Logarithmen können wie jede Zahl auf jede erdenkliche Weise addiert, subtrahiert und umgerechnet werden. Da Logarithmen aber keine ganz gewöhnlichen Zahlen sind, gibt es hier Regeln, die heißen Grundeigenschaften.
Diese Regeln müssen Sie kennen - ohne sie kann kein ernsthaftes logarithmisches Problem gelöst werden. Außerdem gibt es davon nur sehr wenige - alles kann an einem Tag gelernt werden. Also lasst uns anfangen.
Addition und Subtraktion von Logarithmen
Betrachten Sie zwei Logarithmen mit derselben Basis: log a x und protokollieren a j. Dann können sie addiert und subtrahiert werden, und:
- Protokoll a x+log a j= anmelden a (x · j);
- Protokoll a x−log a j= anmelden a (x : j).
Die Summe der Logarithmen ist also gleich dem Logarithmus des Produkts, und die Differenz ist der Logarithmus des Quotienten. Bitte beachten Sie: Der entscheidende Punkt hier ist - gleiche Gründe. Wenn die Basen unterschiedlich sind, funktionieren diese Regeln nicht!
Diese Formeln helfen Ihnen, den logarithmischen Ausdruck zu berechnen, auch wenn seine einzelnen Teile nicht berücksichtigt werden (siehe Lektion "Was ist ein Logarithmus"). Schauen Sie sich die Beispiele an und sehen Sie:
Protokoll 6 4 + Protokoll 6 9.
Da die Basen von Logarithmen gleich sind, verwenden wir die Summenformel:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 2 48 − log 2 3.
Die Basen sind gleich, wir verwenden die Differenzformel:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 3 135 − log 3 5.
Auch hier sind die Grundlagen dieselben, also haben wir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Wie Sie sehen, bestehen die ursprünglichen Ausdrücke aus "schlechten" Logarithmen, die nicht gesondert betrachtet werden. Aber nach Transformationen ergeben sich ganz normale Zahlen. Viele Tests basieren auf dieser Tatsache. Ja, Kontrolle - ähnliche Ausdrücke in aller Ernsthaftigkeit (manchmal - praktisch ohne Änderungen) werden bei der Prüfung angeboten.
Entfernen des Exponenten vom Logarithmus
Jetzt komplizieren wir die Aufgabe ein wenig. Was ist, wenn in der Basis oder im Argument des Logarithmus ein Grad steht? Dann kann der Exponent dieses Grades nach folgenden Regeln aus dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:
Es ist leicht zu sehen, dass die letzte Regel ihren ersten beiden folgt. Aber es ist trotzdem besser, sich daran zu erinnern - in einigen Fällen wird die Anzahl der Berechnungen erheblich reduziert.
All diese Regeln machen natürlich Sinn, wenn man den ODZ-Logarithmus beachtet: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Und noch etwas: Lernen Sie, alle Formeln nicht nur von links nach rechts anzuwenden, sondern auch umgekehrt, d.h. Sie können die Zahlen vor dem Vorzeichen des Logarithmus in den Logarithmus selbst eingeben. Das wird am häufigsten verlangt.
Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 7 49 6 .
Lassen Sie uns den Grad im Argument nach der ersten Formel los:
Log 7 49 6 = 6 Log 7 49 = 6 2 = 12
Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:
[Bilderüberschrift]
Beachten Sie, dass der Nenner ein Logarithmus ist, dessen Basis und Argument exakte Potenzen sind: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Wir haben:
[Bilderüberschrift] Ich denke, das letzte Beispiel muss geklärt werden. Wo sind die Logarithmen geblieben? Bis zum allerletzten Moment arbeiten wir nur mit dem Nenner. Sie stellten die Basis und das Argument des dort stehenden Logarithmus in Form von Graden dar und nahmen die Indikatoren heraus - sie erhielten einen „dreistöckigen“ Bruch.
Betrachten wir nun den Hauptteil. Zähler und Nenner haben dieselbe Zahl: log 2 7. Da log 2 7 ≠ 0 ist, können wir den Bruch kürzen – 2/4 bleiben im Nenner. Nach den Regeln der Arithmetik kann die Vier auf den Zähler übertragen werden, was auch geschehen ist. Das Ergebnis ist die Antwort: 2.
