Logarithmische Gleichung wird eine Gleichung aufgerufen, in der die Unbekannte (x) und Ausdrücke damit unter dem Vorzeichen einer logarithmischen Funktion stehen. Das Lösen von logarithmischen Gleichungen setzt voraus, dass Sie bereits mit und vertraut sind.
Wie löst man logarithmische Gleichungen?
Die einfachste Gleichung ist Loga x = b, wobei a und b Zahlen sind, x eine Unbekannte ist.
Lösen der logarithmischen Gleichung ist x = a b vorausgesetzt: a > 0, a 1.
Es sollte beachtet werden, dass, wenn x irgendwo außerhalb des Logarithmus liegt, zum Beispiel log 2 x \u003d x-2, eine solche Gleichung bereits als gemischt bezeichnet wird und ein spezieller Ansatz erforderlich ist, um sie zu lösen.
Der Idealfall ist, wenn Sie auf eine Gleichung stoßen, in der nur Zahlen unter dem Vorzeichen des Logarithmus stehen, zum Beispiel x + 2 \u003d log 2 2. Hier reicht es aus, die Eigenschaften von Logarithmen zu kennen, um sie zu lösen. Aber diese Art von Glück passiert nicht oft, also machen Sie sich bereit für schwierigere Sachen.
Aber fangen wir doch erstmal mit einfachen Gleichungen an. Um sie zu lösen, ist es wünschenswert, die allgemeinste Vorstellung vom Logarithmus zu haben.
Lösen einfacher logarithmischer Gleichungen
Dazu gehören Gleichungen wie log 2 x \u003d log 2 16. Mit bloßem Auge ist zu erkennen, dass wir durch Weglassen des Vorzeichens des Logarithmus x \u003d 16 erhalten.
Um eine komplexere logarithmische Gleichung zu lösen, wird üblicherweise zur Lösung einer gewöhnlichen algebraischen Gleichung oder zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichung log a x = b geführt. Bei den einfachsten Gleichungen geschieht dies in einer Bewegung, weshalb sie die einfachsten genannt werden.
Die obige Methode zum Löschen von Logarithmen ist eine der Hauptmethoden zum Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen. In der Mathematik nennt man diese Operation Potenzierung. Es gibt bestimmte Regeln oder Einschränkungen für diese Art von Operationen:
- Logarithmen haben die gleiche Zahlenbasis
- Logarithmen in beiden Teilen der Gleichung sind frei, d.h. ohne irgendwelche Koeffizienten und andere verschiedene Arten von Ausdrücken.
Nehmen wir an, in der Gleichung log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), Potenzierung ist nicht anwendbar - der Koeffizient 2 auf der rechten Seite erlaubt dies nicht. Im folgenden Beispiel ist log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) eine der Einschränkungen ebenfalls nicht erfüllt - es gibt zwei Logarithmen auf der linken Seite. Das wäre eine - eine ganz andere Sache!
Im Allgemeinen können Sie Logarithmen nur entfernen, wenn die Gleichung die Form hat:
log a(...) = log a(...)
Es können absolut beliebige Ausdrücke in Klammern stehen, dies hat absolut keinen Einfluss auf die Potenzierungsoperation. Und nach der Eliminierung von Logarithmen bleibt eine einfachere Gleichung übrig - linear, quadratisch, exponentiell usw., die Sie hoffentlich bereits lösen können.
Nehmen wir ein anderes Beispiel:
log 3 (2x-5) = log 3 x
Durch Potenzieren erhalten wir:
log 3 (2x-1) = 2
Basierend auf der Definition des Logarithmus, nämlich dass der Logarithmus die Zahl ist, zu der die Basis erhoben werden muss, um einen Ausdruck zu erhalten, der unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, also (4x-1) erhalten wir:
Wieder bekamen wir eine nette Antwort. Hier haben wir auf die Eliminierung von Logarithmen verzichtet, aber Potenzierung ist auch hier anwendbar, denn der Logarithmus kann aus jeder Zahl gemacht werden, und zwar genau aus der, die wir brauchen. Diese Methode ist sehr hilfreich beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und insbesondere von Ungleichungen.
Lösen wir unsere logarithmische Gleichung log 3 (2x-1) = 2 mit Potenzierung:
Stellen wir die Zahl 2 beispielsweise als Logarithmus dar, also log 3 9, denn 3 2 = 9.
Dann log 3 (2x-1) = log 3 9 und wieder bekommen wir die gleiche Gleichung 2x-1 = 9. Ich hoffe, alles ist klar.
Also haben wir uns angesehen, wie man die einfachsten logarithmischen Gleichungen löst, die eigentlich sehr wichtig sind, weil Lösung logarithmischer Gleichungen, selbst die schrecklichsten und verdrehtesten, läuft am Ende immer darauf hinaus, die einfachsten Gleichungen zu lösen.
Bei allem, was wir oben getan haben, haben wir einen sehr wichtigen Punkt übersehen, der in Zukunft eine entscheidende Rolle spielen wird. Tatsache ist, dass die Lösung jeder logarithmischen Gleichung, selbst der elementarsten, aus zwei äquivalenten Teilen besteht. Das erste ist die Lösung der Gleichung selbst, das zweite ist die Arbeit mit dem Bereich der zulässigen Werte (ODV). Das ist nur der erste Teil, den wir gemeistert haben. In den obigen Beispielen beeinflusst die UNGERADE die Antwort in keiner Weise, daher haben wir sie nicht berücksichtigt.
Nehmen wir ein anderes Beispiel:
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
Äußerlich unterscheidet sich diese Gleichung nicht von der elementaren, die sehr erfolgreich gelöst wird. Aber es ist nicht so. Nein, natürlich werden wir es lösen, aber höchstwahrscheinlich wird es falsch sein, denn es ist ein kleiner Hinterhalt drin, in den sowohl C-Studenten als auch Honours-Studenten sofort hineinfallen. Schauen wir es uns genauer an.
Angenommen, Sie müssen die Wurzel der Gleichung oder die Summe der Wurzeln finden, wenn es mehrere gibt:
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
Wir wenden Potenzierung an, hier ist es zulässig. Als Ergebnis erhalten wir die übliche quadratische Gleichung.
Wir finden die Wurzeln der Gleichung:
Es gibt zwei Wurzeln.
Antwort: 3 und -1
Auf den ersten Blick stimmt alles. Aber lassen Sie uns das Ergebnis überprüfen und es in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Beginnen wir mit x 1 = 3:
Log 3 6 = Log 3 6
Die Prüfung war erfolgreich, jetzt ist die Warteschlange x 2 = -1:
Log 3 (-2) = Log 3 (-2)
Ja, halt! Äußerlich ist alles perfekt. Einen Moment - es gibt keine Logarithmen von negativen Zahlen! Und das bedeutet, dass die Wurzel x \u003d -1 nicht zur Lösung unserer Gleichung geeignet ist. Und deshalb ist die richtige Antwort 3, nicht 2, wie wir geschrieben haben.
Hier spielte die ODZ ihre fatale Rolle, die wir vergessen haben.
Ich möchte Sie daran erinnern, dass unter dem Bereich der zulässigen Werte solche Werte von x akzeptiert werden, die für das ursprüngliche Beispiel zulässig oder sinnvoll sind.
Ohne ODZ wird jede Lösung, selbst eine absolut korrekte, einer beliebigen Gleichung zu einer Lotterie - 50/50.
Wie könnten wir beim Lösen eines scheinbar elementaren Beispiels erwischt werden? Und hier ist es im Moment der Potenzierung. Die Logarithmen sind weg und mit ihnen alle Einschränkungen.
Was tun in einem solchen Fall? Sich weigern, Logarithmen zu eliminieren? Und die Lösung dieser Gleichung ganz aufgeben?
Nein, wir werden einfach wie echte Helden aus einem berühmten Song herumlaufen!
Bevor wir mit der Lösung einer logarithmischen Gleichung fortfahren, schreiben wir die ODZ auf. Aber danach kannst du mit unserer Gleichung machen, was dein Herz begehrt. Nachdem wir die Antwort erhalten haben, werfen wir einfach die Wurzeln weg, die nicht in unserer ODZ enthalten sind, und schreiben die endgültige Version auf.
