Messungen einer bestimmten Zufallsvariablen das arithmetische Mittel der Werte dieser Messungen der mathematischen Erwartung annähert.

IM 20. Gegenstand und Aufgaben der mathematischen Statistik. Allgemeine und Stichprobenpopulationen. Auswahlverfahren. Mathematische Statistiken- die Wissenschaft mathematischer Methoden der Systematisierung und Nutzung statistischer Daten für wissenschaftliche und praktische Schlussfolgerungen auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Untersuchungsgegenstand der mathematischen Statistik sind zufällige Ereignisse, Größen und Funktionen, die das betrachtete Zufallsphänomen charakterisieren. Die folgenden Ereignisse sind zufällig: Gewinn eines Loses der Bargeldlotterie, Übereinstimmung des kontrollierten Produkts mit den festgelegten Anforderungen, störungsfreier Betrieb des Fahrzeugs während des ersten Betriebsmonats, Erfüllung des täglichen Arbeitsplans durch den Auftragnehmer.

Probenahme-Set ist eine Sammlung von zufällig ausgewählten Objekten.

Durchschnittsbevölkerung Benennen Sie die Menge von Objekten, aus denen die Probe hergestellt wird.

AM 21. Auswahlmethoden.

Selektionsmethoden: 1 Selektion, die keine Aufteilung der Allgemeinbevölkerung in Teile erfordert. Dazu gehören a) einfache zufällige nicht-repetitive Auswahl und b) einfache zufällige Neuauswahl. 2) Selektion, bei der die allgemeine Bevölkerung in Teile geteilt wird. Dazu gehören a) Typauswahl, b) mechanische Auswahl und c) Serienauswahl.

Einfach zufällig Auswahl genannt, bei der Objekte einzeln aus der allgemeinen Population extrahiert werden.

Typisch Auswahl genannt, bei der Objekte nicht aus der gesamten Allgemeinbevölkerung ausgewählt werden, sondern aus jedem ihrer „typischen“ Teile.

Mechanisch Auswahl genannt, bei der die allgemeine Bevölkerung mechanisch in so viele Gruppen eingeteilt wird, wie es Objekte gibt, die in die Stichprobe aufgenommen werden sollen, und ein Objekt aus jeder Gruppe ausgewählt wird.

Seriell Selektion genannt, bei der Objekte aus der Allgemeinheit nicht einzeln, sondern „Serien“ ausgewählt werden, die einer kontinuierlichen Prüfung unterzogen werden.

B22. Statistische und Variationsreihen. Empirische Verteilungsfunktion und ihre Eigenschaften. Variationsreihen für diskrete und kontinuierliche Zufallsvariablen. Lassen Sie eine Stichprobe aus der Allgemeinbevölkerung entnehmen, und der Wert des untersuchten Parameters wurde einmal, einmal usw. beobachtet. Allerdings die Stichprobengröße Die beobachteten Werte werden aufgerufen Optionen, und die Sequenz ist eine in aufsteigender Reihenfolge geschriebene Variante - Variationsreihe. Die Anzahl der Beobachtungen wird aufgerufen Frequenzen, und ihr Verhältnis zur Stichprobengröße - relative Häufigkeiten.Variationsreihe kann als Tabelle dargestellt werden:

X			…..
n			….

Die statistische Verteilung der Stichprobe Rufen Sie die Liste der Optionen und ihre jeweiligen relativen Häufigkeiten auf. Die statistische Verteilung kann wie folgt dargestellt werden:

X			…..
w			….

wo sind die relativen Häufigkeiten .

Empirische Verteilungsfunktion Rufen Sie die Funktion auf, die für jeden Wert x die relative Häufigkeit des Ereignisses X bestimmt

Der Zweck der Lektion: das Verständnis der Schüler für den Median einer Zahlenmenge und die Fähigkeit, ihn für einfache Zahlenmengen zu berechnen, zu schulen, wobei das Konzept der arithmetischen Mittelmenge von Zahlen festgelegt wird.

Unterrichtstyp: Erklärung von neuem Material.

Ausstattung: Tafel, Lehrbuch, Hrsg. Yu.N Tjurina „Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“, Computer mit Beamer.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment.

Informieren Sie über das Unterrichtsthema und formulieren Sie dessen Ziele.

