Die Methode der Intervalle gilt als universelle Methode zur Lösung von Ungleichungen. Dies ist der einfachste Weg, um quadratische Ungleichungen mit einer Variablen zu lösen. In diesem Material werden wir alle Aspekte der Verwendung der Intervallmethode zum Lösen quadratischer Ungleichungen betrachten. Um die Assimilation des Materials zu erleichtern, werden wir eine große Anzahl von Beispielen unterschiedlicher Komplexität betrachten.
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Algorithmus zur Anwendung der Intervallmethode
Betrachten Sie einen Algorithmus zur Anwendung der Intervallmethode in einer angepassten Version, die zum Lösen quadratischer Ungleichungen geeignet ist. Mit dieser Version der Intervallmethode werden die Schüler in den Algebraunterricht eingeführt. Lassen Sie uns die Aufgabe nicht erschweren und wir.
Kommen wir zum Algorithmus selbst.
Wir haben ein quadratisches Trinom a x 2 + b x + c von der linken Seite der quadratischen Ungleichung. Wir finden Nullstellen aus diesem Trinom.
Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie in einem Koordinatensystem. Wir markieren die Wurzeln darauf. Der Einfachheit halber können wir verschiedene Arten der Bezeichnung von Punkten für strenge und nicht strenge Ungleichungen einführen. Vereinbaren wir, dass wir die Koordinaten mit "leeren" Punkten markieren, wenn wir eine strenge Ungleichung lösen, und mit gewöhnlichen Punkten - einer nicht strengen. Durch das Markieren der Punkte erhalten wir mehrere Lücken auf der Koordinatenachse.
Wenn wir im ersten Schritt Nullen gefunden haben, bestimmen wir die Vorzeichen der Werte des Trinoms für jedes der erhaltenen Intervalle. Wenn wir keine Nullen erhalten haben, führen wir diese Aktion für den gesamten Zahlenstrahl aus. Wir markieren die Lücken mit den Zeichen „+“ oder „-“.
Außerdem werden wir in den Fällen, in denen wir Ungleichungen mit den Zeichen > oder ≥ und lösen, eine Schattierung einführen< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».
Indem wir die Vorzeichen der Werte des Trinoms markieren und die Segmente schraffieren, erhalten wir ein geometrisches Bild einer bestimmten Zahlenmenge, die eigentlich eine Lösung der Ungleichung ist. Wir müssen nur die Antwort aufschreiben.
Lassen Sie uns näher auf den dritten Schritt des Algorithmus eingehen, der die Bestimmung des Vorzeichens der Lücke beinhaltet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, Zeichen zu definieren. Betrachten wir sie der Reihe nach, beginnend mit dem genauesten, wenn auch nicht dem schnellsten. Bei dieser Methode werden die Werte des Trinoms an mehreren Punkten der erhaltenen Intervalle berechnet.
Beispiel 1
Nehmen wir zum Beispiel das Trinom x 2 + 4 · x − 5 .
Die Wurzeln dieses Trinoms 1 und - 5 teilen die Koordinatenachse in drei Intervalle (− ∞ , − 5) , (− 5 , 1) und (1 , + ∞) .
Beginnen wir mit dem Intervall (1 , + ∞) . Um die Aufgabe für uns zu vereinfachen, nehmen wir x \u003d 2. Wir erhalten 2 2 + 4 2 − 5 = 7 .
7 ist eine positive Zahl. Das bedeutet, dass die Werte dieses quadratischen Trinoms auf dem Intervall (1 , + ∞) positiv sind und mit dem „+“-Zeichen gekennzeichnet werden können.
Um das Vorzeichen des Intervalls (− 5 , 1) zu bestimmen, nehmen wir x = 0 . Wir haben 0 2 + 4 0 − 5 = − 5 . Wir setzen ein "-" Zeichen über das Intervall.
Für das Intervall (− ∞ , − 5) nehmen wir x = − 6 , wir erhalten (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7 . Wir markieren dieses Intervall mit einem „+“-Zeichen.
Es ist viel schneller, die Zeichen zu bestimmen, wenn man die folgenden Fakten berücksichtigt.
Bei einer positiven Diskriminante ergibt ein quadratisches Trinom mit zwei Wurzeln einen Wechsel der Vorzeichen seiner Werte in den Intervallen, in die die numerische Achse durch die Wurzeln dieses Trinoms geteilt wird. Das bedeutet, dass wir nicht für jedes der Intervalle Vorzeichen definieren müssen. Es genügt, unter Berücksichtigung des Wechselprinzips Berechnungen für den einen durchzuführen und für den Rest Zeichen zu setzen.
Sie können auf Wunsch ganz auf Berechnungen verzichten und aus dem Wert des führenden Koeffizienten auf die Vorzeichen schließen. Wenn a > 0 , dann erhalten wir eine Folge von Zeichen + , − , + , und wenn a< 0 – то − , + , − .
Für quadratische Trinome mit einer Wurzel erhalten wir, wenn die Diskriminante Null ist, zwei Lücken auf der Koordinatenachse mit denselben Vorzeichen. Das heißt, wir bestimmen das Vorzeichen für eines der Intervalle und setzen dasselbe für das zweite.
Auch hier wenden wir die Methode der Vorzeichenbestimmung anhand des Wertes des Koeffizienten a an: wenn a > 0 , dann ist es + , + , und wenn a< 0 , то − , − .