Lassen Sie uns nun entscheiden, wie die ODZ geschrieben werden soll. Dazu untersuchen wir die ursprüngliche Gleichung genau und suchen darin nach verdächtigen Stellen, wie z. B. Division durch x, Wurzel eines geraden Grades usw. Bis wir die Gleichung gelöst haben, wissen wir nicht, was x gleich ist, aber wir wissen sicher, dass solche x, die beim Ersetzen eine Division durch 0 oder das Ziehen der Quadratwurzel einer negativen Zahl ergeben, sind offensichtlich nicht geeignet für die Antwort. Daher sind solche x nicht akzeptabel, während der Rest die ODZ darstellt.
Lassen Sie uns die gleiche Gleichung noch einmal verwenden:
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)
Wie Sie sehen können, gibt es keine Division durch 0, es gibt auch keine Quadratwurzeln, aber es gibt Ausdrücke mit x im Hauptteil des Logarithmus. Wir erinnern uns sofort daran, dass der Ausdruck innerhalb des Logarithmus immer > 0 sein muss. Diese Bedingung wird in Form von ODZ geschrieben:
Jene. Wir haben noch nichts gelöst, aber wir haben bereits eine zwingende Bedingung für den gesamten sublogarithmischen Ausdruck aufgeschrieben. Die geschweifte Klammer bedeutet, dass diese Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen.
Die ODZ wird aufgeschrieben, aber es ist auch notwendig, das resultierende Ungleichungssystem zu lösen, was wir tun werden. Wir erhalten die Antwort x > v3. Jetzt wissen wir sicher, welches x nicht zu uns passt. Und dann fangen wir an, die logarithmische Gleichung selbst zu lösen, was wir oben getan haben.
Nachdem wir die Antworten x 1 \u003d 3 und x 2 \u003d -1 erhalten haben, ist leicht zu erkennen, dass nur x1 \u003d 3 für uns geeignet ist, und wir schreiben es als endgültige Antwort auf.
Für die Zukunft ist es sehr wichtig, sich an Folgendes zu erinnern: Wir lösen jede logarithmische Gleichung in 2 Stufen. Das erste - wir lösen die Gleichung selbst, das zweite - wir lösen die Bedingung der ODZ. Beide Schritte werden unabhängig voneinander durchgeführt und erst beim Schreiben der Antwort verglichen, d.h. wir verwerfen alles Unnötige und schreiben die richtige Antwort auf.
Zur Festigung des Materials empfehlen wir dringend, sich das Video anzusehen:
Im Video weitere Beispiele zum Lösen des Protokolls. Gleichungen und Ausarbeitung der Methode der Intervalle in der Praxis.
Dazu zum Thema wie man logarithmische gleichungen löst bis alles. Wenn etwas nach der Entscheidung des Protokolls. Gleichungen unklar oder unverständlich geblieben sind, schreiben Sie Ihre Fragen in die Kommentare.
Hinweis: Die Akademie für Sozialpädagogik (KSUE) ist bereit, neue Studierende aufzunehmen.
Zur Vorbereitung auf die Abschlussprüfung in Mathematik gehört ein wichtiger Abschnitt - "Logarithmen". Aufgaben aus diesem Thema sind zwingend in der Klausur enthalten. Die Erfahrung der vergangenen Jahre zeigt, dass die logarithmischen Gleichungen vielen Schülern Schwierigkeiten bereiteten. Daher sollten Schüler mit unterschiedlichem Ausbildungsniveau verstehen, wie man die richtige Antwort findet und schnell damit umgeht.
Bestehen Sie den Zertifizierungstest erfolgreich mit Hilfe des Bildungsportals "Shkolkovo"!
Bei der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen benötigen Abiturienten eine verlässliche Quelle, die möglichst vollständige und genaue Informationen für die erfolgreiche Lösung von Prüfungsaufgaben liefert. Allerdings ist das Lehrbuch nicht immer zur Hand und die Suche nach den nötigen Regeln und Formeln im Internet nimmt oft Zeit in Anspruch.
Das Bildungsportal "Shkolkovo" ermöglicht es Ihnen, sich überall und jederzeit auf die Prüfung vorzubereiten. Unsere Website bietet den bequemsten Ansatz, um eine große Menge an Informationen über Logarithmen sowie über eine und mehrere Unbekannte zu wiederholen und zu beherrschen. Beginnen Sie mit einfachen Gleichungen. Wenn Sie sie ohne Schwierigkeiten bewältigt haben, gehen Sie zu schwierigeren über. Wenn Sie Probleme haben, eine bestimmte Ungleichung zu lösen, können Sie sie zu Ihren Favoriten hinzufügen, damit Sie später darauf zurückkommen.
Sie können die notwendigen Formeln finden, um die Aufgabe abzuschließen, Sonderfälle und Methoden zur Berechnung der Wurzel einer logarithmischen Standardgleichung wiederholen, indem Sie sich den Abschnitt „Theoretische Referenz“ ansehen. Die Lehrer von "Shkolkovo" sammelten, systematisierten und präsentierten alle Materialien, die für eine erfolgreiche Lieferung in der einfachsten und verständlichsten Form erforderlich sind.
Um beliebig komplexe Aufgaben problemlos bewältigen zu können, können Sie sich auf unserem Portal mit der Lösung einiger typischer logarithmischer Gleichungen vertraut machen. Gehen Sie dazu in den Bereich "Kataloge". Wir haben eine Vielzahl von Beispielen vorgestellt, darunter auch solche mit Gleichungen der Profilstufe der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik.
Schüler aus Schulen in ganz Russland können unser Portal nutzen. Um loszulegen, registrieren Sie sich einfach im System und beginnen Sie mit dem Lösen von Gleichungen. Um die Ergebnisse zu konsolidieren, empfehlen wir Ihnen, täglich zur Shkolkovo-Website zurückzukehren.
Anweisung
Schreiben Sie den gegebenen logarithmischen Ausdruck auf. Wenn der Ausdruck den Logarithmus von 10 verwendet, wird seine Notation verkürzt und sieht so aus: lg b ist der Dezimallogarithmus. Wenn der Logarithmus die Zahl e zur Basis hat, dann wird der Ausdruck geschrieben: ln b ist der natürliche Logarithmus. Es versteht sich, dass das Ergebnis von any die Potenz ist, mit der die Basiszahl potenziert werden muss, um die Zahl b zu erhalten.
Wenn Sie zwei Funktionen aus der Summe finden, müssen Sie sie nur eine nach der anderen differenzieren und die Ergebnisse addieren: (u+v)" = u"+v";
Um die Ableitung des Produkts zweier Funktionen zu finden, ist es notwendig, die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten zu multiplizieren und die Ableitung der zweiten Funktion multipliziert mit der ersten Funktion zu addieren: (u*v)" = u"* v+v"*u;
Um die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen zu finden, ist es notwendig, vom Produkt der Ableitung des Dividenden multipliziert mit der Divisorfunktion das Produkt der Ableitung des Divisors multipliziert mit der Divisorfunktion zu subtrahieren und zu dividieren all dies durch die Divisorfunktion im Quadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Wenn eine komplexe Funktion gegeben ist, muss die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren multipliziert werden. Sei y=u(v(x)), dann y"(x)=y"(u)*v"(x).
Mit dem oben Erhaltenen können Sie fast jede Funktion unterscheiden. Schauen wir uns also ein paar Beispiele an:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Es gibt auch Aufgaben zur Berechnung der Ableitung an einem Punkt. Sei die Funktion y=e^(x^2+6x+5) gegeben, du musst den Wert der Funktion am Punkt x=1 finden.
1) Finde die Ableitung der Funktion: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Berechnen Sie den Wert der Funktion am gegebenen Punkt y"(1)=8*e^0=8
Ähnliche Videos
Hilfreicher Rat
Lernen Sie die Tabelle der elementaren Ableitungen. Dies wird viel Zeit sparen.
Quellen:
- konstante Ableitung
Was ist also der Unterschied zwischen einer irrationalen Gleichung und einer rationalen? Wenn die unbekannte Variable unter dem Quadratwurzelzeichen liegt, gilt die Gleichung als irrational.
