Hallo Kätzchen! Letztes Mal haben wir ausführlich analysiert, was Wurzeln sind (wenn Sie sich nicht erinnern, empfehle ich zu lesen). Die wichtigste Schlussfolgerung dieser Lektion: Es gibt nur eine universelle Definition von Wurzeln, die Sie kennen müssen. Der Rest ist Quatsch und Zeitverschwendung.

Heute gehen wir weiter. Wir werden lernen, Wurzeln zu multiplizieren, wir werden einige Probleme im Zusammenhang mit der Multiplikation untersuchen (wenn diese Probleme nicht gelöst werden, können sie in der Prüfung tödlich werden) und wir werden richtig üben. Also Popcorn eindecken, gemütlich machen - und los geht's. :)

Du hast noch nicht geraucht, oder?

Die Lektion stellte sich als ziemlich umfangreich heraus, also habe ich sie in zwei Teile geteilt:

1. Zuerst schauen wir uns die Regeln für die Multiplikation an. Die Kappe scheint anzudeuten: Das ist, wenn es zwei Wurzeln gibt, gibt es ein „Multiplizieren“-Zeichen zwischen ihnen – und wir wollen etwas damit machen.
2. Dann werden wir die umgekehrte Situation analysieren: Es gibt eine große Wurzel, und wir wollten sie auf einfachere Weise als Produkt zweier Wurzeln darstellen. Mit welcher Angst es notwendig ist, ist eine separate Frage. Wir werden nur den Algorithmus analysieren.

Diejenigen, die es kaum erwarten können, direkt in Teil 2 einzusteigen, sind herzlich willkommen. Beginnen wir mit dem Rest der Reihe nach.

Grundlegende Multiplikationsregel

Beginnen wir mit dem Einfachsten – der klassischen Quadratwurzel. Diejenigen, die mit $\sqrt(a)$ und $\sqrt(b)$ bezeichnet werden. Für sie ist im Allgemeinen alles klar:

Multiplikationsregel. Um eine Quadratwurzel mit einer anderen zu multiplizieren, müssen Sie nur ihre Wurzelausdrücke multiplizieren und das Ergebnis unter die gemeinsame Wurzel schreiben:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Den Zahlen rechts oder links werden keine zusätzlichen Einschränkungen auferlegt: Wenn die Multiplikatorwurzeln existieren, dann existiert auch das Produkt.

Beispiele. Betrachten Sie vier Beispiele mit Zahlen auf einmal:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(align)\]

Wie Sie sehen können, besteht die Hauptbedeutung dieser Regel darin, irrationale Ausdrücke zu vereinfachen. Und wenn wir im ersten Beispiel ohne neue Regeln die Wurzeln aus 25 und 4 gezogen hätten, dann beginnt die Dose: $\sqrt(32)$ und $\sqrt(2)$ zählen nicht für sich allein, aber Ihr Produkt stellt sich als exaktes Quadrat heraus, also ist die Wurzel daraus gleich einer rationalen Zahl.

Gesondert möchte ich die letzte Zeile anmerken. Dort sind beide Wurzelausdrücke Brüche. Dank des Produkts heben sich viele Faktoren auf und der gesamte Ausdruck wird zu einer adäquaten Zahl.

Natürlich wird nicht immer alles so schön sein. Manchmal ist unter den Wurzeln kompletter Mist - es ist nicht klar, was damit zu tun ist und wie nach der Multiplikation transformiert werden soll. Etwas später, wenn Sie anfangen, irrationale Gleichungen und Ungleichungen zu studieren, werden Sie alle möglichen Variablen und Funktionen im Allgemeinen haben. Und sehr oft verlassen sich die Ersteller der Probleme einfach darauf, dass Sie einige Vertragsbedingungen oder Faktoren finden, nach denen die Aufgabe erheblich vereinfacht wird.

