Gewöhnliche Differentialgleichung eine Gleichung genannt, die eine unabhängige Variable, eine unbekannte Funktion dieser Variablen und ihre Ableitungen (oder Differentiale) verschiedener Ordnungen verbindet.
Die Ordnung der Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten darin enthaltenen Ableitung.
Neben gewöhnlichen werden auch partielle Differentialgleichungen untersucht. Dies sind Gleichungen, die unabhängige Variablen, eine unbekannte Funktion dieser Variablen und ihre partiellen Ableitungen in Bezug auf dieselben Variablen in Beziehung setzen. Aber wir werden nur überlegen gewöhnliche Differentialgleichungen und deshalb werden wir das Wort „gewöhnlich“ der Kürze halber weglassen.
Beispiele für Differentialgleichungen:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Gleichung (1) ist von vierter Ordnung, Gleichung (2) ist von dritter Ordnung, Gleichungen (3) und (4) sind von zweiter Ordnung, Gleichung (5) ist von erster Ordnung.
Differentialgleichung n order muss nicht explizit eine Funktion enthalten, alle ihre Ableitungen von first bis n Ordnung und eine unabhängige Variable. Es darf nicht ausdrücklich Ableitungen einiger Ordnungen, einer Funktion oder einer unabhängigen Variablen enthalten.
Beispielsweise gibt es in Gleichung (1) offensichtlich keine Ableitungen dritter und zweiter Ordnung sowie Funktionen; in Gleichung (2) - Ableitung zweiter Ordnung und Funktion; in Gleichung (4) - unabhängige Variable; in Gleichung (5) - Funktionen. Nur Gleichung (3) enthält explizit alle Ableitungen, die Funktion und die unabhängige Variable.
Durch Lösen der Differentialgleichung jede Funktion wird aufgerufen y = f(x), indem wir which in die Gleichung einsetzen, wird es zu einer Identität.
Der Prozess, eine Lösung für eine Differentialgleichung zu finden, wird als sein bezeichnet Integration.
Beispiel 1 Finden Sie eine Lösung für die Differentialgleichung.
Lösung. Wir schreiben diese Gleichung in der Form . Die Lösung besteht darin, die Funktion durch ihre Ableitung zu finden. Die Ursprungsfunktion ist, wie aus der Integralrechnung bekannt, die Stammfunktion für, d.h.
Das ist es Lösung der gegebenen Differentialgleichung . sich darin verändern C, werden wir verschiedene Lösungen erhalten. Wir haben herausgefunden, dass es unendlich viele Lösungen für eine Differentialgleichung erster Ordnung gibt.
Allgemeine Lösung der Differentialgleichung n Ordnung ist ihre Lösung, die explizit in Bezug auf die unbekannte Funktion ausgedrückt wird und enthält n unabhängige willkürliche Konstanten, d.h.
Die Lösung der Differentialgleichung in Beispiel 1 ist allgemein.
Partielle Lösung der Differentialgleichung seine Lösung heißt, bei der willkürlichen Konstanten bestimmte Zahlenwerte zugeordnet werden.
Beispiel 2 Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung und eine spezielle Lösung für 
.
Lösung. Wir integrieren beide Teile der Gleichung so oft, dass die Ordnung der Differentialgleichung gleich ist.
,
.
Als Ergebnis haben wir die allgemeine Lösung -
gegebene Differentialgleichung dritter Ordnung.
Lassen Sie uns nun eine bestimmte Lösung unter den angegebenen Bedingungen finden. Dazu ersetzen wir ihre Werte anstelle von willkürlichen Koeffizienten und erhalten
.
Ist zusätzlich zur Differentialgleichung die Anfangsbedingung in der Form gegeben, so heißt ein solches Problem Cauchy-Problem . Die Werte und werden in die allgemeine Lösung der Gleichung eingesetzt und der Wert einer beliebigen Konstante wird gefunden C, und dann eine bestimmte Lösung der Gleichung für den gefundenen Wert C. Dies ist die Lösung des Cauchy-Problems.
Beispiel 3 Lösen Sie das Cauchy-Problem für die Differentialgleichung aus Beispiel 1 unter der Bedingung .
