KAPITEL VIII.

PROPORTIONALITÄT DER LINIEN. ÄHNLICHKEIT DER ZAHLEN.

§ 93. KONSTRUKTION ÄHNLICHER FIGUREN.

1. Konstruktion ähnlicher Dreiecke.

Wir wissen bereits, dass es zum Konstruieren eines Dreiecks, das dem gegebenen ähnlich ist, ausreicht, von einem Punkt auf der Seite des Dreiecks aus eine Linie parallel zur Seite des Dreiecks zu ziehen. Wir erhalten ein ähnliches Dreieck wie dieses (Abb. 382):

/\ DIA /\ A"C"B"

2. Konstruktion ähnlicher Polygone.

Um ein dem gegebenen ähnliches Vieleck zu konstruieren, können wir wie folgt vorgehen: Wir teilen das gegebene Vieleck in Dreiecke durch Diagonalen, die von einem seiner Eckpunkte gezogen werden (Abb. 383). Auf einer Seite des gegebenen Polygons ABCDE, zum Beispiel auf der Seite AE, nehmen wir einen Punkt E" und zeichnen eine Linie parallel zur Seite ED, bis sie die Diagonale AD schneidet, zum Beispiel am Punkt D".

Ziehen Sie vom Punkt D" eine Linie parallel zur Seite DC, bis sie die Diagonale AC am Punkt C" schneidet. Ziehen Sie vom Punkt C" eine Linie parallel zur Seite CB, bis sie die Seite AB am Punkt B" schneidet. Das resultierende Polygon AB"C"D"E" ähnelt dem gegebenen Polygon ABCDE.

Die Gültigkeit dieser Aussage wird unabhängig bewiesen.

Wenn es erforderlich ist, ein dem gegebenen ähnliches Polygon mit dem angegebenen Ähnlichkeitskoeffizienten zu bauen, wird der Startpunkt E" auf der Seite AE ​​bzw. ihrer Fortsetzung gemäß dem angegebenen Ähnlichkeitskoeffizienten genommen.

3. Aufnahme eines Plans des Grundstücks.

a) Das Schießen des Plans erfolgt mit einem speziellen Gerät namens Becherglas(Entw. 384).

Die Menzula ist ein quadratisches Brett, das auf einem Dreibein platziert ist. Beim Zeichnen eines Plans wird die Tafel in eine horizontale Position gebracht, die mit einer Wasserwaage überprüft wird. Um gerade Linien in die gewünschte Richtung zu ziehen, wird eine mit Dioptrien ausgestattete Alhidade verwendet. Jede Dioptrie hat einen Schlitz, in dem das Haar gespannt wird, wodurch Sie die Alhidade genau in die richtige Richtung lenken können. An der Waage ist mit Knöpfen ein weißes Blatt Papier befestigt, auf dem der Plan gezeichnet wird.

Um einen Plan vom Grundstück ABCDE zu nehmen, wählen Sie einen Punkt O innerhalb des Grundstücks, so dass alle Spitzen des Grundstücks von ihm aus sichtbar sind (Abb. 385).

Mit Hilfe einer Gabel mit Lot (Abb. 386) wird die Skala so eingestellt, dass der auf einem Blatt Papier markierte Punkt O auf den auf der Baustelle gewählten Punkt O fällt.

Dann werden von Punkt O auf einem Blatt Papier, das am Becher befestigt ist, Strahlen mit einer Alhidade in Richtung zu den Punkten A, B, C, D und E gezogen; Entfernungen messen
OA, OB, OS, OD und OE und legen diese Strahlen in den akzeptierten Skalensegmenten an
OA", OB", OS, OD" und OE".

Die Punkte A, B, C, D und E sind verbunden. Es stellt sich das Polygon A "B" C "D" E heraus, das ein Plan des gegebenen Grundstücks im akzeptierten Maßstab ist.

Die von uns beschriebene Methode des Scale-Shootings heißt Polar.

