Systemgleichungen mit Brüchen. Lösen von Gleichungen mit einer Variablen im Nenner eines Bruchs

Bisher haben wir nur ganzzahlige Gleichungen bezüglich der Unbekannten gelöst, also Gleichungen, bei denen die Nenner (falls vorhanden) die Unbekannte nicht enthielten.

Oft müssen Sie Gleichungen lösen, die die Unbekannte im Nenner enthalten: Solche Gleichungen werden als gebrochen bezeichnet.

Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren wir beide Seiten davon mit einem Polynom, das die Unbekannte enthält. Wird die neue Gleichung der gegebenen äquivalent sein? Um die Frage zu beantworten, lösen wir diese Gleichung.

Wenn wir beide Seiten davon mit multiplizieren, erhalten wir:

Lösen wir diese Gleichung ersten Grades, finden wir:

Gleichung (2) hat also eine einzelne Wurzel

Setzen wir es in Gleichung (1) ein, erhalten wir:

Daher ist auch die Wurzel von Gleichung (1).

Gleichung (1) hat keine anderen Wurzeln. In unserem Beispiel ist dies beispielsweise daran zu erkennen, dass in Gleichung (1)

Wie der unbekannte Divisor gleich dem Dividenden 1 dividiert durch den Quotienten 2 sein muss, d.h.

Die Gleichungen (1) und (2) haben also eine einzelne Wurzel und sind daher äquivalent.

2. Wir lösen nun folgende Gleichung:

Der einfachste gemeinsame Nenner: ; multipliziere alle Terme der Gleichung damit:

Nach Reduktion erhalten wir:

Erweitern wir die Klammern:

Wenn wir ähnliche Terme bringen, haben wir:

Lösen wir diese Gleichung, finden wir:

Durch Einsetzen in Gleichung (1) erhalten wir:

Auf der linken Seite haben wir Ausdrücke erhalten, die keinen Sinn ergeben.

Daher ist die Wurzel von Gleichung (1) nicht. Dies impliziert, dass die Gleichungen (1) und nicht äquivalent sind.

In diesem Fall sagen wir, dass Gleichung (1) eine fremde Wurzel angenommen hat.

Vergleichen wir die Lösung von Gleichung (1) mit der Lösung der zuvor betrachteten Gleichungen (siehe § 51). Um diese Gleichung zu lösen, mussten wir zwei solche Operationen durchführen, die noch nie zuvor gesehen worden waren: Erstens multiplizierten wir beide Seiten der Gleichung mit einem Ausdruck, der die Unbekannte (gemeinsamen Nenner) enthielt, und zweitens reduzierten wir algebraische Brüche durch Faktoren, die enthielten das Unbekannte.

Beim Vergleich von Gleichung (1) mit Gleichung (2) sehen wir, dass nicht alle für Gleichung (2) gültigen x-Werte für Gleichung (1) gültig sind.

Es sind die Zahlen 1 und 3, die keine zulässigen Werte der Unbekannten für Gleichung (1) sind und durch die Transformation für Gleichung (2) zulässig wurden. Eine dieser Zahlen stellte sich als Lösung von Gleichung (2) heraus, aber sie kann natürlich keine Lösung von Gleichung (1) sein. Gleichung (1) hat keine Lösungen.

Dieses Beispiel zeigt, dass beim Multiplizieren beider Gleichungsteile mit einem Faktor, der die Unbekannte enthält, und beim Kürzen algebraischer Brüche eine Gleichung erhalten werden kann, die der gegebenen nicht äquivalent ist, nämlich: Fremdwurzeln können auftreten.

Daher ziehen wir folgendes Fazit. Beim Lösen einer Gleichung, die eine Unbekannte im Nenner enthält, müssen die resultierenden Wurzeln durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft werden. Fremde Wurzeln müssen verworfen werden.

Gleichungen, die eine Variable im Nenner enthalten, können auf zwei Arten gelöst werden:

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Verwenden der grundlegenden Eigenschaft der Proportionen

Unabhängig von der gewählten Methode müssen nach dem Finden der Wurzeln der Gleichung aus den gefundenen Werten die akzeptablen Werte ausgewählt werden, d.h. diejenigen, die den Nenner nicht auf $0$ drehen.