Wenn das quadratische Trinom keine Wurzeln hat, stimmen die Vorzeichen seiner Werte für die gesamte Koordinatenlinie sowohl mit dem Vorzeichen des führenden Koeffizienten a als auch mit dem Vorzeichen des freien Terms c überein.
Wenn wir zum Beispiel ein quadratisches Trinom nehmen - 4 x 2 - 7, hat es keine Wurzeln (seine Diskriminante ist negativ). Der Koeffizient bei x 2 ist eine negative Zahl – 4, und der freie Term – 7 ist ebenfalls negativ. Dies bedeutet, dass im Intervall (− ∞ , + ∞) seine Werte negativ sind.
Betrachten Sie Beispiele zum Lösen quadratischer Ungleichungen mit dem oben diskutierten Algorithmus.
Beispiel 2
Lösen Sie die Ungleichung 8 · x 2 − 4 · x − 1 ≥ 0 .
Entscheidung
Wir verwenden die Intervallmethode, um die Ungleichung zu lösen. Dazu finden wir die Wurzeln des quadratischen Trinoms 8 · x 2 − 4 · x − 1 . Da der Koeffizient bei x gerade ist, ist es für uns bequemer, nicht die Diskriminante, sondern den vierten Teil der Diskriminante zu berechnen: D " = (− 2) 2 − 8 (− 1) = 12.
Die Diskriminante ist größer als Null. Dies erlaubt uns, zwei Wurzeln des quadratischen Trinoms zu finden: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 und x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Notieren Sie diese Werte auf dem Zahlenstrahl. Da die Gleichung nicht streng ist, verwenden wir gewöhnliche Punkte im Diagramm.
Nun bestimmen wir mit der Intervallmethode die Vorzeichen der drei erhaltenen Intervalle. Der Koeffizient bei x 2 ist gleich 8, das heißt, er ist positiv, daher ist die Zeichenfolge + , − , + .
Da wir die Ungleichung mit dem Zeichen ≥ lösen, zeichnen wir die Lücken mit Pluszeichen schraffiert: 
Lassen Sie uns den numerischen Satz gemäß dem erhaltenen grafischen Bild analytisch aufschreiben. Wir können dies auf zwei Arten tun:
Antworten:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) oder x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .
Beispiel 3
Lösen Sie die quadratische Ungleichung - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.
Entscheidung
Lassen Sie uns zuerst die Wurzeln des quadratischen Trinoms von der linken Seite der Ungleichung finden:
D " \u003d 1 2 - - 1 7 - 7 \u003d 0 x 0 \u003d - 1 - 1 7 x 0 \u003d 7
Dies ist eine strikte Ungleichung, daher verwenden wir einen „leeren“ Punkt im Diagramm. Mit Koordinate 7 .
Jetzt müssen wir die Vorzeichen auf den erhaltenen Intervallen (− ∞ , 7) und (7 , + ∞) bestimmen. Da die Diskriminante des quadratischen Trinoms gleich Null und der führende Koeffizient negativ ist, tragen wir die Vorzeichen − , − ein:
Da wir eine vorzeichenbehaftete Ungleichung lösen< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:
In diesem Fall sind die Lösungen beide Intervalle (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .
Antworten:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) oder in anderer Schreibweise x ≠ 7 .
Beispiel 4
Ist die quadratische Ungleichung x 2 + x + 7< 0 решения?
Entscheidung
Lassen Sie uns die Wurzeln des quadratischen Trinoms von der linken Seite der Ungleichung finden. Dazu finden wir die Diskriminante: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Die Diskriminante ist kleiner als Null, also gibt es keine wirklichen Wurzeln.
Das Grafikbild sieht aus wie ein Zahlenstrahl ohne darauf markierte Punkte.
Lassen Sie uns das Vorzeichen der Werte des quadratischen Trinoms bestimmen. Bei D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :
In diesem Fall könnten wir die Lücken mit dem „-“-Zeichen schraffieren. Aber solche Lücken haben wir nicht. Die Zeichnung sieht also so aus:
Als Ergebnis der Berechnungen haben wir eine leere Menge erhalten. Das bedeutet, dass diese quadratische Ungleichung keine Lösungen hat.
Antworten: Nein.
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Seit der Antike ist es notwendig, Werte und Mengen zu vergleichen, um praktische Probleme zu lösen. Gleichzeitig erschienen Wörter wie mehr und weniger, höher und niedriger, leichter und schwerer, leiser und lauter, billiger und teurer usw., die die Ergebnisse des Vergleichs homogener Mengen bezeichnen.
Die Begriffe Mehr und Weniger entstanden im Zusammenhang mit dem Zählen von Gegenständen, dem Messen und Vergleichen von Mengen. Die Mathematiker des antiken Griechenlands wussten zum Beispiel, dass die Seite eines jeden Dreiecks kleiner ist als die Summe der beiden anderen Seiten und dass die größere Seite des Dreiecks dem größeren Winkel gegenüberliegt. Archimedes fand bei der Berechnung des Umfangs eines Kreises heraus, dass der Umfang jedes Kreises gleich dem Dreifachen des Durchmessers ist, mit einem Überschuss, der weniger als ein Siebtel des Durchmessers, aber mehr als zehn Einundsiebzigsten des Durchmessers beträgt.
Schreiben Sie Beziehungen zwischen Zahlen und Mengen symbolisch mit den Zeichen > und b. Einträge, bei denen zwei Zahlen durch eines der Zeichen: > (größer als) verbunden sind, stießen Sie auch in Grundschulnoten auf numerische Ungleichheiten. Sie wissen, dass Ungleichheiten wahr sein können oder nicht. Beispielsweise ist \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) eine gültige numerische Ungleichung, 0,23 > 0,235 ist eine ungültige numerische Ungleichung.
