Eine geometrische Folge ist eine numerische Folge, deren erster Term ungleich Null ist und jeder nächste Term gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ungleich Null ist.

Der geometrische Verlauf ist bezeichnet b1,b2,b3, …, bn, … .

Das Verhältnis jedes Terms des geometrischen Fehlers zu seinem vorherigen Term ist gleich der gleichen Zahl, d. h. b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+). 1)/Mrd. = …. Dies folgt direkt aus der Definition einer arithmetischen Progression. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet. Üblicherweise wird der Nenner einer geometrischen Folge mit dem Buchstaben q bezeichnet.

Monotone und konstante Folge

Eine Möglichkeit, eine geometrische Folge festzulegen, besteht darin, ihren ersten Term b1 und den Nenner des geometrischen Fehlers q festzulegen. Beispiel: b1=4, q=-2. Diese beiden Bedingungen ergeben eine geometrische Progression von 4, -8, 16, -32, … .

Wenn q > 0 (q ist ungleich 1), dann ist die Progression monotone Folge. Beispielsweise ist die Folge 2, 4,8,16,32, ... eine monoton ansteigende Folge (b1=2, q=2).

Wenn der Nenner q = 1 im geometrischen Fehler ist, dann sind alle Glieder der geometrischen Folge einander gleich. In solchen Fällen spricht man von einer Progression konstante Folge.

Formel des n-ten Gliedes einer geometrischen Folge

Damit die Zahlenfolge (bn) eine geometrische Folge ist, ist es notwendig, dass jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem zweiten, das geometrische Mittel der benachbarten Glieder ist. Das heißt, es ist notwendig, die folgende Gleichung zu erfüllen
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), für jedes n>0, wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Die Formel für das n-te Glied einer geometrischen Folge lautet:

bn=b1*q^(n-1),

wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Die Formel für die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge

Die Formel für die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge lautet:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) wobei q ungleich 1 ist.

Betrachten Sie ein einfaches Beispiel:

In der geometrischen Folge b1=6, q=3, n=8 findet man Sn.

Um S8 zu finden, verwenden wir die Formel für die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

Zum Beispiel, Folge \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… ist eine geometrische Folge, weil sich jedes nächste Element vom vorherigen um den Faktor zwei unterscheidet (mit anderen Worten, es kann aus dem vorherigen durch Multiplikation mit zwei erhalten werden):

Wie jede Folge wird eine geometrische Folge durch einen kleinen lateinischen Buchstaben gekennzeichnet. Die Zahlen, die eine Progression bilden, werden sie genannt Mitglieder(oder Elemente). Sie werden mit demselben Buchstaben wie die geometrische Folge bezeichnet, jedoch mit einem numerischen Index, der der Elementnummer in der Reihenfolge entspricht.

Zum Beispiel, besteht die geometrische Folge \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) aus den Elementen \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) und so weiter. Mit anderen Worten:

Wenn Sie die obigen Informationen verstehen, können Sie die meisten Probleme zu diesem Thema bereits lösen.

Beispiel (OGE):
Lösung:

Antworten : \(-686\).

Beispiel (OGE): Gegeben seien die ersten drei Terme der Progression \(324\); \(-108\); \(36\)…. Finden Sie \(b_5\).
Lösung:

	Um die Folge fortzusetzen, müssen wir den Nenner kennen. Lassen Sie uns es aus zwei benachbarten Elementen finden: Womit sollte \(324\) multipliziert werden, um \(-108\) zu erhalten?
\(324 q=-108\)	Von hier aus können wir den Nenner leicht berechnen.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Jetzt können wir leicht das Element finden, das wir brauchen.
	Antwort bereit.

Antworten : \(4\).

Beispiel: Die Progression ist durch die Bedingung \(b_n=0.8 5^n\) gegeben. Welche Zahl gehört zu dieser Progression:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0.8\) ?

Lösung: Aus dem Wortlaut der Aufgabe geht hervor, dass eine dieser Zahlen definitiv in unserem Fortschritt liegt. Daher können wir seine Mitglieder einfach einzeln berechnen, bis wir den benötigten Wert gefunden haben. Da unsere Progression durch die Formel gegeben ist, berechnen wir die Werte der Elemente, indem wir verschiedene \(n\) ersetzen:
\(n=1\); \(b_1=0.8 5^1=0.8 5=4\) – es gibt keine solche Zahl in der Liste. Wir machen weiter.
\(n=2\); \(b_2=0.8 5^2=0.8 25=20\) - und das gibt es auch nicht.
\(n=3\); \(b_3=0.8 5^3=0.8 125=100\) – und hier ist unser Champion!