1 Weg. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Beispiel 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Lösung:

1. Bewege den Bruch von der rechten Seite der Gleichung nach links

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Um dies korrekt zu tun, erinnern wir uns daran, dass sich das Vorzeichen vor den Ausdrücken in das Gegenteil ändert, wenn Elemente an einen anderen Teil der Gleichung verschoben werden. Wenn also auf der rechten Seite ein „+“-Zeichen vor dem Bruch stand, dann steht auf der linken Seite ein „-“-Zeichen davor, dann erhalten wir auf der linken Seite die Differenz der Brüche.

2. Nun stellen wir fest, dass die Brüche unterschiedliche Nenner haben, was bedeutet, dass es notwendig ist, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um die Differenz auszugleichen. Der gemeinsame Nenner ist das Produkt der Polynome in den Nennern der ursprünglichen Brüche: $(2x-1)(x+3)$

Um einen identischen Ausdruck zu erhalten, müssen Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit dem Polynom $(x+3)$ und des zweiten mit dem Polynom $(2x-1)$ multipliziert werden.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Führen wir die Transformation im Zähler des ersten Bruchs durch - wir multiplizieren die Polynome. Erinnern Sie sich, dass es dazu notwendig ist, den ersten Term des ersten Polynoms zu multiplizieren, mit jedem Term des zweiten Polynoms zu multiplizieren, dann den zweiten Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms zu multiplizieren und die Ergebnisse zu addieren

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Wir präsentieren ähnliche Begriffe in dem resultierenden Ausdruck

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Führen Sie eine ähnliche Transformation im Zähler des zweiten Bruchs durch - wir werden die Polynome multiplizieren

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Dann nimmt die Gleichung die Form an:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Jetzt Brüche mit gleichem Nenner, damit du subtrahieren kannst. Denken Sie daran, dass beim Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner vom Zähler des ersten Bruchs der Zähler des zweiten Bruchs subtrahiert werden muss, wobei der Nenner gleich bleibt

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Lassen Sie uns den Ausdruck in den Zähler umwandeln. Um die Klammern mit vorangestelltem „-“-Zeichen zu öffnen, müssen alle Zeichen vor den Begriffen in Klammern vertauscht werden

\[(2x)^2+9x+9-\links((2x)^2-11x+5\rechts)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Wir präsentieren ähnliche Begriffe

$(2x)^2+9x+9-\links((2x)^2-11x+5\rechts)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Dann nimmt der Bruch die Form an

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Ein Bruch ist gleich $0$, wenn sein Zähler 0 ist. Daher setzen wir den Zähler des Bruchs mit $0$ gleich.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Lösen wir die lineare Gleichung:

4. Lassen Sie uns die Wurzeln probieren. Das bedeutet, dass überprüft werden muss, ob sich die Nenner der ursprünglichen Brüche in $0$ verwandeln, wenn die Wurzeln gefunden werden.

Wir setzen die Bedingung, dass die Nenner ungleich $0$ sind

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Das bedeutet, dass alle Werte der Variablen erlaubt sind, außer $-3$ und $0.5$.

Die Wurzel, die wir gefunden haben, ist ein gültiger Wert, sodass sie sicher als Wurzel der Gleichung betrachtet werden kann. Wenn die gefundene Wurzel kein gültiger Wert wäre, wäre eine solche Wurzel irrelevant und würde natürlich nicht in die Antwort aufgenommen.

Antworten:$-0,2.$

Jetzt können wir einen Algorithmus zum Lösen einer Gleichung schreiben, die eine Variable im Nenner enthält

Ein Algorithmus zum Lösen einer Gleichung, die eine Variable im Nenner enthält

Verschieben Sie alle Elemente von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite. Um eine identische Gleichung zu erhalten, müssen alle Vorzeichen vor den Ausdrücken auf der rechten Seite in das Gegenteil geändert werden

Wenn wir auf der linken Seite einen Ausdruck mit unterschiedlichen Nennern erhalten, dann bringen wir sie mit Hilfe der Haupteigenschaft des Bruchs auf einen gemeinsamen. Führen Sie Transformationen mit identischen Transformationen durch und erhalten Sie den letzten Bruch gleich $0$.