Ungleichungen, die Unbekannte enthalten, können für einige Werte der Unbekannten wahr und für andere falsch sein. Beispielsweise ist die Ungleichung 2x+1>5 wahr für x = 3, aber falsch für x = -3. Für eine Ungleichung mit einer Unbekannten können Sie die Aufgabe stellen: Lösen Sie die Ungleichung. Probleme der Lösung von Ungleichungen werden in der Praxis nicht weniger häufig gestellt und gelöst als Probleme der Lösung von Gleichungen. Beispielsweise werden viele ökonomische Probleme auf das Studium und die Lösung von Systemen linearer Ungleichungen reduziert. In vielen Zweigen der Mathematik sind Ungleichungen häufiger als Gleichungen.
Einige Ungleichungen dienen als einzige Hilfsmittel, um die Existenz eines bestimmten Objekts zu beweisen oder zu widerlegen, zum Beispiel die Wurzel einer Gleichung.
Numerische Ungleichungen
Sie können ganze Zahlen und Dezimalzahlen vergleichen. Kennen Sie die Regeln für den Vergleich gewöhnlicher Brüche mit denselben Nennern, aber unterschiedlichen Zählern; mit gleichen Zählern, aber unterschiedlichen Nennern. Hier lernst du, wie man zwei beliebige Zahlen vergleicht, indem man das Vorzeichen ihrer Differenz findet.
Der Vergleich von Zahlen ist in der Praxis weit verbreitet. Zum Beispiel vergleicht ein Wirtschaftswissenschaftler geplante Indikatoren mit tatsächlichen, ein Arzt vergleicht die Temperatur eines Patienten mit der normalen, ein Dreher vergleicht die Abmessungen eines bearbeiteten Teils mit einem Standard. In all diesen Fällen werden einige Zahlen verglichen. Durch den Vergleich von Zahlen entstehen numerische Ungleichheiten.
Definition. Die Zahl a ist größer als die Zahl b, wenn die Differenz a-b positiv ist. Die Zahl a ist kleiner als die Zahl b, wenn die Differenz a-b negativ ist.
Wenn a größer als b ist, dann schreiben sie: a > b; ist a kleiner als b, dann schreiben sie: a Die Ungleichung a > b bedeutet also, dass die Differenz a - b positiv ist, d.h. a - b > 0. Ungleichung a Für zwei beliebige Zahlen a und b aus den folgenden drei Relationen a > b, a = b, a Satz. Wenn a > b und b > c, dann a > c.
Satz. Wird auf beiden Seiten der Ungleichung dieselbe Zahl addiert, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht.
Folge. Jeder Term kann von einem Teil der Ungleichung in einen anderen übertragen werden, indem das Vorzeichen dieses Terms in das Gegenteil geändert wird.
Satz. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben negativen Zahl multipliziert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung ins Gegenteil.
Folge. Wenn beide Teile der Ungleichung durch dieselbe positive Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Wenn beide Teile der Ungleichung durch dieselbe negative Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung ins Gegenteil.
Sie wissen, dass numerische Gleichheiten Term für Term addiert und multipliziert werden können. Als Nächstes lernen Sie, wie Sie ähnliche Aktionen mit Ungleichungen ausführen. Die Möglichkeit, Ungleichungen Term für Term zu addieren und zu multiplizieren, wird in der Praxis häufig genutzt. Diese Aktionen helfen Ihnen, die Probleme beim Auswerten und Vergleichen von Ausdruckswerten zu lösen.
Beim Lösen verschiedener Probleme ist es oft notwendig, den linken und rechten Teil von Ungleichungen Term für Term zu addieren oder zu multiplizieren. Es wird manchmal gesagt, dass Ungleichheiten addiert oder multipliziert werden. Wenn ein Tourist beispielsweise am ersten Tag mehr als 20 km und am zweiten Tag mehr als 25 km gelaufen ist, dann kann man argumentieren, dass er in zwei Tagen mehr als 45 km gelaufen ist. Wenn die Länge eines Rechtecks weniger als 13 cm und die Breite weniger als 5 cm beträgt, kann argumentiert werden, dass die Fläche dieses Rechtecks weniger als 65 cm2 beträgt.
Bei der Betrachtung dieser Beispiele gilt Folgendes Sätze über Addition und Multiplikation von Ungleichungen:
Satz. Wenn wir Ungleichungen mit demselben Vorzeichen addieren, erhalten wir eine Ungleichung mit demselben Vorzeichen: Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d.
Satz. Bei der Multiplikation von Ungleichungen gleichen Vorzeichens, bei denen der linke und rechte Teil positiv sind, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens: Wenn a > b, c > d und a, b, c, d positive Zahlen sind, dann ist ac > bd.
Ungleichungen mit dem Vorzeichen > (größer als) und 1/2, 3/4 b, c Neben den strengen Ungleichungen > und Ebenso bedeutet die Ungleichung \(a \geq b \), dass die Zahl a größer als ist oder gleich b, d.h. und nicht kleiner als b.
Ungleichungen, die das Vorzeichen \(\geq \) oder das Vorzeichen \(\leq \) enthalten, heißen nicht-strikt. Beispielsweise sind \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) keine strikten Ungleichungen.