Antworten: \(100\).

Beispiel (OGE): Gegeben sind mehrere aufeinanderfolgende Glieder der geometrischen Folge …\(8\); \(x\); \(fünfzig\); \(-125\)…. Ermitteln Sie den Wert des mit dem Buchstaben \(x\) bezeichneten Elements.

Lösung:

Antworten: \(-20\).

Beispiel (OGE): Die Progression ergibt sich aus den Bedingungen \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Finde die Summe der ersten \(4\) Terme dieser Progression.

Lösung:

Antworten: \(105\).

Beispiel (OGE): Es ist bekannt, dass exponentiell \(b_6=-11\),\(b_9=704\). Finde den Nenner \(q\).

Lösung:

	Aus dem Diagramm links ist ersichtlich, dass wir, um von \ (b_6 \) nach \ (b_9 \) zu „kommen“, drei „Schritte“ machen, dh wir multiplizieren \ (b_6 \) dreimal mit der Nenner der Progression. Mit anderen Worten, \(b_9=b_6 q q q=b_6 q^3\).
\(b_9=b_6 q^3\)	Ersetzen Sie die uns bekannten Werte.
\(704=(-11)q^3\)	„Kehren“ Sie die Gleichung um und teilen Sie sie durch \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Welche Kubikzahl ergibt \(-64\)? Natürlich \(-4\)!
	Antwort gefunden. Dies kann überprüft werden, indem die Zahlenkette von \(-11\) bis \(704\) wiederhergestellt wird.
	Alle einverstanden - die Antwort ist richtig.

Antworten: \(-4\).

Die wichtigsten Formeln

Wie Sie sehen können, können die meisten geometrischen Progressionsprobleme mit reiner Logik gelöst werden, einfach durch das Verständnis der Essenz (dies ist im Allgemeinen charakteristisch für Mathematik). Aber manchmal beschleunigt und erleichtert die Kenntnis bestimmter Formeln und Muster die Lösung erheblich. Wir werden zwei solche Formeln untersuchen.

Die Formel für das \(n\)-te Mitglied lautet: \(b_n=b_1 q^(n-1)\), wobei \(b_1\) das erste Mitglied der Progression ist; \(n\) – Nummer des gewünschten Elements; \(q\) ist der Nenner der Progression; \(b_n\) ist ein Mitglied der Progression mit der Nummer \(n\).

Mit dieser Formel können Sie beispielsweise das Problem vom ersten Beispiel an in nur einem Schritt lösen.

Beispiel (OGE): Der geometrische Verlauf ist durch die Bedingungen \(b_1=-2\) gegeben; \(q=7\). Finden Sie \(b_4\).
Lösung:

Antworten: \(-686\).

Dieses Beispiel war einfach, daher hat uns die Formel die Berechnungen nicht zu sehr erleichtert. Betrachten wir das Problem etwas komplizierter.

Beispiel: Der geometrische Verlauf ist durch die Bedingungen \(b_1=20480\) gegeben; \(q=\frac(1)(2)\). Finden Sie \(b_(12)\).
Lösung:

Antworten: \(10\).

\(\frac(1)(2)\) zur \(11\)-ten Potenz zu erheben ist natürlich nicht sehr erfreulich, aber immer noch einfacher als \(11\) \(20480\) durch zwei zu teilen.

Die Summe \(n\) der ersten Terme: \(S_n=\)\(\frac(b_1 (q^n-1))(q-1)\) , wobei \(b_1\) der erste Term ist der Progression; \(n\) – die Anzahl der summierten Elemente; \(q\) ist der Nenner der Progression; \(S_n\) ist die Summe \(n\) der ersten Mitglieder der Progression.

Beispiel (OGE): Gegeben sei eine geometrische Folge \(b_n\), deren Nenner \(5\) ist, und der erste Term \(b_1=\frac(2)(5)\). Finden Sie die Summe der ersten sechs Terme dieser Progression.
Lösung:

Antworten: \(1562,4\).