Übergang in eine neue Stiftung
In Bezug auf die Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Logarithmen habe ich ausdrücklich betont, dass sie nur mit denselben Basen funktionieren. Was ist, wenn die Basen unterschiedlich sind? Was ist, wenn es sich nicht um exakte Potenzen derselben Zahl handelt?
Formeln für den Übergang zu einer neuen Basis kommen zur Rettung. Wir formulieren sie in Form eines Satzes:
Lass den Logarithmus loggen a x. Dann für eine beliebige Zahl c so dass c> 0 und c≠ 1 gilt die Gleichheit:
[Bilderüberschrift]
Insbesondere, wenn wir setzen c = x, wir bekommen:
[Bilderüberschrift]
Aus der zweiten Formel folgt, dass es möglich ist, die Basis und das Argument des Logarithmus zu vertauschen, aber in diesem Fall wird der gesamte Ausdruck „umgedreht“, d.h. Der Logarithmus steht im Nenner.
Diese Formeln sind selten in gewöhnlichen numerischen Ausdrücken zu finden. Wie praktisch sie sind, kann nur beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen bewertet werden.
Allerdings gibt es Aufgaben, die nur durch den Umzug in eine neue Stiftung zu lösen sind. Betrachten wir ein paar davon:
Eine Aufgabe. Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks: log 5 16 log 2 25.
Beachten Sie, dass die Argumente beider Logarithmen exakte Exponenten sind. Nehmen wir die Indikatoren heraus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Nun drehen wir den zweiten Logarithmus um:
[Bilderüberschrift]Da sich das Produkt durch Permutation von Faktoren nicht ändert, haben wir ruhig vier und zwei multipliziert und dann die Logarithmen herausgefunden.
Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks: log 9 100 lg 3.
Basis und Argument des ersten Logarithmus sind exakte Potenzen. Schreiben wir es auf und beseitigen die Indikatoren:
[Bilderüberschrift]Lassen Sie uns nun den Dezimallogarithmus loswerden, indem wir zu einer neuen Basis wechseln:
[Bilderüberschrift]Grundlegende logarithmische Identität
Beim Lösen ist es oft erforderlich, eine Zahl als Logarithmus zu einer gegebenen Basis darzustellen. In diesem Fall helfen uns die Formeln:
Im ersten Fall die Nummer n wird zum Exponenten des Arguments. Nummer n kann absolut alles sein, weil es nur der Wert des Logarithmus ist.
Die zweite Formel ist eigentlich eine paraphrasierte Definition. Es wird die grundlegende logarithmische Identität genannt.
In der Tat, was wird passieren, wenn die Nummer b damit an die Macht erheben b insofern ergibt sich eine Zahl a? Das ist richtig: Dies ist die gleiche Nummer a. Lesen Sie diesen Absatz noch einmal genau durch - viele Menschen „hängen“ daran.
Wie die neuen Basisumrechnungsformeln ist die grundlegende logarithmische Identität manchmal die einzig mögliche Lösung.
Eine Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:
[Bilderüberschrift]
Beachten Sie, dass log 25 64 = log 5 8 - nur das Quadrat aus der Basis und dem Argument des Logarithmus herausgenommen hat. Angesichts der Regeln für die Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis erhalten wir:
[Bilderüberschrift]Falls sich jemand nicht auskennt, das war eine echte Prüfungsaufgabe :)
Logarithmische Einheit und logarithmische Null
Abschließend gebe ich zwei Identitäten an, die schwer Eigenschaften zu nennen sind – vielmehr sind dies Konsequenzen aus der Definition des Logarithmus. Sie sind ständig in Problemen zu finden und bereiten überraschenderweise selbst "fortgeschrittenen" Schülern Probleme.
- Protokoll a a= 1 ist die logarithmische Einheit. Denken Sie ein für alle Mal daran: der Logarithmus zu jeder Basis a von dieser Basis selbst ist gleich eins.
- Protokoll a 1 = 0 ist logarithmisch Null. Base a kann alles sein, aber wenn das Argument eins ist, ist der Logarithmus null! Weil a 0 = 1 ist eine direkte Folge der Definition.
Das sind alle Eigenschaften. Üben Sie unbedingt, sie in die Praxis umzusetzen! Laden Sie den Spickzettel zu Beginn der Lektion herunter, drucken Sie ihn aus und lösen Sie die Aufgaben.
Akzeptabler Bereich (ODZ) des Logarithmus
Lassen Sie uns nun über Einschränkungen sprechen (ODZ - der Bereich der zulässigen Werte von Variablen).