Anweisung
Die Hauptmethode zum Lösen solcher Gleichungen ist die Methode, beide Seiten anzuheben Gleichungen in ein Quadrat. Jedoch. Das ist natürlich, der erste Schritt ist, das Zeichen loszuwerden. Technisch ist diese Methode nicht schwierig, kann aber manchmal zu Problemen führen. Zum Beispiel die Gleichung v(2x-5)=v(4x-7). Wenn Sie beide Seiten quadrieren, erhalten Sie 2x-5=4x-7. Eine solche Gleichung ist nicht schwer zu lösen; x=1. Aber die Nummer 1 wird nicht vergeben Gleichungen. Wieso den? Ersetzen Sie die Einheit in der Gleichung anstelle des x-Werts, und die rechte und die linke Seite enthalten Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben. Ein solcher Wert gilt nicht für eine Quadratwurzel. Daher ist 1 eine fremde Wurzel, und daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.
Die irrationale Gleichung wird also mit der Methode des Quadrierens ihrer beiden Teile gelöst. Und nachdem die Gleichung gelöst wurde, müssen fremde Wurzeln abgeschnitten werden. Setzen Sie dazu die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung ein.
Betrachten Sie einen anderen.
2x+vx-3=0
Natürlich kann diese Gleichung mit der gleichen Gleichung wie die vorherige gelöst werden. Transferverbindungen Gleichungen, die keine Quadratwurzel haben, auf die rechte Seite und verwenden Sie dann die Quadrierungsmethode. Lösen Sie die resultierende rationale Gleichung und Wurzeln. Aber eine andere, elegantere. Geben Sie eine neue Variable ein; vx=y. Dementsprechend erhalten Sie eine Gleichung wie 2y2+y-3=0. Das ist die übliche quadratische Gleichung. Finden Sie seine Wurzeln; y1=1 und y2=-3/2. Als nächstes lösen Sie zwei Gleichungen vx=1; vx \u003d -3/2. Die zweite Gleichung hat keine Nullstellen, aus der ersten finden wir x=1. Vergessen Sie nicht die Notwendigkeit, die Wurzeln zu überprüfen.
Das Lösen von Identitäten ist ganz einfach. Dies erfordert identische Transformationen, bis das Ziel erreicht ist. So wird mit Hilfe einfachster Rechenoperationen die Aufgabe gelöst.
Du wirst brauchen
- - Papier;
- - Griff.
Anweisung
Die einfachsten Transformationen dieser Art sind algebraisch abgekürzte Multiplikationen (wie das Quadrat der Summe (Differenz), die Differenz der Quadrate, die Summe (Differenz), der Kubik der Summe (Differenz)). Darüber hinaus gibt es viele trigonometrische Formeln, die im Wesentlichen die gleichen Identitäten sind.
Tatsächlich ist das Quadrat der Summe zweier Terme gleich dem Quadrat des ersten plus zweimal dem Produkt aus dem ersten und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten, d. h. (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2.
Vereinfachen Sie beides
Allgemeine Lösungsprinzipien
Wiederholen Sie aus einem Lehrbuch über mathematische Analyse oder höhere Mathematik, das ein bestimmtes Integral ist. Wie Sie wissen, ist die Lösung eines bestimmten Integrals eine Funktion, deren Ableitung einen Integranden ergibt. Diese Funktion heißt Stammfunktion. Nach diesem Prinzip werden die Basisintegrale konstruiert.Bestimmen Sie anhand der Form des Integranden, welches der Tabellenintegrale in diesem Fall geeignet ist. Dies lässt sich nicht immer sofort feststellen. Oft macht sich die tabellarische Form erst nach mehreren Umformungen zur Vereinfachung des Integranden bemerkbar.
Variable Substitutionsmethode
Wenn der Integrand eine trigonometrische Funktion ist, deren Argument ein Polynom ist, versuchen Sie es mit der Methode der Variablenänderung. Ersetzen Sie dazu das Polynom im Argument des Integranden durch eine neue Variable. Bestimmen Sie anhand des Verhältnisses zwischen neuer und alter Variable die neuen Integrationsgrenzen. Finden Sie durch Differenzieren dieses Ausdrucks ein neues Differential in . So erhalten Sie eine neue Form des alten Integrals, die jedem Tabellenintegral nahe kommt oder sogar diesem entspricht.Lösung von Integralen zweiter Art
Wenn das Integral ein Integral der zweiten Art ist, der Vektorform des Integranden, müssen Sie die Regeln für den Übergang von diesen Integralen zu skalaren Integralen anwenden. Eine solche Regel ist das Ostrogradsky-Gauß-Verhältnis. Dieses Gesetz ermöglicht es, von der Rotorströmung einer Vektorfunktion zu einem dreifachen Integral über die Divergenz eines gegebenen Vektorfeldes zu gelangen.Substitution von Integrationsgrenzen
Nachdem die Stammfunktion gefunden wurde, müssen die Integrationsgrenzen ersetzt werden. Setzen Sie zuerst den Wert der Obergrenze in den Ausdruck für die Stammfunktion ein. Sie erhalten eine Nummer. Als nächstes subtrahieren Sie von der resultierenden Zahl eine weitere Zahl, die resultierende untere Grenze für die Stammfunktion. Wenn eine der Integrationsgrenzen unendlich ist, dann ist es beim Einsetzen in die Stammfunktion notwendig, bis zur Grenze zu gehen und herauszufinden, wozu der Ausdruck tendiert.Wenn das Integral zweidimensional oder dreidimensional ist, müssen Sie die geometrischen Grenzen der Integration darstellen, um zu verstehen, wie man das Integral berechnet. Schließlich können beispielsweise bei einem dreidimensionalen Integral die Integrationsgrenzen ganze Ebenen sein, die das zu integrierende Volumen begrenzen.
Algebra Klasse 11
Thema: "Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen"
Unterrichtsziele:
pädagogisch: die Bildung von Wissen über verschiedene Möglichkeiten zur Lösung logarithmischer Gleichungen, die Fähigkeit, sie in jeder spezifischen Situation anzuwenden und eine beliebige Lösungsmethode auszuwählen;
Entwickeln: Entwicklung von Fähigkeiten zum Beobachten, Vergleichen, Anwenden von Wissen in einer neuen Situation, Erkennen von Mustern, Verallgemeinern; Bildung von Fähigkeiten zur gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle;
pädagogisch: Erziehung zu einem verantwortungsbewussten Umgang mit pädagogischer Arbeit, sorgfältige Wahrnehmung des Unterrichtsstoffs, Genauigkeit der Aufzeichnungen.
Unterrichtsart: eine Lektion zur Einarbeitung in neues Material.
"Die Erfindung des Logarithmus hat die Arbeit des Astronomen verkürzt und sein Leben verlängert."
Der französische Mathematiker und Astronom P.S. Laplace
Während des Unterrichts
I. Festlegung des Unterrichtsziels
Die untersuchte Definition des Logarithmus, die Eigenschaften von Logarithmen und die logarithmische Funktion ermöglichen es uns, logarithmische Gleichungen zu lösen. Alle logarithmischen Gleichungen, egal wie komplex sie sind, werden mit denselben Algorithmen gelöst. Wir werden diese Algorithmen heute in der Lektion betrachten. Es gibt wenige von ihnen. Wenn Sie sie beherrschen, ist jede Gleichung mit Logarithmen für jeden von Ihnen machbar.
Schreiben Sie das Thema der Lektion in Ihr Notizbuch: "Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen". Ich lade alle zur Zusammenarbeit ein.
II. Aktualisierung des Grundwissens
Machen wir uns bereit, das Thema der Lektion zu studieren. Sie lösen jede Aufgabe und schreiben die Antwort auf, Sie können die Bedingung nicht schreiben. Partnerarbeit.
1) Für welche Werte von x macht die Funktion Sinn:
(Antworten werden für jede Folie überprüft und Fehler werden aussortiert)
2) Stimmen die Funktionsgraphen überein?
3) Schreiben Sie die Gleichungen in logarithmische Gleichungen um:
4) Schreiben Sie die Zahlen als Logarithmen zur Basis 2:
5) Berechnen:
6) Versuchen Sie, die fehlenden Elemente in diesen Gleichheiten wiederherzustellen oder zu ergänzen.