Und wieder könnten wir das Problem „auf der Stirn“ lösen – alle sechs Elemente der Reihe nach finden und dann die Ergebnisse addieren. Die Anzahl der Berechnungen und damit die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Fehlers würden jedoch dramatisch zunehmen.

Für eine geometrische Folge gibt es noch einige weitere Formeln, die wir hier wegen ihres geringen praktischen Nutzens nicht berücksichtigt haben. Sie können diese Formeln finden.

Zunehmende und abnehmende geometrische Progressionen

Für die Progression \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\), die ganz am Anfang des Artikels betrachtet wird, ist der Nenner \(q\) größer als eins, und daher ist jeder nächste Term größer als eins größer als die vorherige. Solche Progressionen werden aufgerufen zunehmend.

Wenn \(q\) kleiner als eins, aber positiv ist (d. h. zwischen null und eins liegt), dann ist jedes nächste Element kleiner als das vorherige. Zum Beispiel in der Progression \(4\); \(2\); \(eines\); \(0,5\); \(0.25\)… der Nenner von \(q\) ist \(\frac(1)(2)\).

Diese Progressionen werden aufgerufen abnehmend. Beachten Sie, dass keines der Elemente dieser Progression negativ sein wird, sie werden nur mit jedem Schritt kleiner und kleiner. Das heißt, wir werden uns allmählich dem Nullpunkt nähern, aber wir werden ihn nie erreichen und wir werden ihn nicht überschreiten. Mathematiker sagen in solchen Fällen "gegen Null streben".

Beachten Sie, dass bei einem negativen Nenner die Elemente einer geometrischen Folge zwangsläufig das Vorzeichen ändern. Zum Beispiel, die Progression \(5\); \(-fünfzehn\); \(45\); \(-135\); \(675\)... der Nenner von \(q\) ist \(-3\), und deshalb "blinken" die Vorzeichen der Elemente.

Betrachten wir eine Serie.

7 28 112 448 1792...

Es ist absolut klar, dass der Wert eines seiner Elemente genau viermal größer ist als der vorherige. Diese Serie ist also eine Weiterentwicklung.

Eine geometrische Folge ist eine unendliche Folge von Zahlen, deren Hauptmerkmal darin besteht, dass die nächste Zahl aus der vorherigen durch Multiplikation mit einer bestimmten Zahl erhalten wird. Dies wird durch die folgende Formel ausgedrückt.

a z +1 = a z q, wobei z die Nummer des ausgewählten Elements ist.

Dementsprechend ist z ∈ N.

Der Zeitraum, in dem eine geometrische Progression in der Schule gelernt wird, ist die 9. Klasse. Beispiele helfen Ihnen, das Konzept zu verstehen:

0.25 0.125 0.0625...

Basierend auf dieser Formel kann der Nenner der Progression wie folgt ermittelt werden:

Weder q noch b z können Null sein. Außerdem sollte jedes der Elemente der Progression nicht gleich Null sein.

Dementsprechend müssen Sie, um die nächste Zahl in der Reihe herauszufinden, die letzte mit q multiplizieren.

Um diese Progression anzugeben, müssen Sie ihr erstes Element und ihren Nenner angeben. Danach ist es möglich, jeden der nachfolgenden Terme und ihre Summe zu finden.

Sorten

Abhängig von q und a 1 wird diese Progression in mehrere Typen unterteilt:

• Wenn sowohl a 1 als auch q größer als eins sind, dann ist eine solche Folge eine geometrische Folge, die mit jedem nächsten Element ansteigt. Ein Beispiel dafür ist unten dargestellt.

Beispiel: a 1 =3, q=2 - beide Parameter sind größer als eins.

Dann kann die Zahlenfolge wie folgt geschrieben werden:

3 6 12 24 48 ...

• Wenn |q| kleiner als eins, d. h. die Multiplikation damit ist gleichbedeutend mit der Division, dann ist eine Progression mit ähnlichen Bedingungen eine abnehmende geometrische Progression. Ein Beispiel dafür ist unten dargestellt.

Beispiel: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ist größer als eins, q ist kleiner.

Dann kann die Zahlenfolge wie folgt geschrieben werden:

6 2 2/3 ... - jedes Element ist dreimal größer als das darauf folgende Element.

• Vorzeichenvariable. Wenn q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Beispiel: a 1 = -3 , q = -2 - beide Parameter sind kleiner als Null.