Es gibt andere Möglichkeiten, ein Flugzeug mit einer Waage zu schießen, die Sie in speziellen Anleitungen für das Schießen mit Waage nachlesen können.

Auf jedem Plan ist normalerweise ein Maßstab angegeben, anhand dessen die wahren Abmessungen des entfernten Bereichs sowie seine Fläche ermittelt werden können.

Der Plan gibt auch die Richtung der Himmelsrichtungen an.

Praktische Arbeit.

a) Bauen Sie das einfachste maßstabsgetreue Modell in der Schulwerkstatt und verwenden Sie es, um einen Plan eines kleinen Grundstücks zu erstellen.

b) Die Vermessung des Grundstücksplans kann mit Hilfe eines Astrolabiums erfolgen.

Angenommen, es ist notwendig, den Plan des Grundstücks ABCDE zu entfernen. Nehmen wir einen der Scheitelpunkte des Abschnitts, zum Beispiel A, als Anfangspunkt und messen mit dem Astrolabium die Winkel am Scheitelpunkt A, d.h.
/ 1, / 2, / 3 (Entw. 387).

Dann messen wir mit einer Messkette die Abstände AE, AD, AC und AB. Abhängig von der Größe des Plots und der Größe des Blattes, auf dem der Plan angebracht wird, wird der Maßstab zum Zeichnen des Plans ausgewählt.

An Punkt A, der als Scheitelpunkt des Polygons genommen wird, bauen wir drei Winkel, jeweils gleich / 1, / 2 und / 3; dann auf der ausgewählten Skala an den Seiten dieser Ecken vom Punkt A "die Segmente A "E", A "D", A "C" und A "B" ablegen. Verbinden der Punkte A "und E", E "und D", D "und C, C" und B", B" und A", erhalten wir ein Polygon A"B"C"D"E", ähnlich dem Polygon ABCDE. Dies wird ein Plan von sein dieses Grundstück, gezeichnet im gewählten Maßstab.

Bei der Lösung vieler Konstruktionsprobleme wird die Ähnlichkeitsmethode verwendet, deren Kern wie folgt lautet: Zuerst wird eine Figur ähnlich der gegebenen konstruiert, dann wird diese Figur im erforderlichen Verhältnis erhöht (verringert) (d. H. Eine ähnliche Figur ist gebaut), die die Bedingung des Problems erfüllt.

Der Prozess des Lernens, wie man Ähnlichkeit zur Lösung von Konstruktionsproblemen anwendet, sollte in vier Phasen unterteilt werden: vorbereitend, einführend, fähigkeitsbildend, fähigkeitsverbessernd. Jede Stufe hat ihr eigenes didaktisches Ziel, das erreicht wird, wenn die Schüler speziell konzipierte Aufgaben lösen.

Das didaktische Ziel der Vorbereitungsphase ist es, die Fähigkeiten der Schüler zu formen: die Daten hervorzuheben, die die Form der Figur bestimmen, viele einander ähnliche Figurenpaare; Erstellen Sie eine Figur gemäß den Daten, die die Form definieren. Bewegen Sie sich von der konstruierten Figur zur gewünschten Figur.

Nachdem wir das erste Zeichen der Ähnlichkeit von Dreiecken studiert haben, können wir den folgenden Satz vorschlagen Zuordnungen:

Konstruiere ein Dreieck mit zwei Ecken. Wie viele Lösungen hat das Problem? Welche Elemente bestimmen die Form der konstruierten Dreiecke?

Nennen Sie ähnliche Dreiecke in Abbildung 35.

Die folgenden Elemente eines Dreiecks sind bekannt: a) Winkel von 75 und 25; b) Höhe 1,5 cm; c) Winkel 75 und 25, Höhe 1,5 cm Welche dieser Daten bestimmen die einzige Figur in Abb. 35?

Welche Winkel bestimmen die Form der Dreiecke in Abbildung 35?