Alle Eigenschaften strenger Ungleichungen gelten auch für nicht strenge Ungleichungen. Außerdem, wenn man bei strikten Ungleichungen die Vorzeichen > als entgegengesetzt betrachtet, und man weiß, dass man zur Lösung einer Reihe von Anwendungsproblemen ein mathematisches Modell in Form einer Gleichung oder eines Gleichungssystems aufstellen muss. Außerdem werden Sie lernen, dass die mathematischen Modelle zur Lösung vieler Probleme Ungleichungen mit Unbekannten sind. Wir werden das Konzept der Lösung einer Ungleichung einführen und zeigen, wie man überprüft, ob eine gegebene Zahl eine Lösung für eine bestimmte Ungleichung ist.
Ungleichungen der Form
\(ax > b, \quad ax wobei a und b gegebene Zahlen sind und x unbekannt ist, heißt lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten.
Definition. Die Lösung einer Ungleichung mit einer Unbekannten ist der Wert der Unbekannten, für den diese Ungleichung zu einer echten numerischen Ungleichung wird. Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Lösungen zu finden oder festzustellen, dass es keine gibt.
Sie haben die Gleichungen gelöst, indem Sie sie auf die einfachsten Gleichungen reduziert haben. Ebenso neigt man beim Lösen von Ungleichungen dazu, sie mit Hilfe von Eigenschaften auf die Form einfachster Ungleichungen zu reduzieren.
Lösung von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen
Ungleichungen der Form
\(ax^2+bx+c >0 \) und \(ax^2+bx+c wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und \(a \neq 0 \) aufgerufen werden Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen.
Lösen der Ungleichung
\(ax^2+bx+c >0 \) oder \(ax^2+bx+c \) kann als Finden von Lücken betrachtet werden, wo die Funktion \(y= ax^2+bx+c \) positiv wird oder negative Werte Dazu genügt es zu analysieren, wie sich der Graph der Funktion \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) in der Koordinatenebene befindet: Wo die Zweige der Parabel gerichtet sind - nach oben oder unten , ob die Parabel die x-Achse schneidet und wenn sie sie schneidet, dann an welchen Punkten.
Algorithmus zum Lösen von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen:
1) Finden Sie die Diskriminante des quadratischen Trinoms \(ax^2+bx+c\) und finden Sie heraus, ob das Trinom Wurzeln hat;
2) wenn das Trinom Wurzeln hat, dann markiere diese auf der x-Achse und zeichne schematisch eine Parabel durch die markierten Punkte, deren Äste bei a > 0 nach oben oder bei einer 0 nach unten oder bei a 3) unten gerichtet sind Lücken auf der x-Achse, für die die Punkteparabeln oberhalb der x-Achse (wenn sie die Ungleichung \(ax^2+bx+c >0 \) lösen) oder unterhalb der x-Achse (wenn sie die Ungleichung lösen) liegen
\(ax^2+bx+c Lösung von Ungleichungen nach der Methode der Intervalle
Betrachten Sie die Funktion
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge aller Zahlen. Die Nullstellen der Funktion sind die Zahlen -2, 3, 5. Sie unterteilen den Definitionsbereich der Funktion in Intervalle \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) und \( (5; +\infty)\)
Lassen Sie uns herausfinden, was die Zeichen dieser Funktion in jedem der angegebenen Intervalle sind.
Der Ausdruck (x + 2)(x - 3)(x - 5) ist das Produkt aus drei Faktoren. Das Vorzeichen jedes dieser Faktoren in den betrachteten Intervallen ist in der Tabelle angegeben:
Im Allgemeinen sei die Funktion durch die Formel gegeben
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
wobei x eine Variable ist und x 1 , x 2 , ..., x n ungleiche Zahlen sind. Die Zahlen x 1 , x 2 , ..., x n sind die Nullstellen der Funktion. In jedem der Intervalle, in die der Definitionsbereich durch die Nullstellen der Funktion unterteilt wird, bleibt das Vorzeichen der Funktion erhalten, und beim Nulldurchgang ändert sich ihr Vorzeichen.
Diese Eigenschaft wird verwendet, um Ungleichungen der Form zu lösen
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) wobei x 1 , x 2 , ..., x n ungleiche Zahlen sind
Überlegte Methode Das Lösen von Ungleichungen wird Intervallmethode genannt.
Lassen Sie uns Beispiele für die Lösung von Ungleichungen mit der Intervallmethode geben.
Lösen Sie die Ungleichung:
\(x(0.5-x)(x+4) Offensichtlich sind die Nullstellen der Funktion f(x) = x(0.5-x)(x+4) die Punkte \frac(1)(2) , \; x=-4 \)Wir zeichnen die Nullstellen der Funktion auf der reellen Achse und berechnen das Vorzeichen für jedes Intervall:
Wir wählen die Intervalle aus, in denen die Funktion kleiner oder gleich Null ist, und schreiben das Ergebnis auf.
Antworten:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Unterricht und Präsentation zum Thema: "Quadratische Ungleichungen, Lösungsbeispiele"
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Leute, wir wissen bereits, wie man quadratische Gleichungen löst. Lassen Sie uns nun lernen, wie man quadratische Ungleichungen löst.
Quadratische Ungleichheit Eine solche Ungleichung heißt:
$ax^2+bx+c>0$.
Das Ungleichheitszeichen kann beliebig sein, die Koeffizienten a, b, c sind beliebige Zahlen ($a≠0$).