Setze den Zähler mit $0$ gleich und finde die Wurzeln der resultierenden Gleichung.

Lassen Sie uns die Wurzeln probieren, d.h. gültige Variablenwerte finden, die den Nenner nicht auf $0$ drehen.

2-Wege. Verwenden der grundlegenden Eigenschaft der Proportionen

Die Haupteigenschaft eines Anteils ist, dass das Produkt der äußersten Terme des Anteils gleich dem Produkt der mittleren Terme ist.

Beispiel 2

Wir verwenden diese Eigenschaft, um diese Aufgabe zu lösen

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Lassen Sie uns das Produkt der äußersten und mittleren Elemente des Anteils finden und gleichsetzen.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Wenn wir die resultierende Gleichung lösen, finden wir die Wurzeln des Originals

2. Lassen Sie uns zulässige Werte einer Variablen finden.

Aus der vorherigen Lösung (1. Weg) haben wir bereits herausgefunden, dass alle Werte zulässig sind, außer $-3$ und $0.5$.

Nachdem wir festgestellt haben, dass die gefundene Wurzel ein gültiger Wert ist, haben wir herausgefunden, dass $-0.2$ die Wurzel sein wird.

"Lösung gebrochener rationaler Gleichungen"

Unterrichtsziele:

Lernprogramm:

Bildung des Konzepts der gebrochenen rationalen Gleichungen; verschiedene Möglichkeiten zur Lösung von gebrochenen rationalen Gleichungen zu betrachten; Betrachten Sie einen Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen, einschließlich der Bedingung, dass der Bruch gleich Null ist; die Lösung von gebrochenen rationalen Gleichungen nach dem Algorithmus zu lehren; Überprüfung des Assimilationsgrades des Themas durch Durchführung von Testarbeiten.

Entwicklung:

Entwicklung der Fähigkeit, mit dem erworbenen Wissen richtig umzugehen, logisch zu denken; Entwicklung intellektueller Fähigkeiten und mentaler Operationen - Analyse, Synthese, Vergleich und Verallgemeinerung; Entwicklung der Initiative, der Fähigkeit, Entscheidungen zu treffen, um dort nicht aufzuhören; Entwicklung des kritischen Denkens; Entwicklung von Forschungskompetenzen.

Pflege:

Bildung von kognitivem Interesse am Fach; Erziehung zur Selbständigkeit bei der Lösung von Erziehungsproblemen; Erziehung des Willens und der Ausdauer, um die endgültigen Ergebnisse zu erzielen.

Unterrichtstyp: Lektion - Erklärung des neuen Materials.

Während des Unterrichts

1. Organisatorischer Moment.

Hallo Leute! Gleichungen werden an die Tafel geschrieben, schauen Sie sie sich genau an. Können Sie alle diese Gleichungen lösen? Welche nicht und warum?

Gleichungen, bei denen die linke und die rechte Seite gebrochene rationale Ausdrücke sind, werden gebrochene rationale Gleichungen genannt. Was denkst du, werden wir heute im Unterricht lernen? Formulieren Sie das Unterrichtsthema. Also öffnen wir Notizbücher und schreiben das Thema der Lektion „Lösung gebrochener rationaler Gleichungen“ auf.

2. Aktualisierung des Wissens. Frontale Befragung, mündliche Arbeit mit der Klasse.

Und jetzt werden wir das wichtigste theoretische Material wiederholen, das wir brauchen, um ein neues Thema zu studieren. Bitte beantworten Sie die folgenden Fragen:

1. Was ist eine Gleichung? ( Gleichheit mit einer oder mehreren Variablen.)

2. Wie heißt Gleichung #1? ( Linear.) Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen. ( Bewege alles mit der Unbekannten auf die linke Seite der Gleichung, alle Zahlen nach rechts. Bringen Sie ähnliche Begriffe. Finde den unbekannten Multiplikator).

3. Wie heißt Gleichung #3? ( Quadrat.) Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen. ( Auswahl des vollen Quadrats durch Formeln unter Verwendung des Vieta-Theorems und seiner Konsequenzen.)