Lösung. Wir setzen die Werte aus der Anfangsbedingung in die allgemeine Lösung ein j = 3, x= 1. Wir bekommen
Wir schreiben die Lösung des Cauchy-Problems für die gegebene Differentialgleichung erster Ordnung an:
Das Lösen von Differentialgleichungen, selbst der einfachsten, erfordert gute Fähigkeiten im Integrieren und Ableiten, einschließlich komplexer Funktionen. Dies ist im folgenden Beispiel zu sehen.
Beispiel 4 Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
Lösung. Die Gleichung ist so geschrieben, dass beide Seiten sofort integriert werden können.
.
Wir wenden die Integrationsmethode an, indem wir die Variable ändern (Substitution). Dann lassen Sie .
Erforderlich zu nehmen dx und jetzt - Achtung - machen wir es nach den Regeln der Differentiation einer komplexen Funktion, da x und es gibt eine komplexe Funktion ("Apfel" - Extrahieren der Quadratwurzel oder, was dasselbe ist - Potenzieren von "einer Sekunde" und "Hackfleisch" - der Ausdruck selbst unter der Wurzel):
Wir finden das Integral:
Zurück zur Variablen x, wir bekommen:
.
Dies ist die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ersten Grades.
Zum Lösen von Differentialgleichungen werden nicht nur Kenntnisse aus den vorangegangenen Abschnitten der höheren Mathematik benötigt, sondern auch Kenntnisse aus der Grund- bzw. Schulmathematik. Wie bereits erwähnt, darf es in einer Differentialgleichung beliebiger Ordnung keine unabhängige Variable, also eine Variable, geben x. Das nicht vergessene Wissen über Proportionen (aber jeder hat es gern) von der Schulbank hilft, dieses Problem zu lösen. Dies ist das nächste Beispiel.
Erinnern Sie sich an das Problem, mit dem wir konfrontiert waren, als wir bestimmte Integrale gefunden haben:
oder dy = f(x)dx. Ihre Lösung:
und es reduziert sich auf die Berechnung eines unbestimmten Integrals. In der Praxis ist eine schwierigere Aufgabe häufiger: eine Funktion zu finden j, wenn bekannt ist, dass sie eine Relation der Form erfüllt
Diese Beziehung bezieht sich auf die unabhängige Variable x, unbekannte Funktion j und seine Derivate bis zur Bestellung n inklusive, werden genannt .
Eine Differentialgleichung enthält eine Funktion unter dem Vorzeichen von Ableitungen (oder Differentialen) der einen oder anderen Ordnung. Die höchste Ordnung heißt Ordnung (9.1) .
Differentialgleichung:
- erste Bestellung
zweite Bestellung,
- fünfte Ordnung usw.
Eine Funktion, die eine gegebene Differentialgleichung erfüllt, heißt ihre Lösung , oder integral . Es zu lösen bedeutet, alle seine Lösungen zu finden. Wenn für die gewünschte Funktion j gelungen ist, eine Formel zu erhalten, die alle Lösungen angibt, dann sagen wir, dass wir ihre allgemeine Lösung gefunden haben , oder allgemeines Integral .
Gemeinsame Entscheidung
enthält n beliebige Konstanten 
und sieht aus wie
Wenn eine Beziehung erhalten wird, die sich bezieht x, y und n beliebige Konstanten, in einer Form, die in Bezug auf nicht zulässig ist j -
dann heißt eine solche Beziehung allgemeines Integral von Gleichung (9.1).
Cauchy-Problem
Jede spezifische Lösung, d. h. jede spezifische Funktion, die eine gegebene Differentialgleichung erfüllt und nicht von beliebigen Konstanten abhängt, wird als spezielle Lösung bezeichnet , oder privates Integral. Um bestimmte Lösungen (Integrale) aus allgemeinen zu erhalten, müssen den Konstanten bestimmte Zahlenwerte zugeordnet werden.
Der Graph einer bestimmten Lösung wird Integralkurve genannt. Die allgemeine Lösung, die alle speziellen Lösungen enthält, ist eine Familie von Integralkurven. Für eine Gleichung erster Ordnung hängt diese Familie von einer willkürlichen Konstante ab; für die Gleichung n te Bestellung - von n beliebige Konstanten.
Das Cauchy-Problem besteht darin, eine bestimmte Lösung für die Gleichung zu finden n Ordnung, befriedigend n Anfangsbedingungen:
die n Konstanten с 1 , с 2 ,..., c n bestimmen.