Außerdem ist es nicht notwendig, genau zwei Wurzeln zu multiplizieren. Du kannst drei auf einmal multiplizieren, vier – ja sogar zehn! An der Regel ändert sich dadurch nichts. Schau mal:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(align)\]

Und noch mal eine kleine Bemerkung zum zweiten Beispiel. Wie Sie sehen können, befindet sich im dritten Multiplikator ein Dezimalbruch unter der Wurzel - bei den Berechnungen ersetzen wir ihn durch einen regulären, wonach alles leicht reduziert wird. Also: Ich empfehle dringend, Dezimalbrüche in allen irrationalen Ausdrücken (dh die mindestens ein Radikal-Symbol enthalten) loszuwerden. Das spart Ihnen in Zukunft viel Zeit und Nerven.

Aber es war ein lyrischer Exkurs. Betrachten wir nun einen allgemeineren Fall - wenn der Wurzelexponent eine beliebige Zahl $n$ enthält und nicht nur die "klassischen" zwei.

Der Fall eines willkürlichen Indikators

Also haben wir die Quadratwurzeln herausgefunden. Und was tun mit Würfeln? Oder allgemein mit Wurzeln beliebigen Grades $n$? Ja, alles ist gleich. Die Regel bleibt gleich:

Um zwei Wurzeln vom Grad $n$ zu multiplizieren, genügt es, ihre Wurzelausdrücke zu multiplizieren, wonach das Ergebnis unter einer Wurzel geschrieben wird.

Im Allgemeinen nichts kompliziertes. Es sei denn, das Volumen der Berechnungen kann mehr sein. Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiele. Produkte berechnen:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(align)\]

Und wieder Aufmerksamkeit auf den zweiten Ausdruck. Wir multiplizieren die Kubikwurzeln, entfernen den Dezimalbruch und erhalten als Ergebnis im Nenner das Produkt der Zahlen 625 und 25. Dies ist eine ziemlich große Zahl - ich persönlich werde nicht sofort berechnen, was gleich ist zu.

Deshalb haben wir einfach die exakte Kubikzahl im Zähler und Nenner ausgewählt und dann eine der Schlüsseleigenschaften (oder, wenn Sie möchten, die Definition) der Wurzel des $n$-ten Grades verwendet:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\richtig|. \\ \end(align)\]

Solche "Betrügereien" können Ihnen viel Zeit bei einer Prüfung oder einem Test ersparen, denken Sie also daran:

Beeilen Sie sich nicht, die Zahlen im Wurzelausdruck zu multiplizieren. Überprüfen Sie zuerst: Was ist, wenn der genaue Grad eines Ausdrucks dort „verschlüsselt“ ist?

Bei aller Offensichtlichkeit dieser Bemerkung muss ich zugeben, dass die meisten unvorbereiteten Studenten die genauen Abschlüsse nicht direkt erkennen. Stattdessen multiplizieren sie alles voraus und fragen sich dann: Warum haben sie so brutale Zahlen bekommen? :) :)

All dies ist jedoch ein Kinderspiel im Vergleich zu dem, was wir jetzt studieren werden.

Multiplikation von Wurzeln mit verschiedenen Exponenten

Nun, jetzt können wir Wurzeln mit denselben Exponenten multiplizieren. Was ist, wenn die Noten unterschiedlich sind? Sagen Sie mal, wie multipliziert man ein gewöhnliches $\sqrt(2)$ mit irgendeinem Scheiß wie $\sqrt(23)$? Ist es überhaupt möglich, dies zu tun?

Natürlich kannst du. Alles läuft nach dieser Formel ab:

Wurzelmultiplikationsregel. Um $\sqrt[n](a)$ mit $\sqrt[p](b)$ zu multiplizieren, führen Sie einfach die folgende Transformation durch:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Diese Formel funktioniert jedoch nur, wenn Radikalausdrücke sind nichtnegativ. Dies ist eine sehr wichtige Bemerkung, auf die wir etwas später zurückkommen werden.

Schauen wir uns zunächst ein paar Beispiele an:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(align)\]

Wie Sie sehen können, nichts Kompliziertes. Lassen Sie uns nun herausfinden, woher die Nicht-Negativitätsanforderung stammt und was passieren wird, wenn wir dagegen verstoßen. :)

Es ist einfach, Wurzeln zu multiplizieren.

Warum müssen Radikalausdrücke nichtnegativ sein?