4. Was ist eine Proportion? ( Gleichheit zweier Relationen.) Die Haupteigenschaft der Proportion. ( Wenn der Anteil wahr ist, dann ist das Produkt seiner extremen Terme gleich dem Produkt der mittleren Terme.)

5. Welche Eigenschaften werden beim Lösen von Gleichungen verwendet? ( 1. Wenn wir in der Gleichung den Term von einem Teil auf einen anderen übertragen und sein Vorzeichen ändern, erhalten wir eine Gleichung, die der angegebenen entspricht. 2. Wenn beide Teile der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der gegebenen entspricht.)

6. Wann ist ein Bruch gleich Null? ( Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler Null und der Nenner nicht Null ist.)

3. Erläuterung des neuen Materials.

Lösen Sie Gleichung Nr. 2 in Heften und an der Tafel.

Antworten: 10.

Welche gebrochene rationale Gleichung können Sie versuchen, mit der grundlegenden Eigenschaft der Proportionen zu lösen? (Nr. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Lösen Sie Gleichung Nr. 4 in Heften und an der Tafel.

Antworten: 1,5.

Welche rationale Bruchgleichung kannst du versuchen zu lösen, indem du beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner multiplizierst? (Nr. 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Antworten: 3;4.

Versuchen Sie nun, Gleichung #7 auf eine der Arten zu lösen.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Antworten: 0;5;-2.			Antworten: 5;-2.

Erklären Sie, warum das passiert ist? Warum gibt es in einem Fall drei Wurzeln und in dem anderen zwei? Welche Zahlen sind die Wurzeln dieser gebrochenen rationalen Gleichung?

Bis jetzt haben die Schüler das Konzept einer fremden Wurzel nicht kennengelernt, es ist wirklich sehr schwierig für sie zu verstehen, warum dies passiert ist. Wenn niemand in der Klasse eine klare Erklärung für diese Situation geben kann, stellt der Lehrer Leitfragen.

In den Gleichungen Nr. 2 und 4 im Nenner der Zahl Nr. 5-7 - Ausdrücke mit einer Variablen

Der Wert der Variablen, bei dem die Gleichung eine wahre Gleichheit wird

Machen Sie einen Scheck

Bei einem Test fällt einigen Schülern auf, dass sie durch Null dividieren müssen. Sie schließen daraus, dass die Zahlen 0 und 5 nicht die Wurzeln dieser Gleichung sind. Es stellt sich die Frage: Gibt es eine Möglichkeit, gebrochene rationale Gleichungen zu lösen, die diesen Fehler eliminiert? Ja, diese Methode basiert auf der Bedingung, dass der Bruch gleich Null ist.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Wenn x=5, dann x(x-5)=0, also ist 5 eine irrelevante Wurzel.

Wenn x=-2, dann x(x-5)≠0.

Antworten: -2.

Versuchen wir, auf diese Weise einen Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen zu formulieren. Kinder selbst formulieren den Algorithmus.

Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen:

1. Bewegen Sie alles auf die linke Seite.

2. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

3. Machen Sie ein System: Der Bruch ist gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist und der Nenner nicht gleich Null ist.

4. Lösen Sie die Gleichung.

5. Überprüfen Sie die Ungleichung, um fremde Nullstellen auszuschließen.

6. Schreiben Sie die Antwort auf.

Diskussion: wie man die Lösung formalisiert, wenn man die Grundeigenschaft der Proportionen nutzt und die Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit einem gemeinsamen Nenner. (Ergänze die Lösung: schließe diejenigen von ihren Wurzeln aus, die den gemeinsamen Nenner auf Null bringen).

4. Primäres Verständnis von neuem Material.

Partnerarbeit. Die Schüler entscheiden selbst, wie sie die Gleichung lösen, je nach Art der Gleichung. Aufgaben aus dem Lehrbuch „Algebra 8“, 2007: Nr. 000 (b, c, i); Nr. 000 (a, e, g). Der Lehrer kontrolliert die Ausführung der Aufgabe, beantwortet die aufgetretenen Fragen und unterstützt leistungsschwache Schüler. Selbsttest: Antworten werden an die Tafel geschrieben.

b) 2 ist eine Fremdwurzel. Antwort:3.

c) 2 ist eine Fremdwurzel. Antwort: 1.5.

a) Antwort: -12.5.

g) Antwort: 1; 1.5.