Dann kann die Folge wie folgt geschrieben werden:

3, 6, -12, 24,...

Formeln

Zur bequemen Verwendung geometrischer Progressionen gibt es viele Formeln:

• Formel des z-ten Gliedes. Ermöglicht es Ihnen, das Element unter einer bestimmten Nummer zu berechnen, ohne die vorherigen Nummern zu berechnen.

Beispiel:q = 3, a 1 = 4. Es ist erforderlich, das vierte Element der Progression zu berechnen.

Lösung:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Die Summe der ersten Elemente, deren Anzahl ist z. Ermöglicht die Berechnung der Summe aller Elemente einer Folge bis zuein zinklusive.

Seit (1-q) im Nenner steht, dann (1 - q)≠ 0, also ist q ungleich 1.

Hinweis: Wenn q = 1, dann wäre die Progression eine Folge einer sich unendlich wiederholenden Zahl.

Die Summe einer geometrischen Folge, Beispiele:a 1 = 2, q= -2. Berechnen Sie S5.

Lösung:S 5 = 22 - Berechnung nach Formel.

• Betrag, wenn |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Beispiel:a 1 = 2 , q= 0,5. Finden Sie den Betrag.

Lösung:Gr = 2 · = 4

Gr = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Einige Eigenschaften:

• charakteristische Eigenschaft. Wenn die folgende Bedingung für jeden durchgeführtz, dann ist die gegebene Zahlenreihe eine geometrische Folge:

ein z 2 = ein z -1 · az+1

• Außerdem wird das Quadrat einer beliebigen Zahl einer geometrischen Folge gefunden, indem die Quadrate von zwei beliebigen anderen Zahlen in einer bestimmten Reihe addiert werden, wenn sie von diesem Element gleich weit entfernt sind.

ein z 2 = ein z - t 2 + ein z + t 2 , wotist der Abstand zwischen diesen Zahlen.

• Elementeunterscheiden sich in qeinmal.
• Die Logarithmen der Progressionselemente bilden ebenfalls eine Progression, aber bereits arithmetisch, das heißt, jeder von ihnen ist um eine bestimmte Zahl größer als der vorherige.

Beispiele einiger klassischer Probleme

Um besser zu verstehen, was eine geometrische Progression ist, können Beispiele mit einer Lösung für die 9. Klasse helfen.

• Bedingungen:a 1 = 3, a 3 = 48. Findenq.

Lösung: Jedes nachfolgende Element ist größer als das vorherige inq einmal.Es ist notwendig, einige Elemente durch andere unter Verwendung eines Nenners auszudrücken.

Folglich,a 3 = q 2 · a 1

Beim Auswechselnq= 4

• Bedingungen:a 2 = 6, a 3 = 12. Berechnen Sie S6.

Lösung:Dazu reicht es aus, q, das erste Element, zu finden und es in die Formel einzusetzen.

a 3 = q· a 2 , Folglich,q= 2

a2 = q eine 1 ,deshalb eine 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Finden Sie das vierte Element der Progression.

Lösung: Dazu genügt es, das vierte Element durch das erste und durch den Nenner auszudrücken.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Anwendungsbeispiel:

• Der Kunde der Bank hat eine Einzahlung in Höhe von 10.000 Rubel getätigt, zu deren Bedingungen der Kunde jedes Jahr 6% davon zum Kapitalbetrag hinzufügt. Wie viel Geld ist nach 4 Jahren auf dem Konto?

Lösung: Der Anfangsbetrag beträgt 10.000 Rubel. Ein Jahr nach der Investition weist das Konto also einen Betrag von 10.000 + 10.000 auf · 0,06 = 10000 1,06

Dementsprechend wird der Betrag auf dem Konto nach einem weiteren Jahr wie folgt ausgedrückt:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Das heißt, jedes Jahr erhöht sich der Betrag um das 1,06-fache. Das bedeutet, dass es ausreicht, um den Geldbetrag auf dem Konto nach 4 Jahren zu finden, das vierte Element der Progression zu finden, das durch das erste Element gleich 10.000 und den Nenner gleich 1,06 gegeben ist.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Beispiele für Aufgaben zur Berechnung der Summe:

Bei verschiedenen Problemen wird eine geometrische Progression verwendet. Ein Beispiel für die Ermittlung der Summe kann wie folgt gegeben werden:

a 1 = 4, q= 2, berechnenS5.