Natürlich können Sie wie Schullehrer werden und ein Lehrbuch mit einem eleganten Look zitieren:

Das Erfordernis der Nicht-Negativität ist mit unterschiedlichen Definitionen von Wurzeln mit geradem und ungeradem Grad verbunden (bzw. ihre Definitionsbereiche sind ebenfalls unterschiedlich).

Nun, es wurde klarer? Als ich diesen Unsinn in der 8. Klasse gelesen habe, habe ich persönlich so etwas für mich verstanden: „Die Forderung nach Nicht-Negativität ist mit *#&^@(*#@^#)~% verbunden“ – kurz gesagt, ich damals keinen scheiss verstanden. :)

Also werde ich jetzt alles auf normale Weise erklären.

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, woher die obige Multiplikationsformel stammt. Um dies zu tun, möchte ich Sie an eine wichtige Eigenschaft der Wurzel erinnern:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Mit anderen Worten, wir können den Wurzelausdruck sicher mit jeder natürlichen Potenz $k$ potenzieren – in diesem Fall muss der Wurzelindex mit derselben Potenz multipliziert werden. Daher können wir alle Wurzeln leicht auf einen gemeinsamen Indikator reduzieren, wonach wir multiplizieren. Hier kommt die Multiplikationsformel her:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Aber es gibt ein Problem, das die Anwendung all dieser Formeln stark einschränkt. Betrachten Sie diese Nummer:

Nach der gerade gegebenen Formel können wir jeden Grad hinzufügen. Versuchen wir, $k=2$ hinzuzufügen:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Wir haben das Minus genau deshalb entfernt, weil das Quadrat das Minus verbrennt (wie jeder andere gerade Grad). Und nun führen wir die Rücktransformation durch: „Reduzieren“ Sie die beiden in Exponent und Grad. Schließlich kann jede Gleichheit sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gelesen werden:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(align)\]

Doch dann passiert etwas Verrücktes:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Das kann nicht daran liegen, dass $\sqrt(-5) \lt 0$ und $\sqrt(5) \gt 0$. Das bedeutet, dass unsere Formel für gerade Potenzen und negative Zahlen nicht mehr funktioniert. Danach haben wir zwei Möglichkeiten:

1. Gegen die Wand zu kämpfen, um zu behaupten, dass Mathematik eine dumme Wissenschaft ist, wo „es einige Regeln gibt, aber das ist ungenau“;
2. Führen Sie zusätzliche Einschränkungen ein, unter denen die Formel zu 100 % funktioniert.

Bei der ersten Option müssen wir ständig „nicht funktionierende“ Fälle abfangen - das ist schwierig, langwierig und im Allgemeinen fu. Daher bevorzugten Mathematiker die zweite Option. :)

Aber keine Sorge! In der Praxis wirkt sich diese Einschränkung in keiner Weise auf die Berechnungen aus, da alle beschriebenen Probleme nur die Wurzeln ungeraden Grades betreffen und Minuszeichen daraus entfernt werden können.

Deshalb formulieren wir eine weitere Regel, die allgemein für alle Handlungen mit Wurzeln gilt:

Stellen Sie vor dem Multiplizieren der Wurzeln sicher, dass die Wurzelausdrücke nicht negativ sind.

Beispiel. In der Zahl $\sqrt(-5)$ können Sie das Minus unter dem Wurzelzeichen herausnehmen - dann ist alles in Ordnung:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Spüre den Unterschied? Wenn Sie ein Minus unter der Wurzel lassen, verschwindet der radikale Ausdruck, wenn er quadriert wird, und der Mist beginnt. Und wenn Sie zuerst ein Minus herausnehmen, können Sie sogar ein Quadrat erhöhen / entfernen, bis Sie blau im Gesicht sind - die Zahl bleibt negativ. :)

Daher ist die korrekteste und zuverlässigste Art, die Wurzeln zu multiplizieren, wie folgt:

1. Entfernen Sie alle Minuspunkte unter den Radikalen. Minuszeichen stehen nur in den Wurzeln ungerader Vielfachheit - sie können vor die Wurzel gesetzt und ggf. reduziert werden (z. B. wenn es zwei dieser Minuszeichen gibt).
2. Führen Sie die Multiplikation gemäß den oben in der heutigen Lektion besprochenen Regeln durch. Wenn die Indizes der Wurzeln gleich sind, multiplizieren Sie einfach die Wurzelausdrücke. Und wenn sie unterschiedlich sind, verwenden wir die böse Formel \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Wir freuen uns über das Ergebnis und die guten Noten. :)

Und was? Sollen wir üben?