Wird es möglich sein, die Abmessungen eines der Dreiecke in Abb. 35 zu bestimmen, wenn folgende Daten bekannt werden: a) die Winkel an der Basis des Dreiecks; b) die Höhe des Dreiecks; c) Seite und Ecken an der Basis?

Sind die Dreiecke ABC und ABC in Abbildung 36 ähnlich, wenn ACAC? Wenn sie ähnlich sind, wie groß ist ihr Ähnlichkeitskoeffizient?

Die Aufgaben, die den Schülern nach dem Studium des 2. und 3. Zeichens der Ähnlichkeit von Dreiecken gestellt werden, werden auf ähnliche Weise zusammengestellt. Wenn Sie jedoch von diesem Merkmal zum nächsten wechseln, werden die Fragen etwas komplizierter, nämlich: Die Position der Dreiecke in den Figuren ändert sich, wenn Sie sich von der Standardposition entfernen, ändert sich die Menge des Elements, das die einzige Figur definiert. Aufgaben, könnte zum Beispiel sein:

1. Sind die Dreiecke ABC und ABC ähnlich, wenn:

a) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, B=60º;

b) AB=5cm, BC=7cm, B=30º, AB=10cm, BC=14cm, H=30º;

c) AB = 3 cm, BC = 5 cm, CA = 7 cm, AB = 4,5 cm, BC = 7,5 cm, CA = 10,5 cm;

d) AB = 1,7 cm, BC = 3 cm, SA = 4,2 cm, AB = 34 cm, BC = 60 cm, SA = 84 cm.

2. In einem Dreieck ABC mit spitzem Winkel C werden die Höhen AE und BD eingezeichnet (Abb. 37). Beweisen Sie, dass ABC EDC ähnlich ist.

3. Beweisen Sie, dass die Umfänge ähnlicher Dreiecke wie die entsprechenden Seiten zusammenhängen.

Der didaktische Zweck der Einführungsphase besteht darin, den Studierenden die Struktur des Konstruktionsprozesses nach der Ähnlichkeitsmethode zu erklären.

Die Erklärung beginnt mit dem Problem.

Aufgabe. Konstruiere ein Dreieck aus zwei gegebenen Winkeln und einer Winkelhalbierenden der Länge d, die von der Spitze des dritten Winkels gezogen wird.

Der Lehrer analysiert die Aufgabe mit den Schülern und bietet Aufgaben an - Fragen, deren Antworten kurz an der Tafel festgehalten werden. Fragen könnten sein:

1. Welche Daten bestimmen die Form des erforderlichen Dreiecks?

2. Welche Daten bestimmen die Abmessungen des gewünschten Dreiecks?

3. Wie viele Dreiecke kann man mit zwei Ecken bauen? Welche Konstruktionsform werden alle konstruierten Dreiecke haben?

4. Welches Segment sollte in einem Dreieck gezeichnet werden, das dem gewünschten ähnlich ist?

5. Wie baut man das gewünschte Dreieck?

Antworten auf Fragen werden von einer Freihandzeichnung an der Tafel begleitet (Abb. 38).

a) ABC: A=, B=;

b) konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels C im Dreieck ABC,

c) Konstruiere СN=d, NCD;

d) zeichne eine gerade Linie durch die Punkte N, AB;

e) AC=A, BC=B;

f) ABC - das gewünschte: A=, B= (da ABC ABC durch 1 Merkmal) und CN=d durch Konstruktion. Der didaktische Zweck der Stufe, der die Fähigkeit bildet, Probleme der betrachteten Art zu lösen, geht bereits aus ihrem Namen hervor. Die Haupttätigkeitsform in dieser Phase ist die individuelle Suche. Es endet mit einem zusammenfassenden Gespräch.

Hier sind einige Beispiele für Aufgaben, die in dieser Phase vorgeschlagen werden können.