Alle Regeln, die wir für lineare Ungleichungen definiert haben, funktionieren auch hier. Wiederholen Sie diese Regeln selbst!
Lassen Sie uns eine weitere wichtige Regel einführen:
Wenn das Trinom $ax^2+bx+c$ eine negative Diskriminante hat, dann ist das Vorzeichen des Trinoms dasselbe wie das Vorzeichen von y des Koeffizienten a, wenn wir irgendeinen Wert von x ersetzen.
Beispiele zur Lösung quadratischer Ungleichungen
kann durch Zeichnen von Diagrammen oder Zeichnen von Intervallen gelöst werden. Sehen wir uns Beispiele für Lösungen von Ungleichungen an.Beispiele.
1. Lösen Sie die Ungleichung: $x^2-2x-8
Entscheidung:
Finden Sie die Nullstellen der Gleichung $x^2-2x-8=0$.
$x_1=4$ und $x_2=-2$.
Lassen Sie uns eine quadratische Gleichung zeichnen. Die Abszissenachse schneidet sich an den Punkten 4 und -2. 2. Lösen Sie die Ungleichung: $5x-6 Entscheidung: Lassen Sie uns einen Graphen einer quadratischen Gleichung erstellen, die Abszissenachse schneidet sich an den Punkten 2 und 3. 3. Lösen Sie die Ungleichung: $2^2+2x+1≥0$. Entscheidung: 4. Lösen Sie die Ungleichung: $x^2+x-2 Dieser Artikel enthält Material zum Thema " Lösung quadratischer Ungleichungen". Zunächst wird gezeigt, was quadratische Ungleichungen mit einer Variablen sind, ihre allgemeine Form ist angegeben. Und dann wird im Detail analysiert, wie man quadratische Ungleichungen löst. Die wichtigsten Lösungsansätze werden gezeigt: eine grafische Methode, eine Intervallmethode und das Hervorheben des Quadrats der Binomialzahl auf der linken Seite der Ungleichung. Lösungen von typischen Beispielen werden gegeben. Seitennavigation. Bevor man über das Lösen quadratischer Ungleichungen spricht, muss man natürlich klar verstehen, was eine quadratische Ungleichung ist. Mit anderen Worten, Sie müssen in der Lage sein, quadratische Ungleichungen anhand des Datensatztyps von Ungleichungen anderer Typen zu unterscheiden. Definition.
Quadratische Ungleichheit ist eine Ungleichung der Form a x 2 +b x+c<0
(вместо знака >es kann jedes andere Ungleichheitszeichen ≤, >, ≥ geben), wobei a, b und c einige Zahlen sind und a≠0 und x eine Variable ist (die Variable kann mit jedem anderen Buchstaben bezeichnet werden). Geben wir gleich einen anderen Namen für quadratische Ungleichungen - Ungleichheit zweiten Grades. Dieser Name erklärt sich dadurch, dass auf der linken Seite der Ungleichungen a x 2 +b x+c<0
находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства». Sie können auch manchmal hören, dass quadratische Ungleichungen als quadratische Ungleichungen bezeichnet werden. Das ist nicht ganz richtig: Die Definition von „quadratisch“ bezieht sich auf Funktionen, die durch Gleichungen der Form y=a x 2 + b x+c gegeben sind. Es gibt also quadratische Ungleichungen und quadratische Funktionen, aber keine quadratischen Ungleichungen. Lassen Sie uns einige Beispiele für quadratische Ungleichungen zeigen: 5 x 2 −3 x+1>0 , hier a=5 , b=−3 und c=1 ; –2,2 z 2 –0,5 z – 11 ≤ 0, die Koeffizienten dieser quadratischen Ungleichung sind a=−2.2 , b=−0.5 und c=−11 ; , in diesem Fall Beachten Sie, dass in der Definition der quadratischen Ungleichung der Koeffizient a bei x 2 als nicht null betrachtet wird. Das ist verständlich, die Gleichheit des Koeffizienten a mit Null wird tatsächlich das Quadrat „entfernen“, und wir haben es mit einer linearen Ungleichung der Form b x + c>0 ohne das Quadrat der Variablen zu tun. Aber die Koeffizienten b und c können sowohl getrennt als auch gleichzeitig gleich Null sein. Hier sind Beispiele für solche quadratischen Ungleichungen: x 2 −5≥0 , hier ist der Koeffizient b für die Variable x gleich Null; −3 × 2 −0,6 ×<0
, здесь c=0
; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 und b und c sind Null. Jetzt kann Sie die Frage verwirren, wie man quadratische Ungleichungen löst. Grundsätzlich werden drei Hauptmethoden zur Lösung verwendet: Machen wir gleich einen Vorbehalt, dass die Methode zur Lösung quadratischer Ungleichungen, die wir zu betrachten beginnen, in den Lehrbüchern der Algebraschule nicht als grafisch bezeichnet wird. Aber im Grunde ist er genau das. Außerdem die erste Bekanntschaft mit grafische Methode zur Lösung von Ungleichungen beginnt meist, wenn sich die Frage stellt, wie man quadratische Ungleichungen löst. Grafischer Weg zur Lösung quadratischer Ungleichungen a x 2 +b x+c<0
(≤, >, ≥) besteht darin, den Graphen der quadratischen Funktion y=a x 2 +b x+c zu analysieren, um die Intervalle zu finden, in denen die angegebene Funktion negative, positive, nicht positive oder nicht negative Werte annimmt. Diese Intervalle bilden die Lösungen der quadratischen Ungleichungen a x 2 + b x + c<0
, a·x 2 +b·x+c>0 , a x 2 + b x + c ≤ 0 bzw. a x 2 + b x + c ≥ 0. Um quadratische Ungleichungen mit einer Variablen zu lösen, ist neben der grafischen Methode die Intervallmethode sehr praktisch, die an sich sehr vielseitig ist und sich zum Lösen verschiedener Ungleichungen eignet, nicht nur quadratischer. Seine theoretische Seite liegt außerhalb des Algebrakurses der Klassen 8, 9, wenn sie lernen, quadratische Ungleichungen zu lösen. Daher gehen wir hier nicht auf die theoretische Begründung der Intervallmethode ein, sondern konzentrieren uns darauf, wie quadratische Ungleichungen mit ihrer Hilfe gelöst werden. Das Wesen der Intervallmethode in Bezug auf die Lösung quadratischer Ungleichungen a x 2 + b x + c<0