III. Einführung in neues Material
Die Anweisung wird auf dem Bildschirm angezeigt:
"Die Gleichung ist der goldene Schlüssel, der alles mathematische Sesam aufschließt."
Der moderne polnische Mathematiker S. Koval
Versuchen Sie, die Definition einer logarithmischen Gleichung zu formulieren. (Eine Gleichung, die die Unbekannte unter dem Vorzeichen des Logarithmus enthält).
Prüfen die einfachste logarithmische Gleichung:Protokollax = b(wobei a>0, a ≠ 1). Da die logarithmische Funktion auf der Menge positiver Zahlen zunimmt (oder abnimmt) und alle reellen Werte annimmt, folgt aus dem Wurzelsatz, dass diese Gleichung für jedes b und darüber hinaus nur eine Lösung hat, und zwar eine positive.
Erinnere dich an die Definition eines Logarithmus. (Der Logarithmus der Zahl x zur Basis a ist der Exponent, mit dem die Basis a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten). Aus der Definition des Logarithmus folgt sofort, dass ain ist so eine Lösung.
Schreiben Sie den Titel auf: Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen
1. Per Definition des Logarithmus.
So werden einfache Gleichungen der Form gelöst.
Prüfen Nr. 514 (a): Löse die Gleichung
Wie schlagen Sie vor, es zu lösen? (Nach Definition des Logarithmus)
Entscheidung. , Also 2x - 4 = 4; x = 4.
In dieser Aufgabe ist 2x - 4 > 0, da > 0, daher können keine fremden Wurzeln auftreten, und es besteht keine Notwendigkeit zur Überprüfung. Die Bedingung 2x - 4 > 0 muss in dieser Aufgabe nicht ausgeschrieben werden.
2. Potenzierung(Übergang vom Logarithmus des angegebenen Ausdrucks zu diesem Ausdruck selbst).
Prüfen Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2
Welche Funktion ist Ihnen aufgefallen? (Die Basen sind gleich und die Logarithmen der beiden Ausdrücke sind gleich). Was kann getan werden? (potenzieren).
Dabei ist zu berücksichtigen, dass jede Lösung unter allen x enthalten ist, für die die Logarithmusausdrücke positiv sind.
Lösung: ODZ:
X2+8>0 zusätzliche Ungleichheit
log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)
log5(x2+8)=log5(8x+8)
Potenzieren Sie die ursprüngliche Gleichung
wir erhalten die Gleichung x2+8= 8x+8
Wir lösen es: x2-8x=0
Antwort: 0; acht
Im Allgemeinen Übergang zu einem gleichwertigen System:
Die gleichung
(Das System enthält eine redundante Bedingung - eine der Ungleichungen kann ignoriert werden).
Frage an die Klasse: Welche dieser drei Lösungen hat Ihnen am besten gefallen? (Methodendiskussion).
Sie haben das Recht, in irgendeiner Weise zu entscheiden.
3. Einführung einer neuen Variablen.
Prüfen Nr. 520(g). .
Was haben Sie bemerkt? (Dies ist eine quadratische Gleichung für log3x) Irgendwelche Vorschläge? (Neue Variable einführen)
Entscheidung. ODZ: x > 0.
Sei , dann nimmt die Gleichung die Form an:. Diskriminante D > 0. Wurzeln nach Satz von Vieta:.
Kehren wir zum Ersatz zurück: oder .
Lösen wir die einfachsten logarithmischen Gleichungen, erhalten wir:
Antwort: 27;
4. Logarithmus beider Seiten der Gleichung.
Löse die Gleichung:.
Lösung: ODZ: x>0, beide Seiten der Gleichung zur Basis 10 logarithmieren:
Wenden Sie die Eigenschaft des Logarithmus des Grades an:
(lgx + 3) lgx = 4
Sei lgx = y, dann ist (y + 3)y = 4
, (D > 0) die Nullstellen nach dem Satz von Vieta: y1 = -4 und y2 = 1.
Kehren wir zur Ersetzung zurück, wir erhalten: lgx = -4,; log x = 1, .
Antwort: 0,0001; zehn.
5. Reduktion auf eine Base.
Nr. 523(c). Löse die Gleichung:
Lösung: ODZ: x>0. Kommen wir zu Basis 3.
6. Funktional-grafische Methode.
№ 509(d). Lösen Sie grafisch die Gleichung: = 3 - x.
Wie schlägst du vor zu lösen? (Erstellen Sie Graphen von zwei Funktionen y \u003d log2x und y \u003d 3 - x nach Punkten und suchen Sie nach der Abszisse der Schnittpunkte der Graphen).
Sehen Sie Ihre Lösung auf der Folie.
Gibt es eine Möglichkeit, das Plotten zu vermeiden? . Es ist wie folgt : wenn eine der Funktionen y = f(x) erhöht und die andere y = g(x) auf dem Intervall X abnimmt, dann die Gleichung f(x)=g(x) hat höchstens eine Nullstelle auf dem Intervall X.
Wenn es eine Wurzel gibt, dann kann sie erraten werden.
In unserem Fall steigt die Funktion für x>0 und die Funktion y \u003d 3 - x nimmt für alle Werte von x ab, einschließlich x>0, was bedeutet, dass die Gleichung nicht mehr als eine Wurzel hat. Beachten Sie, dass sich die Gleichung für x = 2 in eine echte Gleichheit verwandelt, da .
„Die richtige Anwendung von Methoden ist erlernbar,
nur indem man sie auf verschiedene Beispiele anwendet.
Dänischer Mathematikhistoriker G. G. Zeiten
ichV. Hausaufgaben
S. 39 Betrachte Beispiel 3, löse Nr. 514 (b), Nr. 529 (b), Nr. 520 (b), Nr. 523 (b)
V. Zusammenfassung der Lektion
Welche Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen haben wir in der Lektion betrachtet?
In den nächsten Lektionen werden wir uns komplexere Gleichungen ansehen. Um sie zu lösen, sind die untersuchten Methoden nützlich.
Anzeige der letzten Folie:
„Was ist mehr als alles andere auf der Welt?
Platz.
Was ist am klügsten?
Zeit.
Was macht am meisten Spaß?
Erreiche, was du willst."
Thales
Ich möchte, dass jeder das erreicht, was er will. Vielen Dank für Ihre Mitarbeit und Ihr Verständnis.
Mit diesem Video beginne ich eine lange Reihe von Lektionen über logarithmische Gleichungen. Jetzt haben Sie drei Beispiele auf einmal, anhand derer wir lernen, die einfachsten Aufgaben zu lösen, die so genannt werden - Protozoen.
log 0,5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Ich möchte Sie daran erinnern, dass die einfachste logarithmische Gleichung die folgende ist:
loga f(x) = b
Wichtig ist, dass die Variable x nur innerhalb des Arguments vorhanden ist, also nur in der Funktion f(x). Und die Zahlen a und b sind nur Zahlen und keinesfalls Funktionen, die die Variable x enthalten.
Grundlegende Lösungsmethoden
Es gibt viele Möglichkeiten, solche Strukturen zu lösen. Zum Beispiel schlagen die meisten Lehrer in der Schule diesen Weg vor: Drücken Sie die Funktion f ( x ) sofort mit der Formel aus f( x) = ein b . Das heißt, wenn Sie auf die einfachste Konstruktion treffen, können Sie ohne zusätzliche Aktionen und Konstruktionen sofort zur Lösung übergehen.
Ja, natürlich wird sich die Entscheidung als richtig herausstellen. Das Problem mit dieser Formel ist jedoch, dass die meisten Studenten verstehen nicht, wo kommt es her und warum genau erhöhen wir den Buchstaben a auf den Buchstaben b.
Infolgedessen beobachte ich oft sehr anstößige Fehler, wenn zum Beispiel diese Buchstaben vertauscht werden. Diese Formel muss entweder verstanden oder auswendig gelernt werden, und die zweite Methode führt zu Fehlern in den unpassendsten und entscheidendsten Momenten: in Prüfungen, Tests usw.