Wir erinnern uns, dass zum Beispiel die Quadratwurzel nicht aus negativen Zahlen gezogen werden kann; oder wenn wir einen Bruch haben, dann kann der Nenner nicht gleich Null sein. Es gibt ähnliche Einschränkungen für Logarithmen:
Das heißt, sowohl das Argument als auch die Basis müssen größer als Null sein, und die Basis kann nicht gleich sein.
Warum so?
Fangen wir einfach an: Sagen wir das. Dann existiert zum Beispiel die Zahl nicht, denn egal welchen Grad wir erhöhen, es stellt sich immer heraus. Außerdem existiert es für keinen. Aber gleichzeitig kann es allem gleich sein (aus dem gleichen Grund - es ist in jedem Grad gleich). Daher ist das Objekt uninteressant und wurde einfach aus der Mathematik geworfen.
Wir haben in diesem Fall ein ähnliches Problem: in jedem positiven Grad - dies, aber es kann überhaupt nicht in eine negative Potenz erhoben werden, da dies zu einer Division durch Null führt (ich erinnere Sie daran).
Wenn wir mit dem Problem konfrontiert sind, zu einer gebrochenen Potenz zu erheben (die als Wurzel dargestellt wird: z. B. (das ist), aber nicht existiert.
Daher sind negative Gründe leichter wegzuwerfen als mit ihnen herumzuspielen.
Nun, da die Basis a für uns nur positiv ist, erhalten wir, egal wie stark wir sie erhöhen, immer eine streng positive Zahl. Das Argument muss also positiv sein. Zum Beispiel existiert sie nicht, da sie in keiner Weise eine negative Zahl sein wird (und sogar Null, daher existiert sie auch nicht).
Bei Problemen mit Logarithmen ist der erste Schritt, die ODZ aufzuschreiben. Ich gebe ein Beispiel:
Lösen wir die Gleichung.
Erinnern Sie sich an die Definition: Der Logarithmus ist die Potenz, mit der die Basis potenziert werden muss, um ein Argument zu erhalten. Und durch die Bedingung ist dieser Grad gleich: .
Wir erhalten die übliche quadratische Gleichung: . Wir lösen es mit dem Satz von Vieta: Die Summe der Wurzeln ist gleich, und das Produkt. Einfach zu verstehen, das sind Zahlen und.
Wenn Sie diese beiden Zahlen jedoch sofort in die Antwort aufnehmen und aufschreiben, können Sie 0 Punkte für die Aufgabe erhalten. Wieso den? Denken wir darüber nach, was passiert, wenn wir diese Wurzeln in die Anfangsgleichung einsetzen?
Dies ist eindeutig falsch, da die Basis nicht negativ sein kann, dh die Wurzel "Drittanbieter" ist.
Um solche unangenehmen Tricks zu vermeiden, müssen Sie die ODZ aufschreiben, noch bevor Sie mit dem Lösen der Gleichung beginnen:
Dann, nachdem wir die Wurzeln erhalten haben, verwerfen wir sofort die Wurzel und schreiben die richtige Antwort.
Beispiel 1(versuch es selbst zu lösen) :
Finden Sie die Wurzel der Gleichung. Wenn es mehrere Wurzeln gibt, geben Sie in Ihrer Antwort die kleinere an.
Lösung:
Lassen Sie uns zunächst die ODZ schreiben:
Jetzt erinnern wir uns, was ein Logarithmus ist: Mit welcher Potenz müssen Sie die Basis erhöhen, um ein Argument zu erhalten? In dieser Sekunde. Also:
Es scheint, dass die kleinere Wurzel gleich ist. Dem ist aber nicht so: Laut ODZ ist die Wurzel fremd, das heißt, sie ist überhaupt nicht die Wurzel dieser Gleichung. Die Gleichung hat also nur eine Wurzel: .
Antworten: .
Grundlegende logarithmische Identität
Erinnern Sie sich an die allgemeine Definition eines Logarithmus:
Ersetzen Sie in der zweiten Gleichheit anstelle des Logarithmus:
Diese Gleichheit heißt grundlegende logarithmische Identität. Obwohl im Wesentlichen diese Gleichheit nur anders geschrieben wird Definition des Logarithmus:
Dies ist die Kraft, die Sie erhöhen müssen, um zu gelangen.