(≤, >, ≥), besteht darin, die Vorzeichen zu bestimmen, die die Werte des quadratischen Trinoms a x 2 + b x + c in den Intervallen haben, in die die Koordinatenachse durch die Nullstellen dieses Trinoms (falls vorhanden) unterteilt ist. Die Lücken mit Minuszeichen bilden die Lösungen der quadratischen Ungleichung a x 2 +b x+c<0
, со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , und beim Lösen nicht strenger Ungleichungen werden den angegebenen Intervallen Punkte hinzugefügt, die den Nullstellen des Trinoms entsprechen. Sie können sich mit allen Details dieser Methode, ihrem Algorithmus, den Regeln zum Platzieren von Zeichen auf den Intervallen vertraut machen und fertige Lösungen für typische Beispiele anhand der Abbildungen betrachten, indem Sie sich auf das Material des Artikels beziehen, der quadratische Ungleichungen durch das Intervall löst Methode. Neben der grafischen Methode und der Intervallmethode gibt es weitere Ansätze, die es ermöglichen, quadratische Ungleichungen zu lösen. Und wir kommen zu einem von ihnen, der auf basiert Quadrieren eines Binoms auf der linken Seite der quadratischen Ungleichung. Das Prinzip dieser Methode zur Lösung quadratischer Ungleichungen besteht darin, äquivalente Transformationen der Ungleichung durchzuführen, wodurch man zur Lösung einer äquivalenten Ungleichung der Form (x−p) 2 gelangen kann Und wie ist der Übergang zur Ungleichung (x−p) 2 In der Praxis hat man es sehr oft mit Ungleichungen zu tun, die mit Hilfe äquivalenter Transformationen auf quadratische Ungleichungen der Form a x 2 + b x + c zurückgeführt werden können<0
(знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам. Beginnen wir mit Beispielen für die einfachsten Ungleichungen, die auf quadratische Ungleichungen reduziert werden können. Um zu einer quadratischen Ungleichung zu gelangen, reicht es manchmal aus, die Terme in dieser Ungleichung neu anzuordnen oder sie von einem Teil auf einen anderen zu übertragen. Übertragen wir beispielsweise alle Terme von der rechten Seite der Ungleichung 5≤2 x−3 x 2 auf die linke Seite, so erhalten wir eine quadratische Ungleichung in der oben angegebenen Form 3 x 2 −2 x+5≤0 . Ein weiteres Beispiel: Umstellen der Ungleichung 5+0,6 x 2 −x auf der linken Seite<0
слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0
. In der Schule, im Algebraunterricht, wenn sie lernen, quadratische Ungleichungen zu lösen, beschäftigen sie sich gleichzeitig damit Lösung rationaler Ungleichungen, auf Quadrat reduzierend. Ihre Lösung beinhaltet die Übertragung aller Terme auf die linke Seite mit anschließender Transformation des dort gebildeten Ausdrucks in die Form a x 2 + b x + c durch Ausführen von . Betrachten Sie ein Beispiel. Beispiel. Finden Sie eine Reihe von Lösungen für die Ungleichung 3 (x−1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5
.irrationale Ungleichheit Referenzliste. Mittelstufe Um herauszufinden, wie man quadratische Gleichungen löst, müssen wir herausfinden, was eine quadratische Funktion ist und welche Eigenschaften sie hat. Sicher haben Sie sich gefragt, warum überhaupt eine quadratische Funktion benötigt wird? Wo ist sein Graph (Parabel) anwendbar? Ja, man muss sich nur umsehen und merkt, dass man ihm jeden Tag im Alltag begegnet. Haben Sie bemerkt, wie ein geworfener Ball im Sportunterricht fliegt? "In einem Bogen"? Die richtigste Antwort wäre "in einer Parabel"! Und auf welcher Bahn bewegt sich der Strahl in der Fontäne? Ja, auch in einer Parabel! Und wie fliegt eine Kugel oder ein Projektil? Richtig, auch in einer Parabel! Wenn man also die Eigenschaften einer quadratischen Funktion kennt, wird es möglich sein, viele praktische Probleme zu lösen. In welchem Winkel sollte der Ball beispielsweise geworfen werden, um die größte Reichweite zu erzielen? Oder wo würde das Projektil landen, wenn es in einem bestimmten Winkel abgefeuert wird? usw. Also, lass es uns herausfinden. Z.B, . Was sind hier gleich und? Na klar, und! Was wäre wenn, d.h. weniger als Null? Nun, wir sind natürlich „traurig“, was bedeutet, dass die Äste nach unten gerichtet sein werden! Schauen wir uns das Diagramm an. Diese Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion. Da, d.h. kleiner als null, zeigen die Äste der Parabel nach unten. Außerdem haben Sie wahrscheinlich schon bemerkt, dass die Äste dieser Parabel die Achse schneiden, was bedeutet, dass die Gleichung 2 Wurzeln hat und die Funktion sowohl positive als auch negative Werte annimmt! Ganz am Anfang, als wir die Definition einer quadratischen Funktion gegeben haben, wurde gesagt, dass und einige Zahlen sind. Können sie gleich Null sein? Nun, natürlich können sie! Ich werde sogar ein noch größeres