2. Aktualisierung des Vorwissens.

Fragen für Studierende:

• Was ist das arithmetische Mittel einer Reihe von Zahlen?
• Wo liegt das arithmetische Mittel innerhalb einer Zahlenreihe?
• Was charakterisiert das arithmetische Mittel einer Zahlenmenge?
• Wo wird häufig das arithmetische Mittel einer Zahlenreihe verwendet?

Mündliche Aufgaben:

Berechne das arithmetische Mittel einer Reihe von Zahlen:

• 1, 3, 5, 7, 9;
• 10, 12, 18, 20

Kontrolle der Hausaufgaben mit einem Beamer ( Anhang 1):

Lehrbuch: Nr. 12 (b, d), Nr. 18 (c, d)

3. Neues Material lernen.

In der vorherigen Lektion haben wir ein solches statistisches Merkmal wie das arithmetische Mittel einer Reihe von Zahlen kennengelernt. Heute widmen wir eine Lektion einem anderen statistischen Merkmal - dem Median.

Nicht nur das arithmetische Mittel zeigt, wo auf dem Zahlenstrahl sich die Zahlen einer beliebigen Menge befinden und wo ihr Zentrum liegt. Ein weiterer Indikator ist der Median.

Der Median einer Zahlenmenge ist die Zahl, die die Menge in zwei gleiche Teile teilt. Statt „Median“ könnte man auch „Mitte“ sagen.

Zuerst analysieren wir anhand von Beispielen, wie man den Median findet, und geben dann eine strenge Definition.

Betrachten Sie das folgende mündliche Beispiel mit einem Projektor ( Anhang 2)

Am Ende des Schuljahres haben 11 Schüler der 7. Klasse die Norm für 100-Meter-Lauf bestanden. Folgende Ergebnisse wurden aufgezeichnet:

Nachdem die Jungs die Distanz gelaufen waren, näherte sich Petya dem Lehrer und fragte, was sein Ergebnis sei.

„Höchster Durchschnitt: 16,9 Sekunden“, antwortete der Lehrer

"Wieso den?" Petja war überrascht. - Immerhin liegt das arithmetische Mittel aller Ergebnisse bei etwa 18,3 Sekunden, und ich bin eine Sekunde oder mehr besser gelaufen. Und im Allgemeinen liegt Katyas Ergebnis (18,4) viel näher am Durchschnitt als meines.“

„Dein Ergebnis ist durchschnittlich, weil fünf Leute besser und fünf schlechter gelaufen sind als du. Sie sind also mittendrin“, sagte der Lehrer. [ 2 ]

Schreiben Sie einen Algorithmus zum Ermitteln des Medians einer Reihe von Zahlen:

1. Ordnen Sie den Zahlensatz (stellen Sie eine Rangfolge zusammen).
2. Gleichzeitig streichen wir die „größte“ und „kleinste“ Zahl dieser Zahlenreihe durch, bis eine Zahl oder zwei Zahlen übrig bleiben.
3. Wenn es nur eine Zahl gibt, dann ist es der Median.
4. Wenn noch zwei Zahlen übrig sind, ist der Median das arithmetische Mittel der beiden verbleibenden Zahlen.

Bitten Sie die Schüler, selbstständig die Definition des Medians einer Zahlenmenge zu formulieren, lesen Sie dann zwei Definitionen des Medians im Lehrbuch (S. 50) und analysieren Sie dann die Beispiele 4 und 5 des Lehrbuchs (S. 50-52).

Kommentar:

Machen Sie die Schüler auf einen wichtigen Umstand aufmerksam: Der Median ist praktisch unempfindlich gegenüber signifikanten Abweichungen einzelner Extremwerte von Zahlenmengen. In der Statistik wird diese Eigenschaft Stabilität genannt. Die Stabilität eines statistischen Indikators ist eine sehr wichtige Eigenschaft, sie schützt uns vor zufälligen Fehlern und einzelnen unzuverlässigen Daten.

4. Konsolidierung des studierten Materials.

Die Entscheidung von Zahlen aus dem Lehrbuch zu Punkt 11 "Median".

Zahlensatz: 1,3,5,7,9

=(1+3+5+7+9):5=25:5=5

Zahlensatz: 1,3,5,7,14.