Lösung: Alle für die Berechnung notwendigen Daten sind bekannt, Sie müssen sie nur in die Formel einsetzen.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Berechnen Sie die Summe der ersten sechs Elemente.

Lösung:

Geom. Progression, jedes nächste Element ist q-mal größer als das vorherige, d. h. um die Summe zu berechnen, müssen Sie das Element kennena 1 und Nennerq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Ebenso müssen wir findena 1 , wissenda 2 undq.

a 1 · q = a 2

eine 1 =2

S 6 = 728.

Ein Beispiel für eine geometrische Progression: 2, 6, 18, 54, 162.

Hier ist jeder Term nach dem ersten dreimal so groß wie der vorherige. Das heißt, jeder nachfolgende Term ist das Ergebnis der Multiplikation des vorherigen Terms mit 3:

2 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

In unserem Beispiel dividiert man den zweiten Term durch den ersten, den dritten durch den zweiten und so weiter. wir erhalten 3. Die Zahl 3 ist der Nenner dieser geometrischen Folge.

Beispiel:

Gehen wir zurück zu unserer geometrischen Folge 2, 6, 18, 54, 162. Nehmen wir den vierten Term und quadrieren ihn:
54 2 = 2916.

Nun multiplizieren wir die Terme links und rechts der Zahl 54:

18 162 = 2916.

Wie Sie sehen können, ist das Quadrat des dritten Terms gleich dem Produkt der benachbarten zweiten und vierten Terme.

Beispiel 1: Nehmen wir eine geometrische Folge, bei der der erste Term gleich 2 ist und der Nenner der geometrischen Folge gleich 1,5 ist. Wir müssen den 4. Term dieser Progression finden.

Gegeben:
b 1 = 2

q = 1,5
n = 4

————
b 4 - ?

Lösung.

Anwendung der Formel b n= b 1 q n- 1 , indem Sie die entsprechenden Werte einfügen:
b 4 \u003d 2 1,5 4 - 1 \u003d 2 1,5 3 \u003d 2 3,375 \u003d 6,75.

Antworten: Der vierte Term einer gegebenen geometrischen Folge ist die Zahl 6,75.

Beispiel 2: Finde das fünfte Mitglied der geometrischen Folge, wenn das erste und dritte Mitglied 12 bzw. 192 sind.

Gegeben:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?

Lösung.

1) Zuerst müssen wir den Nenner einer geometrischen Folge finden, ohne den es unmöglich ist, das Problem zu lösen. Als ersten Schritt leiten wir mit unserer Formel die Formel für b 3 her:

b 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2

Jetzt können wir den Nenner einer geometrischen Folge finden:

b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12

q= √16 = 4 oder -4.

2) Es bleibt der Wert zu finden b 5 .
Wenn ein q= 4, dann

b 5 = b 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.

Bei q= -4 wird das Ergebnis dasselbe sein. Somit hat das Problem eine Lösung.

Antworten: Das fünfte Glied der gegebenen geometrischen Folge ist die Zahl 3072.

Beispiel: Finden Sie die Summe der ersten fünf Terme der geometrischen Folge ( b n), in der der erste Term gleich 2 ist und der Nenner einer geometrischen Folge 3 ist.

Gegeben:

b 1 = 2

q = 3

n = 5
————
S 5 - ?

Lösung.

Wir wenden die zweite der beiden obigen Formeln an:

b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

Antworten: Die Summe der ersten fünf Glieder einer gegebenen geometrischen Folge ist 242.

Die Summe einer unendlichen geometrischen Folge.

Es ist notwendig, zwischen den Begriffen „Summe einer unendlichen geometrischen Folge“ und „Summe“ zu unterscheiden n Mitglieder einer geometrischen Folge. Das zweite Konzept bezieht sich auf jede geometrische Progression und das erste - nur auf eine, bei der der Nenner kleiner als 1 Modulo ist.

>>Mathe: Geometrische Progression

Der Bequemlichkeit des Lesers halber folgt dieser Abschnitt genau dem gleichen Schema wie im vorherigen Abschnitt.

1. Grundlegende Konzepte.

Definition. Eine Zahlenfolge, deren alle Glieder von 0 verschieden sind und bei der sich jedes Glied, beginnend mit dem zweiten, aus dem vorhergehenden Glied ergibt, indem es mit derselben Zahl multipliziert wird, wird als geometrische Folge bezeichnet. In diesem Fall wird die Zahl 5 als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet.