5. Erklärung der Hausaufgaben.

2. Lernen Sie den Algorithmus zum Lösen von gebrochenen rationalen Gleichungen.

3. Lösen Sie in den Heften Nr. 000 (a, d, e); Nr. 000 (g, h).

4. Versuchen Sie, Nr. 000(a) zu lösen (optional).

6. Erfüllung der Kontrollaufgabe zum untersuchten Thema.

Die Arbeit erfolgt auf Blättern.

Stellenbeispiel:

A) Welche der Gleichungen sind gebrochen rational?

B) Ein Bruch ist Null, wenn der Zähler ______________________ und der Nenner _______________________ ist.

F) Ist die Zahl -3 die Wurzel von Gleichung #6?

D) Gleichung Nr. 7 lösen.

Bewertungskriterien für Aufgaben:

„5“ wird vergeben, wenn der Schüler mehr als 90 % der Aufgabe richtig gelöst hat. „4“ – 75 % – 89 % „3“ – 50 % – 74 % „2“ erhält der Schüler, der weniger als 50 % der Aufgabe erledigt hat. Note 2 wird nicht ins Tagebuch eingetragen, Note 3 ist optional.

7. Reflexion.

Auf den Flugblättern mit unabhängiger Arbeit schreiben Sie:

1 - wenn der Unterricht für Sie interessant und verständlich war; 2 - interessant, aber nicht klar; 3 - nicht interessant, aber verständlich; 4 - nicht interessant, nicht klar.

8. Zusammenfassung der Lektion.

Also haben wir uns heute in der Lektion mit gebrochenen rationalen Gleichungen vertraut gemacht, gelernt, wie man diese Gleichungen auf verschiedene Arten löst, und unser Wissen mit Hilfe von pädagogischer unabhängiger Arbeit getestet. Die Ergebnisse der selbstständigen Arbeit lernen Sie in der nächsten Stunde kennen, zu Hause haben Sie die Möglichkeit, das erworbene Wissen zu festigen.

Welche Methode zur Lösung gebrochener rationaler Gleichungen ist Ihrer Meinung nach einfacher, zugänglicher und rationaler? Unabhängig von der Methode zur Lösung von gebrochenen rationalen Gleichungen, was sollte nicht vergessen werden? Was ist die "List" von gebrochenen rationalen Gleichungen?

Vielen Dank an alle, die Lektion ist vorbei.

Bruchrechner Es wurde für die schnelle Berechnung von Operationen mit Brüchen entwickelt und hilft Ihnen, Brüche einfach zu addieren, zu multiplizieren, zu dividieren oder zu subtrahieren.

Moderne Schulkinder beginnen bereits in der 5. Klasse, Brüche zu lernen, und jedes Jahr werden die Übungen mit ihnen komplizierter. Mathematische Begriffe und Größen, die wir in der Schule lernen, sind für uns im Erwachsenenalter nur selten nützlich. Brüche sind jedoch im Gegensatz zu Logarithmen und Graden im Alltag (Entfernungsmessung, Warenwägung etc.) durchaus üblich. Unser Taschenrechner ist für schnelle Operationen mit Brüchen ausgelegt.

Lassen Sie uns zuerst definieren, was Brüche sind und was sie sind. Brüche sind das Verhältnis einer Zahl zu einer anderen; das ist eine Zahl, die aus einer ganzen Anzahl von Brüchen einer Einheit besteht.

Fraktionstypen:

Ordinär
Dezimalstellen
gemischt

Beispiel gewöhnliche Brüche:

Der obere Wert ist der Zähler, der untere der Nenner. Der Strich zeigt uns, dass die obere Zahl durch die untere Zahl teilbar ist. Anstelle eines ähnlichen Schreibformats können Sie bei horizontalem Strich anders schreiben. Sie können zum Beispiel eine schräge Linie setzen:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Dezimalstellen sind die beliebteste Art von Brüchen. Sie bestehen aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil, getrennt durch ein Komma.