=(1+3+5+7+14):5=30:5=6

a) Zahlenreihe: 3,4,11,17,21

b) Zahlenreihe: 17,18,19,25,28

c) Zahlenreihe: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Fazit: Der Median einer Zahlenmenge, die aus einer ungeraden Anzahl von Mitgliedern besteht, ist gleich der Zahl in der Mitte.

a) Zahlensatz: 2, 4, 8 , 9.

Ich = (4+8):2=12:2=6

b) Zahlensatz: 1,3, 5,7 ,8,9.

Ich = (5+7):2=12:2=6

Der Median einer Zahlenmenge, die eine gerade Anzahl von Mitgliedern enthält, ist die Hälfte der Summe der beiden Zahlen in der Mitte.

Der Student erhielt im Quartal die folgenden Noten in Algebra:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Ermitteln Sie die mittlere Punktzahl und den Median dieser Menge. [ 3 ]

Lassen Sie uns eine Reihe von Zahlen bestellen: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Nur 10 Zahlen, um den Median zu finden, müssen Sie zwei mittlere Zahlen nehmen und ihre halbe Summe finden.

Ich = (5+5):2 = 5

Frage an die Schüler: Wenn Sie Lehrer wären, welche Note würden Sie diesem Schüler für ein Viertel geben? Begründen Sie die Antwort.

Der Präsident des Unternehmens erhält ein Gehalt von 300.000 Rubel. drei seiner Stellvertreter erhalten jeweils 150.000 Rubel, vierzig Angestellte - jeweils 50.000 Rubel. und das Gehalt einer Reinigungskraft beträgt 10.000 Rubel. Ermitteln Sie das arithmetische Mittel und den Median der Gehälter im Unternehmen. Welche dieser Eigenschaften ist für den Präsidenten rentabler für Werbezwecke?

= (300000+3 150000+40 50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333,33 (Rubel)

Aufgabe 3. (Lassen Sie die Schüler selbstständig lösen, projizieren Sie die Aufgabe mit einem Projektor)

Die Tabelle zeigt das ungefähre Wasservolumen in den größten Seen und Stauseen Russlands in Kubikmetern. km. (Anhang 3) [ 4 ]

A) Finden Sie das durchschnittliche Wasservolumen in diesen Stauseen (arithmetisches Mittel);

B) Finden Sie das Wasservolumen in der durchschnittlichen Größe des Reservoirs (Median der Daten);

C) Welches dieser Merkmale – das arithmetische Mittel oder der Median – beschreibt Ihrer Meinung nach am besten das Volumen eines typischen großen russischen Stausees? Erklären Sie die Antwort.

a) 2459 Kubikmeter km

b) 60 cu. km

c) Median, weil data enthält Werte, die sich stark von allen anderen unterscheiden.

Aufgabe 4. Mündlich.

A) Wie viele Zahlen enthält die Menge, wenn ihr Median ihr neunter Term ist?

B) Wie viele Zahlen sind in der Menge, wenn ihr Median das arithmetische Mittel der 7. und 8. Terme ist?

C) In einer Reihe von sieben Zahlen wurde die größte Zahl um 14 erhöht. Ändert sich dadurch sowohl das arithmetische Mittel als auch der Median?

D) Jede der Zahlen in der Menge wurde um 3 erhöht. Was passiert mit dem arithmetischen Mittel und dem Median?

Süßigkeiten im Laden werden nach Gewicht verkauft. Um herauszufinden, wie viele Süßigkeiten in einem Kilogramm enthalten sind, beschloss Mascha, das Gewicht einer Süßigkeit zu ermitteln. Sie wog mehrere Bonbons und kam zu folgenden Ergebnissen:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Beide Merkmale eignen sich zum Abschätzen des Gewichts einer Süßigkeit, da sie unterscheiden sich nicht sehr voneinander.

Um statistische Informationen zu charakterisieren, werden also das arithmetische Mittel und der Median verwendet. In vielen Fällen haben einige der Merkmale möglicherweise keine sinnvolle Bedeutung (z. B. wenn Informationen über den Zeitpunkt von Verkehrsunfällen vorliegen, ist es kaum sinnvoll, über das arithmetische Mittel dieser Daten zu sprechen).