Beispiel 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ quadrat(64)=-4; \end(align)\]

Dies ist die einfachste Option: Die Indikatoren der Wurzeln sind gleich und ungerade, das Problem liegt nur im Minus des zweiten Multiplikators. Wir ertragen dieses Minus-Nafig, wonach alles leicht zu überdenken ist.

Beispiel 2. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ausrichten)\]

Hier würden viele durch die Tatsache verwirrt werden, dass sich die Ausgabe als irrationale Zahl herausstellte. Ja, das kommt vor: Wir konnten die Wurzel nicht ganz loswerden, aber zumindest haben wir den Ausdruck deutlich vereinfacht.

Beispiel 3. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Darauf möchte ich Ihre Aufmerksamkeit lenken. Hier gibt es zwei Punkte:

1. Unter der Wurzel steht keine bestimmte Zahl oder Grad, sondern die Variable $a$. Das ist auf den ersten Blick etwas ungewohnt, aber in der Realität wird man sich beim Lösen mathematischer Probleme am häufigsten mit Variablen auseinandersetzen müssen.
2. Am Ende haben wir es geschafft, Wurzelexponent und Grad im Wurzelausdruck zu „reduzieren“. Das kommt ziemlich oft vor. Und das bedeutet, dass die Berechnungen erheblich vereinfacht werden konnten, wenn Sie die Hauptformel nicht verwenden.

Sie könnten beispielsweise Folgendes tun:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(align)\]

Tatsächlich wurden alle Transformationen nur mit dem zweiten Radikal durchgeführt. Und wenn Sie nicht alle Zwischenschritte im Detail malen, nimmt die Anzahl der Berechnungen am Ende erheblich ab.

Tatsächlich sind wir oben bereits auf eine ähnliche Aufgabe gestoßen, als wir das $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$-Beispiel gelöst haben. Jetzt kann es viel einfacher geschrieben werden:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(align)\]

Nun, wir haben die Multiplikation der Wurzeln herausgefunden. Betrachten Sie nun die umgekehrte Operation: Was tun, wenn sich unter der Wurzel eine Arbeit befindet?

Ich schaute noch einmal auf den Teller ... Und los geht's!

Beginnen wir mit einem einfachen:

Warte eine Minute. dies, was bedeutet, dass wir es so schreiben können:

Ich habs? Hier ist das nächste für dich:

Die Wurzeln der resultierenden Zahlen werden nicht genau gezogen? Keine Sorge, hier sind einige Beispiele:

Was aber, wenn es nicht zwei Multiplikatoren gibt, sondern mehr? Das selbe! Die Wurzelmultiplikationsformel funktioniert mit einer beliebigen Anzahl von Faktoren:

Jetzt völlig unabhängig:

Antworten: Gut erledigt! Stimmen Sie zu, alles ist sehr einfach, die Hauptsache ist, das Einmaleins zu kennen!

Wurzelteilung

Wir haben die Multiplikation der Wurzeln herausgefunden, jetzt gehen wir zur Eigenschaft der Division über.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Formel im Allgemeinen so aussieht:

Und das bedeutet das die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.

Nun, schauen wir uns Beispiele an:

Das ist alles Wissenschaft. Und hier ist ein Beispiel:

Alles ist nicht so glatt wie im ersten Beispiel, aber wie Sie sehen können, gibt es nichts Kompliziertes.

Was ist, wenn der Ausdruck so aussieht:

Sie müssen nur die Formel in umgekehrter Reihenfolge anwenden:

Und hier ist ein Beispiel:

Sie können auch diesen Ausdruck sehen:

Alles ist gleich, nur hier müssen Sie sich daran erinnern, wie Brüche übersetzt werden (wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an und kommen Sie zurück!). Fiel ein? Jetzt entscheiden wir!