Zum Beispiel:
Lösen Sie die folgenden Beispiele:
Beispiel 2
Finden Sie den Wert des Ausdrucks.
Lösung:
Erinnern Sie sich an die Regel aus dem Abschnitt: Das heißt, wenn Sie einen Grad potenzieren, werden die Indikatoren multipliziert. Wenden wir es an:
Beispiel 3
Beweise das.
Lösung:
Eigenschaften von Logarithmen
Leider sind die Aufgaben nicht immer so einfach - oft müssen Sie den Ausdruck zuerst vereinfachen, in die übliche Form bringen und erst dann können Sie den Wert berechnen. Es ist am einfachsten, dies zu wissen Eigenschaften von Logarithmen. Lernen wir also die grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen. Ich werde jede von ihnen beweisen, denn jede Regel ist leichter zu merken, wenn Sie wissen, woher sie kommt.
All diese Eigenschaften müssen beachtet werden, ohne sie können die meisten Probleme mit Logarithmen nicht gelöst werden.
Und nun zu allen Eigenschaften von Logarithmen im Detail.
Eigenschaft 1:
Nachweisen:
Dann lassen Sie.
Wir haben: , h.t.d.
Eigenschaft 2: Summe von Logarithmen
Die Summe der Logarithmen mit gleicher Basis ist gleich dem Logarithmus des Produkts: .
Nachweisen:
Dann lassen Sie. Dann lassen Sie.
Beispiel: Finden Sie den Wert des Ausdrucks: .
Lösung: .
Die Formel, die Sie gerade gelernt haben, hilft, die Summe der Logarithmen zu vereinfachen, nicht die Differenz, daher können diese Logarithmen nicht sofort kombiniert werden. Aber man kann auch das Gegenteil tun – den ersten Logarithmus in zwei „brechen“: Und hier ist die versprochene Vereinfachung:
.
Warum wird das benötigt? Nun, zum Beispiel: Was macht es aus?
Jetzt ist es offensichtlich.
Jetzt mach es dir einfach:
Aufgaben:
Antworten:
Eigenschaft 3: Differenz der Logarithmen:
Nachweisen:
Alles ist genau so wie in Absatz 2:
Dann lassen Sie.
Dann lassen Sie. Wir haben:
Das Beispiel aus dem letzten Punkt ist jetzt noch einfacher:
Komplizierteres Beispiel: . Raten Sie selbst, wie Sie sich entscheiden sollen?
Hier ist zu beachten, dass wir keine einzige Formel über Logarithmen zum Quadrat haben. Das ist so etwas wie ein Ausdruck – das lässt sich nicht gleich vereinfachen.
Lassen Sie uns daher von Formeln über Logarithmen abschweifen und darüber nachdenken, welche Formeln wir in der Mathematik am häufigsten verwenden. Seit der 7. Klasse!
Das - . Man muss sich daran gewöhnen, dass sie überall sind! Und in exponentiellen und in trigonometrischen und in irrationalen Problemen werden sie gefunden. Daher müssen sie in Erinnerung bleiben.
Schaut man sich die ersten beiden Begriffe genau an, wird klar, dass dies der Fall ist Differenz der Quadrate:
Antwort zur Überprüfung:
Vereinfache dich.
Beispiele
Antworten.
Eigenschaft 4: Ableitung des Exponenten aus dem Argument des Logarithmus:
Nachweisen: Und auch hier verwenden wir die Definition des Logarithmus: let, then. Wir haben: , h.t.d.
Sie können diese Regel so verstehen:
Das heißt, der Grad des Arguments wird dem Logarithmus als Koeffizient vorangestellt.
Beispiel: Finden Sie den Wert des Ausdrucks.
Lösung: .
Entscheide dich selbst:
Beispiele:
Antworten:
Eigenschaft 5: Ableitung des Exponenten aus der Basis des Logarithmus:
Nachweisen: Dann lassen Sie.
Wir haben: , h.t.d.
Denken Sie daran: von Gründe Grad wird wiedergegeben als umkehren Nummer, anders als im vorherigen Fall!
Eigenschaft 6: Ableitung des Exponenten aus der Basis und dem Argument des Logarithmus:
Oder wenn die Abschlüsse gleich sind: .
Eigenschaft 7: Übergang auf neue Basis:
Nachweisen: Dann lassen Sie.
Wir haben: , h.t.d.