Deshalb empfehle ich allen meinen Schülern, die Standard-Schulformel aufzugeben und den zweiten Ansatz zum Lösen von logarithmischen Gleichungen zu verwenden, der, wie Sie wahrscheinlich anhand des Namens erraten haben, heißt kanonische Form.
Die Idee der kanonischen Form ist einfach. Schauen wir uns noch einmal unsere Aufgabe an: Links haben wir log a , wobei der Buchstabe a genau die Zahl bedeutet und auf keinen Fall die Funktion, die die Variable x enthält. Daher unterliegt dieser Buchstabe allen Beschränkungen, die der Basis des Logarithmus auferlegt werden. nämlich:
1 ≠ a > 0
Andererseits sehen wir aus derselben Gleichung, dass der Logarithmus gleich der Zahl b sein muss und diesem Buchstaben keine Beschränkungen auferlegt werden, da er jeden Wert annehmen kann – sowohl positiv als auch negativ. Es hängt alles davon ab, welche Werte die Funktion f(x) annimmt.
Und hier erinnern wir uns an unsere wunderbare Regel, dass jede Zahl b als Logarithmus zur Basis a von a hoch b dargestellt werden kann:
b = log a a b
Wie kann man sich diese Formel merken? Ja, ganz einfach. Schreiben wir folgende Konstruktion:
b = b 1 = b log a a
Natürlich gelten in diesem Fall alle Einschränkungen, die wir eingangs aufgeschrieben haben. Und jetzt nutzen wir die Grundeigenschaft des Logarithmus und geben den Faktor b als Potenz von a ein. Wir bekommen:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Als Ergebnis wird die ursprüngliche Gleichung in der folgenden Form umgeschrieben:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Das ist alles. Die neue Funktion enthält keinen Logarithmus mehr und wird mit Standardalgebratechniken gelöst.
Natürlich wird jetzt jemand einwenden: Warum musste man sich überhaupt eine Art kanonische Formel einfallen lassen, warum zwei zusätzliche unnötige Schritte durchführen, wenn es möglich war, sofort von der ursprünglichen Konstruktion zur endgültigen Formel zu gelangen? Ja, schon allein deshalb, weil die meisten Studierenden nicht verstehen, woher diese Formel kommt und sich dadurch regelmäßig Fehler bei der Anwendung machen.
Aber eine solche Abfolge von Aktionen, die aus drei Schritten besteht, ermöglicht es Ihnen, die ursprüngliche logarithmische Gleichung zu lösen, auch wenn Sie nicht verstehen, woher diese endgültige Formel kommt. Dieser Eintrag heißt übrigens die kanonische Formel:
log a f(x) = log a a b
Die Bequemlichkeit der kanonischen Form liegt auch in der Tatsache, dass sie verwendet werden kann, um eine sehr breite Klasse von logarithmischen Gleichungen zu lösen, und nicht nur die einfachsten, die wir heute betrachten.
Lösungsbeispiele
Schauen wir uns nun reale Beispiele an. Entscheiden wir also:
log 0,5 (3x - 1) = -3
Schreiben wir es so um:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Viele Schüler haben es eilig und versuchen, die Zahl 0,5 sofort mit der Potenz zu potenzieren, die uns aus der ursprünglichen Aufgabe zugekommen ist. Und tatsächlich, wenn Sie bereits gut darin trainiert sind, solche Probleme zu lösen, können Sie diesen Schritt sofort ausführen.
Wenn Sie jedoch gerade erst anfangen, sich mit diesem Thema zu befassen, ist es besser, sich nirgendwohin zu beeilen, um keine beleidigenden Fehler zu machen. Wir haben also die kanonische Form. Wir haben:
3x - 1 = 0,5 -3
Dies ist keine logarithmische Gleichung mehr, sondern eine lineare bezüglich der Variablen x. Um es zu lösen, beschäftigen wir uns zunächst mit der Zahl 0,5 hoch −3. Beachten Sie, dass 0,5 1/2 ist.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Wandle alle Dezimalzahlen in Brüche um, wenn du eine logarithmische Gleichung löst.
Wir schreiben um und erhalten:
3x − 1 = 8
3x=9
x=3
Alles, was wir haben, ist die Antwort. Die erste Aufgabe ist gelöst.
Zweite Aufgabe
Kommen wir zur zweiten Aufgabe:
Wie Sie sehen können, ist diese Gleichung nicht mehr die einfachste. Schon allein deshalb, weil die Differenz links ist und nicht ein einziger Logarithmus in einer Basis.
Daher müssen Sie diesen Unterschied irgendwie beseitigen. In diesem Fall ist alles sehr einfach. Schauen wir uns die Basen genauer an: Links steht die Zahl unter der Wurzel:
Generelle Empfehlung: Versuchen Sie bei allen logarithmischen Gleichungen die Wurzel wegzubekommen, also von Einträgen mit Wurzeln zu Potenzfunktionen überzugehen, einfach weil die Exponenten dieser Potenzen leicht aus dem Vorzeichen des Logarithmus genommen werden und letztlich so eine Notation vereinfacht und beschleunigt Berechnungen erheblich. Schreiben wir es so:
Jetzt erinnern wir uns an die bemerkenswerte Eigenschaft des Logarithmus: Sowohl aus dem Argument als auch aus der Basis kann man Grade ableiten. Bei Basen passiert folgendes:
log a k b = 1/k loga b
Mit anderen Worten, die Zahl, die im Grad der Basis stand, wird vorgezogen und gleichzeitig umgedreht, das heißt, sie wird zum Kehrwert der Zahl. In unserem Fall gab es einen Basengrad mit einem Indikator von 1/2. Daher können wir es als 2/1 herausnehmen. Wir bekommen:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Bitte beachten Sie: Auf keinen Fall sollten Sie bei diesem Schritt auf Logarithmen verzichten. Denken Sie an Mathematik der 4. bis 5. Klasse und die Reihenfolge der Operationen zurück: Zuerst wird multipliziert, und erst dann werden Addition und Subtraktion durchgeführt. In diesem Fall subtrahieren wir eines der gleichen Elemente von 10 Elementen:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Jetzt sieht unsere Gleichung so aus, wie sie sollte. Dies ist die einfachste Konstruktion, und wir lösen sie mit der kanonischen Form:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25
Das ist alles. Das zweite Problem ist gelöst.
Drittes Beispiel
Kommen wir zur dritten Aufgabe:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Erinnern Sie sich an die folgende Formel:
log b = log 10 b
Wenn Sie aus irgendeinem Grund durch das Schreiben von lg b verwirrt sind, können Sie bei allen Berechnungen einfach log 10 b schreiben. Du kannst mit dezimalen Logarithmen genauso arbeiten wie mit anderen: Potenzen ziehen, addieren und jede Zahl als lg 10 darstellen.
Genau diese Eigenschaften werden wir nun zur Lösung des Problems verwenden, da es nicht das einfachste ist, das wir ganz am Anfang unserer Lektion aufgeschrieben haben.
Beachten Sie zunächst, dass der Faktor 2 vor lg 5 eingesetzt werden kann und zu einer Potenz zur Basis 5 wird. Außerdem kann der freie Term 3 auch als Logarithmus dargestellt werden – dies lässt sich anhand unserer Notation sehr gut beobachten.
Überzeugen Sie sich selbst: Jede Zahl kann als Logarithmus zur Basis 10 dargestellt werden:
3 = Protokoll 10 10 3 = Protokoll 10 3
Schreiben wir das ursprüngliche Problem unter Berücksichtigung der erhaltenen Änderungen um:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000
Vor uns liegt wieder die kanonische Form, und wir haben sie erhalten, indem wir die Stufe der Transformationen umgangen haben, d. H. Die einfachste logarithmische Gleichung ist bei uns nirgendwo aufgetaucht.
Das war es, worüber ich ganz am Anfang der Lektion gesprochen habe. Die kanonische Form ermöglicht die Lösung einer größeren Klasse von Problemen als die Standardschulformel, die von den meisten Schullehrern gegeben wird.
Das ist alles, wir entfernen das Vorzeichen des Dezimallogarithmus und erhalten eine einfache lineare Konstruktion:
x + 3 = 25.000
x = 24997
Alles! Problem gelöst.