Ich bin mir sicher, dass Sie alles, alles gemeistert haben, jetzt versuchen wir, in einem Grad Wurzeln zu schlagen.

Potenzierung

Was passiert, wenn die Quadratwurzel quadriert wird? Es ist ganz einfach, erinnern Sie sich an die Bedeutung der Quadratwurzel einer Zahl - dies ist eine Zahl, deren Quadratwurzel gleich ist.

Wenn wir also eine Zahl quadrieren, deren Quadratwurzel gleich ist, was bekommen wir dann?

Nun, natürlich, !

Schauen wir uns Beispiele an:

Alles ist einfach, oder? Und wenn die Wurzel in einem anderen Grad ist? Nichts Schlimmes!

Halten Sie sich an die gleiche Logik und merken Sie sich die Eigenschaften und möglichen Aktionen mit Kräften.

Lesen Sie die Theorie zum Thema "" und alles wird Ihnen sehr klar werden.

Hier ist zum Beispiel ein Ausdruck:

In diesem Beispiel ist der Grad gerade, aber was ist, wenn er ungerade ist? Wenden Sie erneut die Leistungseigenschaften an und berücksichtigen Sie alles:

Damit scheint alles klar zu sein, aber wie zieht man die Wurzel aus einer Zahl in Grad? Hier ist zum Beispiel das:

Ziemlich einfach, oder? Was ist, wenn der Abschluss größer als zwei ist? Wir folgen der gleichen Logik, indem wir die Eigenschaften von Graden verwenden:

Na, ist alles klar? Dann lösen Sie Ihre eigenen Beispiele:

Und hier sind die Antworten:

Einführung unter dem Zeichen der Wurzel

Was wir mit den Wurzeln einfach nicht gelernt haben! Es bleibt nur die Eingabe der Nummer unter dem Wurzelzeichen zu üben!

Es ist sehr leicht!

Nehmen wir an, wir haben eine Nummer

Was können wir damit machen? Verstecken Sie natürlich das Tripel unter der Wurzel, und denken Sie daran, dass das Tripel die Quadratwurzel von ist!

Warum brauchen wir es? Ja, nur um unsere Fähigkeiten beim Lösen von Beispielen zu erweitern:

Wie gefällt Ihnen diese Eigenschaft von Wurzeln? Macht das Leben viel einfacher? Für mich ist das richtig! Nur Wir müssen bedenken, dass wir unter dem Quadratwurzelzeichen nur positive Zahlen eingeben können.

Probieren Sie dieses Beispiel selbst aus:
Hast du es geschafft? Mal sehen, was Sie bekommen sollten:

Gut erledigt! Sie haben es geschafft, eine Zahl unter dem Wurzelzeichen einzugeben! Kommen wir zu etwas ebenso Wichtigem - überlegen Sie, wie man Zahlen vergleicht, die eine Quadratwurzel enthalten!

Root-Vergleich

Warum sollten wir lernen, Zahlen zu vergleichen, die eine Quadratwurzel enthalten?

Sehr einfach. Oft erhalten wir bei großen und langen Ausdrücken, denen wir in der Prüfung begegnen, eine irrationale Antwort (erinnern Sie sich, was es ist? Wir haben heute bereits darüber gesprochen!).

Wir müssen die erhaltenen Antworten zum Beispiel auf der Koordinatenlinie platzieren, um zu bestimmen, welches Intervall zum Lösen der Gleichung geeignet ist. Und hier entsteht der Haken: Es gibt keinen Taschenrechner in der Prüfung, und wie soll man sich ohne ihn vorstellen, welche Zahl größer und welche kleiner ist? Das ist es!

Bestimmen Sie zum Beispiel, was größer ist: oder?

Sie werden nicht sofort sagen. Nun, lassen Sie uns die parsed-Eigenschaft verwenden, um eine Zahl unter dem Wurzelzeichen hinzuzufügen?

Dann weiterleiten:

Nun, je größer die Zahl unter dem Zeichen der Wurzel, desto größer die Wurzel selbst!

Jene. wenn bedeutet .

Daraus schließen wir fest Und niemand wird uns vom Gegenteil überzeugen!