Eigenschaft 8: Vertauschen der Basis und des Arguments des Logarithmus:
Nachweisen: Dies ist ein Spezialfall von Formel 7: Wenn wir ersetzen, erhalten wir: , p.t.d.
Sehen wir uns noch ein paar weitere Beispiele an.
Beispiel 4
Finden Sie den Wert des Ausdrucks.
Wir verwenden die Eigenschaft der Logarithmen Nr. 2 - die Summe der Logarithmen mit derselben Basis ist gleich dem Logarithmus des Produkts:
Beispiel 5
Finden Sie den Wert des Ausdrucks.
Lösung:
Wir verwenden die Eigenschaft der Logarithmen Nr. 3 und Nr. 4:
Beispiel 6
Finden Sie den Wert des Ausdrucks.
Lösung:
Verwenden Sie die Eigenschaft Nummer 7 - gehen Sie zu Basis 2:
Beispiel 7
Finden Sie den Wert des Ausdrucks.
Lösung:
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Beim Einheitlichen Staatsexamen und OGE und allgemein im Leben
(aus dem Griechischen λόγος - "Wort", "Beziehung" und ἀριθμός - "Zahl") Zahlen b aus grund a(Log α b) wird eine solche Zahl genannt c, und b= ein c, also log α b=c und b=ac sind gleichwertig. Der Logarithmus ist sinnvoll, wenn a > 0, a ≠ 1, b > 0.
Mit anderen Worten Logarithmus Zahlen b aus grund a als Exponent formuliert, zu dem eine Zahl erhoben werden muss a um die Nummer zu bekommen b(Der Logarithmus existiert nur für positive Zahlen).
Aus dieser Formulierung folgt die Berechnung x= log α b, ist äquivalent zum Lösen der Gleichung a x = b.
Zum Beispiel:
log 2 8 = 3, weil 8=2 3 .
Wir stellen fest, dass die angegebene Formulierung des Logarithmus eine sofortige Bestimmung ermöglicht logarithmischer Wert wenn die Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus eine bestimmte Potenz der Basis ist. Tatsächlich ermöglicht die Formulierung des Logarithmus dies zu rechtfertigen, wenn b=a c, dann der Logarithmus der Zahl b aus grund a gleich Mit. Es ist auch klar, dass das Thema Logarithmus eng mit dem Thema verbunden ist Grad der Zahl.
Auf die Berechnung des Logarithmus wird verwiesen Logarithmus. Der Logarithmus ist die mathematische Operation des Logarithmierens. Beim Logarithmieren werden die Produkte von Faktoren in Summen von Termen umgewandelt.
Potenzierung ist die zum Logarithmus inverse mathematische Operation. Beim Potenzieren wird die angegebene Basis mit dem Ausdruck potenziert, auf dem die Potenzierung durchgeführt wird. In diesem Fall werden die Summen der Terme in das Produkt der Faktoren umgewandelt.
Nicht selten werden reelle Logarithmen mit den Basen 2 (binär), e Euler-Zahl e ≈ 2,718 (natürlicher Logarithmus) und 10 (dezimal) verwendet.
In diesem Stadium ist es eine Überlegung wert Proben von Logarithmen Protokoll 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.
Und die Einträge lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 machen keinen Sinn, da im ersten eine negative Zahl unter das Vorzeichen des Logarithmus gestellt wird, im zweiten eine negative Zahl die Basis und in der dritten - und eine negative Zahl unter dem Vorzeichen des Logarithmus und der Einheit in der Basis.
Bedingungen zur Bestimmung des Logarithmus.
Es lohnt sich, die Bedingungen a > 0, a ≠ 1, b > 0 gesondert zu betrachten. Definition eines Logarithmus. Lassen Sie uns überlegen, warum diese Einschränkungen getroffen werden. Dies hilft uns bei einer Gleichheit der Form x = log α b, genannt die grundlegende logarithmische Identität, die direkt aus der oben gegebenen Definition des Logarithmus folgt.
Nehmen Sie die Bedingung a≠1. Da Eins gleich Eins zu jeder Potenz ist, ist die Gleichheit x=log α b kann nur existieren, wenn b=1, aber log 1 1 ist eine beliebige reelle Zahl. Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, nehmen wir a≠1.