Differentialgleichungen 1. Ordnung
Für eine unaufgelöste nach der Ableitung hat die Differentialgleichung 1. Ordnung die Form
oder für zulässig relativ
Beispiel 3.46. Finde eine allgemeine Lösung der Gleichung
Lösung. Integrieren, bekommen wir
wobei C eine beliebige Konstante ist. Geben wir C bestimmte Zahlenwerte, so erhalten wir bestimmte Lösungen, z. B.
Beispiel 3.47. Betrachten Sie einen steigenden Geldbetrag, der auf der Bank eingezahlt wird, vorbehaltlich der Ansammlung von 100 r Zinseszins pro Jahr. Sei Yo der anfängliche Geldbetrag und Yx nach Ablauf x Jahre. Wenn die Zinsen einmal im Jahr berechnet werden, erhalten wir
wobei x = 0, 1, 2, 3, .... Wenn die Zinsen zweimal im Jahr berechnet werden, erhalten wir
wobei x = 0, 1/2, 1, 3/2, .... Bei der Zinsberechnung n einmal im Jahr u wenn x nimmt nacheinander die Werte 0, 1/n, 2/n, 3/n, ... an, dann
Bezeichne 1/n = h , dann sieht die vorherige Gleichheit so aus:
Mit unbegrenzter Vergrößerung n(bei 
) kommen wir im Grenzfall auf den Vorgang der Geldmengenvermehrung mit laufender Verzinsung:
So kann man sehen, dass mit einer kontinuierlichen Änderung x Das Gesetz der Veränderung der Geldmenge wird durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung ausgedrückt. Wobei Y x eine unbekannte Funktion ist, x- unabhängige Variable, r- konstant. Wir lösen diese Gleichung, dazu schreiben wir sie wie folgt um:
wo 
, oder 
, wobei P für e C steht.
Aus den Anfangsbedingungen Y(0) = Yo finden wir P: Yo = Pe o , woher Yo = P. Daher sieht die Lösung so aus:
Betrachten Sie das zweite wirtschaftliche Problem. Auch makroökonomische Modelle werden durch lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung beschrieben, die die Veränderung des Einkommens bzw. Outputs Y als Funktion der Zeit beschreiben.
Beispiel 3.48. Das Volkseinkommen Y steige proportional zu seiner Größe:
und sei gesagt, das Defizit der Staatsausgaben ist mit einem Proportionalitätskoeffizienten direkt proportional zum Einkommen Y q. Das Ausgabendefizit führt zu einem Anstieg der Staatsverschuldung D:
Anfangsbedingungen Y = Yo und D = Do bei t = 0. Aus der ersten Gleichung Y= Yoe kt . Durch Einsetzen von Y erhalten wir dD/dt = qYoe kt . Die allgemeine Lösung hat die Form
D = (q/ k) Yoe kt +С, wobei С = const, das aus den Anfangsbedingungen bestimmt wird. Durch Einsetzen der Anfangsbedingungen erhalten wir Do = (q/k)Yo + C. Also schließlich
D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),
dies zeigt, dass die Staatsverschuldung mit der gleichen relativen Rate zunimmt k, das ist das Volkseinkommen.
Betrachten Sie die einfachsten Differentialgleichungen n Ordnung, dies sind Gleichungen der Form
Seine allgemeine Lösung kann mit erhalten werden n Zeiten der Integration.
Beispiel 3.49. Betrachten Sie das Beispiel y """ = cos x.
Lösung. Integrieren, finden wir
Die allgemeine Lösung hat die Form
Lineare Differentialgleichungen
In der Wirtschaft sind sie von großem Nutzen, betrachten Sie die Lösung solcher Gleichungen. Wenn (9.1) die Form hat:
dann heißt es linear, wobei po(x), p1(x),..., pn(x), f(x) gegebene Funktionen sind. Ist f(x) = 0, so heißt (9.2) homogen, sonst inhomogen. Die allgemeine Lösung von Gleichung (9.2) ist gleich der Summe jeder ihrer speziellen Lösungen y(x) und die dazu korrespondierende allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
Wenn die Koeffizienten p o (x), p 1 (x),..., p n (x) Konstanten sind, dann gilt (9.2)
(9.4) heißt lineare Differentialgleichung mit konstanten Ordnungskoeffizienten n .