Aufgabe. Innerhalb des Winkels AOB ist ein Punkt F. Konstruieren Sie einen Punkt M auf der Seite OA, gleich weit von F und von der Seite OB entfernt

Entscheidung.

1. Analyse. Wenden wir uns Abbildung 39 zu. Lassen Sie den Punkt M bauen, dann ist MF=MP. Das bedeutet, dass der gesuchte Punkt M der Mittelpunkt eines Kreises mit Radius MF ist, dessen Mittelpunkt M die Seite OB im Punkt P berührt.

Wenn wir einen beliebigen Punkt M auf OA nehmen und MP auf CB fallen lassen und F den Schnittpunkt des Kreises mit dem Mittelpunkt M mit dem Radius MP mit der Linie OF finden, dann ist MFP ähnlich wie MFP. Daraus folgt die erforderliche Konstruktion.

2. Konstruktion. Wir zeichnen OF, nehmen einen beliebigen Punkt M auf CA und senken MP auf CB. Wir zeichnen einen Kreis mit Radius MP, dessen Mittelpunkt der Punkt M ist. Sei F der Schnittpunkt dieses Kreises mit OF. Wir zeichnen FM und dann ziehen wir eine gerade Linie durch den Punkt FFM. Der Punkt M des Schnittpunkts dieser Linie mit OA ist der erforderliche.

3. Beweis. Das geht aus der durchgeführten Analyse hervor.

4. Forschung. Das Problem hat 2 Lösungen. Dies folgt aus der Tatsache, dass sich der Kreis mit OF an 2 Punkten schneidet.

Aufgabe. Konstruiere ein Dreieck mit 2 Ecken und einem Umfang.

Entscheidung.

1. Analyse. Seien und gegebene Winkel und P der Umfang des gewünschten Dreiecks (Abb. 40). Nehmen wir an, dass das gewünschte Dreieck aufgebaut ist. Wenn wir dann ein beliebiges ABC betrachten, das dem gewünschten ähnlich ist, ist das Verhältnis des Umfangs P ABC zum Umfang P ABC gleich dem Verhältnis der Seiten AC und AC.

2. Konstruktion. Lassen Sie uns ein ABC konstruieren, das dem gewünschten ähnlich ist. Legen Sie auf dem Strahl AB die Segmente AD=P und AD=P beiseite, verbinden Sie dann die Punkte D und C und ziehen Sie eine Linie DC durch den Punkt D. Sei C der Schnittpunkt der Geraden mit dem Strahl AC. Ziehe eine Linie CB durch Punkt C und bezeichne den Schnittpunkt dieser Linie mit AD, dann ist ABC die gesuchte.

3. Beweis. Offensichtlich ist ACD daher ähnlich wie ACD. Das Seitenverhältnis ist gleich dem Verhältnis der Umfänge ähnlicher ABC und ABC, daher ist der Umfang ABC \u003d P, daher ist ABC der gewünschte.

4. Forschung. Da die Summe von zwei beliebigen Winkeln eines Dreiecks<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

Aufgabe. Gegeben sei AOB und Punkt M, der sich im inneren Bereich dieser Ecke befindet. Konstruieren Sie einen Kreis, der durch Punkt A verläuft und die Seiten des Winkels AOB berührt.

Entscheidung.

1. Analyse. Sei AOB gegeben und Punkt M, der sich im inneren Bereich der Ecke befindet (Abb. 41).

Lassen Sie uns einen weiteren Kreis zeichnen, der die Seiten von AOB berührt. Sei M der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden OM und betrachte OMN und OMN (N und N Mittelpunkte des Kreises und).