Beweisen wir die Notwendigkeit der Bedingung a>0. Bei a=0 nach der Formulierung des Logarithmus nur wann existieren kann b=0. Und dann entsprechend Protokoll 0 0 kann jede reelle Zahl ungleich Null sein, da Null hoch jede Potenz ungleich Null gleich Null ist. Um diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen, die Bedingung a≠0. Und wann a<0 die Analyse von rationalen und irrationalen Werten des Logarithmus müssten wir ablehnen, da der Exponent mit rationalem und irrationalem Exponenten nur für nicht-negative Basen definiert ist. Aus diesem Grund ist die Bedingung a>0.
Und die letzte Bedingung b>0 folgt aus der Ungleichung a>0, denn x=log α b, und den Wert des Grades mit positiver Basis a immer positiv.
Merkmale von Logarithmen.
Logarithmen gekennzeichnet durch unverwechselbar Merkmale, was zu ihrer weit verbreiteten Verwendung führte, um sorgfältige Berechnungen erheblich zu erleichtern. Beim Übergang "in die Welt der Logarithmen" wird die Multiplikation in eine viel einfachere Addition, die Division in eine Subtraktion und Potenzierung und Wurzelziehen in Multiplikation bzw. Division mit einem Exponenten umgewandelt.
Die Formulierung von Logarithmen und eine Tabelle ihrer Werte (für trigonometrische Funktionen) wurde erstmals 1614 von dem schottischen Mathematiker John Napier veröffentlicht. Logarithmische Tabellen, die von anderen Wissenschaftlern vergrößert und detailliert wurden, wurden häufig in wissenschaftlichen und technischen Berechnungen verwendet und blieben relevant, bis elektronische Taschenrechner und Computer verwendet wurden.
"Formeln der abgekürzten Multiplikation" - Bei der Multiplikation zweier Polynome wird jeder Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms multipliziert und die Produkte addiert. Abgekürzte Multiplikationsformeln. Beim Addieren und Subtrahieren von Polynomen gelten die Regeln zum Öffnen von Klammern. Monome sind Produkte aus Zahlen, Variablen und ihren natürlichen Potenzen.
"Lösung des Gleichungssystems" - Graphisches Verfahren (Algorithmus). Eine Gleichung ist eine Gleichung, die eine oder mehrere Variablen enthält. Gleichung und ihre Eigenschaften. Methode der Determinanten (Algorithmus). Gleichungssystem und seine Lösung. Lösung des Systems durch Vergleichsverfahren. Lineare Gleichung mit zwei Variablen. Lösung des Systems nach der Additionsmethode.
"Die Lösung von Ungleichungssystemen" - Intervalle. Mathematisches Diktat. Es werden Beispiele zur Lösung linearer Ungleichungssysteme betrachtet. Lösung von Ungleichungssystemen. Um ein System linearer Ungleichungen zu lösen, reicht es aus, jede der darin enthaltenen Ungleichungen zu lösen und den Schnittpunkt der Mengen ihrer Lösungen zu finden. Schreiben Sie Ungleichungen auf, deren Lösungsmengen Intervalle sind.
"Indikative Ungleichheiten" - Das Zeichen der Ungleichheit. Löse die Ungleichung. Lösung der einfachsten exponentiellen Ungleichungen. Lösung exponentieller Ungleichungen. Was ist bei der Lösung exponentieller Ungleichungen zu beachten? Lösung der einfachsten exponentiellen Ungleichungen. Eine Ungleichung, die eine Unbekannte im Exponenten enthält, heißt exponentielle Ungleichung.
"Relationen von Zahlen" - Was ist eine Proportion? Wie heißen die Zahlen m und n im Verhältnis a: m = n: c? Den Quotienten zweier Zahlen nennt man das Verhältnis der beiden Zahlen. Marketing-Lan. Im richtigen Verhältnis ist das Produkt der äußersten Terme gleich dem Produkt der mittleren Terme und umgekehrt. Was ist eine Haltung? Proportionen. Das Verhältnis kann in Prozent ausgedrückt werden.
"Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung" - Satz von Vieta. Quadratische Gleichungen. Diskriminant. Welche Gleichungen nennt man unvollständige quadratische Gleichungen? Wie viele Wurzeln hat eine Gleichung, wenn ihre Diskriminante Null ist? Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen. Wie viele Wurzeln hat eine Gleichung, wenn ihre Diskriminante eine negative Zahl ist?
Insgesamt gibt es 14 Vorträge zum Thema