Für (9.4) hat sie die Form:
Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit p o = 1 setzen und (9.5) in die Form schreiben
Wir suchen eine Lösung (9.6) in der Form y = e kx , wobei k eine Konstante ist. Wir haben: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Setzen Sie die erhaltenen Ausdrücke in (9.6) ein, wir erhalten:
(9.7) ist eine algebraische Gleichung, ihre Unbekannte ist k, heißt es charakteristisch. Die charakteristische Gleichung hat Grad n und n Wurzeln, unter denen es sowohl mehrere als auch komplexe geben kann. Seien dann k 1 , k 2 ,..., k n reell und verschieden 
sind besondere Lösungen (9.7), während die allgemeinen
Betrachten Sie eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
Seine charakteristische Gleichung hat die Form
(9.9)
seine Diskriminante D = p 2 - 4q, je nach Vorzeichen von D sind drei Fälle möglich.
1. Wenn D > 0, dann sind die Nullstellen k 1 und k 2 (9.9) reell und verschieden, und die allgemeine Lösung hat die Form:
Lösung. Charakteristische Gleichung: k 2 + 9 = 0, womit k = ± 3i, a = 0, b = 3, die allgemeine Lösung ist:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung werden verwendet, um ein netzartiges Wirtschaftsmodell mit Warenvorräten zu untersuchen, bei dem die Änderungsrate des Preises P von der Größe des Vorrats abhängt (siehe Abschnitt 10). Wenn Angebot und Nachfrage lineare Funktionen des Preises sind, d.h.
a - ist eine Konstante, die die Reaktionsgeschwindigkeit bestimmt, dann wird der Prozess der Preisänderung durch eine Differentialgleichung beschrieben:
Für eine bestimmte Lösung können Sie eine Konstante nehmen
was die Bedeutung des Gleichgewichtspreises hat. Abweichung 
erfüllt die homogene Gleichung
(9.10)
Die charakteristische Gleichung lautet wie folgt:
Im Fall ist der Term positiv. Bezeichnen 
. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung k 1,2 = ± i w, also hat die allgemeine Lösung (9.10) die Form:
wo C und beliebige Konstanten, sie werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt. Wir haben das Gesetz der Preisänderung in der Zeit erhalten:
Entweder bereits bezüglich der Ableitung gelöst, oder sie können bezüglich der Ableitung gelöst werden 
.
Gemeinsame Entscheidung Differentialgleichung Geben Sie das Intervall ein X, die gegeben ist, kann gefunden werden, indem das Integral beider Seiten dieser Gleichheit gebildet wird.
Erhalten 
.
Betrachten wir die Eigenschaften des unbestimmten Integrals, so finden wir die gesuchte allgemeine Lösung:
y = F(x) + C,
wo F(x)- eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) zwischen X, a AUS ist eine beliebige Konstante.
Bitte beachten Sie, dass bei den meisten Aufgaben das Intervall X nicht angeben. Das bedeutet, dass eine Lösung für alle gefunden werden muss. x, wofür und die gewünschte Funktion j, und die ursprüngliche Gleichung ergibt Sinn.
Wenn Sie eine bestimmte Lösung einer Differentialgleichung berechnen müssen, die die Anfangsbedingung erfüllt y(x0) = y0, dann nach Berechnung des allgemeinen Integrals y = F(x) + C, muss noch der Wert der Konstante bestimmt werden C=C0 unter Verwendung der Anfangsbedingung. Das heißt, eine Konstante C=C0 aus der Gleichung bestimmt F(x 0) + C = y 0, und die gewünschte spezielle Lösung der Differentialgleichung nimmt die Form an:
y = F(x) + C0.
Betrachten Sie ein Beispiel:
Finde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung, überprüfe die Korrektheit des Ergebnisses. Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung dieser Gleichung finden, die die Anfangsbedingung erfüllen würde.
Lösung:
Nachdem wir die gegebene Differentialgleichung integriert haben, erhalten wir:
.
Wir bilden dieses Integral nach der Methode der partiellen Integration:
Dass., 
ist eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
Lassen Sie uns überprüfen, ob das Ergebnis korrekt ist. Dazu setzen wir die gefundene Lösung in die gegebene Gleichung ein:
.
Das heißt, bei 
die ursprüngliche Gleichung wird zu einer Identität:
daher wurde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung korrekt bestimmt.
Die gefundene Lösung ist jeweils die allgemeine Lösung der Differentialgleichung gültig Argumentwerte x.