Eine geometrische Folge ist also eine durch die Relationen rekursiv gegebene Zahlenfolge (b n ).

Lässt sich anhand einer Zahlenfolge feststellen, ob es sich um eine geometrische Folge handelt? Dürfen. Wenn Sie davon überzeugt sind, dass das Verhältnis eines beliebigen Glieds der Folge zum vorherigen Glied konstant ist, dann haben Sie eine geometrische Progression.
Beispiel 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b1 = 1, q = 3.

Beispiel 2

Dies ist eine geometrische Progression, die
Beispiel 3

Dies ist eine geometrische Progression, die
Beispiel 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Dies ist eine geometrische Progression mit b 1 - 8, q = 1.

Beachten Sie, dass diese Folge auch eine arithmetische Folge ist (siehe Beispiel 3 aus § 15).

Beispiel 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Dies ist eine geometrische Folge, bei der b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Offensichtlich ist eine geometrische Progression eine steigende Folge, wenn b 1 > 0, q > 1 (siehe Beispiel 1), und eine fallende Folge, wenn b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Um anzuzeigen, dass die Folge (b n ) eine geometrische Folge ist, ist die folgende Notation manchmal zweckmäßig:

Das Symbol ersetzt den Ausdruck „geometrische Progression“.
Wir bemerken eine merkwürdige und gleichzeitig ziemlich offensichtliche Eigenschaft einer geometrischen Progression:
Wenn die Reihenfolge eine geometrische Folge ist, dann ist die Folge von Quadraten, d.h. ist eine geometrische Folge.
In der zweiten geometrischen Folge ist der erste Term gleich a gleich q 2.
Verwerfen wir alle exponentiell auf b n folgenden Terme, so erhalten wir eine endliche geometrische Folge
In den folgenden Abschnitten dieses Abschnitts betrachten wir die wichtigsten Eigenschaften einer geometrischen Folge.

2. Formel des n-ten Gliedes einer geometrischen Folge.

Betrachten Sie eine geometrische Progression Nenner q. Wir haben:

Es ist nicht schwer zu erraten, dass für jede Zahl n die Gleichheit gilt

Dies ist die Formel für den n-ten Term einer geometrischen Folge.

Kommentar.

Wenn Sie die wichtige Bemerkung aus dem vorigen Absatz gelesen und verstanden haben, dann versuchen Sie, Formel (1) durch mathematische Induktion zu beweisen, so wie es für die Formel des n-ten Terms einer arithmetischen Folge getan wurde.

Lassen Sie uns die Formel des n-ten Terms der geometrischen Progression umschreiben

und führen Sie die Notation ein: Wir erhalten y \u003d mq 2 oder genauer gesagt
Das Argument x ist im Exponenten enthalten, daher heißt eine solche Funktion Exponentialfunktion. Das bedeutet, dass eine geometrische Folge als Exponentialfunktion betrachtet werden kann, die auf der Menge N natürlicher Zahlen gegeben ist. Auf Abb. 96a zeigt einen Graphen der Funktion von Abb. 966 - Funktionsgraph In beiden Fällen haben wir isolierte Punkte (mit Abszissen x = 1, x = 2, x = 3 usw.), die auf irgendeiner Kurve liegen (beide Figuren zeigen dieselbe Kurve, nur unterschiedlich angeordnet und in unterschiedlichen Maßstäben dargestellt). Diese Kurve heißt Exponent. Mehr über die Exponentialfunktion und ihren Graphen wird im Algebrakurs der 11. Klasse besprochen.

Kehren wir zu den Beispielen 1-5 aus dem vorherigen Absatz zurück.

1) 1, 3, 9, 27, 81, ... . Dies ist eine geometrische Folge, bei der b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Machen wir eine Formel für den n-ten Term
2) Dies ist eine geometrische Folge, in der wir den n-ten Term formulieren

Dies ist eine geometrische Progression, die Formulieren Sie die Formel für den n-ten Term
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Dies ist eine geometrische Folge, bei der b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Machen wir eine Formel für den n-ten Term
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Dies ist eine geometrische Folge, in der b 1 = 2, q = -1. Formulieren Sie die Formel für den n-ten Term

Beispiel 6

Gegeben eine geometrische Progression

In allen Fällen basiert die Lösung auf der Formel des n-ten Glieds einer geometrischen Folge

a) Setzen wir n = 6 in die Formel des n-ten Terms der geometrischen Folge ein, erhalten wir

b) Wir haben

Seit 512 \u003d 2 9 erhalten wir n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Wir haben

Beispiel 7

Die Differenz zwischen dem siebten und fünften Glied der geometrischen Folge ist 48, die Summe der fünften und sechsten Glieder der Folge ist ebenfalls 48. Finden Sie das zwölfte Glied dieser Folge.