Diese Dreiecke sind in zwei Winkeln ähnlich, daher kann die Konstruktion des gewünschten Kreises wie folgt erfolgen:

2. Konstruktion. Da der Mittelpunkt des gewünschten Kreises auf der Winkelhalbierenden AOB liegt, zeichnen wir die Winkelhalbierende ein. Außerdem nehmen wir hier den Punkt N und konstruieren einen Kreis, dessen Zentrum N AOB berührt. Dann zeichnen wir die Linie SM und bezeichnen mit M den Schnittpunkt der Linie mit dem Kreis (es gibt zwei solche Punkte - M und M - wir nehmen einen davon). Wir zeichnen die Linie MN und ihre Linie durch den Punkt M. Dann ist N der Schnittpunkt der Linie mit der Winkelhalbierenden und der Mittelpunkt des gewünschten Kreises, und sein Radius ist gleich MN. Bringen wir sie durch.

3. Beweis. Konstruktionsbedingt ist der Kreis ähnlich, O ist das Ähnlichkeitszentrum. Dies folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke OMN und OMN. Da der Kreis die Seiten des Winkels berührt, berührt der Kreis daher auch die Seiten des Winkels.

4. Forschung. Das Problem hat zwei Lösungen, weil OM schneidet den Kreis an zwei Punkten M und M, von denen jeder seinem eigenen Kreis entspricht, der durch den Punkt M verläuft und die Seiten von AOB berührt.

Das didaktische Ziel der Stufe, die die Fähigkeit zur Lösung von Problemen der oben betrachteten Art verbessert, ist die Übertragung der gebildeten Fertigkeit auf komplexere Probleme, insbesondere auf die folgenden Situationen: Die gewünschte Figur nimmt eine bestimmte Position in Bezug auf vorgegebene Punkte ein oder Linien, während die Eliminierung einer der Bedingungen des Problems zu einem System ähnlicher oder homothetischer Figuren führt. Lassen Sie uns ein Beispiel für eine solche Aufgabe geben.

Aufgabe. Schreibe ein Quadrat in ein gegebenes Dreieck, so dass zwei seiner Eckpunkte auf einer Seite des Dreiecks liegen und die anderen zwei auf den anderen beiden Seiten liegen.

Aufgaben, die den Zielen dieser Stufe entsprechen, sind von den Pflichtaufgaben ausgeschlossen. Daher werden sie nur leistungsstarken Studierenden angeboten. In dieser Phase wird das Hauptaugenmerk auf die individuelle Suchaktivität der Studierenden gelegt.

In der Regel gelten zwei Dreiecke als ähnlich, wenn sie die gleiche Form haben, auch wenn sie unterschiedlich groß, gedreht oder sogar auf dem Kopf stehen.

Die in der Abbildung gezeigte mathematische Darstellung zweier ähnlicher Dreiecke A 1 B 1 C 1 und A 2 B 2 C 2 lautet wie folgt:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn:

1. Jeder Winkel eines Dreiecks ist gleich dem entsprechenden Winkel eines anderen Dreiecks:
∠A 1 = ∠A 2 , ∠B 1 = ∠B 2 und ∠C1 = ∠C2

2. Die Seitenverhältnisse eines Dreiecks zu den entsprechenden Seiten eines anderen Dreiecks sind gleich:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Beziehungen zwei Seiten eines Dreiecks zu den entsprechenden Seiten eines anderen Dreiecks sind gleich und gleichzeitig
die Winkel zwischen diesen Seiten sind gleich:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ und $\angle A_1 = \angle A_2$
oder
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ und $\angle B_1 = \angle B_2$
oder
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ und $\angle C_1 = \angle C_2$

Ähnliche Dreiecke sollten nicht mit gleichen Dreiecken verwechselt werden. Kongruente Dreiecke haben entsprechende Seitenlängen. Also für gleiche Dreiecke:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

Daraus folgt, dass alle gleichen Dreiecke ähnlich sind. Allerdings sind nicht alle ähnlichen Dreiecke gleich.