Es bleibt noch eine bestimmte Lösung der ODE zu berechnen, die die Anfangsbedingung erfüllen würde. Mit anderen Worten, es ist notwendig, den Wert der Konstante zu berechnen AUS, bei der die Gleichheit gilt:
.
.
Dann Auswechseln C = 2 in die allgemeine Lösung der ODE erhalten wir eine spezielle Lösung der Differentialgleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt:
.
Gewöhnliche Differentialgleichung 
kann in Bezug auf die Ableitung gelöst werden, indem die 2 Teile der Gleichung durch dividiert werden f(x). Diese Transformation ist äquivalent, wenn f(x) geht bei keinem auf null x aus dem Integrationsintervall der Differentialgleichung X.
Situationen sind wahrscheinlich, wenn für einige Werte des Arguments x ∈ X Funktionen f(x) und g(x) gleichzeitig auf Null drehen. Für ähnliche Werte x die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist eine beliebige Funktion j, die in ihnen definiert ist, weil .
Wenn für einige Werte des Arguments x ∈ X die Bedingung ist erfüllt, was bedeutet, dass die ODE in diesem Fall keine Lösungen hat.
Für alle anderen x aus Intervall X die allgemeine Lösung der Differentialgleichung wird aus der transformierten Gleichung bestimmt.
Schauen wir uns Beispiele an:
Beispiel 1
Lassen Sie uns die allgemeine Lösung der ODE finden: 
.
Lösung.
Aus den Eigenschaften der grundlegenden Elementarfunktionen geht hervor, dass die Funktion des natürlichen Logarithmus für nicht negative Werte des Arguments definiert ist, daher der Definitionsbereich des Ausdrucks log(x+3) es gibt ein intervall x > -3 . Daher ist die gegebene Differentialgleichung sinnvoll für x > -3 . Mit diesen Werten des Arguments wird der Ausdruck x + 3 verschwindet nicht, also kann man die ODE nach der Ableitung lösen, indem man die 2 Teile durch dividiert x + 3.
Wir bekommen 
.
Als nächstes integrieren wir die resultierende Differenzialgleichung, gelöst nach der Ableitung: 
. Um dieses Integral zu bilden, verwenden wir die Methode der Subsummierung unter dem Vorzeichen des Differentials.
6.1. GRUNDLEGENDE KONZEPTE UND DEFINITIONEN
Bei der Lösung verschiedener Probleme in Mathematik und Physik, Biologie und Medizin ist es oft nicht möglich, sofort eine funktionale Abhängigkeit in Form einer Formel herzustellen, die die Variablen verbindet, die den untersuchten Prozess beschreiben. Üblicherweise muss man Gleichungen verwenden, die neben der unabhängigen Variablen und der unbekannten Funktion auch deren Ableitungen enthalten.
Definition. Eine Gleichung, die eine unabhängige Variable, eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen verschiedener Ordnungen in Beziehung setzt, wird aufgerufen Differential.
Die unbekannte Funktion wird normalerweise bezeichnet y(x) oder einfach y, und seine Derivate sind ja", ja" usw.
Auch andere Schreibweisen sind möglich, zum Beispiel: if j= x(t), dann x"(t), x""(t) sind seine Derivate, und t ist eine unabhängige Variable.
Definition. Wenn die Funktion von einer Variablen abhängt, heißt die Differentialgleichung gewöhnlich. Generelle Form gewöhnliche Differentialgleichung:
oder
Funktionen F und f mag einige Argumente nicht enthalten, aber damit die Gleichungen differentiell sind, ist das Vorhandensein einer Ableitung wesentlich.
Definition.Die Ordnung der Differentialgleichung ist die Ordnung der höchsten darin enthaltenen Ableitung.
Zum Beispiel, x 2 j"- j= 0, y" + Sünde x= 0 sind Gleichungen erster Ordnung, und ja"+ 2 ja"+ 5 j= x ist eine Gleichung zweiter Ordnung.
Beim Lösen von Differentialgleichungen wird die Integrationsoperation verwendet, die mit dem Auftreten einer beliebigen Konstante verbunden ist. Wenn die Integrationsaktion angewendet wird n mal, dann wird offensichtlich die Lösung enthalten sein n beliebige Konstanten.