Erste Stufe. Erstellen eines mathematischen Modells.

Die Bedingungen der Aufgabe können kurz wie folgt geschrieben werden:

Mit der Formel des n-ten Gliedes einer geometrischen Folge erhalten wir:
Dann kann die zweite Bedingung des Problems (b 7 - b 5 = 48) geschrieben werden als

Die dritte Bedingung des Problems (b 5 + b 6 = 48) kann geschrieben werden als

Als Ergebnis erhalten wir ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen b 1 und q:

was in Kombination mit der oben geschriebenen Bedingung 1) das mathematische Modell des Problems ist.

Zweite Phase.

Arbeiten mit dem kompilierten Modell. Durch Gleichsetzen der linken Teile beider Gleichungen des Systems erhalten wir:

(Wir haben beide Seiten der Gleichung in den von Null verschiedenen Ausdruck b 1 q 4 zerlegt).

Aus der Gleichung q 2 - q - 2 = 0 finden wir q 1 = 2, q 2 = -1. Setzen wir den Wert q = 2 in die zweite Gleichung des Systems ein, erhalten wir
Setzen wir den Wert q = -1 in die zweite Gleichung des Systems ein, erhalten wir b 1 1 0 = 48; diese Gleichung hat keine Lösungen.

Also b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - dieses Paar ist die Lösung des kompilierten Gleichungssystems.

Jetzt können wir die betreffende geometrische Folge aufschreiben: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Dritter Abschnitt.

Die Antwort auf die Problemfrage. Es ist erforderlich, b 12 zu berechnen. Wir haben

Antwort: b 12 = 2048.

3. Die Formel für die Summe der Glieder einer endlichen geometrischen Folge.

Es gebe eine endliche geometrische Folge

Bezeichne mit S n die Summe seiner Terme, d.h.

Lassen Sie uns eine Formel herleiten, um diese Summe zu finden.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall, wenn q = 1. Dann besteht die geometrische Folge b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn aus n Zahlen gleich b 1 , d.h. die Progression ist b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Die Summe dieser Zahlen ist nb 1 .

Sei nun q = 1. Um S n zu finden, verwenden wir eine künstliche Methode: Lassen Sie uns einige Transformationen des Ausdrucks S n q durchführen. Wir haben:

Bei der Durchführung von Transformationen haben wir zunächst die Definition einer geometrischen Folge verwendet, nach der (siehe dritte Argumentationslinie); zweitens addierten und subtrahierten sie, warum sich die Bedeutung des Ausdrucks natürlich nicht änderte (siehe vierte Argumentationslinie); drittens haben wir die Formel des n-ten Glieds einer geometrischen Folge verwendet:

Aus Formel (1) finden wir:

Dies ist die Formel für die Summe von n Gliedern einer geometrischen Folge (für den Fall, dass q = 1).

Beispiel 8

Gegeben sei eine endliche geometrische Folge

a) die Summe der Mitglieder der Progression; b) die Summe der Quadrate ihrer Terme.

b) Oben (s. S. 132) haben wir bereits angemerkt, dass, wenn alle Glieder einer geometrischen Folge quadriert werden, eine geometrische Folge mit dem ersten Glied b 2 und dem Nenner q 2 erhalten wird. Dann wird die Summe der sechs Terme der neuen Progression durch berechnet

Beispiel 9

Finden Sie den 8. Term einer geometrischen Folge für die

Tatsächlich haben wir den folgenden Satz bewiesen.

Eine numerische Folge ist genau dann eine geometrische Folge, wenn das Quadrat jedes ihrer Glieder, mit Ausnahme des ersten (und des letzten, im Fall einer endlichen Folge), gleich dem Produkt aus dem vorherigen und dem nachfolgenden Glied ist (eine charakteristische Eigenschaft einer geometrischen Folge).