Geheimnis enthüllen (das überhaupt kein Geheimnis ist, aber es wert ist, erwähnt zu werden): Diesen Zahlen (und) sind überhaupt keine Beschränkungen auferlegt! Mal sehen, was mit den Graphen passiert, wenn und gleich Null sind. Wie Sie sehen, haben sich die Graphen der betrachteten Funktionen (u) so verschoben, dass ihre Scheitelpunkte jetzt am Punkt mit den Koordinaten liegen, dh am Schnittpunkt der Achsen, und dies hatte keinen Einfluss auf die Richtung der Zweige. Daraus können wir schließen, dass sie für die "Bewegung" des Parabelgraphen entlang des Koordinatensystems verantwortlich sind. Der Funktionsgraph berührt die Achse an einem Punkt. Die Gleichung hat also eine Wurzel. Somit nimmt die Funktion Werte größer oder gleich Null an. Wir folgen der gleichen Logik mit dem Graphen der Funktion. Sie berührt die x-Achse an einem Punkt. Die Gleichung hat also eine Wurzel. Die Funktion nimmt also Werte kleiner oder gleich Null an. Um also das Vorzeichen eines Ausdrucks zu bestimmen, müssen Sie zuerst die Wurzeln der Gleichung finden. Dies wird uns sehr nützlich sein. Beim Lösen solcher Ungleichungen müssen wir bestimmen können, wo die quadratische Funktion größer, kleiner oder gleich Null ist. Also: Wenn die Ungleichungen nicht streng sind (und), werden die Wurzeln (die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der Achse) in das gewünschte numerische Intervall aufgenommen, bei strengen Ungleichungen werden sie ausgeschlossen. Das ist alles ziemlich formalisiert, aber verzweifeln Sie nicht und haben Sie keine Angst! Schauen wir uns nun Beispiele an, und alles wird sich ergeben. Beim Lösen quadratischer Ungleichungen halten wir uns an den obigen Algorithmus und werden unweigerlich erfolgreich sein! Ich habs? Dann festmachen! Beispiel: Na, hat es geklappt? Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten haben, dann verstehen Sie die Lösungen. Entscheidung: Schreiben wir die dem Zeichen „ “ entsprechenden Intervalle aus, da das Ungleichheitszeichen „ “ ist. Die Ungleichung ist nicht streng, daher sind die Wurzeln in den Intervallen enthalten: Wir schreiben die entsprechende quadratische Gleichung: Finden Sie die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung: Wir markieren schematisch die erhaltenen Wurzeln auf der Achse und ordnen die Zeichen an: Schreiben wir die dem Zeichen „ “ entsprechenden Intervalle aus, da das Ungleichheitszeichen „ “ ist. Die Ungleichung ist streng, daher sind die Wurzeln nicht in den Intervallen enthalten: Wir schreiben die entsprechende quadratische Gleichung: Finden Sie die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung: Diese Gleichung hat eine Wurzel Wir markieren schematisch die erhaltenen Wurzeln auf der Achse und ordnen die Zeichen an: Schreiben wir die dem Zeichen „ “ entsprechenden Intervalle aus, da das Ungleichheitszeichen „ “ ist. Für jede Funktion werden nicht negative Werte angenommen. Da die Ungleichung nicht streng ist, lautet die Antwort Schreiben wir die entsprechende quadratische Gleichung: Finden Sie die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung: Zeichnen Sie schematisch einen Graphen einer Parabel und platzieren Sie die Zeichen: Schreiben wir die dem Zeichen „ “ entsprechenden Intervalle aus, da das Ungleichheitszeichen „ “ ist. Für alle nimmt die Funktion positive Werte an, daher ist die Lösung der Ungleichung das Intervall: Bevor wir über das Thema "quadratische Ungleichungen" sprechen, erinnern wir uns daran, was eine quadratische Funktion ist und was ihr Graph ist. Mit anderen Worten, dies Polynom zweiten Grades. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel (erinnern Sie sich, was das ist?). Seine Zweige sind nach oben gerichtet, wenn "a) die Funktion für alle nur positive Werte annimmt und in der zweiten () - nur negativ: Für den Fall, dass die Gleichung () genau eine Wurzel hat (z. B. wenn die Diskriminante Null ist), bedeutet dies, dass der Graph die Achse berührt: Dann, ähnlich wie im vorherigen Fall, für " . Schließlich haben wir kürzlich gelernt, zu bestimmen, wo die quadratische Funktion größer als Null ist und wo sie kleiner ist: Wenn die quadratische Ungleichung nicht streng ist, werden die Wurzeln in das numerische Intervall aufgenommen, wenn sie streng ist, sind sie es nicht. Wenn es nur eine Wurzel gibt, ist es in Ordnung, es wird überall das gleiche Zeichen geben. Wenn es keine Wurzeln gibt, hängt alles nur vom Koeffizienten ab: Wenn "25((x)^(2))-30x+9 Antworten: 2) 25((x)^(2))-30x+9> Es gibt keine Wurzeln, also nimmt der gesamte Ausdruck auf der linken Seite das Vorzeichen des Koeffizienten davor an: quadratische Funktion ist eine Funktion der Form: Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Seine Zweige sind nach oben gerichtet, wenn und nach unten, wenn: Arten von quadratischen Ungleichungen: Alle quadratischen Ungleichungen werden auf die folgenden vier Typen reduziert: Lösungsalgorithmus:
Unser quadratisches Trinom nimmt dort Werte kleiner Null an, wo sich der Graph der Funktion unterhalb der x-Achse befindet.