6.2. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG
Generelle Form Differentialgleichung erster Ordnung wird durch den Ausdruck definiert
Die Gleichung darf nicht explizit enthalten x und y, enthält aber notwendigerweise y".
Wenn die Gleichung geschrieben werden kann als
dann erhalten wir eine bezüglich der Ableitung gelöste Differentialgleichung erster Ordnung.
Definition. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung erster Ordnung (6.3) (oder (6.4)) ist die Lösungsmenge 
, wo AUS ist eine beliebige Konstante.
Der Graph zum Lösen einer Differentialgleichung wird aufgerufen integrale Kurve.
Angabe einer beliebigen Konstante AUS unterschiedlichen Werten ist es möglich, besondere Lösungen zu erhalten. Auf der Oberfläche xOy die allgemeine Lösung ist eine Familie von Integralkurven, die jeder speziellen Lösung entsprechen.
Wenn Sie einen Punkt setzen A(x0, y0), die die Integralkurve durchlaufen muss, dann in der Regel aus der Menge der Funktionen 
man kann herausgreifen - eine bestimmte Lösung.
Definition.Private Entscheidung einer Differentialgleichung ist ihre Lösung, die keine beliebigen Konstanten enthält.
Wenn ein 
eine allgemeine Lösung ist, dann aus der Bedingung
Sie können eine dauerhafte finden AUS. Die Bedingung wird aufgerufen ausgangsbedingung.
Das Problem, eine bestimmte Lösung für eine Differentialgleichung (6.3) oder (6.4) zu finden, die die Anfangsbedingung erfüllt 
bei 
genannt das Cauchy-Problem. Hat dieses Problem immer eine Lösung? Die Antwort ist im folgenden Satz enthalten.
Satz von Cauchy(Existenzsatz und Eindeutigkeit der Lösung). Setzen Sie die Differentialgleichung ein ja"= f(x,y) Funktion f(x,y) und sie
partielle Ableitung 
definiert und kontinuierlich in einigen
Bereiche D, einen Punkt enthalten 
Dann in der Gegend D existiert
die einzige Lösung der Gleichung, die die Anfangsbedingung erfüllt 
bei 
Der Satz von Cauchy besagt, dass es unter bestimmten Bedingungen eine eindeutige Integralkurve gibt j= f(x), durch einen Punkt gehen 
Punkte, an denen die Bedingungen des Theorems nicht erfüllt sind
Katzen werden gerufen Besondere. Brüche an diesen Stellen f(x, y) bzw.
Entweder gehen mehrere Integralkurven durch einen singulären Punkt oder keine.
Definition. Wenn die Lösung (6.3), (6.4) in der Form gefunden wird f(x, y, c)= 0 bezüglich y nicht erlaubt, dann wird aufgerufen gemeinsames Integral Differentialgleichung.
Der Satz von Cauchy garantiert nur, dass eine Lösung existiert. Da es kein einheitliches Lösungsverfahren gibt, betrachten wir nur einige Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung, die integrierbar sind Quadrate.
Definition. Die Differentialgleichung wird aufgerufen integrierbar in Quadraturen, wenn die Suche nach ihrer Lösung auf die Integration von Funktionen reduziert wird.
6.2.1. Differentialgleichungen erster Ordnung mit trennbaren Variablen
Definition. Eine Differentialgleichung erster Ordnung heißt Gleichung mit trennbare Variablen,
Die rechte Seite von Gleichung (6.5) ist das Produkt zweier Funktionen, die jeweils nur von einer Variablen abhängen.
Zum Beispiel die Gleichung 
ist eine Gleichung mit Trennung
Variablen übergeben 
und die Gleichung 
kann nicht in der Form (6.5) dargestellt werden.
Angesichts dessen 
, schreiben wir (6.5) um als 
Aus dieser Gleichung erhalten wir eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen, bei der die Differentiale Funktionen enthalten, die nur von der entsprechenden Variablen abhängen:
Term für Term integrierend, haben wir
wo C= C 2 - C 1 ist eine willkürliche Konstante. Ausdruck (6.6) ist das allgemeine Integral von Gleichung (6.5).
Dividiert man beide Teile von Gleichung (6.5) durch , können wir die Lösungen verlieren, für die 
In der Tat, wenn 
bei 
dann 
ist offensichtlich eine Lösung von Gleichung (6.5).