Aus großen Zahlen Wurzeln ziehen

Zuvor haben wir einen Faktor unter dem Zeichen der Wurzel eingeführt, aber wie kann man ihn entfernen? Sie müssen es nur herausrechnen und extrahieren, was extrahiert wird!

Es war möglich, den anderen Weg zu gehen und in andere Faktoren zu zerlegen:

Nicht schlecht, oder? Jeder dieser Ansätze ist richtig, entscheiden Sie, wie Sie sich wohl fühlen.

Factoring ist sehr nützlich bei der Lösung von nicht standardmäßigen Aufgaben wie dieser:

Wir haben keine Angst, wir handeln! Wir zerlegen jeden Faktor unter der Wurzel in separate Faktoren:

Und jetzt versuchen Sie es selbst (ohne Taschenrechner! Es wird nicht auf der Prüfung stehen):

Ist das das Ende? Wir hören nicht auf halbem Weg auf!

Das ist alles, es ist nicht so beängstigend, oder?

Passiert? Gut gemacht, du hast Recht!

Versuchen Sie nun dieses Beispiel:

Und ein Beispiel ist eine harte Nuss, die es zu knacken gilt, sodass Sie nicht sofort herausfinden können, wie Sie es angehen sollen. Aber wir sind natürlich in den Zähnen.

Fangen wir mit Factoring an, ja? Wir stellen sofort fest, dass Sie eine Zahl teilen können durch (erinnern Sie sich an die Zeichen der Teilbarkeit):

Und jetzt versuchen Sie es selbst (wieder ohne Taschenrechner!):

Na, hat es geklappt? Gut gemacht, du hast recht!

Zusammenfassen

1. Die Quadratwurzel (arithmetische Quadratwurzel) einer nicht negativen Zahl ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist.
   .
2. Wenn wir nur die Quadratwurzel von etwas ziehen, erhalten wir immer ein nicht negatives Ergebnis.
3. Arithmetische Wurzeleigenschaften:
4. Beim Vergleich von Quadratwurzeln muss beachtet werden, dass die Wurzel selbst umso größer ist, je größer die Zahl unter dem Zeichen der Wurzel ist.

Wie gefällt dir die Quadratwurzel? Alles klar?

Wir haben versucht, dir ohne Wasser alles zu erklären, was du in der Klausur über die Quadratwurzel wissen musst.

Jetzt bist du dran. Schreiben Sie uns, ob dieses Thema für Sie schwierig ist oder nicht.

Hast du etwas Neues gelernt oder war alles schon so klar.

Schreib in die Kommentare und viel Glück bei den Prüfungen!

Das Material dieses Artikels sollte als Teil des Themas Transformation irrationaler Ausdrücke betrachtet werden. Hier analysieren wir anhand von Beispielen alle Feinheiten und Nuancen (von denen es viele gibt), die bei der Durchführung von Transformationen auf der Grundlage der Eigenschaften der Wurzeln auftreten.

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Erinnern Sie sich an die Eigenschaften von Wurzeln

Da wir uns mit der Transformation von Ausdrücken unter Verwendung der Eigenschaften der Wurzeln befassen werden, schadet es nicht, sich an die wichtigsten zu erinnern, oder noch besser, sie auf Papier zu schreiben und vor sich zu legen.

Zuerst werden Quadratwurzeln und ihre folgenden Eigenschaften untersucht (a, b, a 1, a 2, ..., a k sind reelle Zahlen):

Und später wird die Idee der Wurzel erweitert, die Definition der Wurzel n-ten Grades eingeführt und solche Eigenschaften berücksichtigt (a, b, a 1, a 2, ..., a k sind reelle Zahlen, m, n, n 1, n 2, ... , n k - natürliche Zahlen):

Konvertieren von Ausdrücken mit Zahlen unter Wurzelzeichen

Wie üblich lernen sie zuerst, mit numerischen Ausdrücken zu arbeiten, und erst danach gehen sie zu Ausdrücken mit Variablen über. Wir werden dasselbe tun und uns zuerst mit der Transformation von irrationalen Ausdrücken befassen, die nur numerische Ausdrücke unter den Zeichen der Wurzeln enthalten, und bereits weiter im nächsten Abschnitt werden wir Variablen unter den Zeichen der Wurzeln einführen.