Wenn wir uns den Graphen der Funktion ansehen, erhalten wir die Antwort: $x^2-2x-8 Antwort: $-2
Lassen Sie uns die Ungleichung transformieren: $-x^2+5x-6 Dividieren Sie die Ungleichung durch minus eins. Vergessen wir nicht, das Vorzeichen zu ändern: $x^2-5x+6>0$.
Lassen Sie uns die Wurzeln des Trinoms finden: $x_1=2$ und $x_2=3$.
Unser quadratisches Trinom nimmt dort Werte größer Null an, wo sich der Graph der Funktion über der x-Achse befindet. Wenn wir uns den Graphen der Funktion ansehen, erhalten wir die Antwort: $5x-6
Lassen Sie uns die Wurzeln unseres Trinoms finden, dazu berechnen wir die Diskriminante: $D=2^2-4*2=-4 Die Diskriminante ist kleiner als Null. Lassen Sie uns die Regel verwenden, die wir zu Beginn eingeführt haben. Das Vorzeichen der Ungleichung ist dasselbe wie das Vorzeichen des Quadratkoeffizienten. In unserem Fall ist der Koeffizient positiv, was bedeutet, dass unsere Gleichung für jeden Wert von x positiv ist.
Antwort: Für alle x ist die Ungleichung größer als Null.
Entscheidung:
Lassen Sie uns die Wurzeln des Trinoms finden und sie auf der Koordinatenlinie platzieren: $x_1=-2$ und $x_2=1$. 
Wenn $x>1$ und $x Wenn $x>-2$ und $x Antwort: $x>-2$ und $xProbleme zum Lösen quadratischer Ungleichungen
Ungleichungen lösen:
a) $x^2-11x+30 b) $2x+15≥x^2$.
c) $3x^2+4x+3 d) $4x^2-5x+2>0$. Was ist eine quadratische Ungleichung?
.Wie löst man quadratische Ungleichungen?
Grafisch
Intervallmethode
Durch Isolieren des Quadrats des Binoms
, ≥), wobei p und q Zahlen sind.
, ≥) und wie man es löst, erklärt das Material des Artikels die Lösung quadratischer Ungleichungen, indem das Quadrat des Binoms hervorgehoben wird. Es gibt auch Beispiele für die Lösung quadratischer Ungleichungen auf diese Weise und die notwendigen grafischen Illustrationen.
Quadratische Ungleichungen
entspricht der quadratischen Ungleichung x 2 −6 x−9<0
, а logarithmische Ungleichung 
– Ungleichung x 2 +x−2≥0 .Quadratische Ungleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)
quadratische Funktion
Quadratische Ungleichheit
Algorithmus
Beispiel:
1) Lassen Sie uns die quadratische Gleichung schreiben, die der Ungleichung entspricht (ändern Sie einfach das Ungleichheitszeichen in das Gleichheitszeichen "=").
2) Finden Sie die Nullstellen dieser Gleichung.
3) Markieren Sie die Wurzeln auf der Achse und zeigen Sie schematisch die Ausrichtung der Äste der Parabel ("oben" oder "unten")
4) Setzen wir auf der Achse die Zeichen, die dem Vorzeichen der quadratischen Funktion entsprechen: Wo die Parabel über der Achse liegt, setzen wir "", und wo sie niedriger ist - "".
5) Wir schreiben das Intervall (die Intervalle) aus, das "" oder "" entspricht, je nach Ungleichheitszeichen. Wenn die Ungleichung nicht streng ist, werden die Wurzeln in das Intervall eingeschlossen, wenn sie streng ist, werden sie nicht eingeschlossen.
Quadratische Ungleichheiten. MITTELSTUFE
Quadratische Funktion.
Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form
Quadratische Ungleichheiten. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE
Algorithmus
Beispiel:
1) Lassen Sie uns die quadratische Gleichung schreiben, die der Ungleichung entspricht (ändern Sie einfach das Ungleichheitszeichen in das Gleichheitszeichen "").
2) Finden Sie die Nullstellen dieser Gleichung.
3) Markieren Sie die Wurzeln auf der Achse und zeigen Sie schematisch die Ausrichtung der Äste der Parabel ("oben" oder "unten")
4) Setzen wir auf der Achse die Zeichen, die dem Vorzeichen der quadratischen Funktion entsprechen: Wo die Parabel über der Achse liegt, setzen wir "", und wo sie niedriger ist - "".
5) Wir schreiben das Intervall (s) aus, das (s) "" oder "" entspricht, je nach Ungleichheitszeichen. Wenn die Ungleichung nicht streng ist, werden die Wurzeln in das Intervall eingeschlossen, wenn die Ungleichung streng ist, werden sie nicht eingeschlossen.