Obwohl die obige Notation zeigt, dass wir, um herauszufinden, ob zwei Dreiecke ähnlich sind oder nicht, die Werte der drei Winkel oder die Längen der drei Seiten jedes Dreiecks kennen müssen, um Probleme mit ähnlichen Dreiecken zu lösen Es reicht aus, für jedes Dreieck drei beliebige Werte von oben zu kennen. Diese Werte können in verschiedenen Kombinationen vorliegen:

1) drei Winkel jedes Dreiecks (die Seitenlängen der Dreiecke müssen nicht bekannt sein).

Oder mindestens 2 Winkel eines Dreiecks müssen gleich 2 Winkeln eines anderen Dreiecks sein.
Denn wenn 2 Winkel gleich sind, dann ist auch der dritte Winkel gleich (Der Wert des dritten Winkels ist 180 - Winkel1 - Winkel2).

2) die Seitenlängen jedes Dreiecks (die Winkel müssen nicht bekannt sein);

3) die Längen der beiden Seiten und der Winkel zwischen ihnen.

Als nächstes betrachten wir die Lösung einiger Probleme mit ähnlichen Dreiecken. Zuerst werden wir Probleme betrachten, die durch direkte Anwendung der obigen Regeln gelöst werden können, und dann werden wir einige praktische Probleme diskutieren, die mit der Methode der ähnlichen Dreiecke gelöst werden können.

Praktische Probleme mit ähnlichen Dreiecken

Beispiel 1: Zeigen Sie, dass die beiden Dreiecke in der Abbildung unten ähnlich sind.

Entscheidung:
Da die Seitenlängen beider Dreiecke bekannt sind, kann hier die zweite Regel angewendet werden:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

Beispiel #2: Zeigen Sie, dass zwei gegebene Dreiecke ähnlich sind und bestimmen Sie die Seitenlängen PQ und PR.

Entscheidung:
∠A = ∠P und ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(weil ∠C = 180 - ∠A - ∠B und ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Daraus folgt, dass die Dreiecke ∆ABC und ∆PQR ähnlich sind. Somit:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ und
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 $

Beispiel #3: Bestimmen Sie die Länge AB in diesem Dreieck.

Entscheidung:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED und ∠A gemeinsame => Dreiecke ΔABC und ΔADE sind ähnlich.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Beispiel #4: Länge bestimmen AD(x) geometrische Figur in der Figur.

Die Dreiecke ∆ABC und ∆CDE sind ähnlich, weil AB || DE und sie haben eine gemeinsame obere Ecke C.
Wir sehen, dass ein Dreieck eine skalierte Version des anderen ist. Allerdings müssen wir es mathematisch beweisen.

AB || DE, CD || AC und BC || EU
∠BAC = ∠EDC und ∠ABC = ∠DEZ

Basierend auf dem Vorstehenden und unter Berücksichtigung des Vorhandenseins eines gemeinsamen Winkels C, können wir sagen, dass die Dreiecke ∆ABC und ∆CDE ähnlich sind.

Somit:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 $
x = Wechselstrom – Gleichstrom = 23,57 – 15 = 8,57

Praktische Beispiele

Beispiel #5: Die Fabrik verwendet ein geneigtes Förderband, um Produkte von Ebene 1 zu Ebene 2 zu transportieren, die sich 3 Meter über Ebene 1 befindet, wie in der Abbildung gezeigt. Der Schrägförderer wird von einem Ende zur Ebene 1 und vom anderen Ende zu einem Arbeitsplatz bedient, der 8 Meter von der Betriebsstelle der Ebene 1 entfernt ist.

Die Fabrik möchte das Förderband aufrüsten, um auf die neue Ebene zugreifen zu können, die 9 Meter über Ebene 1 liegt, während der Winkel des Förderbands beibehalten wird.

Bestimmen Sie die Entfernung, in der Sie eine neue Arbeitsstation einrichten müssen, um sicherzustellen, dass das Förderband an seinem neuen Ende auf Ebene 2 funktioniert. Berechnen Sie auch die zusätzliche Entfernung, die das Produkt beim Bewegen auf eine neue Ebene zurücklegt.