Dezimalbeispiel:

0,2 oder 6,71 oder 0,125

Er besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruchteil. Um den Wert dieses Bruchs herauszufinden, musst du die ganze Zahl und den Bruch addieren.

Beispiel für gemischte Brüche:

Der Bruchrechner auf unserer Website ist in der Lage, alle mathematischen Operationen mit Brüchen schnell online durchzuführen:

Zusatz
Subtraktion
Multiplikation
Aufteilung

Um die Berechnung durchzuführen, müssen Sie die Zahlen in die Felder eingeben und die Aktion auswählen. Für Brüche müssen Sie Zähler und Nenner eingeben, eine ganze Zahl darf nicht geschrieben werden (wenn der Bruch gewöhnlich ist). Vergessen Sie nicht, auf die Schaltfläche "Gleich" zu klicken.

Es ist praktisch, dass der Taschenrechner sofort einen Prozess zum Lösen eines Beispiels mit Brüchen und nicht nur eine vorgefertigte Antwort bereitstellt. Dank der detaillierten Lösung können Sie dieses Material zur Lösung von Schulproblemen und zur besseren Bewältigung des behandelten Materials verwenden.

Sie müssen das Beispiel berechnen:

Nach Eingabe der Indikatoren in die Formularfelder erhalten wir:

Um eine unabhängige Berechnung durchzuführen, geben Sie die Daten in das Formular ein.

Bruchrechner

Geben Sie zwei Brüche ein:

		+ - * :

verwandte Abschnitte.

Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die einen Buchstaben enthält, dessen Wert gefunden werden soll.

In Gleichungen wird die Unbekannte normalerweise mit einem kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Die am häufigsten verwendeten Buchstaben sind "x" [x] und "y" [y].

Wurzel der Gleichung- Dies ist der Wert des Buchstabens, bei dem die richtige numerische Gleichheit aus der Gleichung erhalten wird.

löse die Gleichung- bedeutet, alle seine Wurzeln zu finden oder sicherzustellen, dass es keine Wurzeln gibt.

Nachdem wir die Gleichung gelöst haben, schreiben wir den Scheck immer nach der Antwort.

Informationen für Eltern

Liebe Eltern, wir machen Sie darauf aufmerksam, dass Kinder in der Grundschule und in der 5. Klasse das Thema „Negative Zahlen“ NICHT kennen.

Daher müssen sie Gleichungen nur mit den Eigenschaften Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division lösen. Methoden zum Lösen von Gleichungen für Klasse 5 sind unten angegeben.

Versuchen Sie nicht, die Lösung von Gleichungen zu erklären, indem Sie Zahlen und Buchstaben von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit Vorzeichenwechsel übertragen.

In der Lektion "Rechengesetze" können Sie Ihr Wissen über die Begriffe Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auffrischen.

Lösen von Gleichungen für Addition und Subtraktion

Wie man das Unbekannte findet
Begriff

Wie man das Unbekannte findet
Minuend

Wie man das Unbekannte findet
Subtrahend

Um den unbekannten Term zu finden, subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen.

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, muss die Differenz vom Minuend subtrahiert werden.

x + 9 = 15
x = 15 - 9
x=6
Untersuchung

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Untersuchung

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Untersuchung

Lösen von Gleichungen für Multiplikation und Division

Wie man das Unbekannte findet
Faktor

Wie man das Unbekannte findet
Dividende

Wie man das Unbekannte findet
Teiler

Um den unbekannten Faktor zu finden, muss das Produkt durch den bekannten Faktor dividiert werden.

Um den unbekannten Dividenden zu finden, musst du den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.