Wie kann dies verwendet werden, um Ausdrücke zu transformieren? Ganz einfach: Wir können zum Beispiel einen irrationalen Ausdruck durch einen Ausdruck ersetzen oder umgekehrt. Das heißt, wenn der konvertierte Ausdruck einen Ausdruck enthält, der mit dem Ausdruck aus dem linken (rechten) Teil einer der aufgelisteten Eigenschaften der Wurzeln übereinstimmt, kann er durch den entsprechenden Ausdruck aus dem rechten (linken) Teil ersetzt werden. Dies ist die Transformation von Ausdrücken unter Verwendung der Eigenschaften der Wurzeln.

Nehmen wir noch ein paar Beispiele.

Vereinfachen wir den Ausdruck . Die Zahlen 3, 5 und 7 sind positiv, sodass wir die Eigenschaften der Wurzeln sicher anwenden können. Hier können Sie anders vorgehen. Beispielsweise kann eine eigenschaftsbasierte Wurzel als und eine eigenschaftsbasierte Wurzel mit k=3 als dargestellt werden. Bei diesem Ansatz sieht die Lösung wie folgt aus:

Es ginge auch anders, durch Ersetzen durch und dann durch , in diesem Fall sähe die Lösung so aus:

Andere Lösungen sind möglich, zum Beispiel:

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Lassen Sie uns den Ausdruck umwandeln. Wenn wir uns die Liste der Eigenschaften der Wurzeln ansehen, wählen wir daraus die Eigenschaften aus, die wir zum Lösen des Beispiels benötigen, es ist klar, dass zwei davon und hier nützlich sind, die für jedes a gelten. Wir haben:

Alternativ könnte man zunächst Ausdrücke unter Wurzelzeichen transformieren

und wenden Sie dann die Eigenschaften der Wurzeln an

Bis zu diesem Punkt haben wir Ausdrücke konvertiert, die nur Quadratwurzeln enthalten. Es ist Zeit, mit Wurzeln zu arbeiten, die andere Indikatoren haben.

Beispiel.

Irrationalen Ausdruck umwandeln .

Entscheidung.

Nach Eigenschaft der erste Faktor eines gegebenen Produkts kann durch die Zahl −2 ersetzt werden:

Weitergehen. Aufgrund der Eigenschaft kann der zweite Faktor dargestellt werden als, und es schadet nicht, 81 durch die vierfache Dreierpotenz zu ersetzen, da die Zahl 3 in den restlichen Faktoren unter den Zeichen der Wurzeln erscheint:

Es ist ratsam, die Wurzel des Bruchs durch das Verhältnis der Wurzeln der Form zu ersetzen, das weiter transformiert werden kann: . Wir haben

Der resultierende Ausdruck nach Operationen mit Zweien nimmt die Form an, und es bleibt, das Produkt der Wurzeln umzuwandeln.

Um die Produkte der Wurzeln zu transformieren, werden sie normalerweise auf einen Indikator reduziert, für den es ratsam ist, die Indikatoren aller Wurzeln zu nehmen. In unserem Fall ist LCM(12, 6, 12)=12 , und nur die Wurzel muss auf diesen Indikator reduziert werden, da die anderen beiden Wurzeln bereits einen solchen Indikator haben. Die Bewältigung dieser Aufgabe ermöglicht die Gleichheit, die von rechts nach links angewendet wird. So . In Anbetracht dieses Ergebnisses haben wir

Jetzt kann das Produkt der Wurzeln durch die Wurzel des Produkts ersetzt und die restlichen, schon offensichtlichen Transformationen durchgeführt werden:

Lassen Sie uns eine kurze Version der Lösung erstellen:

Antworten:

.