Eine Anmerkung zum Umfang
Hier möchte ich eine wichtige Bemerkung zum Definitionsbereich machen. Sicherlich gibt es jetzt Schüler und Lehrer, die sagen werden: „Wenn wir Ausdrücke mit Logarithmen lösen, müssen wir unbedingt daran denken, dass das Argument f (x) größer als Null sein muss!“ In diesem Zusammenhang stellt sich eine logische Frage: Warum haben wir bei keinem der betrachteten Probleme gefordert, dass diese Ungleichung erfüllt ist?
Machen Sie sich keine Sorgen. In diesen Fällen werden keine zusätzlichen Wurzeln angezeigt. Und dies ist ein weiterer großartiger Trick, mit dem Sie die Lösung beschleunigen können. Wisse nur, dass, wenn in der Aufgabe die Variable x nur an einer Stelle vorkommt (oder besser gesagt, im einzigen Argument des einzigen Logarithmus) und nirgendwo sonst in unserem Fall die Variable x vorkommt, dann schreibe den Definitionsbereich nicht nötig weil es automatisch läuft.
Überzeugen Sie sich selbst: In der ersten Gleichung haben wir 3x - 1 erhalten, d.h. das Argument sollte gleich 8 sein. Dies bedeutet automatisch, dass 3x - 1 größer als Null ist.
Mit gleichem Erfolg können wir schreiben, dass im zweiten Fall x gleich 5 2 sein muss, also auf jeden Fall größer als Null ist. Und im dritten Fall, wo x + 3 = 25.000, also wieder offensichtlich größer als Null. Mit anderen Worten, der Geltungsbereich ist automatisch, aber nur, wenn x nur im Argument von nur einem Logarithmus vorkommt.
Das ist alles, was Sie wissen müssen, um einfache Probleme zu lösen. Allein diese Regel zusammen mit den Transformationsregeln ermöglicht es Ihnen, eine sehr breite Klasse von Problemen zu lösen.
Aber seien wir ehrlich: Um diese Technik endlich zu verstehen, um zu lernen, wie man die kanonische Form der logarithmischen Gleichung anwendet, reicht es nicht aus, nur eine Videolektion anzusehen. Laden Sie daher jetzt die Optionen für eine unabhängige Lösung herunter, die diesem Video-Tutorial beigefügt sind, und beginnen Sie mit der Lösung mindestens einer dieser beiden unabhängigen Arbeiten.
Es dauert nur ein paar Minuten. Aber der Effekt eines solchen Trainings wird viel größer sein, als wenn Sie sich nur dieses Video-Tutorial angesehen hätten.
Ich hoffe, diese Lektion wird Ihnen helfen, logarithmische Gleichungen zu verstehen. Wenden Sie die kanonische Form an, vereinfachen Sie Ausdrücke mit den Regeln für die Arbeit mit Logarithmen - und Sie werden keine Angst vor Aufgaben haben. Und das ist alles, was ich für heute habe.
Scope-Betrachtung
Lassen Sie uns nun über den Definitionsbereich der logarithmischen Funktion sprechen und wie sich dies auf die Lösung logarithmischer Gleichungen auswirkt. Betrachten Sie eine Konstruktion des Formulars
loga f(x) = b
Ein solcher Ausdruck wird als der einfachste bezeichnet - er hat nur eine Funktion, und die Zahlen a und b sind nur Zahlen und auf keinen Fall eine Funktion, die von der Variablen x abhängt. Es ist ganz einfach gelöst. Sie müssen nur die Formel verwenden:
b = log a a b
Diese Formel ist eine der Schlüsseleigenschaften des Logarithmus, und wenn wir sie in unseren ursprünglichen Ausdruck einsetzen, erhalten wir Folgendes:
log a f(x) = log a a b
f(x) = ein b
Das ist bereits eine bekannte Formel aus Schulbüchern. Viele Studenten werden wahrscheinlich eine Frage haben: Da die Funktion f ( x ) im ursprünglichen Ausdruck unter dem Log-Zeichen steht, werden ihr folgende Einschränkungen auferlegt:
f(x) > 0
Diese Einschränkung gilt, weil der Logarithmus negativer Zahlen nicht existiert. Vielleicht sollten Sie aufgrund dieser Einschränkung eine Überprüfung auf Antworten einführen? Vielleicht müssen sie in der Quelle ersetzt werden?
Nein, bei den einfachsten logarithmischen Gleichungen erübrigt sich eine zusätzliche Prüfung. Und deshalb. Werfen Sie einen Blick auf unsere endgültige Formel:
f(x) = ein b
Tatsache ist, dass die Zahl a in jedem Fall größer als 0 ist - diese Anforderung wird auch durch den Logarithmus auferlegt. Die Zahl a ist die Basis. In diesem Fall werden der Anzahl b keine Beschränkungen auferlegt. Aber das spielt keine Rolle, denn egal wie stark wir eine positive Zahl erhöhen, wir werden immer noch eine positive Zahl am Ausgang erhalten. Damit ist die Bedingung f (x) > 0 automatisch erfüllt.
Was sich wirklich lohnt, ist der Funktionsumfang unter dem Log-Zeichen. Es kann ziemlich komplexe Designs geben, und bei der Lösung müssen Sie ihnen unbedingt folgen. Werfen wir einen Blick darauf.
Erste Aufgabe:
Erster Schritt: Wandle den rechten Bruch um. Wir bekommen:
Wir werden das Vorzeichen des Logarithmus los und erhalten die übliche irrationale Gleichung:
Von den erhaltenen Wurzeln passt nur die erste zu uns, da die zweite Wurzel kleiner als Null ist. Die einzige Antwort wird die Nummer 9 sein. Das war's, das Problem ist gelöst. Es sind keine zusätzlichen Überprüfungen erforderlich, ob der Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen größer als 0 ist, da er nicht nur größer als 0, sondern durch die Bedingung der Gleichung gleich 2 ist. Daher ist die Anforderung "größer als Null" automatisch erfüllt.
Kommen wir zur zweiten Aufgabe:
Hier ist alles dasselbe. Wir schreiben die Konstruktion um und ersetzen das Tripel:
Wir werden die Vorzeichen des Logarithmus los und erhalten eine irrationale Gleichung:
Wir quadrieren beide Teile unter Berücksichtigung der Restriktionen und erhalten:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Wir lösen die resultierende Gleichung durch die Diskriminante:
D \u003d 49 - 24 \u003d 25
x 1 = -1
x 2 \u003d -6
Aber x = −6 passt nicht zu uns, denn wenn wir diese Zahl in unsere Ungleichung einsetzen, erhalten wir:
−6 + 4 = −2 < 0
In unserem Fall ist es erforderlich, dass es größer als 0 oder im Extremfall gleich ist. Aber x = −1 passt zu uns:
−1 + 4 = 3 > 0
Die einzige Antwort in unserem Fall ist x = −1. Das ist die Lösung. Gehen wir zurück zum Anfang unserer Berechnungen.
Die wichtigste Schlussfolgerung aus dieser Lektion ist, dass es nicht erforderlich ist, die Grenzwerte für eine Funktion in den einfachsten logarithmischen Gleichungen zu überprüfen. Denn im Prozess der Lösung werden alle Constraints automatisch ausgeführt.
Dies bedeutet jedoch keineswegs, dass Sie die Verifizierung ganz vergessen können. Bei der Arbeit an einer logarithmischen Gleichung kann daraus eine irrationale werden, die ihre eigenen Einschränkungen und Anforderungen für die rechte Seite hat, wie wir heute an zwei verschiedenen Beispielen gesehen haben.
Fühlen Sie sich frei, solche Probleme zu lösen, und seien Sie besonders vorsichtig, wenn das Argument eine Wurzel hat.