Um den unbekannten Teiler zu finden, teilen Sie den Dividenden durch den Quotienten.

y4 = 12
y=12:4
y=3
Untersuchung

y:7=2
y = 2 7
y=14
Untersuchung

8:y=4
y=8:4
y=2
Untersuchung

Eine Gleichung ist eine Gleichung, die den Buchstaben enthält, dessen Vorzeichen gefunden werden soll. Die Lösung einer Gleichung ist der Satz von Buchstabenwerten, der die Gleichung in eine echte Gleichheit verwandelt:

Erinnern Sie sich daran, um es zu lösen Gleichung Es ist notwendig, die Terme mit dem Unbekannten auf einen Teil der Gleichheit und die numerischen Terme auf den anderen zu übertragen, ähnliche zu bringen und die folgende Gleichheit zu erhalten:

Aus der letzten Gleichheit bestimmen wir die Unbekannte nach der Regel: "Einer der Faktoren ist gleich dem Quotienten dividiert durch den zweiten Faktor."

Da die rationalen Zahlen a und b gleiche und unterschiedliche Vorzeichen haben können, wird das Vorzeichen der Unbekannten durch die Regeln zur Division rationaler Zahlen bestimmt.

Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Die lineare Gleichung muss vereinfacht werden, indem die Klammern geöffnet und die Aktionen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) ausgeführt werden.

Verschieben Sie die Unbekannten auf eine Seite des Gleichheitszeichens und die Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens, um mit der angegebenen Gleichheit identisch zu werden.

Bringen Sie like links und rechts vom Gleichheitszeichen, um eine Gleichheit der Form zu erhalten Axt = b.

Berechnen Sie die Wurzel der Gleichung (finden Sie die Unbekannte X von Gleichberechtigung x = b : a),

Testen Sie, indem Sie die Unbekannte in die gegebene Gleichung einsetzen.

Wenn wir eine Identität in numerischer Gleichheit erhalten, dann ist die Gleichung richtig gelöst.

Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen

Wenn ein Die gleichung durch ein Produkt gleich 0 gegeben ist, verwenden wir zur Lösung die Eigenschaft der Multiplikation: "Das Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren oder beide Faktoren gleich Null sind."

27 (x - 3) = 0
27 ist nicht gleich 0, also x - 3 = 0

Das zweite Beispiel hat zwei Lösungen für die Gleichung, da
Dies ist eine Gleichung zweiten Grades:

Wenn die Koeffizienten der Gleichung gewöhnliche Brüche sind, müssen Sie zuerst die Nenner loswerden. Dafür:

Finden Sie einen gemeinsamen Nenner;

Bestimmen Sie zusätzliche Faktoren für jeden Term der Gleichung;

Multiplizieren Sie die Zähler von Brüchen und ganzen Zahlen mit zusätzlichen Faktoren und schreiben Sie alle Terme der Gleichung ohne Nenner auf (der gemeinsame Nenner kann verworfen werden);

Verschieben Sie die Terme mit Unbekannten in einen Teil der Gleichung und die numerischen Terme vom Gleichheitszeichen in den anderen, um eine äquivalente Gleichheit zu erhalten.

Bringen Sie ähnliche Mitglieder mit;

Grundlegende Eigenschaften von Gleichungen

In jeden Teil der Gleichung können Sie ähnliche Terme einbringen oder die Klammer öffnen.

Jeder Term der Gleichung kann von einem Teil der Gleichung in einen anderen übertragen werden, indem sein Vorzeichen in das Gegenteil geändert wird.

Beide Seiten der Gleichung können mit derselben Zahl außer 0 multipliziert (dividiert) werden.

Im obigen Beispiel wurden alle seine Eigenschaften verwendet, um die Gleichung zu lösen.

Wie man eine Gleichung mit einer Unbekannten in einem Bruch löst

Manchmal nehmen lineare Gleichungen die Form wann an Unbekannt erscheint im Zähler eines oder mehrerer Brüche. Wie in der Gleichung unten.

In solchen Fällen können solche Gleichungen auf zwei Arten gelöst werden.

Ich Weg der Lösung
Reduzieren einer Gleichung auf eine Proportion

Beim Lösen von Gleichungen mit der Proportionsmethode müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und als algebraische Brüche addieren (links und rechts soll nur ein Bruch übrig bleiben);

Lösen Sie die resultierende Gleichung mit der Proportionsregel.

Also zurück zu unserer Gleichung. Auf der linken Seite haben wir bereits nur einen Bruch, daher sind darin keine Transformationen erforderlich.