Entscheidung:

Lassen Sie uns zunächst jeden Schnittpunkt mit einem bestimmten Buchstaben beschriften, wie in der Abbildung gezeigt.

Basierend auf den oben in den vorherigen Beispielen gegebenen Überlegungen können wir schlussfolgern, dass die Dreiecke ∆ABC und ∆ADE ähnlich sind. Somit,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Rightarrow AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 Mio. $
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Daher muss der neue Punkt in einem Abstand von 16 Metern zum bestehenden Punkt installiert werden.

Und da die Struktur aus rechtwinkligen Dreiecken besteht, können wir die Produktfahrstrecke wie folgt berechnen:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 Mio. $

Ähnlich ist $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
Das ist die Strecke, die das Produkt in dem Moment zurücklegt, wenn es auf das vorhandene Niveau trifft.

y = AC – AE = 25,63 – 8,54 = 17,09 m
Dies ist die zusätzliche Strecke, die ein Produkt zurücklegen muss, um ein neues Level zu erreichen.

Beispiel #6: Steve möchte seinen Freund besuchen, der kürzlich in ein neues Haus gezogen ist. Die Straßenkarte, um zum Haus von Steve und seinem Freund zu gelangen, zusammen mit den Entfernungen, die Steve bekannt sind, ist in der Abbildung dargestellt. Hilf Steve, auf dem kürzesten Weg zum Haus seines Freundes zu gelangen.

Entscheidung:

Die Roadmap kann geometrisch in der folgenden Form dargestellt werden, wie in der Abbildung gezeigt.

Wir sehen, dass die Dreiecke ∆ABC und ∆CDE ähnlich sind, also:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

In der Aufgabenstellung heißt es:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km und DE = 5 km

Mit diesen Informationen können wir die folgenden Entfernungen berechnen:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41)(5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13.13 \times 4.41)(13.23) = 4.38 km$

Steve kann auf folgenden Wegen zum Haus seines Freundes gelangen:

A -> B -> C -> E -> G, die Gesamtstrecke beträgt 7,5 + 13,23 + 4,38 + 2,5 = 27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, die Gesamtstrecke beträgt 7,5 + 13,23 + 4,41 + 2,5 = 27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, die Gesamtstrecke beträgt 7,5 + 13,13 + 4,38 + 2,5 = 27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, die Gesamtstrecke beträgt 7,5 + 13,13 + 4,41 + 2,5 = 27,54 km

Daher ist Route Nr. 3 die kürzeste und kann Steve angeboten werden.

Beispiel 7:
Trisha möchte die Höhe des Hauses messen, hat aber nicht die richtigen Werkzeuge. Sie bemerkte, dass vor dem Haus ein Baum wuchs und beschloss, ihren Einfallsreichtum und ihr in der Schule erworbenes Wissen über Geometrie zu nutzen, um die Höhe des Gebäudes zu bestimmen. Sie maß die Entfernung vom Baum zum Haus, das Ergebnis war 30 m. Dann stellte sie sich vor den Baum und begann sich zurückzuziehen, bis die Oberkante des Gebäudes über der Baumkrone sichtbar war. Trisha markierte die Stelle und maß die Entfernung von ihr zum Baum. Dieser Abstand betrug 5 m.

Die Höhe des Baumes beträgt 2,8 m und die Höhe von Trishas Augen 1,6 m. Hilf Trisha, die Höhe des Gebäudes zu bestimmen.

Entscheidung:

Die geometrische Darstellung des Problems ist in der Abbildung dargestellt.

Zuerst nutzen wir die Ähnlichkeit der Dreiecke ∆ABC und ∆ADE.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \times AC = 1.6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac(8)(1,2) = 6,67$

Wir können dann die Ähnlichkeit der Dreiecke ∆ACB und ∆AFG oder ∆ADE und ∆AFG verwenden. Wählen wir die erste Option.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \Rightarrow H = \frac(1.6 )(0,16) = 10 Mio. $

Aufgabe 1. Konstruieren Sie ein Dreieck, indem Sie seine zwei Winkel und seinen Umfang kennen.