Logarithmische Gleichungen mit verschiedenen Basen
Wir studieren weiterhin logarithmische Gleichungen und analysieren zwei weitere ziemlich interessante Tricks, mit denen es in Mode ist, komplexere Strukturen zu lösen. Aber erinnern wir uns zuerst, wie die einfachsten Aufgaben gelöst werden:
loga f(x) = b
In dieser Notation sind a und b nur Zahlen, und in der Funktion f (x) muss die Variable x vorhanden sein, und nur dort, dh x darf nur im Argument stehen. Wir werden solche logarithmischen Gleichungen in die kanonische Form umwandeln. Dafür merken wir das an
b = log a a b
Und a b ist nur ein Argument. Schreiben wir diesen Ausdruck wie folgt um:
log a f(x) = log a a b
Genau das versuchen wir zu erreichen, sodass sowohl links als auch rechts ein Logarithmus zur Basis a steht. In diesem Fall können wir bildlich gesprochen die Vorzeichen von log durchstreichen und aus mathematischer Sicht können wir sagen, dass wir die Argumente einfach gleichsetzen:
f(x) = ein b
Als Ergebnis erhalten wir einen neuen Ausdruck, der viel einfacher gelöst werden kann. Wenden wir diese Regel heute auf unsere Aufgaben an.
Also der erste Entwurf:
Zunächst stelle ich fest, dass rechts ein Bruch steht, dessen Nenner log ist. Wenn Sie einen Ausdruck wie diesen sehen, sollten Sie sich an die wunderbare Eigenschaft von Logarithmen erinnern:
Ins Russische übersetzt bedeutet dies, dass jeder Logarithmus als Quotient zweier Logarithmen mit beliebiger Basis c dargestellt werden kann. Natürlich 0< с ≠ 1.
Also: Diese Formel hat einen wunderbaren Spezialfall, wenn die Variable c gleich der Variablen ist b. In diesem Fall erhalten wir eine Konstruktion der Form:
Es ist diese Konstruktion, die wir anhand des Vorzeichens rechts in unserer Gleichung beobachten. Ersetzen wir diese Konstruktion durch log a b , erhalten wir:
Das heißt, wir haben im Vergleich zur ursprünglichen Aufgabe das Argument und die Basis des Logarithmus vertauscht. Stattdessen mussten wir den Bruch umdrehen.
Wir erinnern daran, dass jeder Abschluss gemäß der folgenden Regel aus der Basis genommen werden kann:
Mit anderen Worten, der Koeffizient k, der der Grad der Basis ist, wird als umgekehrter Bruch herausgenommen. Nehmen wir es als umgekehrten Bruch heraus:
Der Bruchfaktor kann nicht vorangestellt werden, da wir in diesem Fall diesen Eintrag nicht als kanonische Form darstellen können (schließlich gibt es in der kanonischen Form keinen zusätzlichen Faktor vor dem zweiten Logarithmus). Setzen wir also den Bruch 1/4 als Potenz in das Argument ein:
Jetzt setzen wir die Argumente gleich, deren Basen gleich sind (und wir haben wirklich die gleichen Basen) und schreiben:
x + 5 = 1
x = −4
Das ist alles. Wir haben die Antwort auf die erste logarithmische Gleichung. Achtung: In der ursprünglichen Aufgabe kommt die Variable x nur in einem Protokoll vor, und zwar in ihrem Argument. Daher ist es nicht nötig, den Definitionsbereich zu überprüfen, und unsere Zahl x = −4 ist tatsächlich die Antwort.
Kommen wir nun zum zweiten Ausdruck:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Hier müssen wir zusätzlich zu den üblichen Logarithmen mit lg f (x) arbeiten. Wie löst man eine solche Gleichung? Es mag einem unvorbereiteten Schüler scheinen, dass dies eine Art Zinn ist, aber tatsächlich ist alles elementar gelöst.
Sehen Sie sich den Begriff lg 2 log 2 7 genau an. Was können wir dazu sagen? Die Grundlagen und Argumente von log und lg sind gleich, und dies sollte einige Hinweise geben. Erinnern wir uns noch einmal daran, wie die Grade unter dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:
log a b n = n log a b
Mit anderen Worten, die Potenz der Zahl b im Argument wird zu einem Faktor vor log selbst. Wenden wir diese Formel auf den Ausdruck lg 2 log 2 7 an. Keine Angst vor lg 2 – das ist der gebräuchlichste Ausdruck. Du kannst es so umschreiben:
Für ihn gelten alle Regeln, die für jeden anderen Logarithmus gelten. Insbesondere kann der Faktor in front in die Kraft des Arguments eingebracht werden. Lass uns schreiben:
Sehr oft sehen die Schüler diese Aktion nicht, weil es nicht gut ist, ein Protokoll unter dem Zeichen eines anderen einzugeben. Tatsächlich ist daran nichts Kriminelles. Außerdem erhalten wir eine Formel, die leicht zu berechnen ist, wenn Sie sich an eine wichtige Regel erinnern:
Diese Formel kann sowohl als Definition als auch als eine ihrer Eigenschaften betrachtet werden. Wenn Sie eine logarithmische Gleichung umrechnen, sollten Sie diese Formel auf jeden Fall genauso kennen wie die Darstellung einer beliebigen Zahl in Form von log.
Wir kehren zu unserer Aufgabe zurück. Wir schreiben es unter Berücksichtigung der Tatsache um, dass der erste Term rechts vom Gleichheitszeichen einfach gleich lg 7 ist. Wir haben:
lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)
Bewegen wir lg 7 nach links, erhalten wir:
lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)
Wir subtrahieren die Ausdrücke auf der linken Seite, weil sie dieselbe Basis haben:
lg (56/7) = -3 lg (x + 4)
Schauen wir uns nun die Gleichung, die wir haben, genauer an. Es ist praktisch die kanonische Form, aber rechts steht ein Faktor −3. Setzen wir es in das richtige lg-Argument:
lg 8 = lg (x + 4) −3
Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung, also streichen wir die Zeichen von lg und setzen die Argumente gleich:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0,5
Das ist alles! Wir haben die zweite logarithmische Gleichung gelöst. In diesem Fall sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich, da x im ursprünglichen Problem nur in einem Argument vorhanden war.
Lassen Sie mich die wichtigsten Punkte dieser Lektion zusammenfassen.
Die Hauptformel, die in allen Lektionen auf dieser Seite zum Lösen logarithmischer Gleichungen studiert wird, ist die kanonische Form. Und lassen Sie sich nicht davon abschrecken, dass die meisten Schulbücher Ihnen beibringen, wie Sie diese Art von Problemen anders lösen können. Dieses Tool arbeitet sehr effizient und ermöglicht es Ihnen, eine viel breitere Klasse von Problemen zu lösen als die einfachsten, die wir zu Beginn unserer Lektion studiert haben.
Um logarithmische Gleichungen zu lösen, ist es außerdem hilfreich, die grundlegenden Eigenschaften zu kennen. Nämlich:
- Die Formel für das Bewegen zu einer Basis und ein Sonderfall, wenn wir das Protokoll umdrehen (dies war für uns bei der ersten Aufgabe sehr nützlich);
- Die Formel zum Einbringen und Herausnehmen von Potenzen unter dem Vorzeichen des Logarithmus. Hier bleiben viele Studenten stecken und sehen nicht sofort, dass die entnommene und eingebrachte Leistung selbst log f (x) enthalten kann. Daran ist nichts auszusetzen. Wir können ein Protokoll nach dem Vorzeichen eines anderen einführen und gleichzeitig die Lösung des Problems erheblich vereinfachen, was wir im zweiten Fall beobachten.
Abschließend möchte ich hinzufügen, dass es nicht erforderlich ist, in jedem dieser Fälle den Gültigkeitsbereich zu überprüfen, da die Variable x überall nur in einem Vorzeichen von log und gleichzeitig in ihrem Argument vorhanden ist. Dadurch werden alle Domain-Anforderungen automatisch erfüllt.
Probleme mit variabler Basis
Heute werden wir logarithmische Gleichungen betrachten, die vielen Schülern nicht standardmäßig, wenn nicht gar unlösbar erscheinen. Wir sprechen von Ausdrücken, die nicht auf Zahlen basieren, sondern auf Variablen und sogar Funktionen. Wir werden solche Konstruktionen mit unserer Standardtechnik lösen, nämlich durch die kanonische Form.