Unabhängig davon betonen wir, dass zur Anwendung der Eigenschaften der Wurzeln die Einschränkungen berücksichtigt werden müssen, die den Zahlen unter den Vorzeichen der Wurzeln auferlegt sind (a≥0 usw.). Das Ignorieren kann zu falschen Ergebnissen führen. Zum Beispiel wissen wir, dass die Eigenschaft für nicht-negative a gilt. Darauf basierend können wir zum Beispiel sicher von bis gehen, da 8 eine positive Zahl ist. Aber wenn wir eine sinnvolle Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, zum Beispiel , und sie basierend auf der obigen Eigenschaft durch ersetzen, dann werden wir tatsächlich −2 durch 2 ersetzen. In der Tat, ein . Das heißt, für negatives a kann die Gleichheit falsch sein, genauso wie andere Eigenschaften der Wurzeln falsch sein können, ohne die für sie angegebenen Bedingungen zu berücksichtigen.

Aber was im vorigen Absatz gesagt wurde, bedeutet keineswegs, dass Ausdrücke mit negativen Zahlen unter den Wurzelzeichen nicht mit den Eigenschaften der Wurzeln transformiert werden können. Sie müssen nur vorher „vorbereitet“ werden, indem man die Rechenregeln mit Zahlen anwendet oder die Definition einer Wurzel mit ungeradem Grad aus einer negativen Zahl verwendet, was der Gleichheit entspricht, wobei −a eine negative Zahl ist (während a positiv ist) . Zum Beispiel kann es nicht sofort durch ersetzt werden, da −2 und −3 negative Zahlen sind, aber es erlaubt uns, von der Wurzel zu zu wechseln und dann die Eigenschaft der Wurzel aus dem Produkt anzuwenden: . Und in einem der vorherigen Beispiele war es notwendig, nicht so, sondern so von der Wurzel zur Wurzel des achtzehnten Grades zu wechseln .

Um Ausdrücke mit den Eigenschaften der Wurzeln umzuwandeln, müssen Sie also

• Wählen Sie die entsprechende Eigenschaft aus der Liste aus,
• Stellen Sie sicher, dass die Zahlen unter der Wurzel die Bedingungen für die ausgewählte Eigenschaft erfüllen (andernfalls müssen Sie vorläufige Transformationen durchführen).
• und die vorgesehene Transformation durchführen.

Konvertieren von Ausdrücken mit Variablen unter Wurzelzeichen

Um irrationale Ausdrücke zu transformieren, die nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen unter dem Vorzeichen der Wurzel enthalten, müssen die im ersten Absatz dieses Artikels aufgeführten Eigenschaften der Wurzeln sorgfältig angewendet werden. Dies liegt zum größten Teil an den Bedingungen, die von den in den Formeln enthaltenen Zahlen erfüllt werden müssen. Beispielsweise kann der Ausdruck anhand der Formel nur für diejenigen x-Werte durch einen Ausdruck ersetzt werden, die die Bedingungen x≥0 und x+1≥0 erfüllen, da die angegebene Formel für a≥0 und b≥ gesetzt ist 0 .

Was ist die Gefahr, diese Bedingungen zu ignorieren? Die Antwort auf diese Frage wird durch das folgende Beispiel deutlich. Nehmen wir an, wir müssen den Wert eines Ausdrucks berechnen, wenn x=−2 . Wenn wir die Variable x sofort durch die Zahl −2 ersetzen, erhalten wir den benötigten Wert . Und jetzt stellen wir uns vor, dass wir aufgrund einiger Überlegungen den gegebenen Ausdruck in die Form umgewandelt haben und uns erst danach entschieden haben, den Wert zu berechnen. Wir ersetzen x durch die Zahl −2 und erhalten den Ausdruck , was keinen Sinn macht.

Mal sehen, was mit dem Bereich gültiger Werte (ODV) der x-Variablen passiert, wenn wir uns von Ausdruck zu Ausdruck bewegen. Wir haben die ODZ nicht zufällig erwähnt, da dies ein seriöses Werkzeug ist, um die Zulässigkeit der durchgeführten Transformationen zu kontrollieren, und eine Änderung der ODZ nach der Transformation des Ausdrucks zumindest alarmieren sollte. Es ist nicht schwierig, die ODZ für diese Ausdrücke zu finden. Für den Ausdruck wird die ODZ aus der Ungleichung x (x+1)≥0 bestimmt, ihre Lösung ergibt die Zahlenmenge (−∞, −1]∪∪∪)