Wir arbeiten mit der rechten Seite der Gleichung. Vereinfache die rechte Seite der Gleichung, sodass nur noch ein Bruch übrig bleibt. Erinnern Sie sich dazu an die Regeln zum Addieren einer Zahl mit einem algebraischen Bruch.

Jetzt wenden wir die Proportionsregel an und lösen die Gleichung zu Ende.

II Lösungsweg
Reduktion auf eine lineare Gleichung ohne Brüche

Betrachten Sie die obige Gleichung noch einmal und lösen Sie sie auf eine andere Weise.

Wir sehen, dass es zwei Brüche in der Gleichung gibt "

Wie man Gleichungen mit Brüchen löst. Exponentielle Lösung von Gleichungen mit Brüchen.

Gleichungen mit Brüchen lösen Schauen wir uns Beispiele an. Die Beispiele sind einfach und anschaulich. Mit ihrer Hilfe können Sie auf verständlichste Weise verstehen,.
Beispielsweise müssen Sie eine einfache Gleichung x/b + c = d lösen.

Eine solche Gleichung heißt linear, weil der Nenner enthält nur Zahlen.

Die Lösung erfolgt durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit b, dann nimmt die Gleichung die Form x = b*(d – c) an, d.h. der Nenner des Bruchs auf der linken Seite wird gekürzt.

Zum Beispiel, wie man eine Bruchgleichung löst:
x/5+4=9
Wir multiplizieren beide Teile mit 5. Wir erhalten:
x+20=45

Ein weiteres Beispiel, bei dem das Unbekannte im Nenner steht:

Gleichungen dieser Art werden als gebrochen rational oder einfach gebrochen bezeichnet.

Wir würden eine Bruchgleichung lösen, indem wir Brüche loswerden, wonach sich diese Gleichung meistens in eine lineare oder quadratische Gleichung verwandelt, die auf die übliche Weise gelöst wird. Sie sollten nur die folgenden Punkte berücksichtigen:

der Wert einer Variablen, die den Nenner auf 0 setzt, kann keine Wurzel sein;
Sie können die Gleichung nicht durch den Ausdruck =0 dividieren oder multiplizieren.

Hier tritt ein Konzept wie der Bereich der zulässigen Werte (ODZ) in Kraft - dies sind die Werte der Wurzeln der Gleichung, für die die Gleichung sinnvoll ist.

Um die Gleichung zu lösen, ist es daher notwendig, die Wurzeln zu finden und sie dann auf Übereinstimmung mit der ODZ zu überprüfen. Diejenigen Wurzeln, die nicht unserem DHS entsprechen, werden von der Antwort ausgeschlossen.

Zum Beispiel müssen Sie eine Bruchgleichung lösen:

Aufgrund der obigen Regel kann x nicht = 0 sein, d.h. ODZ in diesem Fall: x - beliebiger Wert außer Null.

Wir beseitigen den Nenner, indem wir alle Terme der Gleichung mit x multiplizieren

Und lösen Sie die übliche Gleichung

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Lösen wir die Gleichung komplizierter:

ODZ ist auch hier vorhanden: x -2.

Beim Lösen dieser Gleichung werden wir nicht alles in eine Richtung übertragen und Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Wir multiplizieren sofort beide Seiten der Gleichung mit einem Ausdruck, der alle Nenner auf einmal reduziert.

Um die Nenner zu reduzieren, müssen Sie die linke Seite mit x + 2 und die rechte Seite mit 2 multiplizieren. Also müssen beide Seiten der Gleichung mit 2 (x + 2) multipliziert werden:

Dies ist die häufigste Multiplikation von Brüchen, die wir oben bereits besprochen haben.

Wir schreiben die gleiche Gleichung, aber auf eine etwas andere Weise.

Die linke Seite wird um (x + 2) reduziert und die rechte Seite um 2. Nach der Reduktion erhalten wir die übliche lineare Gleichung:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, was unserer ODZ entspricht

Gleichungen mit Brüchen lösen nicht so schwierig, wie es scheinen mag. In diesem Artikel haben wir dies anhand von Beispielen gezeigt. Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten damit haben wie man Gleichungen mit Brüchen löst, dann in den Kommentaren abbestellen.