Erinnern wir uns zunächst daran, wie die einfachsten Probleme gelöst werden, die auf gewöhnlichen Zahlen basieren. So heißt die einfachste Konstruktion
loga f(x) = b
Um solche Probleme zu lösen, können wir die folgende Formel verwenden:
b = log a a b
Wir schreiben unseren ursprünglichen Ausdruck um und erhalten:
log a f(x) = log a a b
Dann setzen wir die Argumente gleich, d.h. wir schreiben:
f(x) = ein b
Somit werden wir das Protokollzeichen los und lösen das übliche Problem. In diesem Fall sind die in der Lösung erhaltenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Außerdem wird die Aufzeichnung, wenn sowohl links als auch rechts auf demselben Logarithmus mit derselben Basis stehen, als kanonische Form bezeichnet. Auf diese Aufzeichnung werden wir versuchen, die heutigen Konstruktionen zu reduzieren. So lass uns gehen.
Erste Aufgabe:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Ersetze 1 durch log x − 2 (x − 2) 1 . Der Grad, den wir in dem Argument beobachten, ist tatsächlich die Zahl b , die rechts vom Gleichheitszeichen stand. Schreiben wir also unseren Ausdruck um. Wir bekommen:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Was sehen wir? Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung, sodass wir die Argumente sicher gleichsetzen können. Wir bekommen:
2x2 - 13x + 18 = x - 2
Aber die Lösung endet hier nicht, weil diese Gleichung nicht der ursprünglichen entspricht. Schließlich besteht die resultierende Konstruktion aus Funktionen, die auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert sind, und unsere ursprünglichen Logarithmen sind nicht überall und nicht immer definiert.
Daher müssen wir den Definitionsbereich separat aufschreiben. Seien wir nicht klüger und schreiben zuerst alle Anforderungen auf:
Erstens muss das Argument jedes Logarithmus größer als 0 sein:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Zweitens muss die Basis nicht nur größer als 0, sondern auch ungleich 1 sein:
x − 2 ≠ 1
Als Ergebnis erhalten wir das System:
Aber keine Sorge: Bei der Verarbeitung von logarithmischen Gleichungen kann ein solches System stark vereinfacht werden.
Urteilen Sie selbst: Einerseits wird von uns verlangt, dass die quadratische Funktion größer als Null ist, und andererseits wird diese quadratische Funktion einem bestimmten linearen Ausdruck gleichgesetzt, der ebenfalls erforderlich ist, dass sie größer als Null ist.
Wenn wir in diesem Fall fordern, dass x − 2 > 0, dann ist die Bedingung 2x 2 − 13x + 18 > 0 automatisch erfüllt, sodass wir die Ungleichung, die eine quadratische Funktion enthält, getrost streichen können. Somit wird die Anzahl der in unserem System enthaltenen Ausdrücke auf drei reduziert.
Natürlich könnten wir genauso gut die lineare Ungleichung streichen, also x - 2 > 0 streichen und fordern, dass 2x 2 - 13x + 18 > 0 ist. Aber Sie müssen zugeben, dass das Lösen der einfachsten linearen Ungleichung viel schneller und einfacher ist, als quadratisch, selbst wenn wir als Ergebnis der Lösung dieses gesamten Systems dieselben Nullstellen erhalten.
Versuchen Sie im Allgemeinen, Berechnungen nach Möglichkeit zu optimieren. Und bei logarithmischen Gleichungen streichen Sie die schwierigsten Ungleichungen durch.
Schreiben wir unser System um:
Hier ist ein solches System von drei Ausdrücken, von denen wir tatsächlich zwei bereits herausgefunden haben. Lassen Sie uns die quadratische Gleichung separat aufschreiben und lösen:
2x2 - 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Vor uns liegt ein reduziertes quadratisches Trinom und daher können wir die Vieta-Formeln verwenden. Wir bekommen:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
Nun, zurück zu unserem System, stellen wir fest, dass x = 2 nicht zu uns passt, da x strikt größer als 2 sein muss.
Aber x \u003d 5 passt ganz gut zu uns: Die Zahl 5 ist größer als 2 und gleichzeitig ist 5 nicht gleich 3. Daher ist x \u003d 5 die einzige Lösung für dieses System.
Alles, die Aufgabe ist gelöst, einschließlich der Berücksichtigung der ODZ. Kommen wir zur zweiten Gleichung. Hier warten wir auf weitere interessante und aussagekräftige Berechnungen:
Der erste Schritt: Wie auch beim letzten Mal bringen wir all diese Geschäfte in eine kanonische Form. Dazu können wir die Zahl 9 wie folgt schreiben:
Die Basis mit der Wurzel kann nicht berührt werden, aber es ist besser, das Argument umzuwandeln. Gehen wir von der Wurzel zur Potenz mit einem rationalen Exponenten. Lass uns schreiben:
Lassen Sie mich nicht unsere ganze große logarithmische Gleichung umschreiben, sondern gleich die Argumente gleichsetzen:
x 3 + 10 x 2 + 31 x + 30 = x 3 + 9 x 2 + 27 x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Vor uns liegt das wieder reduzierte quadratische Trinom, wir verwenden die Vieta-Formeln und schreiben:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Also haben wir die Wurzeln bekommen, aber niemand hat uns garantiert, dass sie auf die ursprüngliche logarithmische Gleichung passen würden. Immerhin bringen Logzeichen zusätzliche Einschränkungen mit sich (hier müssten wir das System aufschreiben, aber aufgrund der Umständlichkeit der ganzen Konstruktion habe ich mich entschieden, den Definitionsbereich separat zu berechnen).
Denken Sie zunächst daran, dass die Argumente größer als 0 sein müssen, nämlich:
Dies sind die Anforderungen, die der Definitionsbereich auferlegt.
Wir bemerken sofort, dass wir, da wir die ersten beiden Ausdrücke des Systems miteinander gleichsetzen, jeden von ihnen streichen können. Lassen Sie uns das erste durchstreichen, weil es bedrohlicher aussieht als das zweite.
Beachten Sie außerdem, dass die Lösungen der zweiten und dritten Ungleichung dieselben Mengen sind (der Würfel einer Zahl ist größer als Null, wenn diese Zahl selbst größer als Null ist; ähnlich wie bei der Wurzel dritten Grades - diese Ungleichungen sind völlig ähnlich, also können wir eine davon streichen).
Aber mit der dritten Ungleichung wird das nicht funktionieren. Lassen Sie uns das Zeichen des Radikals auf der linken Seite los, für das wir beide Teile zu einem Würfel erheben. Wir bekommen:
Wir erhalten also folgende Anforderungen:
−2 ≠ x > −3
Welche unserer Wurzeln: x 1 = -3 oder x 2 = -1 erfüllt diese Anforderungen? Offensichtlich nur x = −1, weil x = −3 die erste Ungleichung nicht erfüllt (weil unsere Ungleichung streng ist). Insgesamt erhalten wir, zurück zu unserem Problem, eine Wurzel: x = −1. Das ist es, Problem gelöst.
Noch einmal die Kernpunkte dieser Aufgabe:
- Fühlen Sie sich frei, logarithmische Gleichungen in kanonischer Form anzuwenden und zu lösen. Studenten, die eine solche Aufzeichnung machen und nicht direkt von der ursprünglichen Aufgabe zu einer Konstruktion wie log a f ( x ) = b gehen, machen viel weniger Fehler als diejenigen, die irgendwo in Eile sind und Zwischenschritte bei Berechnungen überspringen;
- Sobald im Logarithmus eine variable Basis auftritt, ist das Problem nicht mehr das einfachste. Daher muss bei der Lösung der Definitionsbereich berücksichtigt werden: Die Argumente müssen größer als Null sein, und die Basen dürfen nicht nur größer als 0, sondern auch nicht gleich 1 sein.
Sie können die letzten Anforderungen an die endgültigen Antworten auf verschiedene Arten stellen. Beispielsweise ist es möglich, ein ganzes System zu lösen, das alle Domänenanforderungen enthält. Andererseits können Sie zuerst das Problem selbst lösen und sich dann an den Definitionsbereich erinnern, es in Form eines Systems separat ausarbeiten und auf die erhaltenen Wurzeln anwenden.
Welchen Weg Sie beim Lösen einer bestimmten logarithmischen Gleichung wählen, liegt ganz bei Ihnen. In jedem Fall wird die Antwort dieselbe sein.