Entscheidung. Die Kenntnis der Winkel eines Dreiecks bestimmt es bereits bis auf eine Ähnlichkeitstransformation. Um das Problem zu lösen, bauen wir daher ein beliebiges Dreieck LS mit den angegebenen Winkeln (Abb. 277). Es bleibt, das Dreieck auf ähnliche Weise so zu transformieren, dass sein Umfang gleich dem gegebenen Wert wird.

Legen Sie dazu die Seiten an den Verlängerungen der Seite beiseite, das Segment entspricht dem Umfang des Dreiecks. Nehmen Sie ein beliebiges Segment KL parallel zum Segment, aber gleich dem angegebenen Umfang. Wir verbinden die Enden der beiden parallelen Strecken und nehmen den Punkt O des Schnittpunkts der Geraden als Ähnlichkeitszentrum. Die Konstruktion der Eckpunkte A und C des gewünschten Dreiecks ist aus Abb. 277, seine Seiten AB und CB sind parallel zu den entsprechenden Seiten des Dreiecks.

Im Falle eines Dreiecks - schon gewünscht.

Aufgabe 2. Gegeben sei der Winkel, den die Strahlen OA und OB bilden, und der Punkt N innerhalb dieses Winkels. Konstruieren Sie einen Kreis, der die Seiten der Ecke tangiert und durch den gegebenen Punkt N verläuft (Abb. 278).

Entscheidung. Ein Kreis, der die Seiten eines Winkels tangiert, muss auf der Winkelhalbierenden dieses Winkels zentriert sein. Nehmen wir einen beliebigen Punkt auf dieser Winkelhalbierenden und konstruieren einen Kreis, der auf den Seiten der Ecke zentriert ist (sein Radius ist einfach gleich dem Abstand des Punktes von den Seiten der Ecke). Transformieren wir nun diesen Kreis analog mit dem Ähnlichkeitszentrum im Scheitelpunkt des Winkels O, so erhalten wir wieder einen auf der Winkelhalbierenden zentrierten Kreis; ein solcher Kreis wird wieder die Eckenflanken berühren, da sein zum Berührungspunkt führender Radius kraft Winkelerhaltung in einen Radius senkrecht zur Eckenflanke übergeht. Es bleibt die Erfüllung der zweiten Bedingung sicherzustellen: Der transformierte Kreis muss durch den Punkt N gehen. Dies impliziert die Lösung des Problems. Zeichne den Strahl ON bis zum Schnittpunkt mit dem Kreis an Punkten und konstruiere seine Radien, die zu diesen Punkten führen. Durch einen gegebenen Punkt N ziehen wir Linien NC und NC parallel zu diesen Radien; die Punkte ihrer Schnittpunkte C, C mit der Winkelhalbierenden und geben die möglichen Positionen des Mittelpunkts des gewünschten Kreises an. Das Problem hat zwei Lösungen. Wie ändert sich die Lösung, wenn der Punkt N auf der Winkelhalbierenden liegt?

Übungen

1. Der Umfang eines Dreiecks beträgt 10 cm und seine Fläche Wie groß ist der Umfang eines ähnlichen Dreiecks, wenn seine Fläche 10 cm beträgt?

2. Beweisen Sie, dass gleichschenklige Dreiecke mit gleichen Eckenwinkeln ähnlich sind.

3. Konstruieren Sie ein Dreieck, das dem gegebenen ähnlich ist und in einen Kreis mit gegebenem Radius eingeschrieben ist.

4. Schreiben Sie ein Quadrat in ein gegebenes Dreieck ABC, so dass eine seiner Seiten auf der Seite BC des Dreiecks liegt und zwei Eckpunkte auf den anderen beiden Seiten des Dreiecks liegen.