1. Hausaufgaben: Absatz 11, Nr. 3,4,9,11.
2. Unterrichtsergebnisse. Betrachtung.

Literatur:

1. Yu.N. Tyurin et al., „Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik“, MCNMO-Verlag, JSC „Moscow Textbooks“, Moskau 2008.
2. E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev „Grundlagen der Statistik und Wahrscheinlichkeit“, DROFA, Moskau 2004.
3. Zeitung „Mathematik“ Nr. 23, 2007.
4. Demoversion des Tests zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für die Klasse 7, 2007/2008. Jahr.

Mode- der Wert in der Gruppe von Beobachtungen, der am häufigsten auftritt

Mo \u003d X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo + 1)),

hier ist X Mo die linke Grenze des modalen Intervalls, h Mo ist die Länge des modalen Intervalls, f Mo-1 ist die Frequenz des prämodalen Intervalls, f Mo ist die Frequenz des modalen Intervalls, f Mo+1 ist die Häufigkeit des postmodalen Intervalls.

Der Modus einer absolut kontinuierlichen Verteilung ist jeder Punkt des lokalen Maximums der Verteilungsdichte. Bei diskreten Verteilungen ist ein Modus ein beliebiger Wert a i , dessen Wahrscheinlichkeit p i größer ist als die Wahrscheinlichkeiten benachbarter Werte

Median stetige Zufallsvariable X sein Wert Me heißt ein solcher, für den es gleich wahrscheinlich ist, ob die Zufallsvariable kleiner oder größer sein wird Mir, d.h.

M e \u003d (n + 1) / 2 P(X < Me) = P(X > Mir)

Gleichmäßig verteilt NEU

Gleichmäßige Verteilung. Eine stetige Zufallsvariable heißt auf der Strecke () gleichverteilt, wenn ihre Verteilungsdichtefunktion (Abb. 1.6, a) sieht aus wie:

Bezeichnung: - SW wird einheitlich verteilt auf .

Dementsprechend ist die Verteilungsfunktion auf dem Segment (Abb. 1.6, b):

Reis. 1.6. Funktionen einer Zufallsvariablen gleichmäßig verteilt auf [ a,b]: a– Wahrscheinlichkeitsdichten f(x); b– Ausschüttungen F(x)

Der mathematische Erwartungswert und die Varianz dieses RV werden durch die Ausdrücke bestimmt:

Aufgrund der Symmetrie der Dichtefunktion fällt sie mit dem Median zusammen. Mode hat keine einheitliche Verteilung

Beispiel 4 Die Wartezeit auf eine Antwort auf einen Anruf ist eine Zufallsvariable, die einem Gleichverteilungsgesetz im Bereich von 0 bis 2 Minuten gehorcht. Finden Sie die integralen und differentiellen Verteilungsfunktionen dieser Zufallsvariablen.

27. Normalgesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Eine stetige Zufallsvariable x hat eine Normalverteilung mit Parametern: m,s > 0, wenn die Wahrdie Form hat:

wobei: m die mathematische Erwartung ist, s die Standardabweichung ist.

Die Normalverteilung wird nach dem deutschen Mathematiker Gauß auch Gaußsche Verteilung genannt. Die Tatsache, dass eine Zufallsvariable normalverteilt ist mit Parametern: m, , wird wie folgt bezeichnet: N (m, s), wobei: m=a=M[X];

Häufig wird in Formeln der mathematische Erwartungswert mit bezeichnet a . Wenn eine Zufallsvariable nach dem N(0,1)-Gesetz verteilt ist, wird sie als normalisierte oder standardisierte Normalvariable bezeichnet. Die Verteilungsfunktion dafür hat die Form:

Das Diagramm der Dichte der Normalverteilung, die als Normalkurve oder Gaußsche Kurve bezeichnet wird, ist in Abb. 5.4 dargestellt.

Reis. 5.4. Normalverteilungsdichte

Eigenschaften eine Zufallsvariable mit einem Normalverteilungsgesetz.

1. Wenn , dann um die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass dieser Wert in ein gegebenes Intervall fällt ( x 1; x 2) wird die Formel verwendet:

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrer mathematischen Erwartung den Wert (im absoluten Wert) nicht überschreitet, ist gleich.