Beispiel 1 Finden Sie eine Lösung für die zufriedenstellende Gleichung
Bedingung: j= 6 bei x= 2 (y(2) = 6).
Lösung. Lassen Sie uns ersetzen bei" denn dann 
. Multiplizieren Sie beide Seiten mit
dx, denn in der weiteren Integration ist ein Verlassen unmöglich dx im Nenner:
und dividiert dann beide Teile durch 
Wir bekommen die Gleichung,
die integriert werden können. Wir integrieren: 
Dann 
; Potenzierend erhalten wir y = C . (x + 1) - ob-
Lösung.
Basierend auf den Anfangsdaten bestimmen wir eine beliebige Konstante, indem wir sie in die allgemeine Lösung einsetzen
Endlich bekommen wir j= 2(x + 1) ist eine spezielle Lösung. Betrachten Sie einige weitere Beispiele für das Lösen von Gleichungen mit trennbaren Variablen.
Beispiel 2 Finden Sie eine Lösung der Gleichung 
Lösung. Angesichts dessen 
, wir bekommen 
.
Wenn wir beide Seiten der Gleichung integrieren, haben wir
wo 
Beispiel 3 Finden Sie eine Lösung der Gleichung Lösung. Wir dividieren beide Teile der Gleichung durch diejenigen Faktoren, die von einer Variablen abhängen, die nicht mit der Variablen unter dem Differentialzeichen zusammenfällt, also durch 
und integrieren. Dann bekommen wir
und endlich,
Beispiel 4 Finden Sie eine Lösung der Gleichung
Lösung. Wissen, was wir bekommen. Abschnitt-
lim Variablen. Dann 
Integrieren, bekommen wir
Kommentar. In den Beispielen 1 und 2 die gewünschte Funktion j explizit ausgedrückt (allgemeine Lösung). In den Beispielen 3 und 4 - implizit (allgemeines Integral). Die Form der Entscheidung wird künftig nicht mehr festgelegt.
Beispiel 5 Finden Sie eine Lösung der Gleichung Lösung.
Beispiel 6 Finden Sie eine Lösung der Gleichung 
befriedigend
Bedingung Ihr)= 1.
Lösung. Wir schreiben die Gleichung in die Form 
Beide Seiten der Gleichung multiplizieren mit dx und weiter, wir bekommen
Durch Integrieren beider Seiten der Gleichung (das Integral auf der rechten Seite wird in Teilen gebildet) erhalten wir 
Aber nach Bedingung j= 1 bei x= e. Dann
Ersetzen Sie die gefundenen Werte AUS in eine allgemeine Lösung:
Der resultierende Ausdruck wird als spezielle Lösung der Differentialgleichung bezeichnet.
6.2.2. Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung
Definition. Die Differentialgleichung erster Ordnung wird aufgerufen homogen wenn es dargestellt werden kann
Wir stellen einen Algorithmus zum Lösen einer homogenen Gleichung vor.
1. Stattdessen j Einführung einer neuen Funktion Then 
und daher 
2. In Bezug auf die Funktion u Gleichung (6.7) nimmt die Form an
d.h. die Ersetzung reduziert die homogene Gleichung auf eine Gleichung mit trennbaren Variablen.
3. Beim Lösen von Gleichung (6.8) finden wir zuerst u und dann j= ux.
Beispiel 1 löse die Gleichung 
Lösung. Wir schreiben die Gleichung in die Form
Wir machen einen Ersatz: 
Dann 
Lassen Sie uns ersetzen 
Mit dx multiplizieren: 
Teilen durch x und weiter 
dann
Wenn wir beide Teile der Gleichung in Bezug auf die entsprechenden Variablen integrieren, haben wir
oder wenn wir zu den alten Variablen zurückkehren, erhalten wir endlich
Beispiel 2löse die Gleichung 
Lösung.Lassen 
dann
Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch x2: 
Lassen Sie uns die Klammern öffnen und die Begriffe neu anordnen:
Wenn wir zu den alten Variablen übergehen, kommen wir zum Endergebnis:
Beispiel 3Finden Sie eine Lösung der Gleichung 
unter der Bedingung
Lösung.Durchführen eines Standardaustauschs 
wir bekommen
oder 
oder
Die spezielle Lösung hat also die Form 
Beispiel 4 Finden Sie eine Lösung der Gleichung
Lösung.
Beispiel 5Finden Sie eine Lösung der Gleichung 
Lösung.
Selbstständige Arbeit
Finden Sie eine Lösung für Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen (1-9).
Finden Sie eine Lösung für homogene Differentialgleichungen (9-18).
6.2.3. Einige Anwendungen von Differentialgleichungen erster Ordnung
Das Problem des radioaktiven Zerfalls
Die Zerfallsrate von Ra (Radium) zu jedem Zeitpunkt ist proportional zu seiner verfügbaren Masse. Finden Sie das Gesetz des radioaktiven Zerfalls von Ra, wenn bekannt ist, dass es im Anfangsmoment Ra gab und die Halbwertszeit von Ra 1590 Jahre beträgt.
Lösung. Sei im Moment die Masse Ra x= x(t) g, und 
Dann ist die Zerfallsrate von Ra
Je nach Aufgabe 
wo k
Wenn wir die Variablen in der letzten Gleichung trennen und integrieren, erhalten wir
wo 
Zum Bestimmen C Wir verwenden die Anfangsbedingung: 
.
Dann 
und deshalb, 
Verhältnismäßigkeitsfaktor k ermittelt aus der Zusatzbedingung:
Wir haben
Von hier 
und die gewünschte Formel
Das Problem der Vermehrungsrate von Bakterien
Die Vermehrungsrate von Bakterien ist proportional zu ihrer Anzahl. Im ersten Moment waren es 100 Bakterien. Innerhalb von 3 Stunden verdoppelte sich ihre Zahl. Finden Sie die Abhängigkeit der Bakterienzahl von der Zeit. Wie oft wird die Anzahl der Bakterien innerhalb von 9 Stunden zunehmen?
Lösung. Lassen x- die Anzahl der Bakterien im Moment t. Dann, je nach Bedingung, 
wo k- Verhältnismäßigkeitskoeffizient.
Von hier 
Aus der Bedingung ist bekannt, dass 
. Meint,
Aus der Zusatzbedingung 
. Dann
Benötigte Funktion: 
Also bei t= 9 x= 800, d. h. innerhalb von 9 Stunden hat sich die Bakterienzahl um das 8-fache erhöht.
Die Aufgabe, die Menge des Enzyms zu erhöhen
In der Kultur der Bierhefe ist die Wachstumsrate des aktiven Enzyms proportional zu seiner anfänglichen Menge. x. Anfangsmenge an Enzym a innerhalb einer Stunde verdoppelt. Abhängigkeit finden
x(t).
Lösung. Durch die Bedingung hat die Differentialgleichung des Prozesses die Form 
von hier
Aber 
. Meint, C= a und dann 
Das ist auch bekannt 
Folglich,
6.3. DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ZWEITER ORDNUNG
6.3.1. Grundlegendes Konzept
Definition.Differentialgleichung zweiter Ordnung heißt die Beziehung, die die unabhängige Variable, die gewünschte Funktion und ihre erste und zweite Ableitung verbindet.
In Sonderfällen kann x in der Gleichung fehlen, bei oder y". Die Gleichung zweiter Ordnung muss jedoch zwangsläufig y" enthalten. Im allgemeinen Fall schreibt man die Differentialgleichung zweiter Ordnung wie folgt:
oder, wenn möglich, in der für die zweite Ableitung zulässigen Form:
Wie bei einer Gleichung erster Ordnung kann eine Gleichung zweiter Ordnung eine allgemeine und eine bestimmte Lösung haben. Die allgemeine Lösung sieht so aus:
Eine private Lösung finden
unter Anfangsbedingungen - gegeben
Nummer) wird angerufen das Cauchy-Problem. Geometrisch bedeutet dies, dass es erforderlich ist, die Integralkurve zu finden bei= y(x), einen bestimmten Punkt passieren 
und mit einer Tangente an diesem Punkt, was ungefähr ist
Gabeln mit positiver Achsrichtung Ochse angegebenen Winkel. e. 
(Abb. 6.1). Das Cauchy-Problem hat eine eindeutige Lösung, wenn die rechte Seite von Gleichung (6.10) 
unvor-
ist diskontinuierlich und hat kontinuierliche partielle Ableitungen in Bezug auf du, du" in irgendeiner Nachbarschaft des Startpunkts
Konstante zu finden 
in einer bestimmten Lösung enthalten ist, ist es notwendig, das System zuzulassen
Reis. 6.1. integrale Kurve
